14 Descargar Estadistica Cuarto de Secundaria

 

 

Estadística I  

1. 1. Definición  Definición   Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario.

2. 2. Población  Población   Es un conjunto de elementos con una característica  característica   común. Por ejemplo: Todos Todos los alumnos a lumnos matriculados en los Colegios.

3. 3. Muestra  Muestra  

5.  5. Distribución de Frecuencias Frecuencias   Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de l de la a muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar  “k ””   valores diferentes: x1, x2, x3, ......., xk . 5.1 5.1 Frecuen Frecuencia cia Absoluta Simple (f 1)  También llamada simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor  “xi” . Se cumple: f 1 + f 2 + f 3 + ....... + f k = n  

k         f i   n en notación sigma: i  1  

5.2 5.2 Frecuencia Acumulada (Fi)  Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 40 alumnos del del Colegio TRILCE de Miraflores elegidos ele gidos al azar az ar..

4. 4.  Variable   Estadística   Estadística

Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias frecuenc ias absolutas simples.  Así tenemos:  F1 = f 1  F2 = f 1+f 2  F3 = f 1+f 2+f 3  . . . . .

Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en:  A. Cual Cualitat itativa iva   Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Por ejemplo: la variable "profesión" puede adoptar las modalidades: Ingeniero, Ingenie ro, Médico, Profesor, Profesor, etc. B. Cuantitativa  Cuantitativa  Son variables que pueden ser expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez: B.1 Discretas Discretas   Cuando toma valores enteros. Por ejemplo: número de alumnos, número de colegios en el distrito de Miraflores, número de hijos, etc. B.2 Continuas Continuas   Cuando puede tomar cualquier valor numérico, enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, el sueldo, etc.

. . . . .

Fi = f 1+f 2+f 3+........f i 

5.3 5.3 Frecuencia Relativa Simple (hi)  Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las la s frecuencias relativas es igual a 1. f   hi   i n 

0  hi  1 

5.4 Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)  (Hi)   Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples.  Así tenemos:  H1 = h1  H2 = h1+h2  H3 = h1+h2+h3  . . . . . . . . . .

Hi = h1+h 2+h 3+.........hi 

 

  Nota: Las frecuencias relativas también se pueden expresar en tanto por ciento (%), bastará con multiplicar por 100 la frecuencia relativa. Ejemplos:  ×100

0,32 0,07

Ejemplos prácticos prácticos   1. El siguiente gráfico nos muestra el número de pacientes atendidos en un centro de salud, en los años 2000; 2001; 2002 y 2003.  f i (# pacientes)  pacientes) 

32% 7%

×100

700 700   600 600   500  500 400 400    300 300   200   200

6. 6.  Representación de Datos  Datos  Los datos pueden ser representados por:

xi (años) (años)   2003   2000 2001 2002 2003

6. 6.1 1 Tablas Estadísticas   Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos.

Construiremos la tabla de datos estadísticos:

Ejemplo 1: De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente s iguiente información, respecto a sus edades.

 xi 

f i 

2000 2000   2001   2001 2002 2002   2003   2003

200  200   500 500   700   700 600 600  

Fi 

hi  

Hi 

200   0,1 = 10 % %   200 %   0,10 = 10 % %   700 700   0,25 = 25 %  0,35 = 35 %

n = 2 00 000 0 

1 = 100% 100%  

Cálculo de: * F1 = f 1 = 200  F2 = f 1+ f 2 = 200 + 500 = 700   F3 = ..................................... .....................................  F4 = ..................................... .....................................  xi = Variable estadística  f i = Frecuencia absoluta simple 

*

  h2

6. 6.2 2 Gráficos Estadísticos Estadísticos   Se pueden representar mediante barras o sectores circulares.

f 1  200     0,10 n  2 000 f    500  0,25     0,25   2  n  2 000  .........................  .........................

h1   

h3 h4

* H1 = h1= 0,10  Ejemplo 2: Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas. f  i 

40 30 20  20  10

2. A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los siguientes intervalos:   intervalos:

65  

60  50

H2 = = .......................................... hi + h2 = 0,10 + 0,25 = 0,35  0,35  H ........................ ..................   3 H4 = .......................................... .......................................... 

