`~êíÉëá~å=mêçÇìÅí ` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _} = =
4
=
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.2 Sets of Numbers =
26.
27.
= 28.
= 29.
= 30.
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=k= tÜçäÉ=åìãÄÉêëW= kM = fåíÉÖÉêëW=w= mçëáíáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w + = kÉÖ~íáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w − = o~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=n= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=o== `çãéäÉñ=åìãÄÉêëW=`== = = k~íìê~ä=kìãÄÉêë `çìåíáåÖ=åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K= tÜçäÉ=kìãÄÉêë `çìåíáåÖ=åìãÄÉêë=~åÇ=òÉêçW= k M = {MI NI OI PI K} K= fåíÉÖÉêë tÜçäÉ=åìãÄÉêë=~åÇ=íÜÉáê=çééçëáíÉë=~åÇ=òÉêçW= w + = k = {NI OI PI K}I= w − = {KI − PI − OI − N} I= w = w − ∪ {M} ∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI PI K} K= o~íáçå~ä=kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ=çê=íÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëW== ~ n = ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ M K= Ä
mêçÇìÅí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= ò N ⋅ ò O = êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) ⋅ êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) = = êNêO [Åçë(ϕN + ϕO ) + á ëáå(ϕN + ϕO )] = `çåàìÖ~íÉ=kìãÄÉêë=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= |||||||||||||||||||||
ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = ê[Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] =
= 59.
fåîÉêëÉ=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= N N = [Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) ê
10
CHAPTER 1. NUMBER SETS
60.
= 61. = 62. = 63.
= 64.
nìçíáÉåí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= ò N êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) êN = [Åçë(ϕN − ϕO ) + á ëáå(ϕN − ϕO )] = = ò O êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) êO mçïÉê=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= å ò å = [ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)] = ê å [Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)] = cçêãìä~=±aÉ=jçáîêÉ≤= (Åçë ϕ + á ëáå ϕ)å = Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ) = kíÜ=oççí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= ϕ + Oπâ ϕ + Oπâ å ò = å ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = å ê Åçë + á ëáå I== å å ïÜÉêÉ== â = MI NI OI KI å − N K== bìäÉê∞ë=cçêãìä~= É áñ = Åçë ñ + á ëáå ñ = = =
(~ + Ä)O = ~ O + O~Ä + ÄO = (~ − Ä)P = ~ P − P~ O Ä + P~ÄO − ÄP = (~ + Ä)P = ~ P + P~ OÄ + P~ÄO + ÄP = (~ − Ä)Q = ~ Q − Q~ P Ä + S~ O ÄO − Q~ÄP + ÄQ = (~ + Ä)Q = ~ Q + Q~ P Ä + S~ OÄO + Q~ÄP + ÄQ = _áåçãá~ä=cçêãìä~= (~ + Ä)å = å` M~ å + å`N~ å−NÄ + å` O~ å−OÄO + K + å` å−N~Äå−N + å` å Äå I å> ïÜÉêÉ= å ` â = =~êÉ=íÜÉ=Äáåçãá~ä=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK= â> (å − â )>
(~ + Ä + Å )O = ~ O + ÄO + Å O + O~Ä + O~Å + OÄÅ = (~ + Ä + Å + K + ì + î )O = ~ O + ÄO + Å O + K + ì O + î O + = + O(~Ä + ~Å + K + ~ì + ~î + ÄÅ + K + Äì + Äî + K + ìî ) =
_~ëÉëW=~I=Ä== mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã= ~ I Ä ≥ M =Ñçê=ÉîÉå=êççíë=E å = Oâ I= â ∈ k F= = = å ~Ä = å ~ å Ä =
92. =
å
~ ã Ä = åã ~ ã Äå =
93.
å
~ å~ = I= Ä ≠ M = Ä åÄ
= 94.
= 95. = 96. =
~ åã ~ ã åã ~ ã I= Ä ≠ M K= = = ã Äå Ä åã Äå å
(~ ) å
ã
( ~) å
å
é
= å ~ ãé =
=~= åé
97. =
å
~ã =
98. =
å
~ =~ =
99. =
ã å
100. =
ã å
ã
~ = ãå ~ =
( ~) å
~ ãé =
ã
= å ~ã =
15
CHAPTER 2. ALGEBRA
N å ~ å −N = I= ~ ≠ M K= å ~ ~
101.
= ~± Ä =
102.
~ + ~O − Ä ~ − ~O − Ä ± = O O
= N ~m Ä = = ~−Ä ~± Ä
103.
= = =
2.5 Logarithms =
104.
105. 106. 107. 108. 109.
mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI=óI=~I=ÅI=â= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å== = = aÉÑáåáíáçå=çÑ=içÖ~êáíÜã= ó = äçÖ ~ ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= ñ = ~ ó I= ~ > M I= ~ ≠ N K= = äçÖ ~ N = M = = äçÖ ~ ~ = N = = − ∞ áÑ ~ > N äçÖ ~ M = = + ∞ áÑ ~ < N = äçÖ ~ (ñó ) = äçÖ ~ ñ + äçÖ ~ ó = = ñ äçÖ ~ = äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó = ó
16
CHAPTER 2. ALGEBRA
110. äçÖ ~ (ñ å ) = å äçÖ ~ ñ = = N 111. äçÖ ~ å ñ = äçÖ ~ ñ = å = äçÖ Å ñ 112. äçÖ ~ ñ = = äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I= Å > M I= Å ≠ N K= äçÖ Å ~ = N 113. äçÖ ~ Å = = äçÖ Å ~ = 114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ = = 115. içÖ~êáíÜã=íç=_~ëÉ=NM= äçÖ NM ñ = äçÖ ñ = = 116. k~íìê~ä=içÖ~êáíÜã= äçÖ É ñ = äå ñ I== â
N ïÜÉêÉ= É = äáã N + = OKTNUOUNUOUK = â →∞ â = N 117. äçÖ ñ = äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ = äå NM = N 118. äå ñ = äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ = äçÖ É = = = = =
17
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.6 Equations = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=éI=èI=ìI=î= pçäìíáçåëW= ñ N I= ñ O I= ó N I= ó O I= ó P = = = 119. iáåÉ~ê=bèì~íáçå=áå=låÉ=s~êá~ÄäÉ= Ä ~ñ + Ä = M I= ñ = − K== ~ = 120. nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå= − Ä ± ÄO − Q~Å ~ñ + Äñ + Å = M I= ñ NI O = K= O~ = 121. aáëÅêáãáå~åí= a = ÄO − Q~Å = = 122. sáÉíÉ∞ë=cçêãìä~ë= fÑ= ñ O + éñ + è = M I=íÜÉå== ñ N + ñ O = −é K= ñ ñ = è N O = Ä 123. ~ñ O + Äñ = M I= ñ N = M I= ñ O = − K= ~ = Å 124. ~ñ O + Å = M I= ñ NI O = ± − K= ~ = 125. `ìÄáÅ=bèì~íáçåK=`~êÇ~åç∞ë=cçêãìä~K== ó P + éó + è = M I== O
18
CHAPTER 2. ALGEBRA
ó N = ì + î I= ó OI P = −
N (ì + î ) ± P (ì + î ) á I== O O
ïÜÉêÉ== O
ì=P −
O
O
O
è è è é è é + + I= î = P − − + K== O O O P O P
= =
2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò= ~ I ÄI ÅI Ç oÉ~ä=åìãÄÉêëW= I=ãI=å= ~N I ~ O I ~ P I KI ~ å aÉíÉêãáå~åíëW=aI= añ I= aó I= aò == = = 126. fåÉèì~äáíáÉëI=fåíÉêî~ä=kçí~íáçåë=~åÇ=dê~éÜë== = fåÉèì~äáíó= fåíÉêî~ä=kçí~íáçå= dê~éÜ= [~I Ä]= ~ ≤ ñ ≤ Ä= ~ < ñ ≤ Ä=
(~I Ä] =
=
~ ≤ ñ < Ä=
[~I Ä) =
=
~ < ñ < Ä=
(~I Ä) =
=
− ∞ < ñ ≤ Ä I= ñ≤Ä= − ∞ < ñ < Ä I= ñ~=
(− ∞I Ä] =
= =
(− ∞I Ä) =
=
[~I ∞ ) =
=
(~I ∞ ) =
=
19
CHAPTER 2. ALGEBRA
127. = 128. = 129. = 130. = 131. = 132. = 133. =
fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= Ä < ~ K= fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ − Ä > M =çê= Ä − ~ < M K= fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Å K= fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ − Å > Ä − Å K= fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Ç K= fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ − Ç > Ä − Å K= fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå= ã~ > ãÄ K=
134. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå=
~ Ä > K= ã ã
= 135. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã < M I=íÜÉå= ã~ < ãÄ K= = ~ Ä 136. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã < M I=íÜÉå= < K= ã ã = 137. fÑ= M < ~ < Ä =~åÇ= å > M I=íÜÉå= ~ å < Äå K= = 138. fÑ= M < ~ < Ä =~åÇ= å < M I=íÜÉå= ~ å > Äå K= = 139. fÑ= M < ~ < Ä I=íÜÉå= å ~ < å Ä K= = ~+Ä I== 140. ~Ä ≤ O ïÜÉêÉ= ~ > M =I= Ä > M X=~å=Éèì~äáíó=áë=î~äáÇ=çåäó=áÑ= ~ = Ä K== = N 141. ~ + ≥ O I=ïÜÉêÉ= ~ > M X=~å=Éèì~äáíó=í~âÉë=éä~ÅÉ=çåäó=~í= ~ = N K= ~
20
CHAPTER 2. ALGEBRA
142.
å
~N~ O K~ å ≤
~N + ~ O + K + ~ å I=ïÜÉêÉ= ~N I ~ O I KI ~ å > M K= å
= Ä 143. fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ > M I=íÜÉå= ñ > − K= ~ = Ä 144. fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ < M I=íÜÉå= ñ < − K== ~ = 145. ~ñ O + Äñ + Å > M = = = ~ > M= = = = = a>M=
= = = a=M=
= = = a ñ O = =
ñ N < ñ I= ñ > ñ N = =
= −∞< ñ ~ I=íÜÉå= ñ < −~ =~åÇ= ñ > ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K= fÑ= ñ O < ~ I=íÜÉå= ñ < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K= fÑ= ñ O > ~ I=íÜÉå= ñ > ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=
151. fÑ=
=
Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) > M Ñ (ñ ) > M I=íÜÉå= K= Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M
Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) < M Ñ (ñ ) < M I=íÜÉå= K= Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M
O ~ P = 177. o = Ü = P P = N ~ P o = = 178. ê = Ü = P S O =
179. i = P~ =
= 180. p =
O
~Ü ~ P = = O Q
= = =
3.4 Scalene Triangle E^=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=åç=íïç=ëáÇÉë=Éèì~äF= = = páÇÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW=~I=ÄI=Å= ~ +Ä+Å == pÉãáéÉêáãÉíÉêW= é = O ^åÖäÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW= αI βI γ = ^äíáíìÇÉë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= Ü ~ I Ü Ä I Ü Å = jÉÇá~åë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= ã ~ I ã Ä I ã Å = _áëÉÅíçêë=çÑ=íÜÉ=~åÖäÉë= αI βI γ W= í ~ I í Ä I í Å = o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= ^êÉ~W=p= = =
29
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=====
= Figure 13.
= 181. α + β + γ = NUM° = 182. ~ + Ä > Å I== Ä + Å > ~ I== ~ + Å > Ä K= = 183. ~ − Ä < Å I== Ä − Å < ~ I== ~ − Å < Ä K=
=
= 184. jáÇäáåÉ= ~ è = I= è öö ~ K= O =
=
=
===== Figure 14.
=
30
CHAPTER 3. GEOMETRY
185. i~ï=çÑ=`çëáåÉë= ~ O = ÄO + Å O − OÄÅ Åçë α I= ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçë β I= Å O = ~ O + ÄO − O~Ä Åçë γ K= = 186. i~ï=çÑ=páåÉë= ~ Ä Å = = = Oo I== ëáå α ëáå β ëáå γ ïÜÉêÉ=o=áë=íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉK== = ~ Ä Å ÄÅ ~Å ~Ä ~ÄÅ = = = = = = 187. o = = O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I== 188. ê O = é N N N N = + + K= ê Ü~ ÜÄ ÜÅ = (é − Ä)(é − Å ) I= α 189. ëáå = O ÄÅ Åçë
α é(é − ~ ) I= = O ÄÅ
í~å
α = O
(é − Ä)(é − Å ) K= é(é − ~ )
= O 190. Ü ~ = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I= ~ O é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I= ÜÄ = Ä O ÜÅ = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) K= Å
31
CHAPTER 3. GEOMETRY
191. Ü ~ = Ä ëáå γ = Å ëáå β I= Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáå α I= Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáå α K=
= Ä +Å ~ − I== O Q O O ~ + Å ÄO ã OÄ = − I== O Q O O ~ + Ä ÅO O ãÅ = − K= O Q
192. ã O~ =
O
O
O
=
=
=
===== Figure 15.
= O O O 193. ^j = ã ~ I= _j = ã Ä I= `j = ã Å =EcáÖKNRFK= P P P = QÄÅé(é − ~ ) 194. í O~ = I== (Ä + Å )O Q~Åé(é − Ä) í OÄ = I== (~ + Å )O Q~Äé(é − Å ) í OÅ = K= (~ + Ä)O =
32
CHAPTER 3. GEOMETRY
~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å = = I== O O O ~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α I== p= = = O O O p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) =EeÉêçå∞ë=cçêãìä~FI= p = éê I== ~ÄÅ p= I= Qo p = Oo O ëáå α ëáå β ëáå γ I= α β γ p = éO í~å í~å í~å K= O O O
219. Ç = ~Ä + Å = = N O 220. Ü = Å O − (Ä − ~ ) = Q O
= Å ~Ä + Å O = (OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä) = ~+Ä 222. p = ⋅ Ü = èÜ = O = = = = = = 221. o =
39
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle = _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= iÉÖW=Å= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =
=
= Figure 22.
= 223. ~ + Ä = OÅ = = ~+Ä 224. è = =Å= O = 225. Ç = Ü + Å = O
O
O
=
40
CHAPTER 3. GEOMETRY
226. ê =
Ü ~Ä = = O O =
Ä ÅÇ ÅÇ Å Å Å ~+Ä ~ N+ ÜO + Å O = = = = +S+ = OÜ Qê O ~Ä OÜ U Ä ~ = 228. i = O(~ + Ä) = QÅ = = (~ + Ä) ~Ä = èÜ = ÅÜ = iê == ~+Ä ⋅Ü = 229. p = O O O = = = 227. o =
O
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle = _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= i~íÉê~ä=ëáÇÉëW=ÅI=Ç= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= =
41
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
= Figure 23.
