DIAGRAMA MOMENTO
– CURVATURA CURVATURA
DE UN PERFIL DE ACERO
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA DE UN PERFIL DE ACERO
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
[email protected] 1.
INTRODUCCIÓN
Entre los muchos tipos de vigas cabe mencionar las siguientes: viguetas, dinteles, vigas de fachada, largueros de puente y vigas de piso. Las viguetas son vigas estrechamente separadas para soportar los pisos y techos de edificios; los dinteles se colocan sobre aberturas en muros de mampostería como puertas y ventanas. Las vigas de fachada soportan las paredes exteriores de edificios y también parte de las cargas de los pisos y corredores. Se considera que la capacidad de las vigas de acero para soportar muros de mampostería (junto con la invención de los elevadores) como parte de un marco estructural, permitió la construcción de los rascacielos actuales. Los largueros de puente son las vigas en los pisos de puentes que corren paralelas a la superficie de rodamiento, en tanto que las vigas de piso son las vigas más grandes que en muchos pisos de puentes corren perpendicularmente a la superficie de rodamiento y se usan para transferir las cargas del piso, de los largueros de puente a las trabes o armaduras sustentantes. El término trabe se usa en forma algo ambigua, pero usualmente denota una viga grande a la que se conectan otras de menor tamaño. Éstos y otros tipos de viga se analizan en las siguientes secciones. secciones. 2.
ESFUERZOS DE FLEXIÓN
Consideremos una viga de sección rectangular y los diagramas de esfuerzos de la Figura 1 para estudiar los esfuerzos de flexión. Si la viga está sujeta a momento de flexión, el esfuerzo en cualquier punto se puede calcular con la fórmula de la flexión:
/ . Debe recordarse que esta expresión es aplicable solamente cuando el máximo
esfuerzo calculado en la viga es menor que el límite elástico. La fórmula se basa en las hipótesis elásticas usuales: el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, una sección plana antes de la flexión permanece plana después de la aplicación de las
cargas, etc. El valor
/ es una constante para una sección específica y se denomina
módulo de sección . La fórmula de la flexión puede escribirse entonces de la manera siguiente:
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Figura 1. Variaciones del esfuerzo de flexión debidas a incrementos del momento alrededor del eje x. Inicialmente, cuando el momento se aplica a la viga, el esfuerzo varía linealmente desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Esta situación se muestra en la parte (b) de la Figura 1. Si se incrementa el momento, se mantendrá la variación lineal de los esfuerzos hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras extremas, como se muestra en la parte (c) de la figura. El momento de fluencia de una sección transversal se define como el momento de inicio del esfuerzo de fluencia en las fibras extremas de la sección. Si el momento en una viga de acero dúctil se incrementa más allá del momento de fluencia, las fibras extremas que se encontraban previamente sometidas al esfuerzo de fluencia se mantendrán bajo este mismo esfuerzo, pero en estado de fluencia y el momento resistente adicional necesario lo proporcionarán las fibras más cercanas al eje neutro. Este proceso continuará con más y más partes de la sección transversal de la viga, alcanzando el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de esfuerzos (d) y (e) de la figura, hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica total mostrada en (f). Observe que la variación de deformación del eje neutro hacia las fibras externas permanece lineal en todos estos casos. Cuando la distribución de esfuerzos ha alcanzado esta etapa, se dice que se ha formado una rótula plástica, porque no puede resistirse en esta sección ningún momento adicional. Cualquier momento adicional aplicado en la sección causará una rotación en la viga con poco incremento del esfuerzo. El momento plástico es el momento que producirá una plastificación completa en una sección transversal del miembro creándose ahí mismo una articulación plástica. La relación del momento plástico
al momento de fluencia
se denomina factor de
forma. Los factores de forma son iguales a 1.50 en las secciones rectangulares y varían entre 1.10 y 1.20 en las secciones laminadas estándar. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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3.
NOTACIÓN
4.
MÓDULO PLÁSTICO
El momento de fluencia
es igual al esfuerzo de fluencia multiplicado por el
módulo elástico. El módulo elástico es igual a / o
/ para una sección rectangular,
/ . Este mismo valor se puede
y el momento de fluencia es entonces igual a
obtener considerando el par interno resistente mostrado en la Figura 2.
Figura 2. Par interno resistente de la sección para el Momento de Fluencia ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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DIAGRAMA MOMENTO
El momento resistente es igual a ellos, como sigue:
– CURVATURA
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o multiplicado por el brazo de palanca entre
Se observa que el módulo elástico de la sección es igual nuevamente a
/ para
una viga de sección rectangular. El momento resistente para la plasticidad total se puede determinar de manera similar.
