(15) Lamina - Teorema de Thales y Euclides (2017)_PRO

Lámina coleccionable

Matemática

de “Teorema de Thales y Eucli

s”

Síntesis de contenidos

1

• Teorema de Thales • L // L // L 1

2

3

E

O

L1 L2

B

L

OA

D

A

AB

C

=

ED

OA

DC

OB

=

ED

AB

EC

OB

DC

=

EC

3

• Caso particular del teorema de Thales

• L1 // L2 O L1 L1 L2

OA

• División de segmentos

OC

=

AB

CD

;

OA OB

C

A

O

D

B

=

B

D

OC OD

;

OA AC

=

L2

OB BD

;

OC AC

=

OD

DO

BD

OC

=

BO OA

C

A

;

DB DO

=

AC CO

;

DB BO

=

AC AO

• División interior: Si un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón m : n, entonces: A

P

B

AP

=

PB

m n

• División exterior: Si un punto P divide exteriormente a un segmento AB en la razón m : n, entonces: A

• Teorema de Euclides

B

A

b

hc

p

q

AP BP

=

m n

a y b: catetos. c: hipotenusa. hc: altura sobre la hipotenusa. p: proyección del cateto a sobre la hipotenusa. q: proyección del cateto b sobre la hipotenusa.

C a

P

B

c

De acuerdo a la figura: 2

hc

·

=p q

a2 = p c ·

a b = c

En general: • El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al

·

hc

b2 = q c ·

producto entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. • La altura sobre la hipotenusa es igual al producto entre los catetos, dividido por la hipotenusa. • Cada cateto al cuadrado es igual al producto entre su proyección sobre la hipotenusa y la hipotenusa.

1 V 7 1 A 1 2 T M 6 3 0 C A C M A L

Ejercicios propuestos

1

¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 9? I)

II)

L1 L2

30

15 x

3

L1 // L2 // L3 L1

x

a

4

x

L3

III)

¿En cuál(es) de los siguientes triángulos se cumple que a2 = b ⋅ c? I)

12

L1 L2

18

4

c

L1 // L2

b

14

II)

7

18

a

L2 b

L1 // L2

A) B) C) D) E)

2

Solo en I Solo en II Solo en I y en II Solo en II y en III En ninguna de ellas.

c

III) a

b c

2

Una casa de 2 pisos proyecta una sombra de 6 metros. Si el primer piso tiene una altura de 3 metros y el segundo piso una altura de 5 metros, ¿cuánto mide la sombra proyectada solo por el segundo piso? A) B) C) D) E)

3

A) B) C) D) E)

2,25 metros. 2,4 metros. 3,6 metros. 3,75 metros. Faltandatos para determinarlo.

5

Solo en I Solo en II Solo en I y en II Solo en II y en III En I, en II y en III

En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, BC = 10 cm y BD = 8 cm. La medida del segmento AD es A)

9 cm 2

En la figura, el punto P divide interiormente al segmento AB en la razón 2 : 5. Si AP mide 6 cm, entonces la medida del segmento AB es

B)

3 cm 2

C)

3 cm 4

A) B) C) D) E)

D)

1 cm 2

E)

1 cm 4

9 cm 12 cm 15 cm 18 cm 21 cm

A

P

B

C

A

D

B