13 Areas de Regiones Triangulares y Cuadrangulares

G E O M E T R Í A

UNIDAD 13

Áreas I

Teorema

Región plana

Es una porción de plano, limitada por una o más líneas llamada frontera o borde de la región. Una región puede ser abierta o cerrada, estudiaremos las regiones que incluyen la frontera.

b S =a.b a Demostración

a Sx 4S a x = 4ab a–b Sx a–b S x = a·b a Sx b Sx a b

b 2 2 4S x+(a–b) = (a+b)

No convexo

m

at

Postulado del área

ic

Convexo

a1 .c

om

b

w

w

.M

at e

A cada región le corresponde exactamente un número real positivo llamado área.

w

Unidad cuadrada

S 1u S = 1 u2

Área de una región triangular S=

h b

1u

L S S = L2

L

b

c S x= Sx

α°

Teorema de Herón a p = c Sx

Postulado de congruencia

bc ⋅ Sen α 2

b

1

L L n(1) = L ⇒ S = n2 = L2

a+b+c 2

b

S S

h

Dos lados y el ángulo entre ellos

Postulado de la unidad

S

b⋅h 2

S S

U N F V – C E P R E V I

S

Sx = p(p − a)(p − b)(p − c )

73

G E O M E T R Í A

En función del inradio p =

Relación de áreas de regiones triangulares

a+b+c 2

a c S =p·r r

c a S2 S α° 1 α° b d

b

En triángulos semejantes

En función del circunradio B

c

O

A

C

b

B

B

a ⋅b ⋅c 4R

R a

S ABC = c A

S1 a ⋅ b = S2 c ⋅ d

α°

~

a

h b

β°

c’

a’

h’

α°

C A

b’

β°

C

SABC = ra(p–a)

k : Razón de semejanza

= rb(p–b)

A

Propiedades

1. S1

at e

C

w

w

.M

S1

a

h b

S =

a⋅c S 2

=

b ⋅h 2

m n

n

2. S1 = c α° α° a S2 a c S2 S1 3.

Teorema de Burlet

S

S = m·n m

=

S2

m

w

En un triángulo rectángulo c

S2

m

a S ABC = rc(p–c)

a1 .c

ABC

ic

ra S

at

B

om

En función del exradio

2 2 2 2 S ABC = a = b = c = h = ... = k 2 S A 'B'C' (a')2 (b')2 (c ')2 (h')2

S

4.

n

En un triángulo equilátero 2

S

S

S S

a 3 a 60° a S x= 4 Sx 60° 60° a

S

74

U N F V – C E P R E V I

S

G E O M E T R Í A

5.

S

1 S 1+S2 = Sx =

x

Sx

x y

S2

y

S1 Sx S S1 ⋅ S2 x S x= S2

Área de regiones cuadrangulares cuadrilátero cualquiera C

B



α°

A

SABCD =

AC ⋅ BD ⋅ Sen α 2

S

1 S x=

Sx

S1 + S2 ST = 2 3

S2

D

Nota: Si: α = 90º.

En paralelogramos

B

C

AC ⋅ BD 2

b

om

SABCD =

Sx = b . h Sx B h S x=B.h H

ic

a1 .c

A

S

S

2

S4

S

Punto cualquiera

w

w

w

S3 S 1·S2 = S3·S4 S

S

S S

.M

at e

Propiedades para todo cuadrilátero

m

at

D

S1

ST 2

S1

S2

Sx = S1+S2 = S x

S2

S3

x=

Sx

S1+S2 = S3+S4=

S x ST = 4 2

En trapecios S=m.h m

ST 5 x

x

S4

S1

ST 2

Rombo B

SABCD = A

AC ⋅ BD 2

C

h

D U N F V – C E P R E V I

75

G E O M E T R Í A

Problemas Aplicativos

6. Calcule el área de la región sombreada. a) 8 3 α α b) 6 2 8 c) 36 6 d) 2 6 e) 3 15 7

1. Calcule el área de la región triangular BOA. Si: AB=L3 a) 8 3 A b) 12 3 6 c) 2 3 d) 9 3 O e) 3 3 B

7. Calcule el área de la región sombreada. a) 36 b) 48 c) 54 d) 72 15 13 e) 63

2. Calcule el área de la región sombreada, AB=L6 A a) 2 3 b) 8 3 4 c) 6 3 B d) 12 3 e) 15 3

ic

a1 .c

om

8. Calcule el área de la región cuadrada. a) 12 b) 25 c) 16 d) 36 e) 9

at

3. Calcule el área de la región sombreada. Si A es punto de tangencia. a) 9 3 b) 12 3 c) 4 3 d) 5 3 4 e) 6 3 5

14

1

9. Calcule el área de la región cuadrada.

w

w

w

.M

at e

m

8

4. En la siguiente figura, calcule el área de la región triangular. a) 12 3 4 b) 6 3 c) 3 3 9 d) 9 3 e) 18 3 5. En la siguiente figura, calcule “a”. a) 8 6 α b) 9 c) 24 d) 10 α e) 12 2 76