Figura 3. Par interno resistente de la sección para el Momento Plástico El resultado es el así llamado momento plástico,
nominal de la sección,
. También es el momento
. Este momento plástico o nominal es igual a
o veces el
brazo de palanca entre ellos. Para la viga rectangular de la Figura 3, se tiene:
Se dice que el momento plástico es igual al esfuerzo de fluencia multiplicado por el módulo plástico de la sección. De la expresión anterior para una sección rectangular, se
ve que el módulo plástico Z es igual a /
, o a / , es (
/ )/(
/ )
/ . El factor de forma, que es igual a
/
=
para una sección rectangular. Un estudio del
módulo plástico de la sección determinado aquí muestra que es igual al momento estático de las áreas a traccion y a compresión respecto al eje neutro plástico. A menos que la sección sea simétrica, el eje neutro para la condición plástica no coincidirá con el de la condición elástica. La compresión interna total debe ser igual a la tensión interna total. Como se considera que todas las fibras tienen el mismo esfuerzo
en la
condición plástica, las áreas arriba y abajo del eje neutro plástico deben ser iguales. Esta situación no se presenta en secciones asimétricas en la condición elástica. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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5.
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA DE UN PERFIL DE SECCIÓN CAJÓN
Es posible deducir curvas teóricas momento – curvatura para secciones de acero en base a suposiciones semejantes a las utilizadas para la determinación de la resistencia a flexión. Se supone que las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de la flexión y que se conoce la curva esfuerzodeformación para el acero.
Figura 4. Esfuerzo - deformación del acero a tracción y compresión En la figura 4 se muestra curvas típicas esfuerzo – deformación para el acero, en
que
es el esfuerzo de fluencia del acero.
Figura 5. Sección, diagrama de deformaciones y fuerzas internas.
Al ser una sección simétrica con respecto al eje horizontal, determinar la deformación del acero en la fibra interna del ala triángulos semejantes del diagrama de deformaciones.
) (⁄ ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
. Para
, se puede usar los
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– CURVATURA
DE UN PERFIL DE ACERO
Se puede encontrar la distribución del esfuerzo del acero en la parte comprimida de la sección de la figura 5 a partir del diagrama de deformaciones y la curva esfuerzo deformación para el acero. Para cualquier deformación dada del acero
extrema a compresión, se puede definir la fuerza de compresión del acero
posición en términos de los parámetros y en que:
() () Actúan a la distancia
en la fibra y
y su
de la fibra extrema a compresión. Se puede determinar el
factor α del esfuerzo medio y el factor del centroide para cualquier deformación
en
la fibra extrema a compresión para secciones de acero a partir de la relación esfuerzodeformación como sigue:
∫ ∫ ∫
En consecuencia se puede determinar el momento de la siguiente manera:
⁄⁄ (⁄ )(⁄ ) (⁄ )(⁄ )
La curvatura está dada por:
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– CURVATURA
DE UN PERFIL DE ACERO
6.
MODELO ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL ACERO ESTRUCTURAL
En general la curva esfuerzo – deformación a tracción está formada por tres ramas: rama elástica lineal, rama o planicie de posfluencia y la rama de endurecimiento por deformación, tal como se muestra en la figura 6.
Figura 6. Curva completa esfuerzo-deformación del acero sometido a tracción. Es común que en el diseño y evaluación sísmica se utilice una aproximación de la curva esfuerzo- deformación llamado “modelo elastoplástico perfecto”.
Figura 7. Curva esfuerzo-deformación del modelo elastoplástico perfecto para el acero sometido a tracción.
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Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del elemento y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto al eje neutro se calculan los coeficientes denominados
y
, que van a representar porcentajes de área
rectangular y de distancia respectivamente.
El coeficiente α es un porcentaje del área por debajo de la curva con respecto al
∫ ∫ ∫ área de un rectángulo de valor
.
El coeficiente γ es un porcentaje de distancia
[∫∫ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) deformación .
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con respecto al valor de la
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DE UN PERFIL DE ACERO
7.
