1258452_CALCULO_DIFERENCIAL

FUNCIONES. 3.4.1 Concepto de función.- Es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida. El dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles. Notación: y = f (x) ; que se lee: “y” es igual a “f” de “x”. Cuando decimos que “y” es una función de “x” queremos decir que el valor de la variable “y” depende de “x” y se determina únicamente por el valor de la variable “x”. “x” es la variable de entrada y “y” es la variable de salida. Los papeles respectivos de las dos variables hacen que la variable “x” reciba el nombre de variable independiente y la variable “y” se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menudo nos referimos a la variable “y” como el valor de la función. “f” es el nombre de la función o regla de mapeo (proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valores de entrada). Ejemplo 18 (pág. 145 Budnick). Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si suponemos que: y = salario semanal en pesos. x = número de unidades vendidas cada semana Se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la función: y = f(x) donde “f” es el nombre de la función del salario. Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal: y = f(x) = 3x + 25 Dado cualquier valor para “x”, la sustitución de este valor en f dará como resultado el valor correspondiente de “y”. Por ejemplo, si deseamos calcular su salario semanal cuando vende 100 unidades, sustituir x = 100 en la función: y = 3(100) + 25 = $325 Ejemplo 3 (pág. 146). El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil totalmente equipado es de $100 000. También estima un costo operativo promedio de $.40 por kilometro. a) Determine la función matemática que representa el costo total de la posesión y operación del automóvil en términos de los “x” kilómetros conducidos. b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil 50 000 kilómetros durante su tiempo de vida? c) ¿Si se conduce 100 000 kilómetros? Solución: a) CT = .40x + 100 000 b) CT = .40(50 000) + 100 000 = $120 000 c) CT = .40(100 000) + 100 000 = $140 000

3.4.2 Función lineal. 1. Concepto.- Una función lineal tiene la forma general (pendiente-intercepcion) y = f ( x ) = a1 x + a0

Donde a0 y a1 son constantes 2.- Función lineal que incluye dos variables independientes tiene la forma: y = f ( x1 , x2 ) = a1 x1 + a2 x2 + a0

Donde: Donde a1 y a2 son constantes (no cero) y a0 es una constante. 3.- Funciones lineales de Costo.- Los contadores o economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes: costo variable y costo fijo total. Se deben sumar esos dos componentes para determinar el costo total. El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo. Ejemplo (pág. 187 Ejemplo 2).- Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual “y” como una función del número de unidades fabricadas “x”. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 00. También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son de $5.50 y los costos del trabajo por unidad son de $1.5, en el departamento de ensamble, $.75 en el departamento de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución. La función de costo total tendría la forma: y = C(x) = costo variable total + costo fijo total. Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se define el costo total por medio de la función: y = costo total de la materia prima + costo total del trabajo + costo fijo total. = costo total de la materia prima + costo del trabajo (departamento de ensamble) + costo del trabajo (cuarto de acabado) + costo del trabajo (departamento de envíos) + costo fijo total.

y = 5.5 x + (1.5 x + .75 x +1.25 x ) + 50000 ∴y = f ( x ) = 9 x + 50000

4.- Funciones lineales del ingreso. Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la venta de productos o por la prestación de un servicio como ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta de un producto o servicio es: Ingreso total = (precio) (cantidad vendida). Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas. Suponga que una empresa fabrica n productos. Si xi es igual al número de unidades vendidas del producto “i” y p j es igual al precio del producto “j”, la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de “n” productos es: R = IT = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 +... + pn xn

