14 EJERCICIOS RESUELTOS

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FUNDACIONES PROBLEMAS RESUELTOS

INDICE

I

Pág. Fundaciones Superficiales......................................................................................3 - Capacidad de soporte del suelo..........................................................................4 - Dimensionamiento por Capacidad de soporte....................................................33 - Asentamiento y Giro.........................................................................................49 - Dimensionamiento por Asentamiento y Giro.....................................................67 - Capacidad de soporte con Asentamiento y Giro................................................71 - Dimensionamiento por C. de soporte , Asentamiento y Giro.............................78

II

Dimensionamiento y diseño de zapatas aisladas..................................................93

III

Dimensionamiento y diseño de zapatas combinadas..........................................121

IV

Viga en medio elástico.........................................................................................156

V

Fundaciones Profundas........................................................................................207

I FUNDACIONES SUPERFICIALES

CAPACIDAD DE SOPORTE 1.1.) Se desea fundar un muro sobre el terreno indicado. a) Determine la carga máxima P ton por metro lineal de muro, en el corto plazo. b) Idem, en el largo plazo P relleno de hormigón pobre

NF

= 2.2 t/m3

relleno heterogéneo = 1.7 t/m2

2m

qadm B=1.2m

= 2.7 t/m3 e = 0.5 qu = 2 kgf/cm2 (*) ‟ = 25o c‟= 1 t/m2

s

manto arcilloso saturado de espesor indefinido

(*) Resistencia media a la compresión simple Desarrollo: a) Carga por metro lineal de muro en el corto plazo. qult =qhundimiento = cNc+qNq+0.5 BN

qNq= resistencia debido a la sobrecarga que rodea a la cimentación 0.5 BN = resistencia por el peso del terreno (empuje pasivo) El estado inicial de tensiones en una arcilla saturada se representa por un ensayo triaxial no consolidado sin drenaje (UU).

= 0o C

resistencia al corte sin drenaje c = u =1/2*qu resistencia a la compresión simple c = 10 t/m2 =0 Nq = 1 , Nc = 5.5 y N = 0 luego qult = cNc+qNq

qadm = qult/FS = cNc/FS1+qNq/FS2 ( ) FS1 = 3 FS2 = 1 q = *Df=1.7*2=3.4 t/m2 qadm = P/(B*1)+ horm*Df*1 ( )

donde P/(B*1) es la presión máxima considerando 1 m lineal de muro

Igualando ( ) y ( ) se obtiene que: P = 20.8 ton b) Idem en el largo plazo. c‟ y ‟ obtenido de ensayo triaxial consolidado drenado. Al disiparse las presiones de poros, tendremos un ángulo de roce: c‟ = 1 t/m2 , ‟ = 25o qult = cNc+qNq+0.5 BN = 1*21+1.7*2*11+0.5* b*1.2*7.2 donde b

entonces

=

sat.- w

= (Ps+Pw)/Vt = (2.7+0.5)/1.5 = 2.13 t/m3 3 b = 2.13-1=1.13 t/m sat

qadm = qult / FS = 21/FS1+37.4/FS2+4.88/FS3 con

FS1 = 3

y FS2 = FS3 = 1

qadm = 49.3 t/m2

qadm = P/B+ horm*Df*1 =49.3 P = (49.3-2.2*2)*1.2 P = 53.9 ton

1.2.) Dado un terreno con un material de fundación conformado por un profundo estrato arcilloso saturado. Determine la “capacidad de soporte última” para una zapata corrida, puesta en la superficie. Ensayos en condiciones no drenadas, sobre muestras tomadas en una profundidad representativa, entregaron valores promedios de: c = 6 t/m2 = 0o Desarrollo: qult = cNc+qNq+0.5 BN puesto que en la superficie = 0o N =0

q = *H = 0

qult = cNc = 6*5.14 = 30.84 t/m2

1.3.) Determine qult por capacidad de soporte en la fundación corrida indicada en la figura para : a) caso en que la presión de poros en la arena aumenta en 30% por sobre la presión hidrostática debido a un sismo y b) caso normal.

1.5m Arena seca = 1.8 t/m2 1.5 m qult=?

NF

Zp * P Desarrollo: a) qult = 0.5 b‟BN +qsNq

Arena saturada 2 sat = 2.2 t/m c=0 = 35o Presión de poros en P = 1.3 wZp para

= 35o

N = 42 Nq= 41 ‟= Peso boyante equivalente= -1.3 = 0.9 t/m2 b sat w qult = 0.5*0.9*1.5*42 + 1.8*1.5*41 = 28.4 + 110.7 139 t/m2 qult = 14 kgf/cm2 b) Para el caso normal. qult = 0.5*(2.2-1)*1.5*42+1.8*1.5*41 = 37.8+110.7 = 148.5 t/m2 = 15 kgf/cm2

1.4.) Un galpón de una estructura metálica de 50 metros de longitud, tiene en un extremo un eje resistente cercano a un talud. a) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en las vecindades del talud. b) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en el extremo más alejado del talud. b B b=4m B=2m D=1m do= 0.5 m = 2.2 t/m3

H=7 m

do = 40° c = 3 t/m2

Desarrollo: a) Determinación de la carga última del suelo, zapata continua. B = 2 m < H = 7m D/B = 1/2 = 0.5

NF

= 40° do= 0.5 m B H implica caso I de ábaco No =0 do B implica interpolar entre ecuación (1) y (2) Ecuación (1) qult = cNcq+0.5 tBN q Cálculo de Ncq: b/B = 2 = 40o D/B = 1 Ncq = 6.6 D/B = 0 Ncq = 5.2 D/B = 0.5 Ncq = (6.6+5.2)/2= 5.9 Cálculo de N q: b/B = 2 = 40o D/B = 1 N q = 120 D/B = 0 N q = 60 D/B = 0.5 N q = (120+60)/2= 90 En (1) do > B qult = cNcq+0.5 bBN q Ncq y N q no cambian do = 2 do = 0 do = 0.5

qult = 3*5.9+(2.2-1)*2/2*90 = 126 t/m2

qult = 216 t/m2 qult = 126 t/m2 qult = 149 t/m2

b) Idem sin efecto del talud, sacar un equivalente

= 40o

qult = cNc+ DNq+0.5 eqBN supuesto zapata continua Nc = 85 Nq = 70 eq*B

= t*do+ b*(B-do)

N = 100 eq

= 1.45 t/m3

qult = 3*85+2.2*1*70+1/2*1.45*2*100 = 554 t/m2 qadm = 185 t/m2 1.5.) Determinar la capacidad de soporte del suelo para las siguientes condiciones. = 33o P = 60 ton 2 c = 0.9 t/m Mx = 15 t*m P 3 = 1.85 t/m My = 24 t*m My Df = 2 m 2m

35*40cm

L=3m x 2.5m

Desarrollo : qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 BN S d Como existe excentricidad: A‟ = B‟*L‟ B‟ = 2.5-2.24/60 = 1.7 m L‟ = 3-2.15/60 = 2.5 m Se debe usar la ecuación de Hansen, con B‟ en vez de B, y los factores también, excepto D/B = 33o Nc = 38.6 Nq = 26.1 N = 35.2 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/L‟) = 1+(26.1/38.6)*(1.7/2.5) = 1.46 dc = 1+0.4*2/2.5 = 1.32 Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(1.7/2.5)*tg33= 1.44 dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1.22 S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*1.7/2.5 = 0.73 qult = 0.9*38.6*1.46*1.32+2*1.82*26.1*1.44*1.22+0.5*1.85*1.7*35.2*0.73 = 66.95+169.65+40.41 = 277 t/m2 qadm = 277/3 = 92.34 t/m2 b) Vult = qult*B‟*L‟ = 277*1.7*2.5 = 1177 ton Vadm = 392 ton

1.6.) Se ensaya un suelo cohesivo a compresión no confinada, obteniéndose los siguientes valores: qu : ensayo de compresión no confinada (unconfined) = 3.93 4.34 3.72 4.48 4.83 4.27 4.07 t/m2 Estime la capacidad de soporte para una zapata corrida en la superficie. Desarrollo: qu(promedio) = 4.2 t/m2 = 0o qult = capac. de soporte última = cNc en que: c = qu/2 y Nc = 5.7 (Terzaghi) qult = 12.1 t/m2 1.7.) Una zapata corrida se funda en un estrato de arcilla saturada. c = 5.4 t/m2 Df = 2 m = 1.76 t/m3 Determinar la capacidad de soporte última.

Desarrollo: El peso del suelo a los lados de la zapata, incrementan la capacidad del suelo para soportar la presión de la zapata sin que ocurra falla plástica. qult = cNc+ ZNq en que: c= 5.4 t/m2 Nc( =0)= 5.7 = 1.76 t/m3 Z=Df= 2 m Nq( =0)= 1 qult = 30.78+3.52 = 34.3 t/m2

1.8.) Estime la capacidad de soporte última para una zapata corrida de las siguientes características: B = 1.5 m = 1.76 t/m3 Df = 4 m c = 13.8 t/m2 =0 Desarrollo: =0 Nc= 5.7 Nq= 1 N=0 qult = c*Nc+q*Nq en que q= *Df=1.76*4 =7.04 t/m2 qult = 78.7 + 7.04 = 85.7 t/m2

1.9.) Para la zapata corrida mostrada, determine las características de soporte a partir de la teoría de Terzaghi y compare los resultados con la teoría de Meyerhof. Datos: = 1.7 t/m3 B = 1.2 m c = 2.6 t/m2 Df = 2 m o = 28 Desarrollo: Cuando existe fricción entre partículas, el peligro de la falla por corte se reduce. qult = cNc +qNq+0.5 BN en que : = 28o ( Terzaghi ) Nc = 34 Nq = 18 N = 18 qult = 88.4+61.2+194.4 = 344 t/m2 = 28o ( Meyerhof ) Nc = 28 Nq = 18 qult = 72.8+61.2+14.3 = 148.3 t/m2

N = 14

1.10.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso: B = 1.5 m c = 8.38 t/m2 Df = 9 m = 15o = 1.84 t/m3 zapata corrida Desarrollo:

qult = cNc +qNq+0.5 BN q = *Df = 9*1.84 = 16.56 t/m2 = 15o ( Meyerhof ) Nc = 33

Nq = 9.5

N = 6.2

qult = 276.54+157.32+8.56 = 442 t/m2 1.11.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso: B = 1.2 m c=0 Df = 7 m = 30o = 1.71 t/m3 zapata corrida Desarrollo : Por tratarse de un suelo cohesivo el primer término de la ecuación de soporte es nulo (cNc = 0): qult = ZNq+0.5 BN Para suelos granulares Meyerhof combinó los efectos de Nq y N e introdujo un factor de soporte N q q = 0.5 BN q El valor de N q es directamente proporcional a la profundidad y al coeficiente de empuje del suelo en reposo Ko

3000

Df/B = 7/1.2 = 5.8

6

2000

Nq

Nq

300

1000

qult = 0.5*1.71*1.2*300 = 310 t/m2 0

10

20

30

40

Df/B Factores de soporte para suelos granulares ( = 30o) 1.12.) Determinar en que % disminuye la capacidad de soporte para la zapata corrida para las condiciones de suelo seco y saturado por inundación. B = 1.5 m = 1.84 t/m3 Df = 0 m = 17o Desarrollo: La reducción en la capacidad soporte debido a inundaciones temporales es propia

de suelos granulares. Para suelos cohesivos , debido a su baja permeabilidad el proceso de saturación es muy lento y menor que el tiempo en que se produce la inundación. Para suelos granulares el agua no tiene un gran efecto en , pero si lo tiene en las presiones efectivas que dan la resistencia al corte del suelo. Como la fundación está en la superficie Df= 0 *Df= 0 qult = 0.5 BN en que: N ( =17o) = 3 qultseco=0.5*1.84*1.5*3 = 4.14 t/m2 Para suelo saturado: 2 qultsat = 0.5*0.84*1.5*3 =1.89 t/m2 b = 0.84 t/m 4.14/100 = 1.89/x x = 45.6 % 46 % hay una reducción de un 54 % En general la saturación produce una disminución de un 50 % en la capacidad de soporte de un suelo granular. 1.13.) Determine el qadm de una zapata corrida para las siguientes condiciones : Df = 0.9 m = 1.56 t/m3 c = 4.7 t/m2 La edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales. Desarrollo : qult = cNc+ DfNq+0.5 BN = 0o ( Meyerhof )

Nc = 5.53

Nq = 1.0

N =0

Como la edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales es razonable adoptar un F.S. = 3. qadm = qult/3 = (cNc+ DfNq)/3 = (4.7*5.53+1.68*0.9)/3 qult = 8.66+0.50 = 9.2 t/m2 1.14.) Un ensayo (CU) entrega las siguientes propiedades para un suelo de fundación. c = 0.96 t/m2 = 1.93 t/m3 = 20o Este suelo soporta una pila circular = 4.5 m a una profundidad de 2.4 m La carga sobre la pila es concéntrica P = 310 ton Determinar el F.S. una vez que haya finalizado el proceso de consolidación. Desarrollo: La consolidación de un estrato de arcilla toma varios años. Al final las propiedades son las medidas en una probeta ensayada en condiciones CU Para

= 20o (Terzaghi)

Nc = 18

Nq = 9

N =4

Para una fundación circular, los factores 1.3 y 0.3 se usan en el primer y último término en vez de 1.0 y 0.5 respectivamente.

qult = 1.3cNc+ ZNq+0.3 BN La carga última neta es : qultn = 1.3cNc+ ZNq - Z+0.3 BN = 1.3*0.96*18+1.93*2.4*9-2.4*1.93+0.3*4.5*1.93*4 = 22.46+41.69+4.63+10.42 n qult = 69.9 t/m2 Agregando la fricción del suelo contra la superficie de la pila, en que la fricción es aproximadamente c/2 Q = 69.9* /4*4.52+0.5*0.96*2 *4.5*2.4 = 1111.7+32.57 =1144.3 ton La carga neta en la fundación es : Qn = P-2.4* /4*4.52*1.93 = 310-73.7 = 236.3 ton FS 1144.3/236.3 =4.84 5 Un valor suficiente si el asentamiento está controlado. 1.15.) Determinar la capacidad de soporte admisible si el suelo es arcilla con un coeficiente de compresibilidad: mv = 0.000522 m2/0.1ton = 0.00522 m2/ton Se acepta sólo un pequeño asentamiento. c = 4.8 t/m2 = 1.8 t/m3 = 8o Df= 2 m B = 1.2 m L=6m Desarrollo: Skempton propone: Nc(rectang.)= (1+0.2B/L)Nc(corrida) = (1+0.2*1.2/6)*Nc = 1.04*Nc El recíproco del producto de c y mv es : (4.8*0.00522)-1=39.9 40 esto coloca el material en el tipo de “blando” o N.C. y el F:S. para un asentamiento de 1” está en la región de 8. Usando los coeficientes de Terzaghi: = 8o Nc = 8 Nq = 3 N =2 qult = 1.04cNc+ ZNq - Z+0.5 BN = 4.8*8*1.04+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*2 = 39.9+10.8-3.6+2.2 = 49.3 t/m2 La capacidad de soporte admisible , considerando la sobrecarga de 2 m: qadm = 49.3/8 + 1.8*2 = 9.8 t/m2

Si usamos valores aproximados de Meyerhof, para fundaciones profundas (Df >B): Nc = 18 Nq = 3 N = 1.8 ref p195 La capacidad de carga neta: qultn = cNc+ ZNq- Z+0.5 BN = 4.8*18+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*1.8 = 86.4+10.8-3.6+1.94 qultn = =95.5 t/m2 1.16.) Para los siguientes datos: B = 28 ft = 8.5 m = 105 lb/ft3 = 1.68 t/m3 = 0o L = 84 ft = 25.5 m Zw = 8 ft = 2.4 m Df = 10 ft = 3.0 m cu = 0.22 ton/ft2 = 2.37 t/m2 a) Determinar la capacidad de soporte si la velocidad de aplicación de la carga es rápida en relación a la disipación de la presión de poros. Desarrollo: = 0o

Nc = 5.14

Nq = 1

N =0

qult = cNc c+qNq q+0.5 BN en que: = 1+(B/L)(Nq/Nc) = 1+(8.5/25.5)(1/5.14) c = 1.06 q=1 q = *D = 1.68*2.4 + (3-2.4)*0.68 = 4.44 t/m2 qult = 2.37*5.14*1.06+4.44*1 qult = 17.4 t/m2 b) Idem si la construcción es lenta y permite una disipación de presión. o cd = 0.04 t/ft2 0.43 t/m2 d = 23 c

qult = cNc c+qNq q+0.5 BN Nc = 18.05 c = 1.16

Nq = 8.66 q = 1.14

N = 8.20 = 0.87

qult = 0.43*18.05*1.16+4.44*8.66*1.14+0.5*0.68*8.5*8.2*0.87 = 9.0+43.83+20.62 qult = 73.5 t/m2

1.17.) Resuelva el problema 1.16.) si ahora el suelo está constituido por arena medianamente densa. 3 3 sat = 118 lb/ft = 1.89 t/m 3 3 hum = 100 lb/ft = 1.60 t/m Se analizaron muestras, y se sometieron a ensayo triaxial: = 1-5.5o*log( / 1)

en que : = 38 o es el ángulo de fricción para un esfuerzo normal medio 1 = 10.8 t/m2 Desarrollo : qult = cNc c+qNq q+0.5 BN en que : c=0 q = 1.60*2.4+0.89*(3-2.4) = 4.4 t/m2 1

Para determinar el esfuerzo normal medio, es necesario una estimación preliminar de la capacidad de soporte. Para este análisis preliminar suponemos : = 34 o Nc =42.16 Nq = 29.44 N = 41.06 q = 1+(B/L)tg = 1+(8.5/25.5)*tg34 = 1.22 = 1-0.4B/L = 0.87 qult = 4.4*29.44*1.22+0.5*0.89*8.5*41.06*0.87 = 158+135 = 293 t/m2 El esfuerzo normal promedio a lo largo de la superficie de falla: o = 1/4(qo+3q)(1-sen ) = 0.25*(293+3*4.4)*(1-sen34) = 33.74 t/m2 entonces representativo: = 38-5.5*log(33.74/10.8) = 35 o se repite el análisis con = 35 o: Nq = 33.30 N = 48.03 = 0.87 q = 1.23 qult = 4.4*33.30*1.23+0.5*0.89*8.5*48.03*0.87 = 180+158 = 338 t/m2 Como difiere poco del valor anterior, se acepta este valor. 1.18.) Para las características del problema 1.16.) (condiciones no drenadas), determinar la capacidad de soporte si el estrato de arcilla blanda está sobre un gran estrato de arcilla rígida (cu = 0.53 t/ft2 = 5.7 t/m2 ) que comienza a 4.9 m de profundidad. Desarrollo: qult= c1Nm+q = 1.68 t/m2 2.4m en que: c1 = 2.4 t/m2 3.0m NF B=8.5m

Razón de soporte K

L=25.5m

1.9m

K = c2/c1 = 5.7/2.4 = 2.4 B/H = 8.5/1.9 = 4.5

Cu=2.4 t/m2 Cu=5.7 t/m2

2

4 5.43

6 5.69

Nm = 5.72

3 2.4

5.59 5.49

6.00 5.81

qult = 2.4*5.72+4.44 = 18.2 t/m2 Nota: para el caso sin estrato rígido el qult = 17.4 t/m2 5 % de incremento 1.19.) Resuelva el problema 1.18.) suponiendo que la resistencia al corte del estrato superior es cu = 5.7 t/m2 y el estrato inferior es 2.4 t/m2 Desarrollo : qo= c1Nm+q en que : Nm = 1/ +K cNc = índice de punzonamiento = BL/ 2(B+L)H = 1.68 K = c2/c1 = 2.4/5.7 = 0.42 c = 1.06 Nc = 5.14 Nm = 1/1.68+0.42*1.06*5.14 = 2.88 qo = 5.7*2.88+4.44 = 20.9 t/m2 qo 21 t/m2 16 % de aumento con respecto al caso 1.18.) 1.20.) Para la siguiente situación , determine qo. = 1.60 t/m3 = 1.89 t/m3

3m

B=8.5 L=25.5

= 35 o

2m

9m

H=6 m Arcilla dura cu = 0.53 t/ft2 = 5.7 t/m2

Desarrollo: qo = qo”*exp 0.67(1+B/L)(H/B) qo” = capacidad de soporte que tendría una fundación similar desplantada en la interfase de los estratos qo” = cNc c+qNq

q

= 5.7*5.14*1.06+(1.6*2.4+0.898(9-2.4))*1 = 31.06+9.71 = 40.8 t/m2

qo

41 t/m2

El espesor crítico del estrato superior: (H/B)crít = 3ln(qo‟/qo”)/(2(1+B/L)) en que qo‟ = capacidad de soporte del estrato superior = 338 t/m2 ( del problema 1.43.) Hcrit = 3*ln(338/41)/(2*(1+8.5/25.5))*8.5 = 20.2 m 20 m > 9 m qo = 41*exp 0.67*(1+8.5/25.5)*(6/8.5) qo = 77 t/m2 1.21.) Problemas ( Terzaghi pgs.220-221) 1) Zapata continua B=2.4m c=2 t/m2 = 17o = 1.9 t/m3 Curva de asentamiento falla por corte general Df = 1.8 m qult = cNc+ DfNq+0.5 BN = 17o ( Terzaghi ) Nc = 12.34 Nq = 4.77 N = 2.08 qult = 2*12.34+1.9*1.8*4.77+0.5*1.9*2.4*2.08 = 24.68+16.31+3.99 = 45 t/m2 2) Zapata cuadrada B=3.0 m = 37o = 2 t/m3 Df = 0 , 0.6 , 1.5 , 3.0 , 4.5 qult = 1.3cNc+ DfNq+0.4 BN = 37o ( Terzaghi ) Nc = 55.63 qult = 2*Df*42.92+0.4*2*3*56.86 = 85.84*Df+136.45 t/m2 Df qult

0 13.6

0.6 18.8

1.5 26.5

3.0 39.3

Nq = 42.92

N = 56.86

4.5 52.3

= 1.76 t/m3 Ensayo de carga con una placa de 0.3*0.3 m2 La curva de asentamiento llegó a una tangente vertical para una carga de Q = 1600 kgf = 1.6 ton Determinar . 17.8 t/m2 q 2 qult = 0.5 BN = 17.8 t/m

3)

N = 67.3 38 o

4) Arena densa = 1.8 t/m2 Se efectúa un ensayo de carga usando una placa de 0.3*0.3m (sobrecarga = 0.6 m de suelo ) La rotura se produjo para P = 6 ton ¿Cual será la carga de rotura por unidad de área para una zapata cuadrada de 1.5 m situada a la misma cota ? 0.3m qult = DfNq+0.4 BN

6ton 0.6m

qult = 6/0.32 = 66.7 t/m2 66.7 = 0.6*1.8*Nq+0.4*1.8*0.3*N = 1.08*Nq+0.216*N 30o 35o 37o 40o Nq 18.4 33.3 42.9 64.2 N 18.1 40.7 56.9 95.5 qult 23.8 44.8 58.6 89.9 38o

38o 48.93 67.41 67.4

qult =1.08*48.9+0.4*1.8*1.5*67.4 = 52.81+72.79 = 126.6 t/m2

5) Losa de 30*30m Capa uniforme de arcilla blanda de 45 m de espesor. Para q= 22.5 t/m2 se produce la rotura del suelo. Se desea saber cual es el valor medio de la cohesión c de la arcilla. Dada la gran profundidad de la zona de equilibrio plástico se puede despreciar la consolidación de la arcilla producida antes de la rotura y suponer además que = 0 qds = 6.2*c c 0 3.6 t/m2

(Ec. 33.15)

1.22.) Para la fundación cuadrada de la figura, determine la capacidad de soporte admisible usando las ecuaciones de : a) Terzaghi V b) Hansen c) Meyerhof =1.76t/m3 Usar factor de seguridad igual a 3.0 =20o D=1.2m c=1.95t/m2 Desarrollo: Terzaghi Hansen Meyerhof

Nc 17.7 14.83 15

Nq 7.4 6.4 6.8

N 5.0 2.9 2.9

N‟c 11.8

N‟q 3.9

B N‟ 1.7

Fórmula gral. de Terzaghi: qult = cNc+qNq+0.5 BN para zapatas cuadradas: qult = 1.3cNc+qNq+0.4 BN El 0.4 sale de un factor de corrección tabla 6.3, lect. Shallow Foundation (Sowers) 0.5*0.9 = 0.45 0.4 qult = 1.3*1.95*17.7+1.76*1.2*7.4+0.4*1.76*B*5 t/m2 = 44.87+15.63+3.52*B = 60.5+3.52*B t/m2 qadm = qult/F.S. = qult/3 = 20.2+1.17*B t/m2 Si el suelo es suelto o muy blando c‟, N‟c , N‟q , N‟ en que;(p220 Terzaghi.) c‟ = 2c/3 = 2*1.95/3 = 1.3 qult = 1.3*1.3*11.8+1.76*1.2*3.9+0.4*1.76*B*1.7 = 19.94+8.24+1.2*B = 28.2+1.2*B qadm = qult/3 = 9.39 + 0.4*B t/m2 (corte local)

a) Terzaghi:

b) Hansen qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b en que: S : factor de forma d : factor de profundidad i : factor de inclinación g : ground factor, factor de inclinación del suelo b : factor de base qult = 57.7+26.77/B+1.53*B = 59.73+22.3*tg-1(1.2/B)+1.53*B

(D B) (D>B)

qadm = 19.2+8.9/B+0.5*B

(D B)

c) Meyerhof :

qult = 1.2cNc+ DfNq+0.4 BN = 1.2*1.95*15+1.76*12.2*6.8+0.4*1.76*B*2.9 = 35.1+14.36+2.04*B = 49.5+2.04*B qadm = 16.5+0.7*B

1.23.) Si la fundación del problema 1.22.) es de 1.5*1.5m y se somete a un momento que da una excentricidad de la resultante igual a 0.15 m, calcule la tensión de contacto admisible usando: a) el concepto de ancho útil B‟ y Meyerhof b) usando Hansen Usar un factor de seguridad igual a 3.0. Desarrollo: a) Concepto de ancho útil. Calcular la tensión de contacto admisible. B‟=B-2e = 1.5-2*0.15 = 1.2 m qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN

pero al usar el concepto de ancho útil: e V V

B‟

B

qult = cNc(1+0.3B‟/B)+ DNq+0.4 B‟N ult

contacto

=Vult/(B‟L) = qult

qult = 1.95*15*(1+0.3*1.2/1.5)+1.76*1.2*6.8+0.4*1.76*1.2*2.9 = 36.27+14.36+2.45 = 53.08 t/m2 qadm = 17.7 t/m2 (Meyerhof) b) Concepto de ancho útil usando Hansen qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b ii=gi=bi=1 Para D B : Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/B) = 1+(6.4/14.83)*(1.2/1.5) = 1.35 dc = 1+0.4*D/B‟ = 1+0.4*1.2/1.2 = 1.4 Sq = 1+(B‟/B)*tg = 1+(1.2/1.5)*tg20= 1.29 dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B‟ = 1+2*tg20*(1-sen20)2*1.2/1.2=1.32 S = 1-0.4*B‟/B = 1-0.4*1.2/1.5 = 0.68 d =1 qult = 1.95*14.83*1.35*1.4+1.76*1.2*1.29*1.32*6.8 +0.5*1.76*1.2*2.9*0.68*1 = 54.66+24.45+2.08 = 81.19 t/m2 qadm = 27.1 t/m2

(Hansen)

1.24.) Para las condiciones del problema 1.22.), pero para un = 22.5o calcular la capacidad de soporte. Desarrollo: Se aplica una interpolación lineal a los valores tabulados, de donde se obtienen los siguientes datos: = 22.5o Nc = 21.4 Nq = 10 N = 7.9 qult = 1.3*1.95*21.4+1.2*1.76*10+0.4*1.76*7.9*B = 54.3+21.1+5.6*B = 75.4+5.6*B qadm = 25.1+1.9*B

Este problema ilustra la alta sensibilidad del qadm al ángulo de fricción. 1.25.) De un ensayo a escala real, con los datos indicados, resultó un P = 186.3 ton. Compárelo con el resultado teórico, usando Hansen. Datos: 3 : B = 0.5 m b = 0.9 t/m c=0 Df = 0.5 m o = 42.7 (triaxial) L = 2.0 m Desarrollo: o plane strain = 1.1*42.7 = 47 Nq = 187 N = 300 qult = qNqSqdq+0.5 bBN S d 2 q= 0.93*0.5 = 0.47 t/m Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(0.5/2)*tg47= 1.27 dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1+2*tg47*(1-sen47)2*0.5/0.5=1.15 S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*0.5/2 = 0.90 d =1 qult = 0.47*187*1.15*1.27+0.5*0.93*0.5*300*1*0.9 = 128.4+62.8 = 191.1 t/m2 Pult = 191.1*0.5*2

Pult = 190 ton

1.26.) Determine la carga última que transmite un muro a una zapata corrida considerando el peso propio de la zapata, a) en el corto plazo Pu(t/m)=? b) en el largo plazo Datos: B= 0.8 m Df= 1.5 m 3 = 1.7 t/m (peso unitario seco) d 3 = 10% 1m sat = 2.1 t/m 2 o c= 1.5 t/m drenado = 25 o no drenado = 0 Desarrollo: qult = cNc+qNq+0.5 BN Corto plazo 1o) en el corto plazo tenemos un caso no drenado =0 Nc = 5.5 Nq = 1 N =0 2o)

qult = cNc+qNq en que: q = h*Df = 1.7*(1+ )*1.5 = 1.7*(1+0.1)*1.5 = 2.81 t/m2

3o) qult = 1.5*5.5+2.81*1 = 11.06 t/m2 qult = Pult/A A= 1*0.8 = 0.8 m2 Pult = 0.8*11.06 = 8.84 t/m2 4o) Considerando el peso propio, hay que descontar el q por peso propio de la zapata y sumar el q por peso propio del suelo. q(ppzapata)= (0.8*1.0*1.0*2.4)/(1*0.8) = 2.4 t/m2 q(ppsuelo) = (0.8*1*1)*1.7*1.1 /(1*0.8) = 1.87 t/m2 q = 1.87-2.4 = 0.53 5o) Teníamos qult = 11.06 t/m2 qultneto = 11.06-0.53 = 10.53 t/m2 6o) qultneto = Pult/A = Pult/0.8 Largo plazo 1o) En el largo plazo, 0 partículas 0 = 25o Nc = 21 2o)

Pult=0.8*10.53 = 8.42 t/m aumento de la presión efectiva de contacto entre Nq = 11

N =7

qult = cNc+qNq+0.5 bBN = 1.5*21+1.87*1.5*11+0.5*(2.1-1)*0.8*7 = 31.5+30.9+3.1 = 65.51 t/m2

3o) qultneto = 65.5+1.87-2.4 = 64.95 65 t/m2 4o) Pult = qultneto*A = 65*0.8 Pult = 52 t/m 1.27.) Calcule la capacidad de soporte admisible para la fundación indicada en la figura. V = 1.76 t/m3 = 20o 1.2 m c = 1.95 t/m2 1.5m B Desarrollo: Ya que los parámetros del suelo se ajustan bien a la teoría de Balla (cohesión baja), se usará su ecuación. Supondremos además que los parámetros del suelo no cambian en el suelo sumergido. Ya que el método de Balla requiere para su uso el conocer las dimensiones de la fundación, presentamos los resultados en curvas q v/s B , V v/s B, (V=qadmB2). Para B = 1.2 m D/b = 2 , c/b = 1.95/(0.6*1.76) = 1.85 se obtiene = 3.8

= 3.8 y = 20o : Nc = 26 Nq = 10 N = 21 y para este caso se tiene W‟ = 0.62 ya que d/B = 0.3/1.2 = 0.25 para

1 .0 0 .9

V W‟

0 .8 0 .7 0 .6

Df a

0 .5 0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

d /B

B

d

B 1 .0 0 .9

F a c to re s d e re d u c c ió n p o r u b ic a c ió n d e l n iv e l fre á tic o

0 .8

W 0 .7 0 .6 0 .50 0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

a /D f

qult = cNc+qNqW+ bN W‟ W=1 = 1.95*26+1.76*1.2*10+0.6*1.76*21*0.62 = 50.7+21.1+13.7 = 85.5 t/m2 qadm = 28.5 t/m2 Para B = 1.8 m: D/b = 1.2/0.9 = 1.33 c/b = 1.95/(0.9*1.76) = 1.23 de los ábacos, interpolando para D/b = 1 y 2 resulta = 3.5 con = 3.5 y = 20o : Nc = 23 Nq = 9 N = 18 qult = 1.95*23+1.76*1.2*9+0.9*1.76*18*0.58 = 44.9+19+16.5 = 80.4 t/m2 qadm = 26.8 27 t/m2

