12.razones y Proporciones

 

CAPÍTULO

XI I

Razone zon es y   proporciones

El pantógrafo pantógrafo es un instrumento instrumento que se utiliza para reproducir figuras a escala.  En la actualida act ualidad d se usa en distintos distintos ámbitos, e en n la construcción de edific edificios ios,, en  la confección de embalajes, en óptica, en talleres de joyería, en lugares en los  que se hacen hace n grabados, para p ara poner pone r el nombre o las iniciales iniciales,, en artículos de  bisutería: bisuterí a: llaveros, gargantillas, anillos, anil los, etc.

 

LAS PROPO RCIONES DEL HOMBRE DE VITRUBIO Vitrubio, el arquitecto, señala en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sig sigue: ue: 4 ded dedos os hacen 1 palm palma, a, 4 palm palmas as 1 pie, 6 palmas palmas 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre y 24 palmas hacen un hombre. Estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. Por ejemplo, si separas las piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos del corazón estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico geo métrico de tus extremidades separadas separadas estará situado situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos exten didos de un hombre es igua iguall a su altura. Desd D esde e el nacimiento del pelo hasta la punta d de e la barbill barbilla a es la décima parte de la altura de un hombre. Desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura y desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sex sexto to de un hombre. Desd Desde e la parte superio superiorr del pecho pecho a all nacimiento del pelo ser será á la séptima parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre y desde el codo al ángulo de la axila, será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre, mientras que el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro. La anterior ante rior es la traducción completa del tex texto to que acompaña a all Hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci. En realidad, es una traducción de las palabras de Vitrubio, pues el dibujo de Leonardo fue originalmente una ilustración para un libro sobre las obras de Vitrubio. El Hombre de Vitrubio  es probablemente una de las imágenes más famosas y reconocibles de Leonardo. (En el Código Da Vinci es también la obra de Da Vinci favorita de Sophi Neveu y es, asimismo, la postura en la que su abuelo lacques Sauniére colocó su cuerpo antes de morir). Carteles con la imagen del hombre con dos pares de brazos extendidos y dos pares de piernas también extendidas han adornado muchas paredes durante al menos un par de generaciones. Vitrubio Vitr ubio fue un esc escrit ritor; or; ingeniero y arquite arquitecto cto ro romano mano de fin finales ales del siglo siglo I a.n.e a.n.e.. y principios de dell siglo sig lo I de nuestra era. Su único único libr libro o existente. De Arc Archite hitextur xtura, a, contiene diez enormes capí capítulos tulos enciclopédicos en los cuales trata distintos aspectos de la planificación, ingeniería y arquitectura de la ciudad romana, pero también una sección acerca de las proporciones humanas. Su redescubrimiento y su renovado auge durante el Renacimiento alimentaron el crecimiento del clasicismo durante aquel periodo, e incluso en los posteriores. La composición del Hombre de Vitrubio, tal como fue ilustrada por Leonardo da Vinci, se basa por entero en el tratado del propio Vitrubio citado anteriormente sobre las dimensiones del cuerpo humano, que ha probado ser una buena parte conecto. El énfasis se pone, al construir la composición, en la racionalización de la geometría, por medio de la aplicación de números enteros pequeños. El hombre de Vitrubio es un claro ejemplo del enfoque globalizador de Leonardo, que se desarrolló muy rápidamente durante la segunda mitad de la década de 1480. Trataba de vincular la arquitectura y el cuerpo humano, un aspecto de su interpretación de la naturaleza y del lugar de la humanidad en el plan global de las cosas. En este dibujo representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más importante era vincular lo que descubría en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza. F U EN TE: www.portalplanetasedna.com.ar/d¡v¡na_proporc¡ón.htm

 

  Razones y ---  proporciones

— / 

OBJETIVOS

• •

Compar Comparar ar cantidades med mediante iante la sustracción o divi división. sión. Formar un a proporción, aritmética, geométrica o arm armónic ónica. a.

• •

Aplicar principal principalmente mente la las s propieda propiedades des de llas as proporciones aritméticas y geométricas geométricas.. Formar una un a s seri erie e de razone razones sg geométricas eométricas equivalen equivalentes tes y el estudio de la las s propiedades que s se e

•

cum plen en dicha se seri rie e. Aplicar de man maner era a ade adecua cuada da las propiedades en la resolución de problemas.

INTRODUCCIÓN

Un número nada fácil de imaginar que conviva con la humanidad porque se encuentra en la naturaleza naturale za y, desde la é époc poca a grieg griega a hasta nues nuestros tros días, en el ar arte te y e ell diseño, es el llama lla mado do el núm númer ero o de oro o secci se cción ón áu áurea rea.. Este Este,, cuyo valor se encue encuentr ntra ad dad ado o po porr ((jj>=1,618 ,618..., ..., se deno denota ta co con n la letra griega 0 . La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón, es decir, la medida del segmento menor es a la medida del segmento mayor como este es a la medida del segmento total. Porr ejempl Po ejemplo, o, tomamos un segmento de longitu longitud d uno y hacemos con él lo indicado ante anteriorm riormente ente:: i--------------------------------------------- . ------------------------------------ 1

x 1

Entonces, tendremos

positiva es  x =  

'

-x

X

1

 - x  ?

--- = — , de lo c cual ual s se e obtendrá la ecuación  x + x - 1=0 cuya solucion

x

1

^ —— ——=0,618... =0,618...

Si ahora hallam hallamos os la relación de las medid medidas as entr entre e el mayor y el men menor or segmento, se obtend obtendrá rá =1,618.. 18.... (nú (númer mero o de oro). ---- =1,6

-x El número áureo aparece en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos. Si 1

medimos med imos de nuestra cabeza al ombligo y del ombligo a los pies pies,, obtendremos un cocien cociente te basta bastante nte cercano a 1,618.

523  

Lumbreras Editores

Aritmética

RAZÓN DEFINICIÓN

Hace  5 años

Actual

José María

37 9

42 14

50

Diferencia de edades

28

28

28

Es la comparació compar ación n de dos cantidades cant idades mediante mediante un una a operación aritmética (sustracción -divis -división). ión).

CLA SES DE RAZ RAZÓN ÓN Razón aritmética Es la compara comp aració ción n de dos cantidades mediante media nte

2 2

i La diferencia de edades se mantiene i i constante a travé través s del tiempo tie mpo (cuan ( cuando do se se ¡ i refieren a las mi misma smas s personas). i

la sustracción. Consiste en determinar en cuántas unidades unidade s una un a cantidad can tidad excede a la otra otra.. Si las cantidades son a y fe, su razón aritmética será

Dentro de  8 años

2. a-b=r

Los ciclistas cicli stas A  y B  se desplazan con velocidades de 16 m/s y 1 2   m/s, respec tivamente. Hallemos la razón aritmética de dichas velocidades. velocidades.

a 

: antecedent ante cedente e

b

:  consecuente

r

:  valor de la razón aritmética

Resolución

16 m/s -12m/s = 4m/s Interpretación

Ejemplos

1.

•

La ed edad ad de José Jos é es es 42 años año s y la ed edad ad de María María es 14 años. Hallemos la razón aritmética de sus edades. Resolución

42-14=28 Interpretación •

La edad de José excede a la edad de María en 28 años.

• •

La edad eda d de María es excedida por la edad de José en 28 años. años. La edad de José es ma mayor yor en 28 años a la edad de María. María.

Aprovechemos el ejemplo para observar lo siguiente co con n respecto de las edades de

La velocidad del ciclista ciclista A  excede en 4 m/s a la velocidad del ciclista B,  es de decir cir,, en un u n segundo seg undo A recorr  recorre e 4 m más má s queS.

Razón geométrica Es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene a cierta cierta unid ad de referenc referencia. ia. Si las cantidades son a   y b,  su razón geométrica geométr ica será será

a

:  antecedente

José y María. María.

b  K

: consecuente consecue nte :  valor de la razón geométrica

524  

CA P ÍTULO XII

R a z o n e s y p r o p o r c io n e s Resolución

Ejemplos

1.

Hallemos Hallemo s la razón geométrica geomét rica con co n respecto de las las edades del ejemplo ejempl o 1 . Resolución edad de José 42 3 edad ed ad de María 14 1

velocidad del ciclista A  16m/s_4 velocidad del ciclista B  12 m/s m/ s 3 Interpretación •

Interpretación La razón geométrica de las edades de José y María es 3. Las La s edades eda des de José y María están en la   relación de 3 a 1. Las edades de José y María son como 3 es a 1 . La edad de José es tres veces la edad de María. La edad de José es el triple de la edad de María. La edad eda d de María es es la tercera parte de la edad de José. José. son n  Las edades de José y María so proporcionales a 3 y 1. Por cada 3 años que tiene José, María tiene 1   año. veces más que La edad de José es dos veces la edad eda d de María. María. Veamos que dado el 1141 entonces, se se

•

Las velocid velo cidades ades de los ciclistas A y B  están en la relación de 4 a 3, respectivamente. Las velocidades velocid ades de los ciclistas A  y B  son como 4 es a 3.

•

• •

Las velocidades de los ciclistas A y B  son proporcionales a 4 y 3, respectivamente. La velocidad veloc idad del ciclista A es como 4 y la velocidad del ciclista B es como 3. Por Por cada 4 m que recorre recorre A, B recorre 3 m.

Aprovechando este ejemplo, observemos qué sucede con los espacios recorridos, en un mismo tiempo, por los ciclistas AyB .

Tiempo

5s

eA

80 m

160 m

240 m

320 m

eB

60 m

1 2 0

 m

180 m

240 m

1 0

 s

15 s

2 0

 s

eA:  Espacio recorrido por el ciclista A.

tiene dos veces más

eB: Espacio Espaci o recorrido recor rido por el ciclista B. Veamos la relación de espacios recorridos

14 14 14

en un mismo mism o tiempo. tiempo.

Significa 3x14=42

eA  80 160 240 320 4 uA e~B“ 60“ 120" I8Ó- 240" 3 ~ vB

;::r

:A

*

| .*#»' 1ip(N’j * vcz más má s < > 2 veces 2 ve vece ces s más o 3 ve vece ces s n ve  veces más más o

iJ i

J

vA : Velocidad del ciclista A  vB :  Velocidad del ciclista B

(n+1 ) veces Podemos señalar que a velocidad constante los espacios espacios reco recorrido rridos s en un u n mismo m ismo tiempo tiemp o

2.