4

16

a) 128 d) 64

b) 48 e) 32

c) 28

10. Calcule el área de la región rectangular ABCD, si AD=2AB. a) 72 C b) 36 D c) 24 d) 18 e) 12 B A 3

9

U N F V – C E P R E V I

G E O M E T R Í A

Problemas Propuestos

11. Calcule el área de la región sombreada. a) 36 b) 18 c) 24 P Q d) 72 O e) 39 9 4 A

1. Calcular el área de una región triangular ABC, donde AB=10u; AC=12u y mA=30°. a) 30 u² b) 45 u² c) 48 u² d) 60 u² e) 75 u² 2. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 36u, calcular el área correspondiente si un ángulo mide 37°. a) 36 u² b) 48 u² c) 54 u² d) 86 u² e) 108 u²

T

12. Calcule el área de la región sombreada. a) 96 B b) 84 c) 108 15 d) 134 e) 126 53° 45° A

w

w

w

.M

14. En la siguiente figura, calcule el área de la región sombreada. a) 16 b) 24 2 c) 28 d) 64 4 e) 32 4 15. Calcule el sombreada.

área

de

la

5

región a) 48 b) 15 c) 12 d) 24 e) 36

ic

a1 .c

om

4. En la figura, calcular el área de la región sombreada. B a) 10 u² 2 b) 11 u² C 8 c) 12 u² d) 8 u² α 45° e) 5 u² α P A

at

at e

m

13. Calcule el área de la región sombreada. Si el área del romboide ABCD es 120 m². M B C a) 8 b) 6 c) 12 d) 10 e) 4 A D

3. En la figura, calcular el área de la región sombreada. P a) 16 u² b) 18 u² B c) 20 u² d) 15 u² 37° e) 12 u² A Q 4 C 6

5. Calcular el área de la región sombreada, si O es centro de la circunferencia y T, P y Q son puntos de tangencia. a) 64 u² Q 4 P b) 48 u² c) 30 u² 7 9 O d) 32 u² e) 40 u² A B T 6. Si el área de la región triangular ABC es 80 m². Calcular el área de la región sombreada. B a) 18 u²

A U N F V – C E P R E V I

3a

D

a

C

b) 20 u² c) 25 u² d) 30 u² e) 10 u² 77

G E O M E T R Í A

7. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular PBC es 15 u². B a) 2 u² a b) 3 Q c) 4 u² a d) 5 u² e) 10 u² A C P 2b 3b

12. En la figura, calcular el área de la región sombreada. Si: PC=2; PQ=3 y QD=4. 9 C a) 31 u² B b) 45 u² P c) 54 u² Q d) 59 u² e) 61 u²

8. Si: SDPQB=6 u², PC=2BP y AQ=QC. Calcular: SDABC B a) 42 u² b) 24 u² P c) 28 u² d) 32 u² e) 36 u² A C Q 9. En un romboide ABCD, AB=7 2 BC=10 y la mA=45°. Calcular el área de la región cuadrangular ABCD. a) 25 u² b) 28 u² c) 70 u² d) 35 u² e) 40 u²

13. Si las bases de un trapecio miden 7 cm y 13 cm; y la medida de su altura es de igual medida que su base media. Calcular el área de dicho trapecio. a) 120 u² b) 100 u² c) 140 u² d) 98 u² e) 75 u²

w

w

w

.M

11

D

ic

a1 .c

om

14. Si ABCD es un rombo y AE=24 u. Calcular el área de la región rombal. a) 150u² B C b) 180u² c) 144u² d) 225u² e) 296u² 53° A E D

at

at e

m

10. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 12 B C a) 45 u² 2 b) 48 u² P c) 54 u² d) 73 u² 5 e) 64 u² A D Q 11. Si el perímetro de un rombo es de 52 u y una de sus diagonales mide 10 u, entonces calcular el área de dicho rombo. a) 240 u² b) 169 u² c) 144 u² d) 108 u² e) 120 u²

A

15. En el siguiente paralelogramo ABCD, calcular el área de la región sombreada. a) 18 m² C B b) 15 m² c) 6 m² d) 12 m² e) 9 m² 3 m² A a a D M

CLAVES

78

1.d

2.b

3.a

4.d

5.e

6.e

7.c

8.e

9.d

10.d

11.e

12.e

13.d

14.e

15.b

1.a

2.c

3.b

4.a

5.d

6.b

7.d

8.e

9.c

10.c

11.e

12.d

13.b

14.b

15.d U N F V – C E P R E V I