Para B = 3 m: D/b = 1.2/1.5 = 0.8 c/b = 1.95/(1.5*1.76) = 0.74 de los ábacos, interpolando para D/b = 0 y 1 resulta = 2.8

con = 2.8 y = 20o : Nc = 19 Nq = 8 N = 11 d/B = 0.3/3.0 = 0.1 W‟= 0.55 qult = 1.95*19+1.76*1.2*8+1.5*1.76*11*0.55 = 37.1+16.9+16 = 70 t/m2 qadm = 23.3 t/m2 qadm (t/m2) 28.5 27 23.3

B (m) 1.2 1.8 3.0

qadmB2=V (ton) 41 87 210

3.0

qadm (t/m 2 ) 2.5

2.0 0

1

2

3

B (m) 1.28.) Determine la longitud de la fundación para una carga de 1000 ton, aplicada a una inclinación de 10o con respecto a la vertical. Arcilla sobre-consolidada = 1.72 t/m3 c = 1.34 kgf/cm2

3m

Desarrollo: B=4m o Para una inclinación de 10 la capacidad de soporte se reduce. Meyerhof desarrolló una teoría basada en resultados experimentales. para 10o Ncq 6 Si suponemos que se trata de una zapata corrida: qult = c*Ncq = 13.4*6 = 80.4 t/m2

cepa de puente

Agregando la presión ejercida por 3 m de suelo, la capacidad de soporte última queda: qult = 80.4 +3*1.72 = 85.6 t/m2 Usando un F.S. = 6 (Skempton) qadm = 80.4/6+3*1.72 = 18.56 t/m2 L = 1000/(18.56*4) = 13.5 m 14 m La capacidad de soporte de una fundación rectangular es mayor a la de una zapata corrida en el factor (1+0.2B/L) (Skempton) 1+0.2B/L = 1+0.2*4/14 = 1.06 como se trata de un pequeño aumento nos quedamos con L = 14 m 1.29.) a) Determinar la capacidad de soporte para la situación indicada: L>>B =27o o = 35 c = 10 t/m2 3 1.5m w = 1.95 t/m (Ref. fig.3a Navfac p.133) 1.2m

D/B = 1.5/1.2 1.0 qult = cNcq+0.5 BN q en que: Ncq = 3.3 y N q = 48 = 10*3.3+0.5*1.95*1.2*48 = 33+56.2 = 89.2 t/m2 qult 90 t/m2 b) Idem a a) pero carga vertical. qult = cNc+ DNq+0.5 BN en que : Nc = 52 Nq = 36 N = 40 qult = 10*52+1.95*1.5*36+0.5*1.95*1.2*40 = 520+105.3+46.8 = 672 t/m2 c) Usando la fig. 3a del Navfac resuelva. B=1.2m

qult = cNcq+0.5 BN q en que: Ncq = 6.1 y N q = 80

1.5m = 18o

qult=10*6.1+0.5*1.95*1.2*80 = 61+93.6 = 154.6 t/m2 qult 155 t/m2

1.30.) Determinar la capacidad de carga del pilote de la figura: c= 7.2 t/m2 = 1.73 t/m3 = 10o

Desarrollo : Meyerhof propone fórmulas semi-empíricas para Nc y Nq para pilas pilas. De fig. 8.15: Nc = 25 Nq = 3.2

15 m

qult = cNc+qNq = 7.2*25+1.73*15*3.2 40 cm = 180+83 = 263 t/m2 Experimentalmente se ha encontrado que para el caso de pilas de hormigón 0.8c y para pilas de acero = 0.6 a 0.8c Qu = 263*0.42+4*0.4*15*0.8*7.2 = 41.2+138.2 Qu = 180 ton

1.31.) Un grupo de pilotes: L = 9 m c = 8.9 t/m2 =5o = 1.72 t/m3

= 0.25 m

1m 1m

Determinar F.S. mínimo para evitar “tilting collapse”·por falla por corte del grupo Desarrollo : =5 Nc = 15 y Nq = 1.7 (fig.8.15 p207) La carga última de cada pilote: qult = cNc+qNq = 8.9*15+9*1.72*1.7 =133.5+26.3 = 159.8 t/m2 Qult = D4/4*qult = 7.84 ton Si agregamos el roce en el manto del pilote: = 0.8c = 7.1 t/m2 Q( ) = 7.1* *0.25*9 = 50.3 ton Q(grupo) = 58.1*25 = 1454 ton

= 58.1 ton

Pero la capacidad de carga última de un grupo de pilotes se obtiene tratando al conjunto como una fundación cuadrada. Nc = 8 y Nq = 1.6 (fig.8.15) cNc+ ZNq = 8.9*8+1.72*9*1.6 = 71.2+24.8 =96 t/m2 Agregando la resistencia por fricción se tiene: Qult = 96.0*c.s.área del grupo+ *Asgrupo = 96.0*42+7.1*4*9 = 1536+256 = 1792 ton

Terzaghi y Perk han señalado que la carga de diseño (carga admisible en cada pilote multiplicada por el número de pilotes) debe ser 1/3 si se desea evitar el colapso. 1792/3 = 597 F.S.mín = 1454/597 = 2.4 1.32.) a) Determinar la carga última suponiendo que la zapata se carga rápidamente y que el suelo está saturado. = 47 % = 2.72 t/m3 Usar ecuación de Hansen NF suelo arcilloso saturado c = 11.4 t/m2 = 0o

1.5m =3.0m

b) Suponga que la carga obtenida en a) se aplica muy lentamente. Se pide calcular el F.S. para esta situación considerando que ahora el suelo de fundación posee: c= 4.6 t/m2 = 20o Desarrollo: 2 a) Sr = 1 = 47 % P /Ps = 0.47 s = 2.72 t/m = P/V

P Vt

Vt = 1 m3 Vt = Vv+Vs

Ps

1= P / +Ps/ s = 0.47*Ps+Ps/2.72 0.837*Ps Ps = 1.194 y P = 0.561 Vs = 1 m3 Ps = 2.72 ton P = 0.47*2.72 = 1.28 Vv = V = 1.28 3 sat = (2.72+1.28)/(1+1.28) = 1.755 t/m El suelo actúa como si su densidad tuviera el valor de la densidad sumergida. Para condiciones no drenadas la ecuación de Hansen: qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q en que: c = 11.4 t/m2 S‟c = 0.2B/L = 0.2*1 = 0.2 d‟c = 0.4D/B = 0.4*1.5/3 = 0.2 i‟c = 0 (H=0) b‟c = 0 g‟c = 0 qult=qhundimiento = 5.14*11.4*(1+0.2+0.2) = 82.03 t/m2

Phundimiento= 82.03*32 = 738 ton b)

738*F.S./A = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d en que: c = 4.6 t/m2 Nc = 82 Nq = 72 N = 100 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(72/82)*(3/3) = 1.88 dc = 1+0.4*D/B = 1+0.4*1.5/3 = 1.4 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(3/3)*tg40= 1.84 dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg40*(1-sen40)2*1.5/3=1.11 S = 1-0.4*B/L = 1+0.4*3/3 = 0.6 d =1 0.5 B = 0.5*(1.755-1)*3 = 1.13 sustituyendo: 738*F.S./(3*3)=4.6*82*1.88*1.4+0.755*1.5*72*1.84*1.11+1.13*100*0.6*1 82*F.S. = 992.8+166.5+67.8 F.S. = 15 c) Considere ahora que la arcilla está fisurada. Desarrollo: Es posible que a largo plazo las fisuras se abran y desaparezca la cohesión a lo largo de ellas. c=0 738*F.S./9 = 166.5+67.8 F.S. = 2.9 1.33.) Calcule la máxima presión que puede transmitir la base de la zapata al terreno para tener un coeficiente de seguridad al hundimiento igual a 3. Suponga que todo el estrato tiene un grado de saturación Sr = 30 %= cte. Datos: 3 e = 0.5 = 35o = 1.83 t/m3 s = 2.6 t/m c=0 Df = 0.8 m B=2m L=2m Desarrollo: = 35 o Nq = 35 N = 40 la ec. de Hansen: qult = qNqSqdq+0.5 BN S d en que : q = *D = 1.83*0.8 = 1.46 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(2/2)*tg35= 1.7 dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg35*(1-sen35)2*0.8/2=1.10 S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*2/2 = 0.6 d =1 qult = 1.46*35*1.7*1.1+0.5*1.83*2*40*0.6*1 = 95.82+43.92 = 139.7 t/m2 qadm(F.S.=3) = 46.58

47 t/m2

1.34.) a)Repetir el problema 1.33.) pero con la variación que una vez construida se le coloca un relleno compactado de 0.8 m de altura y = 1.8 t/m3. b) Repetir el cálculo anterior suponiendo que el nivel freático sube hasta la base de la zapata. c) Repetir b) usando la Fig. 2 del Nafvac DM7.2 p132, con la napa a 0.4 m bajo el sello de fundación. d) Suponer la napa a 0.5 m bajo la base de la zapata. Desarrollo: (Nafvac p131) qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN Determinación de hum h=0.8m Vt = Vo = Vv+Vs e = Vv/Vs = 0.5 =1.8t/m3 Sr = V /Vv Vs = 1 m3 Ps = 2.6 ton Vv = 0.5 m3 V = 0.3*Vv = 0.15 m3 P = 0.15 ton 3 hum = Ptot/Vtot = (2.6+0.15)/1.5 = 1.83 t/m = 35

Nq = 35

2.0 m

N = 40

qhun = qult = 1DNq+0.4 2BN en que: 3 = 1.8 t/m3 D = 0.8 m 2 = 1.83 t/m qhun = 1.8*0.8*35+0.4*1.83*2*40 = 50.4+58.6 = 109 t/m2 qadm(F.S.=3) = 36.3 t/m2 Notas: 1) En arenas la carga admisible está dada por los asentamientos y no por el qult. 2) En terrenos blandos o muy sueltos, la rotura será parcial. En terrenos densos la rotura será total ( = 40o). En nuestro caso asumimos rotura total. 1

b) qult = 1DNq+0.4 2BN = 50.4+0.4* b*2*40 Determinación de b 3 3 sat = (Pa+P )/Vt = 2.07 t/m b = 1.07 t/m qult = 50.4+0.4*1.07*2*40 = 50.4+34.2 = 84.6 t/m2 qadm(F.S.=3)= 28.2 t/m2 c) d = 0.4+0.8 = 1.2 m d/B = 1.2/2 = 0.6

Identifiquemos las fórmulas a usar en la figura 2: 1o) En una zapata cuadrada. 2o) Se cumple Df B 0.8 2.0 o 3 ) Se cumple: Df 0.17 2 < qadm M = 4*35/(3*2.3*(2.3-2*0.55)) = 17.1 t/m

Volcamiento: (B = 2.3 m) FS = MR/MV = (35*2.3/2)/19.33 = 2.1 > 2

O.K.

Con el estanque vacío B = 2.3 m ¡ Controla el volcamiento ! EC(2) = N + V + estanque lleno: B(m)

V(ton)

3 2.5 2.4 2.3 2.1

89.8 82.5 81.2 80.0 77.6

19.33/V=e 0.22 0.23 0.24 0.24 0.25

e/B 0.07 < 0.3 0.09 < 0.3 0.10 < 0.3 0.11 < 0.3 0.12 < 0.3

O.K.

1a Iteración B = 2.3 m B‟ = 1.82 m V = 80 ton k = 0.83 dc = 1.33 ic = 0.94 dq = 1.43 iq = 0.95 d = 1.0 i = 0.93 Fc = 11.26 Fq = 56.17 F = 3.75 qult = 71.2 t/m2 qadm = 23.7 t/m2 Verificación qadm e/B = 0.11 < 0.17 M = V/A*(1+6*e/B) = 80/2.32*(1+6*0.11) =25.1 t/m2 no cumple M > qadm 2a Iteración B = 2.4 m B‟ = 1.92 m V = 81.2 ton k = 0.81 dc = 1.32 ic = 0.94 dq = 1.42 iq = 0.95 d = 1.0 i = 0.93 Fc = 11.20 Fq = 55.80 F = 3.98 2 qult = 70.98 t/m qadm = 23.66 t/m2 Verificación qadm 2 2 M = V/A*(1+6*e/B) = 81.2/2.4 *(1+6*0.1) = 22.56 t/m O.K. M < qadm Verif. Volcamiento: FS = MR/MV = (81.2*2.4/2)/19.33 = 5.0 > 2 O.K. Conclusión: Usando Hansen EC(1) EC(2)

B 2.3 m B 2.4 m B = 2.4 m

controla volcamiento adm del suelo

3.b) Capacidad de soporte según Meyerhof alternativo con un factor de reducción Re = 1-(e/B)0.5 Para carga inclinada: qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 BN d i (p188 Bowles) kp ( =23) = 2.28

i = f( ) V tg = H/V = 1.84/V H

Estanque vacío : 1a Iteración B = 2.3 m B‟ = 1.19 m

V = 35 ton

= 3.01o

Nc = 18 Nq = 8.7 N = 4.9

dc = 1.35 dq = 1.16 d = 1.16

ic = 0.93 iq = 0.93 i = 0.76

Fc = 11.17

Fq = 45.18 qult = 60.85 t/m2 e/B = 0.24 1/6 M

F = 4.51 qadm = 10.3 t/m2

zonas en tracción

= 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*35/(3*2.3*(1.19)) = 17.1 > 10.3 t/m2

> adm hay que aumentar B 2 Iteración B = 2.6 m e = 0.50 B‟ = 1.60 m V = 38.85 ton e/B = 0.19 > 0.17 zonas en tracción M

a

dc = 1.29 ic = 0.94 Fc = 10.92 dq = 1.15 iq = 0.94 Fq = 44.75 d = 1.15 i = 0.78 F = 5.11 2 qult = 60.79 t/m Re = 0.56 qult = 34.19 t/m2 2 qadm = 11.4 t/m e/B = 0.24 > 1/6 zonas en tracción M

= 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*38.85/(3*2.6*(1.6)) = 12.45 > 11.4 t/m2 no cumple se debe aumentar B

3a Iteración B = 2.7 m e = 0.48 B‟ = 1.74 m e/B = 0.18 = 2.6o

V = 40.25 ton

dc = 1.28 ic = 0.94 Fc = 10.86 dq = 1.14 iq = 0.94 Fq = 44.64 d = 1.14 i = 0.79 F = 5.33 qult = 60.82 t/m2 Re = 0.58 qult = 35.17 t/m2 qadm = 11.72 t/m2 Verif. qadm: e/B > 0.166 = 1/6 zonas en tracción M

= 4*40.25/(3*2.7*(1.74)) = 11.42 < 11.72 t/m2

O.K.

El volcamiento ya está O.K. puesto que el FS (B = 2.3) = 2.1 > 2 B = 2.7 m para estanque vacío Estanque lleno:

1a Iteración B = 2.7 m e = 0.23 B‟ = 2.25 m e/B = 0.08 < 1/6

V = 85.25 ton = 1.24o

dc = 1.28 ic = 0.97 Fc = 11.20 dq = 1.14 iq = 0.97 Fq = 46.06 d = 1.14 i = 0.90 F = 6.08 qult = 63.34 t/m2 Re = 0.71 qult = 44.48 t/m2 qadm = 15.0 t/m2 Verificación qadm 2 2 2 M = V/A*(1+6*e/B) = 82.25/2.7 *(1+6*0.08) = 17.6 t/m > 15 t/m M

> qadm

2a Iteración B = 2.8 m e = 0.22 B‟ = 2.35 m e/B = 0.0796 < 1/6 dc = 1.27 ic = 0.97 dq = 1.13 iq = 0.97 d = 1.13 i = 0.90 2 qult = 63.29 t/m Re = 0.72 qadm = 15.14 t/m2

aumentar B V = 86.70 ton = 1.22o Fc = 11.12 Fq = 45.88 F = 6.29 qult = 45.43 t/m2

Verificación qadm 2 2 2 M = 86.7/2.8 *(1+6*0.0796) = 16.34 t/m > 15.14 t/m 3a Iteración B = 2.9 m e = 0.22 B‟ = 2.46 m e/B = 0.0755 < 1/6 dc = 1.26 ic = 0.97 dq = 1.13 iq = 0.97 d = 1.13 i = 0.90 2 qult = 63.25 t/m Re = 0.73 qadm = 15.29 t/m2

no cumple

V = 88.2 ton = 1.20o Fc = 11.04 Fq = 45.71 F = 6.50 qult = 45.87 t/m2

Verificación qadm 2 2 2 M = 88.2/2.9 *(1+6*0.0755) = 15.24 t/m < 15.29 t/m Con el estanque lleno se requiere B = 2.9 m

O.K.

(usando Meyerhof alternativo)

1.41.) Diseñar Df y B , a la capacidad de soporte, de la zapata cuadrada de un pilar sometido a una carga vertical de 250 ton y un momento de 25 t*m: El suelo es una arcilla residual compuesta de dos estratos.

El primer estrato es arcilla residual CH de 1 m de profundidad, blanda y con material orgánico. El segundo estrato es arcilla residual CH consistente y dura. c = 0.41 kgf/cm2 = 41 t/m2 250ton = 1.8 t/m3 = 19o 25t*m F.S.= 3 Df Desarrollo: Suponiendo que la carga se encuentra dentro del tercio central, con un diagrama de tensiones del tipo:

= V/BL+M/W = V/BL+M/(BL2/6) 2 3 (zapata cuadrada) M=V/B +6M/B = 250/B2+6*25/B3 = (250*B+450)/B3 Además: F.S.=qult/ máx qult=3 máx =(750*B+450)/B3 m

M

en que

B

M

Asi: qult = cNcFc+ DfNqFq+0.5 BN F donde Fc , Fq y F son factores de corrección debido a la forma de la zapata. qult= 4.1*Nc*1.2+1*1.8*Nq+0.5*1.8*B*N *0.6 se supuso Df = 1 m ya que a esta profundidad se encuentra un suelo mejor que el primer estrato. = 19o Nc = 16.74 Nq = 6.8 N = 4.5 qult = 82.36+14.69+2.43*B = 97.05+2.43*B t/m2 Igualando: (750*B+450)/B3=97.05+2.43*B desarrollando ..... B4+39.94*B3-308.6*B-185.2=0 tanteando con B=2.94 se tiene (-2.81=0) B 3m Verificación: e = M/V = 25/250 = 0.1 m = 10 cm B/6 = 3/6 = 0.5 m = 50 cm carga coincide dentro del tercio central (250*3+150)/27 = 33.3 t/m2 qult = 97.05+2.43*3 = 104.34 t/m2 máx=

F.S.= 104.34/33.3 = 3.13

se acepta este valor ya que asegura el desconocimiento y la mala calidad del primer estrato. = V/A(1 6e/B) = 250/9(1 6*0.1/3) V = 250 ton = 27.8(1 0.2) 2 2 2 A=B 9m M = 33.36 t/m

e = M/V = 225/250 = 0.1 m

m

= 22.24 t/m2

1.42.) Hallar las dimensiones para que la zapata mostrada tenga un F.S.= 3, según fórmula de Hansen. Datos: N=1000ton corte AA 3 : b = 2.2 t/m c = 2 t/m2 = 30 o Df 1.4B L = 1.4B m A A B Desarrollo: qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b Suponer Df B Nq = tg2(45+ /2)e tg =18.40 Nc = 30.14 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(18.4/30.14)*(B/1.4B) = 1.44 dc = 1+0.4*Df/B = 1+0.4*1.5/B = 1+0.6B ic =1 gc = 1 ( = 0) bc = 1 ( = 0) q = Df = 2.2*1.5 = 3.3 t/m2 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(B/1.4B)*tg30= 1.41 dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg30*(1-sen30)2*1.5/B=1+0.433B iq = 1 (H=0) gq = 1 ( = 0) bq = 1 (terreno horizontal) N = 15.1 S = 1-0.4*B/1.4B = 0.714 d =1 i = 1 (H=0) g = 1 ( =0) b =1 sustituyendo: qult = N*F.S./(B*L) = 1000*3/1.4B2 además qult=2*30.14*1.44*(1+0.6/B)+3.3*18.4*1.41*(1+0.433/B)+1.1B*15.1*0.714 luego : 2143/B2=86.8(1+0.6/B)+85.62(1+0.433/B)+11.86B 2143=86.8B2+52.08B+85.62B2+37.07B+11.86B3 11.86B3+172.42B2+89.15B-2143=0 B1= -12.86

B2= 3.0 m

B3= -4.6

B = 3.0 m L = 1.4*3 = 4.2 m Df

B

O.K.

la suposición inicial.

1.43.) Si al problema 1.42.) se le agrega una componente horizontal H = 200 ton que forma un ángulo de 20o con respecto al eje menor del rectángulo. Hallar el F.S. de la zapata proyectada. corte AA N=1000ton

4.2m x A

200 ton x

20

A

3.0m Desarrollo: Tenemos la siguiente situación: Caso I 1000ton 188ton

Caso II 68ton

3.0m

1000ton

4.2m

suponemos aplicación en el sello de fundación Análisis del caso I Varían los coeficientes y, de inclinación de la carga: ic = f(iq) iq = 1-0.5*188/(1000+3*4.2*2*cotg30) 5 = 0.624 ic = iq-(1-iq)/(Nq-1) = 0.624-(1-0.624)/(18.4-1) = 0.602 i = 1-0.7H/(V+A*c*cotg ) 5 = 1-0.7*188/(1000+3*4.2*2/tg30) 5 = 0.51

Volviendo a la fórmula de Hansen: F.S.*1000/(4.2*3) = 86.8(1+0.6/3)*ic+85.62(1+0.433)*iq+11.86*3*i 79.365*F.S.=62.704+61.138+18.146 F.S. = 1.79

1.8

1.44.) Si en el problema 1.42.) se agrega un momento de 500 t*m, que tiene como eje una de las diagonales, determinar el F.S. para esta situación.

Desarrollo: Mx = 500*cos = 290.6 t*m My = 500*sen = 407.1 t*m

M

=54.5o

Tenemos la siguiente situación: Caso I

1000ton 407t*m

Caso II

1000ton 291t*m

3.0m

4.2m

ey = 0.41 m

ex = 0.29 m

La carga de 1000 ton está descentrada y produce un momento de 500 t*m con respecto a la diagonal. e = M/N = 500/1000 = 0.5 m Hemos de considerar un área equivalente que tenga como centro de gravedad G.

3.0m 35.5 18.9

71.1

= 35.5o L‟=(L/2-0.5*sen35.5)*2 = 4.2/2-0.29 = 3.6 m B‟ =(B/2-0.5*cos35.5)*2 = 3/2-0.41 = 2.2 m Aplicando Hansen a este nuevo rectángulo: 1000*F.S./(2.2*3.6) = cNcScdcicgcbc +..... ic = i = 1 (carga vertical ) D/B‟ = 1.5/2.2 < 1 d =1 dc = 1+0.4D/B‟ = 1+0.4*1.5/2.2 = 1.27 dq = 1+2*tg30*(1-sen30)2*1.5/2.2=1.20 Sc = 1+(18.4/30.14)*(2.2/3.6) = 1.37 Sq = 1+(2.2/3.6)*tg30= 1.35 S = 1-0.4*2.2/3.6 = 0.76 sustituyendo:

qult = 2*30.14*1.37*1.27+3.3*18.4*1.35*1.2+1.1*2.2*15.1*0.76 = 104.88+98.37+27.77 = 231.0 t/m2 qult = N*F.S./A F.S.=231*2.2*3.6/1000 F.S.= 1.83 F.S.= qult/(N/A) es un factor de seguridad supuesto sólo para cargas verticales en que qult se obtiene con el área reducida y (N/A) es la carga solicitante dividida por el área reducida. 1.45.) Se hace un ensayo de carga sobre una placa de 1*1m, en un suelo arenoso. El hundimiento se produce para q= 20 t/m2 y arena = 1.8 t/m2. Se requiere construir un zapata de 3*3 m aplicando una presión q= 60 t/m2. Es necesario aumentar la resistencia al corte del suelo y se elige como método, inyecciones de cemento. Para dosificar el cemento se hacen una serie de pruebas consistentes en romper a compresión simple muestras del terreno inyectado. Se observa que la resistencia a compresión simple está ligada a la cantidad de cemento mediante la expresión: R = 160c R (kgf/cm2) c(t/m3) a) Determinar la dosificación a emplear si se quiere obtener un coeficiente de seguridad al hundimiento igual a 2 con respecto a las cargas a emplear. b) Resolver usando el coeficiente de Prandtl (Ref.tabla 13.1 G. y C. II) Desarrollo: Hansen: qult = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d ii=gi=bi=1 q=0 (zapata superficial) c=0 (arena) qult = 20 t/m2 20 = 0.5 BN S d en que: = 1.8 B=1m N = ? S = 1-0.4B/L = 0.6 20 = 0.5*1.8*1*N *0.6*1 N = 37.04 = 35 o ( gráfico Nafvac)

d =1

Adoptamos = 35 o , que se mantiene constante con la inyección de cemento, sin embargo ahora el suelo adquiere cohesión de modo que la fórmula de Hansen: qult = cNcScdc+0.5 BN S d = F*P/A (*) en que: F = 2 (enunciado) P/A = 60 t/m2 (enunciado) c= a partir de (*) Nc = 51 Nq = 33 N = 40 (Nafvac) Sc = 1.65 dc = 1.4 entonces sustituyendo en (*)

2*60 = c*5.1*1.65*1.4+0.5*1.8*3*40*0.6*1 120 = 117.6*c+64.8 c = 0.47 t/m2

Usando el círculo de Mohr, aplicado a un ensayo de comprensión simple.

R

c R

1

L

tg = c/L

L = 0.47/tg35 = 0.67

t/m2

R/c*cos = (L+R)/L LR/(c*cos ) = L+R 2 R = 0.91 1 = 2R = 1.81 t/m 0.181 = 160*c 1 = 160*c c = 0.00113 t/m2 = 1.13 kgf/m2 b)

= 35o

Nc = 46.12 Nq = 33.3 Sc = 1+(33.3/46.1)*1 = 1.72 dc = 1.4 S = 0.6 2*60 = c*46.1*1.72*1.4+0.5*1.8*3*32*0.6 120 = 111*c+51.8 c = 0.61 t/m2

N = 32

tg = c/L L = 0.61/tg35 = 0.88 LR/(c*cos ) = L+R R = 1.15 2R = 2.3 2 1 = 2.3 t/m 1 = 160*c 0.23 = 160*c c = 1.44 kgf/m3 ASENTAMIENTO Y GIRO 1.46.) Un edificio se apoya en dos líneas de zapatas aisladas, como se muestra en la planta indicada. Determine “mín” de modo de asegurar que no se producirá agrietamiento en el edificio. Datos: -Zapatas cuadradas rígidas

-Es = 1000 kgf/cm2 - Suelo de fundación:Arena densa - Cargas incluyen peso propio de las zapatas V=21ton



V=96ton 

eje A B=1.5m

eje B B=0.7m eje A

eje B

Desarrollo: Para que no se produzcan grietas, la distorsión angular está limitada a: / < 1/500 Por tratarse de un suelo de fundación constituido por arena densa, los asentamientos serán inmediatos y se pueden calcular usando teoría de elasticidad.

q*B* 2

2

1

*I

Es 2

qA = VA/B = 9.33 t/m BA= 150 cm = (Tabla p44 0.3 ) Es=1000 kgf/cm2 I = (zapata cuadrada rígida)= 0.99 (p36b) qB = 195.9 t/m2 = VA/B*(1- 2)*I /Es= 21000*(1-0.32)*0.99/(150*1000) = 0.13 cm 2 B = 96000*(1-0.3 )*0.99/(70*1000)= 1.24 cm A

 / > 500

 > 500*( B- A)  > 555 cm min = 5.6 m

 = /  < 1/500

1.47.) a) Determine el giro que tendrá la fundación rígida de la figura considerando que el módulo de reacción (K) en carga es igual al K en desgarga. b) Determine además la posición del eje de rotación si Edescarga =2Ecarga (K prop. a E) Ecarga = 500 kgf/cm2

= 0.3 M

vista lateral

V

Datos: -M = 5 t*m -N = 20 ton (incluye pp zapata) Nota: Verificar mín de contacto < 0 (usar teoría de elasticidad)

L = 3m

B=1m

Desarrollo: a) Giro de fundación para la zapata rígida mostrada. N M e=min=0.25 m e/B < 1/6 min A W 0.25/3=0.5/6 < 1/6 O.K. 2 2 3 = 20ton/3m - 5 t*m/(1/6*1*3 )m 2 O.K. min = 3.33 t/m > 0

M 1 2 * *I E B2 * L en este caso , para la fórmula B = 3 m y L = 1 m

I

0.2 3.3

M = 5 t*m I = 4.17 E = 5000 t/m2

0.4 4.6

1/3 4.17 1- 2 = 1-0.32 = 0.91 L*B2 = 1*32 = 9 ( L // vector momento)

= 5*0.91*4.17/(9*5000) = 0.42*10-3 rad = 0.042 b) Eje de rotación Ecarga = 500 kgf/cm2 Edescarga = 1000 kgf/cm2 Kcarga = E/((1- 2)*B*I ) x

zona desc.

Kdescarga = 2*E/((1- 2)*B*I )

zona carga

( Fv = 0 )

dFizq

dFder

dF = q*d = K* *x* d Kdescarga* *x* d

=

Kcarga* *x* d

I

D

R 3m

1m

2K

K

dx

R

0

3

2*K* *x* d

=

I

K* *x* d D

2

x* d

=

x* d

2(M.est.)izq = (M.est.)der

2*x*x/2 = (x-3)*1*1/2*(x-3) x2 = 1/2*(x-3)2 desarrollando se llega a: x2+6*x-9 = 0 donde x = 1.24 m 1.48.) Se desea calcular el asentamiento para la cepa de puente indicada para: t = 1, 2, 3, 5, 7 y 10 años. 2.6m Tabla de resistencias obtenidas con cono dinámico (qc) qc (kgf/cm2) 0 20 40 60 80 3 =1.6t/m Df 2.0m  B/2 1

NF



q=20t/m2

2

Arena

 

L = 23 m 3

El módulo propuesto por Schmertmann (1970) es: Es = 2*qc

4

5

Z

 

(m) 0.2

0.4

0.6

0.8

Desarrollo: Capa

Z (m)

qc (kgf/cm2)

Es (kgf/cm2)

Zc (m)

Iz

(Iz/E) Z (cm3/kgf)

Iz

1 2 3 4 5 6

1.0 0.3 1.7 0.5 1.0 0.7

25 35 35 70 30 85

50 70 70 140 60 170

0.5 1.15 2.15 3.25 4.0 4.85

0.23 0.53 0.47 0.30 0.19 0.055

0.46 0.23 1.14 0.11 0.32 0.023 2.283

Sabemos que : H = C1*C2* p* (Iz/Es)* Z en que p = incremento neto de presión C1 = 1-0.5*ps/ p ps = sobrecarga a nivel de sello de fundación = 1.6*2 = 3.2 t/m2 = 0.32 kgf/cm2 p = 20-3.2 = 16.8 t/m2 = 1.6 kgf/cm2 C1 = 1-0.5*0.32/1.68 = 0.9 C2 = 1+0.2*log(10t) H = 0.9* C2*1.68*2.283 = 3.452*C2 t C2 H

1 1.2 4.1

2 1.26 4.35 0

3 5 7 1.295 1.340 1.369 4.47 4.63 4.73 2

4

6

8

10 (años) 1.4 4.83 (cm) 10

0 -1 -2 -3 -4 -5

1.49.) Se tiene una probeta confinada saturada de las siguientes características: = 5.56 (cm) Ho = 10.06 (cm) eo = 0.7

H

Si se le aplica una carga vertical de 6 kgf/cm2 el índice de huecos se reduce a 0.45 ; calcule H. Desarrollo: e = Vv/Vs e = Vv/Vs Vt = Vv = e*Vs

Vt = H*Area H = Vv/Area

= H/Ho =( Vv/ Area)/(Vo/Area)

e

= Vv/Vo = e*Vs/Vo Vo = Vv +Vs = Vs*(es+1)

/ *(Vs/Vs)

1

eo e

Cr

H/Ho = e*Vs/(Vs*(1+es) H = e*Ho/(1+es) Cc = - e/ log

log f

e = -Cr(log f-log o)

log

etc.....