Hallemos la razón geométrica con respecto respecto de las velocidades de los ciclistas A y B del ejemplo 2 .

se encuentran encuentran en la l a misma mism a relación que su sus s velocidades.

525  

Lumbreras Editores Razón armón ica ica Es la comparación de las inversas de dos cantidades mediante la sustracción Si las las cantidades cantida des son a y fe, su razón arm a rmón ónic ica a será

Aritmética Aplicación 1

La razón aritmética de 2 cantidades es 5 y su razón armónica es 1/100. Halle su razón geométrica. Resolución Sean a   y b  las cantidades. cantidades .

Se tiene lo siguiente • a - b = 5 —> a = b +5 J ____1 _

1

b ~ a ~  1 0 0 a:  antecedente

fe:

consecuente

h:  valor de la razón armónica. armó nica.

Reemplazamos 1

 

1

 

1

b ~ b + 5 ~   100 Ejemplos 1. José hace hac e una obra en 12 días y María hace

el mismo trabajo en 18 días. Hallemos la razón armónica armó nica de dichas cantidades. cantidades. J ____ 1 _ _ J _ 12

5

1

fe2+ 5fe 5fe _ 100

500=fe2+5fe 5 0 0 = fe(fe+ 5) 20  

18~36

2 5 

-2 5   -20 

Interpretación • •

2.

Lo que avanza José Jos é en un día es 1/36 /36 más de lo que avanza María María en un día. Lo que avanza José en un día excede excede un 1/36 a lo que avanza María en un día.

Un caño cañ o llena un u n tanque tan que en 20 h y un desagüe en el fondo del tanque lo vacía en 30 h. Hallemos la razón armónica de dichas cantidades.

/

->

¿>=2 0 ; a = 2 5

»

Nos No s piden pide n a 

25

b ~   20 a  5 fe fe_ _ 4'

Aplicación 2

La relación entre entre las las temperaturas de las las ciudades ciudade s de Lima y Trujillo es de 5 a 7, respectivamente. Si la mayor temperatura es 21°, halle la menor temperatura.

J ____ 1 _ _ J _ 20 30 “ 60

Resolución

Asumimos Interpretación • Lo que llena el tanque en 1 hora es 1/6 /60 0

L : Temperatura en Lima. Temper atura en Trujillo. Trujillo. T : Temperatura

•

más de lo que qu e vacía el desagüe en 1  hora. Al abrir el ca caño ño y el desagüe desagü e del tanque tanq ue

A mayor temperatura le corresponde mayor

a la vez, vez, todo t odo se llena en 60 horas.

valor y a menor me nor temperatura men m enor or va valo lor. r.

Según el texto, tendremos lo siguiente:

526  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII

Como Com o el total total de personas es es dato, tendremos que q ue

Luego L _  5

3K+4K=9\

T = 7

7K=9\

La mayor temperatura será en Trujillo, es decir, 21 ° .

K=\3

Finalmente

Reemplazamos L 

5

V'=3(13)=39

5x3

M=4(13)=52

2Í _ 7 _ 7 x 3

Por lo tanto, el número de varones es 39 y el de

■ l jt

mujeres es 52.

Multiplicamos por 3

.

,

,

«««i

Segunda forma

Sean

Número Núm ero de varones : V  Número de mujeres: M

Al multiplicar ambos términos de la razón por 3, esta no se altera; pero ello nos permitirá hallar el valor de la temperatura > en Lim ima a. De ahí L - ll  2\~  2 1

¿=15.

Por dato V_3 M~ 4

De lo anterior anterior indicamos indicam os lo que sigue sigue:: Los varones son como 3 y las mujeres como 4, entonces, entonce s, el total total de personas sería com co m o 7; pero del dato dat o sabemos sabe mos que q ue en e n total hay 91 personas y podríam pod ríamos os expresarlo expresarlo co m o 91 = 7 x (13) (13).. unidad de referencia

Por lo tanto, la meno me norr temperatur tempe ratura a es 15°. 15°. De ahí tendríamos tendríam os Aplicación 3 Aplicación En una reunión se observa que por cada tres

varones hay cuatro mujeres. Si en total han participado 91 personas, ¿cuántos varones y mujeres hay en dicha reunión? Resolución   Primera form form a

Sean

Número Núm ero de varones : V  Número de mujeres: M

Por dato nos dicen V 3  

__

(relación entre varones y mujeres)

3(13) M ~  4(13) V

Finalmente V'=3(13)=39 (núme (nú mero ro total total de varones) M=4(13)=52 (número total de mujeres) Aplicación 4 Las edades de Janet e Iván están en la relación

de 7 a 4, respectivamente. Si Janet es 21 años mayorr que Iván, calcule la edad de Iván. mayo Iván.

_

M 4

Resolución

Luego, afirmaremos que V=3K

(cantidades (cantida des reales de varones y mujeres)

M=4K

Sean J: Edad de Janet. /: Edad de Iván.

527  

Lumbreras Editores

Aritmética

Por dato

Por dato A _  5

í- l  r  4

Como Co mo Janet es mayor que Iván por 21 21 años, ello significa signific a que J - I  es igual a 21. De lo anterior tendríamos lo siguiente:

B~  3 Como el volumen de A es com o 5 y el el volumen volume n

de B es como 3, entonces, el volumen total es como 8 . Pero, por dato, el volumen total inicial es 72 y lo expresar ex presaremos emos así

J = l n   y I=4n  

72=8x(9)

Como

unidad de referencia

J - I = 21

7n-4rc=21

Entonces, tendremos Entonces, tendre mos 45 (volumen (volum en de alcohol alcoh ol al inicio) A = 5(9) = 45 = 3(9) 3(9) = 27 (volumen (volum en de agua al inicio) 6

3/7=21 n=7 /=4(7)=28 Por lo tanto, la eda e dad d de Iván es 28 años.

agua

27 L

Otra forma

alcohol

45 L

se va a agregar x litros de agua

27+x 45 L

agua alcohol

Se observa que J   es como 7 e / es como 4, entonces, J - I  es como 3, pero al saber que J - I   es 21, podemo pode mos s escribirlo así: así: 21 = 3x( 3x(7) 7)..

Luego

unidad de referencia

J   7(7) / _ 4(7)

Nos dicen que la relación al final sería de 9 a 10 (alcohol y agua, agua, respectivamente), por lo que así tendremos 27+x 

10

10x(5 10 x(5))

45 _ 9 9x(5) 9x( 5) T   _______________ T iguales

De ahí 7=49 e /=28 Porr lo tanto, la edad Po eda d d de e Iván I ván es 28 años. Aplicación  5

En un bidón se tienen 72 litros de una mezcla de alcohol y agua, en la relación de 5 a 3, respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se

Hemos multiplicado por 5 con la finalidad de tener el consecuente de la primera razón e igualar los antecedentes, ya que tendríamos la mism a razón. razón. De ahí 27+x=50 -> x=23 Por lo tanto, se deben agregar 23 litros de agua.

deben deb en agregar para que qu e la relación relaci ón sea de 9 a 10? Aplicación 6

Resolución

Como Com o el alcohol y el el agua están en la relación relació n de 5 a 3, inicialmente tendremos tendremo s lo siguiente: siguiente: A: Volumen de alcohol (al inicio). B : Volumen de agua (al inicio).

Las velocidades de dos ciclistas ciclistas A y B son entre sí como 5 es a 11. Si se dirigen uno al encuentro del otro sobre una misma vía recta y al cabo de una hora están separados 240 m, ¿cuánto tiempo más debe transcurr transcurrir ir para q que ue se encuentren? Considere que inicialmente estaban distanciados 400 m.

528  

CAPÍTULO XII

Razones y proporciones

Resolución Recuerde que los espacios recorridos en un mismo tiempo están en la misma relación de las velocidades, pero cuando se desplazan a

velocidad constante. constante. Veamos qué sucede al cabo de una hora: Como todavía están separados 240 m, significa que entre los dos dos ya han recorrido recor rido 160 m de la distancia distan cia total, que qu e era 400 400 m. A

Asíí tenemos As tenem os d'A  _ 5(15) d'B 

11(15)

d'A =75 m d'B =165 m

Luego se puede observar que A ha  h a recorrido recorrido en una hora 50 m, y para recorrer 75 m se habrá

B

demorado una hora y media. Finalmente, nos preguntan cuánto tiempo más debe transcurrir, dA 

1 — 240 240 m — I dB I------------------------------------- 400 m ---------------

entonces, este este tiempo tiem po será 1 h y 30 min. 1

Aplicación 7

Del gráfico dA+dB=\60 m

Además, sabemos que d B  11

(relación de velocidades igual a rela relación ción de espacios)

Actualmente, las edades de dos personas están en la relación de 8  a 1 1  y dentro de 1 0  años en la relación de 7 a 9. Determine en qué relación se encontraban dichas edades hace 4 años.

Se observa observa que dA+dB es como co mo 16, pero del gráfico obtenemos dA+dg= 160, 60, lo cual c ual es 160=16(10). 160=16(1 0). unidad de referencia

Luego dA_ dA _  5(10) dB  11( 10)

Resolución

En principio, debemos tener presente que la diferencia de edades entre entre dos personas siempre es constante. Vamos a tener en cuenta esto para la relación de edades en el presente y el futuro. Veamos

De ahí ¿4=50111 y efs = 1

Sean las personas A y B 1 0

m

Trabajemos en el tramo que falta recorrer, es decir, 240 m.

¿y ■

I

dA 

240 m I

« '¿id'B 

Presente A

8

 (

)

7(

)

B

11 (

)

9(

)

I Se observa del recuadro

Como Co mo la velocidad velocida d es constante constante

Futuro

11-8=3 (en el pres presente) ente)

11 8 3 (en el pres presente) ente) 9-7=2 (en el futuro)

4LJL  d ’B  i i

De ahí que d'A +d'B com o +d'B =240 m, pero dA+dB es como 16, es decir, 240=16 240 =16(15 (15). ).

Las diferencias deben ser iguales, para ello hacemos 3(2)) = 11 (2 )—8(2) 3(2 8(2 )

unidad de referencia

2(3)=9(3)-7(3)

529  

Lumbreras Editores

A r itm é tic a

Regresando al recuadro, ahora tendremos lo

Aplicación 8

siguiente:

Se tienen 20 litros de un vino, cuyo precio por litro es S/./4, y 30 litros de otro vino, cuyo Presente

A

16 ( )

B

2 2

F uturo

precio por litro es S/.B. ¿Cuántos litros deben

 ( )

intercambiarse de manera que ambos tipos de

2 1

vino resulten resulten de la mism mis m a calidad?

