15 Introduccion A La Geometria Del Espacio y Poliedros Regulares

 

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GEOMETRÍA

TRILCE

Semana Sema na 15 Quinto Qui nto Cató Católic lica a

INT IN TRO RODU DUCC CCIÓ IÓN N A LA GE GEOM OMET ETRÍ RÍA A DE DEL L ES ESP PACIO Y PO POLI LIED EDRO ROS S REGULARES 2. Planos parale paralelos los

Definición de plano

Es una superficie ilimitada de puntos donde, toda recta qu quee pa pase se por por dos dos de sus sus punt puntos oses está tá ínte íntegr gram amen ente te co cont nten enid idaa en el pplan lano. o.

B L  A

Plano P // Pla Plano no Q "A" y "B" per pertene tenece cenn al plan planoo P contenida tenida en eell plano P L   está con

* Po Posi sici cion ones es de una una rect recta a y un pl plan ano o en el es espa paci cio o

1. Rect Rectaa y plano secan secantes tes

Observación:

Q no es un plano, Q es una superficie curva 2. Recta Recta y plano plano para paralel lelos os Postul Pos tulado ado par para a la de dete termi rminac nación ión de un plan plano o L

Un pla plano no que queda da det deter ermin minado ado por por:: 1. 2. 3. 4.

Tres puntos no ccolineales. olineales. Una rrec ecta ta y un pun punto to ex exter terior ior a ella ella.. Dos re rectas ctas secante secantes. s. Dos rectas paralel paralelas. as.

L  // Plano P

* Posicio Posiciones nes de dos dos pl pla anos en el espa espaci cio o * Posi Posici cion ones es de dos dos rect rectas as en el es espa paci cio o

1. Planos secan secantes tes

1. Rectas secant secantes es Recta común (Arista)

a

 

b

a   y   b   son secantes y pertenecen al plano P

TRILCE   Ca Católica

 

89

 

Ciclo  Católica

2. Rectas Rectas pparalelas aralelas

Teorema de las tres perpendiculares a m

F

n

pertenecen necen al plano "P" m   y   n   son paralelas y perte

H b

E

3. Rectas cruzadas o alabe alabeadas adas a

d

Si: *   a   plano Q plano Q *   b   está contenida en el plano *   HE   b * “F” un punto cualquiera de   a Se cumple:   EF   b

º

b

a



P

b



Q

Teorema de Thales en el espacio

 A

 “d”: distancia distancia entre   a   y   b º  : Ángulo entre   a   y   b

D

B

E

Recta perpendicular a un plano

Una rect rectaa es perpe perpendicu ndicular lar a un plan planoo si es pperpe erpendicu ndicular lar a dos rectas secantes secantes contenidas en dicho plano. a

L2

Si:   a

 

C

Si: L1

F

P // 

Q //

R 

 AB DE = BC EF

L1   y   L2      a   al plano P

Observación: Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será pe perpe rpend ndicu icular lar a toda todass las rec rectas tas cconte ontenid nidas as en dic dicho ho plan plano. o.

90

TRILCE   C Ca atólica

 

EOMETRÍA G EOMETRÍA

Un poliedro es regular si es convexo y los polígonos de todas sus caras son polígonos regulares congruentes. Solo existen cinco poliedros regulares que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

POLIEDRO REGULAR   FORMA DE LAS CARAS Tetraedro  

Octaedro

h

A 6

 

4

4

Triángulos equiláteros

 

8

6 8

Hexaedro

Cuadrados

6

Dodecaedro

Pentágonos

12

Icosaedro

Triángulos equiláteros

20

 

20

 

12 12  

30 30

12

Problemas para la clase h=

a  

V

Triángulos equiláteros

Tetrae etraedro dro regula regular  r 

a

C

1.

 a 6 3

a

Do Dos s cua cuadr drado ados s for forma man n un áng ángul ulo o di diedr edro o de 90° com como o muestra la figura, calcular la distancia entre los centros de dichos cuadrados, si: BC = 8 m.