H = ((0.7-0.45)/1.7)*10.06 = 1.5 cm 1.50.) Determine el asentamiento instantáneo para una zapata continua, apoyada sobre un suelo fino arcilloso no saturado. Datos: LL = 58% Tipo de suelo: Arcilla moderadamente consolidada IP = 25% OCR < 3 c = 5 t/m2 = 0.5 Fundación rígida qult = 35 t/m2 q = 12 t/m2 B = 2.0 m Desarrollo : 2 D = q*B*(1- )*I/Eu en que: q = 12 t/m2 B = 2 m = 0.5 Eu/c=600 Eu = 600*5 =3000 t/m2 (Tabla 2 ) I=2 (Tabla 1 , length/width 10 ) D

= 12*2*(1-0.52)*2/3000 = 1.2 cm

1.51.) Una losa de fundación de 21*55m, soporta una estructura cuyo peso produce una carga uniforme a transmitir q= 6.1 t/m2. El suelo de fundación (arcilla saturada) posee un E = 3900 t/m2 y = 0.5. Estime el asentamiento inmediato al centro y en la esquina de la losa. Desarrollo: = q*B*(1- 2)*I/E en que: q = 0.61 kgf/cm2 L/B = 55/21 = 2.62

= 0.5

E = 390 kgf/cm2

2 ....... 1.52 3 ....... 1.78 2.62...... 1.68 = 0.61*(1-0.52)*2100*Y/390 = 2.463*I

I = f( L/B, flex)

0.76 0.88 0.83

= 4.1 cm ( centro ) = 2.0 cm ( esquina ) 1.52.) Estime el asentamiento al centro, para la losa del problema 1.51.) y para el perfil estratigráfico que se indica. NF

Arcilla dura E = 3900 t/m

2

4.6 m

Arcilla blanda E = 1200 t/m2 10.7 m ROCA

(Enquisto)

Desarrollo: Considere a la roca como un estrato rígido y sobre esta un estrato único de 15.3m de espesor. H/B = 15.3/21 = 0.73 L/B = 2.62 H/B

L/B

0.5 1.0

2

3

0.47 0.83

0.47 0.83

I = 0.64

(centro) = 0.61*2100*(1-0.52)*0.64/E = 615/E (cm) 1.6 < < 5.1 cm Una primera aproximación es determinar un E equivalente: (390*4.6+120*10.7)/15.3= 200 kgf/cm2 = 3.1 cm 1.53.) a) Determinar el levantamiento que experimenta la zapata. (h=2m) = 7% (h=3m) = 5% 1.5m 1.8m Desarrollo: (fig.22 Nafvac DM 7.1) T

= 0.5

1o) Se confecciona un gráfico

máx(h2-h1)

(%) v/s Z(m)

=Z

Z(m) La ecuación : Z = -0.5 +5.5 máx=

h2 = 5.5 m (altura para la que el peso del suelo más la sobrecarga compensa la expansión)

8%

1.5 = 5.5-0.5 máx = 0.5*0.08*(5.5-1.5) = 0.16 m = 16 cm b) Si el asentamiento diferencial admisible es 2.5 cm, determinar la cantidad de suelo a remover. 0.5* máx*(5.5-hi) = 2.5 cm hi (m) (cm) máx (%) 2 4.5 0.1 3 4.0 2.25 3.1 3.95 2.40 3.2 3.9 2.56 hi a remover = 3.9 m en forma analítica = -2*Z + 11 = 0.11-0.02*Z 5.5

=

5.5

(Z)dZ h

0.025 =

(0.11-0.02*Z)dZ h

0..025 = 0.11*(5.5-h)-0.5*0.02*(5.52-h2) H = 3.92 m 1.54.) Determine para los siguientes datos: -pp(silo) = 4000 ton -peso grano= 8000 ton -arcilla saturada Cc = 0.2 Cs = 0.04 - esta arcilla ha sido preconsolidada por estratos que desaparecieron por erosión cuya

presión sobre el terreno era 3 kgf/cm2. - en la rama virgen la humedad de la arcilla consolidada con esa presión es 16%,siendo la densidad de las partículas 2.7. a) Si la placa distribuye la carga sobre el terreno de manera uniforme, hallar el asiento edométrico del punto central. Divida la masa de arcilla en estratos virtuales de 3 m de espesor. b) Determinar el asentamiento por consolidación probable, según el método de Bjerrum-Skempton. (ver p859 G. y C. II). c) Calcular el movimiento del punto central cada vez que se llena o desocupa el silo. Esta operación es muy rápida y no da tiempo a consolidación. La arcilla se compacta como un sólido elástico (E = 160 kgf/cm2). Desarrollo: 30 PC Determinación de ePC Vt=Vv+Vs Vs=1 m3 Ps=2.7 ton P = 0.16*2.7 = 0.43 ton 3 Vv=0.43 m ePC = 0.43/1 = 0.43

e e 0.43

Cs

Cc

log

log

log

c

Rama recarga: ePC = 0.43 m = Cs = 0.04 (pendiente) 30 PC e = 0.43+m*log c /log = 0.43+0.04*log( c / e=0.43+0.04*log(30/ ) Rama origen: e = 0.43-0.2*log(

/

c

e=0.43-0.2*log(

)

) /30)

Determinación de la variación de presiones efectivas en la vertical del centro, antes de la colocación de la carga: 3 sat = (Ps+P )/Vt = (2.7+0.43)/1.43 = 2.19 t/m 3 sum = b = 1.19 t/m

Variación de presiones con la profundidad: - presiones efectivas antes de colocar la estructura: = bZ = 1.19*Z - presiones inducidas por la estructura: según Steinhenner (G. y C. II, p221) o

= q*Ir (esquina) Ir = coeficiente de influencia ( del ábaco de Fadum) ( centro del rectángulo ) Z = 4*q*Ir Z

Z (m) 0 3 6 9 12 15 18

L/Z L=20m 6.67 3.33 2.22 1.67 1.33 1.11 Z

B/Z B=7.5m

Ir

Z 2

(t/m ) 20 19.2 17.6 13.8 11.2 9.6 8.4

0.25 0.24 0.22 0.173 0.14 0.12 0.105

2.5 1.25 0.83 0.63 0.50 0.42

o

(t/m2) 0 3.57 7.14 10.71 14.28 17.85 21.42

= 80*Ir (t/m2) 15 m

L=20m



3

B=15



6



9



12



15



18 z

A continuación se toman valores medio representativos de cada capa: m m (*) Capa z o      

(t/m2)

(t/m2)

(t/m2)

19.6 18.4 15.7 12.5 10.4 9.0

1.79 5.36 8.93 12.50 16.07 19.64

21.39 23.76 24.63 25.00 26.47 28.64

(*)Presiones medias de cada capa que se obtendrán una vez que hayan disipado las presiones de poros. = Vv/Vt = H/H (1) e = Vv/Vs (2) Vt = Vv+Vs = Vs(1+eo) (3) eo = índice de huecos asociado al peso propio. de (1), (2) y (3) : *Vt = e*Vs *Vs*(1+eo) = e*Vs e = (1+eo) = H/H H = e*H/(1+eo) Como 28.64 < 30 t/m2 estamos en la rama de recompresión: (**) e = 0.43+0.04*log(30/ ) (1) eo

(2) e

e

0.4790 0.4600 0.4510 0.4452 0.4408 0.4374

0.4379 0.4361 0.4354 0.4352 0.4342 0.4328

0.0411 0.0239 0.0156 0.0100 0.0066 0.0046

H (cm)

8.34 4.91 3.23 2.08 1.37 0.96 19.9 (1) obtenido con (**) y el correspondiente valor de (2) obtenido con (**) y el correspondiente valor de H = 20 cm b)

m o m z

+

m o

= * H = A+ *(1-A) A = 0.35 (arcilla sobreconsolidada) H/B = 18/15 = 1.2 = 0.35 = 0.58* H = 11.6 cm c c) Suponemos = 0.5 , arcilla saturada (incompresible) (ver G. y C. II p224) (centro) = 2 (esquina) (esquina)=qB(1- 2)K/E silo vacío: q = 4000/(15*40) = 6.67 t/m2 = 0.667 kgf/cm2 silo lleno: q = 12000/(15*40) = 20 t/m2 = 2.0 kgf/cm2 L/B = 40/15 = 2.67 K = 0.88 Centro: (q) = 1.2375*q (cm) (lleno) = 24.75 (cm) (vacío) = 8.25 (cm) c

= 16.5 (cm)

1.55.) Una cimentación tiene forma de cubo (arista=2 m), con paredes de 0.3 m de espesor (hormigón; =2.5 t/m3). El terreno es un estrato de arena de gran espesor. 3 3 3 Napa profunda máx=2.1 t/m mín = 1.4 t/m s = 2.65 t/m Los reconocimientos geotécnicos han dado los siguientes valores: Z(m) Nspt Rp (kgf/cm2) 1 20 50 2 30 100 4 45 130 8 rechazo 200 (Rp=resistencia estática del cono) Un ensayo de placa de 30*30cm, realizado a 2 m de profundidad, ha dado un asiento de 1/2” para q=3.5 kgf/cm2. Se pide: a)Estimar la densidad aparente media del estrato de arena, clasificando la arena según su densidad relativa. b) Estimar Padm por criterios de asentamiento según Terzaghi y Meyerhof. c)¿Cual sería el asiento correspondiente a la carga media entre ambos métodos, según el criterio de Terzaghi suponiendo proporcionalidad entre presiones y asientos en la placa de carga. Desarrollo: a) P 0 0.3

1 2 3 (m)

Representación gráfica de los resultados obtenidos en los reconocimientos geotécnicos

10

20

30

40

Nspt

50

1

1

3

3

5

5

7

7

z(m)

z(m)

100 150 200

Consideremos z = 3 m: N (z=3)= 37 R p(z=3)= 125 kgf/cm2 De tabla: N = 37 Id = 0.67 Id = 0.61 R p= 125 Tomemos Id = 0.65 arena densa = 1.79 t/m3 b) B= 2 m = 6.67 pies suponemos máx.adm(arena) = 1” Según Terzaghi: de tabla (p212 BIS) se tiene: B=6.7 pies y N=37 Padm 3.7 ton/pie2 1 ton/pie2 10.8 t/m2 3.7 ton/pie2 4 kgf/cm2 2 qadm 4 kgf/cm Según Meyerhof (1965) (p881 G. y C: II ) B=2 m > 1.2 m = 0.19p/N(B/(B+0.3))2 =cm p=KN/m2 B=m 2 2.54=0.19p/37(2/2.3) p= 654 KN/m2 = 65.4 t/m2 = 6.5 kgf/cm2

(cm)

qadm = 6.5 kgf/cm2 qadm=(Padm+ppfund)/Area (usemos Terzaghi) qadm = 4 kgf/cm2 = 40 t/m2 Área = 4 m2 ppfund = (23-1.43)*2.5 = 13.14 ton Padm = 40*4-13.1 = 147 ton Nota: La gráfica de Terzaghi fue propuesta analíticamente por Meyerhof: qadm = N /12((B+1)/B)2 = pulg B=pies

qadm=kgf/cm2

c)

q = (4.0+6.5)/2 = 5.25 kgf/cm2 = 52.5 t/m2 35 t/m2/52.5 t/m2 = 0.5 pulg/x pulg S/So = 4/(1+Bo/B)2 S = 4*0.75/(1+0.3/2)2 = 2.26”

x = 0.75 pulg

1.56.) Determinar el módulo de deformación del suelo a partir de los resultados del ensayo de placa. Utilizando como placa circular rígida de = 60 cm. Determinar los módulos en carga y descarga.(Módulo de deformación = Módulo de elasticidad) Pr (kgf/cm2)

Módulo de Poisson del suelo =0.3

desca

rga

ca

rg

a

2

0

1

1.5

Desplazamiento (mm)

Desarrollo : = q*D*(1- 2)*I /E

E

-E en carga = 0.3 q( =1.5 mm) = 20 t/m2 D = placa = 0.6 m I = /4 E = 20*(1-0.32)* *0.6/(0.0015*4) = 5718 t/m2 = 572 kgf/cm2

t*m/(m2*m)

-E en descarga = 1.5-1 = 0.5 mm E = 20*(1-0.32)* *0.6/(0.0005*4) = 17156 t/m2 = 1715 kgf/cm2

1.57.) Calcular los asentamientos diferenciales y los diagramas de momentos y corte de la fundación de la figura. Todas las zapatas cuadradas. Eh= 200000 kgf/cm2.

15ton

30ton 3.0m

sección AA

15ton 3.0m

A 0.6 A

1.0m

0.3

1.5m

0.8m

1.1m

0.8m

Considerar que fundaciones bajan sin girar. Zapata N golpes/pie (representativo) 0.8*0.8 32 1.1*1.1 36 Desarrollo: q = 0.36(N-3) ((B+1)/(2B))2R‟w(1+Df/B) Cálculo del coeficiente de balasto: k = q/ = 0.36(N-3)((B+1)/(2B))2R‟w(1+Df/B) R‟w= 0.5(1+d/B) d= 0.5 m = 1.64 pie Df= 1.0 m = 3.28 pie Zapata

N

B (pie)

R‟w

0.8*0.8 1.1*1.1

32 36

2.62 3.61

0.813 0.727

(1+Df/B) ((B+1)/(2B))2 0.36(N-3)

2.25 1.91

k1 = 3.19 kg/cm3 = 3190 t/m3 k2 = 2.65 kg/cm3 = 2650 t/m3

0.477 0.408

10.44 11.88

k

(kgf/(cm2pulg)

8.1 6.73

15ton

30ton

15ton 1:asentamiento

1

1

2

EI M Q

zapata 0.8*0.8 2:asentamiento zapata 1.1*1.1 asentamiento diferencial

Q=12EI / L3 M

Q

M=6EI /L 2

15ton

30ton

Q

2Q

k1

k2

15ton Q

k1

Ecuaciones: (15+Q)/A1 = k1 1 15+Q = A1k1 1 (1) (30-2Q)/A2 = k2 2 30-2Q = A2k2 2 (2) 2 2 con A1 = 80*80 = 6400 cm = 0.64 m con A2 = 110*110 = 12100 cm2 = 1.21 m2 I=30*603/12 = 540000 cm4 L3 = 3003 = 27*106 cm3 Q = (12*2*105*54*104/27*106)* = 48*103* kgf = 48* ton reemplazando en (1) y (2): (1) 15000+48*103* = 3.19*6400* 1 (2) 30000-2*48*103* = 2.65*12100* 2 15+48 = 20.42 30-96 = 32.07

1

pero

2

15+48 2-48 1-20.42 30-96 2+96 1-32.07

=

2- 1

=0 2=0 1

15+48 2-68.42 1 = 0 30- 128.07 2+96 1 = 0

/*96 /*68.42

1440+4608 2+2052.6-8762.55 2 = 0 2 = 3492.6/4154.55 2 = 0.84 cm 1 = 0.81 cm = 2- 1 = 0.84-0.81 = 0.03 cm Q = 48*103 = 1.44 ton M = 6EI /L2 =QL/2 = 2.16 t*m Diagrama de corte

Diagrama de momento

1.44t

2.16 t*m

+ -

-

+

1.44t

2.16 t*m

2.16 t*m

1.58.) Determinar el asentamiento total en las fundaciones de la figura. Considerar la influencia de la carga de una fundación en el asentamiento de las otras (considerar zapatas flexibles). 15m

15m

50 ton 1.5



1.8

1.5

1.5







1.5

1.8

1.8

1.5

1.5

100 ton



1.5



 1.5

1.5

1.8

1.8

50 ton

8m

 1.5

1.5

1.8

Datos del suelo: = 0.4 2 E = 3000 kgf/cm

8m

 1.5

Desarrollo: (1- 2)/E = (1-0.16)/30000 = 0.28*10-4 (1- 2)/E = (1-.16)/(3.14*30000 = 8.9*10-6

m2/T

Cálculo asentamiento debido a peso propio (en el centro) Fundación L (m) B(m) A(m2) P(ton) tipo a tipo b

1.5 1.8

1.5 1.8

2.25 3.24

50 100

q (t/m2) 22.2 30.85

I (centro) = 1.12 (tabla coeficiente de influencia) = q*B*(1- 2)*I /E Fundación tipo a (centro)=22.2*1.5*0.28*10-4*1.12 =10.42*10-4 m = 0.1042 cm Fundación tipo b) (centro)=30.85*1.8*0.28*10-4*1.12=17.8*10-4 m = 0.178 cm Fundación 5 :

= Q/(r* )*(1- 2)/E Fund 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q(carga) 50 100 50 50 — 50 50 100 50

r 17 8 17 15 0 15 17 8 17

r : distancia entre zapatas Q/r 2.94 12.50 2.94 3.33 — 3.33 2.94 12.50 2.94

(cm) 26.15 111.20 20.15 29.60 1700.00 29.60 29.15 111.20 126.15

= 2086.2*10-4 cm Asentamiento total de la fundación 5 = 0.2086 cm (es decir el asentamiento propio más el asentamiento debido a la influencia de las otras zapatas) Idéntico para las otras zapatas: Tabla de asentamientos Fund. Asentamiento (cm) (flexible) 1 0.1318 2 0.2019 3 0.1318 4 0.1359 5 0.2086 6 0.1359 7 0.1318 8 0.2019 9 0.1318

DIMENSIONAMIENTO POR ASENTAMIENTO Y GIRO

1.59.) La figura muestra la sección transversal de un muro corrido para socalzar las fundaciones de un edificio. Considerando que el muro es infinitamente rígido, que la unión entre la fundación y el muro es una rótula y que debido a que un movimiento sísmico se produce un desplazamiento H = 2 cm se pide dimensionar la zapata del muro de modo que no produzcan tracciones a nivel del sello de fundación (SF). 25 ton/ml (incluye ppmuro)

Propiedades del suelo de apoyo:

Fundación corrida existente 0.0m

2

E = 1500 t/m 0.15 0.35 4m

Muro corrido rígido

= 0.25

-3.0m

B=?

Desarrollo: M‟ e‟ = (0.35+0.02)-0.5*B V

M

M‟ = V*e‟ CR

M = kv* *I Caso 0.5*B 0.37 m Debe verificarse: (kv) = E/((1- 2)*B*I )

e‟ (M + M‟)/V = B/6

(1)

I = 0.88

(kv) = 15000/(0.94*B*0.88) = 18133/ B (kv) = (kv) / 1.5 = 12089 / B = 2/300 = 0.0067 I= B3/12 = 0.083*B3

(L=1 m)

Reemplazando en (1) (12089*0.0067*0.083*B3/B+25*(0.37-0.5*B))/25 = B/6 0.269*B2 + 0.3-0.5*B = 0.167*B 0.27*B2 -0.667*B + 0.3 = 0 B1 = 1.88 m B2 = 0.59 m

0.5*B=0.37 O.K.

B = 0.59 m 1.60.) El esquema adjunto ilustra las solicitaciones actuantes sobre las zapatas de un galpón. El caso (A) corresponde a apoyo rotulado en la base de las columnas y el caso (B) a apoyo

empotrado. Se pide encontrar la dimensión B de la zapata para cumplir con las condiciones de diseño especificadas en cada caso. 3t (incluye ppzapata)

5.8t (incluye ppzapata) 1.3t*m 0.9t

0.9t 1.5m

1.5m

B=?

B=?

0.5m

1.0m

Planta de Fund. Caso (A) Condición de diseño qmáx = 25 t/m2

Caso (B) Condición de diseño qmáx = 25 t/m2 giro admisible=1/300 rad Constante de balasto k = 4 kgf/cm3

Desarrollo: a) Caso(A) qmáx = 2V/(3L(0.5B-e)) considerando que se produce tracción en el sello de fundación e=M/V = 0.9*1.5/3 = 0.45 m qmáx (t/m2)

B (m) 1.5 1.2 1.25 Adoptar

y

L = 0.5 m

B/6 (m)

13.3 26.6 23

0.25 0.20 0.21

( hay tracción) e>B/6 ” ” ” ”

B = 1.3 m está bien

b) Caso (B) considerando que se produce tracción qmáx = 2V/(3L(0.5B-e)) con L = 1.0 m 0.5B

B‟= 3*(0.5*B-e) centro de rotación

Giro

= qmáx/(k*B‟)

e= (1.3+0.9*1.5)/5.8 = 0.46 m

qmáx 0.5B‟

B‟

B (m)

qmáx(t/m2)

B/6 (m)

B‟ (m)

rad

1.5 1.6

13.3 11.4

0.25 (trac.) 0.27 (trac.)

0.87 1.02

0.0038 =1/263 0.0028 =1/357

B = 1.6 m está bien.

1.61.) La figura muestra la planta de fundación y un corte típico del edificio. Se pide determinar: a) El ancho B de la losa de fundación de modo que no se produzca giro de fundación. b) El asentamiento vertical experimentado por la fundación Planta losa de fundación (rígida) B=?

20m 0.30

20m

20m

6.0m

CORTE TIPICO V=100t/m ST 0.00

0

SF-1.50m

0 200 400 600 800 1000 1200

E(kgf/cm2)

2

Losa de fundación 4 6 8

= 0.30

10 12 14 16 18 20

Profundidad (m)

a) Usar B = 2*6.3 = 12.6 m 13 m hace que V coincida con el centro de gravedad del paño de losa respectivo , con lo cual no se inducen momentos volcantes , es decir , no se

produce giro. b) Utilizando teoría de la elasticidad = (q*(1- 2)*B*I )/E

q = 100/13 = 7.7 t/m2

E @ prof.= Df+B = 1.50+13 = 14.5 m es de 760 kgf/cm2 = 7600 t/m2 I para L/B = 60/13

5 vale 1.70

= (7.7*(1-0.09)*13*1.70)/7600 = 0.02 m = 2 cm

1.62.) Determine el ancho B de la zapata del pilar de socalzado. Se espera un movimiento horizontal H = 2 cm por efecto de las máquinas que trabajan en la excavación.

pilar de 35 ton socalzado zapata edificio vecino

3m

Datos: V + pp =35 ton I = 0.9 Kv= E/((1- 2 )BI ) L=1m B=?

0.2

2

0.4 E = 10 000 t/m = 0.3

B=?

2

= 90 t/m

ad

Desarrollo: Caso B/2 < 0.4+ H B < 2*0.42 = 0.84

e

B o

1 ) Condición de diseño B 6e (por que no existen tracciones ) e = Mt/V 2o)

Mt = M+M

M = V*e‟

M = kv* *I

B/2

3o) Determinación de M V = 35 ton

e‟ = 0.4+ H-B/2 = 0.4+0.02-B/2 = 0.42-B/2 M = 35*(0.42-B/2)

4o) Determinación de M kv = E / (1- 2)B*I = 10000/((1-0.32)*B*0.9) = 12210/B = H/H = 2/300 = 1/150 M = (12210/B)*(1/150)*(LB3/12) = 6.78B2 t*m 5o) Sustituyendo en B 6(Mt/V) B 6*(35*(0.42-B/2)+6.78B2)/35 B 6*(0.42-B/2)+1.16B2 0 2.52-4B+1.16B2 B1 = 2.62 m y B2 = 0.83 m B1 = 2.62 < 0.84 No B2 = 0.83 < 0.84 O.K. 6o) Verificación M, m = 35/(1*0.83) (35*(0.42-0.83/2)+6.78*0.832)/(L*0.832/6) = 42.2 (1.52+40.70) = 84.4 t/m2 m=0 M

(L=1m)

O.K. O.K.

CAPACIDAD DE SOPORTE CON ASENTAMIENTO Y GIRO 1.63.) Una fundación cuadrada de 1m*1m, se apoya en un estrato de arcilla de 3 m de espesor Para los datos indicados se pide: a) Determinar la capacidad de soporte admisible según Hansen. b) Asentamiento para la carga determinada en parte a) F.S.=3.0 c) Asentamiento para la carga última determinada según Meyerhof (Cv=0.3)

0.5m

Datos: - b =1.1 t/m2 - =0 -eo = 1.02 -cc = 0.2 -qu = 0.3 kgf/cm2

1 1m Arcilla N.C. Desarrollo: a) qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q c= 1/2*qu =0.15 kgf/cm2

S‟c =0.2*B/L = 0.2 d‟c = 0.4*D/B = 0.4*0.5/1 = 0.2 i‟c = 0 , g‟c = 0 , b‟c = 0 qult = 5.14*0.15*(1+0.2+0.2)+0.5*1.1*0.1 = 1.13 kgf/cm2 qadm = qult/3 = 0.38 kgf/cm2 b) Como se trata de un suelo N.C., significa que a través de su historia geológica no ha tenido cargas mayores. 0 = H/(1+eo)* Cv*log( vm/ vo)+Cc*log( vr/ vm) pues vm = vo po , calculado a 1.25 m bajo el sello de fundación. po = (0.5+1.25)*1.1 = 1.925 t/m2 El aumento de presión

B B

p , se calcula a partir de la regla del trapecio. vi = p = q * B/(B+2) 2 = 0.38*(1/(1+1.25))2 vi = 0.075 kgf/cm2 = 0.2*250/(1+1.02)*log (0.1925+0.075)/0.1925 = 3.5 cm

1.64.) Para una zapata rectangular apoyada sobre un estrato de arcilla saturada de 3 m de espesor, se pide: a) Capacidad de soporte admisible (Meyerhof) b) Asentamiento para una carga de hundimiento y para una carga máxima admisible.

Df=1.5 m

=1.7 t/m3 =0° eo=1.02 Cc=0.2 Cr=0.15 2 c'= 4 t/m (presión de preconsolidación) 2 cnc = 3t/m (ensayo de compresión no conf) ancho = 0.5 m largo = 1.3 m

Desarrollo: a) Capacidad de soporte (Meyerhof)

qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.5 BN c = cnc/2 = 3/2 = 1.5 t/m2 =0 Nc = 5.53 Nq = 1 N =0 1+0.3B/L = 1.12 cNc(1+0.3B/L) = 1.5*5.53*1.12 =9.25 t/m2 DNq = bDNq = (1.7-1)*1.5*1 = 1.05 t/m2 qult = 9.25 + 1.05 = 10.3 t/m2 qadm = qult/3 = 3.4 t/m2 b) Se considerará sólo asentamiento por consolidación: = H/(1+eo)* Cp*log(

c

/ o)+Cc*log( ( o+

)/

c)

Determinación de H L/B = 1.3/0.5 = 2.6 B=0.5m 1.5 m L/B = 1 Zbulbo = 2B L/B >> 1 Zbulbo = 5B Se considera que el bulbo afecta a todo el espesor : H = 150 cm Nota: En rigor debiera considerarse 3 estratos de 50 cm de espesor cada uno y determinar el asentamiento para cada uno. Determinación de o: 2 o = b * Z = (1.7-1)*(1.5+1.5/2) = 1.6 t/m Determinación de o para Z = 1.5/2 = 0.75 m Usando la regla del trapecio se obtiene un factor de disipación: Fdisipación= BL/( (B+Z)*(L+Z) ) = 0.5*1.3/((0.5+1.5/2)*(1.3+1.5/2)) = 0.254 (qult) = 10.3*0.254 = 2.6 t/m2 (qadm) = 3.4*0.254 = 0.86 t/m2 (1.6+2.6 = 4.2 > 4 ambas ramas) (q=qult) = 1.5/(1+1.02)*(0.15+log(4/1.6)+0.2*log((1.6+2.6)/4)) (q=qult) = 4.7 cm (qadm) = (1.6+0.86 < 4 implica una rama ) (qadm) = 1.5/(1+1.02)*0.15*log((1.6+0.86)/1.6) = 2.4 cm 1.65.) Una columna de un edificio estructurado en base a marcos, tiene las solicitaciones que se indican para un sismo xx y un sismo yy, analizados en forma independiente. eje x: My = 5 t*m, N = 20 ton

eje y: Mx = 3 t*m, N = 21 ton

= 35°

Es = 1500 t/m2 = 0.3 Df = 1.7m = 1.8 t/m3 I = 1.5 (zapata rectangular flexible)

Lx=3 m Ly=1 m

Determinar para el sismo más desfavorable : a) giros de fundación, b) capacidad de soporte y c) factor de seguridad al hundimiento Desarrollo: a) Giro de la fundación. Determinación de la solicitación más desfavorable. En X tenemos: M = 5 t*m N = 20 ton L=3m B=1m M/W = 5/(1/6*B*L2) = 3.33 t/m2 En Y tenemos: M = 3 t*m

N = 21 ton

L=1m

B=3m

M/W = 5/(1/6*B*L2) = 6 t/m2 > xx implica que el sismo en Y es más desfavorable Determinación de asentamientos máximos y mínimos. = 4 q/kv (B/(B+30))2 cm kv = 1099 t/m3 2 M;m = N/(B*L) M/W = 21/(1*3) 3/(1/6*3*1 ) = 7 6 2 2 M = 13 t/m m = 1 t/m yy

máx =4*13/1099*(100/(100+30))2 = 2.8 cm mín = 4*1/1099*(100/(100+30))2 = 0.22 cm = ( máx - mín)/L = (2.8-0.22)/100 = 0.026 rad = 1.5o Otra forma: Análisis del sismo YY: M = 3 t*m N = 21 ton 2 K = E /((1- )*I *B) = q/ = ( máx - mín)/Ly = q*(1- 2)*I *B/E = q/K = q/(Ly*K) a) giro Determinación de qmáx y qmín: qM;m = N/A M/W = N/(B*L) *(1 6*e/B)

= 7* (1 0.857) qM = 12.99 t/m2

qm = 1.00 t/m2

K = 1500/((1-0.32)*1.5*1) = 1099 t/m3 máx = 12.99/1099 = 1.18 cm mín = 1.00/1099 = 0.91 cm = 1.099/100 = 0.011 rad = 0.6o b) Capacidad de soporte = 33o implica Nq = 36 y N „ = 40 qult = cNc(1+0.3B/L)+ ‟DNq+0.4 ‟BN = 1.8*1.7*36+0.4*1.8*1*40 = 139 t/m2 Como existe M = 3 t*m hay que determinar B‟ y L‟ B‟ = B-2*e L‟ = L puesto que estamos calculando para cada dirección por separado entonces: B‟ = 1-2*M/N = 0.714 m qult = 1.8*1.7*36+0.4*1.8*0.714*40 = 131 t/m2 Qult = 131*3*0.714 = 280 t c) FS al hundimiento

FS = 280/20 = 14

1.66.) El terreno de cimentación de un edificio, está formado por los siguientes estratos: - capa de relleno arenoso sin compactar ( = 1.8 t/m2) de 3 m de espesor. - capa de arcilla con las siguientes características: 3 eo = 0.8 qu= 1.6 kgf/cm2 (resist. a compresión simple) s = 2.7 t/m Resultados de un triaxial consolidado con drenaje: = 20o Cc = 0.15 (coeficiente de compresibilidad) c = 0.2 kgf/cm2 Espesor del estrato = 4 m Las características señaladas corresponden al punto central del estrato. - capa de grava indeformable e indefinida. Se construye un edificio excavando 3 m de terreno y apoyando en el estrato de arcilla un losa con muros que transmite una carga total máxima de 1 kgf/cm2, incluido el peso de la losa. La losa tiene un ancho de 16 m y una longitud que permite considerarla indeformable. La napa está ubicada a 3 m de la superficie. a) Determinar la carga neta que actúa sobre el estrato arcilloso. b) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a corto plazo según Terzaghi. c) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a largo plazo según Terzaghi.

d) Determinar el asentamiento por consolidación en el centro de la losa, con las siguientes hipótesis: -durante la construcción no se producen asentamientos hasta que la carga neta comienza a ser positiva. - sólo produce asentamiento la carga neta que actúa en el estrato arcilloso,suponiendo que este incremento de presión vertical es constante en todo el espesor del estrato arcilloso. Desarrollo: a) q(neto) = q(edificio)-q(suelo) = 10 t/m2 -3*1.8 t/m2 = 4.6 t/m2 (la carga neta es el incremento de presión inducida a nivel del sello de fundación) b)

qult = cNc+ D en que: c= qu/2 = 0.8 kgf/cm2 = 8 t/m2 Nc = 5.14 = 1.8 t/m3 qult = qhun = 8*5.14+1.8*3 = 41.12+5.4 = 46.5 t/m2 10 = qhun/F = 41.12/F +5.4 Ps= 2.7 ton Vs= 1 m3 Vv= eo*Vs = 0.8 m3 3 sat = (2.7+0.8)/1.8 = 1.94 t/m

c)

F = 8.94 0.8 m3

P

1 m3

Ps

qhun = qult = cNc+qNq+0.5 BN arena arcilla grava

figura(a) figura (b) La cuña no puede entrar en el estrato de grava indeformable, se produce indicado en la figura (b). En función de la naturaleza de la arcilla, se puede adoptar el siguiente criterio: qult < 1 kgf/cm2 (arcilla blanda) qult > 1 kgf/cm2 (arcilla dura) Consideremos se produce un falla parcial: c ‟= 2/3* c = 2*2/3 = 1.33 t/m2 tg ‟ = 2/3*tg = 13.64o Nq = tg2(45+ /2)e tg = 3.47 Nc = (Nq-1)cotg = 10.16 N = 1.8(Nq-1)tg = 1.08

qhun = 1.33*10.16+1.8*3*3.47+0.5*0.94*16*1.08 = 13.5+18.7+8.12 qhun = 40.3 t/m2 10= 40.3/F d)

F=4

= Vv/Vt = H/H e = Vv/Vs Vt = (Vv+Vs)*(Vs/Vs) *Vt = e*Vs e = (1+eo) = H/H

Vt = Vs(1+eo) *Vs*(1+eo) = e*Vs

H = e*H/(1+eo) Cc=0.15

e 1

eo

Cc ef

log

log f

log

Considerando un estrato (pues la carga se supone constante en el estrato) e = Cc*log ( o

o

+

)/

o

= arena*Darena+ b arcilla*Darcilla = 1.8*3+0.94*2 = 7.28 t/m2 = qneto = 4.6 t/m2

Sustituyendo se tiene: e = 0.15*log (7.28+4.6)/7.28 = 0.032 H = 0.032*400/1.8 H = 7.1 cm

DIMENSIONAMIENTO POR C. DE SOPORTE, ASENTAMIENTO Y GIRO

1.67.) a) Dimensionar las fundaciones de la estructura de la figura para un asentamiento máximo de 1” y F.S. a la ruptura igual a 3.0. Datos del suelo: -Ncorregido= 15 golpes/pie 6m - = 31o -DR = 50 % - c = 0 (arena) 6m - t = 1.65 t/m3 Cargas: -Peso propio= 100 kgf/m2 -S.carga = 250 kgf/m2 2m -Puente grúa= 25 ton Conclusión: Es lo mismo que lo planteado por Terzaghi y Bowles de revista de Idiem. ( válido para arenas)

25t

2.5m NF

16m

Cálculo de solicitaciones en cada fundación El área de influencia es 6*16 = 96 m2 cada zapata está solicitada por P = (pp+sc)/2*Ainf=100+250*96/2 P = 16.8 ton Debemos dimensionar con Pt= 16.8+25 = 41.8 ton ( + desfavorable) Leonards considera que para suelo incoherente con DR entre 20 y 70 %, es recomendable interpolar entre Terzaghi corte general y Terzaghi corte local. Se tiene que : = 31o N = 22 Nq = 24 Terzaghi corte general Para Terzaghi corte local corregiremos el ángulo usando relación: tg ‟ = 2/3*tg = 2/3*tg31 = 2/3*0.6 =0.4 ‟ = 21.8 N ‟ = 2.0 Nq‟ = 8.0 Interpolando: N = 12 y Nq = 16 N : no de golpes/pie k1 = kgf/cm2/pulgada (de zapata de B=1 pie) k =k1*((1+B)/2B)2*(1+Df/B)*R‟w B=pies k1 = 0.36*(N-3)

w‟ (Idiem) adm

=

R‟w = 0.5*(1+dw/B) r

Tabla de tanteo:

/ FS

r

=

adm/

= 0.5 BN + DfNq

k

pulgada

(para zap.corrida)

B

A

s=P/A

0.5 BN

DfNq

1.38

1.90

22.0

13.16

52.8

B = 1.38 m

FS

r

66.46

3.0

0.7

y A = 1.90 m

b) Repetir la parte a) pero con = 30o y sat = 1.8 t/m3 -solicitación de diseño Pt = 41.8 ton -Determinación de la capacidad de soporte Dado que DR= 50% usar corte local qult = qN‟q+0.4 tg ‟= (2/3)tg en tabla 4.1 =30o N‟q = 8.3 N‟ = 5.7

eqBN‟

= b+( - b)*d/B = 1.8-1 = 0.8 t/m3 b = sat- b = 1.65-0.8 = 0.85 t/m3 eq = 0.8+0.5*0.85/B = 0.8+0.425/B eq

q = *D = 1.65*2 = 3.3 t/m2 qult = 3.3*8.3+0.4*5.7*B*(0.8+0.425/B) = 27.39+1.824*B+0.969 = 28.36+1.824*B qadm = qult/F.S.

