12. Pemecahan Masalah Matematika

Penulis Clara Ika Sari Budhayanti Josef Tjahjo Baskoro Edy Ambar Roostanto Bitman Simanullang Penelaah Materi M. Syaifuddin Penyunting Bahasa Yumiati Layout Renaldo Rhesky N

Kata Pengantar Pendidikan Jarak Jauh (PJJ) memiliki ciri utama keterpisahan ruang dan waktu antara mahasiswa dengan dosennya. Dalam PJJ, keberadaan bahan ajar memiliki peran strategis. Melalui bahan ajar, mahasiswa secara mandiri mampu belajar, berefleksi, berinteraksi, dan bahkan menilai sendiri proses dan hasil belajarnya. Paket bahan ajar PJJ S1 PGSD ini tidak hanya berisi materi kajian, tetapi juga pengalaman belajar yang dirancang untuk dapat memicu mahasiswa untuk dapat belajar secara aktif, bermakna, dan mandiri. Paket bahan ajar ini dikemas secara khusus dalam bentuk bahan ajar hybrid yang meliputi: a. b. c. d.

Bahan ajar cetak, Bahan ajar audio, Bahan ajar video, serta Bahan ajar berbasis web.

Seluruh paket bahan ajar ini dikembangkan oleh Konsorsium PJJ S1 PGSD yang terdiri dari 23 Perguruan Tinggi (PT), yaitu Universitas Sriwijaya, Universitas Katolik Atmajaya, Universitas Pendidikan Indonesia, Universitas Negeri Yogyakarta, Universitas Negeri Malang, Universitas Muhammadiyah Malang, Universitas Tanjungpura, Universitas Nusa Cendana, Universitas Negeri Makassar, Universitas Cendrawasih, Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA, Universitas Pattimura, Universitas Muhammadiyah Makassar, Universitas Negeri Gorontalo, Universitas Negeri Jember, Universitas Lampung, Universitas Lambung Mangkurat, Universitas Pendidikan Ganesha, Universitas Mataram, Universitas Negeri Semarang, Universitas Kristen Satya Wacana, Universitas Negeri Solo, dan Universitas Haluoleo. Proses pengembangan bahan ajar ini difasilitasi oleh SEAMOLEC. Semoga paket bahan ajar ini dapat memberi manfaat bagi semua pihak yang terlibat dalam penyelenggaraan program PJJ S1 PGSD di tanah air.

Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Direktur Ketenagaan,

Muchlas Samani NIP. 0130516386

Daftar Isi

Kata Pengantar Daftar Isi ……………………………………………………………………… Tinjauan Mata Kuliah ………………………………………………………...

i vii

UNIT 1

KONSEP DASAR ARITMETIKA..............................

1.1

Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1

: : : :

Perpangkatan dan Akar Bilangan................................. ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

1.2 1.6 1.9 1.10

Subunit 2 Latihan 1 Latihan 2 Latihan 3 Latihan 4 Latihan 5 Rangkuman Tes Formatif 2

: : : : : : : :

Barisan dan Deret......................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

1.12 1.14 1.16 1.19 1.22 1.24 1.26 1.27

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

1.29 1.31 1.32

Pemecahan Masalah Matematika

i

UNIT 2

KONSEP DASAR ALJABAR....................................

2.1

Subunit 1 Rangkuman Tes Formatif 1

: Persamaan .................................................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

2.2 2.12 2.12

Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

: : : :

Pertidaksamaan ............................................................. ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

2.15 2.20 2.23 2.23

Subunit 3 Latihan 1 Latihan 2 Rangkuman Tes Formatif 3

: : : : :

Sistem Persamaan Linear................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

2.27 2.30 2.32 2.35 2.36

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ........................................................................................ Glosarium : ........................................................................................

2.37 2.45 2.46

UNIT 3

KONSEP DASAR GEOMETRI DAN PENGUKURAN

3.1

Subunit 1 Latihan 1 Latihan 2 Rangkuman Tes Formatif 1

: : : : :

Bangun Datar Geometri................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

3.3 3.10 3.21 3.22 3.23

Subunit 2 Latihan Rangkuman

: Bangun Ruang............................................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

3.24 3.30 3.31

ii Daftar Isi

Tes Formatif 2 Subunit 3 Latihan Rangkuman Tes Formatif 3

: : : : :

....................................................................................... Geometri Pengukuran................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

3.32 3.33 3.45 3.46 3.47

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

3.48 3.51 3.52

UNIT 4

KONSEP DASAR TRIGONOMETRI..............................

4.1

Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1

: : : :

Teorema Pythagoras....................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

4.2 4.6 4.7 4.7

Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

: : : :

Perbandingan Trigonometri.......................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

4.8 4.12 4.14 4.14

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ........................................................................................ Glosarium : .......................................................................................

4.15 4.18 4.19

UNIT 5

PELUANG.........................................................................

Subunit 1 Latihan 1 Latihan 2 Rangkuman

: : : :

Permutasi dan Kombinasi............................................. ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

5.1 5.2 5.5 5.7 5.10

Pemecahan Masalah Matematika

iii

Tes Formatif 1

: ........................................................................................

5.10

Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

: : : :

Peluang........................................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

5.13 5.17 5.20 5.20

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ........................................................................................

5.23 5.27

Glosarium

: ........................................................................................

5.28

UNIT 6

PENALARAN MATEMATIKA.......................................

6.1

Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1

: : : :

Pengantar Logika.......................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

6.2 6.9 6.13 6.15

Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

: : : :

Pernyataan Berkuantor.................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

6.17 6.21 6.22 6.23

Kunci Tes Formatif .............................................................................................. Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

6.26 6.27 6.28

UNIT 7

PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF.................

7.1

Subunit 1 Latihan Rangkuman

: Penarikan Kesimpulan................................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

7.2 7.9 7.14

iv Daftar Isi

Tes Formatif 1

: .......................................................................................

7.15

Subunit 2 Rangkuman Tes Formatif 2

: Penalaran Induktif dan Induktif.................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

7.18 7.25 7.26

Kunci Tes Formatif .............................................................................................. Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

7.27 7.31 7.32

UNIT 8

PEMODELAN MATEMATIKA

8.1

Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1

: : : :

Pemodelan Matematika................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

8.2 8.10 8.12 8.13

Subunit 2 Rangkuman Tes Formatif 2

: Penyelesaian Model Matematika.................................. : ....................................................................................... : .......................................................................................

8.15 8.22 8.23

Kunci Tes Formatif .............................................................................................. Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

8.24 8.28 8.29

UNIT 9

PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA..................

9.1

Subunit 1 Rangkuman Tes Formatif 1

: Pemecahan Masalah Matematika.................................. : ....................................................................................... : .......................................................................................

9.2 9.5 9.5

Pemecahan Masalah Matematika

v

Subunit 2 Rangkuman Tes Formatif 2

: Strategi Pemecahan Masalah......................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

9.8 9.17 9.18

Kunci Tes Formatif .............................................................................................. Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

9.22 9.23 9.24

vi Daftar Isi

Tinjauan Mata Kuliah

M

ata kuliah Pemecahan Masalah Matematika membahas mengenai pemecahan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari yang terkait bidang aritmatika, aljabar, geometri, pengukuran, trigonometri dan peluang dengan menggunakan penalaran matematika yang tepat. Kompetensi yang harus dikuasai setelah mengikuti mata kuliah ini adalah mampu memecahkan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari, yang terkait bidang aritmatika, aljabar, geometri, pengukuran, trigonometri dan peluang dengan menggunakan penalaran matematika yang tepat. Tentu saja sebelum Anda dapat memecahkan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari, Anda harus terlebih dulu menguasai dan mampu menggunakan konsep-konsep dasar matematika dalam bidang aritmatika, aljabar, geometri, pengukuran, trigonometri dan peluang. Selain itu Anda juga harus dibekali pengetahuan mengenai penalaran matematika, penalaran induktif dan deduktif serta matematisasi horizontal dan vertikal yang akan sangat berguna pada saat menyelesaikan suatu model matematika dan melakukan validasi terhadap penyelesaian model matematika tersebut. Mata kuliah ini terdiri dari 9 unit sebagai berikut. Unit 1

membahas mengenai konsep dasar aritmatika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu operasi hitung bilangan dan sifat-sifat operasi hitung bilangan.

Unit 2

membahas mengenai konsep dasar aljabar. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu persamaan dan pertidaksamaan, barisan dan deret.

Unit 3

membahas mengenai konsep dasar geometri dan pengukuran. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu bangun datar, bangun ruang, dan pengukuran pada bangun datar dan bangun ruang geometri.

Unit 4

membahas mengenai konsep dasar trigonometri. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu teorema pythagoras dan perbandingan trigonometri.

Unit 5

membahas mengenai konsep dasar peluang. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu permutasi dan kombinasi, peluang suatu kejadian.

Unit 6

membahas mengenai penalaran matematika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu logika matematika dan kuantifikasi.

Tinjauan Mata Kuliah

vii

Unit 7

membahas mengenai penalaran induktif dan deduktif. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

Unit 8

membahas mengenai matematisasi horisontal dan vertikal. Unit ini terdiri dari dua subunit.

Unit 9

membahas mengenai prosedur pemecahan masalah matematika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu model matematika dan penyelesaian model matematika.

Unit 1 sampai dengan unit 8 merupakan prasyarat untuk mempelajari unit 9. Oleh karena itu, Anda harus benar-benar memahami dan menguasai setiap unit sehingga Anda dapat mencapai kompetensi mata kuliah ini. Selanjutnya Anda akan dapat menggunakan pemecahan masalah matematika ini menjadi salah satu alternatif metode pembelajaran matematika di SD. Pembelajaran mata kuliah ini dirancang sedemikian rupa dengan berbagai macam media pembelajaran. Selain melalui bahan ajar cetak ini, Anda bisa mempelajari atau memperdalam konsep-konsep serta berlatih menyelesaikan berbagai masalah matematika melalui bahan ajar audio visual dan bahan ajar web. Untuk dapat memahami dengan baik dan benar materi yang ada di setiap unit, baca dan kajilah sampai tuntas setiap subunitnya. Jika memungkinkan, diskusikanlah materi-materi tersebut dengan rekan-rekan yang lain. Jika Anda mengalami kesulitan, segeralah bertanya kepada orang yang Anda anggap mampu. Setiap subunit dilengkapi dengan latihan dan tugas. Kerjakanlah setiap latihan dan tugas yang ada di setiap subunit agar Anda semakin memahami dan terampil menggunakan konsep-konsep dalam subunit tersebut. Jika ada latihan atau tugas yang tidak bisa Anda selesaikan, segeralah meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap bisa membantu Anda. Setelah Anda memahami semua materi dalam subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda pada setiap subunit. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi itu. Jika tingkat penguasaaan Anda terhadap materi subunit tersebut belum mencapai nilai yang disyaratkan, Anda harus pelajari kembali subunit yang bersangkutan. Anda dapat mencari sumber-sumber belajar yang lain yang relevan dan dapat membantu Anda dalam memahami materi dalam mata kuliah ini.

TETAP SEMANGAT DAN SELAMAT BELAJAR

viii

Pemecahan Masalah Matematika

Unit

1

KONSEP DASAR ARITMETIKA Josef Tjahjo Baskoro Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan

M

ateri yang akan Anda pelajari pertama kali pada mata kuliah pemecahan masalah matematika adalah konsep dasar aritmetika. Kompetensi dasar yang harus dikuasai setelah mempelajari unit ini adalah Anda mampu menggunakan konsep dasar aritmetika khususnya konsep dalam perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah lainnya. Oleh karena itu dalam unit ini akan dipelajari konsep perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret aritmetika dan geometri. Unit ini terbagi menjadi dua subunit yaitu subunit pertama berisi perpangkatan dan akar bilangan sedangkan subunit kedua berisi barisan dan deret. Bahan ajar mengenai materi ini, selain disediakan dalam bentuk bahan ajar cetak juga disediakan dalam bentuk bahan ajar berbasis web. Materi yang dibahas pada unit ini merupakan materi prasyarat yang harus dikuasai untuk mempelajari materi pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu, pelajari unit ini sampai Anda menguasai dengan baik dan benar. Kerjakan semua latihan yang diberikan dan lihat kembali hasil pekerjaan Anda tersebut, kemudian bandingkan dengan pembahasan yang tersedia. Jika mengalami kesulitan, jangan segan untuk bertanya kepada rekan yang Anda anggap mampu atau dosen pengampu mata kuliah ini. Setelah Anda selesai mengkaji materi dan berlatih mengerjakan soalsoal, kerjakan tes formatif yang ada dalam setiap subunit untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap materi. Cobalah Anda kerjakan sendiri, kemudian bandingkan jawaban Anda tersebut dengan kunci jawaban tes formatif yang ada pada bagian akhir unit. Jika tingkat penguasaan Anda masih dibawah standar yang disyaratkan, pelajari kembali materi terutama di bagian yang Anda kurang mengerti. Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.

Pemecahan Masalah Matematika

1-1

Subunit 1 Perpangkatan dan Akar Bilangan Perpangkatan

P

erpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan adalah sebagai berikut. a × a × ..... × a = an n faktor n

Bentuk umumnya adalah a , di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Contoh : •

23 (dibaca dua pangkat tiga) = 2 × 2 × 2 = 8

•

52 (dibaca lima pangkat dua) = 5 × 5 = 25

Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang dalam jumlah besar. Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan. Terdapat 6 sifat operasi perpangkatan yaitu: 1.

(a × b )n

= an × bn

2. a m × a n = a m + n 3. a m : a n = a m −n 4.

(a : b )n

5.

(a )

m n

= an : bn

= a m×n

1 dengan a ≠ 0 an Bukti kebenaran dari sifat-sifat di atas dapat Anda lakukan setelah Anda mempelajari unit 7 mengenai penalaran induktif dan deduktif. Sementara ini Anda dapat

6.

1-2

a −n =

Unit 1

menggunakan sifat-sifat tersebut untuk menyelesaikan soal-soal mengenai perpangkatan. Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat) sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama ditentukan oleh nilai pangkatnya. Oleh karena itu pembedaan nilai pangkat akan dibahas secara khusus. Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif), bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional. Bilangan irrasional tidak dibahas pada bahan ajar ini. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat skema berikut ini.

Gambar 1.1 Skema Pangkat Bilangan Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya merupakan bilangan positif atau negatif. Contoh : •

50 = 1 0

⎛1⎞ ⎜ ⎟ =1 ⎝7⎠ Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya perpangkatan bilangan adalah bentuk perkalian berulang atau berganda. Berdasarkan Skema Pangkat Bilangan, pangkat

•

Pemecahan Masalah Matematika

1-3

dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif. Pangkat bilangan bulat positif merupakan bentuk perkalian berulang yang sebenarnya. Nilai pangkat/eksponen menunjukkan banyaknya perkalian berulang (faktor) nilai itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Contoh: •

21 = 2 1

⎛1⎞ 1 ⎜ ⎟ = ⎝8⎠ 8 Baik bilangan pokok yang merupakan bilangan bulat maupun pecahan, bila dipangkatkan dengan 1 maka hasil perpangkatannya bernilai tetap sama yaitu bilangan itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 2 akan menghasilkan perkalian berulang 2 kali bilangan itu sendiri. Contoh : •

•

32 = 3 × 3 = 9

•

102 = 10 × 10 = 100

2 2 4 22 2 × 2 4 ⎛2⎞ ⎛2⎞ atau ⎜ ⎟ = 2 = = • ⎜ ⎟ = × = 5 5 25 5 5 × 5 25 ⎝5⎠ ⎝5⎠ Sembarang bilangan bila dipangkatkan 3 akan menghasilkan perkalian berulang 3 kali bilangan itu sendiri. Contoh : 2

2

•

43 = 4 x 4 x 4 = 64

•

103 = 10 x 10 x 10 = 1000

3 2× 2× 2 8 ⎛2⎞ 2 2 2 8 ⎛2⎞ 2 atau ⎜ ⎟ = 3 = = • ⎜ ⎟ = × × = 3 × 3 × 3 27 ⎝ 3 ⎠ 3 3 3 27 ⎝3⎠ 3 Perbandingan pembilang dan penyebut dalam bilangan pokok pecahan bersifat tetap. Pangkat bilangan bulat negatif atau sering disebut pangkat tak sebenarnya, menunjukkan bahwa perkalian berulang pecahan/kebalikan bilangan itu sendiri. Bentuk umumnya sebagai berikut. 3

a−n =

3

1 an

di mana n adalah bilangan bulat positif. Sembarang bilangan bila dipangkatkan -1 akan menghasilkan kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 1 1 • 3−1 = 1 = 3 3 1-4

Unit 1

−1

1 ⎛1⎞ • ⎜ ⎟ = =8 1 ⎝8⎠ 8 −1

8 ⎛3⎞ • ⎜ ⎟ = 3 ⎝8⎠ Terlihat bahwa bila bilangan pokoknya adalah bilangan bulat, maka pangkat -1 nya adalah pecahan / kebalikannya. Secara umum berlaku −1

1 b ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = = a a ⎝b⎠ b Sembarang bilangan bila dipangkatkan -2 akan menghasilkan kuadrat kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 1 1 • 2− 2 = 2 = 2 4 −2

•

1 1 ⎛1⎞ = =9 ⎜ ⎟ = 2 1 ⎝ 3⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 9 ⎝ 3⎠ −2

1 1 25 1 ⎛2⎞ = = =6 ⎜ ⎟ = 2 4 4 4 ⎝5⎠ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ 25 ⎝5⎠ Bila bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan -2, maka hasilnya dapat berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan.

•

Sembarang bilangan bila dipangkatkan -3 akan menghasilkan bilangan kubik dari kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 1 1 • 3− 3 = 3 = 3 27 −3

•

1 1 1 64 ⎛3⎞ = 3 = = ⎜ ⎟ = 3 27 3 27 ⎝4⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ 3 64 4 ⎝4⎠

Pemecahan Masalah Matematika

1-5

Akar Bilangan Pada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/eksponen bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut. n

Definisi :

a (dibaca : akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila

dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a. 1 n

a dapat juga ditulis a n

Contoh : Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat pecahan 1

•

4 = 4 = 42 = 2

2

2×

1 2

=2

( ) ( )

1

•

4 4 4 42 22 = = = 1 = 9 9 9 32 92

2

1 2

1 2

2

=

3

2×

1 2

1 2× 2

=

2 3

Akar bilangan 3 atau sama dengan pangkat pecahan 1

•

3

8 = 83 = 2

3

8 = 27

3×

1 3

•

3

1 3

=2

( ) ( )

1 3

1 2

8 83 23 = 1 = 27 33 27 3

1 3

1 3

=

2

3×

1 3

1 3× 3

=

3

2 3

Latihan Selanjutnya kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi. 1. Sederhanakanlah perpangkatan berikut ini. a. (53 ) : (55 × 54 ) 2

(

b. 5 −5 × m × n 6

) : (5 −2

−7

× m8 × n9 )

2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam pangkat positif.

( b. (c

a. c −7 × m 5 × n −9

1-6

−7

× m 5 × n −9

Unit 1

) (c ) : (c −2

−2

−10

× m 8 × n −9 )

−10

× m 8 × n −9 )

2

3. Hitunglah perpangkatan berikut ini. a. 2 −3 1

b. 8 3 Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Tentu saja tidak, namun demikian Anda dapat membandingkan jawaban yang Anda temukan dengan pembahasan berikut ini.

Pedoman Jawaban Latihan 1. Menyederhanakan perpangkatan. a. Dengan menggunakan sifat 2 dan 5 diperoleh

(5 ) : (5 × 5 ) = 5 : 5 sehingga diperoleh (5 ) : (5 × 5 ) = 5 3 2

5

4

3 2

5+ 4

3.2

5

4

6

: 59 = 56 − 9 , kemudian menggunakan

( ) ( 2

sifat 3. Jadi hasil penyederhanaan perpangkatan 53 : 55 × 54

)

adalah

5 −3 . b. Dengan menggunakan sifat 5 diperoleh

(5

−5

× m × n 6 ) : (5 −7 × m 8 × n 9 ) = (510 × m −2 × n −12 ) : (5 −7 × m 8 × n 9 ) −2

Selanjutnya dengan menggunakan sifat 3 diperoleh perpangkatan yang lebih sederhana yaitu 510−( −7 ) × m −2−8 × n −12−9 = 517 × m −10 × n −21 . 2. Menyatakan perpangkatan dalam pangkat positif. menggunakan sifat-sifat a. Dengan

(c

−7

perpangkatan,

× m 5 × n −9 ) (c −10 × m 8 × n −9 ) akan dinyatakan dalam pangkat positif −2

sebagai berikut.

(c

14

× m −10 × n18 )(c −10 × m 8 × n −9 )

menggunakan sifat 5

c 4 × m −2 × n 9

menggunakan sifat 2

c ×n menggunakan sifat 6 m2 b. Analog dengan pengerjaan a, perpangkatan 4

(c

−7

9

× m 5 × n −9

) : (c −2

−10

× m 8 × n −9

)

2

akan dinyatakan dalam pangkat

positif berikut ini.

(c

14

× m −10 × n18 ) : (c −20 × m16 × n −18 )

c 34 × m −26 × n36

menggunakan sifat 5 menggunakan sifat 3

Pemecahan Masalah Matematika

1-7

c 34 n36 m 26 3. Menghitung perpangkatan. 1 1 a. 2 −3 = 3 = 8 2

menggunakan sifat 6

1

b. 8 3 = 3 8 = 2 Materi mengenai perpangkatan dan akar bilangan telah selesai dibahas. Selanjutnya silahkan Anda kembali mengingat materi apa yang telah Anda pelajari pada subunit ini dengan membaca rangkuman. Kemudian silahkan Anda mengerjakan tes formatif 1, agar Anda dapat mengetahui tingkat pemahaman atau penguasaan materi ini.

1-8

Unit 1

Rangkuman Perpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama a × a × ..... × a = an n faktor di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Berikut beberapa sifat operasi perpangkatan yaitu: 1.

(a × b )n

= an × bn

2. a m × a n = a m + n 3. a m : a n = a m − n 4.

(a : b )n

5.

(a )

m n

= an : bn

= a m×n

1 dengan a ≠ 0 an Setiap bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan nol, hasilnya merupakan bilangan 1, sedangkan setiap bilangan yang dipangkatkan dengan 1, hasilnya merupakan bilangan itu sendiri. Akar suatu bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan. 6.

a −n =

Bentuk umum akar bilangan adalah

n

a (dibaca : akar n dari bilangan a) yaitu

bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a. 1 n

a dapat juga ditulis a n

Pemecahan Masalah Matematika

1-9

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi perpangkatan dan akar bilangan dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Berikut ini yang merupakan definisi perpangkatan adalah ……. A. penambahan berulang bilangan yang sama B. pengurangan berulang bilangan yang sama C. perkalian berulang bilangan yang sama D. pembagian berulang bilangan yang sama 2.

(x Bentuk sederhana dari perpangkatan

2

y −3 x5

)

−2

A. xy 6

C. x −5 y −5

B. x 5 y −5

D. x −9 y 6

⎛ 5 −3 3. Bentuk perpangkatan ⎜⎜ − 2 ⎝x adalah …… 1 A. 4 x B.

1 59 x

(

⎛ 5 2 × 5 −3 4. Nilai dari ⎜ ⎜ 53 ⎝

)

−3

adalah …….

3

⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜ 3 ⎟ jika dinyatakan dalam pangkat positif ⎠ ⎝x ⎠

C.

x3 59

D.

x18 59

⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ adalah ……. ⎟⎝ 5 −3 ⎠ ⎠

A. 5 −7 B. 0

C. 5 3

D. 512 5. Bilangan 32 merupakan penyederhanaan dari perpangkatan …… A. (2 2 × 2 −1 )

C. 2 0 × 2 4

B. 4 4 × 2 −3

D. (4 2 × 2 −1 )

3

6. Arti dari A. a

1 - 10 Unit 1

n

2

a adalah ……

−n

C. a

1 n

B. a

−

D. a n

1 n

⎛ 16 ⎞⎛ 27 ⎞ ⎟⎜ 3 ⎟ adalah …… 7. Nilai dari ⎜⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 8 ⎠ A. 1 B. 2

C. 6 D. 8

8. Bilangan 15 merupakan nilai dari ……. A. B.

5

( 9 )( 10 ) D. ( 125 )( 81 )

75

C.

( 5 )( 3 ) 3

3

2

3

3

4

4

⎛⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ 9. Nilai dari ⎜ ⎜ ⎟ : ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎟ adalah …… ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝

4 9 12 B. 72 A.

20 85 64 D. 729 C.

⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ adalah …… 10. Bilangan yang merupakan nilai dari ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜⎜ 2 ⎝ 4 ⎠⎝ 27 ⎠ 1 6 1 B. 12 A.

1 18 1 D. 24 C.

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 11

Subunit 2 Barisan dan Deret

B

arisan dan deret yang akan dibahas di sini khususnya barisan dan deret aritmetika serta geometri. Dalam subunit ini juga akan dibahas mengenai notasi sigma yang menjadi dasar untuk penulisan deret.

Barisan Sebelum kita mempelajari barisan, coba Anda amati pola bilangan pada himpunan berikut ini. 1. Himpunan bilangan asli : {1, 2, 3, 4, 5, …} 2. Himpunan bilangan bulat : {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 3. Himpunan bilangan asli ganjil : {1, 3, 5, 7, 9, …} 4. Himpunan bilangan asli genap : {2, 4, 6, 8, 10, …} Setiap anggota himpunan di atas dapat diurutkan sehingga mempunyai keteraturan atau pola. Penulisan beberapa anggota himpunan secara terurut seperti di atas akan dapat menyatakan anggota himpunan yang lain yang mempunyai pola sama. Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Pada contoh himpunan di atas, diperoleh barisan bilangan seperti berikut ini. 1. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, … 2. Barisan bilangan bulat …, -2, -1, 0, 1, 2, … 3. Barisan bilangan (asli) ganjil 1, 3, 5, 7, 9, … 4. Barisan bilangan (asli) genap 2, 4, 6, 8, 10, … Nama barisan dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut. Adapula barisan yang diberi nama sesuai dengan penemunya. Contoh : Barisan bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … yang ditemukan pada tahun 1200 oleh Leonardo Fibonacci. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan u1 , suku kedua dilambangkan dengan u 2 dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.

u1 , u 2 , u 3 ,..., u n Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga.