45  38   38 25

27  

Intervalos   Intervalos x i 

14 15 16 17 18 

Diagrama de Barras Barras  

Sector Circular Circular  

Conteo Conteo  

f i 

Fi 

[20;25>  [20;25> 

8 

8 

[25;30>  [25;30> 

10  10 

18  18 

[30;35> [30;35>  

20  20 

[35;40>  [35;40> 

24  24 

[40;45>   [40;45>

12  12 

[45;50]  [45;50] 

6  n = 80 80  

hi 

Hi   H2 

h3  F4 

0,775 0,775   0,15   0,15

 

  Luego de completar el cuadro interpretar los siguientes datos: f 4 = 24; hay 24 personas cuyas edades varían entre  35 y 40 años. F4 = 62; hay 62 personas cuyas edades varían entre  20 y 40 años. h3 = 0,25 = 25 %; el 25 % de los asistentes tienen entre 30 y 35 años. H = 0,225 = 22,5 %; el 22,5 %  %  de los asistentes tienen 2   entre 20 y 30 años. Nota:   Nota:

2. Determinación del número de intervalos (k) (k)   Consiste en dividir el rango en un número conveniente de intervalos, llamados también "Intervalos "Intervalos de clase clase". ". Estos intervalos son generalmente del mismo tamaño. Podemos aplicar las siguentes alternativas: a) Si "n" es el número de datos, entonces k = n ;      6,3   en el ejemplo: n = 40 k   n  40   6,3 Puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos intervalos  

b) Si "n" es el número de datos, entonces: 

Cuando la variable toma muchos valores, como el caso anterior, imagínese hacer una tabla con cada una de las edades desde los 20 años hasta los 50 años, entonces la variable se agrupa adecuadamente en intervalos.

k = 1 + 3,3logn  3,3logn  

en el ejemplo: n = 40   k = 1 + 3,3log40 = 6,28 puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos. Los dos métodos nos dan el posible número de intervalos, la elección es arbitraria. Tomaremos en este caso: k = 6 intervalos, porque el rango es R = 18 y nos daría una cantidad exacta.

 Al punto medio de cada intervalo se denomina Marca de clase, clase, que es un valor representativo para el intervalo. 20   25   22,5  [1ra Marca de clase] 2 25   30 da 27,5   [2 Marca de clase] [25;30  : x 2    2    27,5

[20;25  : x 1   

3. Determinación del tamaño de los intervalos (C)  (C)  Dividimos el rango (R) entre el número de intervalos (k). También También se le denomina Amplitud denomina Amplitud de clase clase..  C=

M é to do p a r a d e te r m i na r el n úm er o d e intervalos para una variable continua  continua   A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último Examen Bimestral de  Aritmética. 10 12  10  07 07  

15 17  20  05 05  

11 10  14  12 12  

08 12  13  11 11  

12 11  06  02 02  

10 14  16  04 04  

13 15  06  14  14 

10 20  06  18  18 

12 10  14  16  16 

10 12  18  17 17  

En el ejemplo: C  

Generalmente el límite inferior del primer intervalo es el menor de los datos, luego se agrega la amplitud de clase (C) para obtener el límite superior del intervalo. En el ejemplo: MIN C = 3=  02 [límite inferior] 02 + 3 = 05 [límite superior]  superior]  1er.. intervalo: 1er inter valo: [02;05>  2do. intervalo: [05;08> [05;08>  

Es la diferencia entre el mayor ma yor y el menor de los datos: datos:   Del ejemplo:

Intervalos   Intervalos 

R 18     3   k 6

4. Determinación de los límites de los intervalos 

1. Determinación del Rango (R) (R)  

R = MAX - MIN MIN   R = 20 - 02 R = 18 

R   k  

Finalmente tendremos: (Realice el conteo y complete el cuadro)   Conteo Conteo  

f i 

[02; 05>  05>  [05; 08> 08>   [08; 11> 11>   [11; 14> 14>   17>   [14; 17> 20>   [17; 20> n = 40 40  

Fi 

hi 

Hi 

 

  Problemas para la clase  

Pesos  Pesos   [250; 400> [400; 550>  550>  [550; 700> 700>   [700; 850> [850; 1000> [1000; 1050]

Bloque  I  Bloque 1. ¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son son     cualitativas?  cualitativas? - Eda Edad d - Nacio Nacionalidad nalidad

-

Profesión Años de servicio 

- Horas trabajadas  trabajadas  a) 1 d) 4

c) 3

b) 2 e) 5

hi

H i 

18 6 3 

7. ¿Cuál es el intervalo con la mayor frecuencia absoluta? a) 1° d) 4°

2. ¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cuantitativas continuas?

a) 1 d) 4

Fi

Luego de completar el cuadro responda:

b) 2 e) 5

- Estatura - Peso - Número de cursos 

f i 6  12 

-

Número de hijos Sueldo  Sueldo 

c) 3

8.