 ( )

27 ( ) Resolución

Ahora sí, la diferencia en cada tiempo es constante; pero no podemos decir que estas son las edades en los tiempos mencionados, ya que por dato entre el presente y el futuro debe haber

1 0

 años, lo cual no se da y entonces las

edades todavía no se conocen. La diferencia entre 21 y 16 es 5, al igual que entre 27 y 22. Para que la diferencia sea 10, solo tendríamos que multiplicar por

2

; entonces

multipliquemos multipliqu emos por dos en nuestro nuestro recuadro recuadro . 10 años

Cuando de una jarra con limonada extraemos un poco en un vaso, se observa que el líquido contenido en la jarra y en el vaso, pese a tener volúmenes diferentes es del mism mi smo o color, color, sabor, sabor, etc. Esto Esto se debe a que los ingredientes, tanto en la jarra como en el vaso, se encuentran en la misma relación. Luego, en el problema tenemos

Presente

Futuro

A

32

42

B

44

54 2 0

Observemos ahora que el tiempo transcurrido del presente al futuro es

1 0

  años; y como

30 litros

 litros x litros

S/.A

S/.B

contamos contam os con co n las edades exactas exactas en lo los s tiempos

Supongamos que vamos a intercambiar x litros;

mencionados, hallamos las edades hace 4 años;

entonces, tendremos

así tenemos Hace 4 años .4 : 32-4 32 -4=2 =28 8

S/.B

X

S/.B

30-x

S/.A /.A

B :  44-4=40

La relación será

2 0

S/.A

-x

X

28_7_

Para que sean de la misma calidad, los precios de sus ingredientes deben estar en la misma

40_ 40 _ 10

relación; así tendremos x 

Por lo tanto, hace 4 años sus edades estaban en la relación de 7 a 10.

2 0

30-x

-x

5300 53  

CAPÍTULO XII

Razones y proporciones Además, el número de mujeres que bailan es al número de hombres que no bailan como 7 es a 5. Si en ese momento había 414 personas en la

Si tenemos

fíp(N ) -

20 40 2 30 = 60~3 60~3 entonces también 20+40 30+60

i

60 2 90 3

fiesta fie sta,, ¿cuántas mujeres muj eres no bailaban? Resolución

En el caso de que nos mencionen que hay personas que están bailando, asumiremos que el número de hombres que bailan es igual al de las mujeres que q ue bailan.

Luego, por lo anterior

2

Luego, en el problema tendremos H o m b re s

x 30-x x+(30-x) 0 -x x (2 0 -x)+x

Bailan

Es decir x 2 0

30-x 30- x 30 3

-x

x

No ba ilan

30-x 3 -x x ~2

Trabajamos con x 2 0

-x_

a

©

©

0

12 

11

20~2

De ahí

2 0

M ujeres

El recuadro lo hemos completado según los datos. En el caso de que no hubiesen coincidido hombres y mujeres que bailan, se multiplicaría

3

a cada uno por cierta cantidad con la finalidad de que q ue coincida coin cida y, y, a la vez, vez, tam bién bié n se trabajaría trabajaría

2

En la primera razón, la suma de términos es 20

con el resto de valores.

y en la segunda razón, la suma de términos es

El número núm ero de hombres hom bres es como com o 12, el el de mujeres

como 5, pero 20=5(4).

como

unidad de referencia

Luego

1 1

 y el total sería sería com o 23; pero por po r dato el

total de personas es 414, entonces, 414=23(18). unidad de referencia

20-x

3(4) 12 r= —

2(4)

—»

Asíí tendremos As tendremo s

X= 12

8

Hombres

Mujeres

Bailan

7x18

7x18

No bailan

5x18

4x18

Por consiguiente, se deben intercambiar 12 litros. Aplicación Aplicaci ón 9

En un determinado momento de una fiesta, el número de hombres que están bailando es al núm ero de mujeres que qu e no bailan baila n com o 7 es a 4. 4.

Del recuadro se observa que 4x18=72 mujeres no bailan.

531  

Lumbreras Editores

A r it m é t i c a

PROPORCIÓN Ejemplo Halle la l a cuarta cua rta difer di ferenc encial ial de d e 5; 11 11 y 13 13. Veamos

DEFINICIÓN

Es la igualdad igualda d de dos razones razones de una misma mis ma clase (aritmética, geométrica o armónica) que tengan el mismo mis mo valor valor de la razón.

CLASES DE PROPORCIÓN  

5-ll=13-x x=19 •

Proporción aritmética

Continua.  (Términos medios iguales iguales))

1

Es la igualdad iguald ad entre dos razones aritméticas. Ejemplo Si 35 excede a 23 tanto como 30 excede a 18, se

1

  er

2

 d°  d°

3

/'r /' r

Propiedad

Como 35-23=30-18 entonces 35+18=30+23 términos términos extremos medios

Por lo tanto

c : La tercera diferencial de a y b. b.  b  : La med c.. media ia diferencial de a y c

I

Sea x la me media dia diferencial, entonces, entonces, tenemos tenem os

4.to 4.to (tér (términ minos os diferentes) diferent es)

donde 35 y 30 : antecedentes 23 y 18 18 : conse con secu cuen entes tes 35 y 18 18 : térmi tér mino nos s extremos extr emos 23 y 30 : términos térmi nos medio me dios s

i

Ejemplo Halle la med m edia ia diferencial diferencia l de 60 y 24.

puede pue de escrib escribir ir 35-23 = 30-18 1  l i

a - b = b - c 

60-x=x-24 60+24 2

x=42 Propiedad

i En una proporción proporció n aritmética aritméti ca cont continu inua a i i se cu cumpl mple. e. ¡

i

a+c 

f j -   ----  

2

¡

,

!

Aplicación 10 Los pesos de cuatro personas forman una

proporción aritmética, en la que los términos

¡ suma de términos = i extremos

su suma ma de ¡ términos medios med ios ¡

Tipos Tip os de pro po rción aritmétic aritmética a

•

Discreta.   (Términos medios diferentes) diferentes) a-b=c-d

; b 

extremos están en la relación de 3 a 7 y los términos medios en la relación de 7 a 5, respectivamente. Halle la media diferencial de los términos extremos de dicha proporción, si las personas pesan menos de 50 kg. Resolución Sea la proporc proporción ión aritmética a - b = c - d  l i l i 3 n -7 K = 5 K - 7 n  

d   : Es la cuarta diferencial de a ,b  y c.

en la cual a , b , c y d son los pesos de d e las personas. personas.

532  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII Por propiedad (suma de extremos igual a suma

a+c=2b

de medios) 3n +

In  = SK   + + 7K  

lOn = \2K I I 6

Luego

5 (debid o a que pesan menos men os de 50 kg)

b a-c=— 2

De ahí sumand sum ando o tendremos

c)

Se observa que K es 5, pero p ero si fuera 10, 10, uno un o de los pesos ya sería mayor que 50, por lo que K  solo puede pu ede ser 5. Reemplazando 18-35 = 25-42 Luego, si x es la media diferencial de los extremos (18; (18; 42), 42), tendremo tend remos s

« = \b

Restando tendremos 3b 2c= —

„

C = —¿3 ((c ce es s la menor meno r edad) edad )

18-x=x-42 18+42

Como Com o queremos la menor meno r solución, solución, y por condición

X_

c > 18 (mayores de edad), diremos que c=18

2 x=30

Aplicación 11 Las edades de tres parientes forman una proporción aritmética continua en la que sus edades coinciden numéricamente con las medidas de los lados de un triángulo triáng ulo rectángulo. Determine Determi ne la edad del segundo hermano, si todos tienen edades menores a 1 0 0 , pero todos son mayores

(mínimo); (míni mo); así tendremos tendremos 18=\b 4 6=24 y a=30 Por lo tanto, la edad del segundo hermano es 24años. año s.

Proporción Proporc ión geom étrica Es la igualdad de dos razones geométricas.

de edad. Dé como respuesta la menor solución. Resolución Sean a , b y c  las edades, luego a-b=b-c; a > b > c  

Porr propiedad Po propie dad

Ejemplo

Si un hombre gana S/.35 por semana, ¿cuánto tiempo tiem po tendrá que trabajar trabajar para ganar S/.38 /.385 5? Resolución

a+c=2b

En una sem s emana ana gana ga na S/.3 S/.35 5, y co como mo en x semanas semanas

Se cumple por ser lados de un triángulo

gana ga na S/.38 S/.385 5

rectángulo que 35= 385 385

a2=c2+b2 a2-c2=b2  (ia+c)(a-c)=b2  pero a+c=2b  

=

1 1

  semanas

Sean 3. 3.""

1."

2.

De ahí 1 2

*

b{a-b)=b2

 y

1 1

 

— 35

385

4.

: antecedentes antece dentes

35 y 385 : consecu cons ecuent entes es 1 y 385 385 35y 11

b a-c=— 2

: término térm inos s extremos : térmi tér mino nos s m ed edio ios s

533  

Lumbreras Editores

Aritmética

Propiedad

Ejemplo

Como

Halle la media proporcional de 9 y 25. Supongamos que x es la media med ia proporcional, entonces, tendremos 9 _ x  x~25

1  _ 11

35 ~ 385 entonces 1 x 385 = 35 x 11

De ahí 25 .-. x= x=1 15.

jc2= 9 x

términos términos extremos medios

Por lo tanto Propiedad

producto de términos extremos

producto de términos medios

En una proporción geométrica continua se cumple que b^'Jac

Tipos Tip os de pro po rción geom étri étrica ca

•

Discreta.  (Términos medios diferen diferentes) tes)

Aplicación 12

Lo que gana y lo que gasta una persona están en la l a relac relación ión de 11 a 5 5.. Si Si esta per person sona a ahorr ahorra a por día 150 soles, determine en cuánto debe disminuir su gasto diario para que la relación entre lo que gana y gasta sea de 55 a 8 .

d  : La cuarta proporci proporcional onal de a, b y c.  Ejemplo

Halle la cuarta proporcional de 4;

8

 y

6

.

Resolución

Sea x la cuarta proporcional, entonces

Vemos

tendremos

•

4 _6

Si lo qu que e gana es c om omo o 1 11 1 y lo que gasta es com o 5 5,, entonce entonces, s, lo que ahorra es como 6 ;

pero él ahorra ahor ra por día S/.1 S/.150 50 (150=6(25 (150=6(25)). )).