1 - 12 Unit 1

Pada contoh barisan bilangan yang telah disebutkan di atas, dua barisan bilangan pertama mempunyai pola yang sama yaitu suku barisan diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 1. Perbedaan kedua barisan tersebut terletak pada suku awalnya saja. Suku barisan bilangan pada contoh keempat dan kelima diperoleh dengan menambah suku sebelumnya dengan bilangan 2. Perbedaan pada suku awal akan memberikan perbedaan pada suku-suku berikutnya. Selanjutnya kita akan mempelajari barisan aritmetika dan geometri. Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, coba Anda perhatikan contoh-contoh barisan berikut ini. Contoh : 1. Barisan 2, 4, 6, 8, … 2. Barisan 4, 1, -2, -5, … 1 1 3. Barisan 3, 2 , 2, 1 , … 2 2 Pada setiap barisan di atas, apakah Anda bisa melihat bahwa selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan)? Barisan dengan ciri seperti itu disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dan dilambangkan dengan b. Coba Anda tentukan beda masing-masing barisan pada contoh di atas kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. Beda barisan 2, 4, 6, 8, … dapat diketahui dengan cara mengurangkan suku barisan (kecuali suku awal) dengan suku sebelumnya. Jadi beda barisan tersebut adalah b = 4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 2 . 2. Beda barisan 4, 1, -2, -5, … adalah b = 1 − 4 = (−2) − 1 = (−5) − (−2) = −3 . 1 1 1 1 1 1 3. Beda barisan 3, 2 , 2, 1 , … adalah b = 2 − 3 = 2 − 2 = 1 − 2 = − . 2 2 2 2 2 2 Jika kita ingin menentukan suku ke sekian dari suatu barisan aritmetika, berarti kita harus mempunyai rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmaetika. Misalkan suku awal dan beda dari barisan aritmetika dilambangkan dengan a dan b . Untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika, perhatikan bagan berikut ini.

Gambar 1.2

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 13

Jadi berdasarkan bagan di atas diperoleh rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu

u n = a + (n − 1)b .

Latihan 1 Setelah Anda mengetahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika, silahkan Anda berlatih mengerjakan contoh-contoh soal berikut ini. 1. Dari barisan aritmetika berikut ini, tentukan rumus suku ke-n dan suku ke 26. a. 1, 7, 13, 19, … b. 8, 1, -6, -13, … 1 1 3 c. 10, 9 , 8 , 7 , … 4 2 4 2. Jika diketahui pada suatu barisan aritmetika, suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21. Tentukan suku ke-125.

Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Coba Anda cocokkan jawaban yang telah Anda kerjakan dengan pembahasan berikut ini. 1. a. Pada barisan 1, 7, 13, 19, …diketahui suku awal a = 1 dan beda b = 6 maka rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah u n = 1 + (n − 1)6 atau

u n = 6n − 5 . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-26 yaitu u 26 = 6(26) − 5 = 156 − 5 = 155 . b. Pada barisan 8, 1, -6, -13, …, diketahui suku awal a = 8 dan beda b = 1 − 8 = −7 maka rumus ke-n dari barisan tersebut adalah

u n = 8 + (n − 1)(−7) = 15 − 7 n , sehingga dari sini dapat ditentukan suku

ke-26 yaitu u26 = 15 − 7(26) = 15 − 182 = −167 . 1 1 3 c. Pada barisan 10, 9 , 8 , 7 , …diketahui suku awalnya adalah a = 10 4 2 4 1 3 dan beda b = 9 − 10 = − . Rumus ke-n dari barisan tersebut adalah 4 4

1 ⎛ 3⎞ u n = 10 + (n − 1)⎜ − ⎟ atau u n = (43 − 3n ) . Dari sini kita akan tentukan 4 ⎝ 4⎠ suku ke-26 yaitu u 26 =

1 - 14 Unit 1

1 (43 − 3(26)) = 1 (− 35) = − 35 = −8 3 . 4 4 4 4

2. Diketahui suku ke-10 dari suatu barisan aritmetika adalah 41 dan suku ke-5 sama

dengan

adalah

21

maka

u10 = a + (10 − 1)b = a + 9b = 41

dan

u 5 = a + (5 − 1)b = a + 4b = 21 . Dari sini diperoleh a + 9b = 41 a + 4b = 21 5b = 20 b = 4 sehingga a + 4(4) = 21 a=5

Jadi rumus ke-n barisan tersebut adalah u n = 5 + (n − 1)4 = 4n + 1 sehingga suku ke-125 adalah u125 = 4(125) + 1 = 500 + 1 = 501 . Kita telah bersama-sama mempelajari barisan aritmetika. Sekarang kita akan mempelajari barisan lain yang juga sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari yaitu barisan geometri. Sebelum kita mempelajari barisan geometri, kita simak dahulu cerita berikut ini. Alkisah di suatu negeri, seorang raja akan memberikan apapun yang diminta sebagai hadiah kepada juara catur di negeri itu. Juara catur meminta hadiah beras yang jumlahnya adalah banyak beras di kotak terakhir pada papan catur dengan aturan banyak beras di setiap kotak papan catur adalah sebagai berikut. Banyaknya beras di kotak pertama 1 kg, di kotak kedua sebanyak 2 kg, di kotak ketiga sebanyak 4 kg, dan seterusnya. Sang raja langsung menyetujui permintaan tersebut. Dia berpikir bahwa permintaan itu sangat sederhana. Bagaimana Saudara, apakah Anda setuju dengan pemikiran raja tersebut? Apakah permintaan juara catur tersebut sangat sederhana? Sebenarnya berapa kg beras yang diminta sebagai hadiah? Kita akan selidiki bersama kasus ini. Kita perhatikan barisan bilangan yang menyatakan banyak beras yang diminta oleh juara catur yaitu 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Coba Anda perhatikan bahwa setiap dua suku yang berurutan mempunyai perbandingan yang tetap. Pada barisan itu perbandingan yang tetap 2 4 8 16 tersebut adalah = = = = 2 . Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan 1 2 2 8 dilambangkan dengan r. Jadi rasio barisan 1, 2, 4, 8, 16, … adalah r = 2 . Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk u1 , u 2 , u 3 ,..., u n dengan

un = r dimana r adalah konstanta. u n −1

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 15

Selanjutnya, apakah Anda bisa menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri tersebut? Kita akan selidiki bersama-sama. u2 = r sehingga u 2 = u1 r u1 u3 = r sehingga u 3 = u 2 r , karena u 2 = u1 r maka u 3 = u1 .r.r = u1 r 2 u2 u4 = r sehingga u 4 = u 3 r , karena u 3 = u1 r 2 maka u4 = u1.r 2 .r = u1r 3 u3

dan seterusnya sampai dengan suku ke-n yaitu u n = u1 r n −1 Jadi rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah u n = u1 r n −1 . Kita kembali ke kasus sang raja dan juara catur. Berapa kg beras yang diminta juara catur? Banyak kotak pada papan catur adalah 64. Jadi kita akan menentukan suku ke64 dari barisan 1, 2, 4, 8, 16, …sebagai berikut.

u 64 = u1 r 64−1 = 1.2 63 = 2 63 Ternyata banyak sekali beras yang diminta juara catur yaitu sebanyak 2 63 kg.

Latihan 2 Saudara, Anda telah belajar mengenai barisan geometri. Pemahaman Anda terhadap konsep ini akan lebih meningkat jika Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berkaitan dengan barisan geometri. Berikut ini soal tentang barisan geometri, silahkan Anda menyelesaikan soal-soal tersebut. 1. Tentukan rasio, rumus ke-n dan suku ke-10 dari tiap barisan geometri berikut ini. a. 2, 6, 18, 54, … b. 32, 16, 8, 4, … c. 4, -8, 16, -32, … d.

3 , 6, 12 3 , 72, …

2. Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 4 dan suku ke-4 sama dengan 12. Tentukan rasio dan suku ke-8.

1 - 16 Unit 1

Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda menemui kesulitan? Untuk melihat seberapa jauh pemahaman Anda mengenai barisan geometri, silahkan cocokkan penyelesaian yang Anda buat dengan pembahasan penyelesaian soal berikut ini. 6 1. a. Rasio pada barisan geometri pada 1a adalah r = = 3 . Suku pertama dari 2 barisan geometri itu adalah u1 = 2 maka rumus suku ke-n u n = 2.3 n −1 . Dari rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 sebagai berikut.

u10 = 2.310 −1 = 2.39 = 2.19683 = 39366 Jadi suku ke-10 barisan geometri 2, 6, 18, 54, ...... adalah 39366. 16 1 b. Rasio barisan geometri pada 1b adalah r = = . Suku pertama dari 32 2 barisan tersebut adalah u1 = 32 maka rumus suku ke-n barisan tersebut ⎛1⎞ u n = 32⎜ ⎟ ⎝2⎠ berikut.

n −1

. Dari rumus tersebut ditentukan suku ke-10 sebagai

10 −1

9

⎛ 1 ⎞ 1 ⎛1⎞ = 32⎜ ⎟ = 32⎜ ⎟= ⎝ 512 ⎠ 16 ⎝2⎠ 1 Jadi suku ke-10 barisan geometri 32, 16, 8, 4, ..... adalah . 16 −8 c. Rasio barisan geometri pada 1c adalah r = = −2 . Suku pertama dari 4 ⎛1⎞ u10 = 32⎜ ⎟ ⎝2⎠

barisan tersebut adalah u1 = 4 maka rumus suku ke-n u n = 4(− 2 )

n −1

. Dari

rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan sebagai berikut. u10 = 4(− 2 )

10 −1

= 4(− 2 ) = 4(− 512 ) = −2048 9

Jadi suku ke-10 dari barisan 4, -8, 16, -3, dan seterusnya sama dengan 2048. d. Rasio barisan geometri pada 1d adalah r = pertama barisan adalah u1 = 3

( )

un = 3 2 3

n −1

( )

3

=

6 3 = 2 3 . Suku 3

maka rumus rumus suku ke-n

. Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan

sebagai berikut. u10 = 3 2 3

6

10 −1

( ) ( )( 3 ) 9

= 3 2 3 = 29

10

( )

= 512 35 = 512(243) = 124416

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 17

Jadi suku ke-10 dari barisan geometri

3 , 6, 12 3 , 72, .... sama dengan

124416.

2. Diketahui u1 = 4 dan u 4 = 12 maka u1 r 4−1 = 12 4r 3 = 12 r3 = 3 r=3 3 Suku ke 8 dari deret adalah u 8 = u1 r 8−1 = 4 ×

( 3) 3

7

7

1

= 4 × 3 3 = 4 × 3 2 × 3 3 = 363 3 .

Bagaimana Saudara, apakah penyelesaian Anda benar semua? Sejauh mana pemahaman Anda mengenai barisan geometri? Jika menurut Anda, pemahaman mengenai konsep ini kurang, jangan segan untuk mepelajari kembali konsep ini sebelum kita mempelajari konsep berikutnya. Konsep yang akan kita pelajari selanjutnya adalah mengenai konsep notasi sigma yang menjadi landasan dalam penulisan deret bilangan. Jika Anda sudah siap, kita akan lanjutkan dengan mempelajari konsep notasi sigma berikut ini.

Notasi Sigma Notasi sigma banyak digunakan dalam matematika khususnya bidang statistika. Penggunaan notasi sigma di dalam statistika antara lain digunakan dalam menentukan mean, simpangan baku, dan ragam. Sebelum membahas notasi sigma, perhatikan jumlah lima bilangan ganjil berikut ini. 1+3+5+7+9 Menurut Anda bagaimanakah pola lima bilangan tersebut? Pola barisan tersebut adalah sebagai berikut. Suku ke-1 = 1= 2(1) – 1 Suku ke-2 = 3 = 2(2) – 1 Suku ke-3 = 5 = 2(3) – 1 Suku ke-4 = 7 = 2(4) – 1 Suku ke-5 = 9 = 2(5) – 1 Jadi secara umum pola barisan bilangan di atas adalah 2k – 1 dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Penjumlahan lima bilangan asli yang ganjil di atas dapat disingkat dengan menggunakan notasi sigma. Lambang notasi sigma adalah Σ yang merupakan huruf

1 - 18 Unit 1

kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Jadi penulisan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dengan menggunakan notasi sigma adalah sebagai berikut. 5

∑ (2k − 1) k =1

Lambang k = 1 disebut batas bawah dan k = 5 disebut batas atas. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut. n

∑a k =1

k

= a1 + a 2 + a3 + ... + a n

Latihan 3 Selanjutnya silahkan Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berikut ini. 1. Tuliskan tiap penjumlahan berikut ini dengan menggunakan notasi sigma. a. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 b. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 2 3 4 5 6 c. 1 + + + + + 3 5 7 9 11 2. Setiap notasi sigma berikut ini, tuliskan dalam suku-suku penjumlahan kemudian hitunglah jumlahnya. 6

a.

∑ (3i + 1) i =1 5

b.

∑ (1 − 4k ) k =1 4

c.

∑2

i

i =1

Pedoman Jawaban Latihan Cocokkan penyelesaian Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. a. Perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 . Suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1 Suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1 Suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1 Suku ke-4 = 9 = 2(4) + 1 Suku ke-5 = 11 = 2(5) + 1

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 19

Secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 2k + 1 dengan k = 1,2,3,4,5 . Jadi notasi sigma untuk penjumlahan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 adalah

5

∑ 2k + 1 . k =1

b. Pola bilangan pada penjumlahan 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 adalah sebagai berikut. Suku ke-1 = 1 = 12

Suku ke-2 = 4 = 2 2 Suku ke-3 = 9 = 3 2 Suku ke-4 = 16 = 4 2 Suku ke-5 = 25 = 5 2 Suku ke-6 = 36 = 6 2 Jadi secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah k 2 dengan k = 1,2,3,4,5,6 sehingga notasi sigma dari penjumlahan itu adalah 6

∑k

2

.

k =1

c. Coba Anda perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 2 3 4 5 6 1 + + + + + . Apakah Anda bisa melihat bahwa bilangan3 5 7 9 11 bilangan yang menjadi pembilang merupakan 6 bilangan asli pertama dan bilangan yang menjadi penyebut merupakan 6 bilangan (asli) ganjil pertama. Pola bilangan ganjil secara umum adalah 2k − 1 dengan 2 3 4 5 6 k = 1,2,3,4,5,6 . Jadi penjumlahan 1 + + + + + dapat ditulis 3 5 7 9 11 6

dengan menggunakan notasi sigma yaitu

k

∑ 2k − 1 . k =1

2. Selanjutnya kita akan menentukan suku-suku penjumlahan dan kemudian menghitung hasil penjumlahannya. 6

∑ (3i + 1) = (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1) + (3.5 + 1) + (3.6 + 1) i =1

a.

= 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 69

1 - 20 Unit 1

5

∑ (1 − 4k ) = (1 − 4.1) + (1 − 4.2) + (1 − 4.3) + (1 − 4.4) + (1 − 4.5) k =1

= (− 3) + (− 7 ) + (− 11) + (− 15) + (− 19 )

b.

= −55 4

∑2

i

= 21 + 2 2 + 2 3 + 2 4

i =1

= 2 + 4 + 8 + 16

c.

= 30

Pada notasi sigma, terdapat beberapa sifat yang sangat berguna dalam melakukan penghitungan atau manipulasi aljabar. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut. Sifat 1. n

∑ A = nA dengan A suatu konstanta i =1

Contoh : 5

∑ 2 = 21+424+22 +424+32 i =1

5 suku

= 5(2) = 10 Sifat 2. n

n

i =1

i =1

∑ Aui = A∑ ui Contoh : 4

∑ 2u i =1

i

= 2u1 + 2u 2 + 2u 3 + 2u 4 = 2(u1 + u 2 + u 3 + u 4 ) 4

= 2∑ u i i =1

Sifat 3. n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ (ui ± vi ) = ∑ ui ± ∑ vi Sifat 4. m

∑ ui + i =1

n

n

i = m +1

i =1

∑ ui = ∑ ui

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 21

Sifat 5. n

n −1

n +1

i =1

i =0

i=2

∑ ui = ∑ ui+1 = ∑ ui−1 Anda dipersilahkan mencari contoh penggunaan sifat 3, 4, dan 5.

Deret Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Apakah Anda telah mendengar mengenai cerita tentang matematikawan yang bernama Carl Friederich Gauss? Ketika Gauss masih di sekolah dasar, dia diminta oleh gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli pertama. Gauss menggunakan teknik menghitung sederhana tetapi keefektifan cara menghitung yang dilakukan Gauss tidak diragukan lagi. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti berikut ini. S = 1 + 2 + 3 + ... + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 1 2 S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 2 S = 100(101) = 10100 S = 5050 Teknik menghitung Gauss ini, selanjutnya digunakan untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut ini. 1 1 S n = n(a + U n ) atau S n = n[2a + (n − 1)b] 2 2

Salah satu sifat penting dari S n adalah S n − S n −1 = u n .

Latihan 4 Anda telah mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, maka sekarang selesaikan soal berikut. 1 1 1. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada deret aritmetika 1 + 2 + 2 + ... 2 2 2. Jika pada suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-5 sama dengan 40 dan suku ke-8 sama dengan 25, maka tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika tersebut.

1 - 22 Unit 1

Pedoman Jawaban Latihan Cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut. 1 1 1 1. Dari deret aritmetika 1 + 2 + 2 + ... diketahui suku pertama a = 1 dan 2 2 2 1 beda b = . Nilai suku pertama dan beda tersebut kita masukkan ke dalam 2 rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika, sehingga diperoleh: 1 S n = n[2a + (n − 1)b] 2 ⎡ ⎛ 1⎞ 1 1⎤ = (10) ⎢2.⎜1 ⎟ + (10 − 1) ⎥ 2 2⎦ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎡ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ = 5⎢2⎜ ⎟ + 9⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ 9⎞ ⎛ = 5⎜ 3 + ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ 15 ⎞ = 5⎜ ⎟ ⎝2⎠ 75 = 2 2. Diketahui u 5 = 40 dan u8 = 25 sehingga dari sini diperoleh u 5 = 40

u 8 = 25

a + 4b = 40 Dari kedua persamaan di atas diperoleh a + 4b = 40 a + 7b = 25 − 3b = 15

a + 7b = 25

b = −5

Jika diketahui b = −5 maka a + 4(−5) = 40 a − 20 = 40 a = 60 Selanjutnya jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 23

1 S n = .12[60 + (12 − 1)(− 5)] 2 = 6[60 − 55] = 30 Jadi jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika yang dimaksud adalah 30.

Anda telah berlatih menyelesaikan soal berkaitan dengan deret aritmetika. Sekarang Anda akan mempelajari deret geometri. Secara umum, jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah Sn =

(

)

(

)

a r n −1 a 1− rn dengan r > 1 atau S n = dengan r < 1 . (r − 1) (1 − r )

Seperti pada deret aritmetika, deret geometri berlaku juga S n − S n −1 = u n .

Latihan 5 Selanjutnya selesaikan soal berikut. 1. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri 1 + 2 + 4 + ... 2. Jika jumlah deret geometri 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 n = 254 maka tentukan nilai n.

Pedoman Jawaban Latihan Apakah Anda mengalami kesulitan menyelesaikannya? Anda dapat mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 2 1. Deret geometri 1 + 2 + 4 + ... mempunyai rasio r = = 2 > 1 maka untuk 1 menentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut menggunakan rumus Sn =

(

)

(

)

a r n −1 (r − 1)

1. 2 6 − 1 64 − 1 = = 63 2 −1 1 Jadi jumlah 6 suku pertama deret 1 + 2 + 4 + ... adalah 63. S6 =

2. Deret

geometri 2

2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 n = 254

mempunyai

a=2

dan

2 = 2 > 1 . Menentukan nilai n dari deret geometri tersebut sebagai 2 berikut. r=

1 - 24 Unit 1

(

)

(

)

Sn =

a r n −1 (r − 1)

254 =

2 2n −1 2 −1

254 = 2n − 1 2 127 + 1 = 2 n 128 = 2 n n=7 Jadi nilai n yang memenuhi deret geometri 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 n = 254 adalah 7.

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 25

Rangkuman Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan u1 , suku kedua dilambangkan dengan u 2 dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut. u1 , u 2 , u 3 ,..., u n Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu u n = a + (n − 1)b .

Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk u1 , u 2 , u 3 ,..., u n dengan

un = r dimana r adalah konstanta u n −1

Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah u n = u1 r n −1 . Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Dalam penulisan deret akan lebih mudah menggunakan notasi sigma. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut. n

∑a k =1

k

= a1 + a 2 + a3 + ... + a n

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah: 1 1 S n = n(a + U n ) atau S n = n[2a + (n − 1)b] 2 2 Salah satu sifat penting dari S n adalah S n − S n −1 = u n . Sedangkan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah:

Sn =

1 - 26 Unit 1

(

)

(

)

a r n −1 a 1− rn dengan r < 1 . dengan r > 1 atau S n = (r − 1) (1 − r )

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi barisan dan deret dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1 1 1. Suku ke-7 dari barisan 4,3 ,3,2 , L adalah ....... 2 2 A. 0 C. 1 1 1 B. D. 1 2 2 2. Rumus suku ke-n barisan − 1,4,9,14,K adalah ....... C. (n − 1).5

A. n 2 B. 5n − 6

D. − 1 + (n − 1).4

3. Barisan 10, 3, -4, -11, ... merupakan ....... A. barisan aritmetika C. deret aritmetika B. barisan geometri D. deret geometri 4. Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah ....... A. u n = a + (n − 1)b B. u n = u1 r n −1

C.

un =r u n −1

D. u n =

1 n[2a + (n − 1)b] 2

1 1 5. Barisan 30,10,3 ,1 , L mempunyai ....... 3 9 A. beda 20 C. rasio 20 1 1 B. beda D. rasio 3 3 6. Deret 2+5+10+17+26 jika dinyatakan dengan notasi sigma adalah ....... A.

∑n

2

+1

n

C.

∑k

2

+1

k =1

5

B.

∑k

2

+1

D.

∑ 2 + 5 + 10 + 17 + 26

k =1

3

7.

∑k

2

+ k = .......

k =1

A. 12 B. 14

C. 20 D. 28

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 27

8. Jumlah deret 2 + 5 + 8 + 11 + L adalah....... A. n 2

C.

B. n 2 + 2n 9. Jumlah

6

⎛1⎞ u n = 30⎜ ⎟ ⎝2⎠

suku

3n 2 − n 2

3n 2 + n 2 geometri dengan D.

pertama

deret

rumus

suku

n −1

adalah .......

165 945 C. 16 12 660 3780 D. B. 12 64 10. Jika diketahui suku ketiga barisan aritmetika adalah 11 dan suku kesepuluh adalah 39 maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ....... C. 3n + 7 A. 3n + 1 B. 4n − 1 D. 4n + 7 A.

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

1 - 28 Unit 1

Kunci Tes Formatif Kunci Tes formatif 1 1. C. 2. D.

(x

2

y −3 x5

⎛ 5 −3 3. C. ⎜⎜ − 2 ⎝x

)

−2

= x − 4 . y 6 .x −5 = x −9 . y 6

3

⎞ ⎛ 1 ⎞ 5 −9 5 −9 x 3 ⎟⎟ ⎜ 3 ⎟ = −6 3 = −3 = 9 x 5 ⎠ ⎝ x ⎠ x .x

(

⎛ 5 2.5 −3 4. C. ⎜ ⎜ 53 ⎝

)

−3

( )

⎞⎛ 1 ⎞ 5 −1 −3 ⎟⎜ = 53 ⎟= 0 ⎟⎝ 5 −3 ⎠ 5 ⎠

5. B. 4 4 × 2−3 = (22 ) × 2 −3 = 28 × 2 −3 = 25 = 32 4

6. C. ⎛ 16 ⎞⎛ 27 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟⎜ 3 7. B. ⎜⎜ 2 ⎟⎜ 8 ⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 2 9 ⎠ ⎠⎝ ⎝ 8. D.

( 125 )( 81) = 5.3 = 15 3

4

4

4 ⎛⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ ⎛2⎞ 9. A. ⎜ ⎜ ⎟ : ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝

⎛ 1 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ 3 2 10. A. ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜ 1 ⎝ 4 ⎠⎝ 27 ⎠ ⎜ 4 2 ⎝

4

1 4 −2 2 ⎞ ⎛ 4 ⎜⎛ 2 ⎞ 2 ⎟ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ : ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ .⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 9 ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝

1 ⎞⎛ ⎟⎜ 1 ⎞⎟ 32 1 1 = = = ⎟⎜ 1 ⎟ 3 ⎟⎜⎝ 33 2 ⎟⎠ 2.3 2 2.3 6 ⎠

( )

Kunci Tes Formatif 2 1 1 11. C. Barisan 4,3 ,3,2 , L merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a 2 2 1 = 4 dan beda b = − , sehingga suku ke-7 adalah 2 ⎛ 1⎞ u7 = 4 + (7 − 1)⎜ − ⎟ = 4 − 3 = 1. ⎝ 2⎠ 12. B. Barisan − 1,4,9,14, K merupakan barisan aritmetika dengan a = −1 dan beda b = 5 . Suku ke-n barisan tersebut adalah:

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 29

u n = a + (n − 1)b

= −1 + (n − 1)5 = −1 + 5n − 5 = 5n − 6 13. A. Barisan tersebut mempunyai selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), yaitu -7. 14. B. 1 15. D. Barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio . 3 16. B. 3

17. C.

∑k

2

+ k = (12 + 1) + (2 2 + 2) + (3 2 + 3) = 2 + 6 + 12 = 20 .

k =1

18. D. Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan suku awal a = 2 dan beda b = 3, sehingga jumlah suku ke-n adalah 1 1 S n = n[2a + (n − 1)b] = n[2.2 + (n − 1).3] 2 2 1 1 3n 2 + n = n[4 + 3n − 3] = n[3n + 1] = 2 2 2 n −1

1 ⎛1⎞ 19. C. u n = 30⎜ ⎟ diketahui u1 = 30 dan r = < 0 maka jumlah 6 suku 2 ⎝2⎠ pertama dari deret tersebut adalah ⎛ ⎛ 1 ⎞6 ⎞ 30⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ 30⎛⎜1 − 1 ⎞⎟ ⎜ ⎝2⎠ ⎟ ⎠ = ⎝ 64 ⎠ = 60⎛ 63 ⎞ = 945 S6 = ⎝ ⎜ ⎟ 1 ⎛ 1⎞ ⎝ 64 ⎠ 16 ⎜1 − ⎟ 2 ⎝ 2⎠

20. B. Diketahui u 3 = a + 2b = 11 dan u10 = a + 9b = 39 . Dari kedua persamaan tersebut diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 4 sehingga rumus barisan aritmetika tersebut adalah umum suku ke-n

u n = 3 + (n − 1)4 = 4n − 1 .

