12a - Cadenas de Markov (Cadenas Absorbentes)

 

INVESTIGACION INVESTIGAC ION DE OPERACIONES II

CADENAS DE MARKOV (CADENAS ABSORBENT ABSORBENTES) ES)

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CADENAS DE MARKOV  

CADENAS ABSORBENTES

Muchas aplicaciones interesantes de las cadenas de Markov incluyen cadenas en las que algunos de los estados son absorbentes y el resto son transitorios. A esas cadenas se les llama cadenas absorbentes. Siempre que una cadena de Markov tiene estados absorbentes no calculamos probabilidades de estado estable debido a que cada unidad a final de cuentas termina en uno de los estados absorbentes. Con estados absorbentes presentes, estamos interesados en conocer la probabilidad de que una unidad termine en cada uno de los estados absorbentes.   Para ver por qué nos interesan las cadenas absorbentes, describiremos las siguientes dos: cobrar   Ejemplo 1: Cuentas por cobrar

El estado de cuentas por cobrar en una empresa se modela con frecuencia como cadena absorbente de Markov. Entonces, al principio de cada mes, se puede clasificar cada cuenta en uno de los siguientes estados específicos: Estado 1: Cuenta nueva.  Estado 2: Los pagos de la cuenta están retrasados un mes.  Estado 3: Los pagos de la cuenta están retrasados dos meses.   Estado 4: Los pagos de la cuenta están retrasados tres meses.   Estado 5: Se ha saldado la cuenta (pagada). Estado 6: Se ha cancelado la cuenta por ser mal pagado (incobrable)   Supongamos que los últimos datos indican que la siguiente cadena de Markov describe cómo cambia el estado de una cuenta de un mes al siguiente:

 1 00..00 001..60 002..50 003..00 00..54 00..00   = 23 00..00 00..00 00..00 00..40 00..67 00..30  [00..00 00..00 00..00 00.. 00 10..00 01..00]

 

Por ejemplo, si al principio de un mes una cuenta lleva dos meses de vencida, hay 40% de probabilidades de que no se pague al principio del mes siguiente y, por lo tanto, que tenga tres meses de retraso y una probabili probabilidad dad de 60% de que se pague. Para simplificar el ejemplo, supondremos que después de tres meses, la cuenta o se cobra o se considera incobrable. Una vez que una deuda es pagada  o  o se considera incobrable , se cierra y no se tienen más transiciones. Por lo tanto. Pagada e Incobrable  son   son estados absorbentes. Como toda cuenta al final o se paga o se considera incobrable, las cuentas  Nueva , 1 mes , 2 meses   yy 3 meses  son   son estados transitorios. Por ejemplo, una cuenta vencida hace 2 meses  puede  puede seguir la trayectoria 2 meses-Pagada , pero no hay regreso posible de Pagada a 2 meses .

Una cuenta nueva  normal  normal será absorbida ya sea como pagada  o  o como incobrable . Una pregunta de mayor interés i nterés es:  ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta nueva finalmente se pueda cobrar?

Más adelante en esta sección se encontrará la respuesta.

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Ejemplo 2: Planificación de personal de un estudio de abogados  abogados  

Un estudio de abogados emplea a tres categorías de abogados:  principiantes , con experiencia   yy socios . Durante un año determinado hay una probabilidad 0.15 que un abogado  principiante  sea  sea ascendido a abogado con experiencia   y una probabilidad 0.05 que deje la empresa . También, hay una probabilidad 0.20 que un abogado con experiencia   sea ascendido a socio y una probabilidad 0.10 que deje la empresa . También hay una probabilidad 0.05 que un socio  llegue a dejar la empresa . El estudio nunca degrada a un abogado. Surgen muchas preguntas interesantes que la empresa podría contestar. Por ejemplo:  ¿Cuál es la probabilidad que un abogado principiante recién contratado se vaya antes de ser socio?  En promedio, ¿cuánto tiempo permanece un abogado principiante recién contratado con la empresa?

Las respuestas se deducirán después en esta sección. Modelaremos la trayectoria de un abogado como cadena absorbente de Markov con la siguiente matriz de probabilidad de transición: Pr: Ex:  As: SNSoc: SSoc:

Principiante    Experimentado   Asociado  Sale no socio  Sale siendo socio

    =    

0.80 0..177050 0.00 0..010150 0.00 0.00 0 0.20 0 0.00 0.00 0. 0000 0.0905 01.0000 1.0.005

 

Los dos últimos estados son estados absorbentes y los demás son transitorios. Por ejemplo.  Experimentado  es estado transitorio, porque hay una trayectoria de Experimentado a Sale sin ser socio, pero no hay trayectoria que regrese de: Sale sin ser socio a: Experimentado. Suponemos que una vez que un abogado sale de la empresa nunca regresa. Para toda cadena absorbente se desea conocer: (1) Si la cadena comienza en un estado determinado transitorio, y puede alcanzar un estado absorbente, ¿Cuántos periodos esperamos pasar en un determinado estado transitorio antes que se efectué la absorción? (2) Si una cadena inicia en un estado transitorio dado, ¿cuál es la probabilidad de terminar en cada uno de los estados absorbentes? Para contestar preguntas necesitamos formular la matriz transición con los estados en una lista con el siguiente orden:estas primero los estados transitorios y después los de absorbentes.