H

a

l l a

r

“

F

3

Se tomó una evaluación a un grupo de alumnos de cuarto año y los resultados obtenidos fueron: 97 80 75 120 92 78 105 82 79 87 82 92 105 81 76 70 84 87 91 84  

c) 3°

b) 33 e) 55

c) 48

+ f 4”  

a) 51 d) 42

9. Hallar  “h1 + h4 + H2”   a) 0,5 d) 0,7

* Enunciado:  Enunciado: 

b) 2° e) 5°  5° 

b) 0,6 e) 1,2

c) 0,3

10.¿Cuántos paquetes pesan 700 ó más gramos? a) 25 d) 12

b) 27 e) 15

c) 30

Bloque  II  Bloque II  3. Determinar el rango (R). a) 40 d) 55

b) 35 e) 60

* Enunciado:  Enunciado:  c)  c)  50

En una encuesta a 30 alumnos se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus pesos en kilogramos:

4. El posible número de de intervalo es:  a) 6; 7 d) 2; 3

b) 7; 8 e) 8; 9

c) 4; 5

5. Si cons consideramos ideramos como número de intervalos k = 5, ¿cuál será los límites del último intervalo? a) [115; 120] d) [112; 120]

b) [116; [116; 120] c) [110; 120] e) [105; 120]  120] 

6. Con la cosideración anterior anterior,, ¿cuál ¿cuál sería los límites del tercer intervalo? a) [90; 95> d) [80; 90>

b) [90; 98> e) [70; 80>  80> 

c) [90; 100>

* Enunciado:  Enunciado:  La distribución de frecuencias mostrada corresponde a los pesos de 60 paquetes registrados en una empresa de encomiendas.

54 46

42 52

58 62

64 66

70 58

46 47

45 54 47 

40 52 58 

56 48 52 

55 61 54 

64 63 57 

66 60 56 

1. Determine el rango (R). a) 40 d) 45

b) 45 e) 50

c) 30

2. El posible número de intervalos (k) es: a) 5; 6; 7 d) 8; 9; 10 

b) 7; 8; 9 e) 3; 4; 5 

c) 2; 3; 4

3. Si consideramos el número de intervalos k = 6, ¿cuál será los límites del primer intervalo? a) [40 ; 46> d) [36 ; 59> 

b) [40 ; 45> e) [36 ; 5 50> 0> 

c) [45 ; 44>

 

  4. ¿Cuál será los límites del intervalo de mayor frecuencia? frecuencia?  a) [40 ; 45> d) [55 ; 60>

b) [45 ; 50> e) [60 ; 65>

c) [50 ; 55>

5. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 55 kg? a) 10 d) 18

b) 12 e) 20

b) 42 % e) 60 %

c) 40,3 % Salario Salario   (soles) (soles)  

b) 90 % e) 60 % 

c) 80 %

Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un Ministerio, de acuerdo a su ocupación.

ra  d o re re  s   A  d m i n i s t ra  I n g e n i e r o s   A  b o g a d o s  O b r e r o s  ia  s  S e c r e t a r ia

120 120   50  50  80  90  60  60  400   n = 400

c) 0,40

10.Hallar el tanto por ciento correspondiente a los  Administradores.  a) 30 % d) 50 %

b) 40 % e) 20 % 

c) 25 %

a) 200  d) 400

b)  220  e) 180

c)  250 

74  74 

b) 130 e) 160

c) 140

b) 12 e) 18

c) 14

3. ¿Cuántos empleados ganan menos de 150 soles? soles?   a) 60 d) 40

b) 74 e) 50

c) 72

4. ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores ganan entre 150 y 160 soles?  soles?  a) 15 % d) 8,5 %

b) 12,5 % e) 17,5 17,5 % 

c) 7,5 %

5. Hallar la marca d de e clase del último intervalo. a) 170 d) 155

b) 160 e) 150  150 

c) 165

6. ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores ganan entre 135 y 150 soles?  a) 30 %

11.Hallar "F3".