= 230. ~ + Ä = Å + Ç = ~+Ä Å+Ç = = 231. è = O O 232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç ) =
=
= =
~+Ä Å+Ç ⋅Ü = ⋅ Ü = èÜ I== O O N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K= O
233. p =
= = =
3.13 Kite = páÇÉë=çÑ=~=âáíÉW=~I=Ä= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉëW= αI βI γ = mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =
42
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
= Figure 24.
=
234. α + β + Oγ = PSM° = 235. i = O(~ + Ä) =
= =
236. p =
ÇNÇ O = O
= = =
3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ = o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p=
43
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
= Figure 25.
=
237. α + γ = β + δ = NUM° =
= 238. míçäÉãó∞ë=qÜÉçêÉã= ~Å + ÄÇ = ÇNÇ O = 239. i = ~ + Ä + Å + Ç =
=
= N (~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ ) I== 240. o = Q (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) i ïÜÉêÉ= é = K= O = N 241. p = ÇNÇ O ëáå ϕ I== O p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I== i ïÜÉêÉ= é = K= O = = =
44
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.15 Tangential Quadrilateral = páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p= = =
=
= Figure 26.
= 242. ~ + Å = Ä + Ç = = 243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O(Ä + Ç ) = = ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é ) I== Oé i ïÜÉêÉ= é = K== O = O
O
244. ê =
45
CHAPTER 3. GEOMETRY
N 245. p = éê = ÇNÇ O ëáå ϕ = O = = =
3.16 General Quadrilateral = páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ = fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ = mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = =
= 280. Ç = ~ O + ÄO + Å O = 281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ ) = 282. s = ~ÄÅ ==
= =
56
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.24 Prism = i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=ä= eÉáÖÜíW=Ü= i~íÉê~ä=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
=
=
===== Figure 39.
= 283. p = p i + Op_ K== = 284. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~=oáÖÜí=mêáëã= p i = (~ N + ~ O + ~ P + K + ~ å )ä = = 285. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~å=lÄäáèìÉ=mêáëã= p i = éä I== ïÜÉêÉ=é=áë=íÜÉ=éÉêáãÉíÉê=çÑ=íÜÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçåK= =
= N N 294. p i = å~ã = å~ QÄO − ~ O = éã = O Q = 295. p_ = éê = = 296. p = p_ + p i = = N N 297. s = p_ Ü = éêÜ == P P = = =
60
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.27 Frustum of a Regular Pyramid = ~N I ~ O I ~ P IKI ~ å = _~ëÉ=~åÇ=íçé=ëáÇÉ=äÉåÖíÜëW= ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå eÉáÖÜíW=Ü= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã== ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = mÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉëW= mN I= mO = pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
=
= Figure 42.
= 298.
ÄN ÄO ÄP Ä Ä = = =K= å = = â = ~N ~ O ~ P ~å ~ =
61
CHAPTER 3. GEOMETRY
299.
pO = âO = pN =
ã(mN + mO ) = 300. p i = O
=
301. p = p i + pN + pO =
= Ü 302. s = pN + pNpO + pO = P = O Üp Ä Ä Üp 303. s = N N + + = N N + â + â O = P ~ ~ P = = =
(
)
[
]
3.28 Rectangular Right Wedge = páÇÉë=çÑ=Ä~ëÉW=~I=Ä= qçé=ÉÇÖÉW=Å= eÉáÖÜíW=Ü= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
62
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
= Figure 43.
= N (~ + Å ) QÜO + ÄO + Ä ÜO + (~ − Å )O = O = 305. p_ = ~Ä = = 306. p = p_ + p i = = ÄÜ (O~ + Å ) = 307. s = S = = = 304. p i =
= 315. p = R~ O P = = R~ P P + R 316. s = = NO = =
(
)
65
CHAPTER 3. GEOMETRY
Dodecahedron =
=
= Figure 46.
317. ê =
(
~ NM OR + NN R = O
= 318. o =
)
=
(
)
~ P N+ R = Q
=
(
)
319. p = P~ O R R + O R = = ~ P NR + T R 320. s = = Q = = =
(
)
3.30 Right Circular Cylinder = o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=
66
CHAPTER 3. GEOMETRY
eÉáÖÜíW=e= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
=
=====
= Figure 47.
= 321. p i = Oπoe = = Ç 322. p = p i + Op_ = Oπo(e + o ) = πÇ e + = O = 323. s = p_ e = πo O e = = = =
67
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face = o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= qÜÉ=ÖêÉ~íÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= ÜN = qÜÉ=ëÜçêíÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= Ü O = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
=
= Figure 48.
=
324. p i = πo(ÜN + Ü O ) = = O
Ü − ÜO 325. p_ = πo + πo o + N = O = O
O
68
CHAPTER 3. GEOMETRY
O ÜN − Ü O O 326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o + = O = πo O (ÜN + ÜO ) = 327. s = O = = =
3.32 Right Circular Cone o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç= eÉáÖÜíW=e= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi = ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
=
= Figure 49.
69
CHAPTER 3. GEOMETRY
328. e = ã O − o O = = πãÇ 329. p i = πoã = = O = 330. p_ = πo O = =
N Ç 331. p = p i + p_ = πo (ã + o ) = πÇ ã + = O O = N N 332. s = p_ e = πo O e = P P = = =
3.33 Frustum of a Right Circular Cone = o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW=oI=ê= eÉáÖÜíW=e= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO = i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i = qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= = =
70
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
= Figure 50.
= 333. e = ã O − (o − ê ) = = o 334. =â= ê = p oO 335. O = O = â O = pN ê = 336. p i = πã(o + ê ) = = 337. p = pN + pO + p i = π o O + ê O + ã(o + ê ) = = Ü 338. s = pN + pNpO + pO = P = O ÜpN o o ÜpN 339. s = N+ â + âO = N + + = P ê ê P = = = O
= 343. p_ = πê O = = 344. p` = π(Ü O + ê O )= = 345. p = p_ + p` = π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + ê O ) = = π π 346. s = Ü O (Po − Ü ) = Ü(Pê O + Ü O ) = S S = = =
= 347. p = πo(OÜ + ê ) = = O 348. s = πo O Ü = P = kçíÉW= qÜÉ= ÖáîÉå= Ñçêãìä~ë= ~êÉ= ÅçêêÉÅí= ÄçíÜ= Ñçê= ±çéÉå≤= ~åÇ= ±ÅäçëÉÇ≤=ëéÜÉêáÅ~ä=ëÉÅíçêK= = = =
= 519. i~éä~ÅÉ=bñé~åëáçå=çÑ=å-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí= i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=á-íÜ=êçï= å
ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I= á = NI OI KI å K= à=N
i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=à-íÜ=Åçäìãå= å
ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I= à = NI OI KI å K== á =N
= = =
5.2 Properties of Determinants = 520. qÜÉ==î~äìÉ==çÑ=~=ÇÉíÉêãáå~åí=êÉã~áåë==ìåÅÜ~åÖÉÇ=áÑ=êçïë=~êÉ= ÅÜ~åÖÉÇ=íç=Åçäìãåë=~åÇ=Åçäìãåë=íç=êçïëK= ~ ~ O ~N ÄN = == = N ÄN ÄO ~ O ÄO = 521. fÑ=íïç==êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉ=ëáÖå=çÑ= íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=áë=ÅÜ~åÖÉÇK= ~N ÄN ~ ÄO =− O = ~ O ÄO ~N ÄN = 522. fÑ=íïç=êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áÇÉåíáÅ~äI=íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ= ÇÉíÉêãáå~åí=áë=òÉêçK= ~N ~N = M= ~O ~O =
109
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
523. fÑ==íÜÉ===ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó=êçï==Eçê=ÅçäìãåF=~êÉ=ãìäíáéäáÉÇ=Äó===== ~==Åçããçå==Ñ~ÅíçêI==íÜÉ==ÇÉíÉêãáå~åí==áë==ãìäíáéäáÉÇ==Äó==íÜ~í= Ñ~ÅíçêK= â~ N âÄN ~ ÄN =â N = ~ O ÄO ~ O ÄO = 524. fÑ==íÜÉ==ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó==êçï==Eçê==ÅçäìãåF=~êÉ=áåÅêÉ~ëÉÇ=Eçê= ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó=Éèì~ä=ãìäíáéäÉë=çÑ=íÜÉ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë= çÑ=~åó=çíÜÉê=êçï==Eçê=ÅçäìãåFI==íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí= áë=ìåÅÜ~åÖÉÇK= ~N + âÄN ÄN ~N ÄN = = ~ O + âÄO ÄO ~ O ÄO = = =
5.3 Matrices = 525. aÉÑáåáíáçå= ^å= ã × å =ã~íêáñ=^=áë=~=êÉÅí~åÖìä~ê=~êê~ó=çÑ=ÉäÉãÉåíë=EåìãÄÉêë=çê=ÑìåÅíáçåëF=ïáíÜ=ã=êçïë=~åÇ=å=ÅçäìãåëK== ~ NN ~ NO K ~ Nå ~ ~ OO K ~ Oå ON == ^ = ~ áà = M M M ~ ãN ~ ã O K ~ ãå = 526. pèì~êÉ=ã~íêáñ=áë=~=ã~íêáñ=çÑ=çêÇÉê= å× å K== = 527. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ== ~ áà ==áë==ëóããÉíêáÅ==áÑ== ~ áà = ~ àá I==áKÉK==áí==áë=
~ ñ + ÄNó = ÇN I== 544. N ~ O ñ + ÄO ó = Ç O aó a =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI== ñ = ñ I= ó = a a ïÜÉêÉ== ~ ÄN a= N = ~NÄO − ~ O ÄN I== ~ O ÄO Ç ÄN añ = N = ÇNÄO − Ç O ÄN I== Ç O ÄO ~ ÇN aó = N = ~NÇ O − ~ OÇN K== ~ O ÇO = 545. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW== aó a K= ñ = ñ I= ó = a a fÑ= a = M = ~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M FI= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = åç== ëçäìíáçåK= fÑ= a = añ = aó = M I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = áåÑáåáíÉäó= = ã~åó== ëçäìíáçåëK= = ~Nñ + ÄNó + ÅNò = ÇN= 546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I== ~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç P P P P ñ=
aó añ a I= ó = I= ò = ò =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI== a a a
=
115
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ== ~N ÄN a = ~ O ÄO ~ P ÄP
ÅN
ÇN
ÄN
ÅN
Å O I= añ = Ç O
ÄO
Å O I=
ÅP
ÄP
ÅP
ÇP
~N
ÇN
ÅN
~N
ÄN
ÇN
aó = ~ O ~P
ÇO ÇP
Å O I= aò = ~ O ÅP ~P
ÄO ÄP
Ç O K== ÇP
= 547. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW== aó a a I= ò = ò K= ñ = ñ I= ó = a a a fÑ= a = M =~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M =çê= aò ≠ M FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã= Ü~ë=åç=ëçäìíáçåK= fÑ= a = añ = aó = aò = M I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= áåÑáåáíÉäó= ã~åó=ëçäìíáçåëK= = 548. j~íêáñ=cçêã=çÑ=~=póëíÉã=çÑ=å=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=áå================= å=råâåçïåë= qÜÉ=ëÉí=çÑ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçåë== ~NNñ N + ~ NO ñ O + K + ~ Nå ñ å = ÄN ~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä ON N OO O Oå å O = K K K K K K K K K K K K ~ åNñ N + ~ å O ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=ã~íêáñ=Ñçêã= ~ NN ~ NO K ~ Nå ñ N ÄN ~ ON ~ OO K ~ Oå ñ O Ä O I== = ⋅ M M M M M ~ åN ~ å O K ~ åå ñ å Ä å áKÉK== ^ ⋅ u = _ I==
116
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ== ~ NN ~ ^ = ON M ~ åN
~ NO K ~ Nå ñN ÄN ~ OO K ~ Oå ñO ÄO u _ I= I= = = M M K== M M ñ Ä ~ å O K ~ åå å å
= 549. pçäìíáçå=çÑ=~=pÉí=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= å × å = u = ^ −N ⋅ _ I== ïÜÉêÉ= ^ −N =áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=çÑ=^K= = =
117
Chapter 6
Vectors = = = = r r r r → sÉÅíçêëW= ì I= î I= ï I= ê I= ^_ I=£= r r sÉÅíçê=äÉåÖíÜW= ì I= î I=£= r r r råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â = r kìää=îÉÅíçêW= M = r `ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= ì W= uN I vN I wN = r `ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= î W= u O I vO I wO = pÅ~ä~êëW= λ I µ = aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=îÉÅíçêëW= θ = = =
6.1 Vector Coordinates = 550. råáí=sÉÅíçêë= r á = (NI MI M) I= r à = (MI NI M) I= r â = (MI MI N) I= r r r á = à = â = N K= =
r r r r → 551. ê = ^_ = (ñ N − ñ M ) á + (ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â = =
118
CHAPTER 6. VECTORS
======= =
= Figure 73.
= → r ê = ^_ =
552.
(ñ N − ñ M )O + (óN − ó M )O + (òN − ò M )O =
= → → r r 553. fÑ= ^_ = ê I=íÜÉå= _^ = − ê K= =
=
= Figure 74.
r 554. u = ê Åçë α I= r v = ê Åçë β I= r w = ê Åçë γ K=
=
119
CHAPTER 6. VECTORS
=
=====
= Figure 75.
= r r 555. fÑ= ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I=íÜÉå== u = uN I= v = vN I= w = wN K== == =
6.2 Vector Addition =
r r r 556. ï = ì + î = =
=
==
= Figure 76.
120
CHAPTER 6. VECTORS
=
==
= Figure 77.
=
r r r r r 557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ì å = =
=
=
== Figure 78.
= 558. `çããìí~íáîÉ=i~ï= r r r r ì+ î =î+ì= = 559. ^ëëçÅá~íáîÉ=i~ï= (ìr + îr ) + ïr = ìr + (îr + ïr ) = = r r 560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO ) = = = = = = =
121
CHAPTER 6. VECTORS
6.3 Vector Subtraction =
r r r r r r 561. ï = ì − î =áÑ= î + ï = ì K= =
=
= Figure 79.
=
=
==
= Figure 80.
=
r r r r 562. ì − î = ì + (− î ) = = r r r 563. ì − ì = M = (MI MI M ) = = r 564. M = M =
= r r 565. ì − î = (uN − u O I vN − vO I wN − w O ) I== = = =
6.4 Scaling Vectors = r r 566. ï = λì =
122
CHAPTER 6. VECTORS
=
= Figure 81.
