122779068-19934-0-529-9749-Matematicas-3-ESO

Matemáticas

edebé

3

ESO

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1 Números racionales COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática • Realizar cálculos con números racionales en diferentes situaciones. • Utilizar el cálculo mental como herramienta para agilizar las operaciones aritméticas.

Competencia en comunicación lingüística • Organizar la información e integrarla con los conocimientos propios.

Competencia para aprender a aprender • Utilizar de forma eficiente recursos, técnicas y estrategias para nuevos aprendizajes y garantizar su eficacia.

CONTENIDOS 1. Fracciones 1.1. Fracciones equivalentes

2. El conjunto de los números racionales 2.1. Concepto de número racional 2.2. Representación y ordenación de los números racionales 2.3. Números racionales y números decimales

3. Operaciones con números racionales 3.1. Suma, resta, multiplicación y división 3.2. Potenciación y radicación 3.3. Operaciones combinadas

4. Porcentajes 6

Unidad 1

PREPARACIÓN DE LA UNIDAD • Los números naturales son los números que utilizamos para contar, y forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que representamos por la letra ⺞ ⺞ : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

• Dos números naturales son primos entre sí cuando su único divisor común es 1. • Para calcular el M.C.D. de dos o más números se multiplican los factores primos comunes a dichos números elevados al menor exponente. • Para calcular el m.c.m. de dos o más números se multiplican los factores primos comunes y no comunes a dichos números elevados al máximo exponente. • El conjunto de los números enteros se representa por la letra ⺪ y está representado por los números naturales precedidos de signo y el 0. ⺪ : {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}

• Una fracción es la expresión de una división entre dos números, el numerador y el denominador. Así, 1 : 5 = 1 5

En general las películas de cine se graban a 24 fotogramas por segundo, o lo que es lo mismo, en un segundo, se graban 24 imágenes, que luego proyectadas logran generar la sensación de movimiento en la pantalla. ¿Cuántos segundos dura un fotograma? ¿En un minuto, cuántos fotogramas hay? — En el cine mudo la frecuencia de grabación era de unos 17 fotogramas por segundo. En este caso ¿cuántos fotogramas hay en un minuto?

Cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimitado periódico. Decimales limitados: −3,9; 4,25; 0,832… Decimales ilimitados periódicos

Puros: 0,  23 …

… Mixtos: 9, 7415 Números racionales

7

1. Fracciones Los números enteros, positivos y negativos, no bastan para expresar cantidades que se presentan habitualmente. Así por ejemplo, para repartir un litro de naranjada entre cinco amigos debe efectuarse la división 1 : 5 que puede expre1 sarse mediante la fracción . 5 Una fracción es toda expresión de la forma a en la que a y b son números b enteros, siendo b ≠ 0. Toda fracción consta de dos términos: Numerador Denominador

a b

Una fracción puede interpretarse de tres formas distintas: FRACCIÓN COMO PARTE DE UN TODO O UNIDAD

FRACCIÓN COMO DIVISIÓN ENTRE DOS ENTEROS

FRACCIÓN COMO RAZÓN DE MEDIDA A

B

C

Cuando decimos que hemos estado un cuarto de hora esperando, significa que hemos dividido la hora en 4 partes y el tiempo de espera corresponde a una de estas partes.

Para repartir 2 L de naranjada entre cinco amigos efectuamos la división 2 : 5. 2:5=

D

3 La longitud de AB es de la longi5 tud de CD.

2 = 0, 4 L 5

Las fracciones pueden clasificarse en: • Fracciones propias: fracciones menores que la unidad.

1 3

RECUERDA Las fracciones, igual que los números enteros, pueden ser positivas o negativas.

• Fracciones iguales a la unidad:

Toda fracción positiva puede expresarse como el cociente de dos números enteros, ambos positivos o ambos negativos. +9 −9 9 = = +16 −16 16 Toda fracción negativa puede expresarse como el cociente de dos números enteros, uno de ellos positivo y el otro negativo. −2 2 2 = =− 3 −3 3

8

Unidad 1

3 =1 → 3 • Fracciones impropias: fracciones mayores que la unidad 4 3

→ 1 unidad +

1 3

Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma parecida a como representamos los números enteros. –1

–

3 5

0

1 4

1

1.1. Fracciones equivalentes Dos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad y verifican que el producto en cruz de sus términos da el mismo resultado.