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MATRIZ FUNDAMENTAL Y CALCULOS ASOCIADOS

El cálculo de las probabilidades de estado absorbente requiere la determinación y uso de lo que se llama matriz fundamental. Aquí se muestra cómo la matriz fundamental se deriva a partir de la matriz de transiciones. Se debe de ordenar cualquier matriz absorbente en términos de las siguientes matrices: Q  R   O  I 

para los estados transitorios. para la probabilidad de absorción. para la probabilidad de salir de un estado absorbente. para los estados absorbentes.

 =    =()−  

Puede calcularse la matriz N  llamada  llamada fundamental, usando la siguiente fórmula:  

Donde: I   es es una matriz identidad, cuyos elementos son unos en la diagonal principal y ceros en todo el resto de la matriz. El superíndice -1   se usa para indicar el inverso de la matriz (I-Q) .  Entonces, para el primer ejemplo, las partes de la matriz de probabilidad de transición se pueden expresar: De:

   1 2 3    = 123 [00..00 00..600 00..500 00..400 01..65740 00..300] 0.0 0.0 0.0 0. 0 0.0 1.0 0 . 0 0 . 6 0 . 0 0 . 0 0 . 4 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 0 0 . 5 0 0 . 5 0  = 00..00 00.. 00 00..00 00..40 = 00..67 00..300  

Se tiene:

 

1)  ¿Cuál es la probabilidad que una cuenta nueva sea cobrada alguna vez? 2)  ¿Cuál es la probabilidad que una cuenta atrasada un mes se vuelva finalmente incobrable? 3)  Si los ingresos por cuentas nuevas son 10000 soles en promedio mensual, ¿cuánto dinero será incobrable cada año? Solución:

  1  0 . 6 0 . 0 0 . 0 0. 0 1  5 =0.0.00 00.0..00    0.01.0  0.14   1 0 . 6 0 0 . 3 0 0 . 1 2 =()− =   0 0.00...000000 001..0000  00.1.5000 0.0.41200  

 

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Para contestar las preguntas 1 a 3 necesitamos calcular:

     ()−− = 12 000...998648400 000...001362600 3 0.700 0.300

 

1)  ¿Cuál es la probabilidad que una cuenta nueva sea cobrada alguna vez? 96.4%  2)  ¿Cuál es la probabilidad que una cuenta atrasada un mes se vuelva finalmente incobrable? 6%  3)  Si los ingresos por cuentas nuevas son S/.10000 en promedio mensual, ¿cuánto dinero será incobrable (0.036)(10000)(12) )(12) =S/.4320  cada año? (0.036)(10000 Para el segundo ejemplo, las partes de la matriz de probabilidad de transición se pueden expresar como: De:

Se tiene:

  0.80 0.15 0.00 0.05 0.00  =    000...000000 000... 707000000000 0.0.0.290050 001...00101000 0.00..000500  [0.00 0. 0000 0.00 0. 0000 1.00]  = 000...008000 000...17070500 0.0.0.902005 =000...100005 000...0000050005

 

 

1)  ¿Cuál es la duración promedio de un abogado joven recién contratado en la empresa? 2)  ¿Cuál es la probabilidad de que un abogado joven llegue a ser socio? 3)  ¿Cuál es la duración promedio que pasa un socio en el bufete? Solución:

  0 0 . 2 0  0 . 1 5 ()=   00 0.030 0.0.0250 ()−− =  005 1200./53 40/31020              0 . 5 0 0 . 5 0 − −  ()  =   10/3 2/13 

 

 

 

Por lo tanto:   1) ¿Cuál es la duración promedio que un abogado se queda en el estudio si decide hacer carrera ahí? 17.5 años  2)  ¿Cuál es la probabilidad de que un abogado principiante llegue a ser socio? 0.50  El tiempo esperado que un abogado principiante permanece en la empresa = ( duración duración esperada del abogado principiante en la empresa como principiante  ) + ( tiempo tiempo esperado que el abogado principiante permanece en la empresa como abogado con experiencia   ) + ( tiempo tiempo esperado que el abogado principiante permanece en la empresa como socio ). 1.  Entonces de (I-Q) -1:  Tiempo esperado como como principiante = 5  Tiempo esperado como como con experiencia =2.5 =2.5  Tiempo esperado como como socio = 10 Por lo tanto, el tiempo total t otal esperado que un abogado principiante permanece en la empresa es: 5 + 2.5 + 10= 17.5 años. 2.  La probabilidad de que un abogado principiante recién ingresado llegue a ser socio es tan solo la probabilidad de que salga de la empresa siendo socio. La respuesta es el elemento  p12  de  de (I - Q) -1R = 0.50 5