1.3 Función pérdida

ING. MARTHA MA. CARRILLO RMZ.

Taguchi propuso un procedimiento para consolidar la calidad con base en las implicaciones económicas de n o c u m pl i r c o n l as a s e s pe p e c if i c a c io n e s o b je t i vo . Taguchi definió la calidad como “evitar una pérdida que un producto le causa a la sociedad, después de h a b e r s i d o e m ba b a r c ad a d o , d i s t in i n t a a c ua ualquier ot r a p ér d i d a c au s a da p o r s u s fu f u nc i o n es in t r ín í n s ec a s ” . La pérdida para la sociedad incluye costos incurridos por la imposibilidad del producto de cumplir con las expectativas del cliente, la imposibilidad de cumplir  con las características de desempeño y los efectos c o l at e r al e s d a ñi no n o s c a us a do d o s p or el pr o d uc u c t o.

La imposibilidad de cumplir con las expectativas d e l c l i e n t e p r e c i p i t a n u m e r o s as p é r di d a s d i r ec t a s e i n di r e ct a s .

Si el p ro d u ct o n o s e d e se m pe ñ a c o r r ec t a m en t e a l ser adquirido, los costos de servicio deben ser  a bs o r bi d o s p o r e l d is t r ib u i do r o po r e l f a b ri c a nt e , y se daña su reput ac ión.

Taguchi mide las pérdidas en unidades monetarias y l as r el ac i o na c o n c a r ac t e r ís t i c a s c u a nt i f ic a b le s d el p rod uc t o . De e st a m a ne ra , t r ad uc e e l l en gua je d el ingeniero al del gerent e. Para comprender mejor la filosofía de Taguchi en la forma en que esto influye en el diseño tolerancias, c o n s i d er e l a d e fi n i c i ó n c o n b a s e e n l a m a n u f ac t u r a d e la c al i dad, c om o “ c onfor m i dad c on l as especificaciones”.

S u po n g a q u e l a e s p ec i f ic a c ió n pa r a u n a c a r ac t e rí s t i c a d e c a l i d a d e s 0.500±0.020. U t i l i za n do e s t a d e fi n i c i ó n , n o ex i st e n in gun a d ifer enc i a s i el v al or r ea l d e l a c a ra c t er ís t ic a d e c a li dad e s 0 .4 80 , 0 .4 96 , 0 .5 00 o 0.520. E s t a a c t i t u d s u p o n e q u e e l c l i e n t e , y a s e a e l c o n s u m i d o r o e l s i g u i en t e d e p a r t a m e n t o e n e l p r o c e s o e pr o uc c n, que ar a gua m en e sa s ec o c on c u al q u i er v a l o r en tr e 0.480 y .520, pero no si est á fuera d e est e r an g o de t ol e r an c i a .

Es t e p r o c e d i m i e nt o s u po n e t a m b i é n q ue l o s c o s t o s n o d ep e n de n d e l v a l or r e a l d e l a ca r a c t e rís ti c a d e ca l i d ad , s i em pr e que quede dent r o de l a t ol er anc ia e s pe c i f i c a d a , c o n oc i d a c o m o “ m e n t a l i d a d d e p o st e d e meta”. Fu nc i ó n d e p é r di d a d e la c on f o rm i d ad tr a d i c i o na l a l a

Pero, ¿c uál es la diferenc ia real ent re 0.479 y 0.481 ? El p r i m e r o s e c o n s i de r a c o m o “ f u e r a d e e s p e c i f i c a c i ó n ” y s e n e c e s i t a r e t r a b a j o o e nv i a r a l d e s p er d i c i o , e n t a n t o que el últ im o es a c e p t a b l e . Si n e m b a r g o, e n r e a l i d ad e l i m p a c t o d e c u a l q u ie r a d e e os s o r e a c ar ac er s c a e esem pe o e producto sería aproximadamente igual; ninguno está c e rc a d e la e s pe c i fi c a c ió n n o mi n a l de 0 .5 00 .