0,15   0,15 0,45   0,20   0,45 0,20

hi 

9. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los Abogados? b) 0,20 e) 0,80

24  24  14  14  6  n = 80 80  

Hi 

2. La frecuencia absoluta de la tercera clase es: a) 10 d) 16

Completar la tabla y responda las siguientes preguntas:

a) 0,25 d) 0,70

8  12  12 

hi 

Complete el cuadro y responda:

a) 120 d) 150

f i  F  # de personas personas   i

Fi 

1. El límite superior de la tercera clase es:

* Enunciado:  Enunciado: 

xi  ocupación ocupación  

Número de (f  i)    empleados

[100;110>   [100;110> [110;120>  [110;120>  [120;130> [120;130>   [130;140>  [130;140>  [140;150>  [140;150>  [150;160>  [150;160> 

c) 45 %

8. Determinar el tanto por ciento de alumnos que pesan menos de 65 kg. a) 40 % d) 50 %

c) 87,5 87,5 %

La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales en soles de 80 empleados de la compañía "SARITA S.A.".

7. Determinar el tanto por cciento iento de alumnos q que ue pesan 60 kg o más.  a) 30 % d) 20 %

b) 75 % e) 90 %

* Enunciado:  Enunciado: 

c) 14

b) 46,6 % e) 36,4 %

a) 62,5 % d) 72,5 % Bloque  III Bloque III 

6. ¿Qué tanto por ciento de de alumnos pesan menos de 55 kilogramos? (Aprox.) a) 42,3 % d) 38,7 %

12.Hallar el tanto por ciento de los que no son so n Ingenieros. 

b) 27,5 27,5 %

c) 32,5 %

d) 50 % e) 35 % 7.  Dada la siguiente distribución de frecuencias, respecto a las edades de empleados emplea dos de una compañía:

 

  Edades  [19;21] [22;24]  [25;27] Edades  [19;21]  [22;24]  [25;27]   [28;30] [28;30]   [31;33] [31;33]   hi hi  

0,15  0,15  

0,25 0,25  

0,40 0,40  

0,10  0,10 

 Además: F5 = 300, ¿cuántos empleados tienen edades entre 22 y 30 años? a) 175 d) 360

b) 225 e) 250

c) 450

* Enunciado: Enunciado:   Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 400 empleados según su edad:   Edades [19;21] [19;21]   [22;24]  [25;27]   [28;30]  [31;33]   [22;24]  [25;27] [28;30]  [31;33] 0,10   0,10 0,15 0,25 0,40  0,10 hi   hi 0,15   0,25   0,40  0,10  

1. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a las secretarias? a) 0,15 d) 0,3

b) 0,2 e) 0,35

c) 0,25

2. Si se despiden ocho administradores, seis abogados y 16 obreros, ¿cuál es la frecuencia relativa de los contadores, luego de estos cambios? a) 0,35 d) 0,42

b) 0,13 e) 0,21

c) 0,27

* Enunciado:  Se muestra la tabla de frecuencias de los rangos de sueldos que ganan un conjunto de profesores de colegios particulares.

8. ¿Cuántos empleados tienen entre 22 y 30 años? a) 255 d) 180

b) 300 e) 240

Sueldos  Sueldos  [500; 800> [800; 1100> [1100; 1400> [1400; 1700>

c) 340

9. ¿Qué tanto por ciento de los empleados tiene a lo más 27 años?  años?  a) 70 % d) 40 %

b) 60 % e) 55 % 

b) 30 % e) 80 % 

hi  0,15   0,15 0,30  0,30  0,20 c 

n = 40 40  

3. Hallar  “a + b + c ”  

10.¿Qué tanto por ciento de los empleados tiene por lo lo   menos 25 años? a) 40 % d) 70 %

[1700; 2000>  2000> 

c) 50 %

f i a b  10 10  

c) 35 %

a) 15,2 d) 16,1

b) 18,1 e) 17,2 

4. ¿Cuántos profesores ganan 1 400  400 soles o más? a) 6 d) 10

Autoevaluación  

c) 12,2

b) 12 e) 8

c) 15

5. Del siguiente histograma, determinar el número de personas que tiene un gasto mensual de 350 a 650 soles.

* Enunciado:  Enunciado:  Se muestra la distribución de los trabajadores en una empresa de acuerdo a su ocupación: Ocupación

f i

 Abogados  Administradores Contadores Ingenieros Secretarias Obreros

20 30 12  8   8 18   18 32 32  

N° personas personas   20   20 15   12   8 

0

a) 30 d) 47

Gasto mensual (S/.)  (S/.)  150

250

350

b) 35 e) 62

450

550

650   650 

c) 42

 

 

Estadística II  

Medidas de tendencia central central  

donde: xi: los valores que puede tomar  “x”  o  o la marca de clase

1. Moda (Md) (Md)  

el caso de intervalos. f i: en frecuencia absoluta de intervalo “i” . n: número de datos.