S~x

Luego

De ahí 6

ga na =l 1(25)=2 1(25)=275 75

x8 4

gasta=5(25) gasta= 5(25) = 125

x=1 2 .

•

Continua.  (Términos medio medios s iguales iguales)) a _ b  b

Ahora, consi considerem deremos os que lo que gana, 275 soles, es como 55, entonces, 275=55(5). Si de lo que gana, debe gastar como 8 , entonces, gasta 8(5)=40

c

c : Tercera proporcional de a  y b.  b : Media proporcional de a  y c.

Porr lo tanto, sus ga Po gasto stos s de debe ben n dism disminu inuir ir en S/.125 - S/.40 = S/.85

534  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII Aplicación 13

Aplicación 14

Halle Hall e la media med ia proporcional de N y M  si la relación

Se tiene una proporción geométrica discreta

de ¡os ¡os dos dos primeros términos es como co mo 6  es a 15 y

en la que el producto de antecedentes es 126

la diferencia de los consecuente consec uentes s es 45 45.

y el producto de los consecuentes es 350. Si la razón aritmética de los términos medios es 29,

Resolución

determíne la razón geométrica de los términos

Según el enunciado, se trata de una proporción

extremos.

geométrica continua. Resolución

N_x__ 

Se tiene tiene la proporción prop orción geométrica geométr ica discreta discreta

x~ M

Porr dato Po da to yv_

a

c

o

a

— = ~ r = K  (valor de la razón)

A

_

2

15 _ 5 Luego

Como dato dato oxc=126 £>xcí=350

5

Se observa que

También a c  „ -Tx -T x T7=K2 b d Es decir

2 2  2 x=—M y N=—(—M)

Es decir deci r N _ M_ M_ ~4~~25

axc

7=K bxd 

Reemplazamos 126 350 K¿=

=K l

25

Entonces, Ento nces, en la proporción proporció n Luego 4_ 

3m 3n  3 5m   5n  5

c 

3 7T= d"= ~5 a

x iguales

Nos No s dicen dice n que 5m-3r¡=29 y 5m-3r¡=29 | |

De ahí, x es como 10. Pero el dato indica que la diferencia de consecuentes es 45; por ello, como 25-10=15,

7

Por lo tanto, la media proporcional es 30.

2

Finalmente, tendremos

bastará con multiplicar multiplica r por 3. 3. 4(3) 10(3) 10(3) ~ 25(3)

(3m)(3n)=126 (3m)(3n)= 126 m x n =  14

2 1

_jS_

35 “ 10 Por consiguiente, la razón geométrica de los 21 términos extremos es

535  

Lumbreras Editores Aplicación 15

Aritmética Propiedades de la propo rción geométri geométrica ca

En una un a proporción geométrica continua, se cumple que la suma de la raíz cuadrada del producto de antecedentes anteceden tes con la raíz cuadrada del producto de consecuente conse cuentes s es 70 70.. Si los términos y la constante son entero enteros, s, halle la m ed edia ia proporcional. Resolución

Sea lla a proporción geométrica co continua ntinua a b  t =~=K   b c de la cual nos piden b  (med (media ia prop proporciona orcional) l) Se pue puede de observ observar ar que b=cK   a=bK Reemplazamos Reemplazam os el va valor lor de b. 

I i s ! i

Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de una razón razón,, en la proporción, e esta stas s mismas oper operacio aciones nes se verifican con lo los s términos de la otra razón.

Así tenemos, sea la proporc proporción ión i

a

Se tendrán las siguientes propiedades: Propiedad 1

a+b b

a=cK2

cK2 cK  cK~ c ~ K

Expresado de esta form forma a es má más s conven conveniente, iente, ya que se tienen menos valores por conocer. Del dato

¡

b = d 

a=(cK)K  

Reemplazamos Reemplaz amos en la proporción ini inicial cial

c

c + d  , d 

a

° a+b

c  c+d

Demostración

Tenemos a c  b~ d

Sumando Sum ando la unidad a c cada ada razón s se e ten tendrá drá a c T+ 1  = ~j+ 1

Jab + s¡bc  = 70

b

Se tendrá

Operamos a+b_c+d ~~b d~ d~

A cK2){c K) + A cK)c =70  *Jc 2K2.K + - J ? K =  70 c k 4k

d

l.q.q.d.

En el otro caso

+c 4 k = 7 o 

a c b d De —=~ ha hacem cemos os —= — b d a c

c4K{K+ I) = 70=2x5x7

Sumando Suma ndo la unid unidad ad a cad cada a razón ten tendrem dremos os

i7% iH T 1) = 7700 7%/í /í ((4 4+

b d  -+1 = - + a c Operamos

Luego c= 7   y K = 4

b + a _ d+c 

Finalmente, la proporción proporc ión será 1 1 2

a

  28

28 - y

-

1

c

Nuevamente invertimos las razones a c l.q.q.d. a+b c+d

4

.-. b= 28.

536  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII De ahí se tendrá

Propiedad 2

i

a-b

a+b a-b

c-d a-b

c-d

c+d c-d

l.q.q.d.

Ejemplo Demostración e*

Tenemos a c 

'

podemos pode mos efectu efectuar ar

b =d

Restamos Resta mos la unidad unida d a cada razón c 

a

8  12  2

4+ 8

6+ 1 2

8  “

12

1+2

3

2 ~2

b - X= d ~ X   4+8

Operamos

6+12

1+2 -=3

a-b c-d   ~b~=~cT 

l.q.q.d.

En el otro caso a c b d De r = — hacemos hacemos —= — b d a c

4 

~ 6  =—r =—r

8- 4

12-6

4

6

2-1

8+ 4

12+6

2+ 1

-4

12-6

2-1

=3

Restamos Resta mos la unidad a cada razón b

d

a

c

— 1=— i

b-a _d-c a

c

invertimos las razones a _ c

i, j ? & g e r J Se realizan las mismas operaciones con ambas amba s razones, razones, con la l a finalidad de obtener dos nuevas razones con un mismo valor do la razón.

b-a d-c Cambiemos de signo a los consecuentes a c l.q.q.d. a-b c-d   Propiedad 3

Si se cumple que

Vm - 2

12

12

x

> x 15

Luego se tendría

(3o2 +2 +2b2 b2)) +(3 (3a a2- 2b2 2b2) _   31 + 19 (3o2 +2£>2) - (3a2- 2£>2) 3131- 19 50

30

Simplificamos 3a2_25

2 0

y

1 2

T2

í

í

2°

30  

15 í 40

antecedentes

30 y 15 consecuentes

2t?~~6 

20 y 15 términos extremos

Operamos nuevamente o2 25x2 b 2~  6x3 Obtenemos o^_50

30 y 12 términos medios De lo anterior

b 2~ 1  18 8

30-20

15-12

20x30

12x15

Luego, cambiamos el signo

Simplificamos

20-30 _ 20x30 20-30 12-1 12 -15 5 ~ 12x15 12x15

a 2   25 b 2 _ 1 T

538  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII Tipos de proporción armónica  

72 + 36

2

Discreta  (Términos medios medio s diferen diferentes) tes)

36x72

x

2x36x72 • ! _ ! _ !_ ! ó i a b c d  i i c-d

d 

i 

cd  ¡’

: La cuarta arm ón ónica ica de a, b y c. 

36+72 .-. x=48. Propiedad

Ejemplo

En una proporción geométrica continua se

Halle la cuarta arm a rmón ónic ica a de 30; 40 y 20 20.

cumple que 2

ac 

b= 

Sea x la cuarta armónica.

_L _L__L 1 30 " 40 “ 20 ~ x

i-_L i_L _L _L x _ 20 +40 ~ 30

1 6+3-4 1 x _ 120 ~ 24

Aplicación 18

Cuatro jardineros A; B; C  y D  van a sembrar dos terrenos de igual área (A  con B  un terreno y C con D  el otro). Si trabajando solos cada uno tardan tar dan 25 25; 30; 30; x y x+25 horas, respectivam respec tivamente, ente, además el exceso de lo que siembra A respecto a B  en una hora es igual al exceso de lo que

siembra C respecto a D   en el mismo tiempo, halle la la media armónic ar mónica a de x y x+25 x+25..

x=24. Continua  (Términos medios med ios iguales) iguales)

Resolución

  i a

1

_ 1  b b

i , i a- b  _ a c  ¡ i b-c c

Hallamos el exceso de lo que avanzan en una hora del enunciado. 1

c

:  Terce Tercera ra arm ón ónica ica de a  y b.

b

:  Media armónic armó nica a de o y c.

1

1

25 _ 30 _ x + 25 30-25 25x30

Ejemplo

x+25-x x(x+25)

x(x+ 25) =5x25x30 =5x25x 30

Halle la media me dia arm ón ónica ica de 36 y 72 72. 50

Sea x la media med ia armónica. armónica .

75

Entonces

_L J__J_ J_

x=50 y x+25=75

36 “ x “ x " 72

Nos No s piden pide n la med m edia ia arm a rmóni ónica ca de 50 y 75 75. 2x50x75 50+75

_L J__ J__i ii 36 + 7 2 “ 7 + x

'

539  

Lumbreras Editores

Aritmética

SE RIE DE RAZONES RAZONES GEOMÉTRICAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Dadas las razones

También podríamos tener  .er an ante tece cede dent nte e :10

_8 _. 14. 30. 12. 12 12’’ 21’ 45 45’’ 18’" 18’" '

2.do ante antecede cedente nte

: 18

se puede observar observar que

antecede edente nte 3.er antec

: 50

8_= 2.  14= 14= 2. 30_2. 30 _2. \2J2 

1 .er co cons nsec ecue uent nte e

: 35

12 3 ’ 21 3 ’ 45 3’ 18 3

2.do  consecuente

:

Es decir, decir, todas las razones tienen el mism m ismo o

consecuen cuente te 3.er conse

: 175

1

valor valor,, lo cual cua l las hace razones

(geométricas (geomé tricas)) 2.

equivalentes. Luego diremos que: Una

serie

de

£ = M = 30= L2= 2^ 12

21

45

18

3"

Porr ejemplo, podem Po pod emos os afirmar lo siguient siguiente: e: razones

geométricas

•

equivalentes (SRGE) es la igualdad de más de dos razones geométricas equivalentes.