= 567.
r r ï = λ⋅ì=
=
r 568. λì = (λuI λv I λw ) = = r r 569. λì = ìλ = = r r r 570. (λ + µ ) ì = λì + µì = = r r r 571. λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì = = r r r r 572. λ(ì + î ) = λì + λî = = = =
6.5 Scalar Product = r r 573. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î = r r r r ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçë θ I== r r ïÜÉêÉ= θ =áë=íÜÉ=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=îÉÅíçêë= ì =~åÇ î K==== =
123
CHAPTER 6. VECTORS
=
=
= Figure 82.
= 574. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= r r fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå== r r ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wNwO K= = 575. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë== r r fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå== uNu O + vNvO + wNw O K= Åçë θ = O O O O O O uN + vN + wN u O + vO + w O = 576. `çããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r ì⋅î = î ⋅ì= = 577. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó= (λìr ) ⋅ (µîr ) = λµìr ⋅ îr = = 578. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r r r r ì ⋅ (î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï = = π r r r r 579. ì ⋅ î = M =áÑ= ì I î =~êÉ=çêíÜçÖçå~ä=E θ = FK= O = π r r 580. ì ⋅ î > M =áÑ= M < θ < K= O =
124
CHAPTER 6. VECTORS
π r r 581. ì ⋅ î < M =áÑ= < θ < π K= O = r r r r 582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î = = r r r r r r 583. ì ⋅ î = ì ⋅ î =áÑ= ì I î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ = M FK= = r 584. fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I=íÜÉå== r r r rO O O O ì ⋅ ì = ì O = ì = uN + vN + wN K= = r r r r r r 585. á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N = = r r r r r r 586. á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M = = = =
6.6 Vector Product = r r 587. sÉÅíçê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î = r r r ì × î = ï I=ïÜÉêÉ== π r r r • ï = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ I=ïÜÉêÉ= M ≤ θ ≤ X= O r r r r • ï ⊥ì= ~åÇ= ï ⊥ î X= r r r • =sÉÅíçêë= ì I= î I= ï =Ñçêã=~=êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ=ëÅêÉïK= =
125
CHAPTER 6. VECTORS
=
=======
= Figure 83.
=
r á r r r 588. ï = ì × î = u N uO
r à vN vO
r â wN = wO
= uN wN uN vN r r r v wN = 589. ï = ì × î = N I− I v w u w u v O O O O O O = r r r r 590. p = ì × î = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ =EcáÖKUPF= = 591. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë=EcáÖKUPF= r r ì× î ëáå θ = r r = ì⋅î = 592. kçåÅçããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r ì × î = −(î × ì ) == = 593. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó= (λìr )× (µîr ) = λµìr × îr = = =
126
CHAPTER 6. VECTORS
594. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó= r r r r r r r ì × (î + ï ) = ì × î + ì × ï = = r r r r r 595. ì × î = M =áÑ= ì =~åÇ= î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ = M FK= = r r r r r r r 596. á × á = à × à = â × â = M = = r r r r r r r r r 597. á × à = â I= à × â = á I= â × á = à = = = =
6.7 Triple Product 598.
599. 600. 601.
= pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí= [ìr îrïr ] = ìr ⋅ (îr × ïr ) = îr ⋅ (ïr × ìr ) = ïr ⋅ (ìr × îr ) = = [ìr îrïr ] = [ïr ìr îr ] = [îrïr ìr ] = −[îrìr ïr ] = −[ïr îrìr ] = −[ìr ïr îr ] = = r r r rr r âì ⋅ (î × ï ) = â[ìîï ] = = pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= uN vN wN r r r ì ⋅ (î × ï ) = u O vO w O I== uP vP wP
ïÜÉêÉ== r r r ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I= ï = (uP I vP I wP ) K== = 602. sçäìãÉ=çÑ=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= r r r s = ì ⋅ (î × ï ) = =
127
CHAPTER 6. VECTORS
=
============
= Figure 84.
= 603. sçäìãÉ=çÑ=móê~ãáÇ= Nr r r s = ì ⋅ (î × ï ) = S =
=
= Figure 85.
= r r r r r r 604. fÑ== ì ⋅ (î × ï ) = M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë== ì I= î I=~åÇ= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó= r r r ÇÉéÉåÇÉåí=I=ëç= ï = λì + µî =Ñçê=ëçãÉ=ëÅ~ä~êë= λ =~åÇ= µ K== = r r r r r r 605. fÑ== ì ⋅ (î × ï ) ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë== ì I= î I=~åÇ= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó= áåÇÉéÉåÇÉåíK= =
128
CHAPTER 6. VECTORS
606. sÉÅíçê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí= r r r r r r r r r ì × (î × ï ) = (ì ⋅ ï )î − (ì ⋅ î )ï == = = = = = = = =
129
Chapter 7
Analytic Geometry = = = =
7.1 One-Dimensional Coordinate System = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñ N I= ñ O I= ó M I= ó N I= ó O = oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= = = 607. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë= Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O = =
609. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí= ñ + ñO ñM = N I= λ = N K= O = = =
7.2 Two-Dimensional Coordinate System = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñ N I= ñ O I= ó M I= ó N I= ó O = mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= êI ϕ = oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI== aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= ^êÉ~W=p= = = 610. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë= Ç = ^_ = =
(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O =
=
= Figure 88.
131
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
611. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ = ñ + λñ O ó + λó O ñM = N I= ó M = N I== N+ λ N+ λ ^` λ= I= λ ≠ −N K= `_ =
======= =
= Figure 89.
= =
132
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
======= =
= Figure 90.
= 612. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí= ñ + ñO ó + óO I= ó M = N I= λ = N K= ñM = N O O = 613. `ÉåíêçáÇ=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=jÉÇá~åëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ + ñ O + ñP ó + óO + óP I= ó M = N ñM = N I== P P ïÜÉêÉ== ^(ñ N I ó N ) I== _(ñ O I ó O ) I==~åÇ== `(ñ P I ó P ) ==~êÉ=îÉêíáÅÉë=çÑ= íÜÉ=íêá~åÖäÉ= ^_` K= = =
133
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
========= =
= Figure 91.
= 614. fåÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^åÖäÉ=_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ~ñ + Äñ O + Åñ P ~ó + Äó O + Åó P I= ó M = N ñM = N I== ~ +Ä+Å ~ +Ä+Å ïÜÉêÉ= ~ = _` I= Ä = `^ I= Å = ^_ K== =
======== =
= Figure 92.
134
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
615. `áêÅìãÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=páÇÉ=mÉêéÉåÇáÅìä~ê====================== _áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ NO + ó NO ó N N ñ N ñ NO + ó NO N ñ OO + ó OO ó O N ñ O ñ OO + ó OO N ñ PO + ó PO ó P N ñ P ñ PO + ó PO N ñM = I= ó M = = ñN óN N ñN óN N
O ñO ñP
óO N óP N
O ñO ñP
óO N óP N
=
=
======== == Figure 93.
= = = = = = =
135
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
616. lêíÜçÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^äíáíìÇÉëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ó N ñ O ñ P + ó NO N ñ NO + ó O ó P ñ N N ó O ñ P ñ N + ó OO N ñ OO + ó P ó N ñ O N ó P ñ Nñ O + ó PO N ñ PO + ó Nó O ñ P N I= ó M = = ñM = ñN óN N ñN óN N ñO óO N ñO óO N ñP óP N ñP óP N =
=
====== = Figure 94.
= 617. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ N óN N N N ñ O − ñN p = (± ) ñ O ó O N = (± ) O O ñ P − ñN ñP óP N = = =
136
ó O − óN ó P − óN
=
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
618. ^êÉ~=çÑ=~=nì~Çêáä~íÉê~ä= N p = (± ) [(ñ N − ñ O )(ó N + ó O ) + (ñ O − ñ P )(ó O + ó P ) + = O + (ñ P − ñ Q )(ó P + ó Q ) + (ñ Q − ñ N )(ó Q + ó N )] = =
= 620. `çåîÉêíáåÖ=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ñ = ê Åçë ϕ I= ó = ê ëáå ϕ K= =
=
= Figure 97.
= 621. `çåîÉêíáåÖ=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë= ó ê = ñ O + ó O I= í~å ϕ = K= ñ
138
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
7.3 Straight Line in Plane = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=uI=vI=ñI= ñ M I= ñ N I== ó M I= ó N I= ~N I= ~ O I=£== oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=~I=ÄI=éI=íI=^I=_I=`I= ^N I= ^ O I=£= ^åÖäÉëW= α I= β = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ = r kçêã~ä=îÉÅíçêW= å = r r r mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê I= ~ I= Ä = = = 622. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M = = 623. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= r qÜÉ=îÉÅíçê= å(^I _ ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=äáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M K= =
=
= Figure 98.
= 624. bñéäáÅáí=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí=cçêãF= ó = âñ + Ä K==
139
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
qÜÉ=Öê~ÇáÉåí=çÑ=íÜÉ=äáåÉ=áë= â = í~å α K= =
=
= Figure 99.
= 625. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=iáåÉ== ó − óN â = í~å α = O = ñ O − ñN =
=
= Figure 100.
140
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
626. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=dáîÉå=~=mçáåí=~åÇ=íÜÉ=dê~ÇáÉåí= ó = ó M + â (ñ − ñ M ) I== ïÜÉêÉ=â=áë=íÜÉ=Öê~ÇáÉåíI= m(ñ M I ó M ) =áë=~=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉK= =
=
= Figure 101.
= 627. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=qÜ~í=m~ëëÉë=qÜêçìÖÜ=qïç=mçáåíë= ó − óN ñ − ñN = == ó O − óN ñ O − ñN çê= ñ ó N ñ N ó N N = M K= ñO óO N =
141
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 102.
= 628. fåíÉêÅÉéí=cçêã= ñ ó + =N= ~ Ä =
=
= Figure 103.
= =
142
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
629. kçêã~ä=cçêã= ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M = =
=
= Figure 104.
= 630. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã= ñ − ñ N ó − óN = I== u v ïÜÉêÉ= (uI v ) = áë= íÜÉ= ÇáêÉÅíáçå= çÑ= íÜÉ= äáåÉ= ~åÇ= mN (ñ N I ó N ) = äáÉë= çå=íÜÉ=äáåÉK= =
143
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 105.
= 631. sÉêíáÅ~ä=iáåÉ= ñ =~= = 632. eçêáòçåí~ä=iáåÉ= ó=Ä= = 633. sÉÅíçê=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= r r r ê = ~ + íÄ I== ïÜÉêÉ== l=áë=íÜÉ=çêáÖáå=çÑ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉëI= u=áë=~åó=î~êá~ÄäÉ=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== r ~ =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=^=çå=íÜÉ=äáåÉ=I= r Ä =áë=~=âåçïå=îÉÅíçê=çÑ=ÇáêÉÅíáçåI=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI== í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêI== r → ê = lu =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~åó=éçáåí=u=çå=íÜÉ=äáåÉK== =
144
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 106.
= 634. píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã= ñ = ~N + íÄN I== ó = ~ O + íÄO ïÜÉêÉ== (ñ I ó ) ~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== (~N I ~ O ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== (ÄN I ÄO ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=îÉÅíçê=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI== í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêK= =
145
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
Figure 107.
= 635. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=iáåÉ= qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= m(~ I Ä) =íç=íÜÉ=äáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M =áë== ^~ + _Ä + ` K= Ç= ^ O + _O =
=
= Figure 108.
146
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
636. m~ê~ääÉä=iáåÉë= qïç=äáåÉë= ó = â Nñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== â N = â O K= qïç= äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M = ~åÇ= ^ O ñ + _O ó + ` O = M = ~êÉ= é~ê~ääÉä=áÑ= ^N _N = K= ^ O _O =
=
= Figure 109.
= 637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë= qïç=äáåÉë= ó = â Nñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ== N â O = − =çêI=Éèìáî~äÉåíäóI= â Nâ O = −N K= âN qïç= äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M = ~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` O = M = ~êÉ= éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ= ^N^ O + _N_ O = M K= =
147
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 110.
= 638. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=iáåÉë= â − âN í~å ϕ = O I== N + â Nâ O ^N^ O + _N_ O Åçë ϕ = K= ^NO + _NO ⋅ ^ OO + _ OO =
148
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 111.
= 639. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë= fÑ=íïç=äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` O = M =áåíÉêëÉÅíI=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=éçáåí=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= − `N_ O + ` O_N − ^N` O + ^ O`N ñM = I= ó M = K= ^N_ O − ^ O_N ^N_ O − ^ O_N = = =
7.4 Circle = o~ÇáìëW=o= `ÉåíÉê=çÑ=ÅáêÅäÉW= (~ I Ä) = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI= ñ N I= ó N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í=
149
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
640. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ= cçêãF= ñ O + ó O = oO =
642. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã ñO + óO ñ ó N ñ NO + ó NO ñ N ó N N =M ñ OO + ó OO ñ O ó O N ñ PO + ó PO ñ P ó P N =
=
= Figure 114.
= 643. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã ñ = o Åçë í I= M ≤ í ≤ Oπ K ó = o ëáå í = 644. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M =E^=åçåòÉêçI= aO + b O > Q ^c FK== qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I Ä) I=ïÜÉêÉ== a b ~=− I= Ä = − K= O^ O^ qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=áë
151
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
o=
aO + b O − Q ^c K O^
= = =
7.5 Ellipse = pÉãáã~àçê=~ñáëW=~= pÉãáãáåçê=~ñáëW=Ä= cçÅáW= cN (− ÅI M) I= cO (ÅI M) = aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= = bÅÅÉåíêáÅáíóW=É== oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= = = 645. bèì~íáçå=çÑ=~å=bääáéëÉ=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF ñO óO + =N ~ O ÄO
=
= Figure 115.
152
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
646. êN + êO = O~ I= ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó==éçáåí== m(ñ I ó ) ==çå= íÜÉ=ÉääáéëÉ=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK= =
=
= Figure 116.
= 647. ~ O = ÄO + Å O = 648. bÅÅÉåíêáÅáíó Å É = M K = 653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ i = Q~b(É ) I== ïÜÉêÉ==íÜÉ==ÑìåÅíáçå=b==áë==íÜÉ=ÅçãéäÉíÉ==ÉääáéíáÅ=áåíÉÖê~ä==çÑ= íÜÉ=ëÉÅçåÇ=âáåÇK== = 654. ^ééêçñáã~íÉ=cçêãìä~ë=çÑ=íÜÉ=`áêÅìãÑÉêÉåÅÉ i = π NKR(~ + Ä) − ~Ä I==
(
i = π O(~ O + ÄO ) K= = 655. p = π~Ä = = = =
)
7.6 Hyperbola = qê~åëîÉêëÉ=~ñáëW=~= `çåàìÖ~íÉ=~ñáëW=Ä= cçÅáW= cN (− ÅI M) I= cO (ÅI M) = aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= = bÅÅÉåíêáÅáíóW=É== ^ëóãéíçíÉëW=ëI=í= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=íI=â= = = =
êN − êO = O~ I= ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó=éçáåí== m(ñ I ó ) ==çå= íÜÉ=ÜóéÉêÄçä~=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK= =
155
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 118.