EJEMPLO DE APLICACIÓN DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE SECCIONES DE ACERO Modelo del acero elastoplástico Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
[email protected] Es: Módulo de elasticidad (ksi)
29000
fy: Esfuerzo de fluencia (ksi)
49.995
εy: Deformación de fluencia
εsu: Deformación máxima
tw
tw
0.0017
t f
0.0759
h: Altura de la sección (pulg)
4
b: Base de la sección (pulg)
4
tf: Espesor del ala (pulg)
h
h-2t f
1/4
tw: Espesor del alma (pulg)
t f
1/4 4
I: Momento de Inercia (pulg ) Lp: Longitud de rótula plástica (pulg)
8.83 3.8625
εsf
αt
αf
γt
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.6667
0.6667
0.00
0.00
0.0000
0.00
0.0010
0.0009
0.2900
0.2538
0.6667
0.6667
51.05
12.95
0.0005
128.01
0.0020
0.0018
0.5690
0.5074
0.6611
0.6666
93.74
25.90
0.0010
239.27
0.0030
0.0026
0.7127
0.6716
0.6244
0.6374
93.74
32.77
0.0015
253.03
0.0040
0.0035
0.7845
0.7537
0.5979
0.6097
93.74
35.18
0.0020
257.84
0.0050
0.0044
0.8276
0.8030
0.5802
0.5905
93.74
36.30
0.0025
260.07
0.0060
0.0053
0.8563
0.8358
0.5678
0.5767
93.74
36.90
0.0030
261.28
0.0070
0.0061
0.8769
0.8593
0.5587
0.5665
93.74
37.27
0.0035
262.01
0.0080
0.0070
0.8923
0.8769
0.5517
0.5587
93.74
37.50
0.0040
262.49
0.0090
0.0079
0.9042
0.8905
0.5462
0.5525
93.74
37.67
0.0045
262.81
0.0100
0.0088
0.9138
0.9015
0.5417
0.5475
93.74
37.78
0.0050
263.05
0.0110
0.0096
0.9216
0.9104
0.5381
0.5433
93.74
37.87
0.0055
263.22
0.0120
0.0105
0.9282
0.9179
0.5350
0.5398
93.74
37.93
0.0060
263.35
0.0130
0.0114
0.9337
0.9242
0.5324
0.5369
93.74
37.98
0.0065
263.45
0.0140
0.0123
0.9384
0.9296
0.5301
0.5343
93.74
38.02
0.0070
263.53
0.0150
0.0131
0.9425
0.9343
0.5281
0.5321
93.74
38.06
0.0075
263.60
0.0160
0.0140
0.9461
0.9384
0.5264
0.5301
93.74
38.08
0.0080
263.65
0.0170
0.0149
0.9493
0.9421
0.5249
0.5284
93.74
38.11
0.0085
263.69
0.0180
0.0158
0.9521
0.9453
0.5235
0.5268
93.74
38.12
0.0090
263.73
0.0190
0.0166
0.9546
0.9482
0.5223
0.5255
93.74
38.14
0.0095
263.76
0.0200
0.0175
0.9569
0.9507
0.5212
0.5242
93.74
38.15
0.0100
263.79
0.0210
0.0184
0.9590
0.9531
0.5202
0.5231
93.74
38.17
0.0105
263.81
0.0220
0.0193
0.9608
0.9552
0.5193
0.5220
93.74
38.18
0.0110
263.83
0.0230
0.0201
0.9625
0.9572
0.5185
0.5211
93.74
38.18
0.0115
263.85
0.0240
0.0210
0.9641
0.9590
0.5177
0.5202
93.74
38.19
0.0120
263.86
0.0250
0.0219
0.9655
0.9606
0.5170
0.5194
93.74
38.20
0.0125
263.88
0.0260
0.0228
0.9668
0.9621
0.5164
0.5187
93.74
38.20
0.0130
263.89
0.0270
0.0236
0.9681
0.9635
0.5158
0.5180
93.74
38.21
0.0135
263.90
0.0280
0.0245
0.9692
0.9648
0.5152
0.5174
93.74
38.21
0.0140
263.91
0.0290
0.0254
0.9703
0.9660
0.5147
0.5168
93.74
38.22
0.0145
263.92
0.0300
0.0263
0.9713
0.9672
0.5142
0.5162
93.74
38.22
0.0150
263.93
0.0310
0.0271
0.9722
0.9682
0.5138
0.5157
93.74
38.23
0.0155
263.93
0.0320
0.0280
0.9731
0.9692
0.5133
0.5152
93.74
38.23
0.0160
263.94
0.0330
0.0289
0.9739
0.9701
0.5129
0.5148
93.74
38.23
0.0165
263.95
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
γf
M1 (kip-in)M2 (kip-in) φ (pulg -1) M (kip-in)
εst
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– CURVATURA
DE UN PERFIL DE ACERO
8.
CONCLUSIONES
-
Mediante el diagrama momento – curvatura podemos predecir el comportamiento a la flexión de una sección de acero estructural.
9.
BIBLIOGRAFÍA
-
Jack C. McCormac – Stephen F. Csernak. Diseño de Estructuras de Acero. (2013).
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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