30

es el

5.t0

término o también el

3 .er

término o también el

4 .to

antecedente. •

Ejemplos

10 18

63

18

es el

8.™

consecuente. 50

2

En

general,

una

serie

de

n   razones

'

35_ 63_ 175_ Y

geométricas equivalentes es de la forma

donde 10; 18; 50 : son los antecedentes

b i

O, bi

b>

(a)

■K

35;; 63; 35 63; 175 175 : son los l os conse con secue cuente ntes s 2 —: constante de proporcional proporc ionalidad idad

Además los términos se cuentan razón por

a¡ a¡;; a ¿  o 3; ...; an :  antecedentes ¿>j; b 2\ b ¿  ...; bn  : consecuentes

K 

: constante de proporcionalidad o razón razón comú n

razón, es decir   término

10

do término

35

3er térm té rmin ino o

18

4t 0  término

63

5t 0  término

50

1 2

6 t0

 término

En la serie se puede observar lo siguiente: siguiente: a¡=b{xK   a2=b2xK   a3=b3xK  a4=b4xK

175 Es decir

Vemos que los términos de lugar impar son los antecedentes y los de lugar par son los consecuentes.

i antecedente = consecuente x razón i Esta es una propiedad elemental que nos va a permitir demostrar las siguientes siguientes propiedades:

540  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII PROPIEDADES Dado (a) se cumple:

multiplicamos miembro a miembr multiplicamos miembro o o , x a 2x o 3 x...x an = (b , K)(b2K)(b3K) x...x (&„*)

Propiedad 1

a xx a2x a2x a3x...x a3x...x an= Knx b xxb 2xb 3x...xb n

a, +a,+ao+ +a ,+ao+a4 a4+...+ +...+o o b\+b2+b b\+b2+ b3+b 3+b1\ +...+bn K o suma de antecede antecedentes ntes = razó razón n suma de consecuen consecuentes tes

a xx a2xa a2xa 3x...xan  = Kn Kn  b xx b2x b2x b3x b3x ...xb n

l.q.q.d.

En una SRGE también se cumplen todas las Demostración

Sabemos que

propiedades de la proporción geomét geométrica. rica. Así tenemos lo siguiente:

a¡=b}xK  

a,+¿>.

a2=b2xK 

bx

a3=b3xK

an=bnxK

k+\ 1

a \~b\ (?2 — ^ 2 b2  a ]+b]I

an+bn

Ü2~>rt>2

+¿?2

-

®n~bn bn an+bn

k-\ 1

* + 1

Sumando miembro m iembro a miembro ten tenemo emos s

a \-b\

an~bn

k-\

in= b i ■K + b 2 ■K + b 3

De ahí

SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS   EQUIVALENTES CONTINUAS

K[bx K[ bx+¿>2 +6 3 + ...

Q\+Q +Q2 +

a 1 +a2 +a 3 +...+an ^ . . --- :-- :-----   -— —K  b\+b2+b3+ ...+bn

^

I.Q.Q.d.

Una SRGE es continua cuando, dada la razón inicial, esta se fija y cada razón siguiente

Propiedad 2

tiene como antecedente el consecuente de la I

a,   x a 2 x a 3 x. x...x ..x a„ = K" b i x b-, x />, x ...xb„

razón anterior. Ejemplos

o producto de antecedentes j producto de consecuentes n 

= (razón)"

2 4 _ 3 6 _ 5 4 = 2 3 6 _ 54 ~ 8 81 1 _ 3

: Núm Número ero de razones que se multiplican.

480 _ 240 _

1 2 0 _6 0 _2

Demostración

2 4 Ó - 7 2 0 - ~6Ó ~- 3 0 -

Como

5 1 2 _ 3 8 4 _ 2 8 8 _ 2 1 6 _ 4

£/,=£>, xK  

3 8 4 ~ 2 8 8 - 2 T 6 ~T 6 2_ 3

En general

a 2= b 2 xK   a 3= b 3 xK

a b e   b

c

d

x

=K

"y

541  

Lumbreras Editores

Aritmética

Veamos ahora algunas característi características cas útiles útiles al trabajar con una un a serie de razones continuas. Por ejemplo, si tenemos la serie

•

a

b

c

d 

b

c

d

e

Dell enunciado De enun ciado tenemos a

b

c

d

7 = 4 = T2 = 6 De las propiedades de SRGE

^

Se observa que

a+b

c+d

a+b+c+d

7+4

12+6

7+4+12+6

d=eK a+b c+d = a+b+c+d ___=

c=dK={eK)K=eKl 

18

b=c K=(eK K= (eK 2)K=eK3  a =bK={eK =bK={eK°')K=eK °')K=eK4 4  Reemplazando tendremos tendremos

(c+d)-(a+£>) a+b+c+d  18-11 = 29

eK'i _ e K 2 eK2_ e K _  

Dato: {c+d)-(a+b)= 42

eK3   eK2~ e K ~ e ~

42 i  Se pu puede ede observar que todos los térmitérmi-

29

i

i nos, a excepción excepc ión del último últ imo consecuente, consec uente, i

T =

a+b+c+d  

29

. . a+b+ a+ b+c+ c+d= d=17 174. 4.

¡ se pueden pue den expresar expresar en función func ión del último últi mo ¡ i consecuente y la razón. i

Aplicación 20 axbxcxd

Por propiedad, b x c x d x e =K\ Es decir, —=K4.  e i La relación entre el primer y último término

Sea

la

serie

de

razones

-Jb2- 18

-Je2- 32 4

geométricas

equivalentes Va2-50 5

3

Halle el valor valo r de c si a + b = 640.

i es igual a la constante constante de proporcionalid proporcio nalidad ad i elevada al númer núm ero o de razones. razones. Aplicación 19

Cuatro estudiantes han resuelto problemas de Aritmética en cantidades que están en la re rela laci ción ón 7; 4; 4; 12 y 6 , respectivamente. respe ctivamente. Además Ade más,, se observó que entre los dos últimos desarrollaron 42 problemas más que entre los dos primeros juntos. ¿Cuántos problema prob lemas s realizaron en to tota tal? l? Resolución

Sean las cantidades de problemas a , b , c  y d.  Nos piden

Resolución

Elevamos al cuadrado o2-50

ft2-18

c

2-32

Luego a2 b2 — _ 2 =-— 25 9

c2 2 =

—

16

- 2

Sum ando and o 2 a cada igualdad se ti tiene ene

25 9 16 Sacando ahora raíz raíz cuadrada a b e  

a+b+c+d

~5=~ 5= ~3=~ 3= ~4

542  

Razones y proporci proporciones ones

CAPÍTULO XII Para poder utilizar el dato realizamos c 

a+b

5+3 = 4 Sabemos que a + b = 640

Reemplazamos 640 8

Reemplazamos a b c d  3"~5 "~5"= 7 = 6"~ a=60 y cf= 1 2 0 Nos piden N=602+1202 a 2+c/2= c/2= 18 0

c

0 0

  “ 4 Aplicación 22

c=320. Se sabe que Aplicación 21

5a+6 5£>+10 5c+14 5d+12 Sl 5a-6 5a- 6 = 5b-10 = 5c-14 = 5d-12 5d-12

b

d

f  y

b -d +f

-=64

Calcule N =I

ab+cd+ef

a 2+c2 +c2+e2 +e2

b2+d2+f2

b2+d2+f2

además, a+b+c+d= 420, halle M = a2 a2+d2 +d2..

Resolución

Resolución

De la SRGE

Se observa que qu e la serie 5a+6

5£>+10

5c+14

5cf+12

5o-6

5b-10

5c-14

5d-\2

a

-

c

-

e

- r

b~d-J-K

ha sido el resultado de aplicar algunas propiedades a una u na serie serie simple, de la forma o_b_c_d  3"= 5"_ 7 _ 6"_

q3- c 3 + e3

_ k3

b -d +f

Primero se multiplican todos los antecedentes por 5 y todos los consecuentes por 2; luego, como nuevo antecedente se tendrá la suma

Dato

de antecedente y consecuente, y como nuevo consecuente, la diferencia de antecedente y consecuente.

Nos piden

Entonces a+b+c+d ■=K 3+5+7+6

64

=

K*

4=K 4= K

ab+cd+ef   b2+d2+f2

N=

a +c +e  b2+d2+f2

De la serie a

c

e

.

~b= ~d= J =

Dato a +b+c+d=420

420 21

ab cd ef . o — - y r— _o —4 / 2  - f 2

=K ab+cd+ef   b2+d2+f2  :

20=K

543  

Lumbreras Editores

Aritmética

También

Se puede observar, debido a que la razón es 2,

a c e

que el antecedente es el el doble del consecuente.

~b=~ =~d d=7 =4

Asíí tendremos que As

f¿

¿>= 16; 16; c = 8   y e =

=16

2

AÍ=16+8+2 M =  26.

b¿+d¿+f¿~~^ 

Reemplazamos en ob + cd + ef N=\ b + d + f l

Aplicación 24

q 2  + c2  + e2

En una serie de tres razones geométricas

x| b 2+ d 2 + f 2

equivalentes continuas de constante entera, la

16 N = 64.

diferencia del primer y cuarto término es 660. Calcule el valor del tercer término.

Aplicación 23

sí

Resolución

Por propiedad de la SRGE continua, esta se

4 b e

4

puede representar de la siguiente manera:

e

halle el valor valor de M=b+c+e.

. 7 nK3 n K 2 n K   — ñ = ---= — = K, en la qu que ese Z nK nK n Dato

Resolución

nK3-nK = 660

Se tiene la serie

nK(K¿- 1)=660 b e

4

e 

De la propiedad prop iedad producto de antecedentes •número de razones razones = K ‘  producto de consecuentes Aplicamos la propiedad 32 xbxc o ----- =K6 bxcx 4 Se escogió multiplicar estas tres razones; debido

3x 4x5 5 nK(K -\) (á:+1)=660= 11x 3x4x 3 números consecutivos

Se puede observar observar que K = 4  y

n=l

1

Porr lo tanto, el tercer término Po térm ino es 11 x 42=176.

a que se puede pue de elimin e liminar ar el valor valor de b y c; c; y de esa manera maner a hallar K.

32 - K *  T

K= 2

Reemplazamos 32 _b _c_ 4_ 2 b e 4 e

En los problemas, cuando nos indiquen que la constante de proporcionalidad es entera, debemos hacer intervenir esta constante en los datos, para luego observar los posibles valores que tomará.