658.
659. 660.
661.
= bèì~íáçåë=çÑ=^ëóãéíçíÉë= Ä ó=± ñ= ~ = Å O = ~ O + ÄO = = bÅÅÉåíêáÅáíó Å É = > N= ~ = bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë ~ ~O ñ=± =± = É Å = = =
156
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
662. m~ê~ãÉíêáÅ=bèì~íáçåë=çÑ=íÜÉ=oáÖÜí=_ê~åÅÜ=çÑ=~=eóéÉêÄçä~= ñ = ~ ÅçëÜ í I= M ≤ í ≤ Oπ K ó = Ä ëáåÜ í = 663. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` > M K= = 664. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= ^` < M K= 665. ^ëóãéíçíáÅ=cçêã= ÉO ñó = I== Q çê== ÉO â ó = I=ïÜÉêÉ= â = K= ñ Q få= íÜáë= Å~ëÉ= I= íÜÉ= ~ëóãéíçíÉë= Ü~îÉ= Éèì~íáçåë= ñ = M = ~åÇ= ó = M K== =
157
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 119.
= = =
7.7 Parabola = cçÅ~ä=é~ê~ãÉíÉêW=é= cçÅìëW=c= sÉêíÉñW= j(ñ M I ó M ) = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=éI=~I=ÄI=Å= = = 666. bèì~íáçå=çÑ=~=m~ê~Äçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF ó O = Oéñ =
158
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
= Figure 120.
= bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ é ñ = − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë= é c I M I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= j(MI M) K= = 667. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` = M K= = N 668. ó = ~ñ O I= é = K= O~ bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ
159
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é ó = − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë= é c MI I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= j(MI M) K= =
=
= Figure 121.
= 669. dÉåÉê~ä=cçêãI=^ñáë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáë== ^ñ O + añ + bó + c = M =E^I=b=åçåòÉêçFI== N ó = ~ñ O + Äñ + Å I= é = K== O~ bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ é ó = ó M − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=
160
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é c ñ M I ó M + I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= Ä Q~Å − ÄO K= ñ M = − I= ó M = ~ñ OM + Äñ M + Å = O~ Q~ =
=
= Figure 122.
= = =
7.8 Three-Dimensional Coordinate System = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= ó N I= ò N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= ^êÉ~W=p= sçäìãÉW=s= =
161
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
670. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=
Ç = ^_ = =
=
(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O + (ò O − òN )O =
=
=== Figure 123.
= 671. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ = ñ + λñ O ó + λó O ò + λò O ñM = N I= ó M = N I= ò M = N I== N+ λ N+ λ N+ λ ïÜÉêÉ= ^` λ= I= λ ≠ −N K= `_ =
162
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
======== =
= Figure 124.
=
= Figure 125.
163
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
672. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí= ñ + ñO ó + óO ò +ò ñM = N I= ó M = N I= ò M = N O I= λ = N K= O O O = 673. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= qÜÉ=~êÉ~=çÑ=~=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) I=~åÇ= mP (ñ P I ó P I ò P ) =áë=ÖáîÉå=Äó== p=
N O
O
óO
òO N + òO
ñO N + ñO
ó O N K=
óP
òP
ñP
óP
òP
ñN N N
ñN ñP
óN N
O
òN N N
òN
O
óN
N
= 674. sçäìãÉ=çÑ=~=qÉíê~ÜÉÇêçå= qÜÉ=îçäìãÉ=çÑ=~=íÉíê~ÜÉÇêçå=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) I= mP (ñ P I ó P I ò P ) I=~åÇ= mQ (ñ Q I ó Q I ò Q ) =áë=ÖáîÉå=Äó== ñ N óN òN N N ñO óO òO N s=± I== S ñ P óP òP N ñQ óQ òQ N çê= ñ N − ñ Q óN − ó Q òN − ò Q N s = ± ñ O − ñ Q ó O − ó Q ò O − ò Q K= S ñP − ñ Q óP − ó Q òP − òQ kçíÉW=tÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ= ~åëïÉê=Ñçê=îçäìãÉK== =
164
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
==== =
= Figure 126.
= = =
7.9 Plane = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= ó N I= ò N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI= ^N I= ^ O I=~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I= λ I=éI=íI=£== r r r kçêã~ä=îÉÅíçêëW= å I= åN I= å O = aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ = aáëí~åÅÉ=Ñêçã=éçáåí=íç=éä~åÉW=Ç= = = 675. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M = = =
165
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
676. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=mä~åÉ= r qÜÉ=îÉÅíçê= å (^I _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M K= =
=
=
=== Figure 127.
= 677. m~êíáÅìä~ê=`~ëÉë=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M = = fÑ= ^ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñ-~ñáëK= fÑ= _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáëK= fÑ= ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ò-~ñáëK= fÑ= a = M I=íÜÉ=éä~åÉ=äáÉë=çå=íÜÉ=çêáÖáåK== = fÑ= ^ = _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= fÑ= _ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=óò-éä~åÉK= fÑ= ^ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñò-éä~åÉK= =
166
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
678. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã= ^(ñ − ñ M ) + _(ó − ó M ) + `(ò − ò M ) = M I== ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= m(ñ M I ó M I ò M ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=~åÇ=íÜÉ=îÉÅíçê= (^I _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK=== =
=
=
==== Figure 128.
= 679. fåíÉêÅÉéí=cçêã= ñ ó ò + + = N= ~ Ä Å =
167
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
= Figure 129.
= 680. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã= ñ − ñP ó − óP ò − òP ñ N − ñ P ó N − ó P ò N − ò P = M I== ñ O − ñ P ó O − óP ò O − òP çê== ñ ó ò N ñN óN òN N = M K= ñO óO òO N ñP óP òP N =
168
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
= Figure 130.
= 681. kçêã~ä=cçêã= ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I== ïÜÉêÉ==é==áë==íÜÉ==éÉêéÉåÇáÅìä~ê==Çáëí~åÅÉ==Ñêçã==íÜÉ=çêáÖáå=íç= íÜÉ=éä~åÉ=I=~åÇ= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë= çÑ=~åó=äáåÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK== =
169
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
======
= Figure 131.
= 682. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã= ñ = ñ N + ~Në + ~ O í ó = ó N + ÄNë + ÄO í I== ò = ò + Å ë + Å í N N O ïÜÉêÉ= (ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå= íÜÉ=äáåÉ=I=íÜÉ=éçáåí= m(ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=íÜÉ=îÉÅíçêë= (~N I ÄN I ÅN ) =~åÇ= (~ O I ÄO I Å O ) =~êÉ=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=éä~åÉK= =
170
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
= Figure 132.
= 683. aáÜÉÇê~ä=^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mä~åÉë= fÑ=íÜÉ=éä~åÉë=~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M I== ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M I== íÜÉå=íÜÉ=ÇáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉã=áë== r r åN ⋅ å O ^N^ O + _N_ O + `N` O Åçë ϕ = r r = K= åN ⋅ å O ^NO + _NO + `NO ⋅ ^ OO + _ OO + ` OO =
171
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
======
= Figure 133.
= 684. m~ê~ääÉä=mä~åÉë= qïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== ^N _N `N = = K= ^ O _O `O = 685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=mä~åÉë= qïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ== ^N^ O + _N_ O + `N` O = M K= = 686. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= m(ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ=m~ê~ääÉä=qç= íÜÉ=sÉÅíçêë= (~N I ÄN I ÅN ) =~åÇ= (~ O I ÄO I Å O ) =EcáÖKNPOF=
172
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñN ~N ~O
ó − óN ò − òN ÄN ÅN = M = ÄO ÅO
= 687. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= mN (ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ= mO (ñ O I ó O I ò O ) I= ~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=íÜÉ=sÉÅíçê= (~ I ÄI Å ) = ñ − ñ N ó − óN ò − òN ñ O − ñN ~
ó O − óN ò O − òN = M = Ä Å
=
= Figure 134.
= 688. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=mä~åÉ= qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =íç=íÜÉ=éä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M =áë==
173
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Ç=
^ñ N + _ó N + `òN + a ^O + _O + `O
K= =
=
=
====== Figure 135.
= 689. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=mä~åÉë= fÑ=íïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M = áåíÉêëÉÅíI= íÜÉ= áåíÉêëÉÅíáçå= ëíê~áÖÜí= äáåÉ=áë=ÖáîÉå=Äó= ñ = ñ N + ~í ó = ó N + Äí I== ò = ò + Åí N çê== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = I== Ä Å ~ ïÜÉêÉ==
174
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
~=
_N _O Ä
aN aO
Å
aN aO
~
aN aO
ñN =
óN =
òN =
`N ` I= Ä = N `O `O
^N ^ I= Å = N ^O ^O
_N I== _O
`N a _N −Å N `O aO _ O I== O O ~ + Ä + ÅO ^N a `N −~ N ^O aO ` O I== O O ~ + Ä + ÅO a ^N _N −Ä N _O aO ^ O K== O O ~ + Ä + ÅO
= = =
7.10 Straight Line in Space = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£= aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I=íI=£== r r r aáêÉÅíáçå=îÉÅíçêë=çÑ=~=äáåÉW= ë I= ëN I= ëO = r kçêã~ä=îÉÅíçê=íç=~=éä~åÉW= å = ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ = = 690. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = I== Ä Å ~ ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=äáåÉI=~åÇ= (~ I ÄI Å ) =áë= íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉK== =
175
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
= Figure 136.
= 691. qïç=mçáåí=cçêã= ñ − ñN ó − óN ò − òN = = == ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN =
=====
Figure 137.
176
=
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
692. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã== ñ = ñ N + í Åçë α ó = ó N + í Åçë β I== ò = ò + í Åçë γ N ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉI= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå= îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉI=íÜÉ=é~ê~ãÉíÉê=í=áë=~åó=êÉ~ä=åìãÄÉêK== =
=
=====
= Figure 138.
= 693. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=píê~áÖÜí=iáåÉë= r r ë ⋅ë ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O Åçë ϕ = r N rO = = O ëN ⋅ ëO ~N + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO =
177
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
= Figure 139.
= 694. m~ê~ääÉä=iáåÉë= qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== r r ëN öö ëO I== çê== ~ N ÄN ÅN = = K= ~ O ÄO Å O = 695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë= qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== r r ëN ⋅ ëO = M I== çê== ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = M K= = 696. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë= ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = =~åÇ= qïç=äáåÉë= ~N ÄN ÅN
178
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñO ó − óO ò − òO = = =áåíÉêëÉÅí=áÑ== ~O ÄO ÅO ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN ~N ÄN ÅN = M K= ~O ÄO ÅO = 697. m~ê~ääÉä=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = =~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ= qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ= Ä Å ~ ^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ= r r å ⋅ ë = M I== çê== ^~ + _Ä + `Å = M K= =
=
===== = Figure 140.
= =
179
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ== ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = =~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ= qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ= Ä Å ~ ^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ= r r å öö ë I== çê== ^ _ ` = = K= ~ Ä Å =
==== =
= Figure 141.
= =
7.11 Quadric Surfaces = mçáåí=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=èì~ÇêáÅ=ëìêÑ~ÅÉëW=ñI=óI=ò= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=~I=ÄI=ÅI= â N I â O I â P I=£=
= eÉêÉ== ^ e n m ^ e d e _ c n É = e _ c I= b = I= ∆ = ÇÉí(b ) I== d c ` o d c ` m n o a â N I â O I â P =~êÉ=íÜÉ=êççíë=çÑ=íÜÉ=Éèì~íáçåI== ^−ñ e d e _−ñ c = M K= d c `−ñ = =
181
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
701. oÉ~ä=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=NF= ñO óO òO + + = N= ~ O ÄO Å O =
=
=====
= Figure 142.
= 702. fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=OF= ñO óO òO + + = −N = ~ O ÄO Å O = 703. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=E`~ëÉ=PF= ñO óO òO + − = N= ~ O ÄO Å O =
182
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
= Figure 143.
= 704. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=E`~ëÉ=QF= ñO óO òO + − = −N = ~ O ÄO Å O =
=
=
= Figure 144.
183
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
705. oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=RF= ñO óO òO + − =M= ~ O ÄO Å O =
=
==
= Figure 145.
= 706. fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=SF= ñO óO òO + + =M= ~ O ÄO Å O = 707. bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=TF= ñO óO + −ò = M= ~ O ÄO =
7.12 Sphere = o~Çáìë=çÑ=~=ëéÜÉêÉW=o= mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£= `ÉåíÉê=çÑ=~=ëéÜÉêÉW= (~ I ÄI Å ) = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=aI=bI=cI=j= = = 718. bèì~íáçå=çÑ=~=péÜÉêÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ= cçêãF= ñ O + ó O + ò O = oO = =
=
======
= Figure 151.
= 719. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~ I ÄI Å )
(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O + (ò − Å )O = o O 720. aá~ãÉíÉê=cçêã (ñ − ñ N )(ñ − ñ O ) + (ó − óN )(ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I==
189
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ïÜÉêÉ== mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) =~êÉ=íÜÉ=ÉåÇë=çÑ=~=Çá~ãÉíÉêK== = 721. cçìê=mçáåí=cçêã= ñO + óO + òO ñ ó ò N ñ NO + ó NO + ñ NO ñ N ó N ò N N ñ OO + ó OO + ñ OO ñ O ó O ò O N = M = ñ PO + ó PO + ñ PO ñ P ó P ò P N ñ OQ + ó OQ + ñ OQ ñ Q ó Q ò Q N = 722. dÉåÉê~ä=cçêã ^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M =E^=áë=åçåòÉêçFK== qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I ÄI Å ) I=ïÜÉêÉ== a b c ~=− I= Ä = − I= Å = − K= O^ O^ O^ qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=áë aO + b O + c O − Q ^ O j K o= O^ = =
(ìî )′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′ = (ìî )(å ) = ì (å ) î + åì (å−N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å ) = N⋅ O
=
(ñ )( ) = (ãã−>å)> ñ ã
816.
= =
ã −å
=
(ñ )( ) = å> = å
817.
å
å
å −N ( − N) (å − N)> (äçÖ ~ ñ ) = = å
(å )
818.
ñ äå ~
= 819.
å −N (äå ñ )(å ) = (− N) (åå − N)> =
ñ
=
(~ )( ) = ~ å
ñ
äå å ~ =
(É )( ) = É
ñ
=
ñ
820.
=
ñ
821.
=
(~ )( ) = ã ~ ãñ
822.
å
å
å ãñ
äå å ~ =
=
(ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ =
823.
O
=
(Åçë ñ )(å ) = Åçë ñ + åπ =
824.