Dos fracciones, positivas o negativas, son equivalentes si representan el mismo punto sobre la recta.

a y c son equivalentes si se cumple: a ⋅ d = b ⋅ c b d

Las fracciones

Para obtener una fracción equivalente a una dada podemos proceder de dos maneras a partir de la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes: Multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número entero distinto de 0. ·3 24 8 36 12 ·3

FÍJATE

–

2 3

–

4 6

1 3 0

–1

+1 2 6

Dividimos el numerador y el denominador por un mismo número entero distinto de 0. :2 4 8 6 12 :2

Si dividimos, conseguimos simplificar la fracción. Toda fracción puede simplificarse hasta llegar a la fracción irreducible. Una fracción se llama irreducible si el numerador y el denominador son números primos entre sí. Veamos los diferentes procedimientos para calcular la fracción irreducible equivalente a una dada. Dividimos sucesivamente el numerador Descomponemos el numerador y el denomiy el denominador entre divisores co- nador en factores primos. munes de ambos hasta obtener la fracDividimos el numerador y el denominador por ción irreducible. los factores comunes. 1050 105 35 5 = = = 1260 126 42 6 :10

:3

c)

8 y 34 28 119

e)

72 y 42 168 98

■ Fracciones equivalentes

Calculamos el M.C.D. de los términos de la fracción. Dividimos el numerador y el denominador por su M.C.D.

3. Simplifica estas fracciones hasta obtener las irreducibles equivalentes. −24 105 42 −342 173 360 −188 , , , , , , 36 540 18 −285 252 480 −705 — Explica qué procedimiento has utilizado.

ACTIVIDADES

a) 15 y 21 35 49

24 36

1050 1050 : 210 5 = = 1260 1260 : 210 6

:7

2. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

8 12

M.C.D. (1050, 1260) = 210

1050 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅5⋅ 7 5 = = 1260 2 ⋅2⋅ 3 ⋅3⋅ 5 ⋅ 7 6

1. Se deben repartir 2 panes y 4 salchichas a partes iguales enCB tre 3 comensales. ¿Cómo efectuarías el reparto?

4 6

4. Si tienes dos fracciones cualesquiera y hallas sus fracciob) 6 y 8 82 109

d) 72 y 102 42 63

f ) 35 y 60 28 48

nes irreducibles correspondientes, ¿puedes determinar a partir de éstas si las fracciones iniciales son equivalentes? Justifica tu respuesta.

Números racionales

9

2. El conjunto de los números racionales

Ya conoces el conjunto de los números naturales ⺞ y el de los números enteros ⺪. Vamos a definir un nuevo conjunto que englobe a las fracciones.

FÍJATE Hemos visto que todas las fracciones equivalentes representan el mismo punto sobre la recta. Así pues, a cada número racional le corresponde un único punto sobre la recta.

2.1. Concepto de número racional Dada una fracción cualquiera, podemos calcular infinitas fracciones equivalentes.

2=4=6 3 6 9 0

1

FRACCIÓN

FRACCIONES EQUIVALENTES

12 18

2 4 6 −10 , , , ... 3 6 9 −15

21 14

−3 3 −6 18 , , , ... 2 −2 4 −12

−

El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un número racional. Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen2 4 6 tante de dicho número. Así, las fracciones , , ... representan el mismo nú3 6 9 mero racional. El representante canónico de un número racional es la fracción irreducible de denominador positivo, representante de ese número. Así: Número racional

FÍJATE Los números enteros son un caso particular de números racionales cuyo representante canónico tiene denominador 1.

ACTIVIDADES

a=

10

⎧ 2 4 6 −10 12 ⎫ , ... ⎬ ⎨ , , , ⎩ 3 6 9 −15 18 ⎭

→

2 3

⎧ −3 3 −6 18 ⎫ , , ... ⎬ ⎨ , ⎩ 2 −2 4 −12 ⎭

→

−3 2

Aunque podemos representar un número racional mediante cualquiera de las fracciones que lo forman, es habitual utilizar el representante canónico. El conjunto de los números racionales se designa mediante la letra ⺡. Este conjunto incluye al de los números enteros ⺪ y, por tanto, al de los números naturales ⺞.

a 1

5. Determina el representante canónico de cada uno de los siguientes números racionales. 8 1032 30 3 −54 33 , , , , , 4 36 25 12 180 −187