2

A = a 3 D a

3

V = a 2 12

a

 A C

Hexaedro Hexae dro regula regularr (cubo) d

B

E

F

diag di agona onall de dell só sóli lido do  A.  A. 4 m

d =  a 3

B.   2 2

C.   3 2 2.

2 A =   6a

 

D.   4 2

Ca Calc lcula ularr la me medi dida da de dell áng ángul ulo o die diedro dro fo form rmad ado o por los planos ABCD y ABEG, si la distancia de “P” a dichos planos miden 5 m y 6 m y desde “P” a la arista AB mide 10 m. C

3

V = a

P

D

B E

Octaedro Octaed ro regula regular  r 

 A

d

diag di agona onall de dell só sólid lido o

G

 A.  A. 60° C. 75 °

B. 53° D. 67°

d =  a 2 3.

d

Dos tr triá iángul ngulos os equ equil ilát áter eros os A AB BC y AB BD D forman forman un diedro de 53°. Hallar “CD”, si: AB =   10 3   m.

2 A = 2a 3

 A.  A. 6 m 3

V=

TRILCE   C Ca atólica

C.   6 5

B. 12  

D. 15

 a 2 3

 

91

 

Ciclo  Católica 4.

Hall Hallar ar e ell ár área ea de dell tri triáng ángulo ulo APM, APM, si: si: AM = MD, A ABCD BCD es un cuadrado de lado 4 m y   PC   es perpendicular  al plano de dicho cuadrado y mide 3 m.

10.

En la figu figura ra AB ABCD-E CD-EFGH FGH es un hex hexae aedro dro reg regula ularr de arista 4u; "O" es centro de la cara ABCD; M y N son puntos medios. Calcular el área del triángulo MON.

P

B

C

O D

 A

B

C N

M  A

 

M

 A  A.. 5 m2 D. 1 0

F

D

B. 4 E. 9

E

C. 8

H

 A.  A. 2   2   u 2 5.

En la fi figur gura a el tr triá iángul ngulo o AQB es es per perpen pendi dicula cularr al pl plano ano "P" en donde se encuentra un círculo de diámetro  AB=9m. Si: AQ=17m y QB=10m. Calcular la distancia de Q al plano "P".

B. 3   2

C. 4   2 11.

Q

 A

G

B

D. 5   2

 

Con cen centr tro o en los v vér érti tices ces de un cubo de llado ado de llad ado o "a" se trazan esferas de radio a/2. Si la esfera de radio "R" contiene a estas 8 esferas y es tangente a cada una de ellas; entonces el valor de: a/R es:

 A.  A.

P

3

B.

2

 3   1 1

 A  A.. 6 m C. 1 0 6.

2 3

C.

B. 8 D. 9

Hal Halla larr el volu volumen men de un hex hexaed aedro ro re regul gular ar de dia diagona gonall

12.

3 3   m.

D.

2

En el tetra tetraedro edro regu regular lar de ari arista sta “a “a”, ”, calcul calcular ar la dis dis-tancia del centro de una cara hacia una arista lateral. V

 A  A.. 27 m3 C.   9 3 7.

B.   27 3 D.   12 3

 

C

F

B C

 A.  A.

G E

 A D

 A  A.. 45° C. 90 °

C. H

13.

B. 160 160°° D. 75°

Calcula Calcularr el volume volumen n de un cub cubo o donde la d dis ista tanci ncia a de un vértice al centro de la cara opuesta mide 3 m.  A  A..   6 6   m 3 C.   6 3

9.

a 2

 

2a 2 3

B.

D.

a 3 a 2 3

Cal Calcula cularr la dis distanci tancia a entre llos os centr centros os de dos caras de un tetraedro regular cuya arista mide “x”.  A.  A.

8.