544  

Problemas Resueltos Problema 1 Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje, uno de los

A) S/.2250 D) S/.3000

B) S/.2500

Resolución

pilotos pilo tos observa que el núme número ro de aviones que él

N. N.°° personas

ve es es al núm número ero de barcos com como o 1 es a 2 2.. Uno de los marineros observa que el núm número ero de barco barcos s que ve es al número de aviones como 3 es a 2. ¿Cuántas naves son?

C) S/.2750 E) S/.3200

varones (adultos) mujeres (adultos)

1x5o

5xo 1x 7a

7xo

A) 16

B) 24

C) 18

D) 30

niños

E) 20

2x5o

3x7 o Total

31 x a 43 x o

Resolución

.-.

Sean A el núm ero de aviones y B el núm ero de bar barcos cos

430 430 0 = 1 0

Luego costo cos to po r persona recaudaci recaudación ón

B-1 3 A  “ 2

^

 

B=10

A=

6

a

 

2A-3 A 

3 2

N.° ad adul ulto tos: s: 12 120 0

S/.10

S/.1200

N.° niñ niños: os: 310

S/.5

S/.15 S/.1550 50

Porr lo tanto, la re Po recaud caudaci ación ón en total fue de S/.2 S/.275 750 0

C

cl av e

Problema 3

A+B=6+10=16. CLAVE

A

Dos corredo corredores res van al encu encuentro entro con velocidades que están en la relación de 8  a 5. 5. Luego d de e cierto tiempo,, el primero re tiempo reduce duce su velocid velocidad ad en 1/4 de

Problema 2

su valor, mientras que el otro la incrementa en En un circo, cierto día asistieron 430 personas y se observó que ca cada da varón adulto ingresaba con 2 niños y cada muj mujer er adulta entraba co con n 3 niños; además, adem ás, al fin final, al, la relación ent entre re la cantidad de varones adultos y mujeres adultas fue de 5 a 7.

4/5 de su valor. Desde este instante transcurren 2/3 del tiempo anterior y ambos se encuentran a 231 m del extremo más cercano. Calcule la distancia que los separaba inicialmente.

Si el costo de la entrada fue de S/.5 para niños y S/.10 para adultos, calcule la recaudación de

A) 483 m

ese día.

D) 490 m

B) 462 m

C) 500 m E) 495 m

545  

Lumbreras Editores

Aritmética

Resolución

Halle la diferencia inicial de volúmenes de vino

Sea la distancia inicial PQ PQ..

y agua, si además la cantidad de extracciones _5 H

es mayor que uno u no y lo los s volúmene volúmenes s iniciales son enteros.

0

Dado que avanzan durante cierto tiempo 5 8  

A) 848 B) 1055 Resolución

B) 620

C) 554 E) 1000

luego de

Luego de la variación de las velocidades 8

 

6

 

9

5

i----- 1--------- 1--- 1 P Q Dado que el tiempo del último tramo es 2/3 del anterior. 8x3 K

%X2K9x2  9 x2 K  ---

P   24K

18K  15K Q

punto de punto encuentro

^   ..

3/2 y

 A

y .......

vino ......

....

^

agua vino

volumen : 1375 total

5x3 K

i^

12K ^

agua

 X 

En cada proceso se extrae la tercera parte y se

23 231 1

reemplaza con vino, lo que queda al final de agua es

18K+15K=231 K= 1

Piden

2 

2( 2 

3

3 3X

24ÁT+12K+ 18K+ 15K=S9K 

2n  3 — ■X=—y  3  n 2

queda

69x7=483 Por lo tanto, la distancia que los separa es de 483 metros. clave

A 2

Problema Probl ema 4 Se tiene una mezcla de 1375 litros de agua y vino

n+1+ 3 ” 3n + 1  

+1

 _y+x - x

(2',+1 +3',+l)x=3n+1 xl375

en un recipiente. Se extrae la tercera parte de su contenido conteni do y se reemplaza con vino; luego se rep repite ite

Evaluando valores valores pa para ra n, se tiene

esta esta operación hasta obten obtener er co como mo vo volumen lumen fin final al de agua media m edia vez más que el volumen inicial de vi vino no..

n =4

546  

CAPÍTULO XII

Razones y proporciones

Luego

Problema Probl ema 6

jc =  1215

En un mom ento de una reunión se obse observa rva que

y=160

los hombres y las mujeres están en la relación de 5 a 7 y los que bailaban y no bailan están

x-y=1055.

en la relación de 4 a 9. ¿En qué relación están CLAVE

D

las mujeres que bailan y los hombres que no bailan?

Problema Probl ema 5 A) 24/41

B) 41/67

C) 24/67

Las edades de Vilma y Eduardo son proporcio

E) 24/91

D) 41/91

nales a 5 y 7 7,, respe respectivam ctivamente. ente. Si dentro de n años sus edades serán proporcionales a n  y (n+ 1 ), halle la edad de Vilma dentro de 2n. Considere

Resolución

que hace 4 años la suma de sus edades era

Relación de hombres (H) y mujer mujeres es (M) (M)..

28 años. H _ M _ H  +M  _ total total

A) 40

B) 30

T “ 7 " 5+ 7

C) 42

D) 45

vF

(I)

E) 21 Relación de los que bailan (B)  y los que no bailan (N).

Resolución

Si hace 4 años las edades sumaban 28 años, hoy sus edades suman 28+4+4 = 36 años.

B

N

4

9

B+N  total

13

(10

13

Observando lo ant anteri erior, or, hacem hacemos os -Vilma

c  Eduardo

5

7

36

tota l=1 l=12x 2xl3xK l3xK = 1 15 56/í

— 1 2  — 3

Se observa que

En (I) y (II) se obtiene

eVilma= 15 H =65K] M=9\K M=9\K;; B=4 B =48K 8K;; N=\08K N=\08K

^ E du du ar ar do do - ^ I

Dentro de n años, por condición 15+ 15 +n

n

21 + n 6 „ -=-=6 -» n + 1   1

24K

41K

Hombres (65K)

24K

67K

Mujeres (91/0

n=3

Piden la edad de Vilma dentó de 2n años 15+2x3=21. c l a v e

E

bailan

no bailan

( 48/0 

( 108/0

547  

Lumbreras Editores Se comp completa leta el en el cual lo los s que ba bailan, ilan, hombres

Aritmética Dividimos (1) + (11)

y mujeres, son e ell mis mismo mo núm número. ero. * +1-=5

Se pide mujeres que bailan _ 24K 24K  24 hombres que no bailan 41K  41 41''

K-

K=-\ =-\ c = í 2

.-. b=ck   —> í>= 1 2 .

c l a v e

A Otra forma

Problema 7

Sea a  el último término

En una un a proporción geométrica continua, la suma

También

de sus términos es 50 y el primer término es mayor que el último en 10 unidades. Señale la media me dia prop proporci orcional onal..

O+

1 0

 

2 0

-a

2 0

-a o

a+10 a+ 10_ _ 20-a _30 _3 A)

B) 10

8

D) 16

C) 12

2 0

-a _

a

~2

0 _

2

E) 18

Resolución

a

^

Piden

b

2 0 - 8

ib: = -c = K   

 = 1 2  (me (media dia proporci proporcional) onal).. c l a v e

a = c K ; b = c K 

C

Problema 8

Dato

M N Q R  En la serie de ra razo zon nes — = — =— =— m n q r

a+b+b+c = 50 c K2+2 c K + c

se cumple que

=50 

c(K+ 1)2=50

M+m+40=N+n+25=Q+q+20=R+r=50   y (0

m 2 + n 2+q2+ 2+q2+r2 = 660.

Calcule la cuarta proporcional de los tres

Además a-c=

primeros antecedent antecedentes. es. 1 0

c K 2- c

=\Q =\ Q

c (á :+i )(/¡:-i ) = io

A) 42 (H)

B) 50

B) 45

C) 48 E) 55

548  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII Resolución

Problema Probl ema 9

Por dato se tiene

Los antecedent antec edentes es de cuatro razones geométricas

M + m = \0  N+ n = 25

Q+ x cx d = 20 58 580

25 _ 36 _ 100 2

Tenemos

r1

4+25+36+100 _ 165 660 _ 660 660

1 4

Se observa que

5

b

d

c

Porr propiedad Po prop iedad

m = 4 

M=

n =  1 0

N=\5 

7=12

0=18

<

3= 4

6

3x4x5 o - = K  bxcxd

K‘ =

r=

R = 30

2 0

60 20 580

1

343

JC=I

7

De

Piden _6_ = J18 _6_= 15 x

2

a

3 _..4 _ 5 _ 2+3 2+3+4+5 4+5 _ l_  b c d a+b+c+d   7 a+b+c+d = 98

c l a v e

CLAVE C

B

549  

Lumbreras Editores

Aritmética

Problema Probl ema 1 10 0 (¿>1

a, a, a, Si 7 r =b-2é =f>3 é=K ¿3,

b3)) .j K     + ¿ > 2  + b3

\¡K(b}+b2J ¡K(b}+b 2Jrr b 3) Otra forma

V(oi+o 2 +a3) {b\+b2+b.,)

   c

 0  

calcule 2

¿>2  + -^Icijbj

B )K

A) 1

C) MK 

D) 'JtC

0 1

 o = ^ 3

  V¿>] + b 2 + b3

'J a ^ b ] \la2b 2 \lci3b i3b.>  b\

b2

b3

Por propiedad V (a | +

Oi+Oj+Qg =K i ]+b2 ]+b2+b3 +b3

o

2 +

o

3 ) ( £ > 1 + ¿3 2 + ¿ 33 33)  

¿>, + ¿3

(o, + o 2  + a 3)= K (b l +b2+b3 +b2+b3)  Además

2 + 6 3

VúF]¿?] +^a2b2+sla3b3=   'J(.all + a 2+ a 3)( b í + b2 + b 3) 'J(.a

o,=b,A: /( /(o o , + o 2  +a 3 )( )(¿3, ¿3, + í >2  + ¿>3)

a 2 =í =í> >2 ^

Ví?i ¿?i -\~^Jd2b 2b2+ 2+^ ^¡a3b 3 a 3= b 3K Reemplazamos

□lave

s ¡{a x+a 2+a ^)   ( ¿ 3 , + ¿ 3 2 + ¿ 3 3 )

E=-

¡b¡

A

Probll ema 11 Prob Un termómetro defectuoso indica 5o para el hielo al fundirse y 125° para el vapor de agua

+ / ^ 2

E=

 +b;)K{l) 1

+^.¡)

*]b]Kb\ + J b 2Kb2 + J b 3Kb3

E=

(¿>i + ¿ 3 2  + b 3). jK   b\\¡K+b ¡K+ b2-j -jK K +b +b34K

hirviendo. ¿Cuál es la temperatura real en °C cuando cuand o dicho termómetro marca mar ca 23o 23o?