1 - 30 Unit 1

Daftar Pustaka Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta : Erlangga ________.2004. Aritmetika. [Online}. Tersedia di: http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/aritmetika.pdf [24 Februari 2007]

Pemecahan Masalah Matematika

1 - 31

Glosarium Akar bilangan Barisan aritmetika Barisan geometri Bilangan pokok Deret Eksponen Notasi sigma Panjang barisan Suku barisan

1 - 32 Unit 1

: Kebalikan dari perpangkatan : Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) : Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara sukusuku yang berurutan : Bilangan yang dipangkatkan dalam suatu perpangkatan : Penjumlahan berurut dari suku-suku barisan : Bilangan pangkat : Sebuah notasi yang menyatakan penjumlahan. : Bilangan yang menyatakan banyak suku barisan : Bilangan yang terdapat dalam suatu barisan

Unit

2

KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan

P

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media yang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi pada subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang baik soal yang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web. Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.

Pemecahan Masalah Matematika

2-1

Subunit 1 Persamaan

S

ubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar. Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : x, y, a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika 5 + 5 = 2 × 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 × a atau disingkat menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat komutatif, yaitu 2 × 3 = 3 × 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, yaitu 2 × a = a × 2 = 2a. Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini menyatakan banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali 2 × a = 2a disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga. Contoh : Jika 4a × b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah 4.

2-2

Unit 2

Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 × 2y = 6y. Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m.

maka

untuk

Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang berbeda. Contoh : 4k – 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya. Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh : a. 3 × 6y = (3 × 6)y = 18y b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh : a. u × v = v × u = uv b. a × (b × c) = (a × b) × c c. 2u (a + b) = (2u × a) + (2u × b) = 2au + 2bu Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di atas. 1. Jika diberikan x 2 y + 2 xy + ab − 6 maka tentukanlah a. koefisien dari x 2 y dan xy b. konstanta yang ada pada x 2 y + 2 xy + ab − 6

c. suku aljabar yang ke 3 2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah. Pemecahan Masalah Matematika

2-3

a. 3 × p b. y × 10 c. m × 6 d. n × 1 e. 2a × 3b f. 8ab + 6ba g. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas. 1. a. Koefisien dari x 2 y adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2. a. Konstanta yang ada pada x 2 y + 2 xy + ab − 6 adalah 6. c. Suku aljabar yang ke 3 dari x 2 y + 2 xy + ab − 6 adalah ab. 2. a. 3 × p = 3p b. y × 10 = 10y c. m × 6 = 6m d. n × 1 = 1n = n Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu sendiri. e. 2a × 3b = (2 × a) × (3 × b) = (2 × 3) × (a × b) Menggunakan sifat assosiatif = 6ab f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif = (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif = 14ab h. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl = 7gh + 8gh +12gl – 4gl = (7 + 8) gh + (12 – 4)gl = 15gh + 8gl Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 – 2, 2 × 5 = 8 + 2 Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel x menyatakan

2-4

Unit 2

bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x + 10 = 15 menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 = 15 disebut persamaan . Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”. Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 5 disebut penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan yang berbentuk ax + b = 0 dengan a, b ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0. Contoh : a. x + 5 = 9 b. 2x + 7 = 11 x c. =7 3 d. 7x – 4 = 4x + 17 e. 2(4x +1) = 18 Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini. Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini.

Pemecahan Masalah Matematika

2-5

Contoh : Diberikan persamaan 2 × 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 × 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: (2 × 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas persamaan 2 × 5 = 10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai kebenarannya. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini. 1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. 2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol. Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan ekuivalen dan keduanya mempunyai penyelesaian yang sama. Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada contoh yang telah diberikan di atas. a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut. x+5–5=9–5 Kedua ruas dikurangi dengan 5 x=4 Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4. b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11. 2x + 7 – 7 = 11 – 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7 2x = 4 2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2 (2 : 2)x = 2 x=2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2. Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan penyelesaian persamaan linear berikut ini. x a. Penyelesaian persamaan linear = 7 adalah sebagai berikut. 3 x ×3=7×3 Kedua ruas dikalikan 3 3 x = 21 x Jadi penyelesaian persamaan linear = 7 adalah x = 21. 3 2-6

Unit 2

b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x – 4 = 4x + 17 adalah sebagai berikut. 7x – 4 = 4x + 17 7x – 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4 7x = 4x + 21 7x – 4x = 4x – 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x (7 – 4 )x = 21 3x = 21 3x : 3 = 21 : 3 Kedua ruas dibagi dengan 3 (3 : 3)x = 7 x=7 c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1) = 18 adalah sebagai berikut. 2(4x + 1) = 18 8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif 8x + 2 – 2 = 18 – 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2 8x = 16 8x : 8 = 16 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8)x = 2 x=2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menyelesaikan persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 . Contoh : x 2 − 4 = 0 , x 2 − 9 x = 0 , x 2 + 7 x = 10 dan lain sebagainya. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ”

Pemecahan Masalah Matematika

2-7

berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit 6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4 x 2 − 32 x = 0 b. 7 x 2 = −84 x c.

2x 2 = 24 3

d. x 2 + 5 x + 6 = 0 Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 4 x 2 − 32 x = 0 dapat diubah menjadi 4 x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 4 x = 0 atau x − 8 = 0 Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4 x 2 − 32 x = 0 adalah x = 0 atau x = 8 b.

Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat

7 x 2 = −84 x sebagai berikut.

7 x 2 + 84 x = −84 x + 84 x

7 x( x + 12 ) = 0

Kedua ruas ditambah dengan 84x Menggunakan sifat distributif

7 x = 0 atau x + 12 = 0

Menggunakan aturan faktor nol

Jadi penyelesaian persamaan 7 x = −84 x adalah x = 0 atau x = −12 . 2

Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan persamaan kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian berikut ini. a. Penyelesaian persamaan kuadrat

2-8

Unit 2

2x 2 = 24 adalah sebagai berikut. 3

2x 2 × 3 = 24 × 3 3

Kedua ruas dikalikan dengan 3

2 x 2 = 72 2 x 2 72 = 2 2

Kedua ruas dibagi dengan 2

x 2 = 36 x = −6 atau x = 6 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat

2x 2 = 24 adalah x = −6 atau x = 6 . 3

Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan x 2 = 36 yaitu x = −6 atau x = 6 . Jadi ingatlah bahwa persamaan x 2 = a akan mempunyai dua nilai x yaitu

x = − a dan x = a . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 ? Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1 berikut ini.

(a)

(b) Gambar 2.1

(c)

Persegi (a) menyatakan banyaknya x 2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x 2 + 5 x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Gambar 2.2

Pemecahan Masalah Matematika

2-9

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada gambar 2.

Gambar 2.3 Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat

x 2 + 5 x + 6 = 0 sama dengan persamaan

(x + 2)(x + 3) = 0 .

Dengan demikian

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh

(x + 2) = 0

atau

( x + 3) = 0 .

Jadi

penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3 . Jadi secara umum, jika x1 dan x 2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka

persamaan

kuadrat

tersebut

adalah

x 2 + ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0 .

Cara

menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0 tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini. x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 − 7 x − 6 = 0 dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 2 x 2 − 7 x − 6 = 0 maka a = 2, b = -7 dan c = -6. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh

2 - 10

Unit 2

− (−7) ± (−7) 2 − 4.2.(−6) x= 2.2 7 ± 49 + 48 x= 4 7 ± 97 x= 4 7 ± 9,8489 x= 4 7 + 9,8489 7 − 9,8489 x= x= atau 4 4 x = 4,2122 x = −0,7122 atau Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 2 x 2 − 7 x − 6 = 0 adalah x = 4,2122 atau x = 0,7122.

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 11

Rangkuman Variabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku aljabar menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta. Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut. a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pengertian koefisien adalah ……. A. suku aljabar yang tidak memuat variabel B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1 C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel 2x 2. Jika diberikan persamaan x 2 + − 8 = 0 maka koefisien dari x adalah ....... 3

2 - 12

Unit 2

A. -8 2 B. 3

C. 1 D. 8

3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah ....... A. 2 + 5 = 7 C. 5 x( x − 1) = 6 x D. 2 x 2 − 2 = 0 B. + 7 = 15 2 15 4. Penyelesaian persamaan − 2 = 3 adalah ....... x 1 13 C. x = A. x = 3 3 B. x = 3 D. x = 6 1 5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = − adalah....... 3 2 1 1 A. + 3 = C. 1 − =3 x x 3x 2 1 1 D. 1 + B. − 3 = =3 x x 3x

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 13

6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.

x 2 − 81 = 0 x 2 = 81 x = −9 atau x = 9 Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan ....... A. aturan faktor nol C. cara memfaktorkan B. akar kuadrat D. rumus 7. Penyelesaian persamaan x( x − 1) = 12 adalah ....... A. x = 12 B. x = 0 atau x = 1

C. x = −3 atau x = 4 D. x = 12 atau x = 13

8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = 2 adalah ....... A. x(x + 4) = −4 1 1 C. + 1 = x 2 B. x( x − 4) = −4 1 1 D. − 1 = x 2 1 1 9. Penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + x − 3 = 0 adalah ....... 2 2 C. x = −2 atau x = 3 A. x = −1 atau x = 6 B. x = 1 atau x = −6 D. x = 2 atau x = −3 10. Penyelesaian persamaan kuadrat x 2 − 4 x + 2 = 0 adalah ....... C. x = 0 atau x = 4 A. x = −1 B. x = −2 atau x = 2 D. x = 2 + 2 atau x = 2 − 2

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 14

Unit 2

Subunit 2 Pertidaksamaan

M

ateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan linear dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menyatakan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan. Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”>”, ”≥”, ”≤” atau ” 5 , 2 x − 6 ≤ 11 , dan lain sebagainya. Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.

Gambar 2.4 Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh

Gambar 2.5 Jadi jika kedua ruas dikurangi dengan 2 maka

pertidaksamaan 10 > 6 diperoleh 10 – 2 = 8 Pemecahan Masalah Matematika

2 - 15

dan 6 – 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama. Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan diperoleh

Gambar 2.6 Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka diperoleh 10 × 2 = 20 dan 6 × 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama. Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh 10 × (-2) = -20 dan 6 × (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari ”” dan sebaliknya serta dari ”≤” menjadi ”≥”. Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini. Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan a. x + 3 > 7 b. x + 8 ≤ 6 x c. ≤2 3 d. 3 − 2( x − 4) > 2 + 3( x − 2) Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut. 2 - 16

Unit 2

a. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 3 > 7 x +3−3 > 7 −3 Kedua ruas dikurangi dengan 3 x>4 Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang kurang dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan

{x; x > 4}.

Akan lebih jelas jika

penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.

Gambar 2.7 Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang lebih dari 4 tetapi tidak

sama dengan 4 ( x ≠ 4) .

b. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 8 ≤ 6 . x +8−8 ≤ 6−8 Kedua ruas dikurangi dengan 8 x ≤ −2

Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 8 ≤ 6 adalah {x; x ≤ −2} . Jika penyelesaian ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh

Gambar 2.8 Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x + 8 ≤ 6 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan -2 itu sendiri. x c. Penyelesaian pertidaksamaan linear ≤ 2 . 3 x ×3≤2×3 (Kedua ruas dikalikan dengan 3) 3 x≤6

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 17

x ≤ 2 adalah {x; x ≤ 6}. Jika 3 penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.

Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear

Gambar 2.9 d. Penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2( x − 4) > 2 + 3( x − 2) . 3 − 2 x + 8 > 2 + 3x − 6 11 − 2 x > 3 x − 4 11 − 11 − 2 x > 3 x − 4 − 11 − 2 x > 3x − 15 − 2 x − 3 x > 3 x − 3 x − 15 − 5 x > −15

(Menggunakan sifat distributif) (Kedua ruas dikurangi dengan 11) (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)

− 5 x − 15 (Kedua ruas dibagi dengan -5) < −5 −5 x 2 + 3( x − 2)

adalah

{x; x < 3} . Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Contoh : x 2 + 6 x + 5 > 0 Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh (x + 1)(x + 5) > 0 Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( x + 1)( x + 5) = 0 . Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( x + 1) = 0

atau ( x + 5) = 0 sehingga x = −1 atau x = −5 . Jadi kita mempunyai 3 daerah pada garis bilangan yang dibatasi oleh nilai x = −1 dan x = −5 seperti gambar berikut ini.

Gambar 2.10

2 - 18

Unit 2

Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan

x 2 + 6 x + 5 > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak pada masing-masing daerah ke pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 . Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh (− 6) + 6(−6) + 5 = 5 maka semua bilangan 2

yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutnya untuk bilangan -2 diperoleh (−2) 2 + 6(−2) + 5 = −3 maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 adalah semua bilangan yang terletak pada daerah yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian pertidaksamaan

x 2 + 6 x + 5 > 0 adalah himpunan

{x;

x < −5 atau x > −1} . Penyelesaian tersebut

dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.

Gambar 2.11

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 19

Latihan Berikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahnya. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini yang dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan. 1. 2 x 2 > 8 2. − 2 x 2 + 32 ≤ 0 3. − x 2 − 4 x + 5 > 0 4. x 2 + 6 x + 9 ≥ 0

Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan

2

sehingga

diperoleh

x2 > 4 .

Kemudian

kita

anggap

pertidaksamaan tersebut adalah persamaan x > 4 sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh x = −2 dan x = 2 . Selanjutnya kita uji 2

bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 2 x 2 > 8 dengan memasukkan bilangan x = −3 , x = 0 , dan x = 3 ke pertidaksamaan

2 x 2 > 8 sebagai berikut. 2x 2 > 8

2x 2 > 8

2x 2 > 8

2(0) 2 > 8 2(3) 2 > 8 2(−3) 2 > 8 0>8 18 > 8 18 > 8 Pernyataan benar Pernyataan salah Pernyataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 2 x 2 > 8 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2. Dengan kata

{x ;

lain

penyelesaian

pertidaksamaan

2x 2 > 8

adalah

x < −2 atau x > 2} dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai

berikut.

2 - 20

himpunan

Unit 2

Gambar 2.12 Anda perhatikan lingkaran pada nilai x = −2 dan x = 2 berlubang. Hal ini menyatakan bahwa nilai x = −2 dan x = 2 tidak memenuhi pertidaksamaan

2x 2 > 8 . 2. Kedua ruas pertidaksamaan − 2 x 2 + 32 ≤ 0 dikurangi dengan bilangan 32 sehingga diperoleh − 2 x 2 ≤ −32 . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -2. Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh x 2 > 16 . Selanjutnya pertidaksamaan x 2 > 16 dianggap persamaan x 2 = 16 sehingga diperoleh nilai x = −4 dan x = 4 . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai x = −5 , x = 0 , dan x = 5 sebagai berikut. − 2 x 2 + 32 ≤ 0

− 2 x 2 + 32 ≤ 0

− 2(−5) 2 + 32 ≤ 0 − 18 ≤ 0 Pernyataan benar Berdasarkan pengujian di

− 2 x 2 + 32 ≤ 0

− 2(0) 2 + 32 ≤ 0 − 2(5) 2 + 32 ≤ 0 32 ≤ 0 − 18 ≤ 0 Pernyataan salah Pernyataan benar atas diperoleh himpunan penyelesaian

pertidaksamaan − 2 x 2 + 32 ≤ 0 adalah

{x ;

x ≤ −4 atau x ≥ 4} dan jika

dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.13 − x − 4x + 5 > 0 2

3. Pertidaksamaan

dianggap

menjadi

persamaan

− x 2 − 4 x + 5 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh − x 2 − 4x + 5 = 0 (− x + 1)(x + 5) = 0 − x + 1 = 0 atau x + 5 = 0 − x = −1 atau x = −5 x = 1 atau x = −5 Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai x = −6 , x = 0 , dan x = 2 ke dalam pertidaksamaan − x 2 − 4 x + 5 > 0 sebagai berikut. − x 2 − 4x + 5 > 0

− x 2 − 4x + 5 > 0

− (− 6 ) − 4(− 6 ) + 5 > 0 − 36 + 24 + 5 > 0 −7 > 0

− (0 ) − 4(0 ) + 5 > 0

2

2

5>0

− x 2 − 4x + 5 > 0

− (2 2 ) − 4(2) + 5 > 0 − 4−8+5 > 0 −7 > 0

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 21

Pernyataan salah

Pernyataan benar

Pernyataan salah

Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan

− x 2 − 4 x + 5 > 0 adalah

{x ;

− 5 < x < 1} dan jika dinyatakan dalam garis

bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.14 4. Pertidaksamaan x + 6 x + 9 ≥ 0 dianggap sebagai persamaan x 2 + 6 x + 9 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh 2

x 2 + 6x + 9 = 0

(x + 3)(x + 3) = 0

x+3= 0 x = −3 Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai x = 0 pada pertidaksamaan x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 sebagai berikut. x2 + 6x + 9 ≥ 0 02 + 6(0) + 9 ≥ 0 9≥0 Pernyataan benar Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 + 6x + 9 ≥ 0

adalah

{x ; x ≥ −3}

atau penyelesaian pertidaksamaan

x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.

Gambar 2.15 Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa yang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan.

2 - 22

Unit 2

Rangkuman Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ””, ”≤”, atau ”≥”. Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda yang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda ””, tanda ”≤” menjadi ”≥” dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Untuk mempermudah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan nilai x yang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutnya untuk menentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan yang terletak pada masing-masing daerah pada garis bilangan.

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pertidaksamaan linear adalah ....... A. pertidaksamaan yang tidak memuat konstanta B. pertidaksamaan yang memiliki 1 variabel C. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat variabelnya D. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat variabelnya

tertinggi

1

pada

tertinggi

2

pada

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 23

2. Berikut ini yang merupakan pertidaksamaan linear adalah ....... B. A. 2x − 3 2 − 5x > 5x ≤0 x 2 D. C. x−3 6 x(2 x − 3) < 1 ≥ 3x x−2 3. Jika pertidaksamaan linear 1 − 2 x > 5 dikalikan dengan bilangan -3 maka diperoleh pertidaksamaan ....... C. 6 x − 3 > −15 A. − 6 x − 3 > −15 B. − 6 x − 3 < −15 D. 6 x − 3 < −15 4. Berikut ini yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan

7x − 6 ≤5 x

adalah .......

A. {x; x ≥ 3}

11⎫ ⎧ C. ⎨ x; 0 ≤ x ≤ ⎬ 7⎭ ⎩

B. {x; x ≤ 3}

11⎫ ⎧ D. ⎨ x; x ≥ 0 atau x ≤ ⎬ 7⎭ ⎩ 5. Pertidaksamaan linear yang mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah .......

A. x − 8 < 4 x + 16 C. x − 8 ≥ 4 x + 16

B. x − 8 > 4 x + 16 D. x − 8 ≤ 4 x + 16

6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ........ A.

2 - 24

Unit 2

7x + 1 < 3x − 1 ditunjukkan oleh 2

B. C. D. 7. Penyelesaian pertidaksamaan 3x 2 + 5 x > 2 adalah .......

C. {x; − 1 < x < 2}

1⎫ ⎧ A. ⎨ x; − 2 < x < ⎬ 3⎭ ⎩

D. {x; x < −1 atau x > 2}

1⎫ ⎧ B. ⎨ x; x < −2 atau x > ⎬ 3⎭ ⎩ 8. Pertidaksamaan kuadrat yang mempunyai himpunan penyelesaian yang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah .......

A. ( x − 5)(x − 6 ) ≥ 2

B. ( x − 5)( x − 6 ) < 2

C. ( x − 4 )( x − 7 ) ≤ 2

D. ( x − 4 )( x − 7 ) < 2

9. Garis bilangan berikut yang menyatakan penyelesaian pertidaksamaan

x 2 − 10 x > 4 x − 49 adalah ....... A. B. C. D. 10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 + 6 x − 2 ≤ 0 adalah .......

{ C. {x ; 3 −

}

A. x ; - 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11

22 ≤ x ≤ 3 + 22

}

{ D. {x ; x ≤ 3 −

}

C. x ; x ≤ −3 − 11 atau x ≥ −3 + 11 22 atau x ≥ 3 + 22

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 25

}

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 26

Unit 2

Subunit 3 Sistem Persamaan Linear

D

alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang paling sederhana yaitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini. Contoh :Diketahui Ari membeli 10 buku dan 5 pensil dengan harga Rp. 12.500,-. Sedangkan Dita membeli 5 buku dan 2 pensil dengan harga Rp. 6.000,-. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita buat tabel berikut. Tabel 2.1 Banyak buku Banyak pensil Harga Ari 10 5 Rp. 12.500,Dita 5 2 Rp. 6.000,Misalkan x menyatakan harga sebuah buku dan y menyatakan harga sebuah pensil. Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut. 10 x + 5 y = 12500 5 x + 2 y = 6000 Persamaan-persamaan di atas mempunyai dua variabel (yaitu x dan y) dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear yang diperoleh merupakan kalimat matematika yang menyatakan permasalahan di atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari permasalahan yang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitannya, sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau bukan biasanya pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda “{“. Jadi dari permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah yaitu

⎧10 x + 5 y = 12500 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y = 6000

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 27

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ a 2 x + b2 y = c 2

dengan a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , dan c 2 merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal ini berarti kita menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan ⎧10 x + 5 y = 12500 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y = 6000 Misalkan nilai x = p dan y = q yang memenuhi sistem persamaan linear di atas, artinya jika nilai x dan y pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka diperoleh pernyataan yang benar. Jika nilai x dan y tersebut ditulis sebagai pasangan berurutan ( p, q ) , pasangan berurutan ini disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut. Pada contoh di atas penyelesaian sistem persamaan linear ⎧10 x + 5 y = 12500 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y = 6000

adalah (1000,500). Kita akan menguji apakah (1000,500) merupakan penyelesaian dengan cara memasukkan nilai x = 1000 dan y = 500 ke dalam sistem persamaan linear sebagai berikut. ⎧10(1000) + 5(500) = 10000 + 2500 = 12500 ⎨ ⎩ 5(1000) + 2(500) = 5000 + 1000 = 6000

benar benar

Ternyata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernyataan yang benar, maka (1000,500) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi menyelesaikan sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Ada tiga masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu: 1. ada tidaknya penyelesaian 2. metode penyelesaian 3. deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian tersebut. Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumnya akan dijelaskan bahwa manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan.

2 - 28

Unit 2

1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya. 2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya. Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas selanjutnya. Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Dipilih salah satu persamaan linear yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai y atau sebaliknya. 2. Masukkan (substitusikan) x atau y yang diperoleh pada langkah satu ke persamaan yang lain sampai diperoleh nilai x dan y. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini dengan metode substitusi. ⎧ x + y = −8 ⎨ ⎩2 x − y = −1

Penyelesaian : Kita pilih persamaan x + y = −8 , kemudian kita nyatakan x sebagai y sehingga diperoleh x = −8 − y . Persamaan x = −8 − y kita masukkan ke dalam persamaan 2 x − y = −1 sehingga diperoleh 2 x − y = −1 2(−8 − y ) − y = −1 − 16 − 2 y − y = −1 − 3 y = −1 + 16 − 3 y = 15 y = −5 Dari sini diperoleh x = −8 − y = −8 − (−5) = −8 + 5 = −3

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 29

⎧ x + y = −8 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (-3,-5). ⎩2 x − y = −1

Latihan 1 Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah Anda selesai mengerjakannya, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi. a. b. ⎧2 x − 3 y = 4 ⎨ ⎩ x + 2y = 9

⎧2 x − 3 y = 7 ⎨ ⎩ 3x − y = 7

Pedoman Jawaban Latihan 1 a. Dari persamaan x + 2 y = 9 , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh x = 9 − 2 y . Persamaan

x = 9 − 2y

disubstitusikan ke dalam persamaan

2 x − 3 y = 4 sehingga diperoleh 2x − 3y = 4 2(9 − 2 y ) − 3 y = 4 18 − 4 y − 3 y = 4 − 7 y = 4 − 18 − 7 y = −14 y=2 Selanjutnya nilai y = 2 disubstitusikan ke persamaan x = 9 − 2 y sehingga diperoleh x = 9 − 2y = 9 − 2(2) =9−4 =5 ⎧2 x − 3 y = 4 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (5,2) . ⎩ x + 2y = 9

2 - 30

Unit 2

b. Dari persamaan 3x − y = 7 , variabel y dinyatakan dalam x diperoleh y = 3x − 7 . Persamaan

y = 3x − 7 disubstitusikan ke persamaan 2 x − 3 y = 7 sehingga

diperoleh 2x − 3y = 7 2 x − 3(3 x − 7) = 7 2 x − 9 x + 21 = 7 − 7 x = 7 − 21 − 7 x = −14 x=2 Selanjutnya nilai x = 2 disubstitusikan ke persamaan y = 3x − 7 diperoleh y = 3x − 7 = 3(2) − 7 = 6−7 = −1

⎧2 x − 3 y = 7 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (2,−1) . ⎩ 3x − y = 7 Berikut akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut ini. 1. Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y. 2. Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel x. Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. ⎧ x + y = −8 ⎨ ⎩2 x − y = −1 Penyelesaian : Berdasarkan persamaan-persamaan yang terdapat dalam sistem di atas, kita akan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y terlebih dahulu sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 31

x + y = −8 2 x − y = −1 + 3 x = −9 x = −3 Untuk memperoleh nilai y kita akan mengeliminasi variabel x dengan cara sebagai berikut. x + y = −8 × 2 2 x − y = −1

×1

Sehingga diperoleh 2 x + 2 y = −16 2 x − y = −1 − 3 y = −15 y = −5 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-3,-5).