B

 A

En el hexa hexaed edro ro reg regula ularr mostra mostrado, do, cal calcul cular ar el m meno enor  r  ángulo que forman las diagonales AF y BD.

C.

x 2 2x 3

 

B.

 

D.

x 6 x 3

B. 6  

D.   3 6

Cal Calcula cularr el v vol olume umen n de un cubo d donde onde lla a di dist stanc ancia ia d del el centro de una cara a la diagonal de dicho cubo es igual

14.

El v vol olum umen en d de e un cub cubo o es 3 36 6 m3. Calcular el volumen del tetraedro regular inscrito en dicho cubo.  A.  A. 12 m3 C. 2 4

B. 18 D. 1 5

a   6   m.  A  A.. 8 m3 C. 2 7

92

B. 6 D. 6 4

TRILCE   Ca Católica

  

EOMETRÍA G EOMETRÍA

15 15..

El tetr tetraed aedro ro regul regular ar mostr mostrado ado tien tiene e un volumen volumen de 18 2  m 3 . Calcular el área de la proyección lateral sobre la base.

Tarea domici domiciliari liaria a 1.

Cal Calcul cular ar PQ si si:: OP   H y OP = 18 18 y OQ = 24. 24.   

V

P

 

 A

C B

O

 A.   6 3

  m2

C.   3 3 16.

B.   9 3  

 A.  A. 15 C. 3 6

D. 9

Hal Halla larr el volu volumen men de un tetrae tetraedro dro reg regula ularr donde su arista es igual a la diagonal del cubo del problema anterior.

2.

B. 20 D. 3 0

Cal Calcul cular ar:: PA, PA, si si:: AB = 6, QB = 8 y PQ = 5. P

B.   16 6

 A  A.. 16 m C.   8 3

Q

H

D.   8 2

 

B

17.

Q

La figur figura a mues muestra tra un oct octaed aedro ro regul regular ar,, calcu calcula larr m  AVC.  AVC.  H 

V

D  A

C

18.

19.

20.

TRILCE   Ca Católica

C. 5

D. 5   5

"P "P"" y "Q" s son on dos plan planos os pa para rale lelo los s que di dist stan an 20 m siendo A y B puntos situados en los planos "P" y "Q" respectivamente y AB = 25 m. Calcular la proyección de

B. 100 100°° D. 60°

 A.  A. 15 m C . 30 m 4.

Sea Sea e ell plano plano "P" y un se segme gmento nto ex exte teri rior  or   AB   que mide 10 m, la distancia de "A" al plano es de 16 m y de "B" al plano es de 8 m. Hallar la longitud de la proyección de

 A.  A. 4 m C. 8 m 5.

B. 2 D . 2,5

B. 45° D. 60°

B. 17 m D . 25 m

 AB  sobre el plano "Q".

B. 6 D. 8

Se ti tiene ene un triá triángul ngulo o rectángulo rectángulo A ABC BC donde los cate cate-tos AB y BC miden 15 m y 20 m respectivamente. Si por el vérti vértice ce “B” se leva levanta nta la perpend perpendicula icular  r  BP = 12 m al plano del triángulo ABC, calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y APC.  A  A.. 30° C. 3 7 °

B. 10   5

 AB  sobre el plano "Q".

En un te tetra traedr edro o regula regularr de v volum olumen en   54 6   m3. Calcular  la distancia del centro de una cara hacia la altura de dicho tetra tetraedro. edro.  A  A.. 1 m C. 3

 A.  A. 10

V1

Se ti tiene ene u un n tri triángul ángulo o AB ABC C donde AB = 13 m; B BC C = 15 m y AC = 14 m. Por el incent incentro ro de dicho tri triángul ángulo o se le leva vannta la perpendicular   IP   al plano del    ABC. Calcular la medida de   IP   para que el diedro formado por los triángulos ABC ABC y APC sea de 53°.  A  A.. 3 m C. 4

A

B

3.