Unidad 1

Representante canónico

6. ¿Cuántos números racionales diferentes hay en esta serie? −120 32 288 150 14 88 , , , , , 36 20 180 −45 26 55

2.2. Representación y ordenación de los números racionales

RECUERDA Para dividir un segmento en partes iguales podemos recurrir al método de Tales:

Para representar un número racional sobre la recta seguimos el siguiente procedimiento: — Consideramos el representante canónico del número racional. — Efectuamos la división entera del numerador entre el denominador. El cociente de esta división determina los dos números enteros que son extremos del segmento donde se situará el número racional. — Dividimos el segmento determinado por estos dos números enteros en tantas partes como indica el denominador de la fracción y tomamos tantas partes como indica el resto de la división.

— Dibujamos el segmento a y trazamos desde uno de sus extremos una semirrecta. Sobre ésta situamos consecutivamente un mismo segmento b de longitud arbitraria tantas veces como divisiones deseemos realizar. — Unimos el extremo libre del último segmento b con el extremo libre del segmento a y, a continuación, trazamos proyecciones paralelas desde los extremos de cada segmento b. b b

3 4

–

3 5

–

10 4

–

10 = 5 ; – 2 4

b

5 1 1 2

0

3 4

1

–1

–

3 5

–3

0

–2 10 – 4

b

2 2

–1

a

–2 y –3

0

@ Accede a la página www.youtube.com/ watch?v=G6sNHZNMM5o dónde encontrarás un video explicativo de como dividir un segmento en partes iguales utilizando el método de Tales.

Observa que si el número racional es positivo, quedará situado a la derecha del 0 y, si es negativo, a la izquierda. Al ordenar dos números racionales, representándolos sobre la recta y observando sus posiciones relativas podremos compararlos.

Podemos comparar números racionales sin necesidad de representarlos sobre la recta. Para comparar números racionales de distinto denominador determinamos primero sus representantes canónicos, los reducimos a común denominador y comparamos las fracciones obtenidas. Si dos fracciones tienen el mismo denominador positivo, es mayor la que tiene el mayor numerador.

a c c a Si está situado a la derecha de , se verifica > . b d d b

–1

– 3 4

0

1 2

3 4

Comparación de números racionales

+1

3 1 3 > >0>− 4 2 4

Así:

5 −12 −7 4 , , , 6 5 3 7

8. Ordena de mayor a menor estos números racionales. 1,

11 5 −2 4 −3 , , , , 10 6 3 5 2

3

>

6 5

pues

20 15

>

18 15

9. Escribe cinco números racionales comprendidos entre 1 2 y . 3 3 Indicación: puedes tener en cuenta que la semisuma de dos números (el resultado de su suma dividido entre 2) siempre será igual a un número comprendido entre ambos y situado en el punto medio del segmento que determinan.

Números racionales

ACTIVIDADES

7. Representa gráficamente estos números racionales.

4

11

2.3. Números racionales y números decimales Todo número racional puede expresarse mediante una fracción y ésta, a su vez, como un número decimal. ⎧ 2 −2 4 6 8 ⎫ 2 , , , ,... ⎬ → → 0, 6666666666... ⎨ , 3 3 6 9 12 3 − ⎩ ⎭ @ Si accedes a la página http://descartes.cni ce.mecd.es/3_eso/Fraccio nes_decima les_porcentajes/Fraccion es_4.htm podrás utilizar un applet para averiguar cuántos decimales, como máximo, forman el período del número decimal correspondiente a una fracción de denominador 11.

Todo número racional puede expresarse mediante el número decimal que resulta de dividir el numerador entre el denominador de uno cualquiera de sus representantes.

A todas las fracciones equivalentes de una misma fracción les corresponde el mismo número decimal.

Expresión decimal de un número racional Al buscar la expresión decimal de un número racional a pueden darse los sib guientes casos: El resto de la división a : b es 0 después de sacar una o varias cifras decimales. 77

55

220 00

1,4

29

4

10 20 0

7,25

Obtenemos un número decimal limitado.

1,4; 7,25

El resto de la división a : b nunca es 0, por más decimales que saquemos. Puesto que el resto debe ser menor que el divisor, llegará un momento en que se repetirá y, por tanto, las cifras del cociente también se repetirán. 15

11

40 70 40 70 4

19

1,3636...

6

10 40 40 4

3,166...

Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico. Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un número decimal ilimitado periódico puro.