A) 15 °C D) 23 °C

B) 18 °C

C) 20 °C E) 25 °C

550  

Razones y proporciones

CAPÍTULO XII Resolución

A) 400

Gráficamente Gráficament e tenemos

D) 430

Termómetro normal

Termómetro defectuoso

B) 420

C) 425 E) 450

Resolución

Porr condi Po condición ción 100 °C

------

125 °C II IIII

I

23 °C 5 °C

o°c

Para hallar el valo Para valorr de x se plant plantea ea de la siguiente manera: x-0 23-5

W 1-1x2K

100-0 125-5 x   __ 18_ 28K

1 0 0 “ 120

x=15.

Se consume la cuarta parte: 7k,  y el resto se CLAVE

4  H

A

distribuye en partes iguales.

*

II IIII

Al procedimiento anterior se le conoce como interpolación, que consiste en encontrar un valor intermedio, dado un conjunto de valores extremos. 7K 

Problema 12

Uno de ellos aumentó 15 litros (ocurre en el

Se tienen tres recipientes con gaseosa en cantidades proporcionales a 3; 7 y 4. Si se junta todo en un recipie recipiente, nte, se consum consume e la cuarta parte y el resto se distribuye en partes iguales en los tres recipientes originales, también se observa que uno de ellos aumenta 15 litros. ¿Cuántos litros litr os de gaseosa se tení tenía a en ttotal otal al principio?

recipiente I) k = \5 

Nos piden .-. 28 28fc fc=2 =28x 8x 15=4 15=420. 20. CLAVE

B

5511 55  

róblenlas Propuestos

1.  El rad radio io del plan planeta eta Mar Marte te es 1 1/2 /2 del radio

5. 

Un vendedor ambulan am bulante te tiene lapic lapiceros eros ro rojos jos

terreste y el diámetro del planeta Júpiter es

y azules en la proporción de 7 a 4. Si vende

igual a 10 diámetros terrestres. ¿Cuál es la

2/5 del total de lapiceros, de los cuales 3/5

razón geométrica entre los radios de Marte

son rojos y el rest resto o azules, ¿cuál es la nuev nueva a

y Júpiter?

relación relac ión de lapiceros rojos y a azules? zules?

A) 3/20

B) 7/20

D) 3/15 2.  Los

volúme volúmenes nes

que

C) 1/2 1/20 0

A) 56/37

E) 1/1 1/10 0

D) 140 140/21 /21

contien contienen en

dos

6.

B) 109/5 109/56 6

C) 110/3 110/31 1 E) 108/28

Dos personas A  y B  se encuentran en ciudades diferentes y a una distancia de

recipientes están en la relación de 2 y 5. Si

800 m. Se sabe que dichas personas van al

agregamos 33 litros a cada uno, la nueva

encuentro en una u na mi mism sma a vía re recta cta y que la las s

relación relaci ón será de 5 a 7 7.. Calcule la ca canti ntidad dad de

velocidades de A y B están en la relación de

litros en la que excede el volumen de uno

5 a 3. Además, después de 40 s de cruzarse

de los recipientes respecto del otr otro. o.

se encuentran separados 320 m y, en ese momento, A se detiene durante un tiempo

A) 15

B) 18

D) 24

C)

21

igual al que le faltaba para lleg llegar ar a all pu punto nto de

E) 33

partida de B. Pasado ese tiempo, ¿cuánto le falta recorrer recorrer todavía a B para lleg llegar ar a all pun punto to

3. 

de partida de Al

La cantidad de dinero de A es a la de B como 2 es a 3, y la de B es a la de C como 3 es a

A) 18 180 0m

4. Si A y C tienen juntos 60 soles, ¿cuántos

D) 330 m

soles tiene 6 ? A) 30

B) 210 m

B) 40

D) 60

C)

50

E) 70

7. 

C) 320 m E) 410 m

En el Instituto de Ciencias y Hum Humani anidad dades, es, e ell núm ero de varon varones es y mujeres se encuentra en la relación relac ión de 7 a 5 5.. En el ciclo anual, hay 1280 alumnos, lo cual es el doble de lo que

4.  La Las s edades de Juli Julián, án, Mila Milagros gros y Pedr Pedro o s se e

hay en el ciclo semestral. Si el número de

encuentran encuen tran en la relación de lo los s número números s2;

varones en el ciclo anual es al número de

3 y 4. Si dentro de 9 años sus edades serán

mujeres muje res en el cic ciclo lo semestral co com m o 5 es es a 2 2,,

entre sí co com m o 7; 9 y 11 11,, respecti respectivame vamente, nte, ¿en

calcule la suma entr entre e el núme número ro de varo varones nes

cuántos años excederá la edad de Pedro a la

del ciclo semestral semestral y el número núm ero de mujeres

edad de Julián dentr dentro ode 13 años?

del ciclo anual.

A) 8 año años s

C) 12 año años s

A) 500

E) 18

D) 800

D) 14 años añ os

B) 10 año años s

años añ os

B) 600

C) 70 700 0 E) 900

552  

CAPÍTULO XII

Razones y proporciones

8

.

Se tienen tie nen tres cubos cub os A,ByC,   en los cuales la

12. En una proporción geométrica continua, la

arista de A es a la arista de B como 2 es a 3

su suma ma de los términos térm inos es 105 y la diferencia

y la arista de B es a la arista de C como 2 es

de extremos es 63. 63. Halle la razón razó n si es es mayor

a 5. Si para pintar todas las caras de B gasté

que la unidad.

40 tarros tarros de pintura pintu ra más má s que q ue para p ara pintar todas las caras de A, ¿cuántos tarros de pintura se

A) 2

B) 3,5

C) 4 E) 3,5

D) 5 necesitarán para pintar dos caras del cubo C? A) 120

B) 140

C) 150

D) 240 9.

E) 130

En un partido del equipo A  vs. el equipo B,  300 personas realizan apuestas sobre

el posible ganador. Al inicio, las apuestas favorecen a A en la razón de 3 a 2, pero al

13. En

una

proporción

geométrica,

las

diferencias de los términos de cada razón son 9 y 21. Si la diferencia de cuadrados de los antecedentes es 360, halle la suma de antecedentes. B) 30

A) 10

C) 12 E) 36

D) 15

final quedaron queda ron favorab favorables les a B, en la razón de 5 a 1. Calcule cuántas personas cambiaron

14. Se tiene

sus apuestas si no hubo abstenciones.

A) 60

B) 80

C) 130

además, o + c = 52 y b - d = 9.  9.

E) 185

D) 170

Calcule la media diferencial de a y d. 10. Los

antecedentes

de

una

proporción

están en la relación de 8  a 5 y la suma de consecuentes es 156. Calcule la diferencia de los términos medios si los extremos están en la relación de 4 a 3. A) 46

B)

C) 51

6 8

E) 35

D) 27

11. En una un a proporción geométrica, la suma sum a de los términos extremos es

2 0

 y su diferencia

16. ¿Cuál es su medi me dia a proporcional? proporci onal?

A) 4 D) 7

B) 5

B) 20

A) 23

C) 15 E) 22

D) 26 15.. Se sabe que 15 a _c  b

d

a 2- 12 b -  27

5 5c2 c2+4 +4 5tf 5tf+9 +9

Calcule Calcul e el valor de 7b+d 7a+c

C) 6

A) 2/5

E) 8

D) 2/3

B) 3/4

C) 4/3 E) 3/2

553  

Lumbreras Editores

Aritmética

16.. En una 16 un a proporción geométrica continua, la

20. En la serie

suma de los antecedentes es 18 y la suma

o _

del primer y último término es 15. Calcule

65~~b= 65~~ b= 35~~ 35~~d d

la suma de los cuatro términos de la proporción, si la razón es la menor me nor posible y

6

 _ c _

1 0

se tiene que a,d,byc  forman una proporción aritmética. Calcule a+b+c+d.

además ade más es ente entera. ra. A) 60 A) 15

B) 18

C) 24

D) 27

B) 36

C) 80

D) 74

E) 72

E) 30 21. En una SRGE, la suma de los términos de

17. Las edades de cuatro hermanos, de los

cuales

dos

son

mellizos,

forman

una

cada razón es 35; 42 y 63, respectivamente. Si la mayor razón aritmética de dos

proporción geométrica y la suma de las

consecuentes es

cuatro edades es a la mayor diferencia de

dos mayores mayores antecedentes.

1 2

, halle la relación de los

edades como 3 es a 1. Calcule la suma de B) 2/3

edades del mayor y el menor de ellos, si los

A) 1/2

mellizos tienen 18 años.

D) 5/6

A) 27

B) 36

C) 45

D) 50

E)

6 6

E) 9/5

22. Sea la siguiente serie:

2x

 X +   1

40+b  18. Si

m

n

p

y (a-m)(b-n)(c-p)= 343,

halle %abc - \jmnp. \jmnp.

A) 6   D) 9

19. Si

C) 8 E) 10

5b?+6bt+7bZ

A) 39 D) 30

554  

Calcule x+b. C) 5 E) 12

B) 4

A

R

C

23. Sea _ = - = _ = K (K e Z) a b e

Q4 +B) ^ (5 + C) =25 (b + c) (a + b)

5oi+6o2+7«3 _9

O]

4x +1 143+26

además,

-±=a a ±=a -l=.a - l=.a -l t)\ bn b q

calcule

41 - b

A) 3 D) 7

B) 7

C ) 3 /5

o 1o 2  

^

Calcule J  si

b xb f i3

B) 27

J--

C) 36 E) 21

A) 35 D) 40

SA+5B a +b

A2+B2

B +C

a+ b

b +c

B) 25

C) 20 E) 38

C AP ÍT ULO XII

R a zo n e s y p r o p or cio n e s

24. Se tiene la siguiente serie de razones

geométricas equivalentes: b i

y rojas, además, por cada tres rojas hay una un a azul y las blancas representan la cuarta

= %. = ^ =...J± =k -,k * z   b2

b 3  

27. En una caja se tienen fichas azules, blancas

bn

parte del total. Si se extraen tantas rojas

Halle

como azules se agregan, la nueva relación

M=n+K+- a¡ x b n + P  P + 6 , x a„

entre ellas será de 11 a 7, respectivamente. ¿Cuántas fichas rojas había al inicio dado que al final hay 14 fichas azules más que blancas?

a,  xa,x...xo. -=323 y n > K .