Es el valor de la variable que más se repite o el de mayor frecuencia. Ejemplos: Hallar la moda en cada caso: a) 21; 30; 18; 18; 21; 15; 20; 21; 15   Md = 21 Md  15   b) 15; 18 18  ; 20; 18 18  ; 12; 15; 19   1 Bimodal   Md2   18  2. Mediana (Me)  Si tenemos  “n”  datos  datos ordenados en forma creciente o decreciente, la mediana es el valor central si  “n”   es es impar,, y es igual a la semisuma de los valores centrales impar si  “n”  es  es par p ar..

Ejemplo: Las edades de un grupo de deportistas fue agrupada tal como muestra la tabla. Hallar la edad promedio de este grupo de personas. Intervalo (Edades) (Edades)  

xi 

f i 

xi f i 

Fi 

[10 - 14> 14>   [14 - 18> 18>   [18 - 22>  22>   26>   [22 - 26> 

12 12   16 16   20 20   24 24  

6  10  10  12  12  9 

72  72  160  160  240  240  216  216 

6  16  16  28  28  37  37 

[26 - 30>  30>  

28 28  

3 

84  84 

40  40 

n = 40  772  40  772  5 

 x i f i 

Ejemplos:

M.A. =

 j1 

n

=

772  = 19,3  40

Hallar la mediana en cada caso.  caso.   a) 17; 20; 21; 23; 23; 26; 32; 35   Me = 23 b) 21; 25; 16; 19; 28; 31 Ordenando: 16; 19; 21; 25 ; 28; 31        Me =

3. Media aritmética (M.A.) o promedio  promedio  Es la suma de todos los valores observados de la variable, dividida entre el número total de datos. Ejemplo: Hallar la media aritmética de: de:   16; 18; 21; 21; 19; 15  16  18   21   21  19  15  = 18,33 6 

Para datos tabulados  tabulados 

denominándose a éste   clase modal y luego utilizamos la siguiente fórmula:

Md = Li +

  d1      C  d1   d2 

donde:  Li: límite inferior de la clase modal.  d1: diferencia de frecuencias absolutas entre la clase   modal y premodal. d2: diferencia de frecuencias absolutas entre la clase modal y postmodal. C: amplitud de clase.  clase.  En el cuadro anterior a nterior,, el intervalo de mayor frecuencia es el tercero [18 - 22>; entonces:

1. Media aritmética (M.A.) (M.A.)   n 

 x i f i 

M.A.  =  M.A.

2. Moda (Md) (Md)   Para calcular la moda de  “n”  datos  datos tabulados, primero se ubica el intervalo que tiene la mayor frecuencia  frecuencia 

21  25 = 23 2 

  M.A. =

La media aritmética o  o promedio de  de todos los deportistas participantes es 19,3 años.

i 1

n 

- Li: 18 - d2: 12 - 9 = 3

-

d1: 12 - 10 = 2  C: 22 - 18 = 4 

 

  Luego:

2. Hallar la mediana en cada caso:

  d    2    Md = Li +   1  C   Md = 18 +       4 = 19,6  d d    3 2               1 2  La moda de todos los deportistas es 19,6. 

Me = ................................ b) 15; 21; 18 18;; 27; 31; 33; 25

3. Mediana (Me) (Me)      n       - F m-1 C Me = Lm +     2     f    m     

donde:  donde:  Lm: límite inferior de la clase mediana   C: ancho de la clase mediana Fm-1: frecuencia absoluta acumulada de la clase precedente a la clase mediana f m: frecuencia absoluta de la clase mediana   Observación:   Observación:

Me = ................................ ................................ c) 34; 28; 25; 32; 41; 37; 26; 43  Me = ................................ ................................   3. Hallar la media aritmética en cada caso: caso:   a) 15; 21; 28; 32; 18 M.A. = ............................... ................................. b) 33; 21; 42; 52; 48; 36

La clase mediana es aquella cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a la mitad de los datos por primera vez. Del cuadro anterior, anterior, la mitad de los datos será: será : 40  n  =   = 20 2 2 en la columna de la frecuencia acumulada (Fi) buscamos aquella frecuencia que es mayor a 20 por primera vez, que será el tercer intervalo interv alo [18 - 22>. - Lm: 18 - f m: 12

a) 63; 64; 73; 78; 79 79;; 79; 81 

-

Fm-1: 16  C: 22 - 18 = 4 

M.A. = ................................ c) 456; 475; 508; 513; 518 M.A. = ................................  4. Hallar la mediana y moda para cada conjunto de datos.  a) 23; 18; 20; 18; 15; 22; 26 Me = ................................ ................................ Md = ................................ b) 10; 6; 10; 13; 12; 14; 10; 12