O
= = =
216
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.6 Applications of Derivative = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó= mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë== sÉäçÅáíóW=î= ^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= qáãÉW=í= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= = = 825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå= ë = Ñ (í ) =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ= ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI== î = ë′ = Ñ ′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI= ï = î′ = ë′′ = Ñ ′′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ= íÜÉ=çÄàÉÅíK== = 826. q~åÖÉåí=iáåÉ= ó − ó M = Ñ ′(ñ M )(ñ − ñ M ) = =
217
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
= Figure 176.
= 827. kçêã~ä=iáåÉ= N (ñ − ñ M ) =EcáÖ=NTSF= ó − óM = − Ñ ′(ñ M ) = 828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK== fÑ= Ñ ′(ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñ N I= ñ O < ñ FI= fÑ= Ñ ′(ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ N < ñ < ñ O FI= fÑ= Ñ ′ (ñ M ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK== =
218
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
= Figure 177.
= 829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~= ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= ñ N =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ N =ëìÅÜ=íÜ~í= Ñ (ñ N ) ≥ Ñ (ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK== = ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ O =ëìÅÜ=íÜ~í= Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK= = 830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë= ^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= ñ M =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê= Ñ ′ (ñ M ) =áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå∞í=ÉñáëíK= = 831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K= fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ ) > M F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä= (~I ñ N ] ==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ ) < M F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= = [ñ N I Ä) I= = íÜÉå= ÑEñF= Ü~ë= ~= = äçÅ~ä= ã~ñáãìã= = ~í= = ñ N = EcáÖKNTTFK==
219
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ ) < M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä= (~I ñ O ]=~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ ) > M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= [ñ O I Ä) I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O K== EcáÖKNTTFK= = 833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K= fÑ= Ñ ′ (ñ N ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ N ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã= ~í== ñ N K= fÑ= Ñ ′ (ñ O ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ O ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= ~í= ñ O K=EcáÖKNTTF= = 834. `çåÅ~îáíóK== ÑEñF= áë= = ÅçåÅ~îÉ= ìéï~êÇ= ~í= = ñ M = = áÑ= = ~åÇ= = çåäó= = áÑ= = Ñ ′ (ñ ) = áë============ áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M =EcáÖKNTTI= ñ P < ñ FK=== ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== ñ M ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ ′ (ñ ) ==áë=============== ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖKNTTI= ñ < ñ P FK=== = 835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK== fÑ= Ñ ′′(ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñ M K== fÑ= Ñ ′′(ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= ñ M K= fÑ= Ñ ′′(ñ ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= = 836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë= fÑ== Ñ ′ (ñ P ) ==Éñáëíë==~åÇ== Ñ ′′(ñ ) ==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñ P I==íÜÉå= íÜÉ= éçáåí= (ñ P I Ñ (ñ P )) = áë= ~å= áåÑäÉÅíáçå= éçáåí= çÑ= íÜÉ= Öê~éÜ= çÑ= Ñ (ñ ) K=fÑ= Ñ ′′(ñ P ) =Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= Ñ ′′(ñ P ) = M = EcáÖKNTTFK= = 837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ= M Ñ (ñ ) Ñ ′(ñ ) äáã = äáã =áÑ= äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö (ñ ) = K== ñ → Å Ö (ñ ) ñ →Å Ö ′(ñ ) ñ →Å ñ →Å ∞ =
850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~= Ñ (ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= (ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) ≤ Ñ (ñ M I ó M ) = Ñçê=~ää= (ñ I ó ) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñ M I ó M ) K== = Ñ (ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= (ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ Ñ (ñ M I ó M ) = Ñçê=~ää= (ñ I ó ) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñ M I ó M ) K= = 851. pí~íáçå~êó=mçáåíë= ∂Ñ ∂Ñ = = M K= ∂ñ ∂ó içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK= == 852. p~ÇÇäÉ=mçáåí= ^=ëí~íáçå~êó==éçáåí==ïÜáÅÜ==áë==åÉáíÜÉê==~==äçÅ~ä==ã~ñáãìã= åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= = 853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë= ∂Ñ ∂Ñ = = M FK== iÉí= (ñ M I ó M ) =ÄÉ=~=ëí~íáçå~êó=éçáåí=E ∂ñ ∂ó Ñ ññ (ñ M I ó M ) Ñ ñó (ñ M I ó M ) K== a= Ñ óñ (ñ M I ó M ) Ñ óó (ñ M I ó M )
= fÑ= a > M I= Ñ ññ (ñ M I ó M ) > M I== (ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K= fÑ= a > M I= Ñ ññ (ñ M I ó M ) < M I== (ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K= fÑ= a < M I= (ñ M I ó M ) =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK= fÑ= a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= = 854. q~åÖÉåí=mä~åÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñ I ó ) = ~í= (ñ M I ó M I ò M ) =áë== ò − ò M = Ñ ñ (ñ M I ó M )(ñ − ñ M ) + Ñ ó (ñ M I ó M )(ó − ó M ) K= =
224
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñ I ó ) =~í= (ñ M I ó M I ò M ) =áë== ñ − ñM ó − óM ò − òM = = K= Ñ ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ó (ñ M I ó M ) −N
= = =
8.9 Differential Operators = r r r råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW= á I= à I= â = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= ì(ñ N I ñ O I KI ñ å ) = dê~ÇáÉåí=çÑ=~=ëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇW= Öê~Ç ì I= ∇ì = ∂Ñ aáêÉÅíáçå~ä=ÇÉêáî~íáîÉW= = ∂ä r sÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=EîÉÅíçê=ÑáÉäÇFW= c (mI nI o ) = r r aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî c I= ∇ ⋅ c = r r `ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Åìêä c I= ∇ × c = i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= ∇ O = = = 856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ Öê~Ç Ñ = ∇Ñ = I I I== ∂ñ ∂ó ∂ò ∂ì ∂ì ∂ì K= Öê~Ç ì = ∇ì = I IKI ∂ñ å ∂ñ N ∂ñ O = 857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ= ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ = Åçë α + Åçë β + Åçë γ I== ∂ä ∂ñ ∂ó ∂ò
225
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= r ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I= Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K== = 858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r r ∂m ∂n ∂o + + = Çáî c = ∇ ⋅ c = ∂ñ ∂ó ∂ò = 859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r r r á à â r r ∂ ∂ ∂ = Åìêä c = ∇ × c = ∂ñ ∂ñ ∂ñ m n o ∂o ∂n r ∂m ∂o r ∂n ∂m r á + − = − − â = à + ∂ó ∂ò ∂ò ∂ñ ∂ñ ∂ó
= 860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê= ∂ OÑ ∂ OÑ ∂ OÑ ∇ OÑ = O + O + O = ∂ò ∂ó ∂ñ = r r 861. Çáî Åìêä c = ∇ ⋅ ∇ × c ≡ M = = 862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M = = 863. Çáî (Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇ OÑ = = r r r r r 864. Åìêä Åìêä c = Öê~Ç Çáî c − ∇ Oc = ∇ ∇ ⋅ c − ∇ Oc = = =
= äå ñ N 1015. ∫ ñ å äå ñ Çñ = ñ å +N +`= − O å + N (å + N) = ~ ëáå Äñ − Ä Åçë Äñ ~ñ 1016. ∫ É ~ñ ëáå Äñ Çñ = É +`= ~ O + ÄO =
242
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1017. ∫ É ~ñ Åçë Äñ Çñ =
~ Åçë Äñ + Ä ëáå Äñ ~ñ É +`= ~ O + ÄO
= = =
9.7 Reduction Formulas = 1018. ∫ ñ å É ãñ Çñ =
N å ãñ å ñ É − ∫ ñ å −NÉ ãñ Çñ = ã ã
= É ãñ É ãñ ã É ãñ Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K= ∫ ñå (å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å−N
1019.
= 1020. ∫ ëáåÜ å ñÇñ =
= Çñ
∫ ëáåÜ
1021.
å
ñ
=−
= 1022. ∫ ÅçëÜ å ñÇñ =
= Çñ
∫ ÅçëÜ
1023.
å
ñ
=−
N å −N ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ − ëáåÜ å −O ñÇñ = ∫ å å ÅçëÜ ñ å−O Çñ − I= å ≠ N K= å −N ∫ (å − N) ëáåÜ ñ å − N ëáåÜ å−O ñ N å −N ëáåÜ ñ ÅçëÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ + ÅçëÜ å −O ñÇñ = ∫ å å ëáåÜ ñ å−O Çñ + I= å ≠ N K= å −N ∫ (å − N) ÅçëÜ ñ å − N ÅçëÜ å−O ñ
= 1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ= Ä å −N Ä−~ ( ) ( ) Ñ ñ Çñ Ñ ( ñ ) Ñ ñ O Ñ (ñ á ) = = + + ∑ M å ∫~ Oå á =N =
249
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
= Figure 180.
= 1067. páãéëçå∞ë=oìäÉ== Ä Ä−~ ∫~ Ñ (ñ )Çñ = På [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + = + OÑ (ñ Q ) + K + QÑ (ñ å −N ) + Ñ (ñ å )] I== ïÜÉêÉ== Ä−~ ñá = ~ + á I= á = MI NI OI KI å K== å =
= fÑ=o=áë=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ó = Å I= ó = Ç I= ñ = è(ó ) I= ñ = é(ó ) I=íÜÉå= Ç è(ó )
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó K== o
Å é( ó )
=
266
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fÑ== Ñ (ñ I ó ) ≥ Ö (ñ I ó ) ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ= íÜÉ= ëçäáÇ= ÄÉíïÉÉå= òN = Ñ (ñ I ó ) = ~åÇ= ò O = Ö(ñ I ó ) = çîÉê= o= áë= ÖáîÉå=Äó= s = ∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ K== o
ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í= ~=éçáåí=EñIóF=áë= ρ(ñ I ó ) K=== = 1095. jçãÉåíë= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ-~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçêãìä~= j ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K== o
= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= j ó = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ K= o
= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=áë= f ñ = ∫∫ ó Oρ(ñ I ó )Ç^ K== o
= qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= f ó = ∫∫ ñ Oρ(ñ I ó )Ç^ K== o
= qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë= fM = ∫∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó )Ç^ K== o
= 1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë= jó
N ñ= = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ = ã ã o
∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ o
∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o
268
I==
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
j N ó = ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ = ã ã o
∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ o
∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
K==
o
= 1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ= n = ∫∫ σ(ñ I ó )Ç^ I== o
ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë= ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= σ(ñ I ó ) K=== = 1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå= N µ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I== po ïÜÉêÉ= p = ∫∫ Ç^ K== o
= = =
9.11 Triple Integral = cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= Ö (ñ I ó I ò ) I=£= qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I= ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs I=£= d
ã
d
å
é
(
)
oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑∑ Ñ ì á I î à I ï â ∆ñ á ∆ó à ∆ò â = á =N à=N â =N
pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á I= ∆ó à I= ∆ò â = iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë= oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p== `óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I=ò= péÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I= ϕ = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=
269
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã== aÉåëáíóW= µ(ñ I ó I ò ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò I= fM = = = 1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä= qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] = áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==
∫∫∫
Ñ (ñ I ó I ò )Çs =
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]×[ê I ë ]
(
) )
∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò ã
äáã
é
å
ã~ñ ∆ñ á →M ã~ñ ∆ó à →M á =N à=N â =N ã~ñ ∆ò â →M
á
à
â
á
à
â
I
ïÜÉêÉ= ì á I î à I ï â =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= (ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I=~åÇ= ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I= ∆ó à = ó à − ó à−N I= ∆ò â = ò â − ò â −N K= = 1100. ∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) + Ö (ñ I ó I ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs + ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs
(
d
d
d
= 1101.
∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) − Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs − ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs d
d
d
= 1102.
∫∫∫ âÑ (ñ I óI ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I== d
d
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= = 1103. fÑ== Ñ (ñ I ó I ò ) ≥ M =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ= êÉÖáçåëI=íÜÉå== ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs K== d∪q
d
q
eÉêÉ= d ∪ q =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK= =
270
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë= fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í= = (ñ I ó )∈ oI χ N (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=íÜÉå==
χ O ( ñ I ó ) = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫∫ ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò ÇñÇó I== d o χN ( ñ I ó ) ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= = fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í= ~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN (ñ ) ≤ ó ≤ ϕO (ñ )I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=íÜÉå==
∫∫∫ d
ϕO ( ñ ) χ O ( ñ I ó ) Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫ ∫ ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ == ~ ϕN ( ñ ) χN ( ñ I ó ) Ä
= 1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~ I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] I=íÜÉå= Ä Ç ë Çó Çñ K== ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ñ ñ I ó I ò Çò = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ d ~ Å ê = få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== Ñ (ñ I ó I ò ) ==Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë= Ö (ñ ) Ü(ó ) â (ò ) =ïÉ=Ü~îÉ== Ä Ç ë ∫ â (ò )Çò K== ( ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ö ñ Çñ Ü ó Çó = ∫∫∫ ∫ ∫ d ~ Å ê = 1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë= ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = = d
= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )] p
271
∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇòI = ∂ (ìI î I ï )
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ì ∂î ∂ï ∂ (ñ I ó I ò ) ∂ó ∂ó ∂ó = ≠ M ==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ= ïÜÉêÉ== ∂ (ìI î I ï ) ∂ì ∂î ∂ï ∂ò ∂ò ∂ò ∂ì ∂î ∂ï íÜÉ= íê~åëÑçêã~íáçåë= (ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìääÄ~Åâ= çÑ= d= ïÜáÅÜ= Å~å= ÄÉ= ÅçãéìíÉÇ= Äó= ñ = ñ (ìI î I ï ) I= ó = ó (ìI î I ï ) = ò = ò (ìI î I ï ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK= = = 1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë== ∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K== ∂ (êI θI ò ) = iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= (ñ I ó )∈ oI χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I= ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå== ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò = d
p
χ O ( ê Åçë θ Iê ëáå θ )
( ) Ñ ê Åçë I ê ëáå I ò Çò θ θ êÇêÇθ K= ∫∫ χ (ê Åçë∫θIê ëáå θ ) o ( ê Iθ ) N eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK= = 1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë== ∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ == ∂ (êI θI ϕ) = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = = =
d
272
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
========= = ∫∫∫ Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I== p
= 1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò = p ( ê I θ Iò )
= 1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë= s = ∫∫∫ ê O ëáå θÇêÇθÇϕ = p ( ê I θ Iϕ )
=
273
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ= ã = ∫∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çs I== d
ïÜÉêÉ= íÜÉ= ëçäáÇ= çÅÅìéáÉë= ~= êÉÖáçå= d= ~åÇ= áíë= ÇÉåëáíó= ~í============ ~=éçáåí= (ñ I ó I ò ) =áë= µ(ñ I ó I ò ) K=== = 1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ= j óò j ñó j ñ= I= ó = ñò I= ò = I== ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ∫∫∫ ñµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d
j ñò = ∫∫∫ óµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d
j ñó = ∫∫∫ òµ(ñ I ó I ò ) Çs = d
~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí==íÜÉ==ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I= ó = M I= ò = M I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK== = 1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI=óò-éä~åÉ== E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F= f ñó = ∫∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d
f óò = ∫∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I== d
f ñò = ∫∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò ) Çs K== d
= 1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= f ñ = f ñó + f ñò = ∫∫∫ (ò O + ó O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I== d
f ó = f ñó + f óò = ∫∫∫ (ò O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I== d
274
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fò = f ñò + f óò = ∫∫∫ (ó O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs K== d
= 1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~= fM = f ñó + f óò + f ñò = ∫∫∫ (ñ O + ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò ) Çs = d
= =
9.12 Line Integral = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= c(ñ I ó I ò ) I= c(ñ I ó ) I= Ñ (ñ ) = pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ì(ñ I ó I ò ) = `ìêîÉëW=`I= `N I= ` O = iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI= α I= β = m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë= mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ = r sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) = r mçëáíáçå=îÉÅíçêW= ê (ë ) = r r r r råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â I= τ = ^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p= iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i= j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã= aÉåëáíóW= ρ(ñ I ó I ò ) I= ρ(ñ I ó ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fò = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= tçêâW=t= r j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW= _ = `ìêêÉåíW=f= bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW= ε = j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW= ψ =
275
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= r r iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I= M ≤ ë ≤ p I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K== qÜÉå== p r ∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I== M
`
`
ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK== = 1118. ∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë = `N ∪ ` O
`N
`O
=
=
= Figure 203.