(I)

F.S.= qult/qadm

Determinación por asentamiento q = 1.5*720*(N-3)* *((B+1)/(2*B))2*R‟w*(1+Df/B) q = lb/pie2= 4.8824*10-4 kgf/cm2 = pulgada Df,B = pies d = 0.5 m = 1.64 pie Df = 2 m = 6.56 pie R‟w = 0.5*(1+d/B) = 0.5*(1+1.64/B) q = 1.5*750*(15-0.3)* *((B+1)/(2*B))2*0.5*(1+1.64/B)*(1+6.56/B) = 6480*((B+1)/(2*B))2* *(1+1.64/B)*(1+6.56/B) ( II ) De ( I )

qt = P/A = 41.8/A (28.36+1.824*B)/3 = qadm 3*41.8/(28.36+1.824*B) B*B 125.4 28.36*B2+1.824*B3

Tabla de tanteo:

B m 2.0

28.36B2+1.824B3

128.03

qt = P/A qult =t/m2 F.S. B 2 t/m de ( I ) pie 10.45 32.01 3.06 6.56

qt lb/pie2 de II pulg 2140.34 0.398 * 0.597 **

Luego zapatas de 2.0*2.0 m. * : considerando término 1.5 de ec. II . **: sin considerar término 1.5 de ec. II.

1.68.) Las propiedades de un suelo, medidas con ensayos de corte no drenado son: c = 9 t/m2 = 0o Una zapata cuadrada fundada a 3 m debe soportar una carga de 300 ton = 1.92 t/m3 Arcilla P.C. Determinar B. Desarrollo: El recíproco del producto del coeficiente de compresibilidad (mv), y la cohesión para un suelo de esta resistencia está en la región 100-200 De la tabla de F.S de Skempton (p200), para fundaciones sobre arcilla, hay un abanico de factores, entre 3 y 24 dependiendo del asentamiento permitido. Sup.:

= 25 mm y qadm = 32 t/m2

B=3m

El F.S. según la tabla variará en 3 y 6 . Un F.S. = 4 parece adecuado para una investigación preliminar qult = 13.*5.7*c = 71.1 t/m2 qadm = qult/4 = 17.8 t/m2 Agregando el peso del suelo : 3*1.92 = 5.8 t/m2 qadm = 17.8 + 5.8 = 23.6 t/m2 Areq = 300/23.6 = 12.7 m2 B = 3.6 m

1.69.) A que profundidad deberá fundarse una zapata cuadrada de 2*2 m si ha de soportar una carga de 180 ton. c = 11.2 t/m2 = 1.99 t/m3 B=2m arcilla sobre-consolidada Desarrollo: Nc(rectg)= (1+0.2*2/2)*Nc(corrida) = 1.2 qult = 1.2*11.2*Nc = 13.44*Nc Para arcilla sobre-consolidada y un adm = 75 mm, que es aceptable para un Warehouse shed F.S. = 3 180.0/4 = 13.44*Nc/3+1.91*Z

45 = 4.48*Nc +1.91*Z = Z+2.35*Nc-23.5 = 0

(*)

Skempton propone valores para Nc en función de la profundidad. La ecuación (*) se resuelve por tanteos Z Z/B Nc 2.35Nc Z+2.35Nc

2 1 7.7 18.1 18.5 Z

2.5 1.25 8 18.8 21.3

3 1.5 8.2 19.3 22.3

3.5 1.75 8.3 19.5 23.0

4 2 8.4 19.7 23.7

3.8 m

1.70.) Determinar el ancho de la zapata de modo de limitar el asentamiento a 1”. 91 ton

1.2m

= 1.76 t/m3

B=? 2.4m

3m

NF sat

3

= 1.96 t/m

Arcilla Blanda 2

cc=0.5 t/m

s=2.7

t/m3

n=45

%

2.4m

Arena Densa Desarrollo: q = po (10m -1)

(15.6)

en que : po = sobrecarga a la profundidad en que se tomó la muestra m = (1+eo)/(ccH) (*) = 1” = 2.5 cm = 0.025 m Determinación de eo: eo = Vv/Vs Vt = Vv+Vs Vs = 1 m3 Ps = 2.7 ton n = 45 % = Pw/Ps Pw = 0.45*2.7 = 1.215 ton Vw = Vv = 1.215 m3 1.22 m3 3 sat = (1.215+2.7)/(1.215+1) = 1.77 t/m 3 eo = 1.22 sat = 1.77 t/m Determinación de po( al centro del estrato de arcilla)

po = 1.76*(1.2+2.4)+0.92*(3-2.4)+1.2*0.77= 7.81 t/m2 Sustituyendo en (*) m = (1+1.22)/(0.5*2.4) = 1.85 ¡Debiera tomarse H= 2.4/2 pues el estrato de arcilla está encerrado por dos estratos permeables ! q = 7.81(t/m2)*(101.85*0.025 - 1) = 0.88 t/m2 = q q = 0.88 es el incremento de carga producido por la zapata a la profundidad considerada para el asentamiento de 2.5 cm. Determinación de q promedio en el estrato de arcilla : ( repartición trapezoidal) 5.4

q = 1/H (P/(B+z)2)dz = 1/2.4

(91/(B+z))dz 3.0

u = B+z du = dz

u2

= 1/2.4 (91/u2)dz = -91/2.4*(u)-1

...... u1

q = -91/2.4 1/(B+5.4)-1/(B+3.0) q = 0.88 por tanteo: B 1 7 q 3.55 0.73 B = 6.0 m

6.5 0.80

6 0.89

1.71.) El esquema ilustra las solicitaciones que actúan sobre las zapatas de un galpón. El caso A corresponde a un apoyo rotulado en la base de la columna, y el caso B a un apoyo empotrado. Determinar el ancho de la fundación en cada caso de modo que: - máx 25 t/m2 - giro adm. 1/300 rad (3.33*10-3) - K = 4000 t/m3 Caso A: 1o) Determinar la excentricidad. V =3t (incl.pp) H=0.9t e=M/N = H*h/V = 0.9*1.5/32 1.5m B=?

e = 0.45 m

Planta 2o) Determinación de

máx

0.5m

= P/A +M/W W = I/C = LB2/6 2 máx = P/A +6M/(LB ) = 3/0.5B+6*0.9*1.5/0.5B2 = 6/B + 16.2/B2 = máx/KB e < B/6 B > 6e B 2.7 m 4.44 t/m2 4.11*10-4 = 1/2430 rad máx

3o) Estamos muy sobredimensionados máx = 4V/(3L(B-2e))

aceptaremos tracciones

25 = 4*3/(3*0.5*(B-0.9))=8/(B-0.9) B = 1.22 m B‟ = 3*(1.22/2-0.45) = 0.48 B‟/B = 0.39 B‟= 3*(B/2-e) B‟/B 0.8 B

B‟

máx

2.0 1.5 1.3

7.28 13.33 20.00

1.65 0.90

61% tracciones

B‟/B 0.82 0.60 < 0.8

B = 2 m para cumplir con (B‟/B) > 0.8 = 7.28/(4000*1.65) = 1/906 q = 7.28 < 25 O.K. Caso B: 1o) Determinar la excentricidad.

V =3t (incl.pp) M=1.3t*m

H=0.9t

e=M/N = (M+H*h)/V = (1.3+0.9)*1.5/32

1.5m B=?

e = 0.883 m

Planta 2o) Determinación de máx máx = P/A +M/W 2 máx = P/A +LB /6 = P/A(1+6e/B) = 3/0.5B(1+6*0.883B) Si hacemos

mín

=0

e= B/6

B = 6e = 5.3 m

máx = 3/(0.5*5.3)*(1+6*0.883/5.3) = 2.26 t/m2

0.5m

máx 0.8

= máx/(k*B‟) 1/3456 1/3033 1/2646 1/2280 1/1634 1/1350 < 1/500

B1 = 2.0 m Caso B: Es similar al caso A, con la diferencia de que aumenta la excentricidad. Usaremos la misma tabla que en A en que: máx = 4V/(3L(B2-2e)) e = (0.9*1.5+1.3)/3 = 0.883 máx = 4/(0.9*(B2-2*0.883)) = 4/(0.9*B2-1.59) B‟ = 3*(B2/2-0.833) B2

máx

B‟

B‟/B2

6e=0.53 4 3.9 3.8

1.26 1.99 2.08 2.19 < 10

5.3 3.35 3.20 3.05

1 0.84 0.82 0.80 0.8

1/16825 1/6733 1/6144 1/5582 < 1/500

B2 = 3.8 m máx

= 1/750

máx/(k*B‟)

1/750 B‟ 750* máx/k B‟ = 750*10/4000 = 1.875 m B‟= 0.8*B B = 2.34 m

1.73.) a) Determine la altura mínima para que la fundación se comporte como zapata rígida

b) Dibuje el diagrama de presiones sobre el suelo, considerando el pp de la zapata c) Determine el momento en la sección crítica Datos : K = 15 kgf/cm3 Corte AA 2 E = 250000 kgf/cm Mu=11t*m Nu=40t 0.2 3.0m 0.3 20*30cm

A

A

Desarrollo: Debe cumplirse que

2.0m L < /4 , en que:

3* K = (3*15000/2.5*106*h3)1/4 3 E *h = 0.366/h3/4 L < /4 0.366*2/h3/4 < /4 h > 0.91 m

=

4

Chequeo: = (3*15000/2.5*106*0.913)1/4 = 0.3931 L = 0.786 < 0.78 b)

= P/A*(1 6*e/B) e = 0.275 Nu = 40 ton Mu = 11 t*m qu = (2*3*0.91)*2.4/2 = 6.55 t/m Nutot = 40+6.55*2 = 53.1 ton M,m

= Nutot/A M/W = 8.85 5.5 t/m2

0.5 3.35 t/m2

W = I / Y = (3*23/12)/(2/2)= 2 M / W = 11 / 2 = 5.5 t/m2 máx = 14.35 t/m2 mín = 3.35 t/m2

1.0

1.5

2.0 14.35 t/m2

c) B/2-bp/2 = 1-0.1 = 0.9

0.9m

9.4

14.35

Para simplificar el cálculo, separaremos en dos diagramas: 0.9 m

M(q=9.4) = 0.5*9.4*0.92 = 3.81 t*m M(qvar) = 0.5*4.95*2*0.92/3 = 1.34 t*m 9.4 t/m2 4.95 t/m2

Mudis = 5.15 t*m Mudistotal = 5.15*3 = 15.45 t*m

1.74.) Un pilar metálico se empotra en una zapata cuadrada de 2*2*1 m, la que se apoya en un estrato de arena. Admitiendo leyes de reparto de presiones de tipo lineal debajo de la zapata, indicar las presiones máximas y mínimas transmitidas al terreno y los esquemas de presión correspondientes para las siguientes solicitaciones transmitidas por el pilar a la cara superior de la zapata. a) Compresión centrada N= 90 ton 90ton 2m 2 q = cte. = 90/2 = 22.5 t/m2 2m pp= 2*2*1*2.5 = 10 ton 1m q(pp)=10/4 = 2.5 t/m2 = 25 t/m2 b) N=40 ton Mx= 10 t*m pp= 10 ton = P/A M/W (1) 3 W = I/C = (bh /12)/(h/2) = bh2/6 = 1.333 máx = 50/4+10/1.333 = 20 t/m2 mín = 50/4-10/1.333 = 5 t/m2 c) N=40 ton Mx= 25 t*m pp=10ton/50ton 2 P/A= 50/4 = 12.5 t/m M/W = 25/1.333 = 18.75 t/m2 como M/W > P/A

20

5

no es aplicable (1) ya que el suelo no acepta tracciones Deducción: e R = 0.5*B‟* máx*L = P P B/2-e = B‟/3 B‟= 3(B/2-e) máx= 2P/(B‟L) = 2P/(2*3(B/2-e)) máx máx = 4P/ 3L*(B-2e) sustituyendo: máx=4*50/(3*2-6*0.5) = 33.3 t/m2 B‟= 1.5 m d) N=40 ton Mx=10 t*m ex= 10/50 = 0.2 m e=

ex2

R B B‟

My = 10 t*m ey= 10/50 = 0.2 m

e y2 = 0.2828

Tenemos un caso de flexión esviada: máx = P/A+Mx/Wx+My/Wy (válida si P cae dentro del núcleo central)

(2)

B/3

emáx 0.33

L/3

0.33

1m

1m

emáx = e máximo para caer dentro del núcleo central. = 0.236 m (emáx = 0.5*(0.332+0.332 )0.5 e > emáx se cae fuera del núcleo central Wx=Wy= Bh2/6 = 22/6 = 8/6 como en este caso e emáx , usaremos (2): máx = 50/4+10/(4/3)+10/(4/3) = 27.5 t/m2 Otra forma: q= ax+by+c a=My/Iyy = 10/(2*23/12) = 7.5 t/m3 b=Mx/Ixx = 7.5 t/m3 c=P/A qmáx= axmáx+bxmáx+c = 7.5*1+7.5*1+50/4

qmáx = 27.5 t/m2 1.75.) Un pilar de H.A. de 40*60 cm transmite una carga vertical de (40+N/2) ton. y está dispuesto en la medianería de un edificio. 40+N/2 60cm

60 40

B Características del terreno: adm= 20 t/m2 = máx N = 45 ton

L

planta

a) Calcular la longitud L y el ancho B de la zapata, suponer ley lineal de presiones bajo la zapata, de modo que máx = 20 t/m2 y mín = 0 t/m2. b) Idem a) pero con un machón de 60*90 cm, N=50 ton y qadm = 50 t/m2. Desarrollo: a) M/W M,m = P/A (suponer que el peso del terreno excavado se compensa con el peso propio de la zapata)

m=0

M

( Fv= 0) de (1):

P/A M/W = 20 t/m2 (1) en que: P = 62.5 ton A = B*L M = P*e e = B/2-0.3 (m) W = (LB3/12)/(B/2) = LB3/6

= 62.5 ton B*L= 6.25 m2 impongo m = 0 62.5/6.25+62.5*(B/2-0.3)/((BL/6)*B) = 20 10+60*(B/2-0.3)/B = 20 6*(B/2-0.3)/B = 1 3B-1.8=B B=0.9 m y L=6.9 m e=0.9/2-0.3 = 0.15 m M = 9.37 t*m M*B*L/2

Chequeo: m

= 62.5/(0.9*6.9)-9.375/(6.9*0.93/6)

(2)

= 10.06-10.06 = 0 N=50 ton

b)

O.K. (1)

M

= N/BL*(1 6*e/B)

50

e = B/2-0.3 (1+6(B/2-0.3)/B)/BL = 1 70cm

0.9 m

(2) ( Fv= 0) M*B*L/2 = 50 ton 50*B*L/2 = 50 B*L = 2.0 m2

M

sustituyendo en (1): 1/2*(1+(3B-1.8)/B)=1 1+(3B-1.8)/B=2 (3B-1.8)/B=1 3B-1.8=B B=0.9 m y L=2.2 m

1.76.) Determinar : a) la presión de contacto máxima para la fundación rígida indicada. b) la presión de contacto mínima. V=20 ton (incluye pp) H1

H1 = 1.5 ton H2 = 4 ton

H2 Y

h=1 m

3m 1m 1m X

Desarrollo: a= My/Iyy b= Mx/Ixx c= V/A

Iyy = 2*33/12 = 27/6 Ixx = 3*23/12 =2 A = 3*2 = 6

a = 24/27 b = 0.75 c = 3.33

qmáx = axmáx+bymáx+c = (24/27)*1.5+0.75*1+3.33 = 5.42 t/m2 qmín = axmín+bymín+c = (24/27)*-1.5+(-0.75)*1+3.33 = 1.25 t/m2

1.77.) Determine el esfuerzo de corte en el centro de la fundación.(sección c-c) 25 ton

25 ton 10 t*m

10 t*m Fundación muy rígida

c

Ancho fund.= 1 m

0.25

2.25 m

2.25 m

c

0.25

Nota: Considere peso propio de la fundación incorporado en las solicitaciones verticales. Desarrollo : 25 ton

25 ton

10 t*m

10 t*m L=1m

+

20 t*m 50 ton 5.0 m

e = M/N = 20/50 = 0.4 < B/6 = 5/6 = 0.833 t

diagrama trapecial

= V/(BL)*(1 6*e/B) = 50/(1*5)*(1 6*0.4/5) 2 2 y tmáx = 14.8 t/m tmín = 5.2 t/m 25 ton 10 t*m

25 ton 10 t*m

c 14.8*L = 14.8 t/m

y c 2.5 m

(14.8-5.2)/5 = Y/2.5

Q

Y = 4.8 t/m

= 5.2+4.8 = 10 t/m Qc-c = (14.8-10)*2.5/2+10*2.5-25 = 6+25-25 c-c

5.2*L = 5.2 t/m

Qc-c = 6 ton

II DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS

2.1.) Dimensione la fundación del pilar izquierdo considerando: f‟c = 300 kgf/cm2 qv(pp) = 5 t/m 2 fy = 2800 kgf/cm qv(sc) = 2 t/m adm = 30 t/m2 qh(sc) = 0.9 t/m L1= 0.75L2 a) L1 , L2 y h (aproximar L1 y L2 cada 10 cm, h=d+10cm por acción de viga solamente) b) armadura principal.

qv

qh

V1 2m

H1 Df=1.5m

5m 0.3

15 m H1

V1

0.2

V2

L1

L2

Desarrollo : 1º) Determinación de las cargas sobre la zapata. a) Para determinar L1 y L2. qv = 5+2 = 7 t/m qh = 0.5 t/m Fv = 0 Fh = 0 M1 = 0

V1+V2 = 7*15 = 105 ton H1 = 0.9*7 = 6.3 ton V2*15 = 0.9*7*7/2+7*15*15/2 V2 = 53.97 ton V1 = 105-53.97 = 51.03 ton

51.03/(L1*L2)+9.45/(L1*L22/6) 30 t/m2 51.03/(0.75*L22)+9.45/(0.75*L23/6) 30 68.04/L22+75.6/L23 30 /*L23 3 68.04*L2+75.6 = 30*L2 -30*L23+68.04*L2+75.6 = 0 L2 = 1.897 1.9 m L1 = 0.75L2 = 0.75*1.9 = 1.4 m b) Cargas para determinación de h : qv = 1.4*5+1.7*2 = 10.4 t/m qh = 1.7*0.9 = 1.53 t/m Fv = 0 V1+V2 = 10.4*15 = 156.0 ton Fh = 0 H1 = 1.53*7 = 10.71 ton M1 = 0 V2*15 = 1.53*7*7/2+10.4*15*15/2 P/A+M/W

adm

V2 = 80.50 ton

V1 = 75.50 ton

Acción de viga :

 = 0.8-d  =L2/2-0.3-d = 0.8-d

0.3

L1=1.4m

0.2

d

A = L1- 

qusd = P/A M/W = 75.5/(1.4*1.9) 10.71*1.5/(1.4*1.92/6) = 28.38 19.07 2 M = 47.45 t/m 2 9.31 m = 9.31 t/m Sea d = 30 cm q(x= 0.8-0.3) = 37.41 t/m2 Determinación de vu (solicitación) vu = Vu/Asc Vu = qusd*A = qusd* *L1 = 0.5*(47.45+37.41)*0.5*1.4 = 29.7 ton vu = Vu/(L1*d) = 29.7/(1.4*0.3) = 70.72 t/m2 Determinación de vn (resistencia) vn = 0.85*0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm2 = 78 t/m2 vu < vn d = 30 cm O.K. h = 40 cm 2º) Determinación de la armadura. Armadura principal (d = 30 cm)

085 . *

f 'c *1 fy

1 2 * Ru / (085 . * f ' c)

Ru= Mu/( bd2) b=B Determinación de Mu:

Ru= Mu/(0.9*1.4*0.32)

47.45

c=0.3 f = L2 /2- c/2 = 1.9/2-0.3/2 = 0.8 m

x 2

q(x=0.8)= 31.4 t/m2 q = 31.4 t/m2 1

2

9.31t/m

47.45 t/m

q2 =47.45-31.4 = 16.05t/m2

2

31.4t/m

f

2/3 f

R

q2 =16.05 t/m2 q1 = 31.4 t/m2

Mu = q1*B* f2/2+q2*B*( f/2)*2*  f/3 = 31.4*1.4*0.82/2+16.05*1.4*0.82/3 = 14.07+4.79 = 18.86 t*m

B= 1.4 m

Ru = 18.86/(0.9*1.4*0.32) = 166.3 t/m2 = 0.85*300/2800* 1-(1-2*166.3/(0.85*3000))1/2 = 6.15*10-3 = As/(b*d) = As/(L1*d) As = 6.15*10-3*140*30 = 25.83 cm 2 mín

= 14.1/fy = 5.04*10-3

>

mín

O.K.

2.2.) Una columna de 60*40 cm, transmite a una zapata rectangular un estado de cargas: pp = 200 ton sc= 130 ton Determine B, L y H de la zapata, considerando que por razones constructivas B 2.5 m. Datos: f‟c = 300 kgf/cm2 fy = 4200 kgf/cm2 qadm = 30 t/m2 Desarrollo: 1º) Determinación de B y L. B, L se obtiene con las cargas no mayoradas, de modo que: qt qadm (pp+sc)/(B*L) 30 t/m2 B

2.5 m por razones de espacio (200+130)/(2.5L) 30 L = 4.4 m y B = 2.5 m 2º) Determinación de h. h se calcula con las cargas mayoradas de modo que no sea necesario usar

armadura al corte

vs = 0 vu

vn

a) h necesario para acción de viga (Beam action)

 L = 4.4m 0.6

A

B=2.5m

0.4

d sección crítica

Determinación de vu : vu = Vu/Asc Vu = qusd*A Asc=Area secc. crítica = B*d

qusd = (1.4pp+1.7sc)/(B*L) = (1.4*200+1.7*130)/(2.5*4.4) = 45.6 t/m2 A = B*  = B*(L-L/2- c/2-d) = 2.5*(4.4-4.4/2-0.6/2-d) = 2.5*(1.9-d) Vu = 45.6*2.5*(1.9-d) = 114*(1.9-d) vu = 114*(1.9-d)/(2.5*d) Asc = 2.5*d

Determinación de vn vn = 0.53* f‟c = 0.85*9.18 = 7.8 kgf/cm2 = 78 t/m2 vu vn 114*(1.9-d)/(2.5*d) 78 d d = 70 cm Vu = 136.8 ton Vn = 136.5 ton

0.70 m

ac+d= 0.4+d

b) Verificación del punzonamiento (Two way action). vu vn vn = vc vu vc d/2

c+d = 0.6+d c ac d=0.7cm

bo = longitud sección crítica = (0.6+d)*2+(0.4+d)*2 = 1.3*2+1.1*2 = 4.8 m Determinación de vu : vu = Vu/(bo*d) Vu = qusd*(B*L-(c+d)*(ac+d)) = 45.6*(2.5*4.4-(0.6+0.7)*(0.4*0.7) = 436 ton vu = 436/(4.8*0.7) = 130 t/m2

Determinación de vn = vc Vc / f‟c *bo*d)

= ac / c = 0.4/0.6 = 2/3 > 0.5 vc/ f‟c = 1.06 vc = 1.06* f‟c = 18.36 kgf/m2 vc = 0.85*1.06* f‟c = 15.6 kgf/cm2 vn=156*4.8*0.7 = 524 ton vu = 130 < vc = 156 t/m O.K.

1/ Vc = (0.53+1.06/ c) f‟c *bo*d

1.06 0.53

1/

0.5

c

c

luego d = 70 cm y h = 75 cm.

2.3.) Determinar la armadura a flexión para la zapata de la figura.

f‟c = 300 kgf/cm22 fy = 4200 kgf/cm 0.3 m

pp = 150 ton s/c = 90 ton

h = 0.7 m

0.2 m

L=3m B=2m

Desarrollo: Pu = 1.4DL+1.7LL = 1.4pp+1.7sc = 1.4*150+1.7*90 = 363 ton qusd = Pu/(B*L) = 363/(3*2) = 60.5 t/m2 c f

Determinación de la armadura principal (d = 65 cm)

085 . *

f 'c *1 fy

1 2 * Ru / (085 . * f ' c)

Ru= Mu/( bd2)

L

Determinación de Mu: Mu= qusd* 2*B/2 f = L/2- c/2 = 1.5-0.15 = 1.35 m Mu = 60.5*1.352*2/2 = 110.3 t*m Ru = 110.3/(0.9*2*0.652)=145 t/m2 = 0.85*300/4200* 1-(1-2*145/(0.85*3000))0.5 = 3.56*10-3 -3 < mín = 14.1/fy = 3.6*10 -3 mín = 1.33 = 4.73*10 -3 (A63-42) < retracc.= 1.8*10

máx

= 0.75

b

= 2.2*10-2

>

O.K.

As = 3.56*10-3*200*65 = 46.28 cm2 46.28/200 = 23.14 cm2/cm Determinación de la armadura secundaria (d = 62 cm)   = B/2-ac/2 = 1-0.1 = 0.9 m Mu = 60.5*0.92*3/2 = 73.5 t*m Ru = 73.5/(0.9*3*0.622) = 70.82 t/m2 B -3 = 1.71*10 -3 mín = 3.36*10 -3 -3 > mín = 1.33*1.71*10 = 2.27*10 -3 se coloca mín As = 2.27*10 *300*62 = 42.22 cm2 42.22/3 = 14.1 cm2/m 2.4.) Para una zapata aislada se pide el área Af = B2 para las siguientes condiciones de diseño: Service DL = 350 k = 159 ton ” LL = 275 k = 125 ton Service sc = 100 psf = 0.5 t/m2 Suponer un peso unitario promedio para el suelo y el hormigón sobre el sello = 130 pcf = 2.08 t/m3. sc P 2 qadm(suelo)= 4.5 ksf = 22 t/m Desarrollo : 1o) Peso total para la sobrecarga

Df=1.5m

q = 2.08*1.5+0.5 = 3.62 t/m2 q 3.6 t/m2 o 2 ) Presión neta admisible para el suelo : qadmneto = 22-3.6 =18.4 t/m2

col.de 75*30cm (12*30in) B

(pues en general la compactación aumenta con respecto al suelo in situ).

3o) Determinación de Af : qadmneto P/B2 = 18.4 t/m2 B = ((159+125)/18.4)0.5 = 3.9 m 4.0 m o 4 ) Para efectos de armar, cargas mayoradas y reacción del suelo debido a ellas. Pu = U = 1.4*159+1.7*125 = 435 ton qs = qusd = 435/42 = 27.2 t/m2

2.5.) Determinar la altura de la zapata del problema 2.4.) f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2 Pu = 435 ton (mayorado) qs = qusd = 27.2 t/m2

B/2-(0.3-d)/2 1.5 m

Desarrollo : bo(two way action)

0.30 0.75

d

d/2

0.3+d

0.75+d

bw(beam action) 2-0.15-d =1.85-d

4.0m = bw

(ACI 11.11) Determinación de la altura sin armadura al corte . El h requerido por corte generalmente controla el diseño. “Beam action and Two way action”, deben chequearse. Suponemos h = 80 cm y d = 70 cm 1º) Beam action: Vu Vn Vn = *0.53* f‟c*bw*d = 0.85*0.53*2100.5*400*70 = 183 ton Vu = qusd*(1.85-d)*bw = 27.2*(1.85-0.9)*4 = 125 ton (vn = vc+vs) vs = 0 (vc = 0.53*2100.5 = 7.7 kgf/cm2) Vu(solic.) = 125 ton Vu (resist.) = 183 ton O.K. 2º) Two way action Vu Vn Vn = *(0.53+1.06/ c)* f‟c*bo*d pero (0.53+1.06/ c) = 0.75/0.3 = 2.5 > 2 O.K. c c

1.06

Vu(solic.) = qusd*(4*4-(0.75+0.7)*(0.3+0.7)) = 27.2*14.55 = 396 ton Vu(resist.) = Vn = f(vc) bo = 2*(0.75+d)+2*(0.3+d) = 4.9 m vc = (0.53+1.06/2.5)* f‟c = 0.954* f‟c 1.06* f‟c = 13.8 kgf/cm2 Vu(resist.) = 0.85*0.954*2100.5*490*70 = 403 ton 396 < 403 O.K.

h = 80 cm

2.6.) Determine para las condiciones del problema 2.4.), la cantidad de armadura requerida.