Luego:      40         n - Fm-1   16         2   Me = 18 + 4  4  = 19,3 Me = L + C   2 m 12           12    f  m        

La mediana de todos los deportistas es 19,3. Ejercicios   Ejercicios 1. Hallar la moda en cada caso:

Me = ................................ ................................  Md = ................................ ................................   Problemas para la clase  

Bloque  I  Bloque 1. Hallar la media aritmética de las notas obtenidas por un grupo de estudiantes, cuya distribución de frecuencias es: Notas  [04; 08>  08>  [08; 12>  12>  [12; 16>  16>  [16; 20]  20] 

a) 75; 81; 83; 65; 81; 73; 75; 86; 81 Md = ................................ b) 156; 152; 1 153; 53; 152; 155; 156; 156; 155 Md = ................................ ................................ c) 56; 53; 48; 46; 56; 48; 37 Md1 = ................................ Md2 = ................................ ................................  

a) 11,2

b) 11,7

d) 9,8

e) 9,2

f i

xi 

xi f i 

14  14  12  12  10  10  4  c) 10,4

2. Las edades de un grupo de profesores está mostrada en el siguiente cuadro de frecuencias. Hallar la edad promedio si el ancho de los intervalos son iguales. iguales .

 

  Edades  Edades  [ ; 26> 26>   [ ; > [ ; > [38; >  >  [ ; > [ ; 56] 56]   a) 33,8 d) 35,9  35,9 

f i 5  16  15  12  8  4 

b) 34,2 e) 36,4  36,4 

xi

xi f i 

a) 25 % d) 24 %

a) 210 d) 240

El siguiente cuadro muestra la distribución de frecuencias del tiempo en minutos que emplea un grupo de alumnos en ir de su casa al colegio:

f i

xi

xi f i  625   625

7  225 

2700  1100 1100  

2  c) 225

[ ; 10> [ ; > [20; > [ ; > [ ; > 

a) 212,7 d) 227,6 227,6

b) 224,5 e) 232,4

c) 219,2

Un grupo de 80 trabajadores de una empresa tiene la siguiente distribución de frecuencias respecto a sus edades (Las amplitudes de los intervalos es la misma). Edades  Edades  >   [18; > [ ; > [[ [ [

;; 30> 30>  >  ; > ; ] 

f i

hi  0,05 0,05  

16   16 0,3  0,3   0,25  0,25 12   12 80  n = 80 

5. Hallar la moda de las edades.  edades.  a) 27,33 27,33 d) 28,66

b) 25,42 e) 30,66

b) 29,33 e) 32,66

0,35   0,35

4m m   m   3m 0,3   0,3

a) 28,2 d) 24,3

b) 2,75 e) 22,8

c) 26,6

b) 15 e) 30

c) 20

9. Hallar  “m” .

10.Hallar el promedio de los tiempos de viaje en minutos. minutos . b) 27,8 d) 24,6

c) 23,2

Bloque  II  Bloque II  1. Se muestra la nota de 11 alumnos en un examen de Matemática: 10; 12; 9; 12; 8; 14; 12; 10; 11; 12 y 8. Si  Si   el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual que la mediana, me diana, ¿cuántos aprueban? a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

* Enunciado:  Enunciado:  Las edades de un grupo de personas asistentes asis tentes a una reunión, tiene la siguiente distribución de frecuencias: xi (edades)

f i 

18 19 20 21 22

11   11 15   15 12  10 10   6 

c) 29,33

6. Hallar la mediana de las edades. a) 27,33 27,33 d) 31,36

0,1   0,1

8. Si todos los intervalos tienen el mismo ancho de de clase clase   calcule la mediana. 

a) 27,2 d) 26,5

* Enunciado:  Enunciado: 

H i 

n = 200  200 

a) 10 d) 25

4. Del problema anterior, anterior, hallar la moda.

hi  

f i

Tiempo  Tiempo 

c) 35,2

b) 215 e) 245

c) 40 %

* Enunciado:  Enunciado: 

3. Completar el siguiente cuadro y calcular el promedio de los pesos en gramos de un grupo de paquetes. Pesos   Pesos [100; 150> [150; 200>  200>  [200; 250> [250; 300>  300>  350]   [300; 350]

b) 30 % e) 20 % 

c) 28,33

7. ¿Cuál es el tanto por ciento de los trabajadores que tienen 34 ó más años?