5.- Ejemplo de función de ingreso. (pág. 188) Una agencia local de renta de autos trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupa adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. El señor “H”, propietario de la empresa ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. “H” también simplifico la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de su automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si R = ingreso anual en pesos “d” = número de días de renta de autos durante el año. R = f(d) = 9.95d 6.- Funciones lineales de utilidad. La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Expresado en forma de ecuación: Utilidad = Ingreso total – Costo total. Si Ingreso total es: R(x) y Costo total es: C(x), entonces la Utilidad Total sería: P (x) = R (x) – C (x) 7.- Ejemplo de funciones de utilidad. Pág. 189. Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son de $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de “x”, el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son de 20 000 unidades? SOLUCIÓN: R(x) = 65x C(x) = 47.50x + 100 000 Por lo tanto: P(x) = 65x-(47.5x + 100 000) =65x -47.5x-100000 =17.5x – 100 000 Si la x= 20 000 la utilidad es: 17.5 (20 000) -100 000=$250 000 8.- EJEMPLOS VARIOS. 1. Pág. 190 ejemplo 5 PLANEACIÓN DE LA AGRICULTURA.- Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se utilizaran el año próximo. Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. La tabla “A” indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociaos con la operación de cada granja. Además de los costos fijos relacionados con l operación de cada granja, la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $75 000. Determine la función de la Utilidad para la operación de las tres granjas si x j = número de acres plantados en la granja j, rj = ingreso por acre en la granja j, c j = costo por acre en la granja j y F j =Costo fijo en la granja j. TABLA A Granja Cosecha Ingreso/acre Costo/acre c j Costo Fijo F j rj

1 2 3

Frijol de soya Maíz Papa

$900 1100 750

$1300 1650 1200

$150 000 175 000 125 000

SOLUCIÓN: El ingreso total es:

R ( x1 , x2 , x3 ) = r1 x1 + r2 x2 + r3 x3

=1300 x1 +1650 x2 +1200 x3

Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos corporativos: C ( x1, , x2 , x3 ) = c1 x1 + F1 + c2 x2 + F2 + c3 x3 + F3 + 75000

= 900 x1 + 150000 + 1100 x2 + 175000 + 750 x3 + 125000 + 75000 = 900 x11100 x2 750 x3 + 525000

La utilidad total es una función lineal que se calcula como: P ( x1 , x2 , x3 ) = R ( x1 , x2 , x3 ) −C ( x1 , x2 , x3 ) = 400 x1 + 550 x2 + 450 x3 −525000

Granja

1 2 3

Cosecha

Costo/acre Frijol de soya $ 900

Maíz Papa

1100 750

Ingreso/acre $1300 1650 1200

Costo fijo $150000 175000 125000

1.- Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes. 3.- Suponga en el ejemplo 1 (pág. 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta combinada de los os productos es de más de 80 unidades. El bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este programa de incentivo, la función del salario se debe describir por medio de dos funciones lineales. ¿Cuáles son? (Ejemplo 1: Suponga que el salario de un vendedor depende del número de unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. Más específicamente suponga que la función del salario: y = f ( x1 , x2 )

y = 5 x1 + 3 x2 + 25

Donde: y = Salario semanal, x1 = número de unidades vendidas del producto 1 y x2 = número de unidades vendidas del producto 2. Esta función del salario, sugiere un salario semanal base de $25 y comisiones por unidad vendida de $5 y $3 respectivamente, para los productos 1 y 2.) 5.- Un fabricante de microcomputadoras, produce tres modelos distintos. La tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo, el costo del material por unidad y el costo del trabajo por unidad. Los cosos fijos anuales son de $25 millones: Microcomputadora

precio de venta al mayoreo/unidad costo del material/unidad costo el trabajo/unidad