Latihan 2 Setelah Anda memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. c. b. a. ⎧2 x + 3 y = 2 ⎨ ⎩4 x + 3 y = 6

⎧2 x + 4 y − 5 = 0 ⎨ ⎩ x − 2y − 6 = 0

⎧4 x + 5 y = 6 ⎨ ⎩3 x − 4 y = −11

Pedoman Jawaban Latihan 2 ⎧2 x + 3 y = 2 adalah sebagai berikut. a. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎩4 x + 3 y = 6 4x + 3y = 6 4x + 3 y = 6 ×1 2x + 3y = 2 2x + 3y = 2 × 2 − 2x = 4

x=2

2 - 32

Unit 2

4x + 3y = 6 4x + 6 y = 4 − − 3y = 2 2 y=− 3 ⎧2 x + 3 y = 2 2⎞ ⎛ Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎜ 2,− ⎟ . 3⎠ ⎝ ⎩4 x + 3 y = 6 ⎧2 x + 4 y − 5 = 0 b. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah sebagai berikut. ⎩ x − 2y − 6 = 0 2x + 4 y − 5 = 0 ×1 2x + 4 y − 5 = 0 ×1

x − 2y − 6 = 0 × 2 2x + 4 y − 5 = 0 2 x − 4 y − 12 = 0 + 4 x = −17 17 1 x = − = −4 4 4

x − 2y − 6 = 0 × 2 2x + 4 y − 5 = 0 2 x − 4 y − 12 = 0 − 8y + 7 = 0 8 y = −7 7 y=− 8

⎧2 x + 4 y − 5 = 0 1 7⎞ ⎛ Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎜ − 4 ,− ⎟ . 4 8⎠ ⎝ ⎩ x − 2y − 6 = 0 ⎧4 x + 5 y = 6 c. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah sebagai berikut. ⎩3 x − 4 y = −11 4x + 5 y = 6

×4 3 x − 4 y = −11 × 5

4x + 5 y = 6

×3 3 x − 4 y = −11 × 4

16 x + 20 y = 24 15 x − 20 y = −55 + 31x = −31

12 x + 15 y = 18 12 x − 16 y = −44 − 31 y = 62

x = −1

y=2

⎧4 x + 5 y = 6 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (− 1,2) . ⎩3 x − 4 y = −11 Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kedua metode penyelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan kedua metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 33

⎧ x − 3y = 2 Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ . ⎩− 2 x + 3 y = −4 Penyelesaian : Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, yaitu: x − 3y = 2 − 2 x + 3 y = −4 + − x = −2 x=2 Nilai x = 2 disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh: x − 3y = 2 2 − 3y = 2 − 3y = 2 − 2 − 3y = 0 y=0 ⎧ x − 3y = 2 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (2,0 ) . ⎩− 2 x + 3 y = −4 Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunyai penyelesaian. Contoh berikut merupakan sistem persamaan yang dimaksud. ⎧2 x + 4 y = 5 Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ . ⎩ x + 2y = 6 Penyelesaian : 2x + 4 y = 5 2x + 4 y = 5 ×1 2 x + 4 y = 12 x + 2y = 6 × 2 − 0 = 12

Dari pengerjaan di atas diperoleh pernyataan yang salah artinya tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear ⎧2 x + 4 y = 5 tidak mempunyai penyelesaian. ⎨ ⎩ x + 2y = 6

2 - 34

Unit 2

Rangkuman Persamaan yang mempunyai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah. Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang mempunyai hubungan, misalnya sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika yang menyatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ a 2 x + b2 y = c 2

dengan a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , dan c 2 merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai pengganti untuk variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan. 1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya. 2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya. Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Ada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak mempunyai penyelesaian jika tidak terdapat nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut.

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 35

Tes Formatif 3 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. ⎧3x + 6 y = 4 dengan 1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎩9 x − 2 y = 2 menggunakan metode substitusi.

2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎧2 ⎪x + ⎪ ⎨ ⎪9 − ⎪⎩ x

6 =4 y 2 =2 y

dengan

menggunakan metode eliminasi. ⎧0,5 x − 0,6 y = −2 3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ dengan ⎩1,5 x − 0,8 y = 7 menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus. ⎧ x + 3y ⎪⎪ 2 = 9 4. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎪x + 2y = 5 ⎪⎩ 3 ⎧2 x + 5 y = 7 5. Jika diketahui sistem persamaan linear ⎨ , maka tentukan nilai ⎩3 x + 4 y = 14 4x + 7 y .

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 36

Unit 2

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. D. Koefisien merupakan bilangan yang melekat pada variabel sehingga bilangan ini menyatakan banyaknya variabel. 2. B. 3. B. Perhatikan variabel x dimana variabel tersebut mempunyai pangkat sama dengan 1. 15 4. B. Kedua ruas persamaan − 2 = 3 dikalikan dengan x sehingga diperoleh x 15 − 2 x = 3 x 15 = 3 x + 2 x 15 = 5 x x=3 5. A. 6. B. 7. C. Persamaan x(x − 1) = 12 ekuivalen dengan persamaan x 2 − x − 12 = 0 sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh

(x + 3)(x − 4) = 0

x + 3 = 0 atau x − 4 = 0 x = −3 atau x = 4

8. B. Jika x = 2 dimasukkan ke persamaan x( x − 4) = −4 akan diperoleh pernyataan yang benar. 1 2 1 9. D. Persamaan x + x−3= 0 2 2

ekuivalen

dengan

persamaan

x 2 + x − 6 = 0 sehingga dengan memfaktorkan diperoleh

(x + 3)(x − 2) = 0

x + 3 = 0 atau x − 2 = 0 x = −3 atau x = 2 10. D. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat x 2 − 4 x + 2 = 0 digunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh a = 1 , b = −4 , dan c = 2 sehingga diperoleh

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 37

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

− (−4) ± (−4) 2 − 4.1.2 2 4 ± 16 − 8 = 2 1 = 2± 8 2 = 2± 2

=

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah x = 2 + 2 atau x = 2− 2.

Kunci Tes Formatif 2 11. C. 2x − 3 > 5 x mempunyai variabel dengan pangkat 2 tertinggi sama dengan 1.

12. A. Pertidaksamaan

13. D. 14. B. Kedua ruas pertidaksamaan

7x − 6 ≤ 5 dikalikan dengan x sehingga x

diperoleh 7 x − 6 ≤ 5x 7 x − 5x ≤ 6 2x ≤ 6 x≤3 15. C. Ambil bilangan -10 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan yang terdapat pada pilihan. x − 8 ? 4 x + 16 − 10 − 8 ? 4(−10) + 16 − 18 ? − 24 Agar pernyataan yang diperoleh benar maka tanda yang harus diberikan adalah “>” atau “ ≥ ”. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 yaitu diarsir penuh maka tanda yang memenuhi adalah “ ≥ ”. Jadi pertidaksamaan dengan penyelesaian tersebut adalah x − 8 ≥ 4 x + 16 .

2 - 38

Unit 2

16. B. Kedua ruas pertidaksamaan

7x + 1 < 3 x − 1 dikalikan dengan bilangan 2 2

diperoleh 7x + 1 < 6x − 2 7 x − 6 x < −2 − 1 x < −3 2 17. B. Penyelesaian pertidaksamaan 3 x + 5 x > 2 adalah:

3x 2 + 5 x > 2 3x 2 + 5 x − 2 > 0

(3x − 1)(x + 2) > 0

Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh

(3x − 1)(x + 2) = 0

3 x − 1 = 0 atau x + 2 = 0 3 x = 1 atau x = −2 1 atau x = −2 3 Selanjutnya selidiki daerah pada garis bilangan yang merupakan x=

penyelesaian dari pertidaksamaan 3 x + 5 x > 2 sebagai berikut. Ambil nilai x = −3 , x = 0 dan x = 1 . Substitusikan nilai-nilai tersebut ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 2

3x 2 + 5 x > 2

3x 2 + 5 x > 2

3x 2 + 5 x > 2

3(−3) 2 + 5(−3) > 2

3.0 2 + 5.0 > 2 0>2

3.12 + 5.1 > 2 3+5>2

27 − 15 > 2 12 > 2

8>2

Pernyataan benar

Pernyataan salah Pernyataan benar Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan

3x 2 + 5x > 2

adalah

himpunan

1⎫ ⎧ ⎨ x; x < −2 atau x > ⎬ . 3⎭ ⎩ 18. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan tersebut bukan nol sehingga bilangan 4 dan 7 bukan merupakan penyelesaian. Selanjutnya kita ambil bilangan nol, kemudian kita masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut. A. B.

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 39

(x − 5)(x − 6) ≥ 2

(x − 5)(x − 6) < 2

(0 − 5)(0 − 6) ≥ 2

(0 − 5)(0 − 6) < 2

(−5)(−6) ≥ 2

(−5)(−6) < 2

30 ≥ 2 30 < 2 Pernyataan benar Pernyataan salah Jadi pertidaksamaan A yang mempunyai penyelesaian seperti yang ditunjukkan oleh garis bilangan.

19. D. Pertidaksamaan x 2 − 10 x > 4 x − 49 ekuivalen dengan x 2 − 14 x + 49 > 0 . Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka diperoleh x 2 − 14 x + 49 = 0 . Dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh

(x − 7 )(x − 7 ) = 0

x−7 = 0 x=7 Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut. Diambil x = 0 sehingga Diambil x = 8 sehingga x 2 − 10 x > 4 x − 49 0 > −49 Pernyataan benar

x 2 − 10 x > 4 x − 49 (8) 2 − 10(8) > 4(8) − 49 64 − 80 > 32 − 49 − 16 > −17 Pernyataan benar

Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x 2 − 10 x > 4 x − 49 adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke dalam penyelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak menggunakan tanda sama dengan. 20. A. Dengan menganggap pertidaksamaan x 2 + 6 x − 2 ≤ 0 sebagai persamaan x 2 + 6 x − 2 = 0 diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan dengan menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh a = 1 , b = 6 , dan c = −2 sehingga

2 - 40

Unit 2

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

− 6 ± 62 − 4.1.(−2) 2 − 6 ± 36 + 8 = 2 1 = −3 ± 44 2 = −3 ± 11 Dengan mengambil sebarang bilangan yang terletak di antara bilangan =

− 3 + 11 dan − 3 − 11 , misalnya x = 2 yang disubstitusikan ke

pertidaksamaan x 2 + 6 x − 2 ≤ 0 diperoleh 14 ≤ 0 yang merupakan pernyataan salah. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut

{

}

adalah x ; − 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11 .

Kunci Tes Formatif 3 21. Dari persamaan 3x + 6 y = 4 , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh 3 x = 4 − 6 y . Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan

9 x − 2 y = 2 sehingga diperoleh 9x − 2 y = 2 3(3x) − 2 y = 2 3(4 − 6 y ) − 2 y = 2 12 − 18 y − 2 y = 2 − 20 y = 2 − 12 − 20 y = −10 − 10 1 = y= − 20 2 Selanjutnya y =

1 disubstitusikan ke persamaan 3 x = 4 − 6 y sehingga 2

diperoleh

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 41

3x = 4 − 6 y ⎛1⎞ 3 x = 4 − 6⎜ ⎟ ⎝2⎠ 3x = 4 − 3 1 x= 3 ⎧3x + 6 y = 4 ⎛1 1⎞ Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎜ , ⎟ . ⎝3 2⎠ ⎩9 x − 2 y = 2 ⎧2 ⎪x + ⎪ 22. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎪9 − ⎪⎩ x

6 =4 y dengan menggunakan 2 =2 y

metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi variabel y agar diperoleh nilai x sebagai berikut. 2 6 2 6 + = 4 x1 + =4 x9 x y x y 9 2 9 2 − =2 x3 − =2 x2 x y x y Diperoleh

Diperoleh 2 6 + =4 x y 27 6 − =6 x y + 29 = 10 x 29 = 10 x 29 x= = 2,9 10

18 54 + = 36 x y 18 4 − =4 x y − 58 = 32 y 32 y = 58 58 y= 32 ⎧2 6 ⎪x + y = 4 ⎪ ⎛ 29 58 ⎞ adalah ⎜ , ⎟ . Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎝ 10 32 ⎠ ⎪9 − 2 = 2 ⎪⎩ x y 23. Penyelesaian

sistem

persamaan

linear

⎧0,5 x − 0,6 y = −2 ⎨ ⎩1,5 x − 0,8 y = 7

dengan

menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut. 2 - 42

Unit 2

Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas dikalikan dengan bilangan 10 sehingga diperoleh ⎧5 x − 6 y = −20 ⎨ ⎩15 x − 8 y = 70 Dengan metode eliminasi diperoleh 20 x − 24 y = −80 45 x − 24 y = 210 − 25 x = 290 290 3 x= = 11 25 5 3 disubstitusikan ke salah satu persamaan, 5 misalkan kita substitusikan ke persamaan 5 x − 6 y = −20 sehingga

Selanjutnya nilai x = 11

diperoleh

5 x − 6 y = −20 ⎛ 58 ⎞ 5⎜ ⎟ − 6 y = −20 ⎝ 5⎠ 58 − 6 y = −20 − 6 y = −20 − 58 − 6 y = −78 − 78 y= = 13 −6 ⎧0,5 x − 0,6 y = −2 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎩1,5 x − 0,8 y = 7 ⎛ 3 ⎞ ⎜11 ,13 ⎟ . ⎝ 5 ⎠ 24. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut. Nilai y = 3 disubstitusi ke ruas x + 3y =9 ×1 persamaan kedua, yaitu: 2 3 1 x + 2y =5 × 2 3 Diperoleh

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 43

x + 3y =3 6 x + 2y 5 = 6 2 − 3y 2 y 5 − = 3− 6 6 2 y 6−5 = 6 2 6 y= =3 2

x + 2y =5 3 x + 2(3) =5 3 x + 6 = 15 x = 15 − 6 x=9

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (9,3) . ⎧2 x + 5 y = 7 25. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎩3 x + 4 y = 14 berikut. 2x + 5 y = 7 × 4

adalah sebagai

3 x + 4 y = 14 × 5 Sehingga diperoleh 8 x + 20 y = 28 15 x + 20 y = 70 − − 7 x = −42 x=6

2x + 5 y = 7 2( 6) + 5 y = 7 12 + 5 y = 7 5 y = 7 − 12 5 y = −5 y = −1

Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah (6,−1) , maka 4 x + 7 y = 4(6) + 7(−1) = 24 − 7 = 17

2 - 44

Unit 2

Daftar Pustaka Roberts, D.M, et.all. 2005. Mathematics A. [Online]. http://regentsprep.org/Regents/math/math-a.cfm#a4 [20 Mei 2006]

Tersedia

________.2004. Aljabar. [Online}. Tersedia http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/ALJABAR.pdf [20 Januari 2007]

di:

di:

________.2005. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di: http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat16/01.pdf [14 Maret 2007] ________. 2005. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di: http://www.mathsteacher.com.au/ [17 Oktober 2005]

Pemecahan Masalah Matematika

2 - 45

Glosarium Eliminasi

Kesamaan Konstanta Koefisien Persamaan Penyelesaian persamaan

Persamaan linear Persamaan kuadrat Pertidaksamaan Pertidaksamaan linear Pertidaksamaan kuadrat Sistem persamaan linear Substitusi

Suku aljabar Variabel

2 - 46

Unit 2

: salah satu metode penyelesaian sistem persamaan dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan-persamaan : pernyataan atau kalimat tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan : suku aljabar yang tidak memuat variabel : bilangan yang menyatakan banyaknya variabel : kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan : suatu bilangan tertentu yang jika menggatikan variabel dalam suatu persamaan maka diperoleh pernyataan yang benar : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1 : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2 : kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1 : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2 : sekumpulan persamaan linear yang terkait satu sama lain : salah satu metode dalam menyelesaikan sistem persamaan dengan cara memasukkan salah satu variabel dalam salah satu persamaan yang dinyatakan dalam variabel lain ke persamaan yang lain : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel dengan variabel : sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real

Unit

3

KONSEP DASAR GEOMETRI DAN PENGUKURAN Edy Ambar Roostanto Pendahuluan

P

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam Geometri dan Pengukuran yang terdiri dari bangun datar geometri yaitu segitiga, segiempat dan segilima serta bangun ruang seperti prisma, tabung, limas dan kerucut. Selain itu dalam unit ini Anda diajak untuk mengukur dan menghitung keliling, luas dan volume bangun- bangun geometri di atas. Dengan mempelajari konsep dasar dalam geometri dan pengukuran ini, kompetensi yang akan dicapai adalah Anda mampu menggunakan konsep dasar geometri dan pengukuran dalam menyelesaikan masalah dalam matematika atau bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu bangun datar, bangun ruang, dan pengukuran bangun datar dan bangun ruang. Masing-masing subunit dilengkapi dengan latihan-latihan yang berguna untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Media yang dapat digunakan dalam mempelajari konsep dasar geometri dan pengukuran ini selain bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari di bidang geometri. Unit ini dapat Anda kuasai dengan baik dengan mencatat poin-poin penting dan mengerjakan latihan-latihan yang telah disediakan. Setelah Anda selesai mempelajari materi dalam satu subunit maka kerjakanlah tes formatif yang ada di setiap akhir subunit untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap materi dalam subunit tersebut. Jika Anda merasa belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, maka pelajari lagi materi dalam subunit tersebut. Jangan segan bertanya kepada orang yang Anda anggap bisa membantu. Anda dapat melakukan latihan berulang–ulang baik dari bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web.

Pemecahan Masalah Matematika

3-1

Subunit 1 Bangun Datar Geometri

S

ub unit ini berisi bahasan tentang bangun datar dan karakteristiknya. Bangun datar yang akan dipelajari adalah segitiga, segiempat dan segilima. Bangun datar yang akan dipelajari pertama kali adalah bangun datar segitiga.

Segitiga Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak melihat contoh benda-benda di sekitar kita yang menggunakan bentuk dasar segitiga. Misalnya contoh berikut ini.

Atap Rumah Segitiga Pengaman Tenda Gambar 3.1 Benda yang Memiliki Bentuk Dasar Segitiga Coba sebutkan contoh benda-benda di sekitar Anda yang memiliki bentuk dasar segitiga! Banyak bukan? Jadi begitu pentingnya bangun segitiga ini untuk kita pelajari sifat-sifat dan karakteristiknya. Pertanyaannya adalah apakah segitiga itu? Apakah segitiga itu benda konkrit? Kalau kita mau lebih jauh menelaah hal ini, kita berhadapan dengan apa disebut konsep segitiga. Segitiga bukan merupakan sebuah benda konkrit. Segitiga hanyalah sebuah ide yang disebut model dari bangun datar. Secara konkrit kita tidak pernah menemukan segitiga, namun segitiga hanya kita dapatkan dalam benda yang modelnya segitiga. Sama seperti kita pikirkan model pesawat dan pesawat itu, model mobil dengan mobil itu sendiri. Model tidak pernah sama dengan yang dimodelkan. Model hanyalah sebuah struktur umum yang abstrak. Maka kita mempelajari model segitiga dan bukan benda-benda konkritnya. Jadi segitiga merupakan model bangun datar yang dibatasi oleh tiga ruas garis. Segitiga dapat diberi nama dengan menggunakan huruf kapital berurutan seperti berikut. Cara mengurutkannya bisa searah putaran jarum jam atau sebaliknya.

3 - 2 Unit 3

Gambar 3.2 Penamaan segitiga Setiap pertemuan dua sisi menghasilkan sudut. Sudut dapat dinyatakan dengan simbol ∠. Titik sudut adalah titik pertemuan dua sisi. Cara memberi nama sudut bisa dengan tiga huruf dengan huruf tengahnya menunjukkan titik sudut segitiga, misalnya ∠ABC, berarti titik sudutnya B, ∠BAC berarti titik sudutnya A. Selain itu Anda bisa menyebut sudut dengan satu huruf saja, misalnya ∠A, ∠B atau ∠C, walaupun cara ini tidak selalu tepat pada keadaan tertentu. Anda bisa memperhatikan contoh berikut.

Gambar 3.3 Penamaan Sudut dengan Menggunakan Titik Sudut Pada gambar 3.3, bila kita hanya menyebut sudut Q akan sangat membingungkan karena ada 5 kemungkinan sudut dengan titik sudutnya titik Q, yaitu ∠PQR, ∠RQS sudut tumpul–terkecil, ∠RQS sudut refleks- terbesar, ∠PQS bagian atas dan ∠PQS bagian bawah. Maka memberi nama dengan satu huruf untuk kejadian seperti di atas sangat tidak dianjurkan. Cara lain lagi menyebut sudut yaitu dengan memberi tanda pada gambar berupa busur dan diberi nama dengan satu huruf, bisa dengan huruf Latin tertentu, huruf Yunani seperti α (alpha), β (beta), γ(gamma) dan sebagainya. Perhatikan contoh di bawah ini.

Gambar 3.4 Penamaan Sudut dengan Huruf Latin Pemecahan Masalah Matematika

3-3

Selanjutnya segitiga bisa dikelompokkan menurut tiga hal yaitu menurut panjang sisinya, besar sudutnya, dan besar sudut beserta panjang sisinya.

1. Segitiga menurut panjang sisinya a. Segitiga sembarang Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama .

panjang

Gambar 3.5 Segitiga Sembarang Pada segitiga di atas AB ≠ BC ≠ AC b. Segitiga sama kaki Segitiga samakaki adalah segitiga yang memiliki panjang.

dua sisi yang sama

Gambar 3.6 Segitiga Sama Kaki Pada segitiga di atas AB = AC. Hal ini mengakibatkan kedua sudut alasanya yaitu ∠ABC dan ∠ACB sama besar.

3 - 4 Unit 3

c. Segitiga samasisi Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

Gambar 3.7 Segitiga Sama Sisi Pada segitiga di atas AB = BC = AC, hal ini berakibat ketiga sudutnya sama besar yaitu 60°. Pada kesempatan mendatang kita akan membicarakan hal ini lebih lanjut.

2.

Segitiga menurut besar sudutnya

a. Segitiga lancip Segitiga lancip adalah segitiga yang semua sudutnya lancip. Masih Anda ingat bahwa sudut lancip adalah sudut yang besarnya di antara 0° dan 90°.

Gambar 3.8 Segitiga Lancip Pada segitiga di atas ∠PQR, ∠QRP, dan ∠QPR semuanya lancip, tidak ada satupun sudut pada segitiga lancip ini yang tidak lancip. b. Segitiga tumpul Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. Perlu ditegaskan di sini hanya satu sudut saja yang tumpul. Anda pasti juga masih ingat bahwa sudut tumpul adalah sudut diantara 90° dan 180°.

Pemecahan Masalah Matematika

3-5

Gambar 3.9 Segitiga Tumpul Pada segitiga di atas ∠BCA adalah sudut tumpul, dan hanya satu-satunya yang tumpul. c. Segitiga siku-siku Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.

Gambar 3.10 Segitiga Siku-siku Pada gambar di atas ∠BCA siku-siku yaitu 90°.

3.

Segitiga menurut besar sudut dan panjang sisinya Tabel 3.1 Jenis-Jenis Segitiga LANCIP

TUMPUL

SIKU-SIKU

Lancip sembarang

Tumpul sembarang

Siku-siku sembarang

Tumpul samakaki

Siku-siku samakaki

SEM BA RANG

SAMA KAKI Lancip sama kaki

3 - 6 Unit 3

SAMA SISI Lancip samasisi

Dari Tabel 3.1 sudah cukup jelas bagaimana terbentuknya jenis segitiga berdasarkan penggabungan dari kedua kelompok tersebut. Tampak bahwa tidak pernah dapat digambarkan segitiga tumpul samasisi dan siku-siku samasisi. Silahkan Anda cari alasannya mengapa demikian. Selanjutnya Anda akan mempelajari sifat utama dari segitiga. Sifat 1. Jumlah besar sudut dalam segitiga adalah 180°.

Untuk membahas sifat 1 perhatikan segitiga di bawah ini.

Gambar 3.11 Segitiga Silahkan Anda ukur masing-masing besar sudut pada segitiga A, kemudian jumlahkan! Berapa hasil yang Anda dapatkan? Coba kembali untuk segitiga B dan kemudian C. Berapa hasil yang Anda dapatkan untuk ketiga segitiga tersebut? Bila Anda mengukur dan menghitung dengan benar Anda akan mendapatkan hasil 180°. Mengapa bisa demikian? Bisakah Anda memberi penjelasan terhadap kenyataan ini? Selain dengan mengukur kita bisa menunjukkan alasan yang masuk akal tentang realitas geometri ini. Perhatikan gambar segitiga di bawah ini dengan seksama.

Pemecahan Masalah Matematika

3-7

Gambar 3.12 Pembuktian Jumlah Besar Sudut Segitiga Jika melalui titik S ditarik ruas garis TU yang sejajar dengan PQ maka kita dapatkan tiga pasang sudut yang sama besar, yaitu : 1. ∠SPQ = ∠PST karena sepasang sudut dalam berseberangan 2. ∠SQP = ∠QSU karena sepasang sudut dalam bersebrangan 3. ∠PSQ (sebagai bagian dari sudut dalam segitiga = ∠PSQ sebagai bagian dari sudut lurus TSU). Bila kita jumlah ketiga sudut dalamnya maka ∠SPQ +∠SQP + ∠PSQ = ∠PST + ∠QSU + ∠PSQ = sudut lurus = 180 ° Dari alasan ini maka sangat masuk akal bahwa jumlah besar ketiga sudut dalam suatu segitiga adalah 180°. Berikut ini Anda akan diajak untuk menyimak contoh penyelesaian soal–soal yang menyangkut sifat-sifat segitiga di atas. Contoh 1 : Tentukanlah besar salah satu sudut pada sebuah segitiga bila diketahui besar dua sudut yang lainnya b. 110° dan 35°

a. 35° dan 45° Penyelesaian :

a. sudut ketiga = 180° – 35° – 45 °= 100° b. sudut ketiga = 180° – 110° – 35° = 35° Contoh 2 : Diketahui gambar berikut.

Gambar 3.13 Tentukan besar sudut : a. ∠CDA

3 - 8 Unit 3

b. ∠CDB

c. ∠CBD

d. ∠CBE

Penyelesaian : a. ∠CDA = 180° – 60° – 40° = 80° c. ∠CBD=180° – 30° – 100° = 50° b. ∠CDB= 180° – 80° = 100°

d. ∠CBE = 180° – 50° = 130°

Contoh 3 : Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 3.14 Jika diketahui PS = SR = PR = SQ , tentukan a. ∠RPS

b. ∠RSP

c. ∠PRS

e. ∠SRQ

f. ∠SQR

g. ∠RQT

d. ∠RSQ

Penyelesaian : Pada gambar di atas Anda tidak menemukan satu informasi satupun tentang ukuran sudut pada gambar itu. Kita bisa menginterpretasikan besarnya sudut dari ukuran panjang sisinya. Pada segitiga PSR diketahui ketiga sisinya sama panjang, berarti segitiga PSR adalah segitiga samasisi. Sehingga : a. ∠RPS = 60° (karena segitiga samasisi ) b. ∠RSP = 60° (karena segitiga samasisi ) c. ∠PRS = 60° (karena segitiga samasisi ) d. ∠RSQ = ∠SPR + ∠PRS = 60° + 60° = 120° atau bisa juga ∠RSQ = 180° – ∠PSR = 180° – 60° = 120° e. ∠SRQ =

180 0 − ∠RSQ 180 0 − 120 0 = = 60° 2 2

(karena segitiga

sama kaki) f. ∠SQR = ∠SRQ = 60°

(karena segitiga samakaki)

g. ∠RQT = 180° – ∠SQR = 180° – 60° = 120° Setelah Anda memahami benar contoh-contoh di atas, silahkan kerjakan latihan di bawah ini untuk mengasah pemahaman Anda tentang sifat-sifat pada segitiga.