2. ¿Cuál es la moda? a) 10 d) 18

b) 12 e) 15

c) 19

 

  3. ¿Cuál es la media aritmética de las edades? a) 18,5 d) 19,7

b) 19,2 e) 20,2

c) 19,5

9. La clase mediana es de: a) 1ra clase c) 3ra clase e) 5ta clase

b) 2da clase d) 4ta clase

* Enunciado:  Enunciado:  10.La clase modal es de: La tabla muestra la distribución de las edades de 50 alumnos de una universidad. Edades 19>   [16 - 19>

xi xi

f i 10   10

Fi

hi

Hi

xif i 

0,84  0,84 

[22 - 25>

b) 2da clase d) 4ta clase

Bloque  III Bloque III 

0,28 

[19 - 22>

a) 1ra clase c) 3ra clase e) 5ta clase

1. En una encuesta se obtuvo la siguiente información respecto a las notas obtenidas en un examen:

[25 - 28]  28]  50  50 

Puntaje

Completar el cuadro y responder:

[20; [40; [50; [60; [80;

4. ¿Cuál es el promedio de las edades de todos los estudiantes? a) 21,94 d) 20,26

b) 20,84 e) 21,26

c) 22,42

90  90 

se sabe además que:  que:  1  h1 = h5; h2  = h4; h2  - h1 =  9 Determinar el promedio.

c) 32 % 

b) 48 % e) 28 % 

hi 

40> 50>  50>  60> 30 80>  80>  96]  96] 

Total

5. ¿Qué porcentaje de alumnos tiene menos de 22 años? a) 60 % d) 52 %

f i

6. ¿Cuál es la moda? a) 23,25 d) 23,54

b) 22,85 e) 24,62

a) 56,5 d) 58

c) 24,27

7. Determinar la moda de la siguiente distribución:  distribución: 

b) 57 e) N.A.

c) 57,5 57,5

2. La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 300 paquetes de un determinado producto. producto.  

Ii [0; 1> 1> [1; [1 ; 2> 2> [2; [2 ; 3> [3; 4> [4; 5]  5] 

Ii 10-14 15-19 20-24 25-29 30-35  30-35 

f i

hi

a) 2,43 d) 2,65

3

10

b) 2,35 e) 2,56

17

8

5 

c) 2,25

Los siguientes datos son los haberes quincenales de 20 obreros de una empresa (en dólares).

k

0,13   0,13

b) 22,10 e) N.A.

c) 22,14

12  10 

8. Calcular la media, mediana y moda.

6  4 

b) 175; 180; 190 d) 180; 175; 190

Dados los datos anteriores, clasifique en cinco intervalos de clase de igual tamaño.

2k

3. Dado el siguiente histograma, determinar la mediana. f i 

210  200   220 220   150 150   190  160   150  210   200 190   100  100   160 150   170  170   190 140 210   160  160   140  140   180 140   180 180   230 230   210  180   130 130   200 200   190

a) 175; 180; 200 c) 175; 180; 180 e) 180; 190; 175

0,17

Hallar la moda. a) 23,10 d) 22,16

* Enunciado:  Enunciado: 

k/2

Edades Edades   12

a) 23 d) 20,3

18

b) 19,4 e) 21,7

24

30

36  36 

c) 20,6

 

  4. Del siguiente histograma de barras, determinar la media de los datos con aproximación a la unidad. f i  15  12   12 10  10  5 

Meses trabajados   trabajados 2

4

a) 6 d) 9

6

9

Hallar la estatura media. a) 72,15 d) 65,75

1000 1000   800  800  650  550  550  400  400 

c) 10

5. Una muestra se dividió en ocho intervalos, siendo las frecuencias absolutas: 20; 21; 22; ... y las marcas de clase: 30; 29; 28;... ; calcular la media. a) 24,18 d) 27,13 27,13

b) 23,15 e) 26,27

c) 24,32

6. Se muestra una tabla de las frecuencias relativas de sueldos que ganan los profesores de universidades particulares: Rango de sueldos (S/.) ( S/.) [1 800; 2 200> [2 200; 2 600> [2 600; 3 000> [3 000; 3 400] s

i

e

l

s

u

e

l d

a) 0,4 d) 0,35

o

p

r

o

m

e

d

i o

f

u

e

d

Frencuencia relativa 0,1 m n 0,2 0,2   e

S

/

. 2

b) 0,3 e) 0,5

640,  hallar el  640, el valor valor  de  de  “  “m” .  c) 0,25

7. La tabla de datos que se proporciona corresponde a los pesos de 400 paquetes registrados en la aduana, del cual se pide la media y la mediana.  Intervalos

f 

[64; 70>

50

[70; 80>

100

a) 81,75 y 83,33 c) 83,75 y 83,33 e) 83,75 y 81,25 81,25

10

20

30

b) 34,3 e) 40,6 40,6  

a) 37,6 d) 41,3

40

50  50 

c) 33,3 33,3  

10.En una encuesta sobre los ingresos anuales de un grupo de familias, se obtuvo la siguiente información: Ii