Si el período no empieza inmediatamente después de la coma, es un número decimal ilimitado periódico mixto.  3,166... → 3,16

 1,3636... → 1, 36

(

En un número decimal ilimitado y periódico las cifras que llevan el signo piten, es decir, las que forman el período.

son las que se re-

Así, podemos clasificar los números racionales como sigue:

ACTIVIDADES

Números racionales

12

10. Escribe los siguientes números decimales indicando cuál es su período y clasifícalos según sean periódicos puros o mixtos. 21,564564564..., 56,23656565..., 12,54545454..., 0,125125125..., 5,432432432432..., 4,59595959....

Unidad 1

冦

Decimales limitados

Decimales ilimitados

冦

Periódicos puros Periódicos mixtos

11. Clasifica en limitados e ilimitados los siguientes números deci  ; 1, 425;  2,143 ;;. 0,42; 21,53; −0, 4 . males: 2, 424242...;  3, 25

— Clasifica en puros o mixtos los números decimales ilimitados periódicos.

Expresión fraccionaria de un número racional

FÍJATE

Acabamos de ver que todo número racional es un número decimal limitado o ilimitado periódico. 77 = 1, 4 55

29 = 7, 25 4

) 15 = 1, 36 11

) 19 = 3,16 6

El conjunto de los números racionales ⺡ es la unión del conjunto de los números decimales limitados y el de los ilimitados y periódicos.

La afirmación recíproca también es cierta, es decir, todo número decimal limitado o ilimitado periódico es un número racional. La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado periódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.

— Llamamos x a la fracción generatriz: x = 1,75 — Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para eliminar la coma: 100 x = 175 — Despejamos x y simplificamos la fracción:

Halla la fracción generatriz del número ) decimal periódico puro 16,45 . — Llamamos x a la fracción generatriz: ) x = 16, 45 — Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo después del primer período: 100 x = 1 645, 4 545… — A la expresión obtenida le restamos la expresión inicial: 100 x = 1645,4545... −x=

175 7 x = = 100 4 Así: 1, 75 =

7 4

EJEMPLO 3

Halla la fracción generatriz del número decimal limitado 1,75.

EJEMPLO 2

EJEMPLO 1

El número racional correspondiente al decimal dado será aquel que tenga dicha fracción como representante canónico.

16,4545...

100 x − x = 1629

Halla la fracción generatriz del número de) cimal periódico mixto 0,46 . — Llamamos x a la fracción generatriz: ) x = 0, 46 — Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo después del primer período, y por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo antes del primer período: 100 x = 46, 6666... 10 x = 4, 6666... — Restamos las dos expresiones obtenidas: 100 x = 46, 6666... −10 x = 4, 6666...

99 x = 1629 — Despejamos x y simplificamos la fracción: 1629 181 x = = 99 11 ) 181 Así: 16, 45 = 11

100 x − 10 x = 42 90 x = 42 — Despejamos x y simplificamos la fracción: x =

42 7 = 90 15

) 7 Así: 0, 46 = 15

12. Halla la expresión decimal de estos números racionales. 13 2 4 −5 4 −2 11 , , , , , , 11 7 13 6 −4 −5 9

13. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales. ) ) ) ) ) ) ) 2,036; 75, 012 ; 9,99; 9, 07632 ; 1, 203 ; 0, 016 ; 0, 9 ; 21, 45 ; 0, 436 — ¿Qué sucede cuando el número es periódico puro de período 9?

Números racionales

ACTIVIDADES

Para comprobar que la fracción obtenida es la correcta, sólo tenemos que dividir su numerador entre su denominador.

13

Las fracciones en la calculadora Algunas calculadoras científicas están preparadas para operar con números racionales en forma fraccionaria. Son las que disponen de la tecla a b/c Observa cómo efectuamos la operación 1 2 + = 2 5 1

a b/c

2

+

2

a b/c

5 EXE

3. Operaciones con números racionales Hemos visto que un número racional está formado por una fracción y todas sus equivalentes. Para sumar, restar, multiplicar o dividir números racionales, tomaremos representantes de estos números y operaremos como si se tratase de fracciones.