Pemecahan Masalah Matematika

3-9

Latihan 1 1. Tentukanlah besar sudut ketiga pada segitiga bila diketahui dua sudut lainnya! a. 45° dan 75° b. 39° dan 12° 2. Diketahui segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan AB = BC. Bila : a. ∠B = 100° , tentukan besar ∠A dan ∠C b. ∠A = 70°, tentukan besar ∠B dan ∠ C 3. Tentukanlah nilai x,y dan z pada gambar berikut :

Pedoman Jawaban Latihan 1. a. Sudut ketiga = 180° – 45° – 75° = 180° – 120° = 60° b. Sudut ketiga = 180° – 39° – 12° = 180° – 51° = 129° 2. Karena AB = BC maka ∠A = ∠C a. ∠A = ∠C =

180 0 − 100 80 0 = = 40 0 2 2

b. ∠C = ∠A = 70° maka ∠B = 180° – 70° – 70° = 40° 3. Segitiga pada gambar merupakan segitiga sama kaki sehingga x=y=

180 0 − 130o 50 0 = = 25 0 2 2

z = 180° – 25° = 145° Setelah Anda mengerjakan latihan diharapkan Anda lebih memahami materi dalam bagian pertama sub unit ini, yaitu sifat-sifat segitiga. Bila Anda merasa masih belum dapat meguasai dengan baik, ulangilah mengerjakan latihan ini dan pelajari kembali konsep-konsep yang diberikan sebelumnya. Jika masih mengalami kesulitan Anda dapat meminta pertolongan kepada orang yang Anda anggap dapat membantu.

3 - 10 Unit 3

Segiempat Berikutnya kita mempelajari segiempat yang sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini berbagai obyek dalam kehidupan sehari-hari yang bentuknya menggunakan model segiempat. a. b. c.

Kaca Jendela Bus d

Disket

Layang-layang e.

. Layar Monitor Amplop Surat Gambar 3.16 Benda yang Memiliki Bentuk Dasar Segiempat Coba sebutkan contoh benda-benda di sekitar Anda yang memiliki bentuk dasar segiempat! Banyak bukan? Jadi begitu pentingnya bangun segiempat ini untuk kita pelajari sifat-sifat dan karakteristiknya. Pertanyaannya adalah apakah segiempat itu? Apa yang dapat Anda jelaskan tentang segiempat? Silahkan Anda coba merumuskan pengertian segiempat. Apakah segiempat semua sudutnya selalu siku-siku? Simak dengan cermat gambar di bawah ini.

Gambar 3. 17 Segiempat Bentuk bangun pada gambar 3.17 termasuk juga ke dalam kelompok segiempat walaupun tidak memiliki sudut yang siku-siku. Lalu apa definisi segiempat tersebut? Sama seperti saat kita mendefinisikan segitiga, maka segiempat

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 11

adalah sebuah model bangun datar yang dibatasi oleh empat ruas garis. Segiempat dapat diberi nama dengan menggunakan huruf kapital berurutan seperti berikut. Cara mengurutkannya bisa searah putaran jarum jam atau sebaliknya..

Gambar 3.18 Penamaan Segiempat Segiempat di atas diberi nama segiempat ABCD. Berikut ini adalah cara memberi nama yang salah pada segiempat.

Gambar 3.19 Penamaan Segiempat ABCD yang Salah Segiempat di atas diberi nama ABCD, tetapi urutan huruf ditulis tidak melingkar searah atau berlawanan arah, penulisan urutan hurufnya melompat dan ini menimbulkan kesalahan berikutnya. Setiap pertemuan dua sisi menghasilkan sudut. Titik sudut adalah titik pertemuan dua sisi. Jika dua titik sudut yang tidak terletak pada satu sisi dihubungkan dengan sebuah ruas garis, maka ruas garis itu disebut diagonal. Perhatikan segiempat berikut ini. Pada segiempat sembarang di samping, AC dan BD disebut diagonal. Pada diagonal AC, titik A terletak pada sisi AB atau AD sedangkan titik C terletak pada sisi BC atau DC, sehingga dua titik ini tidak terletak pada sisi yang sama. Bangun-bangun datar yang disebut sebagai persegi, persegi panjang, layanglayang, jajar genjang, belah ketupat dan trapesium adalah bangun-bangun datar 3 - 12 Unit 3

segiempat. Marilah kita simak satu persatu masing-masing bangun dan kita cermati sifat-sifatnya beserta hubungan antara satu dengan yang lain. Coba Anda perhatikan gambar persegi panjang berikut . Anda

dapat

mencoba

untuk

mengukur besar ∠A, ∠B,∠C dan ∠D pada gambar di samping. Gambar 3.21 Persegi Panjang Kemudian Anda dapat juga mengukur panjang AB, BC, CD, dan AD. Apa yang Anda dapatkan? Ternyata keempat sudutnya siku-siku dan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang. Dengan demikian dapat kita rumuskan pengertian (definisi) dari persegi panjang. Persegi panjang adalah segiempat yang setiap sudutnya siku-siku dan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang. Dari definisi tersebut selanjutnya kita dapat menyelidiki sifat-sifat persegi panjang. Sifat 1: Diagonal-diagonal pada persegi panjang adalah sama panjang Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini!

Pada gambar di samping ini AC = BD

Gambar 3.22 Diagonal Persegi Panjang Sifat 2 :

Diagonal-diagonal pada persegi panjang saling membagi dua sama panjang. Pada gambar 3.22 AO = OC = DO = BO

Bahasan selanjutnya mengenai persegi. Persegi merupakan segiempat yang tiap sudutnya siku-siku dan tiap sisinya sama panjang. Coba perhatikan gambar persegi di bawah ini.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 13

Gambar 3.23 Persegi dan Diagonalnya Pada persegi ABCD di atas AB = BC = CD = AD dan tiap sudut pada persegi merupakan sudut siku-siku. Ada beberapa sifat spesifik dari persegi ini. Sifat 1 : Sifat 2 : Sifat 3:

Diagonal-diagonal pada persegi sama panjang. Pada gambar 3.23 terlihat bahwa AC = BD. Diagonal-diagonal pada persegi saling membagi sama panjang. Pada gambar 3.23, AO=BO=CO=DO. Diagonal-diagonal pada persegi saling berpotongan tegak lurus. Pada gambar 3.23, diagonal BD dan AC saling berpotongan tegak lurus sehingga ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°.

Sifat 4:

Diagonal-diagonal persegi membagi dua sudut-sudut persegi menjadi dua bagian sama besar yaitu 45°. Pada gambar 3.23, maka ∠DAO = ∠BAO =∠ABO = ∠CBO = ∠BCO = ∠DCO = ∠ADO = ∠CDO = 45°, karena diagonal AC dan BD membagi dua sudut-sudutnya sama besar.

Sifat 1 dan 2 dimiliki oleh persegi panjang sehingga dapat dikatakan bahwa persegi adalah bentuk khusus dari persegi panjang. Kita dapat membuat definisi baru untuk persegi yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang. Persegi dan persegi panjang bukanlah dua bangun datar yang berbeda sama sekali namun satu menjadi bagian yang lain. Tidak pernah disyaratkan bahwa persegi panjang ukuran panjang dan lebarnya harus berbeda. Hanya disyaratkan bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama panjang. Jenis segiempat yang lain adalah jajar genjang. Jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar. Definisi tersebut sangat singkat sehingga tidak pernah disyaratkan tentang panjangnya. Coba perhatikan gambar di bawah ini!

3 - 14 Unit 3

Sisi AB // sisi DC dan sisi AD // sisi BC. Tanda // berarti sejajar. Dari definisi jajar genjang ini kita dapat menemukan beberapa sifat penting Gambar 3.24 Jajar Genjang

pada jajar genjang.

Sifat 1 : Pada jajar genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang. Sifat ini tidak dimasukkan ke dalam definisi karena sifat ini merupakan akibat dari sisi-sisi berhadapan yang sejajar. Coba Anda perhatikan gambar jajargenjang di atas! AB// CD. Andaikan AD dengan BC tidak sama panjang maka AD tidak mungkin sejajar dengan BC, sehingga tidak menghasilkan jajargenjang . Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.

Gambar 3.25 Bukan Jajar Genjang AB//DC tetapi AD ≠ BC maka AD tidak sejajar BC sehingga ABCD bukan jajargenjang. Jadi agar ABCD merupakan jajar genjang haruslah AD = BC. Demikian berlaku sebaliknya jika AD//BC tetapi AB tidak sama dengan DC maka pastilah AB tidak sejajar DC. Perhatikan ilustrasi berikut! Jika AD//BC dan AB tidak sama dengan DC maka AB tidak sejajar dengan DC. Sehingga tidak mungkin menghasilkan jajar genjang

Gambar 3.26 Bukan Jajar Genjang Sifat 2 :

Pada jajar genjang diagonal-diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang. Perhatikan gambar di bawah ini!

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 15

Pada gambar di samping diagonal AC membagi dua diagonal BD sama panjang, yaitu DO = BO. Demikian pula diagonal BD membagi dua Gambar 3.27 Diagonal Jajar Genjang Sifat 3 :

diagonal AC sama panjang yaitu AO = OC.

Sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar. Pada gambar di atas ∠ABC = ∠ADC dan ∠DAB =∠BCD

Sifat 4 :

Sudut-sudut yang berdekatan pada jajar genjang berjumlah 180°. Pada gambar di atas ∠DAB + ∠ADC = 180°, ∠DAB + ∠ABC = 180°,

∠ABC + ∠DCB = 180° dan ∠ADC + ∠DCB = 180°. Jenis segiempat yang lain adalah belahketupat. Belahketupat merupakan segiempat yang semua sisinya sama panjang. Dari definisi ini jelas bahwa belahketupat mempunyai sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Sehingga kita dapat mendefinisikan belahketupat dengan cara lain yaitu jajar genjang yang semua sisinya sama panjang. Hal ini menghasilkan beberapa sifat belah ketupat sebagai berikut. Sifat 1 :

Diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus. Anda perhatikan belah ketupat berikut.

Gambar 3.28 Diagonal Belah Ketupat Pada belah ketupat ABCD di atas diagonal AC berpotongan dengan diagonal BD di titik O. Sudut yang dibentuk oleh kedua diagonal adalah siku-siku. Sifat 2 :

Diagonal-diagonal pada belah ketupat saling membagi dua sama panjang. Pada gambar 3.28, diagonal AC membagi dua diagonal BD sama panjang, yaitu DO = BO. Demikian pula diagonal BD membagi dua diagonal AC sama panjang yaitu AO = OC.

3 - 16 Unit 3

Sifat 3 :

Diagonal-diagonal belah ketupat membagi sudut-sudut menjadi dua bagian sama besar. Pada gambar 3.28, ∠DAO = ∠BAO =∠BCO =∠DCO, demikian juga ∠ABO =∠CBO =∠CDO = ∠ADO karena diagonal AC dan BD membagi dua sudut-sudutnya sama besar.

Belah ketupat sebenarnya merupakan bentuk khusus dari jajar genjang. Dengan demikian semua sifat yang dimiliki jajar genjang akan dimiliki belah ketupat. Pembahasan selanjutnya tentang bentuk segiempat yang lain yaitu trapesium. Trapesium adalah segiempat yang memiliki sepasang sisi sejajar. Silahkan Anda perhatikan gambar trapesium PQRS berikut ini.

Gambar 3.29 Trapesium Trapesium PQRS diatas PQ//SR. Dari kesejajaran ini menghasilkan sifat berikut. Dua garis sejajar dalam trapesium menyebabkan sudut berdekatan diantara dua garis sejajar tersebut selalu berjumlah 180°. Dari gambar di atas diperoleh ∠SPQ + ∠PSR = 180° ; ∠PQR + ∠SRQ = 180° Bentuk segiempat terakhir yang akan dibahas adalah layang-layang. Layanglayang merupakan segiempat yang sepasang sisi berdekatannya sama panjang. Coba Anda perhatikan layang-layang KLMN berikut. Layang-layang KLMN di samping, KL = LM dan KN = MN, karena masing-masing adalah pasangan sisi yang berdekatan. Sifat-sifat

yang

dimilki

layang-

layang antara lain sebagai berikut. Gambar 3.30 Layang-layang

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 17

Sifat 1 :

Diagonal terpanjang membagi dua sudutnya menjadi dua bagian sama besar. Dalam gambar 3.30, ∠KLP = ∠MLP dan ∠KNP = ∠PNM.

Sifat 2 :

Sudut-sudut yang berhadapan yang dilalui diagonal terpendek sama besar. Pada gambar 3.30, ∠LKN = ∠LMN

Sifat 3 :

Diagonal-diagonal pada layang-layang saling berpotongan tegak lurus. Pada gambar 3.30, diagonal KM dan LN saling berpotongan di titik P dan membentuk sudut siku-siku.

Kalau kita cermati masing-masing segiempat, maka terdapat kesamaan atau kemiripan sifat antara segiempat satu dengan yang lain. Secara ringkas akan ditunjukkan dalam bagan berikut.

Gambar 3.31 Bagan Hubungan Antar Bangun Segiempat Dari bagan di atas dapat dijelaskan sebagai berikut. Segiempat terdiri atas dua golongan besar yaitu layang-layang dan trapesium. Layang-layang terbentuk dengan syarat ada dua pasang sisi berdekatan yang masing-masing pasangannya sama panjang, dan ini tidak disyaratkan untuk sisi yang berhadapan, sehingga dapat sama atau tidak sama panjang, dapat sejajar atau tidak sejajar. Sedangkan trapesium hanya mensyaratkan sepasang sisi yang berhadapan sejajar, dan tidak pernah disyaratkan tentang panjangnya atau dua sisi lain yang tidak selalu sejajar, yang berarti dapat juga sejajar. Jika pada layang-layang sisi yang berhadapannya sejajar maka akan terbentuk jajar genjang. Sedangkan trapesium jika sepasang sisi berhadapan yang lain sejajar maka akan terbentuk juga jajar genjang. Di sini dapat dikatakan jajar genjang adalah bentuk khusus dari layang-layang dan trapesium.

3 - 18 Unit 3

Sebuah jajar genjang hanya mensyaratkan sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan tidak pernah membatasi tentang panjang sisinya, dapat sama atau dapat pula dua pasang sisi itu berbeda panjangnya. Jika kebetulan semua panjang sisinya sama maka akan terbentuk jajar genjang khusus yang disebut belah ketupat. Pada jajar genjang juga tidak disyaratkan tentang berapa derajat besarnya tiap sudut. Jika pada keadaan khusus besarnya sudut masing-masing pada jajar genjang adalah 90° atau siku-siku maka terbentuklah persegi panjang. Pada belah ketupat juga tidak disyaratkan tentang besarnya masingmasing sudut. Jika tiap sudutnya siku-siku maka akan terbentuk persegi. Demikian pula persegi panjang dalam pembentukannya tidak pernah disyaratkan tentang ukuran sisinya. Ukuran panjang dan lebar tidak harus berbeda. Artinya dapat berbeda panjangnya, dapat juga sama panjang. Jika persegi panjang semua sisinya sama panjang maka akan terbentuk persegi. Sehingga dapat dikatakan persegi adalah bentuk khusus dari belah ketupat dan persegi panjang. Dari pembahasan diatas kita dapat mendefinisikan sebuah segiempat melalui segiempat lain. Misalnya persegi yang akan didefinisikan melalui jajar genjang. Persegi adalah jajar genjang yang tiap sisinya sama panjang dan tiap sudutnya sikusiku. Coba berilah contoh lain.

Segilima Segilima adalah bangun datar yang dibatasi oleh lima buah ruas garis. Kita dapat melihat model segilima dalam kehidupan sehari-hari sebagai berikut.

Gambar 3.32 Benda yang Memiliki Bentuk Dasar Segilima Segilima paling umum digunakan sebagai bingkai suatu logo organisasi, partai politik atau kelompok masyarakat lain. Segilima lebih banyak diterapkan dalam karya-karya seni, hiasan-hiasan dinding, ornamen dan lain sebagainya. Segilima beraturan ini dinilai memiliki keindahan tertentu. Kita akan mencoba membahas sifat-sifat khas yang terdapat pada segilima.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 19

Sifat 1 : Jumlah besar sudut dalam pada segilima adalah 540°. Anda dapat membuktikannya dengan cara memotong segilima menjadi tiga bagian yang berupa segitiga-segitiga.

Gambar 3.33 Jumlah BesarSsudut Segilima Pada segilima ABCDE diatas,

Sifat 2 :

Jumlah sudut dalam Δ ABC

= 180°

Jumlah sudut dalam Δ ACD

= 180°

Jumlah sudut dalam Δ ADE

= 180° +

Jumlah sudut dalam segilima ABCDE

= 540°

Segilima yang semua sisinya sama disebut segilima beraturan. Pada segilima beraturan tiap sudut dalamnya adalah 108°. Perhatikan segilima di bawah ini. Pada segilima di samping, ∠AOB = ∠OAB =

180 0 − 72 0 = 54° 2

1 × 360°= 72° 5

∠EAB = 2 x ∠OAB = 2 × 54° = 108° Gambar 3.34 Besar Sudut Dalam Segilima

3 - 20 Unit 3

Latihan 2 Dengan demikian Anda sudah menyelesaikan pembahasan tentang segi empat dan segilima. Selanjutnya kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda tentang materi yang baru dipelajari. 1. Tentukan nilai x dan y pada gambar persegi panjang berikut!

2. Tentukanlah nilai x dan y pada gambar layang-layang berikut!

Pedoman Jawaban Latihan 1. x = 180° – 90° – 54° = 36° ; y = x = 36° 2. x =

180 o − 100 = 40o ; 2

y = 180° − 2(60°) = 60° .

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 21

Rangkuman Segitiga merupakan model bangun datar yang dibatasi oleh tiga ruas garis. Segitiga terbagi dalam dua kelompok yaitu menurut besar sudut dan panjang sisinya. Menurut panjang sisinya terbagi menjadi segitiga sembarang dengan sisi tidak ada yang sama panjang, segitiga sama kaki dengan dua sisi sama panjang dan segitiga sama sisi dengan ketiga sisi sama panjang. Menurut besar sudutnya terbagi menjadi segitiga lancip dengan semua sudutnya lancip, segitiga siku-siku dengan satu sudut siku-siku dan segitiga tumpul dengan salah satu sudutnya tumpul. Jumlah besar sudut dalam segitiga 180°. Segiempat merupakan model bangun datar yang dibatasi oleh empat ruas garis. Jenis – jenis segiempat antara lain persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, trapesium dan layang-layang. Pada persegi panjang semua sudutnya siku-siku, kedua diagonalnya sama panjang dan saling membagi dua sama panjang. Persegi mempunyai sisi yang sama panjang, tiap sudutnya suku-siku, diagonal-diagonalnya sama panjang dan saling membagi dua sama panjang, serta berpotongan tegak lurus dan membagi dua sudutsudut persegi menjadi dua bagian sama besar yaitu 45°. Persegi merupakan bentuk khusus persegi panjang. Pada jajar genjang sisi – sisi yang berhadapan sejajar sehingga sama panjang. Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi dua sama panjang. Sudutsudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar. Pada belah ketupat semua sisinya sama panjang, diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua sama panjang, serta membagi dua sudut dalam belah ketupat menjadi dua bagian sama besar. Trapesium mempunyai dua sisi sejajar dan saling berhadapan. Sudut-sudut yang berdekatan diantara dua garis sejajar berjumlah 180°. Pada layang-layang, sepasangsepasang sisi berdekatannya sama panjang, diagonal terpanjangnya membagi sudut menjadi dua bagian sama besar, sudut berhadapan yang dilalui diagonal terpendek besarnya sama dan diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus. Hubungan antar bangun segiempat disajikan dalam dagram berikut ini :

Segilima merupakan bangun datar yang dibatasi oleh lima ruas garis. Jumlah besar sudut dalam pada segilima adalah 540°. Segilima yang semua sisinya sama panjang dan sudut dalamnya sama besar disebut segilima beraturan. Pada segilima beraturan besar tiap sudutnya 108°.

3 - 22 Unit 3

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap konsep bangun datar. 1. Tentukan nilai x dan y dalam bangun persegi berikut.

2. Tentukan nilai x dan y pada gambar persegi panjang berikut!

3. Tentukanlah nilai x dan y pada bangun jajar genjang berikut!

4. Tentukanlah nilai x dan y pada gambar layang-layang berikut!

. 5. Untuk belah ketupat berikut tentukan nilai x dan y!

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 23

Subunit 2 Bangun Ruang

S

ub unit kedua membahas bangun-bangun ruang beserta karakteristiknya. Bangun ruang yang akan dibicarakan antara lain kubus, balok, prisma, tabung, limas dan kerucut.

Kubus Dalam kehidupan sehari-hari Anda selalu berkecimpung dengan bangun ruang, yaitu bangun yang memiliki tiga dimensi yaitu panjang, lebar dan tinggi. Salah satu dari bangun ruang itu adalah kubus. Anda dapat melihat contoh benda di sekitar kita yang berbentuk kubus.

Dadu Pengeras Suara Gambar 3.35 Benda yang Memiliki Bentuk Dasar Kubus Anda dapat menyebutkan contoh-contoh benda lain di sekitar kita yang berbentuk kubus. Lalu apa yang dimaksud dengan kubus? Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar berbentuk persegi yang kongruen. Kita dapat memberi nama kubus dengan menggunakan delapan huruf abjad A…Z seperti berikut ini.

Gambar 3.36 Penamaan Kubus Kubus di atas diberi nama ABCD.EFGH. Perhatikan cara pemberian nama pada kubus. Posisi titik E selalu di atas titik A, titik F di atas titik B dan seterusnya. Tanpa 3 - 24 Unit 3

melihat gambarpun Anda dapat menentukan posisi titik satu terhadap yang lain cukup dengan mencermati namanya. Bidang pembatas pada kubus disebut sisi. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, bidang ABCD, BCGF, ADHE adalah contoh sisi. Coba Anda sebutkan sisi yang lain dalam kubus tersebut. Pertemuan dua sisi disebut rusuk, misalnya AB, BC, CG. Coba sebutkan rusuk yang lain. Titik temu ketiga rusuk disebut titik sudut, seperti A, B, C dan seterusnya. Ruas garis yang menghubungkan dua titik yang sebidang namun tidak terletak dalam satu rusuk disebut diagonal sisi, seperti AC, BG, AH dan sebagainya, coba sebutkan contoh diagonal sisi yang lain.

Gambar 3.37 Diagonal Ruang dan Diagonal Bidang Kubus Pada gambar di atas, daerah yang diarsir disebut bidang diagonal, yaitu bidang yang dibatasi oleh dua rusuk berhadapan dan dua diagonal sisi yang berhadapan. Bidang tersebut adalah EBCH. Coba Anda sebutkan bidang diagonal yang lain. Masih dalam gambar yang sama (Gambar 3.37), ruas garis FD, EC disebut diagonal ruang, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik yang tidak terletak dalam sisi yang sama. Coba Anda sebutkan diagonal ruang yang lain. Dengan memperhatikan gambar 3.37, lengkapilah tabel berikut. No

1 2 3 4 5 6

Jenis Bagian Pada Kubus Sisi Rusuk Titik sudut Diagonal sisi Bidang diagonal Diagonal ruang

Nama (Sebutkan dengan Huruf)

Banyaknya

Ternyata pada kubus, sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 25

Balok Dalam kehidupan sehari-hari bentuk bangun balok paling umum kita jumpai. Perhatikan contoh berikut ini.

Disket

Kotak Komputer Notebook Gambar 3.38 Benda dengan Bentuk Dasar Balok

Silahkan Anda sebutkan contoh yang lain. Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam sisi berupa persegi panjang, yang masing-masing sisi berhadapannya kongruen. Balok memiliki unsur-unsur yang sama dengan kubus. Namun pada balok panjang rusuknya tidak selalu sama panjang.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Bidang pembatas disebut sisi. Pada gambar di samping ABCD dan EFGH kongruen, BCGF dan ADHE kongruen, ABFE dan DCGH kongruen. Pertemuan dua sisi disebut rusuk, misalnya AB, BC, CG. Panjang rusuk AB = DC = EF = HG. Panjang rusuk FB = GC =

Gambar 3.39 Balok

EA = DH dan panjang rusuk BC = FG = EH = AD.

Titik temu ketiga rusuk disebut titik sudut, seperti A,B,C dan seterusnya. Ruas garis yang menghubungkan dua titik yang sebidang namun tidak terletak dalam satu rusuk disebut diagonal sisi, seperti AC, BG, AH dan sebagainya. Coba Anda sebutkan contoh yang lain, dan tentukan pasangan diagonal sisi yang sama panjang.

3 - 26 Unit 3

Pada gambar di samping daerah yang diarsir disebut bidang diagonal, yaitu bidang yang dibatasi oleh dua rusuk berhadapan dan dua diagonal sisi yang berhadapan. Bidang tersebut di antaranya adalah EBCH. Gambar 3.40

Bidang Diagonal

Coba sebutkan bidang diagonal lain dan tentukan pasangan bidang diagonal kongruen yang lain. Masih dari gambar di atas, ruas garis FD, EC disebut diagonal ruang, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik yang tidak terletak dalam sisi yang sama. Coba Anda sebutkan diagonal ruang yang lain.

Prisma Dalam kehidupan sehari-hari kita juga sering menemukan benda-benda yang berbentuk prisma. Perhatikan gambar di bawah ini .

Atap Rumah

Tiang Pancang Cor

Permen Hiasan Valentine Day Gambar 3.41 Benda dengan Bentuk Dasar Prisma

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 27

Gambar di atas menunjukkan benda di sekitar kita yang berbentuk prisma. Pada prisma terdapat dua sisi berhadapan yang berbentuk segi banyak. Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan yang sejajar & kongruen dan sisi-sisi lain yang tegak lurus dengan kedua sisi berhadapan tersebut. Perhatikan gambar di bawah ini. Prisma ABC.DEF di samping, sisi ABC sejajar dan kongruen dengan sisi DEF. Sisi yang satu disebut alas dan sisi yang lain disebut tutup. Sisi –sisi yang tegak lurus dengan alas dan tutup disebut sisi tegak Gambar 3.42 Prisma

seperti ABED, BCFE, dan ACFD.

Nama suatu prisma tergantung dari jenis bangun datar alasnya yaitu prisma segi ……..(tiga, empat, lima dan seterusnya).