Xi

f i 

[200; > [ ; >  [ ; >  [ ; 1 000]

10 10  10 

f 2  f 3  =  . Calcular el número de  3 5 familias con un ingreso entre 480 y 760. 

 Además: X = 580 y

a) 50  d) 54

b) 60  e) 65

c) 72 

11.En un cuadro de distribución de cuatro intervalos de  igual ancho de clase se sabe que: X1  = 12; X3  = 28;  f2 = 45; h1 = h3   = 0,25. Si en total hay 120 datos,  calcular su X . 

i

[80; 90>  90>  [90; 100>

c) 62,15

9. En el siguiente histograma d de e frecuencias absolutas acumuladas (Fi) se pide la mediana y la media muestral. Dar su suma aproximada. Fi 

12 14 14  

b) 7 e) 8 

b) 67,45 67,45 e) 65,15

100   100 b) 82,75 y 82,25 d) 81,25 y 82,25

a) 18 d) 10

Frecuencia   Frecuencia

60 - 62 62   63 - 65 65   66 - 68 68   71   69 - 71 72 - 74 74  

5  18 18   42 42   27 27   8 

c) 12

12.En el histograma de frecuencias, hallar la mediana aproximadamente. f i  50 50   40  40  30  30  25  25 

8. Dada la siguiente tabla de frecuencias: Estatura (pulg.)

b) 22 e) 15

15  10  10 

x i  10

a) 37 d) 33

20

b) 31 e) 42

30

40

50

c) 32

60  60 

 

  13.El cuadro estadístico estadístico muestra las horas extras realizadas por un grupo de trabajadores el mes pasado. Si el promedio es 40,08 horas, ¿qué tanto por ciento del total corresponde a 46 ó más horas extras? Los anchos de clase de todos los intervalos son iguales.

a) 15 % d) 30 %

Horas [ ; > [ ; >

f i  a  3a 

[38; > [ ; > [ ; 62]

16 a  4 

b) 18 % e) 10 % 

a) 214,2 y 42 d) 220,3 y 50

b) 210,4 y 45 e) 219,4 y 45

3. El cuadro muestra el número de de pedidos pasados por un grupo de vendedores. Hallar la moda si los anchos de clase son constantes. f i (N° vendedores) 9 

N° pedidos pedidos   [300; 350> [350; >  >  [ ; > [ ; >  [ ; 550] 

c) 20 %

c) 217 217,8 ,8 y 42

a) 428,12 d) 464,26

4500   4500 11900  11900 

30   30 11 

b) 454,76 e) 451,18

xi f i 

c) 436,38

4. Del siguiente histograma hallar el peso promedio de un grupo de personas.

Autoevaluación  

1. Hallar la moda de de la siguiente distribución que muestra las edades de un grupo de personas.

f i  43  43  22 

[15; [20; [25; [30; [35; a) 35,23 d) 31,33

20> 25> 30> 35> 40]

15 

2 6 14 36 22   22

b) 33,05 e) 32,15

12  8  40

c) 29,66

2. Los sueldos semanales de un grupo de obreros están distribuidos en la siguiente distribución de frecuencias con ancho de clase constante. Hallar el sueldo promedio y cuántos trabajadores ganan S/.240 ó mas? Sueldos  Sueldos  [ ; >  [ ; 210>

f i

hi  k   4k  

[ ; [ ; [270;

33

0,22  0,22  2k   0,08  0,08 

>  >  ]]  

a) 65,7 d) 54,6

46

52

58

b) 60,2 e) 69,1

64

70

76  76  

Pesos Pesos  

c) 58,2

5. Una muestra se dividió en seis intervalos siendo las marcas de clase: 40; 46; 52; ... y las frecuencias absolutas. Hallar la suma de la moda y la mediana. a) 117 117,32 ,32 d) 116,65

b) 112,45 e) 118,23

c) 114,32