0.3m f‟c=3000 psi = 210 kgf/cm2 2 fy =60000 psi = 4200 kgf/cm Pu= 435 ton (mayorado) 2 qs = qusd = 27.2 t/m (mayorado) B=4m L=4m

sección crítica

0.7m

0.8m qusd=27.2 t/m2 1.85 m

Desarrollo : 1º) Determinaciones de Mu solicitante : Mu = 0.5*q*  2*B = 0.5*27.2*1.852*4 = 186 t*m 2º) Determinación de As : Se define el coeficiente de resistencia nominal Rn : Rn = Mn/(b*d2) = *fy*(1-0.5* *fy/(0.85*f‟c)) Ru= Mu/( bd2) = 186/(0.9*4*0.72) = 105 t/m2

085 . *

f 'c *1 fy

1 2 * Ru / (085 . * f ' c)

= 0.85*210/4200* 1-(1-2*105/(0.85*2100))0.5 = 0.0026 Chequeo

: mín = 0.0018 (contracción) A63-42 (7.12.2) 0.0018 < 0.0026 O.K. mín

As = *b*d = 0.0026*400*70 = 73 cm 2

14 26 = 74.34 cm2

Nota: En el otro sentido se requiere una cantidad menor, pero para facilidad en la construcción usar la misma cantidad. 3º) Chequeo del desarrollo de la armadura (ACI 15.6) La sección crítica es la misma que para el momento.(ACI 15.6.3) d( 26) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 92 cm B/2- p /2 = 2-0.375 = 1.625 m en que p = 0.75 m en el lado más corto 92 < 162.5 cm O.K.

2.7.) Diseño de las barras para transferir la fuerza a la base de la columna. Se pide para las condiciones del problema 2.4.), chequear la transferencia de esfuerzos en la interfase columna-fundación. f‟c(columna)= 5000 psi = 350 kgf/cm2 f‟c(zapata)= 3000 psi = 210 kgf/cm2 fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm2 Pu = 957.5 kips = 435 ton Desarrollo : 1º) Resistencia del hormigón de la columna (15.8.1.1) Pnb = (0.85f‟cA1) (10.15.1) = 0.7 (bearing on concrete 9.3.2.4) en que : *0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*0.350*75*30 (0.85f‟c = 298 = 469 ton Pu = 435 ton < 469 O.K. (9.3.2.4.)

300 kgf/cm2)

2º) Aplastamiento del hormigón de la zapata: f‟c = 210 kgf/cm2 La resistencia al aplastamiento se incrementa dado que el tamaño de la fundación permite una distribución de la carga de la columna. El incremento permitido varía entre 1 y 2, según la expresión A2 A1 2 , en que : A1 = área de la columna. A2 = área máxima de aquella parte geométricamente similar y concéntrica con el área de la columna. 4m 2 x = 4-0.75+0.3 = 3.55 m A1 A2 /A1 = 3.65/(0.75*0.3) 2 A2 = 14.2 m o 45 A1 = 0.225 m 2 x = 3.55 m A2 /A1 = 7.94 > 2

A2

Pnb

2 (0.85f‟cA1) = 2*(0.7*0.85*0.210*30*75)= 562 ton Pnb = 435 < 562 O.K. (193 < 250 kgf/cm2)

3º) Barras de traspaso (interfase columna-fundación) (15.8.2) As(mín) = 0.005*Areal del elemento que se apoya = 0.005*75*30 = 11.25 cm2 usar 6 16 = 12.06 cm2

4º) Longitud de desarrollo de barras comprimidas de la armadura de traspaso. (12.3.2) - En la columna: db = 0.0754*db*fy/ f‟c = 0.0754*1.6*4200/ 350 = 27.1 cm pero no debe ser menor que:  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 29 cm por lo tanto en la columna las barras miden 29 cm 30 cm. - En la zapata :  db = 0.0754*1.6*4200/ 210 = 35 cm >  mín O.K. longitud disponible para el desarrollo de la armadura: h-rec.-nºbarra* barra = 80-5-2*2.6-1.6 = 68.2 cm > 35 cm O.K. 16 Nota: 16 No se verifica la longitud de anclaje a tracción pues las barras están comprimidas 26 5cm recub.

2.8.) Verificar la transferencia de esfuerzos en la interfase columna-zapata. Para las condiciones de diseño dadas, disponga la armadura necesaria para la transferencia de esfuerzos entre la columna y la zapata. = 30 cm

Datos : - Columna cuadrada de 30*30 cm con 4 barras 36 - f‟c= 4000 psi = 280 kgf/cm2 (columna y zapata) 2 - fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm - PD = 200 k = 90 ton 46 cm - PL = 100 k = 45 ton

36 26

= 2.75 m

Desarrollo : 1º) Aplastamiento (Bearing Strength) en la columna de concreto. (15.8.1.1) Pnb = (0.85f‟cA1) = 0.7*0.85*0.28*302 = 150 ton Pu = 1.4*90+1.7*45 = 126+76.5 = 202.5 ton Pu > Pnb no cumple! 2 2 (202.5*1000/30 c = 225 kgf/cm )

La carga de la columna no puede ser resistida sólo por el hormigón. El exceso ha de ser transferido a la armadura. 2 exceso = 202.5-150 = 52.5 ton (52.5*1000/302 c = 58.4 kgf/cm ) 2º) Aplastamiento en el concreto de la zapata. (A2/A1) > 2 Pnb = 2*150 = 300 ton > Pu = 200 ton para efectos de la fundación : O.K. 3º) Barras de traspaso requeridas. As(req) = (Pu-Pnb)/( *fy) (9.3.2.4) 2 = (202.5-150)/(0.7*4.2) = 18 cm As(mín) = 0.005*302 = 4.5 cm2 (15.8.2.1) armadura adicional a la existente ! Usar 4 26 = 21 cm2 como barras de traspaso (dowel bars) 21 > 18 O.K. 4º) Desarrollo de la armadura de traspaso (dowel reinforcement) a) En la columna : Ha de haber un traslapo entre la armadura longitudinal ( 36) y las barras de traspaso ( 26), las que han de extenderse en el interior de la columna una distancia igual a la longitud de desarrollo de las barras ( 36), o la longitud de traslapo de las barras ( 26), la que sea mayor. Para las 36 :  d = 0.0754*db*fy/ f‟c (12.3.2) 0.5 = 0.0754*3.6*4200/280 = 68 cm pero no menor que :  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*3.6*4200 = 65 cm < 68 O.K. Para las 26 :  d = 0.0754*db*fy/ f‟c (12.3.2) 0.5 = 0.0754*2.6*4200/280 = 49 cm pero no menor que :  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm las barras 26 deben extenderse 68 cm en el interior de la columna. b) En la fundación : El desarrollo de las barras 26 en el interior de la fundación:  d = 0.0754*2.6*4200/2800.5 = 49 cm >  mín = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm (12.3.2)  d puede reducirse si se considera el área en exceso : (12.3.3.1) factor de reducción = As(requerida)/As(proporcionada) = 18/21 = 0.857  d = 0.86*49 = 42 cm Si las barras de traspaso se doblan, la parte doblada no se considera para efectos de anclaje de la barra en compresión. La longitud disponible para el desarrollo de la armadura en el interior de la zapata :

 = hzapata-recub.-nºbarras* barras recub.+ nºbarras* barras 10  = 46-10 = 36 cm < 42 cm no cumple! luego deberá aumentarse la altura de la zapata o usarse una mayor cantidad de barras de menor diámetro. Probemos con 6 22 = 22.8 cm2  d = 0.0754*(18/21)*2.2*4200/2800.5 = 33 cm < 36 cm O.K. >  mín = 0.0043*2.2*4200 = 40 cm donde

Disponer 6 22, que penetren 68 cm en la columna, dobladas en 90º para su colocación sobre la armadura de la zapata. Longitud vertical total = 68+33 = 98 cm es decir: Long.total = 68+35 = 100 cm 2.9.) Para las condiciones de diseño del problema 2.8.) más una fuerza horizontal mayorada de 43 ton, que actúa en la base de la columna. Datos: f‟c = 280 kgf/cm2 fy = 4200 kgf/cm2 Vu = 43 ton Desarrollo : 1º) Se usará el método “corte-fricción” (secc.11.7.4), para diseñar la transferencia de la fuerza horizontal. Vu Vn (11-1) Vu (Avf*fy* ) (11-26) en que : Avf = área de la armadura que resiste el corte = coeficiente de fricción = 0.6 cuando es hormigón sin rugosidad previa intencional (11.7.4.3) = 0.85 (corte) Avf = 43000/(4200*0.6*0.85) = 20 cm2 2º) Las 6 22 (22.8 cm2) dispuestas para la transferencia vertical funcionan como el plano de falla a considerar. No se requiere armadura adicional. Si acaso, las 6 22 hubiesen sido insuficientes se permite una reducción de un 40 % en Avf requerido siempre y cuando el hormigón de la zapata en contacto con el de la columna sea de una rugosidad de ¼ de pulgada. Para esta rugosidad = 1.0. A‟vf = 43000/(4200*1*0.85) = 12 cm2 Chequeo del desarrollo a tracción de las barras de traspaso

(12.2.2)

para 22 : (Ab = 3.8 cm2)  d = 0.0594*Ab*fy/ f‟c 0.0057*db*fy  d = 57 cm 53 cm dado que existe un exceso de armadura :  d = 57*A‟vf/Avf = 57*12/22.8 = 30 cm O.K.

(12.2.4.2)

3º) Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido: (11.7.5) La resistencia al corte nominal Vn no deberá ser mayor que 0.2*f‟c*Ac Vu Vn Vu 0.2*0.280*302*0.85 = 42.8 43 ton ( vn = 0.2*280*0.85 = 47.6 kgf/cm2 y vsolic = 43/302 = 47.8 kgf/cm2)

2.10.) Se pide el diseño de una zapata cuadrada, para las siguientes condiciones: Datos: (sin armar) DL = 40 k = 18 ton qadm = 20 t/m2 LL = 60 k = 27 ton f‟c = 3000 psi = 210 kgf/cm2 columna de 30*30 cm (f‟c para columna y zapata) Desarrollo : 1º) Af = (18+27)/20 = 2.25 m2 B = (2.25)0.5 B = 1.5 m ¡ El área de la base se determina con las cargas no mayoradas ! Para efectos de resistencia de los materiales se determina qusd con cargas mayoradas: qusd = (18*1.4+27*1.7)/2.25 = 31.6 t/m2 2º) Altura de la zapata. Para el hormigón simple (sin armar), el espesor lo controla la resistencia a flexión habitualmente. La sección crítica queda en la cara del pilar. Mu = 0.5*qusd*((1.5-0.3)/2)2 = 5.7 t*m/m = 8.5 t*m (=5.7*1.5) ff

Mu/(b*h2/6) = 8.5*105/(150*h2/6) = 3.4*104/h2

resistencia admisible a flexión (6.2.2) ff (adm) = 1.33* * f‟c = 1.33*0.65* 210 = 12.5 kgf/cm2 luego : 12.5 3.4*104/h2 h 52 cm Para hormigón vertido directamente sobre el suelo, los primeros 5 cm no se consideran en la resistencia. h = 60 cm d 55 cm

3º) Verificación de la resistencia al corte (hefectivo) hefectivo = 60-5 = 55 cm Beam action: La sección crítica queda a d = 55 cm del borde externo de la zapata, por lo tanto no es crítica. Two way action: vu = 1.5*Vu/(bo*hefectivo) en que: Vu = qusd*(B2-(0.3+0.55)2) = 31.6*(1.52-0.852) = 48.3 ton bo = (0.3+0.55)*4 = 3.4 m vu = 1.5*48.3/(3.4*0.55) = 38.7 t/m2

(tensión de corte solicitante)

vn = tensión de corte resistente = vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c = 0.65*1.06* 210 = 9.98 kgf/cm2 100 t/m2 Se cumple: vu vn (38.7 100 ) por lo tanto h = 55 cm efectivos está O.K. 4º) Aplastamiento en la columna. fb = 0.85* *f‟c = 0.85*0.65*210 = 116 kgf/cm2 (18*1.4+27*1.7)/0.32 = 71.1/0.09 = 79 kgf/cm2

< 116 kgf/cm2

O.K.

2.11.) Se pide chequear la transferencia de esfuerzos entre la base de una columna prefabricada y su pedestal, para una carga mayorada de 476 ton. f‟c = 350 kgf/cm2 (columna) f‟c = 210 kgf/cm2 (pedestal) fy = 4200 kgf/cm2

placa base de 60*60 cm

columna de 45*45 cm

8 32 pedestal

P/C 45*45 cm (P/C= pre-cast = pre-fabricado) Desarrollo : 1º) Aplastamiento en la columna de hormigón (entre P/C y placa base) Pnb = *(0.85*f‟c*A1) (10.15.1) = 0.7*0.85*0.350*45*45 = 421 ton < 476 ton no cumple! 2º) Aplastamiento en el pedestal entre este y la placa base. Pnb = 0.7*0.85*0.210*60*60 = 450 ton

< 476 ton

no cumple!

3º) No es posible transferir la carga por aplastamiento del hormigón ni para la columna ni para el pedestal. La carga en exceso (476-421) para la columna y (476-420) el pedestal, debe transferirse mediante el uso de armadura. En la manufactura de columna prefabricada es práctica habitual incorporar la placa a la columna ya sea mediante “bar anchors” o mediante barras soldadas a la placa base. El área requerida para las barras de anclaje : As(req) = Pu/( *fy) = (476000-421000)/(0.7*4200) = 18.71 cm2 (9.3.2.4) Además, la conexión entre la columna prefabricada y la placa base deberá tener una resistencia a tracción no menor que 14.06Ag en kgf, en que Ag es el área de P/C columna. As(mín) = 14.06Ag/fy = 14.06*452/4200 = 6.8 cm2 < 18.71 cm2 Se requiere barras 16. 18.71/2.01 = 9.3 9 16 = 18.09 cm2 Desarrollo de anclajes : d = 0.075*db*fy* f‟c = 0.075*1.6*4200/ 350

d = 26.9 cm pero, d no debe ser menor que :  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 28.9 cm usar d = 28.9 cm 4º) El exceso de carga entre la placa base y el pedestal (476-450=26 ton), debe ser tomado por una cantidad de armadura mínima: 14.06*Ag*fy Probemos con 4 pernos ASTM A36 (fy=36000 psi = 2530 kgf/cm2) As(req) = 26000/2530 = 10.3 cm2 As(mín) = 14.06*45*45/2530 = 11.3 cm2 4 22 = 15.216 cm2 Los pernos deben estar embebidos en el pedestal para desarrollar su resistencia (por adherencia),  d es el doble dado que los pernos son lisos.  d = 2*0.075*db*fy/ f‟c = 2*0.0075*2.2*2530/ 210 = 57.6 cm  d(mín) = 2*0.0043*db/fy = 2*0.0043*2.2*2530= 48 cm  d = 60 cm

2.12.) Dimensionar y armar la zapata que se propone. Datos: DL = 120 ton LL = 90 ton H = 20 ton h 2 qadm = 4 kgf/cm 3 pilar 30*50cm suelo = 1.95 t/m (compactado) Suelo originalmente suelto f‟c = 300 kfd/cm2 (zapata y columna) fy = 4200 kgf/cm2 Desarrollo : 1º) Determinación de la planta. P/(B*L) qadmneto en que : P = 120+90 = 210 ton qadmneto = 40-3*1.95 = 34.15 t/m2 34 t/m2 sustituyendo : B = 2.03 m

210/(B*1.5B) 34 B = 2 m y L = 3m

H

3m

B 1.5B

2º) Determinación de la altura de la zapata (h). qusd = (120*1.4+90*1.7)/6 = 53.5 t/m2 a) Punzonamiento : vn = vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c c = 50/30 = 1.67 < 2 vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300 = 15.6 kgf/cm2 Vn = vc*bo*d Determinación de bo bo = (0.3+d)*2+(0.5+d)*2 = 0.6+2d+1+2d = 1.6+4d Vu = qusd*(B*L-(0.3+d)*(0.5+d)) = 53.5*(2*3-(0.3+d)*(0.5+d)) = 321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d)) Se debe cumplir : Vu Vn 321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d)) 156*d*(1.6+4d) d = 0.498 m d = 50 cm y h = 60 cm b) Chequeo por acción de viga : 2 1 = 3/2-0.5/2-0.5 = 0.75 m 2 = 2/2-0.3/2-0.5 = 0.35 m

y

0.3 0.5

x

1 chequeo para 1 : Vu = qusd*  1*B = 53.5*0.75*2 = 80.25 ton Vn = vc*B*d vc = 0.85*0.53* f‟c = 7.8 kgf/cm2 Vn = 78*2*0.5 = 78 ton < 80 ton no cumple! Probar con d = 0.52 m  1 = 3/2-0.5/2-0.52 = 0.73 m Vu = 53.5*0.73*2 = 78.11 ton Vn = 78*2*0.52 = 81 ton d = 0.52 m y h = 0.80 m 3º) Determinación de la cantidad de armadura : Mux (solicitante) Mu = 0.5*qusd*(3/2-0.5/2)2*B = 0.5*53.5*1.252*2 = 83.6 t*m Determinación de As : Se define un coeficiente de resistencia nominal Rn : Rn = Mn/(b*d2) Ru= Mu/( bd2) = 83.6/(0.9*2*0.522) = 171.7 t/m2

085 . *

f 'c *1 fy

1 2 * Ru / (085 . * f ' c)

= 0.85*300/4200* 1-(1-2*171.7/(0.85*3000))0.5 = 4.24*10-3 > mín = 1.18*10-3 As = *b*d = 4.24*10-3*200*52 = 44.1 cm2 12 22 = 45.6 cm2 ( 22 @15 cm aproximadamente) (Faltaría chequear en la otra dirección) Chequeo del anclaje para armadura en tracción. d ( 22)= 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*3.8*4200/ 300 = 55.3 cm < 200/2-50/2 = 75 cm 4º) Verificación del aplastamiento. - En la columna: Pnb = *0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*300*50*30 = 178*50*30 = 268 ton 268 ton < Pu = 321 ton no cumple! colocar armadura As(req) = (Pu- Pnb)/( *fy) = (321-268)/(0.7*4200) = 18.03 cm2 As(mín) = 0.005*50*30 = 7.5 cm2 Controla As = 18.03 cm2 4 25 = 19.63 cm2

Longitud de desarrollo a compresión. d = 0.075*2.5*4200/ 300 = 45.5 cm d(mín) = 0.0043*2.5*4200 = 45.2 cm < 45.5 Reducción por mayor cantidad de área proporcionada. d = (18.03/19.63)*45.5 = 41.47 cm d(mín) = 45 cm (para la columna y la zapata

O.K.

 =45+45=90 cm)

5º) Transferencia de la fuerza horizontal. Método de “corte-fricción” (secc.11.7.4) Vu Vn Vn = Avf *fy* (11-26) Avf = área de la armadura que resiste el corte. = 0.6 (sin rugosidad previa) = 0.85 Avf = H/( *fy* ) = 20000/(0.85*4200*0.6) = 9.3 cm2 con los 4 25 = 19.63 cm2 estamos O.K. Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido :

(15.8.2.1)

Vn = *0.2*f‟c*Ac = 0.85*0.2*4200*30*50 = 51*30*50 = 76.5 ton > 20 ton O.K.

2.13.) Determinar la armadura para la fundación cuadrada de la figura : f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2 fy = 50000 psi = 3500 kgf/cm2 D = 45.4 ton qadm = 4 ksf = 20 t/m2 L = 54.5 ton 35*35cm Desarrollo : 1º) Determinación de B : Pu = 1.4D+1.7L = 1.4*45.4+1.7*54.5 = 156 ton P = D+L = 45.4+54.5 = 99.9 ton 100 ton despreciando el peso de la zapata P/A qadm 100/B2 20 B 50.5 B = 2.2 m Calculando la presión equivalente del suelo para que sea consistente con el diseño por resistencia última. qusd = 156/2.22 = 32 t/m2

2º) Determinación de la altura mínima para tensión diagonal (punching shear) (ec.15.2.1) 2 d *(vc+qs/4)+d*(vc+qs/2)*a-(Af-Ac)*qs/4 = 0 vc = 4* * f‟c (f‟c en psi) = 1.1* * f‟c (f‟c en kgf/cm2) vc = 1.1*0.85* 210 = 13.5 kgf/cm2 = 135 t/m2 Ac = 352 = 1225 cm2 en la ecuación se usa qusd: d2*(13.5+32/4)+d*(135+32/2)*0.35-(2.22-0.352)*32/4 = 0 14.3*d2+52.9*d-37.7 = 0 d2+0.37*d-0.264 = 0 d = 0.36 m 3º) Chequeo de la resistencia y si la profundidad de traspaso puede controlar qbrg = 0.85* *f‟c = 0.85*0.7*210 = 125 kgf/cm2 Pu = 0.125*352 = 154 ton 156 ton use 4 “dowels”(barras de traspaso) para amarrar la columna a la zapata y para proveer anclaje a las barras de acero.(ver fig.15.22a)

4º) Determinación de la cantidad de acero As : Mu = *As*fy*(d-a/2) en que: = 0.85 Mu = q*L‟2/2 L‟ = B/2-a/2 = 2.2/2-0.35/2= 0.925 m q = qusd = 32 t/m2 entonces: Mu = 32*0.9252/2 = 13.7 t*m/m (30.1 t*m) total fy = 3500 kgf/cm2 = 35000 t/m2 a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*35000/(0.85*2100*100) = 0.196*As sustituyendo : 13700/(0.85*3.5) = As*(35-0.196*As) 460.5 = 35*As-0.196*As2 As = 164 cm2/m As = 14.3 cm2/m As(total) = As*2.2 = 31.5 cm2 = As/(b*d) = 31.5/(2.2*0.36) = 0.004 > 0.002 (Falta chequear mín y máx)

2.14.) Diseñar la zapata cuadrada de la figura para las cargas indicadas, por el método de la resistencia según el código ACI 318-83. columna cuadrada de 30 cm Cargas en la columna: d h DL = 38 ton LL = 34.2 ton 2.8 m Materiales: f‟c = 250 kgf/cm2 (Hormigón H25) fy = 4200 kgf/cm2 (Acero A63-42H) Condición: dmín 30 cm recubrimiento 5 cm 0.3 2.8 m 0.3

Desarrollo : vc = 1.06* f‟c = 16.8 kgf/cm2

(tracción diagonal, punzonamiento)

vc = 0.53* f‟c = 8.38 kgf/cm2 (corte como viga) U = 1.4*DL+1.7*LL = 1.4*38+1.7*34.2 = 111.3 ton qtu = U/B2 = 111.3/2.82 = 14.2 t/m2 qtu : tensión de trabajo mayorada.

(chequear qt < qadm)

Determinación de Vu y d : (sección crítica para el corte = de)

a

Sección de punzonamiento Vu =(de+B)*  *qtu/2

d

en que : de = (0.3+d) en m. B = 2.8 m  =B/2-0.3/2-d/2=(2.5-d)/2 qtu =1.42 kgf/cm2 Vu

Vc

d/2



e

Vc=vc*b*d b

Vc= vc*(0.3+d)*d en que : Vu = ((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/4 Vu/( *(0.3+d)*d) vc ((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/(0.85*4*(0.3+d)*d) ((3.1+d)*(2.5-d))/(0.3*d+d2) 40.2 d

31 cm

d = 0.35 m

168 t/m2

no necesita armadura al corte, que es la condición que queremos.

Determinación de As a flexión. (sección crítica = ab)

L = 1.25 m L = (2.8-0.3)/2 = 1.25 m qtu = 14.2*2.8 = 39.76 t/m Mu = qtu*L /(2*B) = 39.76*1.25 /(2*2.8)= 11.09 t*m/m

qtu

Determinación de Mud (Momento último dúctil) Mud = Kmáx*f‟c*b*d2 en que:

Kmáx = 0.9*qmáx*(1-0.59*qmáx) qmáx = máx*fy/f‟c (interpolando en tabla 1, dada por J.M.T.) máx = 0.75* b = 0.019

entonces: qmáx = 0.019*4200/250 = 0.321 Kmáx = 0.9*0.321*(1-0.59*0.321) = 0.234 Mud = 0.234*250*100*352 = 7.17*106 kgf/cm = 71.7 t*m/m Mu < Mud sólo armadura a tracción. Mu = 11.09 t*m/m En la tabla están tabulados los valores Mu/( *f‟c*b*d2) 11.09*105/(0.9*250*100*502) = 0.0197

= 0.02 (Tabla 9.2)

= *f‟c/fy = 1.19*10-3 = As/(b*d) As = *b*d -3 2 As = 1.19*10 *100*50 = 6 cm /m de ancho 8 10/m de ancho (6.28 cm2) 6 12/m de ancho (6.79 cm2) Observaciones: 1º) = Q/(7*b*d/8) (válido para teoría clásica) 2º) Para determinar la resistencia admisible del hormigón: Vc = vc*b*d vc = 1.06* f‟c (para tracción diagonal, con sección crítica de) 3º) Además debe chequearse el corte puro, con sección crítica, d‟e‟ y vc = 0.53* f‟c Vc = vc*b*d 4º) Vu Vc = 0.85 para el corte. 2.15.) Para la estructura de la figura, diseñe y dimensione ambas fundaciones. pp = 5 t/m sc = 3 t/m viento = 1.1 t/m B1/B2 = B3/B4 = 0.75 f‟c = 300 kgf/cm2 qadm = 5 kgf/cm2 fy = 2800 kgf/cm2 sc pp 12.5 m B

C U = 1.4D+1.7L U = 0.75(1.4D+1.7L+1.7W)

6.0 m

viento

A

D pilar 20*20

pilar 30*20 Df

h1 zapata 1

h2 zapata 2

B1 B2

B3 B4

a) Determine acciones D y L sobre cada zapata b) Determine B1,B2,h1 (h1 por punzonamiento) c) Determine armadura principal para la zapata 1 d) Determine B3,B4,h2 (h2 por corte por acción de viga) e) Determine armadura principal para la zapata 2 Aproximar Bi a los 5 cm más cercanos. Suponer que cada zapata con su sobrecimiento pesa 1.25 ton Desarrollo: a) Determinación de las cargas que actúan sobre las zapatas. a.1) por efecto de la sobrecarga V1L+V2L = 3*12.5 = 37.5 ton MA = 0 1.1*6*6/2+3*12.5*12.5/2 = V2L*12.5 H1L = 6.6 ton V2L = 20.33 ton V1L = 17.17 ton

a.2) por efecto del peso propio V1D+V2D = 5*12.5 = 62.5 ton V1D = 31.25 + ppzap V2D = V1D = 32.5 ton D = 32.5 t L = 17.17 t 

D = 32.5 t L = 20.33 t L = 6.6 t 

M = 6.6*2 = 13.2 t*m b) Dimensionamiento en planta de cada zapata b.1) zapata 1 qt < qadm (32.5+17.17)/( B1*B2 ) < 50 t/m2 49.67/(0.75*B22) < 50 B2 = 1.15 m B1 = 0.86 0.85 m d.1) zapata 2 qt < qadm

(32.5+20.33)/(B1*B2) + M/W < qadm 52.83/(0.75*B42) + 79.2/(0.75*B43) < 50

5060 LIB

Verificación

37.5* B43-52.83* B4-79.2=0 B4 = 1.64 m 1.65 m B3 = 1.23 m 1.25 m

min > 0 52.83/(0.75*1.652)-79.2/(0.75*1.652)= 2.37 t/m2

O.K.

b.2) Determinación de h1 La zapata 1 se dimensiona su h para cumplir con punzonamiento B2 -Determinación de qusd 0.2+d qusd =(1.4D+1.7L)/A B1 0.2+d = (1.4*32.5+1.7*17.17)/(1.15*0.85) qusd = 76.41 t/m2 (zapata 1) - Debe cumplirse por el punzonamiento que: Vu

Vn

Vu = qusd*(B1*B2-(0.2+d)2

qusd Vn = 0.85*(0.53+1.06/ c)* f‟c en este caso : c = 0.2/0.2= 1 Vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300 = 15.6 kgf/cm2 = 156 t/m2 y Vn = 15.6*bo*d donde

= dim.mayor/dim.menor c>2 c=2

c

bo = 2*(0.2+d)+2*(0.2+d) = 0.8+4*d

Vu Vn d 76.41*(0.85*1.15-(0.2+d)2) 156*(0.8+0.4*d)*d 0.49*(0.98-(0.2+d)2) 0.8*d+4*d2 0.48-0.49*(0.2+d)2-0.8*d-4*d2 0 d = 23 25 cm h1 = 30 cm d.2) Por enunciado se pide dimensionar la zapata 2 para que cumpla con acción de viga. U = 0.75*(1.4*D+1.7*L+1.7*W) = 1.05*D+1.275*L+1.275*W Determinación del diagrama de presiones sobre el suelo. P M 105 . * 32.5 1275 . * 20.33 1275 . * 6.6 2 u 1 A W 125 . * 165 . * 125 . * 165 . 2 6

= 29.11 29.67 t/m2 máx = 58.78 t/m2 u mín = -0.56 0 u vu = 1/2*(58.78+

y)*

1.65 m d  = 1.65/2-0.15-d

/(B3*d) h2

vn = 0.85*0.53* 300 = 78 t/m

2

B4 58.78 t/m2 y

d 0.30 0.25 0.23

 0.375 0.425 0.445

y

45.42 43.64 42.93

vn 52.10 < 78 69.65 < 78 78.71 78

d = 24 cm

h2 = 30 cm

c) Determinación de la armadura principal de la zapata 1 d = 25 cm B1 = 0.85 m B2 = 1.15 m = As/(B*d)

085 . *

f 'c *1 fy

Ru = Mu/( *B*d2)

1 2 * Ru / (085 . * f ' c) t/m2 (qusd = 76.41 t/m2)

Determinación de Mu : 0.20 m 0.475 m

(B2-0.2)/2 = 0.475 Mu = 0.5* B1*0.4752*76.41

B1=0.85m B2=1.15 m 76.41

As = 12.01 cm2

Mu = 7.33 t*m Ru = 153.31 t/m2 = 0.57*10-2 As/B1 = 14.13 cm2/m de ancho

e) Determinación de la armadura principal de la zapata 2 Determinación de Mu: 0.30m = B4/2-0.3/2=0.675m =0.675m MU1(carga uniforme)=1/2* y*B3*2 B3=1.25m = 0.5*34.73*1.25*0.6752 MU1 = 9.89 t*m 34.73 B4=1.65m

58.78 t/m2

MU2(carga triangular)=R*2/3*

24.05 y

= 34.73 t/m2

R = 1/2*24.05*0.675*0.25= 10.15 ton

MU2 = 10.15*2/3*0.675 = 4.57 t*m MU =MU1+MU2 = 14.46 t*m d = 0.24

Ru = 223.15 t/m2 = 0.84*10-2 As = 25.06 cm2 As/B3 = 20.05 cm2/m de ancho

2.16.) a) Aplicando conceptos de viga en medio elástico, determine la altura necesaria para que la de la figura se comporte como un cuerpo rígido en la dirección de las solicitaciones indicadas en la figura. b) Determine sólo la armadura a flexión requerida. Datos : K = 5 kgf/cm3 f‟c = 300 kgf/cm2 E = 300000 kgf/cm2 fy = 2800 kgf/cm2 Corte AA Mu=11t*m Vu=40t

0.2

3.0m 20*30cm

A

0.3

A

Desarrollo: a) Determinación de la altura. L < /4 zapata rígida 3* K =4 = (3*5000/3*106*h3)1/4 3 E *h = 0.266/h3/4

2.0m

L < /4

0.266*2/h3/4 < /4 h = 0.60 m

h

0.59 m

Verificación : = (3*5000/3*106*0.913)1/4*2= 0.78 0.78 < /4 = 0.785 O.K. b) Determinación de la armadura a flexión. b.1 Determinación del diagrama de presiones bajo la zapata para determinar el momento en la sección crítica. Vutot = 40+pp = 40+2.4*2*3*0.6 = 40+8.64 = 48.64 ton = P/A M/W = 48.64/(2*3) 11/(3*22/6) = 8.11 5.5 t/m2 máx = 13.61 t/m2 mín = 2.61 t/m2

M,m

2/2-0.2/2 = 0.9 m

2.61 t/m2

8.66

13.61 t/m2

b.2) Determinación del momento de diseño Mu Modelo considerando 1 m de ancho. 0.9 m

M1 = 0.5*8.66*0.92 = 3.51 t*m M2 = 0.5*4.95*0.92*2/3 = 1.34 t*m 9.4 t/m2

Mudis = 4.85 t*m

4.95 t/m2 b.3) Determinación de la armadura. Ru= Mu/( bd2) = 485/(0.9*200*552) = 0.891 kgf/cm2

085 . *

f 'c *1 fy

1 2 * Ru / (085 . * f ' c)

= 0.85*300/2800* 1-(1-2*0.891/(0.85*300))0.5 = 3.188*10-4 = 14.1/fy = 0.00504 mín = 1.33* cálculo = 0.00041 = retracc. = 0.002

As( =0.00504) = (5.04/1000)*200*55 = 55.44 cm2/m

III

DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO DE ZAPATAS COMBINADAS

Análisis de zapatas “combinadas” Por ejemplo zapatas sobre la cual descansan dos o más pilares. V1 V2 R=V1 + V2 c1 c2

h L L/2

L/2 c.g. B

Para simplificar el problema supondremos sólo cargas verticales. Zapata rígida ( L

/4

0.8 )

( se puede elegir h de modo que se cumpla L /4 ). En lo posible se trata que R carga sobre el centro de gravedad de la zapata ( para que no haya momento). Condición de diseño : a) Resultante R pase por c.g. de la zapata. b) qt = R/(L*B) qadm Estas zapatas superficiales en general son infinitamente rígidas con lo que tendremos.