= r r 1119. fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó= ê = ê (í ) I= α ≤ í ≤ β I=íÜÉå== β
∫ c(ñ I ó I ò )Çë = ∫ c(ñ (í )I ó(í )I ò(í )) (ñ ′(í )) + (ó′(í )) + (ò′(í )) Çí K= O
Çê ∫` c(ñ I ó )Çë = ∫α c(ê Åçë θI ê ëáå θ) ê + Çθ Çθ I== ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=éçä~ê=ÑìåÅíáçå= êEθF K= = 1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r r iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I= M ≤ ë ≤ p K=qÜÉå== r Çê r = τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) == Çë áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK== = O
=
= Figure 204.
= r iÉí= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c (mI nI o ) = áë= ÇÉÑáåÉÇ= çîÉê= íÜÉ= ÅìêîÉ= `K= r qÜÉå=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ= c =~äçåÖ=íÜÉ=ÅìêîÉ= `=áë== p
1123. mêçéÉêíáÉë=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë= r r r r c ⋅ Ç ê = − c ∫ ∫ ⋅ Çê I==
(
)
−`
(
)
`
ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK= = r r r r r r r r ∫ c ⋅ Çê = ∫ c ⋅ Çê = ∫ c ⋅ Çê + ∫ c ⋅ Çê I==
(
)
(
) (
`N ∪ ` O
`
) (
`N
)
`O
ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= `N =~åÇ= ` O K== = r 1124. fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó= ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I= α ≤ í ≤ β I=íÜÉå==
∫ mÇñ + nÇó + oÇò = = `
β
Çó Çñ Çò = ∫ m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) Çí Çí Çí Çí α = 1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ ) I= íÜÉå== Ä ÇÑ mÇñ nÇó + = ∫` ∫~ m(ñ I Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) Çñ Çñ K==
= 1126. dêÉÉå∞ë=qÜÉçêÉã= ∂n ∂m ∫∫o ∂ñ − ∂ó ÇñÇó = ∫` mÇñ + nÇó I== r r r ïÜÉêÉ= c = m(ñ I ó ) á + n(ñ I ó ) à = áë= ~= Åçåíáåìçìë= îÉÅíçê= ÑìåÅ∂m ∂n íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë= I= =áå=~= ∂ó ∂ñ ëçãÉ= Ççã~áå= oI= ïÜáÅÜ= áë= ÄçìåÇÉÇ= Äó= ~= ÅäçëÉÇI= éáÉÅÉïáëÉ= ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K== = =
278
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`= N p = ∫∫ ÇñÇó = ∫ ñÇó − óÇñ = O` o = 1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë= r r r r qÜÉ= äáåÉ= áåíÉÖê~ä= çÑ= ~= îÉÅíçê= ÑìåÅíáçå= c = m á + n à + oâ = áë= ë~áÇ=íç=ÄÉ=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåíI=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=mI=nI=~åÇ=o=~êÉ= Åçåíáåìçìë= áå= ~= Ççã~áå= aI= ~åÇ= áÑ= íÜÉêÉ= Éñáëíë= ëçãÉ= ëÅ~ä~ê= ÑìåÅíáçå== ì = ì(ñ I ó I ò ) ==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í= r ∂ì ∂ì ∂ì = n I= c = Öê~Ç ì I=çê= = o K== = m I= ∂ò ∂ñ ∂ó qÜÉå== rr r ∫ c(ê ) ⋅ Çê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^ ) K== `
`
= 1129. qÉëí=Ñçê=~=`çåëÉêî~íáîÉ=cáÉäÇ= r ^=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=çÑ=íÜÉ=Ñçêã= c = Öê~Ç ì =áë=Å~ääÉÇ=~=ÅçåëÉêî~íáîÉ= r r r r ÑáÉäÇK=qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= c = m á + n à + oâ = áë=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåí=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== r r r á à â r ∂ ∂ ∂ r Åìêä c = = M K== ∂ñ ∂ó ∂ò m n o = fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í== ∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^ ) I== `
1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ= r O O O β β Çó Çê (í ) Çí = ∫ Çñ + + Çò Çí I= i = ∫ Çë = ∫ Çí Çí Çí Çí ` α α ïÜÉêÉ=`=á~=~=éáÉÅÉïáëÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëár íáçå=îÉÅíçê= ê (í ) I= α ≤ í ≤ β K= = fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå= r O O β β Çê Çñ Çó (í ) Çí = ∫ + Çí K== i = ∫ Çë = ∫ Çí Çí Çí ` α α = fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ ) =áå=íÜÉ=ñóéä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä) I=íÜÉå== Ä
i=∫ ~
O
Çó N + Çñ K== Çñ
= 1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= β
O
Çê i = ∫ + ê O Çθ I== Çθ α ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ê = ê(θ) I= α ≤ θ ≤ β =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK=== = 1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ= ã = ∫ ρ(ñ I ó I ò )Çë I== `
ïÜÉêÉ= ρ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK= = fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå r ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I==íÜÉå==íÜÉ==ã~ëë==Å~å==ÄÉ==ÅçãéìíÉÇ=Äó= íÜÉ=Ñçêãìä~=
= 1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ= j óò j ñó j ñ= I= ó = ñò I= ò = I= ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ∫ ñρ(ñ I ó I ò )Çë I== `
j ñò = ∫ óρ(ñ I ó I ò )Çë I== `
j ñó = ∫ òρ(ñ I ó I ò )Çë K= `
= 1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~= qÜÉ=ãçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= ~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë= f ñ = ∫ (ó O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I== `
9.13 Surface Integral = pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= ò (ñ I ó ) = r r mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê (ìI î ) I= ê (ñ I ó I ò ) = r r r råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â = pìêÑ~ÅÉW=p= r sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) = r r aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî c = ∇ ⋅ c =
285
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r r `ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Åìêä c = ∇ × c == r sÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW= Çp = r kçêã~ä=íç=ëìêÑ~ÅÉW= å = pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^= j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã= aÉåëáíóW= µ(ñ I ó I ò ) = `ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò = cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò = jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò = sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= r cçêÅÉW= c = dê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíW=d= rr cäìáÇ=îÉäçÅáíóW= î (ê ) = cäìáÇ=ÇÉåëáíóW= ρ = r mêÉëëìêÉW= é(ê ) = j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW= Φ = pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñ I ó ) = r j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW= b = = = 1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= iÉí=~=ëìêÑ~ÅÉ=p=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I== ïÜÉêÉ= (ìI î ) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìI î ) = çÑ= íÜÉ= ìîéä~åÉK= qÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==áåíÉÖê~ä==çÑ==~==ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå== Ñ (ñ I ó I ò ) =çîÉê= íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë== r r ∂ê ∂ê ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Ñ ñ I ó I ò Çp Ñ ñ ì I î I ó ì I î I ò ì I î ÇìÇî I== = × ∫∫p ∫∫ ì î ∂ ∂ a(ì I î ) r r ∂ê ∂ê ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ= =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ∂ì ∂î
286
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r r r ∂ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â I== ∂ì ∂ì ∂ì ∂ì r r r ∂ó r ∂ò ∂ ê ∂ñ = (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â = ∂î ∂î ∂î ∂î r r ∂ê ∂ê ~åÇ= × =áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK== ∂ì ∂î = 1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñ I ó ) =ïÜÉêÉ= ò (ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå=íÜÉ=Ççã~áå= a(ñ I ó ) I= íÜÉå==
∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çp = (∫∫ ) Ñ (ñ I ó I ò(ñ I ó )) p
= r 1142. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= c =çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p= • fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=çìíï~êÇI=íÜÉå== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp = p
======
p
r r r ∂ê ∂ê = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅ × ÇìÇî K== ∂ì ∂î a( ì I î )
= fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=áåï~êÇI=íÜÉå== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp = •
p
====== =
p
r r r ∂ê ∂ê = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅ × ÇìÇî K== ∂î ∂ì a( ì I î )
r r Çp = åÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí= ãÉ~åë= = íÜÉ= = ëÅ~ä~ê= = éêçÇìÅí= = çÑ= = íÜÉ= = ~ééêçéêá~íÉ= = îÉÅíçêëK= r r ∂ê ∂ê qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ== =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ∂ì ∂î
287
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r r r ∂ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â I== ∂ì ∂ì ∂ì ∂ì r r r ∂ó r ∂ò ∂ ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â K== ∂î ∂î ∂î ∂î
= 1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò (ñ I ó ) I=ïÜÉêÉ= ò (ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= a(ñ I ó ) I= íÜÉå== • fÑ= p= áë= çêáÉåíÉÇ= ìéï~êÇI= áKÉK= íÜÉ= â-íÜ= ÅçãéçåÉåí= çÑ= íÜÉ= åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=éçëáíáîÉI=íÜÉå=== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp = p
p
=
======
r ∂ò r ∂ò r r − ( ) c ñ I ó I ò ⋅ á− à + â ÇñÇó I== ∫∫ ∂ó ∂ñ a( ñ I ó )
= fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ= åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=åÉÖ~íáîÉI=íÜÉå=== r r r r ===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp •
p
p
r ∂ò r ∂ò r r = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ á + à − â ÇñÇó K== ∂ó ∂ñ a( ñ I ó )
====== = 1144.
∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = r r
p
p
= ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I== p
ïÜÉêÉ= m(ñ I ó I ò ) I= n(ñ I ó I ò ) I= o(ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅçãéçåÉåíë=çÑ= r íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c K== Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ ==~êÉ=íÜÉ= ~åÖäÉë= ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=çìíÉê=ìåáí= r åçêã~ä=îÉÅíçê= å =~åÇ=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáëI=êÉëéÉÅíáîÉäóK= =
288
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1145. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= r ê (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I==íÜÉå==íÜÉ==ä~ííÉê=Ñçêãìä~=Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë==
m n o ∂ñ ∂ó ∂ò ÇìÇî I ∫∫p ∫∫ ∂ ∂ ∂ ì ì ì p a(ì Iî ) ∂ñ ∂ó ∂ò ∂î ∂î ∂î ïÜÉêÉ= (ìI î ) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìI î ) = çÑ= íÜÉ= ìîéä~åÉK= = 1146. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã= r r r c ⋅ Ç p = ∇ ⋅ c Çs I== ∫∫ ∫∫∫
( )
r r c ⋅ å Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =
(
p
)
d
ïÜÉêÉ== r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) === áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ== Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== r ∂m ∂n ∂o ∇⋅c = + + == ∂ñ ∂ó ∂ò r r áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ== c I==~äëç==ÇÉåçíÉÇ== Çáîc K==qÜÉ==ëóãÄçä= ∫∫ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ= ëìêÑ~ÅÉK== = 1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= ∂m ∂n ∂o ÇñÇóÇò K== + + = + + mÇóÇò nÇñÇò oÇñÇó ∫∫p ∫∫∫ ∂ ∂ ∂ ñ ó ò d = 1148. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã= r r r r c ⋅ Ç ê = ∇ × c ⋅ Çp I== ∫ ∫∫
(
`
)
p
289
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ïÜÉêÉ== r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) === áë==~=îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ=o==Ü~îÉ= Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== r r r á à â r ∂ ∂ ∂ ∂o ∂n r ∂m ∂o r ∂n ∂m r á + ∇×c= = − − − â à + ∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ó ∂ò ∂ò ∂ñ ∂ñ ∂ó m n o r r áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ= c I=~äëç=ÇÉåçíÉÇ= Åìêä c K== qÜÉ=ëóãÄçä== ∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê= ~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK== = 1149. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = `
= 1151. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê== r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I== íÜÉå=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë== r r ∂ê ∂ê ^ = ∫∫ × ÇìÇî I== ∂ì ∂î a( ì I î )
r ïÜÉêÉ== a(ìI î ) ==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ê (ìI î ) =áë= ÇÉÑáåÉÇK== =
290
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1152. fÑ=p=áë=ÖáîÉå=ÉñéäáÅáíäó=Äó=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ò (ñ I ó ) I==íÜÉå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë== O
∂ò ∂ò ^ = ∫∫ N + + ÇñÇó I== ∂ñ ∂ó a( ñ I ó ) ïÜÉêÉ= a(ñ I ó ) =áë=íÜÉ=éêçàÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=çåíç=íÜÉ=ñóéä~åÉK== = 1153. j~ëë=çÑ=~=pìêÑ~ÅÉ= ã = ∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çp I== O
p
ïÜÉêÉ= µ(ñ I ó I ò ) = áë= íÜÉ= ã~ëë= éÉê= ìåáí= ~êÉ~= = EÇÉåëáíó= ÑìåÅíáçåFK= = 1154. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pÜÉää= j óò j ñó j ñ= I= ó = ñò I= ò = I== ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ∫∫ ñµ(ñ I ó I ò )Çp I== p
j ñò = ∫∫ óµ(ñ I ó I ò )Çp I== p
j ñó = ∫∫ òµ(ñ I ó I ò )Çp = p
~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí===íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I= ó = M I= ò = M I==êÉëéÉÅíáîÉäóK== µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK= = 1155. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI==óò-éä~åÉ== E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F= f ñó = ∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò )Çp I== p
f óò = ∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò )Çp I== p
291
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
f ñò = ∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò )Çp K= p
= 1156. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= f ñ = ∫∫ (ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I== p
= 1158. dê~îáí~íáçå~ä=cçêÅÉ= r r ê c = dã ∫∫ µ(ñ I ó I ò ) P Çp I= ê p ïÜÉêÉ=ã=áë=~=ã~ëë=~í=~=éçáåí= ñ M I ó M I ò M =çìíëáÇÉ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉI== r ê = ñ − ñ M I ó − ó M I ò − ò M I==
µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåI== ~åÇ=d=áë=Öê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíK= = 1159. mêÉëëìêÉ=cçêÅÉ= r r r c = ∫∫ é(ê )Çp I== p
r ïÜÉêÉ=íÜÉ=éêÉëëìêÉ== é(ê ) ==~Åíë==çå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==ÖáîÉå==Äó= r íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= ê K= = 1160. cäìáÇ=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF= r r r Φ = ∫∫ î (ê ) ⋅ Çp I== p
292
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r r ïÜÉêÉ= î (ê ) =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=îÉäçÅáíóK= == 1161. j~ëë=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF= r r r Φ = ∫∫ ρî (ê ) ⋅ Çp I== p
r r ïÜÉêÉ= c = ρî =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇI= ρ =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=ÇÉåëáíóK= = 1162. pìêÑ~ÅÉ=`Ü~êÖÉ= n = ∫∫ σ(ñ I ó )Çp I== p
ïÜÉêÉ= σ(ñ I ó ) =áë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíóK= = 1163. d~ìëë∞=i~ï= qÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=Ñäìñ=íÜêçìÖÜ=~åó=ÅäçëÉÇ=ëìêÑ~ÅÉ=áë=éêçéçêíáçå~ä= íç=íÜÉ=ÅÜ~êÖÉ=n=ÉåÅäçëÉÇ=Äó=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= r r n Φ = ∫∫ b ⋅ Çp = I== εM p ïÜÉêÉ== Φ =áë=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñI== r b =áë=íÜÉ=ã~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇ=ëíêÉåÖíÜI= c ε M = UIUR × NM −NO =áë=éÉêãáííáîáíó=çÑ=ÑêÉÉ=ëé~ÅÉK== ã = =
293
Chapter 10
Differential Equations = = = = cìåÅíáçåë=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉW=óI=éI=èI=ìI=ÖI=ÜI=dI=eI=êI=ò== ^êÖìãÉåíë=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëFW=ñI=ó= cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó ) I= j(ñ I ó ) I= k(ñ I ó ) = Çó cáêëí=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉW= ó ′ I= ì′ I= ó& I= I=£= Çí Ç Of pÉÅçåÇ=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉëW= ó′′ I= &ó& I= O I=£= Çí O ∂ì ∂ ì m~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëW= I= O I=£= ∂í ∂ñ k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= m~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçåëW= ó N I= ó é = oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=íI=`I= `N I= ` O I=éI=èI= α I= β = oççíë=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåëW= λN I= λ O = qáãÉW=í= qÉãéÉê~íìêÉW=qI=p= mçéìä~íáçå=ÑìåÅíáçåW= m(í ) == j~ëë=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ã= píáÑÑåÉëë=çÑ=~=ëéêáåÖW=â= aáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãW=ó= ^ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=^= cêÉèìÉåÅóW= ω = a~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíW= γ = mÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= δ = ^åÖìä~ê=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= θ = mÉåÇìäìã=äÉåÖíÜW=i=
Çó = Ñ (ñ I ó ) = áë= ÜçãçÖÉåÉçìëI= áÑ= Çñ íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ I ó ) =áë=ÜçãçÖÉåÉçìëI=íÜ~í=áë== Ñ (íñ I íó ) = Ñ (ñ I ó ) K== = ó qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = =EíÜÉå= ó = òñ F=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=ëÉé~ê~ÄäÉ= ñ Éèì~íáçå= Çò ñ + ò = Ñ (NI ò ) K== Çñ = 1167. _Éêåçìääá=bèì~íáçå= Çó + é(ñ )ó = è(ñ )ó å K== Çñ = qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = ó N−å =äÉ~Çë=íç=íÜÉ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå== Çò + (N − å )é(ñ ) ò = (N − å )è(ñ ) K== Çñ = 1168. oáÅÅ~íá=bèì~íáçå= Çó = é(ñ ) + è(ñ ) ó + ê(ñ ) ó O = Çñ = fÑ=~=é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= ó N =áë=âåçïåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Å~å=ÄÉ=çÄí~áåÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÜÉäé=çÑ=ëìÄëíáíìíáçå= N ò= I=ïÜáÅÜ=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=Ñáêëí=çêÇÉê=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå== ó − óN Çò = −[è(ñ ) + Oó Nê(ñ )] ò − ê(ñ ) K== Çñ = = = qÜÉ= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçå=
296
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1169. bñ~Åí=~åÇ=kçåÉñ~Åí=bèì~íáçåë= qÜÉ=Éèì~íáçå== j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = M == áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí=áÑ== ∂j ∂k = I== ∂ó ∂ñ ~åÇ=åçåÉñ~Åí=çíÜÉêïáëÉK= = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ∫ j(ñ I ó )Çñ + ∫ k(ñ I ó )Çó = ` K==
= 1170. o~Çáç~ÅíáîÉ=aÉÅ~ó= Çó = − âó I== Çí ïÜÉêÉ= ó (í ) =áë=íÜÉ=~ãçìåí=çÑ=ê~Çáç~ÅíáîÉ=ÉäÉãÉåí=~í=íáãÉ=íI=â= áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=ÇÉÅ~óK== = qÜÉ=ëçäìíáçå=áë== ó (í ) = ó M É − âí I=ïÜÉêÉ= ó M = ó (M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=~ãçìåíK= = 1171. kÉïíçå∞ë=i~ï=çÑ=`ççäáåÖ= Çq = − â (q − p ) I== Çí ïÜÉêÉ= q(í ) =áë=íÜÉ=íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=~å=çÄàÉÅí=~í=íáãÉ=íI=p=áë=íÜÉ= íÉãéÉê~íìêÉ= çÑ= íÜÉ= ëìêêçìåÇáåÖ= ÉåîáêçåãÉåíI= â= áë= ~= éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíK== = qÜÉ=ëçäìíáçå=áë= q(í ) = p + (qM − p) É −âí I== ïÜÉêÉ= qM = q(M) = áë= íÜÉ= áåáíá~ä= íÉãéÉê~íìêÉ= çÑ= íÜÉ= çÄàÉÅí= ~í= íáãÉ= í = M K== = =
297
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1172. mçéìä~íáçå=aóå~ãáÅë=EiçÖáëíáÅ=jçÇÉäF= Çm m = âm N − I== Çí j ïÜÉêÉ= m(í ) =áë=éçéìä~íáçå=~í=íáãÉ=íI=â=áë=~=éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíI= j=áë=~=äáãáíáåÖ=ëáòÉ=Ñçê=íÜÉ=éçéìä~íáçåK== = qÜÉ=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçå=áë== jmM m(í ) = I=ïÜÉêÉ= mM = m(M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=éçéìmM + (j − mM )É − âí ä~íáçå=~í=íáãÉ= í = M K=== = = =
10.2 Second Order Ordinary Differential Equations = 1173. eçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=`çÉÑÑáÅáÉåíë== ó′′ + éó′ + èó = M K== qÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=áë== λO + éλ + è = M K== = fÑ= λN = ~åÇ= λ O = ~êÉ= ÇáëíáåÅí= êÉ~ä= êççíë= çÑ= íÜÉ= ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ= Éèì~íáçåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = `NÉ λNñ + ` OÉ λ O ñ I=ïÜÉêÉ== `N =~åÇ= ` O =~êÉ=áåíÉÖê~íáçå=Åçåëí~åíëK== == é fÑ= λN = λ O = − I=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== O é − ñ
ó = (`N + ` O ñ )É O K== = fÑ= λN =~åÇ= λ O =~êÉ=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêëW=
298
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
λN = α + β á I= λ O = α − β á I=ïÜÉêÉ== Qè − é O é α = − I= β = I== O O íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = É αñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå β ñ ) K== = 1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí======================= `çÉÑÑáÅáÉåíë== ó′′ + éó′ + èó = Ñ (ñ ) K== = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó== ó = ó é + ó Ü I=ïÜÉêÉ== ó é =áë==~=é~êíáÅìä~ê==ëçäìíáçå=çÑ==íÜÉ=áåÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå= ~åÇ= ó Ü =áë=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=~ëëçÅá~íÉÇ=ÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå=EëÉÉ=íÜÉ=éêÉîáçìë=íçéáÅ=NNTPFK= = fÑ=íÜÉ=êáÖÜí=ëáÇÉ=Ü~ë=íÜÉ=Ñçêã== Ñ (ñ ) = É αñ (mN (ñ )Åçë β ñ + mN (ñ )ëáå βñ ) I== íÜÉå=íÜÉ==é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= ó é =áë=ÖáîÉå=Äó== ó é = ñ â É αñ (oN (ñ )Åçë βñ + o O (ñ )ëáå β ñ ) I==
ïÜÉêÉ= íÜÉ= éçäóåçãá~äë= oN (ñ ) = ~åÇ= o O (ñ ) = Ü~îÉ= íç= ÄÉ= ÑçìåÇ= Äó=ìëáåÖ=íÜÉ=ãÉíÜçÇ=çÑ=ìåÇÉíÉêãáåÉÇ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK== • fÑ= α + β á =áë=åçí=~=êççí=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåI=íÜÉå= íÜÉ=éçïÉê= â = M I= • fÑ= α + β á =áë=~=ëáãéäÉ=êççíI=íÜÉå= â = N I= • fÑ= α + β á =áë=~=ÇçìÄäÉ=êççíI=íÜÉå= â = O K== = 1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ó=jáëëáåÖ= ó′′ = Ñ (ñ I ó′) K== pÉí= ì = ó′ K=qÜÉå=íÜÉ=åÉï=Éèì~íáçå=ë~íáëÑáÉÇ=Äó=î=áë== ì′ = Ñ (ñ I ì ) I== ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK=
`~ëÉ=NK γ O > Qâã =EçîÉêÇ~ãéÉÇF= ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I== ïÜÉêÉ== λN =
− γ − γ O − Q âã − γ + γ O − Q âã I= λ O = K== Oã Oã
= `~ëÉ=OK= γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó=Ç~ãéÉÇF= ó (í ) = (^ + _í )É λí I== ïÜÉêÉ== γ λ=− K= Oã = `~ëÉ=PK= γ O < Qâã =EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF== ó (í ) = É
−
γ í Oã
^ Åçë(ωí − δ ) I=ïÜÉêÉ==
ω = Qâã − γ O K== = 1179. páãéäÉ=mÉåÇìäìã= Ç Oθ Ö + θ = M I= Çí O i ïÜÉêÉ= θ = áë= íÜÉ= ~åÖìä~ê= Çáëéä~ÅÉãÉåíI= i= áë= íÜÉ= éÉåÇìäìã= äÉåÖíÜI=Ö=áë=íÜÉ=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóK= = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Ñçê=ëã~ää=~åÖäÉë= θ =áë== Ö i θ(í ) = θã~ñ ëáå í I=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q = Oπ K== i Ö = 1180. oi`=`áêÅìáí= Ç Of Çf N i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I= Çí Çí `