Tabung Tabung merupakan bentuk khusus dari prisma dengan alas berbentuk lingkaran. Berikut contoh konkrit tabung. Carilah contoh lain benda benda di sekitar kita yang berbentuk tabung.

Gambar 3.43 Benda dengan Bentuk Dasar Tabung

Limas Limas sering disebut juga piramida. Bangun ruang ini juga sering kita temukan bentuk konkritnya dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan gambar di bawah ini .

3 - 28 Unit 3

Atap Rumah Adat UjungAatas Sebuah Tugu Gambar 3.44 Benda dengan Bentuk Dasar Limas Silahkan Anda mencari contoh benda lain yang mempunyai bentuk dasar limas. Lalu apa yang dimaksud dengan limas? Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau segi banyak sebagai alas dan beberapa buah bidang berbentuk segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. Perhatikan gambar di bawah ini. Lmas

T.ABCDE di samping, sisi ABCDE

merupakan alas limas dan kelima sisi lain disebut sisi tegak. Sisi tegak tersebut adalah TAB, TBC, TCD, TDE, dan TAE. Limas diberi nama Gambar 3.45 Limas

berdasarkan bentuk sisi alasnya, misalnya limas segi tiga, limas segi empat, dan seterusnya. Bila sisi alas limas mempunyai rusuk dengan panjang yang sama

maka

nama

limas

ditambahkan

kata

beraturan. Misal limas segitiga beraturan.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 29

Kerucut Contoh-contoh berikut merupakan benda dengan bentuk dasar bangun ruang kerucut yang sering kita temui di sekitar kita.

Ujung pensil

Tumpeng Gunung Berapi Gambar 3.46 Benda dengan Bentuk Dasar Kerucut

Kerucut adalah bentuk khusus dari limas dengan alas berbentuk lingkaran.

Kerucut hanya memiliki satu rusuk yaitu pertemuan antara 2 sisi, selimut kerucut dan sisi alas.

Gambar 3.47 Kerucut

Latihan 1 1. Gambarlah balok ABCD.EFGH, kemudian sebutkan b. semua diagonal ruang a. lima diagonal sisi 2. Mengapa tabung merupakan bentuk khusus dari prisma ? 3. Mengapa kerucut merupakan bentuk khusus dari limas ?

Pedoman Jawaban Latihan 1. Gambar balok : a. Diagonal sisi : AC, BG, AH , EG, ED b. Diagonal ruang : EC, AG, HB, DF

2. Tabung merupakan bentuk khusus dari prisma karena semua sifat yang dimiliki prisma dimiliki oleh tabung misalnya memiliki sepasang sisi yang sejajar yang kongruen, dalam hal ini lingkaran tutup dan alas. Tetapi hal ini

3 - 30 Unit 3

tidak berlaku sebaliknya. Tidak semua sifat yang dimiliki tabung harus dimiliki prisma. 3. Kerucut merupakan bentuk khusus dari limas, karena semua sifat yang dimiliki limas dimiliki oleh kerucut misalnya memilki satu alas dan satu titik sudut puncak. Tetapi hal ini tidak berlaku sebaliknya. Tidak semua sifat yang dimiliki kerucut harus dimiliki limas.

Rangkuman Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar berbentuk persegi yang kongruen. Bidang pembatas disebut sisi. Pertemuan dua sisi disebut rusuk. Titik temu ketiga rusuk disebut titik sudut. Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang sebidang dan tidak terletak dalam rusuk yang sama disebut diagonal sisi. Bidang yang dibatasi oleh dua rusuk berhadapan dan dua diagonal sisi yang berhadapan disebut bidang diagonal. Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan yang sejajar dan kongruen dan sisisisi lain yang tegak lurus dengan kedua sisi berhadapan tersebut. Tabung merupakan bentuk khusus dari prisma dengan alas berbentuk lingkaran. Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau segi banyak sebagai alas dan beberapa buah bidang berbentuk segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. Kerucut adalah bentuk khusus dari limas dengan alas berbentuk lingkaran.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 31

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap konsep bangun ruang. 1. Perhatikan gambar kubus di bawah ini! a. Sebutkan 3 bidang diagonal b. Sebutkan 2 pasang sisi yang sejajar

2. Apakah kubus merupakan bentuk khusus dari balok? Mengapa? 3. Mengapa diagonal ruang kubus sama panjang? 4. Buatlah diagram hubungan antar bangun ruang

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

3 - 32 Unit 3

Subunit 3 Geometri Pengukuran

S

etiap benda di sekitar kita selalu memiliki ukuran, baik benda dengan bentuk dasar bangun datar maupun bangun ruang. Dari ukuran panjang sisi atau rusuk kita dapat menentukan ukuran lain yaitu luas permukaan dan volume pada bangun ruang.

Pengertian Luas Luas suatu bangun datar adalah banyaknya persegi dengan sisi 1 satuan panjang yang menutupi seluruh bangun datar tersebut. Perhatikan gambar di bawah ini. Banyaknya persegi yang menutupi persegi panjang pada gambar 3.48 adalah 36 buah, maka dikatakan luas persegi panjang tersebut 36 satuan luas. Berikut ini akan dibahas luas beberapa Gambar 3.48 Luas Persegi Panjang

bangun datar.

Perhatikan gambar di bawah ini

Gambar 3.49 Persegi Panjang Persegi panjang ABCD mempunyai panjang p yaitu sisi terpanjang dari persegi panjang dan lebar l yaitu sisi terpendek dari persegi panjang. Luas dari persegi panjang adalah : p × l Contoh : Persegi panjang mempunyai panjang 6 cm dan lebar 7 cm . Tentukan luas persegi panjang tersebut! Penyelesaian :

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 33

Luas persegi panjang = p × l = 6 cm × 7 cm = 42 cm2 (42 centimeter persegi) Karena persegi merupakan bentuk khusus dari persegi panjang maka luas persegi adalah p × l juga. Namun karena keempat sisi persegi sama panjang dan kita simbolkan sisi itu sendiri dengan s, maka luas persegi = s2. Contoh : Diketahui persegi dengan panjang sisi 5 cm. Tentukan luas persegi tersebut! Penyelesaian : Luas persegi = 52 cm2 = 25 cm2.

Luas Dan Keliling Segitiga Selanjutnya kita akan membahas tentang luas dan keliling segitiga yang sangat sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan gambar di bawah ini.

Kita dapat menentukan luas segitiga yang diarsir pada gambar di samping. Luas segitiga ABC = L . ABD + L. ADC

Gambar 3.50 Luas Segigitiga

=

1 × BD × AD + ½ × DC × AD 2

=

1 × AD × (BD + DC) 2

=

1 × AD × BC 2

1 = × BC × AD Selanjutnya BC disebut alas dan AD2disebut tinggi. Sehingga secara umum 1 luas segitiga adalah alas × tinggi atau bila luas disimbolkan L, panjang alas 2 1 disimbolkan a, dan tinggi disimbolkan t, maka L = a.t. 2 Tinggi segitiga sebenarnya adalah jarak antara titik puncak dan alas. Alas sendiri secara matematis tidak selalu di bawah, namun suatu sisi yang kita definisikan sebagai alas. Titik sudut di depan alas disebut titik puncak segitiga. Jarak antara titik puncak dan alas inilah yang kita sebut tinggi, sehingga tinggi terhadap

3 - 34 Unit 3

alasnya selalu tegak lurus. Dengan demikian tidak ada masalah saat Anda harus menentukan tinggi segitiga tumpul berikut ini. Tinggi dari segitiga di samping dapat ditentukan dengan memperpanjang alas ke kiri seperti gambar. Dari gambar, CD adalah tinggi dan AB disebut alas Gambar 3.51 Segitiga Tumpul

Untuk menentukan keliling segitiga, Anda cukup menjumlahkan panjang seluruh sisi segitiga. Berikut ini akan disajikan contoh-contoh dalam menentukan luas dan keliling segitiga. Contoh : Diketahui segitiga berikut.

Gambar 3.52 Segitiga Tentukan luas segitigatersebut! 1 × 18 × 10 cm2 = 90 cm2. Penyelesaian : Luas = 2

Luas Dan Keliling Jajar Genjang Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini.

(i)

(ii) Gambar 3.53 Jajar Genjang

Pada jajar genjang di atas, jika kita pindahkan segitiga A ke kanan trapesium B, maka akan terjadi bangun seperti gambar (ii). Dengan demikian luas jajar

genjang di atas adalah alas × tinggi. Untuk keliling jajar genjang didapatkan dengan menjumlahkan semua sisinya.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 35

Contoh : Perhatikan gambar di bawah ini! Tentukan luas dan keliling jajar genjang berikut! 5 cm

6 cm

10 cm Luas jajar genjang di atas = 10 × 5 cm2 = 50 cm2 Keliling jajar genjang = 2 × 6 cm + 2 × 10 cm = 12 cm + 20 cm = 32 cm

Luas Dan Keliling Belah Ketupat Luas dan kelilling belah ketupat dapat kita tentukan dengan memperhatikan sifat khas belah ketupat dimana diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 3.54 Belah Ketupat Luas belah ketupat di atas adalah 1 4 × Luas segitiga AOB = 4 × × AO × OB 2 1 1 1 = 4 × × AC × BD 2 2 2 1 = × AC × BD 2 Secara umum dapat dikatakan luas belah ketupat adalah

1 kali hasil kali kedua 2

diagonalnya. Sedangkan keliling belah ketupat adalah jumlah panjang semua sisinya. Jika sisi belah ketupat s dan karena sisi belah ketupat sama panjang maka keliling belah ketupat = 4s. Contoh :

Sebuah belah ketupat dengan panjang kedua diagonal 16 cm dan 12 cm, serta panjang sisinya 10 cm. Tentukan luas dan keliling belah ketupat tersebut!

3 - 36 Unit 3

Penyelesaian : Luas =

1 × 16 cm × 12 cm = 96 cm2 2

Keliling belah ketupat = 4 × 10 cm = 40 cm

Luas Dan Keliling Layang-Layang Cara menentukan luas layang-layang ini hampir sama dengan belah ketupat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 3.55 Layang-layang

Luas layang-layang PQRS adalah 1 2 × Luas segitiga SPR = 2 × × PR × SO 2 1 = × PR × 2 × SO 2 1 = × PR × SQ 2 Secara umum luas layang-layang adalah setengah dari hasil kali kedua diagonalnya. Cara menghitung luas layang-layang ini kalau kita perhatikan sama dengan cara menghitung luas belah ketupat, karena ada kesamaan sifat bahwa kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.

Contoh: Sebuah layang-layang ABCD dengan panjang diagonalnya masingmasing 12 cm dan 8 cm. Tentukan luas layang-layang tersebut! Penyelesaian : 1 × 12 × 8 cm2 = 48 cm2 Luas = 2 Contoh :

Sebuah layang-layang ABCD dengan panjang AB = BC = 6 cm dan CD = AD = 10 cm. Tentukan keliling layang-layang tersebut!

Peyelesaian : Keliling = (2 × 6 + 2 × 10) cm = (12 + 20) cm = 32 cm

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 37

Luas Dan Keliling Trapesium Luas dan keliling trapesium dapat kita tentukan dengan memotong trapesium menjadi dua bangun segitiga melalui salah satu diagonalnya. Luas trapesium adalah jumlah luas segitiga masing-masing. Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar 3. 56 Trapesium

Luas ABCD

= Luas ABD + Luas DCB 1 1 = × AB × DM + × DC × NB 2 2 1 1 = × AB × DM + × DC × DM 2 2 1 = × DM × ( AB + DC) 2 1 = × ( AB + DC) × DM 2 Secara umum dapat kita katakan bahwa luas trapesium adalah setengah dari hasil kali jumlah dua sisi sejajar dan tingginya. Sedangkan keliling trapesium diperoleh dengan menjumlahkan panjang semua sisinya. Contoh :

Hitunglah luas dan keliling bangun trapesium berikut ini.

Penyelesaian : Luas trapesium di atas adalah

1 × (14 + 6 ) × 3 cm2= 30 cm2 2

Keliling trapesium di atas adalah 14 cm + 6 cm + 2 × 5 cm = 30 cm

3 - 38 Unit 3

Luas Dan Keliling Lingkaran Pada lingkaran perbandingan antara keliling dengan diameter menghasilkan bilangan yang tetap yaitu

22 atau dengan nilai pendekatannya, ≈3,14 yang kemudian 7

disebut phi atau dalam huruf Yunani ditulis : π. K Jadi : = π , sehingga keliling lingkaran (K) = π d = 2π r dengan d adalah panjang d diameter dan r jari-jari lingkaran. Luas lingkaran dapat ditemukan dengan cara memotong lingkaran dalam juringjuring sampai tak berhingga banyaknya. Sehingga jika dijajar membentuk persegi 1 keliling lingkaran yaitu πr dan lebarnya r. Perhatikan panjang dengan panjang 2 gambar di bawah ini ! Sehingga luas lingkaran sama dengan luas persegi panjang di samping yaitu

πr × r = π r2 Gambar 3.57 Luas Lingkaran Contoh : Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 7 cm. Tentukan keliling dan luas lingkaran tersebut! Penyelesaian : Keliling lingkaran = 2 × Luas lingkaran

=

22 × 7 cm = 44 cm 7

22 × (7 cm)2 = 154 cm2 7

Pengertian Volume Volume suatu benda adalah banyaknya kubus yang rusuknya 1 satuan panjang yang setara dengan isi benda itu. Kubus yang rusuknya 1 satuan panjang Gambar 3.58 Kubus Satuan

ini disebut kubus satuan sebagai pembanding terhadap benda yang diukur atau dihitung volumenya. Kubus satuan pada gambar 3.58 memiliki volume 1 cm3.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 39

Volume Dan Luas Permukaan Balok

Gambar3.59 Balok

Panjang pada balok menunjukkan banyaknya kubus satuan pada dimensi ini. Demikian pula dengan lebar dan tinggi. Sehingga volume balok adalah panjang ×

lebar × tinggi = p × l × t, jika p menyatakan panjang, l menyatakan lebar, dan t menyatakan tinggi. Luas permukaan balok adalah jumlah luas dari seluruh bidang sisinya. Luas permukaan balok = 2 × p × l + 2 × l × t + 2 × p × t = 2( pl + lt + pt) Contoh : Sebuah balok memiliki ukuran 5cm × 4 cm × 8 cm. Tentukan volume dan luas permukaannya ! Penyelesaian : Volume = 5 × 4 × 8 cm3 = 160 cm3 Luas permukaan

= 2 × (5 × 4 + 4 × 8 + 5 × 8 ) cm3 = 2 × ( 20 + 32 + 40 ) cm3 = 2 × 92 cm3 = 184 cm3

Volume Dan Luas Permukaan Kubus Kubus merupakan bentuk khusus dari balok dengan semua rusuknya sama panjang sehingga cara menemukan rumusnya berdasarkan cara yang diterapkan pada balok. Perhatikan gambar berikut! Jika panjang balok r, lebar balok r dan tinggi balok

r, maka terbentuklah kubus dengan rusuk r. Sehingga

Volume = r3 dengan r adalah rusuk kubus sedangkan luas permukaannya adalah 6 × luas persegi = 6 r2

Gambar 3.60 Kubus Contoh :

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 4 cm . Tentukan luas permukaan kubus dan volumenya! Penyelesaian : 3 - 40 Unit 3

Luas permukaan kubus

Volume kubus

= 6 (4)2 cm2 = 6 × 16 cm2 = 96 cm2 = (4)3 cm3 = 64 cm3

Volume Dan Luas Permukaan Prisma Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 3.61. Berbagai Bentuk Prisma

Volume prisma segi n ditentukan dengan menghitung luas alas dikalikan dengan tinggi prisma. Sedangkan luas permukaan dihitung dengan menjumlahkan luas masing-masing sisi prisma. Perlu Anda perhatikan bahwa tinggi prisma adalah jarak dua sisi yang sejajar. Contoh : Diketahui prisma berikut ini. Tentukan volume dan luas permukaannya!

Penyelesaian: 1 × 6 cm × 8 cm × 15 cm 2 = 360 cm3 1 Luas permukaan prisma = 2× ×6×8 + 6×15 + 8×15 + 10×15 cm2 2 = 48 + 90 + 120 + 150 cm2 = 408 cm2

Volume prisma di atas =

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 41

Volume Dan Luas Permukaan Tabung Tabung merupakan bentuk khusus dari prisma dengan alas berbentuk lingkaran sehingga cara menentukan luas dan volumenya mengikuti pola prisma. Jika r adalah jari-jari alas atau tutup tabung dan t adalah tinggi tabung maka :

Volume tabung = Luas alas × tinggi =πr2t Gambar 3.62. Tabung

Sedangkan untuk menentukan luasnya, kita buka tabung tertutup tersebut dan terbentuklan sebuah persegi dan dua lingkaran seperti gambar berikut. Panjang persegi panjang pada gambar 3.63 sama dengan keliling lingkaran alas, sehingga luas

permukaan tabung = 2 π r2 + 2π r t = 2 π r ( r + t )

Gambar 3.63. Selimut Tabung Contoh :

Sebuah tabung dengan jari-jari alas 5 cm dan tinggi 12 cm. Hitunglah luas

permukaan dan volumenya jika π= 3,14 ! Penyelesaian : Luas permukaan = 2 × 3,14 × 52 + 2 × 3,14 × 5 × 12 = 157 + 376,8 = 533,8 cm2 Volume

= 3,14 × 52 × 12 = 942 cm3

Volume Dan Luas Permukaan Limas Volume dan luas permukaan limas dapat ditentukan melalui volume kubus. Untuk lebih jelasnya Anda dapat memperhatikan gambar di bawah ini.

3 - 42 Unit 3

Gambar 3.64. Kubus

Dengan membuat semua diagonal ruang pada kubus di samping, maka kubus akan terbagi menjadi 6 buah limas yang sama besar sehingga volumenya sama. Jadi volume satu buah limas 1 adalah volume kubus. Jika rusuk kubus s , maka 6 volume limas adalah: 1 × luas alas × 2 × tinggi limas 6 1 = × luas alas × tinggi limas 3

1 × luas alas × tinggi. 3 Luas permukaan limas adalah jumlah seluruh sisi limas. Untuk setiap limas sisi tegaknya berupa segitiga. Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas segitiga pada sisi tegak.

Secara umum volume limas adalah

Contoh :

Sebuah limas persegi dengan panjang sisi alas 9 cm dan tinggi 10 cm . Hitunglah volumenya! Penyelesaian : 1 Volume limas = × 9 × 9 × 10 cm3 = 270 cm3 3 Contoh :

Suatu limas persegi dengan panjang sisi 12 cm dan tinggi pada sisi tegak adalah 10 cm. Hitunglah luas permukaannya! Penyelesaian : Luas permukaan = luas alas + 4 × luas segtiga 1 × 12 × 10 cm2 = 12 × 12 + 4 × 2 = 144 + 240 = 384 cm2

Volume Dan Luas Permukaan Kerucut Kerucut adalah bentuk khusus dari limas, maka untuk menentukan volume dapat menggunakan cara yang digunakan pada limas. Pemecahan Masalah Matematika

3 - 43

Perhatikan gambar di bawah ini Alas sebuah kerucut berupa lingkaran sehingga luasnya adalah

π r2. Volume kerucut = =

1 luas alas × tinggi 3 1 π r2 t 3

dengan π =

22 atau 7

3,14 ; r adalah jari- jari alas dan t adalah tinggi kerucut. Gambar 3.65. Kerucut Untuk menentukan luas permukaan kerucut kita harus membuka jaring-jaring kerucut seperti di bawah ini.

Gambar 3.66. Jaring-jaring Kerucut Jika kerucut dibuka bagian selimutnya akan terlihat sebuah juring lingkaran. Huruf r menyatakan jari-jari alas kerucut dan s disebut garis pelukis maka diperoleh Luas selimut (juring) Panjang busur = Luas lingkaran Keliling lingkaran Luas selimut (juring) 2 π r = 2π s π s2 Luas selimut (juring) r = s π s2

Luas selimut kerucut =

π s2 × r

s Luas selimut kerucut = π r s Jadi luas permukaan kerucut adalah π r2 + π r s = π r(r + s)

Contoh :

Sebuah kerucut tingginya 6 cm, jari-jari alas 8 cm dan panjang garis pelukisnya 10 cm. Tentukan volume dan luas permukaan kerucut! Penyelesaian : 1 Volume = × 3,14 × 82 × 6 = 401,92 cm3 3

3 - 44 Unit 3

Luas permukaan = 3,14 × 8 (8 + 10) = 452,16 cm2 Anda sudah selesai mempelajari sub unit ini mengenai pengukuran geometri. Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Jika ya, ulangi kembali memahami konsep tersebut. Jika Anda sudah benar-benar memahaminya, silahkan kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai materi tersebut.

Latihan 1. Layang-layang dengan panjang diagonal masing-masing 6 cm dan 12 cm. Tentukan luas layang-layang tersebut. 2. Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi yang panjang sisinya 4 cm dan tingginya 9 cm. Tentukan volume limas tersebut! 3. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas sebesar 7 cm, tinggi 24 cm, dan panjang garis pelukis 25 cm. Tentukan volume dan luas permukaan kerucut tersebut!

Pedoman Jawaban Latihan 1. Luas layang-layang dengan panjang diagonal masing-masing 6 cm dan 12 cm 1 kali hasil kali kedua diagonal sehingga diperoleh adalah 2 1 × 6 × 12 = 36 cm2 2 2. Diketahui sebuah limas dengan alas berbentuk persegi yang panjang sisinya 4 1 × Luas alas × tinggi, cm dan tingginya 9 cm. Volume limas tersebut adalah 3 1 sehingga diperoleh × 4 × 4 × 9 = 48. Jadi volume limas adalah 48 cm3. 3 3. Diketahui sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas sebesar 7 cm, tinggi 24 cm, 1 πr2t, dan panjang garis pelukis 25 cm. Volume kerucut tersebut adalah 3 1 22 sehingga diperoleh × × 7 2 × 24 = 22 × 7 × 8 = 1232. Jadi volume kerucut 3 7 yang dicari adalah 1232 cm3. Selanjutnya Anda dapat mempelajari kembali intisari sub bab ini dalam rangkuman berikut. Pemecahan Masalah Matematika

3 - 45

Rangkuman Jika sebuah persegi memiliki panjang sisi s maka luas persegi = s2 dan keliling persegi 4 × s. Jika persegi panjang dengan panjang p dan lebar l maka Luas = p × l dan Keliling = 2 × ( p + l). Jika segitiga dengan panjang alas a 1 dan tinggi t maka Luas = × a × t dan Keliling = jumlah panjang semua sisi. 2 Jika panjang alas jajar genjang a dan tingginya t maka Luas = a × t dan Keliling = jumlah panjang semua sisi. Jika panjang diagonal belah ketupat 1 masing-masing d1 dan d2 maka Luas = × d1 × d2 dan Keliling = jumlah 2 panjang semua sisi. Jika panjang diagonal layang-layang masing-masing d1 1 dan d2 maka Luas = × d1 × d2 dan Keliling = jumlah panjang semua sisi. 2 Jika panjang sisi sejajar trapesium a dan b serta tingginya t maka Luas = (a + b) × t : 2 dan Keliling = jumlah panjang semua sisi. Jika panjang jari-jari lingkaran r maka Luas = π × r2 dan Keliling = 2 × π × r. Jika kubus memiliki panjang rusuk s maka Volume = s3 dan Luas permukaan = 6 s2. Jika balok memiliki panjang p , lebar l dan tinggi t maka Volume = p × l × t dan Luas permukaan = 2 (p×l + p×t + l×t). Jika prisma segi n (3,4,5,…) memilki tinggi t maka Volume = Luas alas × t dan Luas permukaan = jumlah luas semua sisi. Jika sebuah tabung memilki jari-jari alas r dan tinggi t maka Volume = π r 2 t dan Luas permukaan =2 π r2 + 2π r t. Jika sebuah limas segi 1 n (3,4,5,…) memiliki tinggi t maka Volume = × Luas alas × t dan Luas 3 permukaan = jumlah luas semua sisi. Jika sebuah kerucut memilki panjang 1 jari-jari alas r, garis pelukis s dan tinggi t maka Volume = π r2 t dan Luas 3 permukaan =π r2 + π r s = π r(r + s) dengan π r s adalah luas selimut kerucut dan =π r2 adalah luas alas.

3 - 46 Unit 3

Tes Formatif 3 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap konsep geometri pengukuran. 1. Perhatikan gambar sebuah bangun yang berbentuk persegipanjang dan trapesium berikut ini! Tentukan luas daerah yang diarsir!

2. Keliling sebuah persegi 20 cm. Tentukan luas persegi tersebut! 3. Sebuah kubus dengan luas permukaan 24 cm2. Tentukan volumenya! 4. Sebuah tabung memiliki panjang jari-jari 7 cm dan tingginya 10 cm. Tentukan volume dan luas permukaannya! 5. Sebuah benda terbentuk dari tabung dan kerucut. Ukuran benda tampak pada gambar. Tentukan luas permukaan tanpa tutup dan alas benda tersebut! π = 3,14

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 47

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. a = 90° : 2 = 45° b = 180° – 45° – 82° = 180° – 127° = 53° x = 90° – 53° = 37° y = 180° – 53° = 127° . 2. Perhatikan gambar ! y = 90° – 51° = 39° x = 70°

x = 180° – 106° – 48° = 180° – 154° = 26° y = x = 26°

3. Perhatikan gambar !

4. Perhatikan gambar ! x1 = (180° – 100°) : 2 = 40° x2 = (180° – 26°) : 2 = 77° x = x1 + x2 = 40° + 77= 117° . 5. Perhatikan gambar !