V1 /c1 x

A

V2 /c2

MA =(R/L)*x 2 /2

B R/L

MB =(R/L)*x 2/2-V1 *(x-a)

a Para calcular Q se procede en forma análoga. Las zonas más solicitadas serán las que están al borde de los pilares y el centro.

Ejemplo de aplicación (extraído del Bowles) Trabajaremos con pies y kips (1 kips= 1000 lb 0.5 ton ) 130 kips 200 kips

R

1‟

1.25‟ 1.33‟

x

15‟ R

9.59‟

L qadm = 2 k/ft2 R* x = 200*15 R = 330 kips x = 9.09‟ Encontramos las dimensiones de la fundación. L = 2*9.59‟ = 19.2‟ qt = qadm = 2 = 330/(B*19.2) B = 8.59‟ qt

B = 9‟

Se aproxima a B = 9‟ ya que no se ha incluido el peso propio de la zapata que en este caso es despreciable. 130/1=130 k/ft

200/1.25=160 k/ft

130 k

200 k

1‟

1.25‟

53.5 (65)

(160) (130)

93.5 kf 83.5 kf

125 422 kf (355)

40 kf (120)

113 (100) 56.4 kf (120)

6.6‟

(110)

330/19.2=17 k/ft

El mismo problema se podría haber resuelto considerando que la viga no es rígida. 200 k 130 k

k =130 k/ft 3 19.2‟ Se considera EI = cte.. entre paréntesis (en diagrama de Q y M), los valores obtenidos con esta modelación. Si se quiere que la viga sea realmente rígida la altura de 1.33‟ debería ser de 6.5‟ para que L = /4. Cuando por motivos de espacio no se puede agrandar (o achicar) la zapata a gusto para que R pase por el c.g. se recurre a una zapata que en planta tiene forma de trapecio. Planta

L

Edificio existente

c V1

R=V1+V2

V2 a

b

d x‟

L-x‟

Hay que buscar a y b para que R=V1+V2 pase por el centro de gravedad de la zapata. R*x‟ = V2*(L-c/2)+V1*d/2 R=V1+V2 x‟ = (V2*(L-c/2)+V1*d/2)/(V1+V2) x‟ debe coincidir con el c.g. del trapecio. xcg = (L/3)*((2*a+b)/(a+b)) = x‟ qt = qadm = R/((a+b)*L/2) Para que se pueda materializar este tipo de zapata. L/3 < x‟ < L/2 (para trapecio) si L/3 = x‟ se tendría un triángulo (a=0) si L/2 = x‟ se tiene un rectángulo (a=b) si x‟ < L/3 a /4

3.2.) Determinar B1 , B2 y h para la zapata combinada de la figura .Determinar h por acción de viga. Datos: 4m variable DL1 = 90 ton P1 P2 LL1 = 80 ton DL2 = 65 ton 0.4m 0.4m LL2 = 55 ton adm = 20 t/m2 h f‟c = 300 kgf/cm2 -restricción : existe un muro vecino al pilar izquierdo. Desarrollo : 1º) Determinación de xr : R*x = (65+55)*4 x = 120*4/(170+120) = 1.655 m xr = x +0.2 = 1.855 m 2º) Determinación de A : (P1+P2)/A 20 A (170+120)/20 A 14.5 m2 3º) Determinación de L : i) L 3*xr = 5.56 m ii) L > 2* x = 2*1.855 = 3.71 m iii) L 4.4 m L = 4.4 m B1 = 2*A/L-B2 = 2*A/L-2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*A/L* 1-(3*xr/L-1) = 2*A/L* 2-3*xr/L = 2*14.5/4.4* 2-3*1.855/4.4 = 4.85 m B2 = 2*A/L* 3*xr/L-1 = 2*14.5/4.4* 3*1.855/4.4-1 = 1.75 m Usaremos B1 = 4.85 m y B2 = 1.75 m Chequeo : A = (4.85+1.75)*4.4/2 = 14.5 m2 O.K. 4º) Diagrama de presiones. qusd = (1.4*(90+65)+1.7*(80+55))/14.5 = 446.5/14.5 = 30.8 t/m2

0.4*0.4m

B1

0.4*0.4m

B2 q1 = 30.8*4.85 = 149 t/m q2 = 30.8*1.75 = 54 t/m q2

q1

Diagrama de corte: P=262 ton

P=184.5 ton

d sección crítica q(x) = 149-(149-54)*x/4.4 = 149-21.59*x 149 t/m

q(x)

54 t/m

q(x=0.2)= 144.68 t/m q(x=4.2)= 58.32 t/m

x 4.4 m 173.4

29.4 11.1 232.63

Qu(x) = (149+q(x))*x/2 (corte útil, cargas mayoradas) Q(x=0.2)= (149+144.68)*0.2/2 = 29.37 (-232.63) Q(x=4.2)= (149+58.32)*4.2/2-262 = 173.37 (-11.13) Q(x=4.4)= (149+54)*4.4/2-262-184.5 = 0 b(x) = 4.85-(4.85-1.75)*x/4.4 = 4.85-0.7045*x vu = Qu(x)/(b(x)*d) x d*vu(x)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 -42.88 -40.5 -37.9 -35.3 -32.6 -29.9 62.4 69.4 76.9 84.7 93.0 101.8 111.2

x 3.8 3.9 4.0 d*vu(x) 121.1 131.8 143.1 t/m Qu(x)= (149+149-21.59*x)*x/2-262 vu(x)= (149-10.795)*x/(4.85-0.7045*x) La sección crítica se produce a x=0.4+d, a la derecha del pilar izquierdo. Determinación de la altura h :

vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 300 = 7.8 kgf/cm2 Determinación de Vu: Vu Vn vu vn Tanteos: d = 0.5 m q(x=0.4+0.5) = 129.6 t/m Q(x=0.9)=262-0.5*(149+129.6)*0.9 = 262-125.36 = 136.6 ton = Vu Vn = Bd*d* vn Bd = b(x) = 4.216 m d = 0.5 m vn = 78 t/m2 Vn = 4.216*0.5*78 = 164.4 ton > Vu d = 0.5 m

y

O.K.

h = 0.6 m

Si chequeamos la columna de la izquierda, claramente se aprecia que controla este sector. d 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 (m) vu(x) 186 141.2 109.9 86.8 69.3 (t/m2) vn < 78 (t/m2) d = 0.9 m b(x=3.1) = 4.85-0.7045*3.1 = 2.66 m Vn = 2.66*0.9*78 = 186.7 ton Vu = 2.66*0.9*69.3 = 165.9 ton d = 0.9 y h = 1.0 m

3.3.) Para las solicitaciones señaladas diseñe la zapata combinada según ACI 318. Datos : DL=63.5ton DL=85.1ton 2 f‟c = 210 kgf/cm LL=41.0ton LL=50.0ton 2 4.9 m fy= 4200 kgf/cm 2 qadm = 17 t/m 0.35 m 0.4 m fundación rígida

Desarrollo : 1º) Determinación de las dimensiones de la fundación (L y B) i) El centro de gravedad del área en contacto con el suelo, debe coincidir con la línea de acción de la resultante. R* x = (81.5+50)*4.9

R = 63.5+41+81.5+50 = 236 ton x = (81.5+50)*4.9/236 = 2.73 m L = (2.73+0.32/2)*2 = 5.81 m

5.8 m

P/A = qadm P = 236 ton 236/(B*5.8) = 17 B = 2.39 m

2.4 m

2º) Determinación de qusd del suelo : qusd = Pult/A Pult = 1.4*(63.5+81.5)+1.7*(41+50)= 203+155 = 358 ton entonces: qusd = 358/(5.8*2.4) = 25.7 t/m2 3º) Diagramas de fuerzas de corte y de momentos. 158.6

q1

194.1

q1 = (1.4*63.5+1.7*41)/0.35=453.1 t/m q2 = (1.4*81.5+1.7*50)/0.4=498 t/m q3 = 358/5.8 = 61.7 t/m (ancho=2.4m) (qusd*B=25.7*2.4=61.7 t/m)

q2

q3

x‟

x 0 < x < 0.35 m

q(0 < x < 0.35)= 61.7-453.1 = -391.4 ton/m (V= qdx ) V(x=0.35)= -391.4*0.35 = -137.0 ton M(x=0.35)= -0.5*q*x2 = -0.5*391.4*0.352 = -23.97 t*m

0.35< x < 4.875 m q = q3= 61.7 t/m V(x) = 61.7*x-158.6 chequeo: V(x=0.35)=61.7*0.5-158.6 = -137.01 O.K. M = Vdx = 0.5*61.7*x2-158.6*(x-0.35/2) ( x varía entre 0.35 y 4.875 m) x

V(x)

M(x)

x

V(x)

(m)

(ton)

(t*m)

(m)

(ton)

2.7 3.0 3.5 4.0 4.5

7.99 26.5 57.4 88.2 119.1

0 0.35 0.50 1.0 1.5

0 -137.0 -127.8 -96.9 -66.1

0 -24.0 -43.8 -100.0 -140.7

M(x) (t*m)

-175.6 -170.4 -149.4 -113.05 -61.2

2.0 2.5 2.6

-35. -4.4 1.82

-166.05 -175.9 -176.06

4.875 5.275

142.2 32.39

-12.3 8.5

Chequeo: 0 < x‟ < (4.9+0.35/2+0.2)-5.8 = 0.505 m V(x= 0.525) = q3dx = -61.7*0.525 = -32.39 ton M(x= 0.525) =q*x2/2 = 8.5 t*m 0.525 < x‟ < 0.525+0.4= 0.925 m q = 61.7-498 = -463.3 t/m V(x=0.925)= -32.39+463.3*0.4 = 142.1 ton M(x=0.925)= 61.7*x2/2-498*(-498*0.4*0.4/2) = 26.4-39.84 = -13.4 t*m

142.2 ton

- = M(x=2.6)= -176.1 t*m Mmáx

32.2ton

139 ton

+ Mmáx = 0.5*(5.81-4.9-(0.4+0.35)*61.72/2) = 8.83 t*m

176.1t*m 8.8t*m

4º) Determinación de la altura de la fundación. vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 210 = 6.53 kgf/cm2 = 65.3 t/m2 Vu = 142.2-61.7*d Vn = B*d* *vn = 2.4*d*65.3 = 156.7*d Vu

Vn

142.2-61.7*d = 156.7*d d = 0.65 m

luego h = 0.75 m Chequeo de tensiones diagonales (Punzonamiento) vn = 1.06* * f‟c = 13.06 kgf/cm2 = 130.6 t/m2

0.35m

1

0.4m 0.525m

0.35+0.65 =1m

2

0.35+0.65/2 = 0.675 m

0.4+0.65 =1.05m

Para la columna 1, el perímetro de corte es : bo1 = 1+0.675*2 = 2.35 m La fuerza resistente : Vn = vn*bo1*d = 130.6*2.35*0.65 = 199.5 ton Vu = 158.6-A*qusd = 158.6-0.675*25.7 = 141.2 ton Para la columna 2, el perímetro de corte es: bo2 = 1.05*4 = 4.2 m

O.K.

La fuerza resistente : Vn = vn*bo2*d = 130.6*4.2*0.65 = 365.5 ton Vu = 199.1-1.052*25.7 = 170.8 ton O.K. Tratemos de aclarar

199.1ton

h/L = 0.75/4.9 < 4/5 no es un componente a flexión alto

h

máx F=356.5 ton qusd=27.5 5º) Determinación del área de acero requerida. a) Para momento negativo: M-u(máx) = -176.1 t*m para un ancho de 2m. Mu/( *fy) = As*(d-a/2) a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As 176.1*105/(0.9*3500) = As*(65-0.04085*As) 5590.5 = 65*As-0.04085As2 As = 1500 ¡NO! As = 91.2 cm2 Ru = Mu/( *b*d2) = 176.1/(0.9*2.4*0.652) = 193.0 t/m2

085 . *

f 'c *1 fy

1 2 * Ru / (085 . * f ' c)

= 0.85*210/3500* 1-(1-2*193/(0.85*2100))0.5 = 5.85*10-3

= As/(b*d) As = 5.85*10-3*240*65 = 91.3 cm2 (7.12.2) mín = 0.002 0.00585 > mín O.K. Usar 19 25 = 93.3 cm2 > 91.3 cm2 Anclaje: d( 25) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*4.9*3500/ 210 = 71.1 cm se produce aproximadamente al centro del tramo O.K. b) Para momento positivo: M+u(máx) = 8.8 t*m Ru = Mu/( *b*d2) = 8.8/(0.9*2.4*0.652) = 9.64 t/m2 = 0.85*210/3500* 1-(1-2*9.64/(0.85*2100))0.5 = 2.76*10-4 < mín = 0.002 As = 0.002*240*65 = 31.2 cm2 mín = As/(b*d) Usar 13 18 = 33.02 cm2 Anclaje: d( 18) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*2.54*3500/ 210 = 36.9 cm < 52.5 O.K. d mín = 30 cm (12.2.5) c) Diseño de la armadura transversal : qusd= 25.7 t/m2 por 1 m de ancho q= 25.7 t/m d = 65-1.8/2-1 63 cm Longitud en voladizo : L = (2.4-0.35)/2 = 1.025 m M = qL2/2 = 25.7*1.0252/2 = 13.5 t*m/m Mu/( *fy) = As*(d-a/2) a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As 13.5*105/(0.9*3500) = As*(63-0.04085*As) 428.6 = 63*As-0.04085As2 As = 1535 ¡NO! As = 6.83 cm2 = As/(b*d) = 6.83/(100*63) = 1.08*10-3 < 0.002 Asmín = 0.002*100*63 = 12.6 cm2/m Usar 5 18 = 12.7 cm2 (arriba y abajo)

4.9 m

0.725m 0.525m

0.35m

2

12.6 cm /m 19 25

0.4m [email protected] 93.3cm

2

0.75m

2

12.6 cm /m

18

33.3cm

2

[email protected]

5.8 m

3.4.) Dimensione la zapata trapezoidal considerando : qadm(suelo)= 20 t/m2 f‟c= 300 kgf/cm2 pp=115 ton sc= 91 ton =0.6m

5.6m

pp=82 ton sc= 63 ton =0.4m

h Determine h para acción de viga (elija un pilar para definir la sección crítica) Desarrollo : 1º) Posición de la resultante : R*x= (82+63)*6.1 x = (82+63)*6.1/(82+63+115+91) = 2.52 m xr = 2.52+0.3 = 2.82 m El centro de gravedad está desplazado hacia la izquierda, luego ese lado será el más ancho. 2º) El área del trapecio el tal que : (206+145)/A = 20 t/m2 A = 17.55 m2 B2 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*17.55/6.6*(3*2.82/6.6-1) B2 = 1.5 m B1 = 2*A/L-B2 = 2*17.55/6.6-1.5 = 3.82 m 3.85 m

B1 = 3.85 m en que B1 es el lado derecho. Determinación de qusd : qusd = Pult/A = (1.4*(115+82)+1.7*(91+63))/((1.5+3.85)*6.6/2) = (275.8+261.8)/17.655 = 537.6/17.655 qusd = 30.45 t/m2 315.7 221.9 q1 = 30.45*3.85 = 117.2 t/m q2 = 30.45*1.5 = 45.7 t/m q3 = 113.95 t/m q4 = 47.87 t/m q = 117.2-(117.2-45.7)*x/6.6

q1

q3

q4

q2

Diagrama de corte (suponiendo una variación lineal) 34.67 ton x‟

212.5 ton x”

-247

-9.38

-281 ton

Mejor sacar el diagrama de corte en función de x para obtener Q(x=d) 0.6/2 < x < 6.6-0.2 Q(x‟) = (117.2+117.94)*0.3/2-315.7+(113.95+(113.95-10.83*x‟))*x‟/2 = -281+(227.9-10.83*x‟)*x‟/2 = -281+113.95*x‟-5.42*x‟2 x‟ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6.1 Q(x‟) -281 -225 -172 -122 -74.8 -30 12.1 51.4 88.1 122 153 182 212 Determinación de h para acción de viga en el pilar izquierdo. vn = *0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm2 Vu(x‟=0.3+d)= -281+113.95*(0.3+d)-5.42*(0.3+d)2 = -247+113.95*d-5.42*(0.3+d)2 d 0.5 0.7 0.65

Vu -193.3 -172.5 -177.6

vu = Vu/(B*d)

B 3.46 3.39 3.41

vu -111.79 -72.7 -80.3

> 78 < 78 > 78

B(x) = 3.85-(3.85-1.5)*x/6.6

= 3.85-0.356*x x‟ = x-0.3 x = 0.6+d usar d = 0.7 m

y h = d+0.05 = 0.75 m

Determinación de la sección crítica para el pilar izquierdo. Q(x‟) = -281+113.95*x‟-5.42*x‟2 Vu(x‟=6.1-(0.2+d))= -281+113.95*(5.9-d)-5.42*(5.9-d)2

d 0.5 0.6 0.9 0.95 0.96

Vu

B

176.3 170.7 153.3 150.2 149.6

1.82 1.86 1.96 1.98 1.984

vu = Vu/(B*d)

vu 193.7 153.3 86.7 79.8 78.5

vn 78 78 78 78 78

B(x”) = 1.5-(3.85-1.5)*x”/6.6 = 1.5-0.356*x”

x = 0.4+d d = 0.95 m

y h = 1.00 m

3.5.) Determine las dimensiones de la zapata de la figura para las condiciones indicadas: 1º) Existe un muro vecino al pilar izquierdo. 5m 1.15m 2º) DL1= 130 ton, LL1= 110 ton 50cm 30cm DL2= 60 ton, LL2= 50 ton 3º) adm(suelo)= 3 kgf/cm3 4º) Ambos pilares son cuadrados. Desarrollo : 1º) Determinación de xr : x = 110*6/R = 110*6/(240+110) = 1.886 m xr = x+0.5/2 = 1.886+0.25 = 2.136 m 2º) Determinación de A : adm P/A A P/ adm = (240+110)/30 A 11.67 m2 3º) Determinación de B1 y B2 :

B1 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*11.67/6.4*(3*2.136/6.4-1) = 0.0046 B2 = 2*A/L-B1 = 2*11.67/6.4-0 = 3.65 m asumimos B1 = 0.5 m

3.6.) Para la fundación combinada de la figura se pide: a) Dimensionar la fundación : B, L b) Diagrama de corte. 30cm c) Diagrama de momento. qadm = 2.5 kgf/cm2 h Nota: h es tal que la fundación es rígida.

R=170 ton 60 ton

110 ton

3.24m

50cm

5m

Desarrollo : 1º) Determinación de L : R* x = 110*5 R = 170 ton x = 3.24 m Para que R actúe en el centro de gravedad de la zapata : L = (3.24+0.15)*2 = 6.77 m 2º) Determinación de B : R/A qadm 170/(B*L) 25 t/m2 170/(25*L) B 1.0 m se adopta este valor

B

La viga queda sometida a las siguientes solicitaciones. 60/0.3=200 t/m

110/0. 5=220 t/m

q = 25 t/m 6.77m 0 0.3

x 4.9 5.4

6.77

Diagrama de corte : 62.5

Q(x) 52.5

x 34.25

0 -5.25 62.5 -35 0

0.3

4.9

5.4

0

Q(x) = q1(x)-q2(x) Q(x) = 52.5-25*x Q(x) = 62.5-(220-25)*0.5 Q(x) = 40-25*x

(0 < x < 0.3 ) ( 0.3 < x < 4.9 ) ( 4.9 < x < 5.4 ) ( 5.4 < x < 6.77 )

Diagrama de momento : 0 < x < 0.3 M(x) = -(200-25)x2/2 = -175*x2/2

x M(x) 0.1 0.875 0.2 3.50 0.3 7.90

0.3 < x < 4.9 M(x) = -200*0.3*(x-0.15)+25*x2/2 x 0.3 0.5 1 M(x) -7.875 -17.875 -38.5

2 -61

3 -58.5

4 -31

4.9 15.185

Partiendo por el otro extremo: 0 < x1 < (6.77-5.4)=1.37 M(x1) = 25*x2/2 x1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.37 M(x1) 0.5 2 4.5 8 12.5 18 23.5 0.37 < x1 < 1.87 M(x1)=23.5-(220-25)*x12/2 = 23.5-97.5*x2 (0 < x contracción As = bd = 40.78 cm2 No de barras de 16 = 40.78/2.01 = 20.29 20 barras Espaciamiento = (250-10)/19 = 12.6 a 12 cm Luego 16 @ 12 ( 20 barra 16 ) ii) Mu= -34.6 t*m (d-d) (barras lecho superior) = 34600/(0.9*250*2.5*552) =0.0203 = 0.02 = 0.001786 < máx < mín poner mín = 1.33 = 0.002375 > contracción As = bd = 32.7 cm2 No de barras de 16 = 32.7/2.01 = 16.26 17 barras iii) Mu= -23.44 t*m (b-b) (barras lecho superior) = 23440/(0.9*250*2.5*552) =0.0138 = 0.014 = 0.00125 < máx < mín mín = 1.33 = 0.00166 < contracción poner contracción As = 27.5 cm2 No de barras de 16 = 27.5/2.01 = 13.68 14 barras Barras en lecho inferior i) en e-e Mu = 30.21 t*m 2 Mu/( f‟cbd ) = 30210/(0.9*250*2.5*552) = 0.01775 = 0.018 = 0.0016 < máx < mín poner mín = 1.33 = 0.002128 > contracción As = bd = 29.26 cm2 o N de barras de 16 = 29.26/2.01 = 14.56 15 barras ii) en d-d Mu = 25.05 t*m Mu/( f‟cbd2) = 25050/(0.9*250*2.5*552) = 0.0147 = 0.00134 < máx < mín poner mín = 1.33 = 0.00178 < colocar As = 27.5 cm2 contracción = 0.002 No de barras de 16 = 14 barras iii) en b-b y a-a

colocar

contracción

= 0.015 contracción

14 barras 16

Colocación de barras longitudinales

14 barras

16

20 barras

16

17 barras

16

F‟ F Detalle de F‟

14 barras

16

14 barras

16

3 barras

16

3 barras

16

15 barras

16

Detalle de F 14 barras

16 1 barras

16

- Armadura transversal Mu = ((qmáx+qmín)/2)*6.2*1.05*1.05/2 = (15.04+4.47)*0.5*6.2*1.052*0.5= 33.34 t*m Este momento total se debe tomar con un ancho b = 2*B = 2*250=500cm = 5 m Mu/( f‟cbd2) = 33340/(0.9*250*2.5*502) = 0.01185 = 0.012 = 0.00107 < máx < mín mín = 1.33 = 0.00142 < contracción colocar contracción = 0.002 As(bajo columnas) = 0.002*2*B*50 = 50 cm2 en columna izquierda : Pizq*As/Pt = 56.7*50/151.2 = 18.75 cm2 en columna izquierda : Pder*As/Pt = 94.5*50/151.2 = 31.25 cm2 En la zona central tomar Mu = 20% Mu longitudinal = 0.20*42.43 = 8.49 t*m mín

= 0.002

As = 0.002*50*(6.2-5) = 12 cm2

(6 16)

10 16 16 16

Distribución de la armadura transversal 2.5m

1.2m

2.5m

10 16

6 16

16 16

16 @25

16 @25

16 @15

3.8.) Una estructura industrial se cimenta en un emparrillado indicado en la figura, en la que se indican las cargas de las cuatro columnas, se pide: a) Calcular las presiones sobre el terreno (sin contar las debidas al peso del propio del cimiento), suponiendo que las vigas de cimentación son rígidas y la estructura también. b) Armar la viga de cimentación del eje  . Considerar hormigón H25, acero A44-28H. Factor de amplificación de las cargas considerar igual a 1.0. Recubrimiento 5 cm.

A

B

65ton

1m



100ton Nota:Todas las columnas son de 50*50 cm. En la parte b) se pide sólo armar a flexión para el momento máximo que existe. Considerar altura total igual a 6 cm. Despreciar pequeños volados en dicha viga de cimentación.

1m 6m

 100ton

6m

65ton

Desarrollo: Y 65ton

100ton

1m 1

2

1m 6m 3

100ton

4

6m

X 65ton

Condición: N1X+N1Y = 65 ton N2X+N2Y = 100 ton N3X+N3Y = 100 ton N4X+N4Y = 65 ton Por simetría : 1X = 4X 1Y = 4Y 2X = 3X 2Y = 3Y En la viga 1-2

= 2X = 3X = 4X = 1X

1Y 2Y 3Y 4Y

N1X = N4X N1Y = N4Y N2X = N3X N2Y = N3Y eX R1-2

XG1-2 = 6N2X/(N1X+N2X) = 3.64 ex = XG1-2 -3 = 0.64

N1X

N2X 6.0m

ex = 6N2X/(N1X+N2X) -3 = 3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)

XG1-2

Con luz L y ancho b, las tensiones , vienen dadas por: Xi Xi

Xi

= NiX/BL 1+12e/L2(xi-L/2)

1X L

= ((N1X+N2X)/6)*(1-6e/L) = ((N1X+N2X)/6)*(1-ex)

L=6 m

1-ex = 1-3(N2X-N1X)/(N1X+N2X) = (4N1X-2N2X)/(N1X+N2X) 1X

2X

= (4N1X-2N2X)/6

1X

= 0.67N1X-0.33N2X

(1)

= ((N1X+N2X)/6)* 1+12e/L2(L-L/2) = ((N1X+N2X)/6)*(1+ex) 1+ex = 1+3(N2X-N1X)/(N1X+N2X) = (4N2X-2N1X)/(N1X+N2X)

= (4N2X-2N1X)/6 En la viga 1-3 2X

2X

= 0.67N2X-0.33N1X

(2)

eY R1-3 YG1-2 = 6N3Y/(N1Y+N3Y) = 3.64 ey = YG1-3-3 = 0.64

N1Y

N3Y 6.0m

ey = 6N3Y/(N1Y+N3Y)-3 = 3(N3Y-N1Y)/(N1Y+N3Y)

YG1-3

por simetría: N3Y = N2Y ey = 3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y) 1Y

= ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L2(-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1-6e/L) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1-ey) 1-ey = 1-3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y) = (4N1Y-2N2Y)/(N1Y+N2Y) 1Y

2Y

= (4N1Y-2N2Y)/6

1Y

= 0.67N1Y-0.33N2Y

(3)

= ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L2(L-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1+ey) 1+ey = 1+3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y) = (4N2Y-2N1Y)/(N1Y+N2Y) (4) 2Y = (4N2Y-2N1Y)/6 2Y = 3Y = 0.67N2Y-0.33N1Y

= 2X =

0.67N1X-0.33N2X = 0.67N1Y-0.33N2Y 0.67N2X-0.33N1X = 0.67N2Y-0.33N1Y 2Y N1X+N1Y = 65 N2X+N2Y = 100 N1X = 32.5 ton N2X = 50 ton N1Y = 32.5 ton N2Y = 50 ton 2 2 1X = 1Y = 5.28 t/m 2X = 2Y = 22.78 t/m Luego: 2 2 1 = 4 = 5.28 t/m 2 = 3 = 22.78 t/m 1X

1Y

Por simetría la tensión bajo la columna 4 es igual a la de la columna 1 y la de la columna 3 es igual a la de la 2. 35.2ton V

M(z) VIGA 1-2 EJE1

50ton

(de acuerdo a simplificaciones del enunciado del problema)

0.60m

6.0m 5.28 t/m

Z

z

22.78 t/m

(22.78-5.28)/6=y/z y=2.92z Z = 2.92z+5.28

M(z) = 5.28*z2/2+0.5*2.92*z3/3-32.5*z = 2.64*z2+0.49*z3-32.5*z dM(z)/dz = 5.28*x+1.47*z2-32.5 = 0 z = (-5.28 (5.282+4*1.47*32.5)1/2)/(2*1.47) = (-5.28 14.8)/2.94 z = 3.24 m Mmáx = 2.64*3.242+0.49*3.243-32.5*3.24 = 27.71+16.67-105.3 = -60.92 t*m f‟c = 250 kgf/cm2 d = 60-5 = 55 cm

fy = 2800 kgf/cm2 f = 1.0 (amplif.carga) Mu = -60.92 t*m

Mu/( f‟cbd2) = 60920/(0.9*250*1.0*552) = 0.0895 = 0.095 = f‟c/fy = 0.095*250/2800=0.00848 > mín mín = 14.1/fy = 0.005 máx = 0.75 b b = 0.85 (f‟c/fy)(6000/(6000+fy)) = 0.852*(250/2800)*6000/8800 b = 0.044 máx = 0.033 < máx usar = 0.00848 = As/(bd) As = 0.00848*100*55= 46.64 cm2 o N de barras( 25) = 46.64/4.91 = 9.5 10 barras Espaciamiento = (100-10)/9 = 10 cm 10 barras 25 o 25 @ 10 cm ubicadas en lecho superior.

3.9.) Dimensione la zapata y diseñe su armadura para las condiciones señaladas. qadm = 17 ton/m2 (suelo) ( considere zapata rectangular ) 2 f‟c = 200 kgf/cm f‟c = 4200 kgf/cm2 pp = 65 ton sc = 40 ton

pp = 80 ton sc = 50 ton 5m

35 cm

40 cm

h

NOTAS 1) Determine h considerando acción de viga solamente 2) Considere min (A63-42) = 1.8 por mil Considere max = 0.75* b 3) No verifique longitudes de desarrollo, de traslapo, ni anclaje. Desarrollo: 1o) Dimensionamiento (L,B,h) - Determinación de L Condición:el c.g. del área en contacto (B*L) coincide con la posición de la resultante. Ma fuerzas no mayoradas = 0 R*x = (80+50)*5 y R = (65+40)+(80+50) luego x = 2.77 m  L =(35/2+277)*2 = 589 cm L = 590 cm x

cg

B

L = 2*xR

xR L - Determinación de B Condición: no se puede superar qadm del suelo qadm (65+40)+(80+50)/(B*L) 17 ton/m2 c

luego

B

2.34 m

entonces

235 ton/(B*5.9 m2)

17 ton/m2

B = 235 cm

- Determinación de h Condición: usar cargas mayoradas y determinar diagrama de corte para diferentes secciones críticas. 14 . * (65 80) 17 . * (40 50) ton/m2 qusd 2.35 * 5.90 = 25.68 ton/m2

Diagrama de corte: V1 = 1.4*65+1.7*40 = 159 ton V2 = 1.4*80+1.7*50 = 197 ton q = 25.68 ton/m2*2.35m =60.35 ton/m 159 ton

197 ton

60.35 t/m x

x`

x‟‟

153 ton 10.6 ton

(+) 4.4 ton

148 ton (-) Q(x=0.175) = 10.56 y (-148) Q(x=5.175) = 10.56-159+60.35*5 = 153.3 y (-43.7) Q(x=5.9) = 153.3-197+60.35*0.725 = 0.065 0 O.K. Por simple inspección se puede considerar una sección crítica a la izquierda del pilar derecho ( a “d” metros ) Q(x‟) = 153-(153+148)*x‟/5 = 153-60.2*x‟ Sección crítica: x‟=0.4/2+d = 0.2+d Vu = Q(x‟)/B*d =(153-60.2*(0.2+d))/(2.35*d) Vn = 0.53* f‟c = 63.7 ton/m2 Vu = Vn 209.9*d 140.96 d 0.67 m d = 67 cm Verificación de la sección crítica derecha del pilar izquierdo. x‟ = 5-0.35/2-0.67 = 4.16 m Q(x‟= 4.16) = -97 ton Q(x‟= 0.87) = 100.6 ton 100.6 97 es correcto la sección crítica tomarla a la izquierda del pilar derecho,

luego: h= 75 cm - Determinación de la armadura. Hay que determinar la armadura superior , inferior y transversal. Diagrama de momentos: M(x) = 0.5*60.44*x2 M(x) = 0.5*60.44*x2-159*(x-0.175) M(x) = 0.5*60.44*(x‟‟)2 x (m) 0.175 0.50 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5.175 5.5

M(x) (t*m) 0.926 -44.12 -101.0 -142.7 -169.3 -180.8 -177.2 -158.5 -124.7 - 75.7 15.65 4.8

(x 0.175 m) (x 5.175 m)

¡Para que el diagrama de momentos cierre hay que trabajar con las dimensiones exactas!