3.1. Suma, resta, multiplicación y división Observa cómo sumamos los siguientes números racionales: 6 8 + 10 24

Comprueba si la calculadora ha obtenido el resultado correcto. +

6 3 9 = = 10 5 15

=

5 8 1 = = 15 24 3

14 15

— Escogemos un representante de cada número racional. Podemos elegir cualRECUERDA Reducir fracciones a mínimo común denominador significa hallar unas nuevas fracciones equivalentes a las primeras cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas.

quiera; ahora bien, para agilizar el cálculo es aconsejable utilizar los representantes canónicos, 3 y 1 . 5 3 3 1 + 5 3 — Sumamos estas fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a mínimo común denominador. 3 1 9 5 14 + = + = 5 3 15 15 15

En el caso de 3 y 1 tenemos: 3 5 m.c.m. (3, 5) = 15 15 : 5 = 3;

3⋅3 9 = 5⋅3 15

15 : 3 = 5;

1⋅ 5 5 = 3⋅5 15

El resultado de la suma es el número racional del cual 14 es un representante. 15 3 1 14 + = 5 3 15 Análogamente, para restar, multiplicar o dividir números racionales, operamos también con representantes de cada uno de ellos, generalmente los canónicos por sencillez. Observa los ejemplos. 20 4 − 25 6 7 10 • ⋅ 21 25 15 6 • : 7 15 •

@ Si accedes a la página www.homeschool math.net/worksheets/fraction_calcula tor.php podrás utilizar un applet para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

14

Unidad 1

→ → →

4 2 12 10 2 − = − = 5 3 15 15 15 2 1 2 ⋅ = 3 5 15 15 2 15 5 75 : = ⋅ = 7 5 7 2 14

Para operar con números racionales se escoge un representante de cada uno y se efectúa la operación correspondiente.

Propiedades de la suma y de la multiplicación La suma y la multiplicación de números racionales tienen una serie de propiedades, algunas de ellas similares a las que estudiaste para los números enteros. Obsérvalas a continuación.

PROPIEDADES DE LA SUMA

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía.

• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los factores, el resultado no varía.

a c c a + = + b d d b

a c c a ⋅ = ⋅ b d d b

• Propiedad asociativa. En una suma de varios sumandos, el resultado no depende de cómo se agrupen.

• Propiedad asociativa. En un producto de varios factores, el resultado no depende de cómo se agrupen.

⎛ a c ⎞ e a ⎛ c e⎞ ⎜⎝ b + d ⎟⎠ + f = b + ⎜⎝ d + f ⎟⎠

⎛a c⎞ e a ⎜⎝ b ⋅ d ⎟⎠ ⋅ f = b

⎛ c e⎞ ⋅⎜ ⋅ ⎟ ⎝d f⎠

• Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma, pues al sumar 0 a cualquier número racional el resultado es el mismo número.

• Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, pues al multiplicar por 1 cualquier número racional el resultado es el mismo número.

a 0 a + = b 1 b

a 1 a ⋅ = b 1 b

a • Elemento opuesto. Dado cualquier número racional , existe b otro número racional llamado el opuesto, −a , que sumado a b él da el elemento neutro.

• Elemento inverso. Dado cualquier número racional distinto de 0, a (a ≠ 0), existe otro número racional llamado el inverso, b b , que multiplicado por él da el elemento unidad. a a b 1 ⋅ = b a 1

a −a 0 + = b b b

• Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Para multiplicar un número racional por una suma de números racionales, podemos multiplicar el número racional por cada uno de los sumandos y sumar los resultados obtenidos. a b

⎛ c e⎞ a c a e ⋅⎜ + ⎟ = ⋅ + ⋅ ⎝d f⎠ b d b f

dades de las operaciones con números racionales que aparecen en esta página.

15. Calcula: CB

16. Calcula: CB a) 2 −

−1 2 + 3 5

b) −2 ⋅ 3 ⋅ 5 3 4 6

a)

24 −30 + 48 90

c) −2 ⋅ 6 5 5

17. Halla el opuesto de cada uno de los números racionales si-

b)

3 5 − 20 12

d) 3 : 21 7 5

−3 5 1 12 −4 , , , , 4 −2 2 −17 9

guientes.