modelo 1 $500 175 100

modelo 2 $1000 400 150

modelo 3 $1500 750 225

a) Determine la función del ingreso total conjunto de las ventas de los tres modelos diferentes de microcomputadoras. b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres modelos. c) Determine la función de la utilidad de la venta de los tres modelos. d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000, 40 000 y 10 000 unidades, respectivamente, de los tres modelos. 7.- Renta de Automóviles.- Una agencia de renta d automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la agencia. Los autos nuevos cuestan $15 000. Se usan por 3 años, después de los cuales se venden en $4500. El propietario de la agencia estima que los costos variables de la operación de los autos, aparte de la gasolina, son de .18 por kilómetro. Se rentan los autos a una tarifa sencilla de $.33 por kilómetro (sin incluir la gasolina). a) Formule la función del ingreso total asociada con la renta de uno de los autos por un total de “x” kilómetros en un periodo de tres años. b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por un total de “x” kilómetros en tres años. c) Formule la función de utilidad. d) ¿Cuál es la ganancia si se renta un automóvil por 60 000 kilometros en un periodo de tres años? e) ¿Qué kilometraje se requiere para tener una utilidad de cero en 3 años? 9.- Una gasolinera vende gasolina regular sin plomo y Premium sin plomo. El precio por galón que la gasolinera cobra es de $1.2999 en el caso de la regular sin plomo y de $1.379 por la Premium sin plomo. El costo por galón del proveedor es de $1.219 por la regular sin plomo y de $1.289 por la Premium. Si x1 equivale al número de galones vendidos de gasolina regular y x2 el número de galones vendidos de gasolina Premium: a) Formule la función del ingreso de la venta de x1 y x2 galones, respectivamente, de los dos tiepos de gasolina. b) Formule la función del costo total de la compra de x1 y x2 galones, respectivamente, de los dos tipos. c) Formule la función de la utilidad total. d) ¿A cuánto se espera que ascienda la utilidad total si la gasolinera vende 100 000 galones de gasolina regular sin plomo y 40 000 de gasolina Premium sin plomo.

Ejemplo 6: (Depreciación en línea recta) Cuando las organizaciones compran equipo, vehículos, construcciones y otros tipos de "activos de capital", los contadores por lo regular asignan el costo del artículo al periodo en que se usa el artículo. Para un camión que cuesta $20000 y que tiene una vida útil de 5 años, los contadores podrían asignar $4000 por año como un costo de posesión de camión, til costo asignado a cualquier periodo dado recibe el nombre de depreciación.

Los contadores también llevan registros de cada activo mayor y su valor actual de alguna forma o como antes lo hacían en "libros". Por ejemplo, el valor del camión puede aparecer en cualquier estado contable como $20000 en el momento de la compra, $20000 - $4000 = $16000 un año después de la fecha de compra y así sucesivamente. También se puede considerar la depreciación como la cantidad que disminuyó el valor en libros de un activo. Aunque hay una variedad de métodos de depreciación, uno de los más sencillos es la depreciación en línea recta. En este método la tasa de depreciación es consuuite. Usto implico que el por en libros disminuye como una función lineal con el paso del tiempo, Si V es igual al valor cu ¡¡ s (en dólares) de un activo y t equivale al tiempo (en años) medido a punir de la ;< •. /iíi de compra para el camión antes mencionado, V = f(t) = costo de compra — depreciación = 20000 - 4000í Ejemplo 7 (Funciones lineales de la demanda) Como se estudió en el ejemplo 13 del capítulo 4, una función la demanda es una relación matemática que expresa la manera en que varía la cantidad demandada de un artículo con el precio que se cobra por el mismo. Por lo regular, la relación entre estas dos variables (cantidad demandada y precio por unidad) es inversa', es decir, un decremento en el precio da como resultado un incremento en la demanda. El propósito de las ventas especiales casi siempre es estimular la demanda. Si los supermercados bajaran el precio de! filete mignon a $0.75 por libra, tal vez habría un aumento considerable en la demanda de ese artículo. Por otro lado. los incrementos en el precio del producto normalmente dan como resultado un decremento en la demanda. La frase subir los precios para que la gente no compre se refiere a la pérdida de clientes como consecuencia de los aumentos del precio. Si de pronto el precio del filete mignon fuera el triple, con todos los demás factores como los niveles de ingreso manteniéndose constantes, mucha gente ;: * en la actualidad es capaz de comprarlo quedaría fuera del mercado. Por supuesto, hay excepciones para este comportamiento. Es probable . . demanda de productos o servicios que se consideran como necesidades fluctúe menos con cambios moderados en e! precio. Los artículos como medicamentos prescritos, servicios médicos y ciertos artículos alimenticios son ejemplos de esta clase de productos. A pesar de que la mayoría de las funciones de la demanda no son lineales, hay situaciones en que la relación de la demanda es una función lineal o se puede aproximar razonablemente bien p