301
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
ïÜÉêÉ=f=áë=íÜÉ=ÅìêêÉåí=áå=~å=oi`=ÅáêÅìáí=ïáíÜ=~å=~Å=îçäí~ÖÉ= ëçìêÅÉ= s(í ) = b M ëáå(ωí ) K=== = qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I= ïÜÉêÉ== Qi − o ± oO − ` I== ê NI O = Oi ωb M ^= I== O N O O O iω − + o ω ` N iω ϕ = ~êÅí~å − I== o o`ω `N I= ` O =~êÉ=Åçåëí~åíë=ÇÉéÉåÇáåÖ=çå=áåáíá~ä=ÅçåÇáíáçåëK= = = =
10.3. Some Partial Differential Equations = 1181. qÜÉ=i~éä~ÅÉ=bèì~íáçå= ∂ Oì ∂ Oì + = M= ∂ñ O ∂ó O ~ééäáÉë=íç=éçíÉåíá~ä=ÉåÉêÖó=ÑìåÅíáçå= ì(ñ I ó ) ==Ñçê==~==ÅçåëÉêî~íáîÉ= ÑçêÅÉ= ÑáÉäÇ= áå= íÜÉ= ñó-éä~åÉK= m~êíá~ä= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=ÉääáéíáÅK== = 1182. qÜÉ=eÉ~í=bèì~íáçå= ∂ O ì ∂ O ì ∂ì + = = ∂ñ O ∂ó O ∂í
302
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
~ééäáÉë= íç= íÜÉ= íÉãéÉê~íìêÉ= ÇáëíêáÄìíáçå= ì(ñ I ó ) = áå= íÜÉ= ñóéä~åÉ=ïÜÉå=ÜÉ~í=áë=~ääçïÉÇ=íç=Ñäçï=Ñêçã=ï~êã=~êÉ~ë=íç=Åççä= çåÉëK=qÜÉ=Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=é~ê~ÄçäáÅK== = 1183. qÜÉ=t~îÉ=bèì~íáçå= ∂ Oì ∂ Oì ∂ Oì + = = ∂ñ O ∂ó O ∂í O ~ééäáÉë=íç=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåí= ì(ñ I ó ) =çÑ=îáÄê~íáåÖ=ãÉãÄê~åÉë= ~åÇ= çíÜÉê= ï~îÉ= ÑìåÅíáçåëK= qÜÉ= Éèì~íáçåë= çÑ= íÜáë= íóéÉ= ~êÉ= Å~ääÉÇ=ÜóéÉêÄçäáÅK== = =
303
Chapter 11
Series = = = =
11.1 Arithmetic Series = fåáíá~ä=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~ å = aáÑÑÉêÉåÅÉ=ÄÉíïÉÉå=ëìÅÅÉëëáîÉ=íÉêãëW=Ç= kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på = = = 1184. ~ å = ~ å −N + Ç = ~ å −O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç = = 1185. ~N + ~ å = ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å +N−á = = ~ +~ 1186. ~ á = á −N á +N = O = ~ +~ O~ + (å − N)Ç 1187. på = N å ⋅ å = N ⋅å= O O = = = = =
304
CHAPTER 11. SERIES
11.2 Geometric Series = fåáíá~ä=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~ å = `çããçå=ê~íáçW=è= kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på = pìã=íç=áåÑáåáíóW=p= = = 1188. ~ å = è~ å −N = ~Nè å −N = = 1189. ~N ⋅ ~ å = ~ O ⋅ ~ å −N = K = ~ á ⋅ ~ å +N−á = = 1190. ~ á = ~ á −N ⋅ ~ á +N = = ~ å è − ~N ~N (è å − N) 1191. på = = = è −N è −N = ~ 1192. p = äáã på = N = å →∞ N− è cçê= è < N I=íÜÉ=ëìã=p=ÅçåîÉêÖÉë=~ë= å → ∞ K= = = =
11.3 Some Finite Series = kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= = =
305
CHAPTER 11. SERIES
1193. N + O + P + K + å =
å(å + N) = O
=
1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N) = = 1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O = = 1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) =
= 1197. NO + OO + PO + K + å O =
å(Oâ + å − N) = O
å(å + N)(Oå + N) = S
=
å(å + N) 1198. NP + OP + PP + K + åP = = O = å(Qå O − N) O O O O 1199. N + P + R + K + (Oå − N) = = P = P 1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N) = å O (Oå O − N) = = N N N N 1201. N + + + + K + å + K = O = O Q U O = N N N N 1202. + + +K+ +K = N= N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q å(å + N) = N N N N 1203. N + + + + K + +K = É = (å − N)> N> O> P> = = = O
306
CHAPTER 11. SERIES
11.4 Infinite Series = pÉèìÉåÅÉW= {~ å }= cáêëí=íÉêãW= ~N = kíÜ=íÉêãW= ~ å = = = 1204. fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= ∞
∑~ å =N
å
= ~N + ~ O + K + ~ å + K =
= 1205. kíÜ=m~êíá~ä=pìã= å
på = ∑ ~ å = ~N + ~ O + K + ~ å = å =N
= 1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= ∞
∑~ å =N
å
= i I=áÑ= äáã på = i = å →∞
= 1207. kíÜ=qÉêã=qÉëí= ∞
•
fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë= ∑ ~ å áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= äáã ~ å = M K== å→∞
å =N
•
fÑ= äáã ~ å ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëÉêáÉë=áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å→∞
iÉí= ∑ ~ å =~åÇ= ∑ Äå =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= M < ~ å ≤ Äå =Ñçê=~ää=åK== •
•
∞
fÑ= ∑ Äå áë=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑ ~ å áë=~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK== å =N ∞
∞
å =N
å =N
å =N
fÑ= ∑ ~ å áë=ÇáîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑ Äå áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
= 1211. qÜÉ=iáãáí=`çãé~êáëçå=qÉëí= ∞
∞
å =N
å =N
iÉí= ∑ ~ å =~åÇ= ∑ Äå =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= ~ å =~åÇ= Äå =~êÉ=éçëáíáîÉ=Ñçê=~ää=åK== ∞ ∞ ~å • fÑ= M < äáã < ∞ = íÜÉå= ∑ ~ å = ~åÇ= ∑ Äå ~êÉ= ÉáíÜÉê= ÄçíÜ= å →∞ Ä å =N å =N å ÅçåîÉêÖÉåí=çê=ÄçíÜ=ÇáîÉêÖÉåíK= ∞ ∞ ~å • fÑ= äáã = M =íÜÉå= ∑ Äå ÅçåîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑ ~ å =áë= å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK=
308
CHAPTER 11. SERIES
∞ ∞ ~å = ∞ =íÜÉå= ∑ Äå ÇáîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑ ~ å =áë= å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
fÑ= äáã
•
= 1212. é-ëÉêáÉë= ∞
N =ÅçåîÉêÖÉë=Ñçê= é > N =~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=Ñçê= é å =N å M < é ≤ N K= = 1213. qÜÉ=fåíÉÖê~ä=qÉëí= iÉí= Ñ (ñ ) = ÄÉ= ~= ÑìåÅíáçå= ïÜáÅÜ= áë= ÅçåíáåìçìëI= éçëáíáîÉI= ~åÇ= ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=Ñçê=~ää= ñ ≥ N K=qÜÉ=ëÉêáÉë== é-ëÉêáÉë= ∑
∞
∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å) + K = å =N
∞
ÅçåîÉêÖÉë=áÑ= ∫ Ñ (ñ )Çñ ÅçåîÉêÖÉëI=~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=áÑ= N
å
∫ Ñ (ñ )Çñ → ∞ =~ë= å → ∞ K= N
= 1214. qÜÉ=o~íáç=qÉëí= ∞
iÉí= ∑ ~ å =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK= å =N
∞ ~ å +N < N =íÜÉå= ∑ ~ å áë=ÅçåîÉêÖÉåíK= å →∞ ~ å =N å
•
fÑ= äáã
•
fÑ= äáã
•
∞ ~ å +N > N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å →∞ ~ å =N å ∞ ~ fÑ= äáã å +N = N = íÜÉå= ∑ ~ å = ã~ó= ÅçåîÉêÖÉ= çê= ÇáîÉêÖÉ= ~åÇ= å →∞ ~ å =N å íÜÉ= ê~íáç= íÉëí= áë= áåÅçåÅäìëáîÉX= ëçãÉ= çíÜÉê= íÉëíë= ãìëí= ÄÉ= ìëÉÇK==
=
309
CHAPTER 11. SERIES
1215. qÜÉ=oççí=qÉëí= ∞
iÉí= ∑ ~ å =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK= å =N
∞
•
•
•
fÑ= äáã å ~ å < N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÅçåîÉêÖÉåíK= å →∞
å =N ∞
fÑ= äáã å ~ å > N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å →∞
å =N ∞
fÑ= äáã å ~ å = N =íÜÉå= ∑ ~ å =ã~ó=ÅçåîÉêÖÉ=çê=ÇáîÉêÖÉI=Äìí= å →∞
å =N
åç=ÅçåÅäìëáçå=Å~å=ÄÉ=Çê~ïå=Ñêçã=íÜáë=íÉëíK= = = =
11.7 Alternating Series = 1216. qÜÉ=^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë=qÉëí=EiÉáÄåáò∞ë=qÜÉçêÉãF= = iÉí= {~ å }=ÄÉ=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=éçëáíáîÉ=åìãÄÉêë=ëìÅÜ=íÜ~í= ~ å+N < ~ å =Ñçê=~ää=åK= äáã ~ å = M K== å→∞
Ñ (ñ ) = ∑ ~ å (ñ − ñ M ) =áë=ÅçåîÉêÖÉåí=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ==áåíÉêî~ä=çÑ= å
å =M
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK=
311
å
CHAPTER 11. SERIES
1222. o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= fÑ=íÜÉ=áåíÉêî~ä=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉ=áë== (ñ M − oI ñ M + o ) ==Ñçê==ëçãÉ= o ≥ M I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉK==fí=áë=ÖáîÉå= ~ë= ~ N =çê= o = äáã å K== o = äáã å →∞ å ~ å →∞ ~ å +N å = = =
11.9 Differentiation and Integration of Power Series = `çåíáåìçìë=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) = ∞
11.11 Power Series Expansions for Some Functions = tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ= = = ñO ñP ñå 1228. É ñ = N + ñ + + +K+ + K= O> P> å> = O P (ñ äå ~ )å + K = ñ äå ~ (ñ äå ~ ) (ñ äå ~ ) 1229. ~ ñ = N + + + +K+ N> O> P> å> = å ( ñ O ñP ñ Q − N) ñ å+N 1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − + K + ± K I= − N < ñ ≤ N K= O P Q å +N = ñP ñR ñT N+ ñ = O ñ + + + + K I= ñ < N K= 1231. äå N− ñ P R T = ñ − N N ñ − N P N ñ − N R 1232. äå ñ = O + K I= ñ > M K= + ñ + N P ñ + N R ñ + N = (− N)å ñ Oå ± K = ñO ñQ ñS 1233. Åçë ñ = N − + − + K + (Oå )> O> Q> S> =
314
CHAPTER 11. SERIES
(− N) ñ Oå+N ± K = ñP ñR ñT 1234. ëáå ñ = ñ − + − + K + (Oå + N)> P> R> T> = ñ P Oñ R NT ñ T SOñ V π 1235. í~å ñ = ñ + + + + + K I= ñ < K= O P NR PNR OUPR = N ñ ñ P Oñ R Oñ T 1236. Åçí ñ = − + + + + K I= ñ < π K= ñ P QR VQR QTOR = ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N 1237. ~êÅëáå ñ = ñ + + +K+ + K I= O⋅P O⋅ Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N) ñ < N K= = π ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N + +K+ + KI 1238. ~êÅÅçë ñ = − ñ + O O⋅P O⋅Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N) å
ñ < N K= = 1239. ~êÅí~å ñ = ñ −
(− N) ñ Oå+N ± K I= ñ ≤ N K= ñP ñR ñT + − +K+ P R T Oå + N å
= 1240. ÅçëÜ ñ = N +
ñO ñQ ñS ñ Oå + + +K+ + K= (Oå )> O> Q> S>
= 1241. ëáåÜ ñ = ñ +
ñP ñR ñT ñ O å +N + + +K+ + K= (Oå + N)> P> R> T>
= = = = =
315
CHAPTER 11. SERIES
11.12 Binomial Series = tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã= oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ= `çãÄáå~íáçåëW= å ` ã = = = å 1242. (N + ñ ) = N + å`Nñ + å` O ñ O + K + ã ` å ñ ã + K + ñ å = = å(å − N)K[å − (ã − N)] 1243. å ` ã = I= ñ < N K= ã> = N 1244. = N − ñ + ñ O − ñ P + K I= ñ < N K= N+ ñ = N 1245. = N + ñ + ñ O + ñ P + K I= ñ < N K= N− ñ = ñ ñ O N ⋅ Pñ P N ⋅ P ⋅ Rñ Q 1246. N + ñ = N + − + − + K I= ñ ≤ N K= O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U = ñ N ⋅ Oñ O N ⋅ O ⋅ Rñ P N ⋅ O ⋅ R ⋅ Uñ Q 1247. P N + ñ = N + − + − + K I= ñ ≤ N K= P P⋅S P⋅S⋅V P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO = = =
11.13 Fourier Series = fåíÉÖê~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) = cçìêáÉê=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW= ~ M I= ~ å I= Äå = tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å==
316
CHAPTER 11. SERIES
∞
~ 1248. Ñ (ñ ) = M + ∑ (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ ) = O
å =N
= π
N 1249. ~ å = ∫ Ñ (ñ )Åçë åñ Çñ == π −π = π N Ä = Ñ (ñ )ëáå åñ Çñ == 1250. å π −∫π = =
317
Chapter 12
Probability = = = =
12.1 Permutations and Combinations = mÉêãìí~íáçåëW= å mã = `çãÄáå~íáçåëW= å ` ã = tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã= = = 1251. c~Åíçêá~ä= å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å = M> = N = = 1252. å må = å> = = å> 1253. å mã = = (å − ã )> = 1254. _áåçãá~ä=`çÉÑÑáÅáÉåí= å å> å = ` ã = = ã ã> (å − ã )> = 1255. å ` ã = å ` å −ã = = 1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N = =
318
CHAPTER 12. PROBABILITY
1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å = Oå = = 1258. m~ëÅ~ä∞ë=qêá~åÖäÉ= = oçï=M= = = = = = = oçï=N= = = = = = N= oçï=O= = = = = N= = oçï=P= = = = N= = P= oçï=Q= = = N= = Q= = oçï=R= = N= = R= = NM= oçï=S= N= = S= = NR= = = = =
ïÜÉêÉ= _ á =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíëK== = 1271. _~óÉë∞=qÜÉçêÉã= m(^ L _ ) ⋅ m(_ ) m(_ L ^ ) = = m(^ ) = 1272. _~óÉë∞=cçêãìä~= m(_ ) ⋅ m(^ L _ á ) m(_ á L ^ ) = ã á I== ∑ m(_ á ) ⋅ m(^ L _ á ) â =N
ïÜÉêÉ== _ á =áë=~=ëÉí=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíë=EÜóéçíÜÉëÉëFI= ^ =áë=íÜÉ=Ñáå~ä=ÉîÉåíI== m(_ á ) =~êÉ=íÜÉ=éêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëI= m(_ á L ^ ) =~êÉ=íÜÉ=éçëíÉêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëK= = 1273. i~ï=çÑ=i~êÖÉ=kìãÄÉêë= p m å − µ ≥ ε → M =~ë= å → ∞ I== å p m å − µ < ε → N =~ë= å → ∞ I== å ïÜÉêÉ== på =áë=íÜÉ=ëìã=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëI= å =áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK= = 1274. `ÜÉÄóëÜÉî=fåÉèì~äáíó= s(u ) m( u − µ ≥ ε ) ≤ O I== ε ïÜÉêÉ= s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uK=
321
CHAPTER 12. PROBABILITY
1275. kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= ( ñ −µ ) O
− N O ϕ(ñ ) = É Oσ I== σ Oπ ïÜÉêÉ=ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉK= = 1276. pí~åÇ~êÇ=kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= O
N − òO É = ϕ(ò ) = Oπ ^îÉê~ÖÉ=î~äìÉ= µ = M I=ÇÉîá~íáçå= σ = N K= =
ïÜÉêÉ=í=áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK= = 1282. _Éêåçìääá=qêá~äë=mêçÅÉëë= µ = åé = I= σ O = åéè I== ïÜÉêÉ== å =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ÉñéÉêáãÉåíëI== é =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëë=çÑ=É~ÅÜ=ÉñéÉêáãÉåíëI= è =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K= = 1283. _áåçãá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå======= å Ä(åI éI è ) = é â è å − â I== â
323
CHAPTER 12. PROBABILITY
µ = åé I= σ O = åéè I=
Ñ (ñ ) = (è + éÉ ñ ) I== ïÜÉêÉ== å=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=íêá~äë=çÑ=ëÉäÉÅíáçåëI= é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëëI= è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K= = 1284. dÉçãÉíêáÅ=aáëíêáÄìíáçå= m(q = à) = è à−Né I== N è µ = I= σ O = O I== é é ïÜÉêÉ== q=áë=íÜÉ=Ñáêëí=ëìÅÅÉëëÑìä=ÉîÉåí=áë=íÜÉ=ëÉêáÉëI= à=áë=íÜÉ=ÉîÉåí=åìãÄÉêI= é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=íÜ~í=~åó=çåÉ=ÉîÉåí=áë=ëìÅÅÉëëÑìäI== è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K= = 1285. mçáëëçå=aáëíêáÄìíáçå= λâ −λ m(u = â ) ≈ É I= λ = åé I== â> O µ = λ I= σ = λ I== ïÜÉêÉ== λ =áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=çÅÅìêêÉåÅÉI= â=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëK= = 1286. aÉåëáíó=cìåÅíáçå== å
Ä
m(~ ≤ u ≤ Ä) = ∫ Ñ (ñ )Çñ == ~
= 1287. `çåíáåìçìë=råáÑçêã=aÉåëáíó= ~+Ä N I== I= µ = Ñ= Ä−~ O
Thank you for interesting in our services. We are a non-profit group that run this website to share documents. We need your help to maintenance this website.