3 - 48 Unit 3

x = (180° – 35°) : 2 = 145° : 2 = 72,5 y = 35°

Kunci Tes Formatif 2 1. Perhatikan gambar !

a. 3 bidang diagonal kubus di samping ACGE, DBFH, ABGH b. 2 pasang sisi yang sejajar : ADHE & BCGF dan ABFE & DCGH

2. Kubus merupakan bentuk khusus dari balok karena dibatasi oleh persegi panjang yang sepasang –sepasang kongruen. Dalam keadaan ini persegi merupakan bentuk khusus dari persegi panjang. 3. Diagonal ruang kubus sama panjang karena merupakan sisi miring dari sebuah segitiga siku-siku yang selalu disusun oleh rusuk kubus dan diagonal sisi kubus, sehingga selalu menghasilkan segitiga yang kongruen. 4. Diagram hubungan antar bangun ruang :

Kunci Tes Formatif 3 1. Luas daerah yang diarsir

= Luas trapesium + Luas persegi panjang

= (15 + 10) × 8 : 2 + 15 × 4 cm2 = 100 + 60 cm2 = 60 cm2 2. Keliling persegi = 4s = 20 cm sehingga s = 5 cm maka luas persegi 52 = 25 cm2 3. Luas permukaan kubus = 6 s2= 24 maka s2= 24 : 6 = 4 sehingga s = 2 Jadi volume kubus 23 = 8 cm3 22 2 4. Volume tabung = π r 2 t = × 7 × 10 = 1540 cm3 7 Luas permukaan tabung

= 2 π r2 + 2π r t = 2πr( r +t )= 2 ×

22 × 7 × (7 + 10) 7

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 49

= 44 ×17 = 748 cm2 5. Dari gambar bagian kerucut tersebut panjang jari-jari 6 cm tinggi 8 cm dan garis pelukis 10 cm, serta bagian tabung memiliki tinggi 20 cm dengan jarijari 6 cm. Luas permukaan = Luas selimut kerucut + luas selimut tabung = π r s + 2π r t= π r (s + 2 t) cm2 = 3,14 × 6 × ( 10 + 2 × 8) cm2 = 18,84 × 26 cm2 = 489,84 cm2

3 - 50 Unit 3

Daftar Pustaka Cholik, A. 2004. Matematika SMP kelas VII. Jakarta : Erlangga Cholik, A. 2004. Matematika SMP kelas IX. Jakarta : Erlangga Suwarsono. Matematika untuk Sekolah Lanjutan. Yogyakarta : Widya Utama Yee, P. 2002. New Syllabus Mathematics. Shinglee

Pemecahan Masalah Matematika

3 - 51

Glosarium

Bidang diagonal

: Bidang yang dibentuk oleh dua rusuk berhadapan dan dua diagonal sisi yang sejajar Diagonal : Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak sesisi atau serusuk Diagonal ruang : Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak sesisi Diagonal sisi : Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak serusuk Garis pelukis : Panjang jari-jari juring lingkaran pembentuk selimut kerucut Rusuk : Pertemuan dua sisi pada bangun ruang Sisi pada bangun datar : Ruas garis atau kurva pembatas suatu bangun datar Sisi pada bangun ruang : Bidang pembatas suatu bangun ruang

3 - 52 Unit 3

Unit

4

KONSEP DASAR TRIGONOMETRI R. Edy Ambar Roostanto Pendahuluan

P

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam trigonometri. Namun sebelum membahas konsep tersebut, Anda diajak untuk mengingat kembali teorema Pythagoras. Bahasan dalam trigonometrri ini meliputi perbandingan-perbandingan trigonometri seperti sinus, cosinus dan tangen, dan terapannya pada masalah sehari-hari. Kompetensi yang diharapkan dicapai setelah Anda mempelajari unit ini adalah mampu menggunakan konsep dasar trigonometri dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah dalam bidang lain. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu Teorema Pythagoras dan Perbandingan Trigonometri. Masing-masing subunit ini akan dilengkapi dengan latihan-latihan yang berguna bagi Anda untuk membantu pemahaman konsep yang telah dipelajari. Media yang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar trigonometri ini selain melalui bahan ajar cetak ini, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini dapat Anda kuasai dengan baik dengan mencatat poin-poin penting dalam unit ini dan mengerjakan latihan-latihan yang telah disediakan. Setelah Anda selesai mempelajari satu sub unit maka kerjakanlah tes formatif yang ada di setiap akhir sub unit yang berguna untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap sub unit tersebut. Jika Anda merasa belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, maka pelajari lagi materi dalam sub unit tersebut. Jangan segan bertanya kepada orang yang Anda anggap bisa membantu Anda. Latihan dapat Anda lakukan berulang – ulang baik dari bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web.

Pemecahan Masalah Matematika

4 -1

Subunit 1 Teorema Pythagoras

P

erhatikan segitiga ABC yang masing masing panjang sisinya adalah 3 satuan, 4 satuan dan 5 satuan seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 4.1 Persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku Pada gambar diatas dapat Anda lihat dan hitung bahwa : •

Luas persegi P = 42 =16 satuan luas

•

Luas persegi Q = 32 = 9 satuan luas

• Luas persegi R = 52 = 25 satuan luas Dari data di atas dapat kita amati ternyata ada hubungan antara luas persegi P, Q dan R. Ternyata luas R sama dengan jumlah luas P dan luas Q, sehingga dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa luas persegi pada hypothenusa sama dengan jumlah luas persegi pada sisi-sisi siku-sikunya. Jika panjang sisi siku-siku masing-masing a dan b serta panjang hypothenusanya c maka jumlah luas persegi pada sisi–sisi siku-sikunya sama dengan a 2 + b 2 , sedangkan luas persegi pada sisi hypothenusanya adalah c 2 . Ternyata terdapat hubungan a 2 + b 2 = c 2 . Hubungan tersebut juga berlaku pada segitiga siku-siku lain dengan ukuran yang berbeda-beda. Hasil inilah yang oleh Pythagoras ditemukan dan kemudian untuk menghormati beliau atas penemuannya ini maka penemuan ini disebut Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras secara lengkap menyatakan bahwa: “Jumlah kuadrat sisi siku-siku dari sebuah segitiga siku siku sama dengan kuadrat hypothenusanya”.

4 -2

Unit 4

Pada gambar di samping berlaku a 2 + b 2 = c 2 .

Gambar 4.2 Teorema Pythagoras Contoh 1 : Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Tentukan nilai x

Gambar 4.3 Penyelesaian : Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh x 2 = 4 2 + 8 2 = 16 + 64 = 80 sehingga x = 80 = 4 5 . Contoh 2 : Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Gambar 4.4 Penyelesaian : Dengan menggunakan

Teorema

Pythagoras

diperoleh

y = 13 − 5 = 169 − 25 = 144 sehingga y = 144 = 12 . 2

2

2

Contoh 3 : Perhatikan gambar di bawah ini

Gambar 4.5 Jika panjang AB = BC , CD = 6 cm dan AD =10 cm. Tentukan panjang AB dan BC Penyelesaian :

Pemecahan Masalah Matematika

4 -3

Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh

AC2 = AD2 - CD2 sehingga

diperoleh AC2 = 102 - 62 = 100 -36 = 64. Dari sini diperoleh AC = √64 = 8. Jadi panjang AB = BC = 8 cm. Contoh 4 : Perhatikan gambar persegi panjang di bawah ini!

Gambar 4.6 Tentukanlah panjang diagonal AC dari persegi panjang di atas! Penyelesaian : Panjang diagonal pada persegi panjang sama panjang sehingga AC = BD. Padahal BD selain menjadi diagonal persegi panjang BD merupakan hypothenusa dari segitiga ABD. Sehingga dengan menggunakan dalil Pythagoras 2 2 2 diperoleh BD = AD + AB . Selanjutnya dari sini diperoleh BD2 = 52 + 122 = 25 +144 = 169 sehingga BD = √169 = 13. Jadi panjang diagonal AC adalah 13 cm. Contoh 5 : Sebuah segitiga sama sisi memiliki panjang sisi 6 cm. Tentukan luas segitiga tersebut. Penyelesaian : Perhatikan gambar di bawah ini !

Gambar 4.7 Pada gambar di atas AB = BC = AC = 6 cm dan AD = 3 cm, sehingga menurut dalil Pythagoras diperoleh BD2 = AB 2 − AD 2 atau diperoleh BD =

6 2 − 32 =

sama sisi tersebut adalah

4 -4

Unit 4

36 − 9

= 27 =

1 × 6 × 3 3 = 9 3 cm2. 2

BD =

AB 2 − AD 2 . Dari sini

9 × 3 = 3 3 . Jadi Luas segitiga

Contoh 6 : Seorang tukang cat akan mengecat tembok. Untuk mengecat bagian tembok pada ketinggian 6 m dia membutuhkan tangga. Tangga harus menyandar di tembok dan bagian bawah tangga harus berada paling jauh 2 m dari tembok, jika melebihi itu tangga akan patah. Berapa panjang tangga terpanjang yang dibutuhkan? Penyelesaian : Perhatikan kondisi kejadian di atas dalam gambar berikut ¡

Gambar 4.8 Panjang tangga

=

62 + 22 m

= 36 + 4 m = 40 m =

4 × 10 m

= 2 10 m = 2 × 3,16 m = 6,32 m

Latihan Selanjutnya Anda dapat mengerjakan latihan berikut ini. Setelah Anda selesai mengerjakannya, Anda dapat membandingkan pekerjaan Anda tersebut dengan pembahasan yang disediakan. 1. Sebuah segitiga siku-siku ABC, siku – siku di A dengan AB = 2 cm dan AC = 1 cm . Tentukan panjang BC! 2. Jika AD = AB = BC dan DC= 6 cm Tentukan panjang BD !

Pemecahan Masalah Matematika

4 -5

3. Sebuah persegi ABCD memiliki panjang diagonal 8 cm. Tentukan luas persegi tersebut! 4. Seorang teknisi akan memasang kabel dari titik-titik sudut yang berhadapan pada tempat di atas plavon sebuah ruangan yang ukuran panjangnya 12 m. Kabel yang akan dipasang melintasi plavon di atas ruangan itu panjangnya 13 m. Berapa ukuran lebar ruangan tersebut?

Pedoman Jawaban Latihan 1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku – siku di A serta AB = 2 cm dan AC = 1 cm. Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh BC2 = AB2 + AC2 sehingga BC 2 = 22 + 12 = 5. Jadi panjang BC = √5 cm. 2. Pada soal latihan nomor 2 dimisalkan panjang AD = AB = BC = x cm, sehingga dengan dalil Pythagoras diperoleh

x 2 + 4 x 2 = 5 x 2 = 36 sehingga x 2 =

x 2 + (2 x) 2 = 6 2

atau

36 . 5 36 6 6 = = 5 . Selanjutnya akan 5 5 5

Jadi panjang AD = AB = BC = x = ditentukan panjang BD sebagai berikut. 2

2

⎛ 36 ⎞ ⎛ 36 ⎞ 36 36 72 ⎟ = ⎟ +⎜ + = BD = ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 5 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 2

Jadi panjang BD =

72 . 5

3. Misalkan panjang sisi persegi adalah AB = BC = CD = AD =x dengan panjang diagonal sama dengan 8 cm. Dengan dalil Pythagoras diperoleh

x 2 + x 2 = 8 2 atau 2 x 2 = 64 sehingga x 2 = 32 . Jadi panjang sisi persegi tersebut adalah x = 4 2 . Dari sini akan diperoleh luas persegi ABCD yaitu sisi kali sisi sama dengan 32 cm2. 4. Perhatikan gambar berikut !

Ukuran lebar ruangan

= 13 2 − 12 2 m = 169 − 144

4 -6

Unit 4

m

=

25 m = 5 cm

Rangkuman Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-siku sama dengan kuadrat sisi hypothenusanya atau secara simbolik ditulis a2 + b2 = c2 dimana c merupakan panjang sisi miring dan a serta b panjang sisi-sisi yang lain dari segitiga siku-siku tersebut.

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap konsep atau dalil Pythagoras berikut ini. 1. Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di B. Tentukan sisi yang belum diketahui jika diketahui : a. AB = 10 cm, BC = 20 cm b. AC = 25 cm, BC = 7 cm 2. Panjang sebuah persegi panjang adalah 4 cm dan lebarnya 7 cm. Tentukan panjang diagonalnya! 3. Sebuah segitiga sama sisi panjang sisinya 4 cm. Tentukan luasnya! 4. Sebuah belah ketupat panjang diagonalnya masing-masing 12 cm dan 16 cm. Tentukan kelilingnya! 5. Sebuah menara pemancar yang tingginya 30 m didirikan dan untuk itu dibutukan kawat tebal sebagai pengimbang dan penyangga menara dari goncangan. Kawat tebal dipasang pada empat penjuru mata angin dan dipasang mulai ketinggian 24 m di atas tanah. Ujung lain dari kawat dipasang 7 m dari bagian bawah menara. Tentukan panjang kawat minimum yang dibutuhkan.

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

4 -7

Subunit 2 Perbandingan Trigonometri

M

ateri yang dibahas dalam sub unit ini adalah perbandingan trigonometri yang sangat berguna dalam pengukuran – pengukuran panjang dengan melibatkan segitiga siku-siku, jika diketahui satu sisi dan salah satu sudutnya. Ada tiga perbandingan dalam trigometri yaitu sinus yang disingkat sin, cosinus disingkat cos dan tangen disingkat tan. Sebenarnya apa itu cosinus, sinus, dan tangen? Untuk menjelaskan hal tersebut, perhatikan gambar berikut ini. R

Sin ∠Q, cos ∠Q, dan tan ∠Q merupakan nilai

a

r

perbandingan sisi-sisi pada segitiga PQR dengan aturan tertentu. Perhatikan ΔPQR pada gambar 4.10. Sisi r

P b Q Gambar 4.10

disebut hypothenusa karena di depan sudut siku-siku, sisi a disebut sisi depan karena didepan sudut Q yang dimaksud, dan sisi b disebut sisi samping karena di

sampingsinus, sudutkosinus Q yangdan dimaksud. Dari gambar tersebut didefinisikan tangen berikut ini. sin ∠Q =

cos ∠Q =

tan ∠Q =

sisi depan sisi hypothenusa

sisi samping sisi hypothenusa

=

=

a r

b r

sisi depan a = sisi samping b

Nilai –nilai trigonometri untuk sudut-sudut dari 0° sampai dengan 90° dapat Anda lihat pada tabel yang berada pada bagian lampiran yang terdapat pada bagian akhir bab ini.

4 -8

Unit 4

Contoh 1 : Perhatikan gambar di bawah ini ! Tentukan sin x, cos x dan tan x.

Gambar 4.11 Penyelesaian : 3 = 0,6 5 4 cos x° = = 0,8 5 3 tan x° = = 0,75 4 sin x° =

Contoh 2 : Jika cos x° = 0,5 Tentukan sin x° dan tan x°

1 Gambar 4.12 Penyelesaian : Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh a2 = 22 - 12 = 3 sehingga a=√3. Selanjutnya diperoleh sin x =

3 dan tan x = √3. 2

Contoh 3 : Tentukan nilai sin, cos, dan tan pada sudut segitiga siku-siku sama kaki! Penyelesaian : Perhatikan gambar segitiga siku-siku sama kaki berikut.

Gambar 4.13

Pemecahan Masalah Matematika

4 -9

Pada segitiga siku-siku sama kaki panjang AB = BC, misalkan panjang AB = a maka = a 2+a 2

panjang AC

=

2a 2

=a 2 Sehingga sin ∠C =

1 1 2 1 AB a = = × = 2 = AC a 2 2 2 2 2

cos ∠C =

1 1 2 1 BC a = = × = = 2 AC a 2 2 2 2 2

tan ∠C =

AB a = =1 BC a

Karena pada segitiga siku-siku sama kaki pada gambar 4.13 ∠C =∠A maka nilai trigonometri untuk sudut A sama dengan sudut C. Perlu dipahami di sini bahwa besar ∠C dan ∠A adalah 45°. Mengapa demikian? Coba Anda cari alasannya. Hal ini berarti sebenarnya yang kita cari adalah sin 45° dan cos 45°. Jika Anda perhatikan juga bahwa sin ∠C dan cos ∠C sama besar. Hal ini berarti sin 45° = cos 45° =

1 2. 2

Contoh 4 : Perhatikan gambar di bawah ini !

Gambar 3.14 Tentukan panjang p dan q bila diketahui cos 50° = 0,643 dan sin 50° = 0,766! Penyelesaian

q sehingga q = 12 cos 50° = 12 × 0,643 = 7,716 cm. 12 p sehingga p = 12 sin 50° = 12 × 0,766 = 9,192 cm. Selanjutnya sin 50°= 12

Diketahui cos 50° =

Jadi panjang p = 9,192 cm dan q = 7,716 cm Contoh 5 : Perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.

4 - 10

Unit 4

Gambar 3.15 Diketahui sin 42° = 0,699 dan cos 42° = 0,743. Tentukan besarnya b (sisi hypothenusa)! Penyelesaian : Karena yang diketahui panjang sisi depan maka kita gunakan sinus sehingga diperoleh sin 42° =

5 5 5000 5 atau b = = = = 7,474. Jadi nilai b sama dengan 7,474 cm. o 0,669 669 b sin 42

Contoh 6 : Sebuah tangga yang panjangnya 4 m bersandar pada tembok. Tangga tersebut membentuk sudut 70° dengan lantai. Hitunglah jarak ujung bawah tangga dengan tembok! Penyelesaian Perhatikan gambar yang mengilustrasikan kejadian di atas!

Gambar 3.16

Diketahui panjang tangga 4 m berarti sisi hypothenusa diketahui dan jarak ujung bawah tangga dengan tembok merupakan sisi samping. Dengan demikian kita gunakan perbandingan cosinus. Andaikan jarak ujung bawah tangga dengan tembok = d maka cos 70° =

d sehingga d = 4 × cos 70° = 4 × 0,342 = 1,368 4

Jadi jarak ujung bawah tangga dan tembok adalah 1,368 m Contoh 7 : Di sebuah pelabuhan seorang petugas sedang mengamati sebuah kapal dengan sudut depresi 30° terhadap horisontal. Tinggi menara 30 m, dan menara terletak 20 m dari bibir pantai. Tentukan jarak kapal dar bibir pantai. Penyelesaian : Perhatikan gambar berikut yang mengilustrasikan kejadian di atas!

Pemecahan Masalah Matematika

4 - 11

Pada ilustrasi di atas tampak bahwa tinggi menara menjadi sisi depan dan jarak kapal terhadap menara pengamat adalah sisi samping. Dalam hal ini kita bisa menggunakan tangen. Andaikan jarak kapal terhadap menara pengamat = p maka tan 30° =

30 p

sehingga

p =

=

30 tan 30o

30 0,577

= 51,993 Jadi jarak kapal terhadap menara adalah 51,993 m sehingga jarak kapal dari bibir pantai sama dengan 51,993 m – 20 m = 31,993 m. Selanjutnya silahkan Anda berlatih menyelesaikan soal di bawah ini, kemudian bandingkan pekerjaan Anda dengan pembahasan yang telah disediakan.

Latihan 1. Tentukan nilai sin x, cos x dan tan x dari gambar di bawah ini !

2. Jika cos x = 0,2 maka tentukan nilai sin x dan tan x! 3. Sebuah persegi memiliki panjang sisi 5 cm. Tentukan panjang diagonalnya! 4. Andi dan Rudi mengamati puncak tiang bendera pada arah berlawanan. Andi melihat dengan sudut 45° dan Rudi melihat dengan sudut 60° terhadap arah horisontal. Jarak Rudi ke tiang 8 m. Tanpa mengukur langsung tinggi tiang bendera, tentukan tinggi tiang bendera tersebut dan jarak Andi dan Rudi!

4 - 12

Unit 4

Pedoman Jawaban Latihan 1 − a 2 maka diperoleh sin

1. Pada gambar panjang sisi samping bawah adalah

x=

1− a2 = 1 − a 2 dan tan x = 1

a = a , cos x = 1

a

1− a2

.

2. Jika cos x = 0,2 berarti diperoleh gambar segitiga siku-siku sebagai berikut.

Dari gambar diperoleh sisi depan sama dengan Dengan demikian nilai sin x =

100 − 4 = 96 = 4 6 .

4 6 2 4 6 = 6 dan nilai tan x = =2 6 . 10 5 2

3. Panjang diagonal persegi yang panjang sisinya 5 cm adalah

52 + 52 =

25 + 25 = 50 = 5 2 cm. 4. Perhatikan gambar berikut ini.

Andaikan tinggi tiang = t, maka tan 45° =

t 8

sehingga t = 8 tan 45° = 8.

Andaikan jarak Rudi ke tiang bendera = d, maka tan 60° = sehingga d =

8 tan 60

o

=

t 8 = d d

8 = 4,62. Jadi jarak Rudi ke tiang bendera 4,62 1,732

m sehingga jarak kedua orang tersebut adalah 8 m + 4,62 m = 12,62 m

Pemecahan Masalah Matematika

4 - 13

RANGKUMAN Pada sebuah segitiga siku siku QPR dengan sudut siku-siku di P seperti tampak pada gambar di bawah, berlaku perbandingan trigonometri yaitu sisi depan a = sin ∠Q = R sisi miring r cos ∠Q =

sisi samping b = sisi miring r

tan ∠Q =

a sisi depan = sisi samping b

a

P

r

b

Q

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap konsep perbandingan trigonometri. 1. Diketahui segitiga PQR dengan sudut siku-siku di Q. Nyatakan sin ∠P, cos

∠P, dan tan ∠R dalam perbandingan sisinya. 2. Jika sin x = 0,4 maka tentukan nilai tan x. 3. Jika tan x = a maka tentukan nilai cos x. 4. Jika sin x + 5 = 5,5 maka tentukan nilai cos x + 1 5. Seseorang berada pada ketinggian 25 m di sebuah gedung bertingkat sedang mengamati mobilnya pada sudut 50° terhadap horisontal. Tentukan jarak mobil tersebut terhadap gedung!

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

4 - 14

Unit 4

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di B. Akan ditentukan panjang sisi yang tidak diketahui jika a. panjang sisi AB = 10 cm dan BC = 20 cm maka panjang sisi AC = 100 + 400 = 500 = 10 5 cm. b. panjang sisi AC = 25 cm dan BC = 7 cm maka panjang sisi AB = 625 − 49 = 516 = 24 cm 2. Panjang diagonal persegi panjang jika diketahui panjang dan lebarnya masing-masing sama dengan 4 cm dan 7 cm adalah 16 + 49 = 65 cm. 3. Tinggi

segitiga

sama

sisi

dengan

panjang

sisi

16 − 4 = 12 = 2 3 cm, maka luas segitiga tersebut

4

cm

adalah

sama dengan

1 × 4 × 2 3 = 4 3 cm2. 2 4. Setengah diagonal belah ketupat masing-masing panjangnya sama dengan 6 cm dan 8 cm, maka panjang sisi belah ketupat tersebut adalah 36 + 64 = 100 = 10 cm. Jadi keliling belah ketupat sama dengan 4 × 10 cm = 40 cm. 5. Perhatikan gambar berikut yang melukiskan kejadian di atas

Gambar 4.9 Panjang kawat yang dibutuhkan adalah sama dengan 4×

24 2 + 7 2 = 4 ×

576 + 49 = 4 ×

625 = 4 × 25 = 100 m

Pemecahan Masalah Matematika

4 - 15

Kunci Tes Formatif 2 1. Segitiga PQR siku-siku di Q. sin ∠P, cos ∠P dan tan ∠R dalam perbandingan sisinya adalah: QR sin ∠P = RP QP cos ∠P = RP tan ∠R =

QR QP

2. Diketahui sin x = 0,4 maka diperoleh segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

Dari

x

gambar di atas diperoleh panjang sisi samping = 10 2 − 4 2 = 84 = 2 21 , sehingga tan x =

4 2 . = 2 21 21 3. Diketahui tan x = a sehingga diperoleh

x

Dengan demikian cos x =

1 a2 +1

.

4. Diketahui sin x + 5 = 5,5 sehingga sin x = 0,5 maka diperoleh

Dari gambar di atas diperoleh panjang sisi samping = cos x + 1 =

4 - 16

Unit 4

3 3+2 +1 = . 2 2

22 − 1 = 3 , sehingga

5. Andaikan jarak mobil ke gedung adalah d maka diperoleh tan 50 o = sehingga d =

25 tan 50

o

=

25 d

25 = 20,97. Jadi jarak mobil ke gedung adalah 1,192

20,99 m.

Pemecahan Masalah Matematika

4 - 17

Daftar Pustaka Cholik A. 2004. Matematika SMP kelas VII. Jakarta: Erlangga. Cholik A. 2004. Matematika SMP kelas IX. Jakarta: Erlangga. Suwarsono. 2002. Matematika untuk Sekolah Lanjutan. Yogyakarta: Widya Utama. Yee, P. New Syllabus Mathematics. Shinglee

4 - 18

Unit 4

Glosarium Hypothenusa Kuadrat Tegak lurus Teorema Sinus Cosinus Tangen

: Sisi terpanjang dalam segitiga siku-siku : Perkalian berulang dua kali : Berpotongan membentuk sudut 90o : Pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannya : Perbandingan sisi depan dengan hypothenusa pada segitiga siku siku : Perbandingan sisi samping dengan hypothenusa pada segitiga siku siku : Perbandingan sisi depan dengan sisi samping pada segitiga siku siku

Pemecahan Masalah Matematika

4 - 19

Unit

5

PELUANG Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan

P

ada unit lima ini kita akan membahas peluang. Peluang merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari cara menghitung tingkat keyakinan seseorang terhadap terjadi atau tidaknya suatu peristiwa. Selain peluang, materi lain yang akan dibahas dalam unit ini adalah permutasi dan kombinasi yang merupakan salah satu teknik untuk menghitung peluang. Dengan demikian unit ini terdiri dari dua subunit. Subunit pertama membahas permutasi dan kombinasi, sedangkan subunit kedua membahas peluang. Kompetensi dasar yang harus dikuasai setelah Anda mempelajari unit ini adalah mampu menggunakan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah dalam matematika atau bidang lainnya yang terkait dengan peluang. Media pembelajaran yang digunakan selain bahan ajar cetak juga bahan ajar yang telah tersedia di website. Konsep peluang merupakan salah satu syarat pengetahuan untuk mempelajari statistika. Tetapi dalam unit ini, masalah-masalah yang akan dibahas dalam peluang dan terkait dengan statistika tidak dibicarakan. Konsep-konsep yang dipelajari adalah konsep dasar yang digunakan dalam memecahkan masalah terkait dengan peluang. Agar materi yang terdapat pada unit ini dapat dipahami dengan baik, setelah mempelajari satu subunit atau satu konsep, cobalah Anda mengerjakan contoh atau latihan soal yang ada, kemudian cocokkan jawaban Anda tersebut dengan pembahasannya. Jika Anda mengalami kesulitan, bertanyalah pada teman atau tutor Anda. Setiap subunit dilengkapi dengan tes formatif yang berguna untuk mengukur tingkat pemahaman Anda terhadap materi. Pelajari setiap konsep dengan sungguhsungguh sampai Anda benar-benar memahaminya. Selamat belajar dan tetap semangat, semoga Anda berhasil.