M+max = 15.7 t*m M-max = 181 t*m

Momento para calcular la armadura transversal 35 100 Asmin=1.8/1000*100*67 = 12.1 cm2/m h = 75 cm B=2.35 m d = 67 cm q=qusd*1m 25.68 t/m M = 0.5*25.68t/m*1.02m = 12.84 t*m Ru =31.8 t/m2 = 0.76*10-3 min - Cálculo de la armadura longitudinal. Asmin = (1.8/1000)*B*d = (1.8/1000)*235*67 Asmin = 28.3 cm2 a) Armadura inferior M(x=4.65+0.35)= -10.4 baja mucho tomemos M+ = 15.65 t*m Ru=16.48 t/m2 = 0.039*10-2 Asmin=6.21 cm2

usar Asmin 28.3 cm2 max = 0.075 b

b=(0.85*0.85*200/4200)*(6000/(6000+4200)) -2 =2.023*10 b max = 1.52*10-2

b) Armadura superior M- =181 t*m

Ru = 190.6 t/m2 = 0.483*10-2 As = 76 cm2

IV VIGA EN MEDIO ELASTICO

4.1.) Para la viga de la figura, determinar, la elástica, el momento flector y el corte para x = 1.0 m y x = 5.0 m. Los pernos inducen un momento de 30 t*m. pernos de anclaje

L

L=5m 3 K = 15 kgf/cm E = 3*10 kgf/cm2 h = 0.3 m b = 0.25 m

x y Desarrollo : =

4

K *b = 4*E *I

4

3* K E * h3

L>

viga infinita

3 * 15000 = 0.863 1/m 3 * 10 6 * 0.33 L*0.863 > L > 3.6 m sea L = 5 m (para tener viga muy flexible)

=

4

L = 4.32 >

Los pernos de anclaje significan un momento aplicado de 30 t*m 1º) Modelo : M1 M1 = + + A y R R 2º) Determinación de R : y = (-2M1 2/k)*C X + (2R /k)*D y(x=0)= 0 C 0=1, D 0=1 R = M1 = 25.89 ton 3º) Determinación de y(x), Q(x) y M(x).

X

y(x) = -(2M1 2/k)*C X + (2(M1 ) /k)*D X = (2M1 2/k)*(D X-C X) = (2M1 2/k)*B X k = K*B = 3750 Q(x) = -2M1 B X-RC Q(x) = -M1 A X M(x) = M1 A X-R/ B M(x) = M1D X

X

X

= -2M1 B X-M1 C

X

= M1 A X-(M1 / )B

= -M1 *(B X+C X)

X

= M1(A X-B X)

4º) Resultados numéricos : y(x) = (2*30*0.8632/3750)*B X = 11.92* B X (mm) Q(x) = -30*0.863*A X = -25.89*A X (ton)

M(x) = 30* D x y(x)

X

(t*m) Q(x) M(x)

m

mm

ton

t*m

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

3.24 3.82

-22.31 -15.40 -8.76 -3.84 -0.84 -0.63 1.10 1.03 -0.75 0.45

17.7 8.2 2.2 -0.825 -1.92 -1.92 -1.45 -0.91 -0.46 -0.16

-0.17 -0.15

4.2.) Para la zapata corrida de la figura (ancho= 1 m) se pide: Usando tablas Hahn a) Calcular las presiones transmitidas al terreno en los puntos A, B y C. b) Calcular asentamiento en A, B y C. c) Diagrama de momento para armar la viga. 100 ton K = 5000 t/m3 E = 2*106 t/m2 (hormigón)

1.2 m A B C 2 2 2

2 Desarrollo: Determinación de la rigidez relativa de la viga. Para una viga de sección rectangular se tiene: 3* K =4 = (3*5000/(2*106*1.23))1/4 = 0.26 3 E *h L = 2.05 /4 < L < viga de longitud intermedia (Hahn, Tabla 7) po = p*P/(b*) Mo = M*P* /100 P

xi / =0.5

xi A

Pto. A B C

xo 0 2 4

xo/ 0.0 0.25 0.5

B p

C M

0.74 0 1.02 2.73 1.18 11.51

po(A) = 0.74*100/(1*8) = 9.25 t/m2 po(B) = 1.02*100/8 = 12.75 t/m2

(0.257)

po(C) = 1.18*100/8 = 14.75 t/m2 b) q = K*y = K* A = po(A)/K = (9.25/5000)*100 = 0.19 cm A

= 1.9 mm

,

B

= 2.6 mm

c) Diagrama de momento (M(x)= xo/ M

M(x)

0.1 0.39 3.12

0.2 1.63 13.04

,

C

= 3 mm.

M*P*)

0.3 3.83 30.64

0.4 7.1 56.80

0.5 11.51 92.08

P

(+) M(x)

4.3.) Para la viga en medio elástico de la figura, determinar : a) la elástica. b) el diagrama de momento.

M A

corte A-A 0.25m

A 2.5 m

1m

2.5 m

Desarrollo : Para una viga de sección rectangular : 3* K =4 = (3*5000/(106*0.253))1/4 = 0.99 3 E *h L = 4.95 > viga larga a) Elástica :

M = 3 t*m 3 K = 5000 t/m E = 100000 kgf/cm2 6 2 = 10 t/m

y = (Mo 2/K)*B

X

en que : 2 Mo = 3 t*m = 0.98 y = 0.588*B X (mm) M = 1.5*D X (t*m) x (m) 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.5

x 0 0.297 0.594 0.891 1.188 1.485 1.782 2.079 2.475

F2 BX 0.0000 0.2175 0.3090 0.3190 0.2828 0.2257 0.1646 0.1093 0.0520

K = 5000 t/m3

y (mm) 0 0.13 0.18 0.19 0.17 0.13 0.10 0.06 0.03

F4 DX 1.0000 0.7105 0.4575 0.2579 0.1139 0.0194 -0.0353 -0.0609 -0.0661

x 0 0.3 0.9 1.5 2.1 2.5 M 1.5 1.07 0.69 0.39 0.17 0.02 -0.05 -0.09 -0.07

4.4.) Determinar el diagrama de momento y de corte para un pilote de acero sometido a un momento M = 5 t*m M

L=6m Suelo granular, compacto K = Kx = 7 kgf/cm3 constante

A

A

32cm

corte A-A

40cm

3 cm

Desarrollo : =

4

k = 4*E *I

4

K *b 4*E *I

en que : I = 0.4*0.43/12-0.32*0.323/12 = 0.00126 = (7000*0.4/(4*2.1*107*0.00126))1/4 = 0.4033 1/m

L = 0.4033*6 = 2.42 1º) La rigidez relativa indica que es una viga de longitud intermedia. /4 < L < 2º) Modelación :

M

R M

P0A

=

P0B

+ R‟

M0A

M0B

3º) Determinación de R en la viga infinita; aplicando la condición de borde: y(x=L)=0. y(x=L) = (-M 2/k)*B X - (R‟ /2k)*1 = 0 (-5*0.40332/(7000*0.4))*B(2.42) = (R‟*0.4033/(2*7000*0.4))*1000 - 0.017 = R‟*0.072 R‟ = -0.236 ton El signo (-) indica que R‟ va hacia abajo, luego la viga infinita queda. 0.24 ton 5 t*m

¡ muy largo!..... Nota: 1. Lo que ocurre en un extremo influye en toda la viga. 2. Use fórmulas para viga infinita. 3. Determinar así el corte y el momento en los extremos de la viga. 4. Superponer en la viga cargada, cargas P0A, P0B, M0A y M0B en los extremos, se resuelve la viga finita.

4.5.) Resolución de un canal semi-enterrado. situación favorable

K = 5.5 kgf/cm3 3m

e=0.2m

TIP E = 300000 kgf/cm2

0.2m 5.5 m

situación crítica

Se pide : a) Diagrama de presiones en el suelo. b) Diagrama de momento. Desarrollo: La viga a resolver es la siguiente.(no se considera el efecto de enterramiento) P= 2.4*3*0.2*1 = 1.44 ton P q= 3 t/m P M=3*3*1*1/2 = 4.5 t*m M b=1m M q = 3.5 t/m 3* K = (3*5500/(3*106*0.23))1/4 = 0.911 1/m 3 E *h L = 0.911*5.5 = 5.0 > se comporta como viga larga. - para las cargas en los extremos usamos las fórmulas para vigas semi-infinitas. - para la carga que solo se produce asentamiento pues está uniformemente repartida a lo largo de la viga.

=

4

y = (2P1 /k)*D M = (-P1/ )*B

X

y = (2M1 2/k)*C M = -M1*A

P1=1.44 ton

X

M1=4.5 t*m

X

X

y = (2*1.44*0.911/(5500*1))*D X+(2*4.5*0.9112/(5500*1))*C = 0.477* D X+1.358*C X (mm) M = (-1.44/0.911)* B X-4.5*A

X

= -(1.581*B X+4.5*A X)

X

(t*m)

x 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 

y(q=3.5 t/m2)=q/K = 3.5/5.5 = 0.64 mm x DX CX y BX 1000 1000 mm 1000 0 1000 1000 1.835 0 1.002 197.8 -111.6 -0.057 309.3 2.004 -56.6 -178.9 -0.270 122.3 2.505 -65.7 -114.2 -0.186 48.6 3.006 -49.0 -55.7 -0.099 6.7 4.008 -11.8 2.1 -0.003 -13.8 5.011 2.0 8.3 0.012 -6.4

AX 1000 1000 507.1 65.8 -17.1 -42.3 -25.6 -4.4

M t*m -4.500 -2.771 -0.489 0.008 0.180 0.137 0.030

Superponiendo y aplicando simetría. y (mm) 1.835+0.012+0.636= 2.48 -0.057-0.003+0.636= 0.58 -0.270-0.099+0.636= 0.27 -0.186-0.186+0.636= 0.26

1.1

p=K*y (kgf/cm2) M (t*m) 1.36 -4.500+0.030 = -4.47 0.32 -2.771+0.137 = -2.63 0.15 -0.489+0.180=-0.31 0.14 0.008+0.008=0.016

2.2 2.75

3.3

4.4

5.5 m

ymáx 0.25 cm

pmáx = 1.4 kgf/cm2

(-)

(-)

Mmáx = -4.47 t*m

4.6.) Para la viga de fundación del estanque elevado, determine : a) Presión máxima b) Asentamiento máximo. estanque de 4 m3 K = 9 kgf/cm 3 losa 2*0.7*0.2 m 0.2m E = 200000 kgf/cm2 columna = 0.3 m h=5m

A

A corte A-A viga

0.25m

0.25*0.2*0.3m

0.3 TIP

2m

¡Desprecie colaboración de la viga transversal! Desarrollo : 3* K =4 = (3*9000/(2*106*0.253))1/4 = 0.964 1/m 3 E *h > L = 1.928 > /4 viga de longitud intermedia 1º) Modelación :

P = 0.964 1/m A

B

Determinación de P peso estanque 4.0 ton peso losa =2*0.7*2*2.4= 0.672 ton peso pilar =5*0.32*2.4= 1.080 ton P = 5.75 ton 2º) Se reemplaza por una viga infinita. P0A 5.75 ton

M0A

P0B M0B

3º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B. QA = (P/2)*D X = (5.75/2)*D(2.41) = -0.192 ton MA = (P/4* )*C X = (5.75/3.856)*C(2.41) = -0.189 t*m QB =-(P/2)*D X = 0.192 ton MB = (P/4* )*C X = -0.189 t*m

C(2.41)= -0.1268 D(2.41)= -0.0668 A(2.41)= -0.0068 B(2.41)= 0.0600 1/(4* ) = 0.259

0.192

0.192

C( ) = C(1.928)= -0.1871 D( ) = D(1.928)= -0.0509 A( ) = A(0.482)= 0.0854

/2 = 0.482

-0.189+0.259*P0A+0.5M0A-48.46*10-3*P0B-25.45*10-3*M0B = 0 -0.192-0.5*P0A-0.482*M0A-25.45*10-3*P0B+41.16*10-3*M0B = 0 -0.189-48.46*10-3*P0A-25.45*10-3*M0A+0.259*P0B+0.5M0B = 0 0.192+25.45*10-3*P0A-41.16*10-3*M0A+0.5*P0B+0.482*M0B = 0 P0A = -1.1143 P0B = -1.1143 4º) Se resuelven por sustitución :

M0A = 0.893 M0B = 0.893

1.114

A

1.114

C

B

K*yc = -K*(P* /(2*k))*A X*2 = -9000*1.114*0.964*-0.0068/(9000*0.3)=24.34*10-3 t/m2 0.843

0.843

+ A C B 2 K*yc = K*(Mo* /(K*b))*B X*2 = 0.843*0.9642*0.06*2/0.3 = 331.9*10-3 t/m2 5.75 + A

C

B

K*yc = K*P* /(2*k) = 5.75*0.964/(2*0.3) = 9.238 t/m2 pmáx = 9.6 t/m2

y

ymáx = p/K = 9.6/9000 = 1.07 mm

Chequeo ¡ Ver tabla correspondiente del Hansen !

4.7.) Determinar el momento (MD) al centro de la viga : b = 1.73 m I = 0.9*108 cm4 3 K = 4 kgf/cm E = 210000 kgf/cm2 8 ton A

8 ton

C

3m

D

B

8m 22m

Desarrollo : K *b = (4000*1.93/(4*2.1*106*0.9))1/4 = 0.174 1/m 4*E *I L = 0.174*22 = 3.83 > Implica que las solicitaciones en un extremo no influyen en el otro extremo. El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas interiores viga . El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas Po y Mo viga semi- .

=

4

1º) La viga que hay que resolver : P0A 8ton

8ton

P0B

M0A

M0B A

x=

0.522

B x=1.914

3.306

8ton MA =

MA

8ton

QB

QB +

QA

MB

QA

2º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B : -Debido a la 1ª carga de 8 ton.: QA = (P/2)*D X = 4*D(0.522) = 2.056 MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(0.522) = 2.506 QB = -(P/2)*D X = -4*D(3.306) = 0.144 MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(3.306) = -0.345 - Debido a la carga de 8 ton. centrada : QA = (P/2)*D X = 4*D(1.914) = -0.200 MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115 QB = -(P/2)*D X = -4*D(1.914) = 0.200 MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115

MB

x 0.522 3.306 1.914 3.83

D 0.514 -0.036 -0.050 -0.017

C 0.218 -0.030 -0.184 -0.003

A

B

-0.031

-0.014

QA = 2.056-0.2 = 1.856 QB = 0.144+0.2 = 0.344

MA = 2.506-2.115 = 0.391 MB = -0.345-2.115 = -2.430

0.391+P0A/0.696+M0A/2-0.0043*P0B-0.0085*M0B = 0 1.856-P0A/2-M0A/11.494-0.0085*P0B-0.0027*M0B = 0 -2.43-0.0043*P0A-0.0085*M0A+1.437*P0B+M0B/2 = 0 0.344-0.0085*P0A+0.0027*M0A+P0B/2+0.087*M0B = 0 P0A = 7.594 P0B = -2.457 Como

L>

M0A = -22.432 M0B = 11.606

se podría plantear 2 sistemas de ecuaciones de 2*2;

0.391+1.437*P0A+0.5*M0A = 0 1.856-0.5*P0A-0.087*M0A = 0

P0A = 7.697 M0A = -22.904

-2.43+1.437*P0B+0.5*M0B = 0 0.344+0.5*P0B+0.087* M0B = 0

P0B = -3.068 M0B = 13.68

Se observa que las dos primeras ecuaciones dan similares pero no asi las segundas. 3º) Superposición : P0A = 7.59 M0A = -22.43 P0B = -2.46 M0B = 11.61 1.39= x

8t MD = (2/ )*C(1.39)= -2.3 D

8t

MD = 2/ = 11.494

+ D

7.59

1.914

+ D

MD = (7.59/(4*0.174))*C(1.914) = -2.061

1.194

MD = -(22.43/2)*D(1.914)= 0.56 +

22.43

D

2.46 1.914

MD = -(2.46/(4*0.174))*C(1.914) = 0.688

+ D 1.914

11.61

MD = (11.61/2)*D(1.914)=-0.29

+ D

x 1.39 1.914

C -0.2 -0.189

D 0.045 -0.05

MD = -2.3+11.49-2.061+0.56+0.688-0.29 = 8.09 t*m La tabla 11 resuelve para

O.K. (Hahn p297)

 = 4 (  = 3.83 rad)

xi = 3 m xi/ = 3/22 = 0.136 xo = 11 m xo/ = 11/22 = 0.5

MD =

M*P*

= -2.05*8*22/100 = -3.6

xi = 11 m xo = 11 m

MD =

M*P*

= 6.59*8*22/100 = 11.6

xi/ = 0.5 xo/ = 0.5

MD = 8 t*m

4.8.) Determinar diagrama de momento en la viga de fundación (achurada), considerando peso propio de la viga de fundación es cero. muro muro E = 250000 kgf/cm2 rígido rígido I = 0.94 m4 K = 5 kgf/cm 3 V=1000 t V=1000 t no se considera las losas como elementos arriostradores

c a 4m

d 20m

0.25m 3m

b

3m

c.g

4m

0.3m

b=1.2 m

Desarrollo : Descomposición V

V Q1

Q1 c

M1

a

M1

Q1

1

b 1

Q1

M1

M1 a

d

b

2

Ecuaciones de compatibilidad :  y1a = y2a y

1a

=

para determinar Q1 y M1

2a

Elemento  : En el sistema , este es infinitamente rígido K *b rígido I= 0 1= 4 4*E *I

V

L < /4 1L1

V-Q1 Mc

Q1 M1

Mc= Q1*L1/2+M1

=

c

c

L1=4 m

L1=4 m

= q/K

=

0 < /4

Hipótesis : no hay tracción

+

*L1/2 = Mc/(K*IRR)

*L1/2 y1a = - *L1/2 = q/K- *L1/2 q = (V-Q1)/

= (Q1*L1/2+M1)/(K*IRR)

y1a = (V-Q1)/(L1*b*K)-((M1+Q1*L1/2)/(K*IRR)*L1/2 = L1*b = 4*1.2 m IRR = B*L13/12 = 1.2*43/12 = 6.4 m4

= L1*b

R 1.2m R

L1 y1a = V/(L1*b*K)-(1/(L1*b*K)+L1 /(4*K*IRR))*Q1-(L1/(2*K*IRR))*M1 K = 5000 t/m3 2

y1a = 1000/(4.8*5000)-(1/(4.8*5000)+42/(4*5000*6.4))*Q1-(4/(2*5000*6.4))*M1 y1a = 4166*10-5-16.7*10-5*Q1-6.25*10-5*M1 = -(M1/(K*IRR)+L1/(2*K*IRR)*Q1)= - 3.13*10-5*M1-6.25*10-5*Q1 Elemento  : K *b =(5000*1.2/(4*2500000*0.94))1/4 = 0.16 1/m 2= 4 4*E *I se puede considerar viga semi-infinita. 2L2 = 0.16*20 = 3.2 > 1a

M1

Q1

Q1

M1 +

=

a



x

y2a = (2*Q1* /k)*F4( x)-(2*M1* 2/k)*F3( x) y2a = 5.33*10-5*Q1-0.85*10-5*M1 2a

k =6000 t/m2

= -(2*Q1* 2/k)*F1( x)+(4*M1* 3/k)*F4( x) -5 -5 2a = -0.85*10 Q1+0.21*10 *M1

no se considera el efecto de las cargas M1 y Q1 del otro extremo pues producen e y aproximadamente cero en el punto a. Por ecuaciones de compatibilidad : y1a = y2a y 1a = 2a 4166.7-16.7*Q1-6.25*M1 = 5.33*Q1-0.85*M1  -3.13*M1-6.25*Q1 = -0.85*Q1+0.27*M1  

22.03*Q1+5.4*M1 = 4166.7 5.4*Q1+3.4*M1 = 0

Resolviendo el sistema: M1 = -491.89 t*m 309.71

y

Q1 = 309.71 ton

309.71

491.84

491.84 a

d

b

20 m Solo se consideran las secciones extremas y media. En a) Ma = -491.89 t*m En d) debido a una carga vertical: Md = -(Q1/ )*F2(1.6) = -(309.71/0.16)*0.2018 = -390.62 t*m debido a un momento : Md = -M1*F1(1.6) =-491.89*0.1954 = -96.36 t*m

luego d

=

d

+

Md = -390.62*2 = -781.24 t*m

Md = -2*96.36 = -192.72 t*m

Md = -(781.24+192.72) = -973.96 t*m Luego : Diagrama de momento

+ a

d - 491.89 -(1428.56) [+1700

b

+

-973.96 -(4999.86) [-800

Comentario: Con rojo valores obtenidos si se considera la viga también infinitamente rígida. Esto es por el lado de la seguridad pero es antieconómico. Entre paréntesis cuadrados valores obtenidos si se consideran tirantes que unen los muros (losas o vigas conectando los muros). Solución: no hay giro en los puntos a y b. En realidad los tirantes pueden ceder permitiendo un giro en a y b. Una solución sería armar en a con 1700 t*m y con -491.89 t*m (para ponerse a cubierto). Observación : Si se hubiese supuesto que el elemento 2 también es infinitamente rígido implica que todo el sistema es infinitamente rígido, luego es una zapata rígida.(Este procedimiento es válido si L < /4 )

24 m 2m 2m

a

d 28 m 2000 ton

2m

= a

d

1000 ton

71.43 t/m 1428.56 t*m

Ma 71.43 t/m = 2000/(28*1.2) = 59.52 t/m2 6 kgf/cm2 Ma = -1000*2+71.43*4*4/2 = -1428.86 t*m Md = -1000*12+71.43*14*7 = -4999.86 t*m El hecho de considerar el elemento como infinitamente rígido implica que se sobreestima mucho los momentos flectores. En la realidad los tirantes (losas), impiden el giro 2a = 0 los pilares  (los elementos ), sólo descienden verticalmente. 2a

= -0.85*10-5*Q1+0.27*10-5*M1 = 0

y1a = y2a (V-Q1)/(b*K*L1) = 5.33*10-5*Q1-0.85*10-5*M1 resolviendo las ecuaciones : 590 ton 590 ton M1 = 1730 t*m Q1 = 590 ton 1730 t*m 1730 t*m a d Ma = 1730 t*m Md = -800 t*m Resumen : M Ma (t*m) Md (t*m)

Rígido -1428.56 -4999.86

VME con -491.89 -973.96

VME sin 1730 -800

En el último cálculo se usó 2a = 0 . Si se hubiese tomado mucho más difícil por la fuerza de los tirantes.

4.9.) Resuelva la viga de la figura.

1a

= 0, hubiese sido

x P A

Desarrollo : 1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga dada, más cargas Po y Mo que restituyen en las condiciones de borde en el extremo finito. Po

x

Mo

P

2º) Determinación de Po y Mo Po = Q= Po/2 M = Po/(4 ) Mo + Q= Mo /2 M = Mo/2 x P + A Q= (P/2)*D X M = (P/(4 ))*C X -Po/2-Mo* /2+(P/2)*D X = ? Po/(4* )+Mo/2+(P/4* )*C X = 0 y(x=0) = Po* /(2*k)+0+P* /(2*k)*A

X

=0

Po=-P*A Po= P*A

X X

Mo/2 = (-P/(4* ))*C X-Po/(4* ) = (-P/(4* ))*C X+P*A X/(4* ) Mo = P*A X(2* )-(P/(2* ))*C X = (P/(2* ))*(A X-C X) A X-C

X

= e- X(sen x+cos x-cos x+sen x) = e- X2sen x = 2*B

X

Po = -P*A

X

y

Mo = (P/ )*B

X

3º) Encontrados Po y Mo, se resuelve por superposición : P*A X (0.508P) = A

(P/ )*B

X

(0.31P/ )

+ x P +

y = -( /(2*k))*A X*P*A X+( 2/k)*B X*P*B X+(P* /(2*k))*A

X

y(x=0)= P* /(2*k)*(A X-A X2)+2*P* /(2*k)*B X2 = P* /(2*k)*(A X-A X2+B X2) válido sólo en el origen. Chequeo: y(x=0)=0 O.K. (1-120)=0 4º) Determinación de la flecha y momento en k. x=1 P x=0.6 k B( x= 0.6) = 0.310 A( x=0.6)= 0.763 A( x=0.4)= 0.878

B( x=1)= 0.310 A( x=1)= 0.508

y = -(P* /(2*k))*0.763*0.508+(2*P* /(2*k))*0.3102+(P* /(2*k))*0.878 = (P* /(2*k))*0.683 = 0.341*P* /k O.K. (idem Hahn p303) Si queremos determinar la presión en el punto k : p = K*y = K*0.341*P* /k = 0.341*P* /b Momento en el punto k ( x= 0.6) Debemos suponer : 0.508*P = A

k

0.31*P/

+ A

k

x=1

P

+ A

k

M= -0.508*P/(4* )*C( x=0.6)+0.31*P/(2* )*D( x=0.6)+ P/(4* )*C( x=0.6) = P/ *(-0.508*0.143/4+0.31*0.453/2+0.356/4) = 0.141*P/ (O.K. Hahn p303) 5º) Determinación de la reacción en A. RA se determina conociendo el corte en A: Q(x=0)= 0.508*P/2-0.31*P/(2* )* +(P/2)*D( x=1) = P*(0.508/2-0.31/2+0.199/2 = 0.199*P (O.K. Hahn p302) 4.10.) Resuelva la viga semi-infinita de la figura. Determine y, M y Q para : x= 0, 0.5, 1, 2, 3 y 5 m. Datos: P= 3 ton b= 15 cm (ancho de la viga) h= 20 cm (altura de la viga) E = 300000 kgf/cm2 K = 5 kgf/cm3 Desarrollo : k 3* K =4 = (3*5000/(3*106*0.23))1/4 = 0.889 1/m 3 4*E *I E *h k = 5000*0.15 = 750 t/m2 De figura 10 Nafvac: y = (2*P1* /k)*D X = 2*3*0.889/750*D X = 7.112*D X (mm)

=

4

M = (-P1/ )*B Q = -P1*C x

x

m

0 0.5 1 2 3 5

0 0.445 0.889 1.778 2.667 4.446

X

X

= -3/0.889*B

= -3*C y

X

= -3.375*B

(t*m)

X

(ton)

X

DX *1000

mm

BX *1000

1000 578 259 -35 -62 -3

7.1 4.1 1.8 -0.2 -0.4 0

0 276 319 165 32 -11

M t*m

C

X *1000

0 1000 -0.93 303 -1.08 -60 -0.56 -200 -0.11 -94 0.04 8

Q ton

-3 -0.91 0.18 0.60 0.28 -0.02

3 ton 1

2

3

4

5

x y (mm)

(-) M (t*m)

x

Q (ton) -1

(-)

x

-2 -3

4.11.) Se tiene un pórtico (marco) cimentado en una zapata corrida de hormigón armado de 10 m de longitud, 2 m de ancho, un canto (altura) de 1.5 m y una densidad de 2.4 t/m3. Cada pilar transmite en su eje geométrico situado a 40 cm del extremo de la viga, una carga vertical de P= 100 ton. y un momento hacia afuera de la zapata de M= 50 t*m. El coeficiente de balasto del terreno se supone igual a 6 kgf/cm3 y el módulo de elasticidad del hormigón de 200000 kgf/cm2. Se pide calcular las presiones debajo del eje de cada pilar. eje pilar P

pórtico o marco P

M

M

1.5m A

10 m

B

Desarrollo: 100 ton

100 ton

50 t*m

50 t*m 1.5m

0.4 A C 0.0908 0.1

=

4

K *b 4*E *I

9.2 2.088 2.1

0.4 (m) D B 0.0908 0.1

K = 6 kgf/cm3 = 6000 t/m3

E = 200000 kgf/cm2 = 2*106 t/m2 I = 2*1.53/12 = 0.5625 m4 =

6000 * 2 = 0.227 1/m  = 0.227*10 = 2.27 < 4 * 2 * 10 6 * 0.5625 Se debe tratar como viga finita (es viga de longitud media) 4

100t

100t 50t*m

P0A 50t*m

A

B 100t 50t*m

-

M0A

=-

100t

A

100t 50t*m

P0B M0B

A

B

P0A

P0B

50t*m B

100t

M0A

+-

A

Caso Cargas reales (Caso A)

= M0B

B

Caso Cargas ficticias (Caso B)

Condiciones de borde: en A MAT= 0 en B MBT= 0 con esto se encuentra P0A, M0A, P0B, M0B

QAT= 0 QBT= 0

a) Caso A se puede descomponer en la suma de los siguientes casos: 100 ton -

+ A

B

0.1

2.2

MA=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 110.13*0.81=89.21 t*m QA=100/2*F4(0.1)=50*0.9003=45.02 ton MB=100/(4*0.227)*F3(2.2)= 110.13*-0.1548= -17.05 t*m QB=-100/2*F4(2.2)=-50*-0.0652=3.26 ton 50 t*m + A

B

0.1

2.2

MA=-(-50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m QA= -(-50*0.227/2)*F1(0.1)=5.62 ton MB==-(-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m QB=-(-50*0.227/2)*F1(2.2)=10.138 ton 100 ton -

+ A

B

2.2

0.1

MA=100/(4*0.227)*F3(2.2)= -17.05 t*m QA=100/2*F4(2.2)= -3.26 ton MB=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 89.21 t*m QB=-100/2*F4(0.1)=-45.02 ton 50 t*m A

B

2.2

0.1

MA= (-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m QA= (-50*0.227/2)*F1(2.2)=-0.138 ton MB==(50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m QB=-(-50*0.227/2)*F1(0.1)=-5.62 ton Luego del caso A: MA=89.21+22.51-17.05+1.63= 96.3 t*m MB=-17.05+1.63+89.21+22.51= 96.3 t*m QA=45.02-3.26+5.62-0.138= 47.24 ton QB=3.26+0.138-45.02-5.62= -47.24 ton

A B A B

b) Caso B se puede descomponer en la suma de los siguientes casos: P0A + A

B

2.3 M‟A= P0A/(4*0.227)*F3(0)= 1.10P0A Q‟A= -P0A/2*F4(0)=-0.5P0A M‟B= P0A/(4*0.227)*F3(2.3)= -0.156P0A Q‟B= -P0A/2*F4(2.3)=0.0334P0A M0A + A

B

2.3 M‟A= M0A/2*F4(0)= 0.5M0A Q‟A= -M0A*0.227/2*F1(0)=-0.1135M0A M‟B= M0A/2*F4(2.3)= -0.0334M0A

Q‟B= -M0A*0.227/2*F1(2.3)= -0.004M0A P0B + A

B

2.3 M‟A= -0.156P0B Q‟A=-P0B/2*F4(2.3)= 0.0334P0B M‟B=1.10P0B Q‟B=-P0B/2*F4(0)= -0.5P0B M0B A

B

2.3 M‟A= -M0B/2*F4(2.3)= 0.0334M0B Q‟A= M0B*0.227/2*F1(2.3)= 0.004M0B M‟B== -M0B/2*F4(0)= -0.5M0B Q‟B= M0B*0.227/2)*F1(0)= 0.1135M0B Luego

M‟A= 1.1P0A+0.5M0A-0.156P0B+0.0334M0B Q‟A= -0.5P0A-0.1135M0A+0.0334P0B+0.004M0B M‟B= -0.156P0A-0.0334M0A+1.1P0B-0.5M0B Q‟B= 0.0334P0A-0.004M0A-0.5P0B+0.1135M0B

MAT=0 MBT=0 QAT=0 QBT=0 Por simetría: P0A = P0B = P0

MA+M‟A = 0 MB+M‟B = 0 QA+Q‟A = 0 QB+Q‟B = 0

y

M‟A = 0.944P0+0.47M0 Q‟A = -0.47P0-0.1174M0 M‟B = 0.944P0+0.47M0 Q‟B = -0.47P0-0.1175M0

M‟A = -96.3 M‟B = -96.3 Q‟A = -47.24 Q‟B = 47.24

M0A = -M0B = M0

96.3+0.944P0+0.47M0 =0 47.24-0.47P0-0.1175M0 =0

11.32+0.111P0+0.055M0 = 0 22.2-0.22P0-0.055M0 = 0 33.52-0.11P0 = 0 P0 = 305 ton 11.32+0.111*305+0.055M0 = 0 M0 = -821.4 t*m

* 0.1175 * 0.47

Luego:

305ton -

100ton

100 ton

50 t*m

50 t*m

305ton 820t*m

820t*m 0.1

2.1

0.1

820t*m

Y1 Y2

y

1

305ton

y2 100ton

Y3

y3 50t*m

Y4

y4 820t*m

Y5

y5 305ton

Y6

y6 100ton

Y7

y7

Y8

50t*m

y8

4.12.) Determine el momento flector en A y B para la tubería indicada en la figura. Para tal efecto desprecie el peso propio de la tubería.

