1.3 PROGRAMACION DINAMICA DETERMINISTICA

En la programación dinámica determinística, el estado en la siguiente etapa está completamente determinado por el estado y la política de decisión de la etapa actual.

Clase # 20

Programación dinámica determinística

Etapa n

Etapa n+1

Sn

Sn+1

Contribución fn (Sn, Xn) de Xn

f *n+1 (Sn+1)

20-1

EJEMPLO - Distribución de brigadas médicas.

20-2

El WORLD HEALTH COUNCIL, se dedica a mejorar la atención médica en los países subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas médicas para asignarlas a tres de estos países. El consejo necesita determinar cuántas brigadas debe asignar a cada país (si lo hace) para maximizar la medida de la eficiencia de las brigadas, la cual será el incremento en el promedio de vida esperado en años, multiplicado por la población de cada país.

Miles de años - persona de vida adicionales

Brigadas médicas

País

1

2

3

0

0

0

0

1

45

20

50

2

70

45

70

3

90

75

80

4

105

110

100

5

120

150

130 Veamos la formulación

20-3

Formulación.

Diagrama

• Etapas: Países a los cuales se les debe asignar las brigadas. ( n=1- País1 ); ( n=2 –País 2 ); ( n=3 -País 3). • Variable de decisión: Xn : Número de brigadas asignadas al país n.

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

20-4

0

• Estado: ¿ Qué es lo que cambia de una etapa a otra? Sn : Número de brigadas médicas disponibles para asignarse a los países restantes

S1 = 5 S2 = S1 - X1 S3 = S2 - X2

20-5

5

20-6

1

Ecuación de recursividad.

Sea Pi (X i ) la medida del desempeño por asignar Xi brigadas médicas al país i, entonces

fn(Sn, Xn) = cs , xn + fn+1 * (Xn) fn(Sn, Xn) = Pn (Xn) + fn +1 * (Sn - Xn)

3

Σi=1 Pi (Xi )

Max Z = 3 s.a

Σi=1 Xi = 5

Etapa n=3 País 3

Como el estado final (cero brigadas para asignar) se alcanza al terminar la etapa 3, entonces f4* = 0

Xi ≥ 0 para Xi∈ enteros Se usará el algoritmo hacia atrás.

sigue

20-7

f 3 (S3 ) = P3 (X3) + f 4*

5

Para ilustrar como proceder, supongamos que nos quedan 2 brigadas disponibles en este momento:

f3 * (S3 ) X3*

0 50 70 80 100

0 50 70 80 100

0 1 2 3 4

130

130

5

0

+ f3* (0,X2) = P 2 (2) + f3*(0) = 45

1

+ f3* (1,X2) = P 2 (1) + f3*(1) = 70

2

+ f3* (2,X2) = P 2 (0) + f3*(2) = 70 sigue

45

20

2 0

20-9

X2 f2(S2 ,X2) = P2 (X2) +

S2

1

2

3

4

5

20-10

Etapa n=1 País 1

En general para la etapa 2 se tiene:

f 3* (S2 -X2)

20-8

Etapa n=2 País 2

Debemos asignar todas las brigadas que estén disponibles en este momento.

S3 0 1 2 3 4

Genérica

f 2* (S2)

X2*

0 1 2 3 4

0 0 50 70 80 100

20 70 45 90 95 75 100 115 125 110

0 50 70 95 125

0 0 0ó1 2 3

5

130 120 125 145 160 150

160

4

En este caso, el único estado que debe considerarse es el inicial, S1 = 5 0

+ f2* (0,X1) = P 1 (5) + f2*(0) = 120

4

+ f2* (4,X1) = P 1 (1) + f2*(4) = 170

5

+ f2* (5,X1) = P 1 (0) + f2*(5) = 160 sigue

0 12

45

5 0

20-11

20-12

2

Veamos la tabla:

EJEMPLO - Distribución de científicos.

X1 f 1(S1 ,X1) = P1 (X1) + f 2* (S1 -X1) f * (S ) 1 1 S1 1 2 3 4 5 0 170 5 160 170 165 160 155 120

X1* 1

Así la asignación óptima será: X1* = 1

S1 - X1 = 4 = S2

X2* = 3

S2 - X2 = 1 = S3

X3* = 1

En las circunstancias actuales, la probabilidad de que los equipos 1,2,3, fracasen es 0.4, 0.6 y 0.8 respectivamente.

Z = 170000 años

La probabilidad de que los tres equipos fracasen es 0.192. Se debe minimizar la probabilidad de fracaso, por los cual se decide adicionar 2 científicos de alto nivel. 20-13

0

Probabilidad de Fracaso Equipo 2 1

20-14

Formulación. • Etapas: Equipos a los cuales se debe adicionar los científicos. ( n=1,2,3 ).

¿Como adicionar los científicos de tal forma que se minimice la probabilidad de fracaso?

Número científicos

Un proyecto espacial necesita investigar un problema de ingeniería para mandar seres humanos a Marte. Existen 3 equipos que analizan el problema desde 3 puntos de vista diferentes.

• Variable de decisión: Xn : Número de investigadores asignados al equipo n. 3

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.5

2

0.15

0.2

0.3 20-15

• Estado: ¿ Que es lo que cambia de una etapa a otra? Sn : Número de científicos aún disponibles para asignarse a los equipos restantes. S1 = 2 S2 = 2 - X1 S3 = S2 - X2

20-16

Ecuación de recursividad.

Sea Pi (X i ) la probabilidad de fracaso al asignar Xi científicos al equipo i, entonces

3

fn(Sn, Xn) = Pn (Xn) *minΠ Pi (X i ) i=n+1

fn(Sn, Xn) = Pn (Xn) * fn+1 * (Sn - Xn)

3

Min Z = s.a 3

Genérica

Π Pi (X i ) i=1

Σ Xi = 2

Etapa n=3 Equipo 3

i=1

Como el estado final (cero científicos para asignar) se alcanza al terminar la etapa 3, entonces f4* = 1

Xi ≥ 0 para Xi∈ enteros Se usará el algoritmo hacia atrás. 20-17

sigue

20-18

3

Etapa n=2 Equipo 2

f3 (S3 ,X3 ) = P3 (X3 ) * f4*

X2 f2(S2 ,X2) = P2 (X2) * f3* (S2 -X2) f * (S ) X * 2 2 2

S2 0 1 2

Debemos asignar todas los científicos que estén disponibles en este momento.

S3 0 1 2

f 3* (S3) = P3 (X3) * f 4*

0.8 0.5 0.3

1

0.32 0.20

2

0.16

0.48 0.30 0.16

0 0 2

Etapa n=1 Equipo 1

f3 * (S3 ) X3*

0.8 0.5 0.3

0 0.48 0.30 0.18

X1 f1(S1 ,X1) = P1 (X1) * f2* (S1 -X1) f * (S ) X * 1 1 1

0 1 2

S1

2 20-19

0 0.064

1 0.060

2 0.072

0.060

1 20-20

Así la asignación óptima será: X1* = 1

S1 - X1 = 1 = S2

X2* = 0

S2 - X2 = 1 = S3

X3* = 1

Z = 0.06 20-21

4