El d is eñ ad or f ij a l a e sp ec i f ic a c i ón n om i n al , q ue s e c onsi der a c om o el v al or obj et ivo i deal par a l a c a r a c t e r ís t i c a d e c a l i d a d v it a l . Taguchi basa este procedimiento en la hipótesis de q u e m i e n t r a s m e no r s ea l a v a ri ac i ó n en r e l ac i ó n co n e l valor objet ivo, m ejor será la c alidad. En otras palabras, l a úni c a espec i f i c ac i ón que t iene si gni f i c ado es c u m pl i r co n e l o b j et i v o.

L os au m ent o s d e p ér di da c o nfo r m e l os v al or es s e salen del objet ivo se ilust ran en la siguient e figura. Func ión de pérdida Taguchi

Cuando se llenan las especificaciones nominales, los p ro d u ct o s s on má s u ni f or m e s , l o q u e r ed u c e l o s co s t o s t ot a l es p ar a l a s o c i ed a d .

La naturaleza exacta de la función de pérdida para c a da un a d e l a s c ar a c t er í s ti c a s d e c al i d a d e s di f íc i l d e det er m inar. Taguchi supuso que las pérdidas se podían aproximar utilizando la función cuadrática de manera que des vi ac i ones m ás i m por t ant es del obj et i vo c ausaran pérdidas c ada vez m ayores.

Pa r a e l c a s o e n e l q u e u n v a l o r o b j e t i v o e s p ec í f ic o e s e l m e j o r y l a c a l i da d s e d e t e r i or a c o n fo r m e e l v a l o r s e al ej a del obj et i vo a c ual qui er a de l os em pl eados (c o no c i d o c o m o “ l o n o m in a l e s lo m ej o r ” ), l a f u n ci ó n d e p ér d i d a s e re p r es en ta po r :

L(x ) = k(x – T)²

Do nd e x es c u al qu ie r v al or d e l a c a ra c t er ís t ic a d e c alidad, T es el valor objet ivo y k alguna c onst ant e.

L a c o n st a n t e k s e e s t i m a d et e r m i n an do e l c o st o d e r ep a r ac i ó n o d e r e em p la z o s i o c ur r e u na ci e r t a des vi ac i ón a a r t ándose del ob et i vo, c o m o l o i l us t r a e l s i g ui e nt e e j e m p l o.

Su po n g a q ue u na c i er t a c a r ac t e rís ti c a d e c a l id a d t i e ne u n a e s p ec i f i c a c i ó n d e 0.500 ±0.020. U n a n ál i s is de lo s registros de la empresa revela que si el valor de la c a r a c t e r ís t i c a d e c a l id ad e x c e d e e l o bj e t i vo d e 0.500 e n l a t o l er a n c i a d e 0.020 a c u a l qu i e ra d e l o s l a do s , e l r od uc t o r ob ab le m en t e f al l ar á d ur an t e e l e ri od o d e g ar a n tí a y s u re p a ra c i ón c o s t a rá 50 dólares . Ent onc es, Pr i me r o s e c a l c u l a l a c o ns t a nt e k : Cost o de reparac ión o reempl azo = c o ns t an t e (t o l er a n ci a ) ² 50 = k (0.020)²

Se despeja k : k = 50 / (0.020 )² k = 50 / 0.0004 k = 125,000 Po r l o t a nt o l a f un c i ó n d e é rd i d a e s : L(x ) = k(x – T)² L(x ) = 125,000(x – T)² Po r l o qu e s i l a d es v i ac i ó n e s de ú n i c a m en t e 0 .0 10 , l a p ér d i d a es t i m a da es de L(0.010) = 125,000(0.010)² = $12.50

Si se conoce la distribución de la variación alrededor  del val or obj et i vo, se pued e c al c ul ar l a pér di da p r o m e d i o p o r u n i da d a l p r o m e d i ar e s t a d ís t i c a m e n t e l a pér di da asoc i ada c on l os val or es pos i bl es de l a . , esta pérdida promedio por unidad es simplemente el valor esperado de la pérdida.