Números racionales

ACTIVIDADES

14. Comprueba mediante ejemplos cada una de las propie-

15

3.2. Potenciación y radicación En algunas ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de números racionales iguales, como la siguiente: cuatro veces 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 5 5 5 5 4

⎛ 2⎞ Este producto puede expresarse como ⎜ 5 ⎟ , y es la potencia de base el ⎝ ⎠

RECUERDA

2 y exponente el número natural 4. 5 Para calcular la potencia de un número racional, calcularemos la potencia de uno de sus representantes, generalmente el canónico por sencillez. número racional

n veces

n

⎛ a⎞ a a a an = ⋅ ⋅ ⋅ = ... ⎜⎝ b ⎟⎠ b b b bn 1 a− n = n a ⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠

−n

⎛ b⎞ =⎜ ⎟ ⎝ a⎠

⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠

n

=

an bn

n

Así, por ejemplo: 4

⎛ 2⎞ 24 16 = = ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 4 625 5

Si el exponente de la potencia es un número entero negativo, podemos transformarla en otra de exponente positivo. Observa: ⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠

−n

=

⎛ b⎞ =⎜ ⎟ n ⎝ a⎠ ⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠

1

n

Las operaciones con potencias de base un número racional y exponente un número entero se efectúan de manera similar a las operaciones con potencias de base una fracción y exponente un número entero. MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE ⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠

m

n

⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ b ⎝ ⎠ ⎝ b⎠

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

m+ n

⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠

POTENCIA DE UNA POTENCIA n

ACTIVIDADES

m⋅n ⎛⎛ a⎞m⎞ ⎛ a⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎝ b ⎠ ⎟⎠ ⎝ b⎠

16

m

n

⎛ a⎞ ⎛ a⎞ :⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ b ⎝ ⎠ ⎝ b⎠

m− n

POTENCIA DE UN PRODUCTO n

3

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ a) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

Unidad 1

5

POTENCIA DE EXPONENTE 0

1

⎛ a⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠ = 1 ( a ≠ 0)

0

⎛ a⎞ a ⎜⎝ b ⎟⎠ = b

8

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

3

n

POTENCIA DE EXPONENTE 1

18. Efectúa: CB

n

⎛a c⎞ ⎛ a⎞ ⎛ c ⎞ ⎜⎝ b ⋅ d ⎟⎠ = ⎜⎝ b ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ d ⎟⎠

⎛1 1 c) ⎜ ⋅ ⋅ ⎝3 5

3⎞ 4 ⎟⎠

4

⎛ 1⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

−3

Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es buscar otro número que elevado al cuadrado sea igual al primero.

FÍJATE

2 c a = si y sólo si ⎛ a ⎞ = c ⎜⎝ b ⎟⎠ d b d

Así, por ejemplo:

n

Índice del radical

c a = d b

Radicando Raíz

2

⎛ 2⎞ 4 4 2 = pues ⎜ ⎟ = 9 ⎝ 3⎠ 9 3

Podemos también calcular la raíz enésima de un número racional: es el número racional que elevado a la potencia enésima es igual al primero. n

n

⎛ a⎞ c a c = si y sólo si ⎜ ⎟ = d b d ⎝ b⎠

Una raíz de un número racional puede tener un resultado, dos o ninguno según la paridad del índice y el signo del radicando.

3

Raíz

343 7 = 729 9

3

−343 −7 = 729 9

4

±2 16 = 81 3

4

−16 =? 81

Impar

Par

Par

Signo del radicando

+

−

+

−

Número de raíces

Una (positiva)

Una (negativa)

Dos (positiva y negativa)

No tiene.

144 Efectúa: a) 121

b) 3

8 − 125

c) 5

100000 32

a) El índice es par y el signo del radicando positivo, luego tendrá dos raíces, una positiva y otra negativa:

EJEMPLO 5

Impar

EJEMPLO 4

Paridad del índice

Ordena de menor a mayor estos números racionales. 0

⎛ 5 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎜⎝ 16 ⎟⎠ , ⎜⎝ 32 ⎟⎠

1,

b) El índice es impar y el signo del radicando negativo, luego tendrá una raíz negativa: ⎛ 2⎞ 8 2 8 = − pues ⎜ − ⎟ = − 125 5 125 ⎝ 5⎠

Finalmente los ordenamos de menor a mayor. 4

a)

−27 64

b)

−16 25

c)

4

1 81

d)

0

20. Ordena de menor a mayor estos números racionales 5

32 243

3

3

125 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 12 ⎞ − , , 512 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 15 ⎟⎠

−2

3

⎛ 3 ⎞ ⎛ 54 ⎞ , ⎜− ⎟ , ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 72 ⎠

1

Números racionales

ACTIVIDADES

19. Efectúa si es posible, razonando tu respuesta:

1

⎛ 11 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 40 25 ⎛ 3 ⎞ =+