14_Análisis Combinatorio

Análisis Combinatorio

Objetivo  Al naliza nalizarr el presen presente te capítu capítulo lo el el alumno alumno estará en la capaci capacidad dad de: •

Responder cuáles son las técnicas de conteo y que son permutaciones y

combinaciones. •

Comprender que los conceptos que aprenderá se pueden aplicar para resolver problemas en nuestra vida diaria y que también tienen aplicación

en otras áreas de la matemática como la estadística.

Marco Teórico Si tengo 3 esferitas diferentes, ¿de cuántas maneras distintas se pueden alinear?

Si tenemos t enemos a los alu alumnos mnos “A” “A” , “ B” y “ C” C”,, ¿de ¿de cuá cuántas ntas ma manera neras s distintas se puede formar una pareja?  A

, ,

B

C

, ,  A

C

A

B

B

C

6 maneras

,

,

3 maneras

PrinciPios funDamentales De conteo En los ejemplos anteriores nos damos cuenta que dado un evento particular  (alinearlas 3 esferitas o formar una pareja), estamos interesados en conocer  todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos

casos.

1. Principio de Multiplicación ( Teorema fundamental fundamental del análisis combinatorio) Si un evento «A» ocurre de «m» maneras; y para cada una de éstas, otro evento «B» ocurre de «n» maneras; entonces el evento «A» seguido de «B» ocurre de «mxn» maneras.

Observaciones: •

En este principio la ocurrencia es uno a continuación del del otro, es decir decir

Observaciones: •

En este principio la ocurrencia es uno a continuación del del otro, es decir decir,,

ocurre el evento «A» y luego ocurrre al evento «B» •

Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.

Ejemplos:

Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente?

Resolución: Lanzar una moneda y lanzar lanzar un dado: 2 x 6 = 12

2. Principio de Adición Si un evento «A» ocurre de «m» maneras y otro evento «B» ocurre de «n» maneras, entonces enton ces el evento A o B, es decir, no simultáneamente, ocurre de «m+n» maneras.

Observaciones: •

En este principio la ocurrencia no es simultáneamente, es decir decir,, ocurre el

evento «A» o el evento «B», pero no ambos a la vez. •

Este principio se puede generalizar para más de 2 eventos.

Ejemplo: Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir entre el transporte

por bus o tren. Si hay tres rutas para el tren y dos para el bus. ¿De cuántas maneras podremos escoger?

Permutación Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos

los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación si interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos:

1. Permutación Lineal Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos, A = {a, b, c, d}, los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son: a ..............

b ..............

c ..............

d ..............

a ..............

b ..............

c ..............

d ..............

a ..............

b ..............

c ..............

d ..............

Vemos que hay 12 permutaciones distintas.

En general: El número de permutaciones de «n» elementos diferentes tomados de «K» en «K», se calcula como: PKn

=

n! (n − K)!

;

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