V=10ton E=2.1*10 6 kgf/cm2 A

B

I= 1.5*10 6 cm4 B = 1.0 m(ancho equiv.)

2.5m 2.5m

K=20 kgf/cm 3

Nota: Para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada aplicada

en el centro del vano se tiene : P

E,I B

A

A

L/2

A=

PL2 /(16EI)

B=

- PL2/(16EI)

L/2

Para una viga simplemente apoyada con momentos aplicados en sus extremos:

E,I M

A

B M

A

A=

ML/2EI

B=

- ML/2EI

L Desarrollo :

q

V

q

L

q : sobrecarga debido al pp del suelo sobre la tubería (no da momento)

V MA

MB V/2

I

V/2

V/2

V/2

MA

MB

II

Por simetría MA = MB = M =

4

b=B

K *b = (20*100)/(4*2.1*106*1.5*106)1/4 = 3.5495*10-3 1/cm 4*E *I

Compatibilidad de deformaciones Determinación de

B

I

B

I

=

B

II

:

V B1 B1=

- VL2/(16EI)

B2

M

M

Luego

B

I

=

B1+ B2=

Determinación de

B

II

B2=

-VL2/16EI-ML/2EI

- ML/2EI

(1)

:

V/2 M x V/2 =

+

M

x

x

  





= -2(V/2) 2/k A

= 4M 3/k D X x=0 A X=1

X



y

D

X

=1

Luego: B

= +  = -V 2/k+4M 3/k

-VL2/16EI-ML/2EI = -V 2/k+4M 3/k 4 4 = k/4EI /k = 1/4EI 2 2 -VL /4+V = 4M +2ML 2 M = V(1-L2 2/4)/(4 +2L 2) = 10*(1-5002*(3.5495*10-3)2/4)/(4*3.5495*10-3+2*500*(3.5495*10-3)2) B

I

II

=

B

II

M = 79.32 t*cm

4.13.) Se requiere una viga de fundación muy flexible con cargas P=3 ton aplicadas en un extremo y al centro. a) Diseñe la viga (ancho, longitud y altura) b) Calcule y dibuje la posición deformada de la viga a intervalos de 1 metro. k= 3 kgf/cm3 E = 200000 kgf/cm2 P

P

L=? Nota: Exprese los resultados de la deformación en mm.

Desarrollo: a) Una viga muy flexible significa: L > K *b =4 4*E *I para una viga de sección rectangular: 3* K =4 E * h3 K = 3 kgf/cm3 E = 200000 kgf/cm2 (en el rango de trabajo del hormigón) i) Sea b= 30 cm L= 600 cm y h= 30 cm L=6.39*10-3*600 = 3.83 > O.K. ii) Sea b= 30 cm L= 600 cm y h= 25 cm L=7.33*10-3*600 = 4.4 > O.K. 3 ton 3 ton

6m b) Determinación de la deformada: 2* P* y1 = *D X (carga en el extremo) K *b P* y2 = *A X (carga en el centro) 2 * K *b x (cm) 0 100 200 300 400 500 600

y1 (mm) 4.88 1.75 0.12 -0.32 -0.26 -0.11 -0.02

y2 (mm) 0.03 0.31 0.83 1.22 0.83 0.31 0.03

y=y1+y2 (mm) 4.91 2.06 0.95 0.90 0.57 0.20 0.01

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

4.14.) Las zapatas rígidas transmiten a la viga de fundación, un momento de 0.7 t*m. Calcule y dibuje el diagrama de presiones de contacto en la base de las zapatas. V = 25 ton (incluye peso propio) =0.8 (1/m) K z=3kg/cm3

Kv=4kg/cm3 25 ton

25 ton

0.8

Kv

1m

5m

1m

1.0 m

Kz

0.3 m

Desarrollo:

Q1,M1

Q1,M1

kv,bv A 1o)

q = (V-2Q1)/A

B

kz,bz q=? el problema se reduce a determinar Q1

2o) Determinación de Q1 aplicando teoría VME (y compatibilidad yA=yB) yA = 2Q1 /(kvbv)-2M1 2/(kvbv) = 2*Q1*0.8/(4000*0.3)-2*0.7*0.82/(4000*0.3) 1000*yA = 1.33*Q1-0.75

3o) Determinación de yB yB = q/kz = (V-2Q1)/A /kz = (25-2Q1)/1 /3000 1000yB = 25/3-2Q1/3 4o)

yA=yB Q1 1.33Q1-0.75 =25/3-2Q1/3 2Q1 = 9.08 Q1 = 4.54 ton

5o) Sustituyendo Q1 en 1o: q = (25-2*4.54)/1 = 15.92 t/m2 6o) La determinación de M1 se hace considerando que viga.

v

= 0 en el extremo de la

y

v

= -2Q1 2/k+4M1 3/k = 0

M1 = 0.63Q1

y 7o) Lo correcto es considerar que por agrietamiento de la sección. M1

0

4.15.) Para la viga semi-infinita, con apoyo rotulado en el extremo, indicada en la figura, se pide : a) Encontrar y, M, Q para un caso general. b) Encontrar y, M, Q para las siguientes condiciones : b = 30 cm h = 20 cm K = 3 kgf/cm3 = 3000 t/m3 E = 200000 kgf/cm2 M1 = 1 t*m Graficar para : x = 0 , 0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 3 , 5 , 7 , 10 (m) M1

Desarrollo : a) M1

R M1 =

+

R Ambos casos están resueltos en figura 10 Nafvac. 2 * M1 * 2 2*R* y=*C X+ *D X k k Determinación de R: Se aplican condiciones de borde : y(x=0)=0 C 0=D 0=1 R = M1* = 1*0.866 = 0.87 ton

2 * M1 * 2 2 * M1 * 2 2 * M1 * *C X+ *D X = k k k D X-C X = e- X*(cos x-cos x+sen x) = B X 2 * M1 * 2 y= *B X k M = M1*A X-(M1* / )*B X = M1*(A X-B X) M = M1*D X

y=-

Q = -2*M1* *B X-M1* *C X = -M1* *(2*B X+C X) 2*B X+C X = e- X*(2*sen x+cos x-sen x) = A Q = -M1* *A X

X

b) Para una viga de sección rectangular : 3* K =4 = (3*3000/(2*106*0.23))1/4 = 0.866 3 E *h k = K*b = 3000*0.3 = 900 t/m2 x

x

m

1000

B

X 1000

mm

y

D

X 1000

0 0.5 1 1.5 2 3 5 7

0 433 866 1299 1732 2598 4330 6062

0 272 320 263 175 38 -12 -1

0.00 0.45 0.53 0.44 0.29 0.06 -0.02 0

1000 589 273 73 -28 -64 -5 2

M t*m

A

X 1000

1 1000 0.59 861 0.27 593 0.073 336 -0.028 146 -0.064 -25 -0.005 -17 0.002 2

Q ton

-0.087 -0.75 -0.51 -0.29 -0.13 0.02 0.015 0

2

*(D X-C X)

10

8660

0

0

0

y = (2*M1* 2/k)*B

X

M = M1*D

X

X

=1*D

0.2

2

3

0

= (2*1*0.8662/900)*B

Q = -M1* *A X = 0.866*A M= 1 t*m 1

0

0 X

= 1.667*B

X

X

5

7

10

x

0.4

y (mm) x 0.5

M(t*m)

1

Q (ton) x -1

4.16.) Una fundación bajo la cepa de un puente, tiene un ancho b = 2 m. a) Modele el sistema de cargas que recibe la fundación. b) Determine el momento, el corte, el asentamiento y la presión de contacto al centro de la fundación.

7 m

36 ton

Cepa e = 0.8 m = 2.4 t/m3

1.3m

18 ton

Fundación

18 ton

K = 12 kgf/cm 3 E = 250000 kgf/cm2 ¡ No considere el peso propio de la fundación !

12 m 15 m Desarrollo : =

4

k = 4*E *I

4

3* K = (3*12000/(2.5*106*1.33))1/4 = 0.2845 1/m E * h3

L = 15*0.2845 = 4.268 > a) Modelación : Peso cepa/m = 7*1*0.8*2.4 = 13.44 t/m Cargas puntuales : (18+36+18)/12 = 6 t/m

viga larga 12 m q=19.44t/m

1.3 Carga total : q = 19.44 t/m

A

15 m

B

b) Se deben determinar P0A, P0B, M0A y M0B para usar las fórmulas de viga infinita. P0A P0B M0A M0B A x x= x 0.42675 3.8408 4.2680 1.7070 2.1338

B 0.42675

F1 0.8642 -0.303 -0.0187 0.1551 0.0369

3.4140

F2 0.2701 -0.0138 -0.0126 0.1797 0.1001

0.42675

F3 0.3240 -0.00262 0.0066 -0.2044 -0.1633

F4 0.5941 -0.0164 -0.0060 -0.0246 -0.0632

MA = -q/(4* 2)*(F2(0.4268)-F2(3.8408)) = -19.44/(4*0.28452)*(0.2701+0.0138) = -17.05 t*m MB = q/(4* 2)*(F2(3.8408)-F2(0.4268)) = 19.44/(4*0.28452)*(-0.0138-0.2701)

= - 17.05 t*m QA = q/(4* )*(F3(0.4268)-F3(3.8408)) = 19.44/(4*0.2845)*(0.324+0.00262) = 5.58 ton QB = q/(4* )*(F3(3.8408)-F3(0.4268)) = 19.44/(4*0.2845)*(-0.00262-0.324) = -5.58 ton 1/(4* ) = 0.8787 17.05 = 0.8787*P0A+0.5*M0A+0.0058P0B-0.003*M0B -5.58 = -0.5*P0A-0.1423*M0A-0.003*P0B-0.0027*M0B 17.05 = 0.0058*P0A-0.003*M0A*0.8787*P0B+0.5*M0B 5.58 = 0.003*P0A+0.0027*M0A+0.5*P0B+0.1423*M0B P0A = 2.4726 P0B = 2.4726

M0A = 29.9054 M0B = 29.9054

La viga infinita equivalente que hay que resolver es lo siguiente : 2.47

2.47 29.91

29.91 q=19.44 t/m

Cargas

Momento

Reales M0A M0B Q0A Q0B

0.795 1.1048 1.1048 -0.8693 -0.8693 1.266 t*m

Centro Corte Asentam. 0 -1.704 1.704 0.403 -0.403 0

0.79 0.07 0.07 0 0

q3 (t/m2)

0.93 mm 11.16

Cargas reales : Mc = q/(4* 2)*(F3(0.2845*6)+F3(0.2845*6)) = q/(4* 2)*(F3(1.707)+F3(1.707)) = -24.54 t*m Qc = q/(4* )*(F3(1.707)-F3(1.707)) = 0 Vc = q/(2*K)*(2-F4(1.707)-F4(1.707)) = 0.79 mm M0A: Mc = M1*F1(2.1338) = 29.91*0.0369 = 1.1048

Qc = -(2*M1* )*F2(2.1338) = -2*29.91*0.2845*0.1001 = -1.704 yc = -(2*M1* 2/K)*F3(2.1338) = (-2*29.91*0.28452/12)*(-0.1633)= 0.07 P0A : Mc = (-P1/ )*F2(2.1338) = (-2.47/0.2845)*0.1001 = -0.8693 t*m Qc = -P1*F3(2.1338) = -2.47*(-0.1633) = 0.403 yc = (2*P1* /K)*F4(2.1338) = 2*(2.47*0.2845/12)*(-0.0632)= -0.007

4.17.) Determinar la deformación y la presión de contacto en A, B, y C de la viga en medio elástico. 0.75 m 1.2 m 0.5 m P = 2.27 ton P q = 1.78 t/m q 0.25m K= 5500 t/m3 0.2m 6 2 E = 10 t/m A C B corte 1.5 m 1.5 m Desarrollo : Viga finita en medio elástico. Se resuelve usando viga infinita. P0A P

P0B q

M0A A

M0B B

En A y B, debido a P0A, P0B, M0A y M0B se pierde continuidad de la viga infinita. MA+P0A/(4* )+P0B/(4* )*C L+M0A/2+(M0B/2)*D L = 0 QA-P0A/2+(P0B/2)*D L- *M0A/2+( *M0B/2)*A L = 0 MB+P0A/(4* )*C L+P0B/(4* )+(M0A/2)*D L+M0B/2 = 0 QB-(P0A/2)*D L+P0B/2-( *M0A/2)*A L+ *M0B/2 = 0 k = K*b = 5500*0.25 = 1375 t/m2 I = b*h3/12 = 0.25*0.23/12 = 1.66*10-4 m4 =

4

k = (1375/(4*106*1.66*10-4))1/4 = 1.2 1/m 4*E *I

L = 1.2*3 = 3.6 >

Debido a P :

podemos utilizar el sistema de resolución mediante viga infinita

M = P/(4* )*C

X

Q = (-P/2)*D

X

En el extremo A : x = 0.76 m x = 1.2*0.76 = 0.912, entramos con este valor a tabla o gráfico y determinamos C X y D X : C X = -0.0718 y D X = 0.2459 (interpolación lineal en tablas) MAP = 2.27/(4*1.2)*(-0.0718) = -0.0339 t*m QAP = (2.27/2)*(0.2459) = 0.279 ton En el extremo B : x = 2.24 m x = 1.2*2.24 = 2.688 C X = -0.0910 y D X = -0.0612 MBP = 2.27/(4*1.2)*(-0.0910) = -0.043 t*m QBP = -(2.27/2)*(-0.0612) = 0.0695 ton

Debido a q : En el extremo A : MAq = (-q/(4* 2))*(B a-B b)

a

b

QAq = (q/(4* ))*(C a-C b)

a = 1.3 m a = 1.56 b = 2.5 m b = 3.00 En la tabla: B a = 0.2101 C a = -0.2079 B b = 0.0071 C b = -0.0563 MAq = -1.78/(4*1.22)*(0.2101-0.0071) = -0.0627 t*m QAq = 1.78/(4*1.2)*(-0.2079-(-0.0563)) = -0.0562 ton En el extremo B : MBq = (q/(4* 2))*(B a-B b)

QBq = (q/(4* ))*(C a-C b)

a = 1.7 m a = 2.04 b = 0.5 m b = 0.6 En la tabla: B a = 0.116 C a = -0.1748 B b = 0.3099 C b = 0.143 MAq = 1.78/(4*1.22)*(0.116-0.3099) = -0.0599 t*m QAq = 1.78/(4*1.2)*(-0.1748-0.143) = -0.1178 ton Calculamos MA, MB, QA y QB para reemplazar en sistema de ecuaciones.

MA = MAP+MAq = -0.0966 t*m QA = QAP+QAq = 0.2228 ton MB = MBP+MBq = -0.1029 t*m QB = QBP+QBq = -0.0483 ton Reemplazando en el sistema se obtiene lo siguiente : 208*P0A-3*P0B+500*M0A-12*M0B = 97 500*P0A+12*P0B+600*M0A+22*M0B = 223 -3*P0A+208*P0B-12*M0A+500*M0B = 103 12*P0A+500*P0B+22*M0A+600*M0B = 48 luego se obtiene :

P0A = 0.37 ton P0B = -0.33 ton

0.37 ton

M0A = 0.02 t*m M0B = 0.35 t*m

0.33 ton

P q

0.02 t*m A carga

C

0.35 t*m B

yb (*10-5 m)

ya

yc

P q P0A P0B M0A M0B

56 2 16 1 0 0

57 73 2 -2 0 6

-3 33 0 -14 0 0

y

75

136

16

pc

4.13

7.48

0.88

(*10-5 m) (t/m2)

4.18.) Determinar Mmáx, Ymáx y los puntos donde se producen. 5.6 m P1 P2 P1 = 30 ton P2 = 50 ton 1 H.A. K = 5000 t/m3 E = 230*104 t/m2 0.3 0.6m

5m

0.6m

Desarrollo : =

4

K *b 4*E *I

I = 1*0.33/12 = 0.00225 =2.25*10-3

= (5000*1/(4*230*104*2.25*10-3))1/4 = 0.701 L = 0.701*5.6 = 3.93 > semi-infinita 1º) Cálculo de P1‟ y P2‟ : P1‟ = P1+1*1*2.4*0.3 = 30.72 ton P2‟ = P2+1*1*2.4*0.3 = 50.72 ton 2º) Momento:

30.72 50.72

M = (-P/ )*B X = (-V/ )*F2( x) M(P1) = -(30.72/0.7)*B X = -43.89*B M(P2) = -(50.72/0.7)*B X = -72.46*B Cálculo B x

X

yD x

0 0 0.25L 0.9814 0.5L 1.9628 0.75L 2.944 1L 3.926

+ X

=

X

X

B

X

0 0.3116 0.1298 0.0103 -0.0131

D 1 0.208 -0.054 -0.051 -0.0139

X1/L

0

0.25

0.5

0.75

1

X2/L

1

0.75

0.5

0.25

0

M(P1) M(P2) M(Pi) luego Mmáx

0 -13.68 1.007 -0.746 1.007 -14.43 23.05 t*m en x

-5.696 -9.405 -15.1

-0.452 -22.58 -23.05

0.061 0 0.061

4.2 m

y = (2*P* /K)*D X = (2*V* /K)*F4( x) y(P1) = (2*30.72*0.701/5000)*D X = 0.00861*D y(P2) = (2*50.72*0.701/5000)*D X = 0.01422*D

X X

X1/L

0

0.25

0.5

0.75

1

X2/L

1

0.75

0.5

0.25

0

8.4*10-3

13*10-3

y(q) = q/K = 0.3*1*2.4/5000 = 0.72/5000 = 1.44*10-4 y(P1) y(P2)

8.61 -0.2

1.8 -0.72

-0.46 -0.76

-0.44 3

-0.11 14

8.4

1.08

-1.2

2.96

12.9

(*10-3) (*10-3) (*10-3)

Ymáx = 13.0*10-3 en x = 5.6 m (bajo P2). 4.19.) Para la viga de hormigón armado, se pide determinar el asentamiento en A. K = 7 kgf/cm3 q = 5 t/m 2 E = 300000 kgf/cm h = 0.5 m A B b = 0.7 m 2m Desarrollo : 4m =

4

3* K = (3*7000/(3*106*0.53))1/4 = 0.4865 3 E *h

L = 1.946

/4 <

L <

viga de longitud intermedia.

1º) La viga es igual a : P0A

x= 0.973

P0B

M0A + A B 2º) Determinación de P0A , P0B , M0A y M0B. 2.a) Momento y corte producidos por las cargas reales. MA = q/(4* 2)*(B a+B b) QA = q/(4* )*(C a-C b)

en que a = 0 y b = 2 m

MA = 5/(4*0.48652)*(0+B(0.973)) = 5.281*0.3124 = 1.65 t*m QA = 5/(4*0.4865)*(1-C(0.973)) = 2.569*(1.0997) = 2.83 ton MB = q/(4* 2)*(B a-B b)

M0B

QB = q/(4* )*(C a-C b)

en que a = 4 m y b = 2 m

MB = 5.281*(B(1.946)-B(0.973)) = 5.281*(0.1329-0.3124) = -0.948 t*m QB = 2.569*(C(1.946)-C(0.973)) = 2.569*(-0.1853-(-0.0997)) = -0.22 ton Recordemos que MA , QA , MB y QB , son los momentos y cortes producidos por las cargas reales (q=5 t/m) en la viga infinita. 2.b) Ecuaciones : 1/(4* ) = 0.5139 /2 = 0.2433 D(1.946) = -0.0523 ( /2)*A(1.946) = 0.2433*0.0806 = 19.61*10-3 (1/(4* )*C(1.946) = 0.5139*(-0.1853) = -95.23*10-3 1.65+0.5139*P0A+0.5*M0A-95.23*10-3*P0B-26.15*10-3*M0B = 0 2.83-0.5*P0A-0.2433*M0A-26.15*10-3*P0B+19.61*10-3*M0B = 0 -0.948-95.23*10-3*P0A-26.15*10-3*M0A+0.5139*P0B+0.5*M0B = 0 -0.2226.15*10-3*P0A-19.61*10-3*M0A+0.5*P0B+0.2433*M0B = 0 Resolviendo el sistema :

P0A = 16.68 ton P0B = -6.38 ton M0A = -21.106 t*m M0B = 10.53 t*m

3º) Se resuelve por superposición (Veamos 0 < x < 2 , y1) Determinación de la elástica en el tramo cargado. 3.a) Debido a la viga infinita con carga uniforme. y1 = q/(2*k)*(2-D a-D b) 0 0

Nota : se puede verificar que M = R*c

O.K. O.K.

c = B/2-B/3 = B/6 R2 = 0.5*( M- m)*1.5*1.5 R2*c = 4.54 t*m O.K. 2º)

T = 0.604*EB*L2* *(D-ZR) = 0.604*4625*1.5*1.82/1000*(3-0.87*3) = 2.98 ton

Debe verificarse que no se sobrepase la resistencia obtenida. T /B2 2.88/1.52 0.9+ *tg25 1.28 0.9+( M+ m)/2*tg25 1.28 4.88 t/m2 O.K. 3º) Td = 0.626*Eo*L1* *ZR+0.23*K*L1* *ZR2 = 0.626*1700*1.5*1.82/1000*0.87*3+0.23*650*1.5*1.82/1000*(0.87*3)2 = 7.58+2.78 Td = 10.36 ton Debe verificarse que

zdmáx

<

p

(empuje pasivo)

zdmáx

zimáx

4º)

Ti = 1.1*Ei*L2* *0.13*D Ei = Eo+0.935*K*D = 1700+0.935*650*3 = 3523 t/m2

Ti = 1.1*3523*1.5*1.82/1000*0.13*3 = 4.13 ton Debe verificarse que zimáx < p (empuje pasivo) 5º) La última verificación se refiere a que no debe producirse el volcamiento de la pila. 5.3.) Determinar la longitud “L” del grupo de pilotes considerando que el grupo debe resistir una carga última de 200 ton.

Datos : Suelo cohesivo duro (stiff) (Figura 2 entregada en clase)

L A

50 cm

Radio(pilote) = 12.5 cm s = 50 cm

Corte A-A

50 cm

Desarrollo : 1º) Qult = c*Nc* *R2+cA*2* *R*L

A

Ge*n*Qult = 200 ton n=9 Ge*Qult = 200/9 ton QG = Ge*Qult = 200/9 ton 2º) Suelo stiff

c = 7.3 t/m2 cA = 3.9 t/m2

3º) Sea L = 9 m

z=9m

(figura 2 p196)

z/B = 9/0.25

Nc = 10

Qult = 7.3*10* *0.1252+3.9*2* *0.125*L = 3.58+3.06*L (c/pilote) L m 6 7 8 9 10

Qult ton 21.94 25.00 28.06 31.12 34.18

Ge 0.74 0.73 0.72 0.71 0.70

Ge*n*Qult ton 146 164 182 199 215

L=9m

5.4.) Considerando restricción lateral del suelo, determine la fuerzas que actúan sobre la pila verificando y comentando valores admisibles. Dibuje a mano alzada diagramas de esfuerzos que actúan sobre la pila. Datos : = 25º V=3 ton 3 = 1.7 t/m M=16 t*m H=2.5 ton qadm = 20 t/m2 Eo = 1700 t/m2 K = 650 t/m3 3m

=1.5m

Desarrollo : 1º) Hay que determinar si existe acción del peso propio sobre la pila. Determinación de la altura crítica. Como no hay cohesión la altura crítica teóricamente es cero. Hcr < Df se considera acción del peso propio del suelo. en la fórmula para determinación de se considera el término -15* *D3*L1 2º) Determinación de

:

= (M+0.87*Df*H-15* *D3*L1)/(L1*Eº*B2*I ) en que : L1 = B = 1.5 m Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y Df. Eº = Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟) ‟ = L2/L1 = 1.5/1.5 = 1 Eº = 1300+650*3*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 2216 t/m2 I = 0.31* 2+0.01* * 2+0.157* = D/B = 3/1.5 = 2 EB = Eo+K*z = Eo+K*(D+B) = 1700+650*(3+1.5) = 4625 t/m2 = L2/L1*(EB/Eº) = 1.5/1.5*(4625/2216) = 2.09 I = 0.31*22+0.01*2.08*22+0.157*2.08 = 1.66 = (16+0.87*3*2.5-15* *33*1.5)/(1.5*2216*1.52*1.66) = (22.53-607.5* )/12415 = 1.815*10-3-48.93*10-3* *(1+48.93*10-3) = 1.815*10-3 = 1.73*10-3 rad

3º) Determinación de esfuerzos. a) En la base de la pila : M,m

= (V+pp)/B2 6*M /B3

en que : M = 0.16*B2*EB*L2* = 0.16*1.52*4625*1.5*1.73/1000 = 4.32 t*m = (3+2.4*(1.52*3))/1.52 6*4.32/1.53 = 8.53 7.68 t/m2

M,m

M

= 16.2 t/m2

y

m

= 0.85 t/m2

b) Fuerza T rasante en la base de la pila. T = 0.604*EB*L2* *(D-ZR) = 0.604*4625*1.5*1.73/1000*(3-0.87*3) = 2.83 ton Verificación : T /B2 2.83/1.52 *tg25 1.26 ( M+ m)/2*tg25 1.26 3.97 t/m2 O.K. c) Td = 0.626*Eo*L1* *ZR+0.23*K*L1* *ZR2 = 0.626*1700*1.5*1.73/1000*0.87*3+0.23*650*1.5*1.73/1000*(0.87*3)2 = 7.21+2.64 Td = 9.85 ton Zd = (0.237*Eo*ZR+0.126*K*ZR2)/(0.626*Eo+0.23*K*ZR) = 1.11 m d)

Ti = 1.1*Ei*L2* *(D-ZR) Ei = Eo+0.935*K*D = 1700+0.935*650*3 = 3523.25 t/m2 Ti = 1.1*3523.25*1.5*1.73/1000*(3-0.87*3) = 3.92 ton Zi = 0.785*D+0.215*ZR = 2.92 m

Tensiones :

Eo * 1 u K * * ZR 1 u + * * 2 * 2 1 u 1 u 1 1 1 u 1 u = 3.23* +3.23*u* 1 u 1 u u' EZ * u = Z/ZR zi = 2 * 1 1 u' 2 u' = 6.70* u‟ = Z‟/(D-ZR) 1 u' 2 zd

=

ZR = 0.87*D = 2.61 Z 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.61

5

u 0 0.19 0.38 0.57 0.77 0.96 1

4

3

2

Z‟ 2.61 2.65 2.67 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00

zd

3.23 3.17 2.98 2.64 2.07 0.93 0

1

1

1

2

u‟ 0 0.10 0.15 0.23 0.36 0.49 0.62 0.74 0.87 1

3

4

5

zi

0 0.69 1.04 1.59 2.57 3.74 5.23 7.45 11.92

6

Td

2

Ti

p = kp* y kp = (1+sen )/(1-sen ) p = 2.46* *Z = 2.46*1.7*Z p = 4.19*Z

5.5.) Mediante la fórmula de Hiley (fórmula general), determine la longitud de hincado de los pilotes de la figura. Las características del martinete son : Energía = 1500 kg*m Wp = 400 kg Wr = 500 kg Deformación elástica cabeza de golpes = 0.2 cm Eh = 80 % Factor de seguridad diseño = 5 n = 0.4 = coef. de resistencia

0

1.5

0

Long.hincado (m)

V = 100 ton M = 60 t*m

3 s (cm/golpe) Cabezal rígido

10

3.5m

3.5m

20 Cabeza golpes 0.5cm

Registro hincado

0.5cm 0.5cm

s

Desarrollo : 1º) Escribamos la fórmula de Hiley. Pu = (Eh*Wr*h/(s+c))*(Wr+n2*Wp)/(Wr+Wp) 2º) Datos : Energía = 1500 kg*m = 150000 kg*cm = Wr*h Peso Martinete = Wr = 500 kg Factor de ef. = Eh = 0.8 Coef. de resistencia = n = 0.4 Peso propio = 400 kg 3º) Determinación de c c = 0.5*(k1+k2+k3) k1 = deformación elástica cabeza = 0.2 cm k2 = ” ” p. k3 = ” ” s. k2+k3 = 0.5 cm (del registro de hincado) c = 0.5*0.7 = 0.35 cm 4º) Solicitación en los pilotes.

V=100 ton M=60 t*m

100 ton 8.575 ton

8.575 ton

=

7m un pilote izquierdo

un pilote derecho

13.808 ton

19.525 ton

Sustituyendo los datos en la fórmula : Pu = (0.8*150000/(s+0.35))*(500+0.42*400)/(500+400) = 7.52*104/(s+0.32) (kg) Padm = Pu/F.S. = Pu/5 = 1.504*104/(s+0.35) Pilote derecho (más desfavorable) 1.504*104/(s+0.35) = 19525 1.504*104/19525-0.35 = s = 4.203*10-1 Del gráfico de hincado : y = mx+n m = y/ x = -20/3 L = -20*s/3+20 = 17.2 m Pilote izquierdo : 1.504*104/(s+0.35) = 13808 1.504*104/13808-0.35 = s = 7.392*10-1 L = 15.07 m y considerando el caso más desfavorable. L = 17.2 m

5.6.) Para un pilote cañería hincado (driven pipe pile), relleno con concreto (cement filled), con un diámetro de 30 cm y un largo de 9.2 m, encontrar Qadm (Qall) y Tadm (Tall). Qult

= 1.28 t/m3 = 0.40 t/m3 b

0.6 m 1.0 m

= 0.40 t/m3

7.6 m

b

= 30 o 30 cm Desarrollo : 0.6 m 1.0 m

V

= 0.77 t/m2 V

= 1.17 t/m2

6.0 m V

= 7.41 t/m2 = PT

1.6 m

po(máx) ocurre a 6 m (20*30 cm = 6m) Nq ( =30º) = 21 s = 2* *r*1 = 0.94 m2/m KHC = H / V = 1.5 tabla en p194 Nfac. = (3/4)*30 = 22.5º AT = 7.069*10-2 m2 Qult = PT*Nq*AT+ KHC* Po *tg *s*h = 7.41*21*7.069*10-2+1.5*(1.17+7.41)/2*tg22.5*0.94*6 +1.5*7.41*tg22.5*0.94*6 = 11.0+15.03+6.92 = 32.95 ton Qadm(F.S.=3)= 11 ton Tult = KHT*Po*tg *s*h KHT = 1.0 Tult = 1.0*(1.17+7.41)/2*tg22.5*0.94*6+1.0*7.41*1.6*tg22.5*0.94 = 10.02+4.62 = 14.64 ton

Tadm = Tult/3+Wp Wp = horm.*Vhorm.+ acero*Vacero 2 VT = 0.3*( /4)*9.2 = 0.65 m3 suponiendo que : Vhorm. = 70%VT = 0.7*0.65 = 0.455 m3 Vacero = 30%VT = 0.3*0.65 = 0.195 m3 Wp = 2.4*0.455+8*0.195 = 2.65 ton Tadm = 14.64/3+2.65 = 7.53 ton

5.7.) Un grupo de pilotes desplantado en suelo cohesivo, tiene las siguientes características : 1.2 m

= 0.3 m L=7m c = 2.0 t/m2 2 c A= 1.5 t/m

Determinar el F.S. con que está trabajando el grupo si la estructura le transmite una carga de 70 ton. Desarrollo : 7*B = 2.1 m > 1.2 m

grupo

Qult = c*Nc* *R2+cA*2* *R*L = carga que resiste cada pilote individual Qultgrupo = n*QG = n*Ge*Qult (s = 4B Fig.3) Ge (3*3) = 0.87 Ge (9*9) = 0.86 Ge (5*5) = 0.866 QG = Ge*Qult Qult = 2*9.3* *(0.3/2)2+1.5*2* *(0.3/2)*7 = 1.31+9.90 = 11.21 ton (c/pilote) QG = 0.866*11.21 = 9.71 ton Qultgrupo = 25*9.71 = 243 ton F.S. = 243/70 = 3.47

3.5

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