Suponga que dos proc esos, A y B, t ienen las siguient es distribuciones de una característica de calidad, con u na e s pe c i f ic a c ió n d e 0 .5 0 ± 0 .0 2. En el p ro c e so A , el r e s ul t a d o d e l p r o c e s o t i e n e v a lo r e s q u e v a n d e 0 . 48 a 0.52, todos los cuales tienen la misma probabilidad. Para el proceso B, se espera que 60% del resultado t enga un valor de 0.50, 15% un valor de 49, etc .

Va lor

Proba bilida d de l proceso A

Probabilidad del proceso B

0.47

0

0 .0 2

0.48

0 .2 0

0 .0 3

0.49

0 .2 0

0 .1 5

0.50

0 .2 0

0 .6 0

0.51

0 .2 0

0 .1 5

0.52

0 .2 0

0 .0 3

0.53

0

0 .0 2

Note que el resultado del producto A está disperso uniform em ent e en un rango de 0.48 a 0.52 y que oc ur re totalmente dentro de especificaciones. En el proceso B , el r es ul t ado es t á c onc ent r ado c er c a del v al or   objetivo, pero no ocurre en su totalidad dentro de especificaciones.

Ut ilizando la funci ón de pérdida L(x ) = 125,000(x – 0.50)² L a pé r d i da e s pe r a da p a r a ca d a u no d e l o s pr o c e s os s e p ue d e c a l cu l a r c o m o s i g u e: Valor, x .

P é rdida

Pr ob. De l proceso A

Pérdida ponderada

.

Prob. Del proceso B .

Pérdida ponderada .

0.48

50.0

0 .2 0

10

0 .0 3

1 .5 0

0.49

12.50

0 .2 0

2 .5

0 .1 5

1 .8 7 5

0.50

0 .0

0 .2 0

0

0 .6 0

0

0.51

12.50

0 .2 0

2 .5

0 .1 5

1 .8 7 5

0.52

50.0

0 .2 0

10

0 .0 3

1 .5 0

0.53

112.5

0

0

0 .0 2

2 .2 5

Pérdida esperada

2 5 .0

1 1 .2 5

Cálc ulo de la pérdida: L(x ) = 125 ,000(0.47 – 0.50)² = 112.5 L(x ) = 12 5,00 0(0.48 – 0.50 )² = 50.0 L(x ) = 12 5,00 0(0.49 – 0.50 )² = 12.5 L(x ) = 125 ,000 (0.50 – 0.50 )² = 0.0 L(x ) = 125 ,000 (0.51 – 0.50 )² = 12 .5 L(x ) = 125 ,000 (0.52 – 0.50 )² = 50 .0 L(x ) = 125,000 (0.53 – 0.50)² = 112.5

Cálc ulo de la pérdida ponderada del proc eso A: Se mu l t i p li c a la p é rd i d a p o r la p r ob a b il i d ad d e l p r o ce s o Pé rdida

Proba bilida d de l proceso A

Pérdida ponderada

5 0 .0

0 .2 0

10

1 2 .5 0

0 .2 0

2 .5

0 .0

0 .2 0

0

1 2 .5 0

0 .2 0

2 .5

5 0 .0

0 .2 0

10

1 1 2 .5

0

0

.

Cálc ulo de la pérdida ponderada del proc eso B: Se mu l t i p li c a la p é rd i d a p o r la p r ob a b il i d ad d e l p r o ce s o Pé rdida .

Proba bilida d de l proceso B .

Pérdida ponderada .

5 0 .0

0 .0 3

1.50

1 2 .5 0

0 .1 5

1.875

0 .0

0 .6 0

0

1 2 .5 0

0 .1 5

1.875

5 0 .0

0 .0 3

1.50

1 1 2 .5

0 .0 2

2.25

Cl a r am e n t e , e l p roc e so B i nc ur r e en una pér di da e sp er a da t o t a l m e no r ,  aun c u ando al gunos de l os r es u l t ad o s q ue d a n f ue ra de es p ec i f ic a c io n e s. L a p ér d i d a e sp e r ad a s e c a l cu l a u t il i z an d o u n a f ór m u la s i mp l e qu e i nvo l uc r a la v a ri a n za de l a ca r a c t e rís ti c a d e calidad, σ², y el cuadrado de la desviación del valor  ²= – ². EL(x ) = k (σ² + D²) Po r e j em p l o, en el pr oc es o A l a vari anza de l a c a ra c t e rís ti c a d e c a l id a d e s de 0 .0 00 2 y D² = 0 , y a qu e el valor m edio es igual al objet ivo. Por lo que, EL(x ) = 125,000 (0.0002 +0) = 25