B) 63

A) 189

E) 1

D) 128 A) 12

B) 50

D) 37

C) 112

C) 10 100 0 E) 40

28. En un colegio se tomaron tres exámenes

eliminatorios a un grupo gr upo de estudia estudiantes, ntes, con 25. Si £ = Z = £ = J _ a b c  1 1

la condición de que para rendi rendirr un examen es necesario aprobar el examen anterior.

, , x  2 y 5 adema s, —= — ; —= — ademas, y 3 z 7

Si la relación de los que aprobaron y no

determine el menor valor valor numérico de

aprobaron en el primero, segundo y tercer exam ex amen en es 1 10/ 0/7 7, 3 3/5 /5 y 1 1/2 /2,, respe re spectiv ctivame amente nte,, calcule la diferencia entre el número de

TTa6c'

aprobados y desaprobados en el primer y segundo examen, respectivamente, ya que

A) 210

B) 330

D) 2310

C) 1155

solo

1 0

 aprobaron el tercer examen.

E) 2431 A) 10

26. En un óm ómnib nibus, us, en el cual viajan 3 36 6 cab caballeros, alleros,

B) 20

C) 30 E) 50

D) 40

38 damas y cierta cantidad de niños, el cobrador observa que por p or cad cada a 3 caballe caballeros ros que bajan, bajan 2 damas y suben 5 niños. Si cuan cuando do llegan al paradero fin final al el númer número o de caballeros, damas y niños se encuentra en la relación de 4; 5 y 7, respectivamente, entonces, enton ces, ¿cuál será el númer número o de niños que

29. Un ciclista sube una cuesta y la baja con

velocidades en la relación de 4 a 11, respectivamente. Si emplea 14 horas más en subir que en bajar y ahora duplica su velocidad de subida, ¿en cuánto tiempo llegará a la cima?

llegará al paradero para dero fin final? al? A) 20 D) 40

B) 22

C) 32

A) 10 hora horas s

E) 42

D) 11 horas

B) 14 hor horas as

C) 13 horas E) 12 hor horas as

555  

Lumbreras Editores

Aritmética

30.  Las edades de Juan y Luis, hace 2rt 

un a proporción di discre screta, ta, cada término e es s 33.  En una

años, estuvieron en la relación de 3 a 4,

la tercera tercera parte del que le precede, adem además, ás,

respectivamente, respectiv amente, pero dentro de u unos nos años,

la suma sum a de extremos es 1 19 96. Calcule la suma su ma

el doble del anterior, estarán en la relación

de los términos medios.

Halle la menor ed edad ad si actualmente de 5 a 6 . Halle sus edades suman 75 años.

A) 84

B) 42

C) 21

D) 7 A) 30

B) 32

D) 35

E) 3

C) 33 E) 38

los s té términos rminos d de e una proporción 34.  La suma de lo

31.  Se tienen dos recipientes que contienen

cantidades difer diferentes entes de agua. Del primero se extrae una cantidad de agua igual a la quinta parte de lo que no se extrae y del

continua es 252 y la diferencia de los términos extremos es 168. Calcule la suma de antecedentes de dicha proporción, si la constante es menor que uno.

segundo se extrae la cuarta parte de lo que no se extrae; además, cada cantidad

A) 37

B) 42

C) 56

D) 64

E) 70

extraída es vertida en el otro recipiente para obtener volúmenes volúmen es igua iguales. les. ¿Qué part parte e del volumen de agua debió extraerse del segundo recipiente y vertirle en el primero para que el volume volumen n sea el mismo en ambos recipientes? A) 1/1 1/10 0

un

suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 2 es a 3. Si la suma de términos es

B) 2/5

D) 3/20 32.  En

35.  En una un a proporción geométrica continua, la

de

, halle la me media dia proporcion proporcional. al.

C) 1/2 1/20 0 E) 1/1 1/18 8

examen

1 0 0

adm admisión isión

a

A) 16 D) 30

B) 24

C )2 7 E) 32

una

universidad nacional, la relación de vacantes

36.  Si se cum cumple ple que

y postulantes es de 4 a 15; pero si aumenta en 1500 la cant cantidad idad de postulantes, la nueva relación es de 2 a 15. ¿Cuántas vacantes deben aumentar a umentar para que al incrementar incrementar en 4500 45 00 los postulantes no iingresen ngresen 12 alu alumn mnos os

■Ja2- 18

3

Vfe2- 9 8 _ Vc2 Vc2-32_ 0 “

7

“

4

calcule E=\la2+ 2  27 7 +Jb2+ 147+Ve2+48 .

de cad c ada a 15 postulantes? A) 927 D) 700

556

B) 540

C) 800

A) 20

E) 420

D) 38

B) 28

C) 42 E) 56

 

CAPÍTULO XII 37. En una

Razones y proporciones

serie serie de

razones geométri ge ométricas cas

calcule

continuas y equivalentes, la razón entre el

M  = ~Jab +-JeF + 4cd

primer antecedente y el último es dieciséis veces la razón del primer consecuente y penúltimo antecedente. Si la suma de las razones entre el primer antecedente y cada razones cad a consecuente hasta el penúltimo es igual a (2 a+l)£>c(a- 2 ), calcule la cantidad de razones.

B) 29

C) 53

D) 33

E) 59

41. En una un a fábrica se tiene un em bu budo do industrial industrial

en el cual se viert vierte e miel de d e abeja, abej a, pero per o se da dan n cuenta de que en la mitad hay un agujero

A) 5

B)

C) 7

6

D) 8 38. En

A) 21

E) 9 una serie de razones geométricas

por el cual, durante

1 0

 segundos, se perdió

400 40 0 mL de miel de abeja abe ja y, y, 5 segundos segund os más tarde, se terminó de verter todo su contenido. contenid o. Ha Halle lle la la capacidad capacida d del embudo. embud o.

equivalentes, equivalent es, lasum las um a de las raíces raíces cuadradas A) 1L 1L del producto de los términos de cada razón es a la suma de las razones aritméticas de

B) 640 mL

D) 500 mL

C) 4 L E) 2L

los términos de cada razón como 4 es a 15. Determine la suma de consecuentes si los

42. Un recipiente contiene vino y agua en la

relació rela ción n de 5 a 4. 4. Si se agregan 9 L de vino vino,, la

antecedentes su suma man n 24 240.

nueva relación es de 2 a 1. Halle el volumen A) 10

B) 12

C) 18

D) 16

de la mezcla mez cla inicial.

E) 15 A) 20 L

a c e   39. Si - = - = - = 2 ; b d f

C) 30 L E) 27 L

D) 28 L

además  yj a. e 

B) 25 L

43. En dos casas se celebran un matrimonio

y

6

=— ; b x f =  144 a+e   13

un

quinceañero,

respectivamente,

y

curiosamente hay la misma cantidad de personas en cada cad a casa. Por cada cad a 5 personas personas

calcule axdxe.

que se retir retiran an del del matrim m atrimonio, onio, de la otra casa

Considere que b+d+f=  30

salen 3 para entrar al matrim ma trimonio onio y un una a para A) 1832

B) 1956

D) 2230

C ) 2 12 4

irse a su casa. Cuando quedan 50 personas

E) 2304

en el matrimonio, resulta que hay

2 0

 en el

quinceañero, entonces, ¿cuántas personas 40. Si

o+123&

e+123/

c + \23d

b

f

d 

y Cb+d+f)(a+e+c)=2809,

ha habían bían en total total en cada cad a casa al inicio? inicio? A) 80 D) 160

B) 120

C) 90 E) 95

557  

Lumbreras Editores

Aritmética

44. En un reunión se encuentran Pedro, Juan

47. En una proporción geométrica continua, los

y Carlos. Carlos indica que la relación

términos extremos extremos están en la relación relació n de 9

de edades de Pedro y Juan es de 3 a 5, respectivamente, respectivamen te, pero dentro de 2n años la

a 25 y la suma de los términos es 192. Halle la media proporcional.

edad de Pedro Pedro coincidirá con la edad actual de Juan. Halle la edad de Carlos dentro de 10 años si es máxima máx ima,, a adem demás, ás, Pedro Pedro y Juan Jua n son mayores de edad y la suma de las tres

A) 40 D) 55

edades hace 10 años era 58 años.

a

48. Si

A) 50 D) 82

B) 40

C) 32 E) 17

45.  Rosario y José salen de sus casas para

B) 45

b + 3

C) 50 E) 60

c¿ 4b 8

 

c

además, c x b = í   calcule a+b+c.

encontrarse encont rarse en la UN UNI, que está ubicad ubic ada a entre entre ambas casas casas,, y lo hacen con velocidades que son proporcionales a 5 y 3, respectivamente. Al final, Rosario tuvo que esperar 5 minutos para encontrarse con José. ¿Cuánto tiempo tendría que esperar José para encontrarse

A)

B) 16

8

C) 12

E) 24

D) 120

49. En una serie de n   razones geométricas

con Rosario, si ellos intercambian sus

iguales y continuas de razón 4, la diferencia

velocidades? Considere que al inicio José tardó 25 mi minuto nutos s en e n llegar a la UN UNI.

entre el mayor y menor de sus términos es 12 285. 85. Halle la suma sum a de las cifras cifras de la su suma ma de los antecedentes.

A) 15 m in y 10 10 s B) 18 min mi n y 20 20 s

A) 19

C) 20 min y 30 s

D) 18

D) 12 min y 10 s E) 16 m i n y 4 s 50. Si 46.  En un una a proporción geométrica geométrica,, los términos

medios son números consecutivos y la suma de términos es 52. Si la constante de la proporción proporció n es enter entera, a, halle la sum a de lo los s términos medios. A) 15 D) 19

B) 17

C) 18

.

a 

B) 21

C) 16 E) 22

3a

b+

1

a+ 1

además a + c = 24 calcule axb-c.

A) 40

B) 50

C) 52

E) 21 D) 64

E) 70

558  

© Ü Ü ® sH ®

c B

10 11

 A _

_

_

_

12 13

B

17 

n

18

(

19 

r r

r

20

21

14

22

15

23

16

24

25

r

B

4