 A.  A. 90° C. 120°

 

Las dist distan ancia cias s de 2 pun puntos tos ""A" A" y "B" a un pl plan ano o "P "P"" son de 6 m y 2 m, es estand tando o "A" y "B" a un uno o y otro s semi emi esp espaci acio o del plano "P". La proyección de   AB   sobre el plano "P" es 15 m. Hallar la distancia entre "A" y "B".  A.  A. 17 m C . 12 m

6.

B. 6 m D . 12 m

B. 15 m D. 8 m

Un pl plano ano ""P" P" ti tiene ene una iincl nclin inaci ación ón de 75° s sobr obre e el plano plano "Q". Se toma un punto "A" del plano "P" y se traza la perpendicular    AB  al plano "Q", si la distancia de "A" a la perpendicular  intersección de los planos mide 20 m, hallar la distancia de "B" al plano "P".  A.  A. 1 m C. 3 m

 

B. 2 m D. 5 m

93

 

Ciclo  Católica 7.

En la ffig igura ura,, los pl plano anos s "P" "P",, "Q" y "R" s son on par paral alel elos. os. Si: Si: MB=12 m y ND = 9 m, hallar AB sabiendo que excede a CD en 7 m.

11.

su área total es 16   3   u2.  A.  A. 8   2   u2

P   A

 A.  A. 16 m C. 2 1 8.

C.

N

R  B

12.

D

B. 12 D. 2 8

 A.   2   L/2

B.   3   L/2

C. L

D.   6  L/2

Se ttie iene ne 3 pl plan anos os hor horiz izont ontal ales es.. La di dist stan ancia cia del pri prime mer  r  plano al 2do plano es el doble que la distancia del 2do al 3er plano. plano. Se tra traza za una rect recta a seca secante nte que corta corta a los

2

u2

D.

16   2 2 u 3

La proy proyecci ección ón de la cara cara de un tetr tetraed aedro ro regu regula larr sobre

B. 12   3

C. 18   3

C. 1 2 14.

 

D. 27   3

En un tetra tetraedro edro reg regula ularr el áre área a tota totall es numér numérica icament mente e igual a su volumen. Hallar la altura del tetraedro.  A.  A. 4   3

3 pla planos nos y forma un ángul ángulo o de 60° con la ve verti rtical cal y cuyo segmento comprendido entre el primer y tercer plano mide 27. Hallar la distancia entre el primer plano y el segundo plano.

 

B. 8   3 D. 9   6

En un tetrae tetraedro dro regul regular ar de aris arista ta "a", cal calcula cularr la dist distanancia del baricentro de una cara lateral a la base del tetraedro.

 A.  A. B. 7 D. 9 C. 10.

15   2

 A.  A. 6   3   m 2

Los tr triá iángu ngulo los s equi equilá láte tero ros s AB ABC C y AB ABD D de lad lado o «L» se encuentran en planos perpendiculares. Hallar CD.

 A  A.. 6 C. 8

3

u2

otra mide 3   3   m 2 . Hallar el área lateral de dicho tetraedro.

13.

9.

8 2

B.

C

Q M

Hal Halla larr el vol volumen umen de un tetr tetraed aedro ro regul regular ar sa sabie biendo ndo que

Cal Calcul cular ar el área área de la reg regió ión n sombr sombrea eada da si el cubo ti tiee3 ne volumen 64 m . 15.

a 6 6 a 6 2

a 6

B.

4 a 6

D.

9

Unie Uniendo ndo "P" con los vé vérti rtices ces del lado lado opue opuesto, sto, se fforma orma un triángulo como el de la figura. Hallar su área, si el lado del cubo es "a". P

 A.  A. 4   3   m 2

B. 6   3   m 2

C. 8   3   m 2

D. 12   3   m 2

94

 A.  A. a2 3   /2

B. a2 3   /4

C. a2 2   /2

D . a2 2

TRILCE   C Ca atólica