EL(x ) = k (σ² + D²) σ² = (0.48 – 0.5)² + (0.49 - 0.5)² + (0.50 – 0.5)² + (0.51 – 0.5 )² + (0.52 – 0.5 )² / 5 σ² = 0.0002 ²=

–

D² = 0.5 – 0.5 = 0 EL(x ) = k (σ² + D²) EL(x ) = 125,000(0.0002 – 0) EL(x ) = 25

La pérdida esperada d a u n a me d i da d e l a v ar i a ci ó n i nd e p en d i ent e d e lo s l ím i t es de e sp e c i fi c a c ió n . Es t a m e d i da h ac e h i n ca p i é en u n a me j o r a co n ti n ua p or q u e el p ro d u ct o “ c u m p l e c o n l a s especificaciones”.

No t odas l as c ar ac t er íst ic as de c ali dad t ienen o bj e t i vo s n o mi n a le s c o n t o l er a n ci a s a a m b os l a d o s. En a lg un os c a so s, c o m o l as i m pu re za s e n u n p ro c es o quím i c o o el c o nsu m o de c o m bus t ibl e, “ m e nor es m e j o r ” ; e n o t r o s , “ m a y or e s m e j or ” , c o m o p o r e j e m p l o, l a r es i s te n c i a a l a r up t u ra o l a v i da d el p r od u c t o . L (x ) = k x ² L (x ) = k ( 1 / x ² )

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“ m e nor e s m e jo r” “ m a y or e s m e j o r ”

El s ig u i en t e ej e m pl o m u es t r a c ó m o s e pu e d e u t i l iz a r la f unc ión de pér di da Ta guc hi par a es t abl ec er   tolerancias.

La velocidad deseada para la cinta de casete es de 1 .8 75 p ul ga da s p or s e gu nd o. Cu al qu ie r d es vi ac i ó n , p or l o ta n t o m a l a ca l i da d s on o r a. S u po n g a q u e aj u s t a r   la velocidad de una cinta con garantía, cuando un c l i e n t e s e q u ej a y d ev u el v e e l r e p r o du c t o r d e c a s e t e s , c ues t a al fa bri c ant e 20 dól ar es . Con bas e e n l a información anterior, la empresa sabe que el cliente p ro m e d io de v ol v er á e l r e p ro d u ct o r s i l a v e lo c i da d d e l a c int a está fuera de objet ivo por lo menos 0.15 pulgadas por segundo. La constante de la función pérdida se c a l cu l a de l a m a ne r a :

20 = k (0.15)² k = 888.9 y por lo tant o, la funci ón de pérdida es L(x ) = 888.9(x – 1.875)² En f á br i c a e l a j us t e s e p u ed e l l ev a r a c a bo a u n m u c ho , para hac er el ajust e y pruebas adic ionales. ¿Cuál debe s e r l a t o l er a n c i a a n t e s d e u n a j u s t e h e c h o e n f á br i c a ? Para ut ilizar la func ión de pér dida, haga que L(x ) = $3 y resuelva en func ión de la t oleranc ia: 3 = 888.9(toleranc ia)² Toler anc ia = √3 / 888.9 = 0.058

Po r l o t a n t o , s i l a v e lo c i d ad d e l a c i n t a e st á f ue r a d e e s pe c i fi c a c ió n e n m á s d e 0 .0 58 p u l gad as p o r s e g un d o , r e s u lt a m á s e c o n óm i c o h a c e r e l a j u s t e e n f á b r i c a , po r   lo que las especificaciones deberán ser 1.875±0.058, es dec ir de 1.817 a 1.933.