Pemecahan Masalah Matematika

5-1

Subunit 1 Permutasi dan Kombinasi

S

ubunit ini akan membahas mengenai bagaimana teknik membilang atau disebut juga kaidah pencacahan khususnya permutasi dan kombinasi. Materi awal yang dipelajari adalah konsep faktorial yang digunakan dalam menentukan permutasi atau kombinasi. Sebelum kita mempelajari konsep-konsep tersebut terlebih dahulu simak masalah pengaturan berikut ini. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu obyek yang terdiri dari beberapa unsur. Pengaturan atau penyusunan tersebut ada yang memperhatikan urutan dan ada yang tidak memperhatikan urutan. Pengaturan dengan memperhatikan urutan dalam matematika disebut permutasi, sedangkan yang tidak memperhatikan urutan disebut kombinasi. Berapa banyak pengaturan atau penyusunan yang mungkin terjadi ditentukan dengan menggunakan kaidah pencacahan. Dalam kaidah pencacahan, banyaknya penyusunan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu atau gabungan dari metode berikut ini yaitu teknik membilang, permutasi dan kombinasi. Kita akan mempelajari dan berlatih menggunakan teknik membilang terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut ini. Misalnya tersedia dua celana berwarna biru dan hitam serta 3 baju berwarna kuning, merah dan putih. Berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk? Banyaknya pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk dapat ditentukan dengan beberapa cara seperti berikut. a. Dengan menggunakan diagram pohon. Diagram pohon adalah suatu diagram yang berbentuk pohon dalam hal ini digunakan untuk mempermudah kita dalam menghitung banyaknya kemungkinan susunan pasangan baju yang terjadi.

5 -2

Unit 5

Gambar 5.1 Diagram Pohon

Dari diagram pohon di atas, tampak bahwa terdapat 6 pasangan warna yang dapat dibentuk dari 2 warna celana dan 3 warna baju. Jadi 6 pasangan tersebut diperoleh dengan cara mengalikan bilangan yang menyatakan kemungkinan warna celana dengan bilangan yang menyatakan kemungkinan warna baju. Dengan kata lain 2 × 3 = 6. b. Dengan tabel silang. Tabel 5.1 Tabel Silang

Tabel di atas menunjukkan banyaknya pasangan warna yang terjadi yaitu 6 pasang yang dapat diperoleh dari 2 × 3. c. Dengan pasangan terurut.

Kita misalkan himpunan warna celana C = {B, H } dan himpunan warna baju J = {K , M , P} . Himpunan pasangan terurut yang merupakan anggota

himpunan C × J =

{(B, K ), (B, M ), (B, P ), (H , K ), (H , M ), (H , P )}.

Banyaknya anggota himpunan tersebut adalah 6 pasangan terurut. Secara umum jika terdapat k1 pilihan pertama, k 2 pilihan kedua, k 3 pilihan ketiga dan seterusnya maka banyak cara susunan yang terjadi adalah sebanyak k1 × k 2 × k 3 × … × k n

Pemecahan Masalah Matematika

5-3

Aturan seperti di atas disebut teknik membilang atau aturan perkalian. Kata perkalian digunakan karena dalam menentukan berapa banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia menggunakan operasi perkalian. Selanjutnya sebelum kita mempelajari kaidah pencacahan yang lain yaitu permutasi dan kombinasi, kita kaji terlebih dahulu definisi dan notasi faktorial. Faktorial adalah hasil kali bilangan asli secara berurutan dari 1 sampai dengan n atau sebaliknya. Notasi faktorial menggunakan lambang n! . Jadi untuk setiap n bilangan asli didefinisikan n!= 1.2.3.4....(n − 1).n . Selain itu didefinisikan juga bahwa 1!= 1 dan 0!= 1 . Contoh : 1. 3!=1.2.3=6 2. 5!= 1.2.3.4.5 = 120 Berikut ini diberikan salah satu sifat faktorial yang sangat berguna dalam mempermudah peghitungan terkait dengan faktorial. Sifat 1. n!= n.(n − 1)! = n.(n − 1)( . n − 2 )! Contoh penggunaan sifat ini sebagai berikut. Misalkan kita akan menghitung

maka diperoleh

10! 6!

10! 10.9.8.7.6! = = 10.9.8.7 = 5040 . 6! 6!

1. Permutasi Seperti yang telah dikemukakan di atas, permutasi adalah pengaturan atau penyusunan beberapa unsur dengan memperhatikan urutan. Contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari adalah pengaturan atau penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari ketua, bendahara dan sekretaris. Jelas bahwa pada masalah tersebut urutan akan sangat mempengaruhi, sehingga urutan menjadi pertimbangan khusus. Definisi permutasi disajikan sebagai berikut. Permutasi sekumpulan obyek/unsur adalah suatu pengaturan dengan memperhatikan urutan dari semua obyek atau sebagian. Dengan kata lain, permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n ) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan.

5 -4

Unit 5

Banyaknya permutasi biasa dilambangkan dengan

n

P r . Rumus umum

banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah sebagai berikut. n! n Pr = (n − r )!

Pada definisi permutasi di atas dikatakan bahwa n unsur yang tersedia berbeda. Jika unsur-unsur yang tersedia memuat unsur yang sama, bagaimanakah cara menentukan banyaknya permutasi yang memuat unsur sama? Untuk menjelaskan hal ini, perhatikan contoh berikut ini. Contoh : Berapa banyak permutasi dari 3 huruf yang diambil dari huruf A, A, dan B? Pada contoh di atas, unsur yang tersedia terdapat 3 huruf. Dari 3 huruf tersebut terdapat 2 unsur yang sama yaitu A. Andaikan kedua unsur yang sama tersebut kita anggap berbeda dengan membubuhkan indeks 1 dan 2 pada kedua huruf A tersebut, maka akan diperoleh 6 susunan atau permutasi yaitu A1 A2 B

A2 A1 B

A1 BA2

A2 BA1

BA1 A2

BA2 A1

Jika kita hilangkan indeks pada huruf A maka tinggal dipunyai 3 susunan saja yaitu: AAB ABA BAA Jadi banyaknya permutasi dari 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama adalah 2.3 P= = 3 . Secara umum rumus untuk permutasi n unsur yang memuat k, l, m, dan 2 seterusnya unsur yang sama adalah sebagai berikut. n! P= k!l!m!...

Latihan 1 Selanjutnya selesaikan soal berikut yang terkait dengan rumus permutasi. 1. Hitunglah 6 P1 , 4 P4 , dan 7 P3 . 2. Hitunglah permutasi 6 unsur yang diambil dari 7 unsur yang tersedia. 3. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf M, A, D, dan U . 4. Berapa banyak susunan huruf yang terdiri dari 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf H, U, T, A, N, dan G. 5. Di dalam suatu kelas akan dilakukan pemilihan panitia keakraban siswa yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan bendahara. Jumlah siswa dalam kelas tersebut 30 orang. Berapa banyak susunan panitia yang mungkin terjadi?

Pemecahan Masalah Matematika

5-5

6. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf B, A, T, U, B, A, R, dan A.

Pedoman Jawaban Latihan 1 Berikut adalah pembahasan penyelesaian soal-soal yang dapat digunakan untuk mencocokkan jawaban Anda. 1. Menghitung 6 P1 , 4 P4 , dan 7 P3 sebagai berikut. 6

6! (6 − 1)! 5!.6 = 5! =6

P1 =

4

4! (4 − 4)! 4! = = 1.2.3.4 0! = 24

P4 =

7

7! (7 − 3)! 4!.5.6.7 = 4! = 5.6.7 = 210

P3 =

2. Permutasi 6 unsur yang diambil dari 7 unsur yang tersedia adalah 7! 7 P6 = (7 − 6)! 7! = 1! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040 3. Huruf-huruf pada M, A, D, dan U semuanya berbeda, sehingga banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 4! 4 P4 = (4 − 4)! 4! = = 1.2.3.4 0! = 24 4. Banyak susunan huruf yang terdiri dari 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf H, U, T, A, N, dan G adalah 6! 6 P2 = (6 − 2)! 4!.5.6 = 4! = 5.6 = 30 5. Masalah pada pengaturan atau penyusunan panitia yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan bendahara, tentu saja memperhatikan urutan. Maka masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi berikut ini.

5 -6

Unit 5

Banyaknya siswa 30 orang dan banyak panitia yang akan dibentuk ada 3, maka n = 30 dan r = 3. Jadi banyak susunan panitia yang mungkin terjadi adalah: 30! (30 − 3)! 27!.28.29.30 = 27! = 28.29.30 = 24360 6. Coba Anda perhatikan bahwa huruf-huruf B, A, T, U, B, A, R, dan A memuat beberapa unsur yang sama yaitu huruf A sebanyak 3 dan huruf B sebanyak 2, maka banyak susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 8! 3!.4.5.6.7.8 P= = 3!.2! 3!.2 = 2 .5 .6 .7 .8 = 3360 30

P3 =

2. Kombinasi Kombinasi merupakan pengaturan atau penyusunan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan. Misalnya kita akan mengirimkan tim lomba cerdas cermat yang terdiri dari 3 orang. Masalah tersebut jelas tidak memperhatikan atau mempertimbangkan urutan. Jadi definisi kombinasi disajikan berikut ini. Kombinasi sekumpulan unsur adalah suatu pengaturan dari semua atau sebagian unsur dengan tidak memperhatikan urutan. Dengan kata lain, kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n ) adalah susunan dari r unsur itu tanpa memperhatikan urutan. Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan nCr dan ditentukan dengan rumus berikut ini. n! n Cr = r!(n − r )!

Latihan 2 Silahkan Anda berlatih menggunakan rumus di atas dengan mengerjakan soal-soal di bawah ini. Setelah Anda selesai mengerjakan, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasannya. 1. Hitunglah

10

C 4 dan

20

C3 .

Pemecahan Masalah Matematika

5-7

2. Tentukan banyaknya kombinasi dari 5 unsur yang diambil dari 9 unsur yang tersedia. 3. Dari 4 orang bersaudara yaitu Ali (A), Budi (B), Cahya (C) dan Doni (D), 3 orang di antaranya diundang untuk rapat keluarga. Berapa cara ke-empat orang bersaudara tersebut dapat memenuhi undangan? 4. Di dalam sebuah kotak berisi 7 bola putih dan 5 bola merah. Dari dalam kotak tersebut diambil dua bola secara acak sekaligus. Berapa banyak pasangan bola yang diperoleh jika a. terambil semua putih b. terambil semua merah c. terambil satu putih dan satu merah

Pedoman Jawaban Latihan 2 1. Berikut adalah perhitungan

10

C 4 dan

20

C3 .

20! 20! 10! 10! = = 20 C 3 = (20 − 3)!.3! 17!.3! (10 − 4)!.4! 6!.4! 17!.18.19.20 6!.7.8.9.10 = = 17!.1.2.3 6!.1.2.3.4 18.19.20 7.8.9.10 = = 1.2.3 1.2.3.4 6840 5040 = = 1140 = = 210 6 24 2. Banyaknya kombinasi dari 5 unsur yang diambil dari 9 unsur yang tersedia berarti 10

C4 =

kita akan menghitung 9 C 5 sebagai berikut. 9! (9 − 5)!5! 5!.6.7.8.9 = 1.2.3.4.5! 6.7.8.9 = 1.2.3.4 3024 = = 126 24 3. Dari masalah tersebut, kita harus mencari kombinasi 3 unsur dari 4 unsur yang tersedia sebagai berikut. 9

5 -8

Unit 5

C5 =

4! (4 − 3)!.3! 3!.4 = =4 1!.3! 4. a. Banyaknya bola putih yang tersedia 7 buah diambil dua bola secara acak maka banyaknya pasangan bola yang diperoleh dapat ditentukan dengan menggunakan konsep kombinasi berikut ini. 4

C3 =

7

C2 =

7!

(7 − 2)!.2!

=

7! 5!.2!

5!.6.7 5!.1.2 6.7 = 2 = 3.7 = 21 b. Banyaknya bola merah yang tersedia 5 buah diambil dua bola secara acak maka banyaknya pasangan bola yang diperoleh dapat ditentukan dengan menggunakan konsep kombinasi berikut ini. 5! 5 C2 = (5 − 2)!.2! 3!.4.5 = = 2.5 = 10 3!.2 c. Banyaknya bola putih yang tersedia 7 buah dan bola merah 5 buah. Banyaknya pasangan bola yang diperoleh satu putih dan satu merah dapat ditentukan dengan menggunakan konsep kombinasi berikut ini. Banyak cara terambil satu bola putih adalah 7! 7! = 7 C1 = (7 − 1)!.1! 6!.1! 6!.7 = 6!.1 =7 Banyaknya cara terambil satu bola merah adalah 5! 5 C1 = (5 − 1)!.1! 4!.5 = 4!.1 =5 =

Pemecahan Masalah Matematika

5-9

Jadi banyaknya cara terambil satu bola putih dan satu bola merah sama dengan 7 × 5 = 35.

Rangkuman Pengaturan atau penyusunan beberapa obyek/unsur dalam masalah sehari-hari dapat disusun dengan memperhatikan urutan atau tidak. Pengaturan dengan memperhatikan urutan dalam matematika disebut permutasi, sedangkan yang tidak memperhatikan urutan disebut kombinasi. Rumus umum untuk banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah: n! , r ≤ n, r , n bilangan asli n Pr = (n − r )! Sedangkan banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dapat dinyatakan dengan rumus berikut ini. n! ; r ≤ n, r , n bilangan asli n Cr = r!(n − r )! Dalam penghitungan permutasi dan kombinasi diperlukan faktorial. Faktorial adalah hasil kali bilangan asli secara berurutan dari 1 sampai dengan n atau sebaliknya. Jadi untuk setiap n bilangan asli didefinisikan n!= 1.2.3.4....(n − 1).n . Selain itu didefinisikan juga bahwa 1!= 1 dan 0!= 1 .

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi permutasi dan kombinasi dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 9! 1. Nilai sama dengan ……. 3! A. 3 C. 60480 B. 24640 D. 181440

2. Tentukan nilai dari A. 1,15

5 - 10

Unit 5

23! . 20!(5 − 4)! C. 10626

B. 23

D. 212520

3. Pada suatu arisan yang diikuti oleh 20 orang akan diundi sehingga 3 orang diantaranya akan memperoleh hadiah yang nilainya sama. Untuk menghitung banyaknya cara yang mungkin terjadi pada kasus di atas, digunakan rumus …… A. faktorial C. perkalian B. kombinasi D. permutasi 4. Nilai

10

P3 dan

18

C 5 , masing-masing adalah …….

A. 1,43 dan 0,28 B. 0,28 dan 1,43

C. 8568 dan 720 D. 720 dan 8568

5. Banyaknya cara menyusun nomor telephon yang terdiri dari 6 angka yang mungkin dibuat untuk dijual ke konsumen adalah ……. A. 20160 C. 151200 B. 60480 D. 900000 6. Banyak cara menyusun bilangan ganjil yang terdiri dari 4 angka adalah ……. A. 4500 C. 9000 B. 5000 D. 10000 7. Suatu lomba diikuti oleh 15 peserta yang memperebutkan 3 piala yaitu piala juara I, II, dan III. Banyaknya susunan pemenang yang mungkin dari lomba tersebut adalah ……. A. 210 C. 2730 B. 273 D. 3276 8. Dari 20 manik-manik akan dibuat sebuah gelang yang terdiri dari 15 manikmanik. Banyaknya cara menyusun manik-manik tersebut adalah ……. A. 13680 C. 310080 B. 15504 D. 1860480 9. Di dalam sebuah kantong terdapat 10 mata uang logam yang terdiri dari 6 mata uang logam Rp.100,- dan 4 mata uang logam Rp. 500,-. Dari kantong tersebut diambil 3 mata uang logam sekaligus. Banyak cara terambil 3 mata uang logam

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 11

yang terdiri dari 2 mata uang logam Rp. 100,- dan 1 mata uang logam Rp. 500,adalah ……. A. 60 C. 240 B. 120 D. 480 10. Banyak cara menyusun secara berjajar 4 bendera merah, 2 bendera hijau dan 2 bendera kuning adalah ……. A. 16 C. 420 B. 64 D. 840

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

5 - 12

Unit 5

Subunit 2 Peluang

S

ubunit 2 membahas peluang yang terdiri dari peluang suatu kejadian tunggal dan peluang kejadian majemuk. Untuk membahas topik tersebut diperlukan beberapa konsep mengenai percobaan atau eksperimen, ruang sampel dan kejadian. Peluang menyangkut ketidakpastian. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui ketidakpastian. Peristiwa yang memuat ketidakpastian, biasanya digambarkan dengan kata-kata yang mengandung makna kemungkinan, kesempatan, atau peluang. Contoh : 1. Pada bulan-bulan tertentu kota Jakarta mengalami musim hujan. 2. Berdasarkan hasil ujian harian yang diperoleh, Bobi mempunyai peluang untuk menjadi juara kelas. 3. Sinta dan Jodi mempunyai kesempatan yang sama untuk menjadi juara lomba matematika di sekolahnya. 4. Besok pagi matahari terbit dari arah Timur. Coba Anda perhatikan contoh-contoh tersebut. Peristiwa manakah yang mungkin terjadi? Tingkat keyakinan bahwa peristiwa itu terjadi ditentukan melalui kata-kata yang dipilih untuk mengungkapkan kemungkinan tersebut. Untuk contoh ke-4, Anda pasti setuju bahwa contoh tersebut tidak mungkin terjadi. Saudara, pada subunit ini kita akan membahas tentang tingkat keyakinan bahwa suatu peristiwa terjadi atau tidak. Cabang matematika yang mempelajari cara-cara penghitungan derajat keyakinan untuk menentukan terjadi atau tidaknya suatu peristiwa disebut ilmu peluang atau probabilitas. Menurut pandangan intuitif, peluang suatu peristiwa adalah angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Peluang yang kecil menunjukkan kemungkinan terjadi peristiwa itu sangat kecil. Misalnya seorang peramal cuaca meramalkan bahwa kemungkinan akan terjadi hujan kurang dari 10% maka kita akan merasa tidak perlu membawa payung jika akan ke luar rumah karena kita menganggap bahwa kemungkinan akan hujan sangat kecil. Jadi salah satu manfaat mengetahui peluang suatu peristiwa adalah untuk membantu pengambilan keputusan yang tepat. Konsep peluang berkaitan dengan percobaan atau eksperimen. Percobaan di sini didefinisikan sebagai pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan Pemecahan Masalah Matematika

5 - 13

peristiwa mana yang akan terjadi. Jadi di dalam suatu percobaan akan menghasilkan sesuatu yang tidak pasti. Artinya bahwa percobaan dapat dilakukan berkali-kali dalam kondisi yang sama dan memungkinkan hasil yang berbeda-beda. Istilah percobaan dalam subunit ini tidak terbatas pada percobaan di laboratorium tetapi percobaan diartikan sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu di mana prosedur itu dapat diulang berkali-kali pada kondisi yang sama dan hasil dari percobaan tersebut dapat diamati. Berikut ini contoh percobaan dan hasilnya. Contoh : No. 1. 2. 3. 4.

Percobaan Pengukuran waktu reaksi kimia Interview petani Pengamatan sekumpulan hasil produksi Pelemparan mata uang logam 1 kali

Hasil Percobaan Lama reaksi Penghasilan bulanan Banyak produk yang cacat Sisi gambar atau angka

Berdasarkan contoh di atas definisi percobaan atau eksperimen adalah proses pengumpulan data tentang fenomena tertentu yang menunjukkan adanya variasi di dalam hasilnya. Sedangkan hasil percobaan didefinisikan sebagai hasil yang mungkin terjadi, jika percobaan tersebut dilakukan. Setiap hasil dari suatu percobaan jika dihimpun dalam suatu himpunan maka himpunan tersebut dinamakan ruang sampel atau ruang contoh. Ruang sampel dalam ilmu peluang biasanya dinotasikan dengan huruf S . Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua jenis jika dilihat dari banyaknya anggota ruang sampel yaitu: 1. Ruang sampel diskrit yaitu ruang sampel yang mempunyai banyak anggota berhingga. 2. Ruang sampel kontinu yaitu ruang sampel yang mempunyai banyak anggota tak berhingga. Ruang sampel yang kita bicarakan dalam subunit ini dinyatakan dalam bentuk himpunan. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Jadi kejadian merupakan kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan. Melihat definisi kejadian, ruang sampel dan himpunan kosong juga merupakan kejadian. Hal ini akan lebih jelas dengan contoh-contoh berikut ini. Contoh : 1. Percobaan pengukuran tinggi badan seseorang yang tingginya antara 165 cm dan 170 cm. Dari percobaan tersebut tentukan:

5 - 14

Unit 5

a. ruang sampel dan jenis ruang sampel b. himpunan A jika A merupakan tinggi seseorang 167 cm dan 169 cm. c. Himpunan B jika B merupakan kejadian tinggi seseorang yang sama dengan 190 cm. 2. Percobaan melempar dadu satu kali.

Dari percobaan tersebut tentukan: a. ruang sampel dan jenis ruang sampel. b. himpunan X jika X merupakan kejadian munculnya mata dadu genap. c. himpunan Y jika Y merupakan kejadian munculnya mata dadu kurang atau sama dengan 6. d. himpunan Z jika Z merupakan kejadian munculnya mata dadu 7. Mari bersama-sama kita membahas contoh soal di atas. 1. Dari percobaan pengukuran tinggi badan seseorang yang tingginya antara 165 cm dan 170 cm diperoleh. a. Ruang sampel percobaan S = {x ; 165 < x < 170} di mana jenis ruang

sampel adalah ruang sampel kontinu karena banyak anggota ruang sampel tak berhingga yaitu semua bilangan real antara 165 sampai dengan 170. b. Kejadian A jika disajikan dalam bentuk himpunan yaitu A = {167,169}.

c. Kejadian

B

B = { } = ∅.

dapat

disajikan

dalam

bentuk

himpunan

yaitu

2. Dari percobaan melempar dadu satu kali diperoleh a. Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6} dan jenis ruang sampelnya adalah ruang sampel diskrit. Hal ini jelas karena banyak anggota ruang sampel berhingga.

b. Kejadian X dapat disajikan dalam bentuk himpunan yaitu X = {2,4,6} . c. Kejadian

Y

dapat

Y = {1,2,3,4,5,6} .

disajikan

dalam

bentuk

himpunan

Pemecahan Masalah Matematika

yaitu

5 - 15

d. Kejadian Z dapat disajikan dalam bentuk himpunan yaitu Z = { }= ∅. Kejadian Y merupakan kejadian yang pasti terjadi sedangkan kejadian B dan Z merupakan kejadian yang tidak mungkin terjadi jika percobaan-percobaan tersebut dilakukan. Dua jenis kejadian tersebut dinamakan kejadian yang tidak sejati. Dengan kata lain kejadian disebut kejadian sejati jika kejadian tersebut merupakan himpunan bagian sejati dari ruang sampel. Apakah Anda masih ingat dengan definisi himpunan bagian sejati? Dengan melihat definisi kejadian sejati, coba Anda definisikan apa itu himpunan sejati. Kejadian dalam suatu percobaan dinyatakan dengan himpunan. Pada teori himpunan, dua himpunan atau lebih dapat dikenai operasi komplemen, gabungan atau irisan. Operasi-operasi tersebut juga dapat dikenakan pada kejadian. Berikut ini diberikan contoh untuk menjelaskan hal tersebut. Contoh : Diketahui percobaan melempar sebuah dadu satu kali. Dari percobaan tersebut, akan dilihat kejadian munculnya mata dadu a. selain ganjil b. genap atau prima c. ganjil dan prima Ruang sampel dari percobaan tersebut adalah S = {1,2,3,4,5,6}.

a. Misalnya A adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil yaitu A = {1,3,5}, maka kejadian munculnya mata dadu selain ganjil merupakan himpunan

A c = {2,4,6}. b. Misal B adalah kejadian munculnya mata dadu genap yaitu B = {2,4,6} dan C kejadian munculnya mata dadu prima yaitu C = {2,3,5} . Kejadian munculnya mata dadu genap atau prima berarti B ∪ C = {2,3,4,5,6}. c. Misal D adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil yaitu D = {1,3,5} . Kejadian munculnya mata dadu ganjil dan prima berarti mata dadu yang muncul ganjil sekaligus prima yaitu D ∩ C = {3,5} .

5 - 16

Unit 5

1. Peluang Kejadian Jika suatu percobaan dilakukan, biasanya perhatian kita pada kejadiankejadian sejati dimana kejadian-kejadian tersebut bukanlah kejadian yang pasti terjadi atau kejadian yang tidak mungkin terjadi. Persoalannya, apakah kita dapat menghitung kecenderungan terjadinya kejadian-kejadian tersebut. Untuk itu kita memerlukan alat untuk mengukurnya. Alat tersebut adalah peluang kejadian. Berikut ini adalah definisi peluang menurut definisi klasik. Misalkan suatu percobaan menghasilkan n titik sampel yang mempunyai kesempatan muncul sama dan tidak mungkin terjadi bersama-sama. Kejadian A muncul sebanyak k kali maka peluang kejadian A adalah n( A) k = P ( A) = n( S ) n dengan n( A) adalah banyaknya anggota kejadian A dan n( S ) adalah banyaknya anggota ruang sampel. Jika kita akan menghitung peluang kejadian dengan menggunakan definisi ini, maka ada tiga hal yang harus diperhatikan. a. Jika suatu percobaan dilakukan tanpa suatu keterangan tertentu, maka dianggap bahwa setiap hasil percobaan yang mungkin mempunyai peluang yang sama. b. Jika suatu percobaan dengan hasil yang mungkin cukup banyak maka akan lebih mudah jika banyaknya hasil yang mungkin dari percobaan tersebut dihitung terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah pencacahan baik dengan teknik membilang, permutasi atau kombinasi. c. 0 ≤ n( A) ≤ n dan 0 ≤ P( A) ≤ 1

Latihan Peluang Kejadian Berikutnya silahkan Anda mengerjakan soal-soal di bawah ini. 1. Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali, berapa peluang kejadian munculnya mata dadu ganjil? 2. Diketahui dalam suatu kotak terdapat 5 bola putih dan 3 bola merah. Dari kotak tersebut diambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang kejadian terambilnya bola putih? 3. Jika pada kotak dalam soal nomor 2, diambil dua bola sekaligus secara acak, berapa peluang kejadian terambil bola semuanya putih.

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 17

Pedoman Jawaban Latihan 1. Pada soal pertama diketahui ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6} dan A = {1,3,5} maka

n( S ) = 6

P ( A) =

n( A) 3 1 = = . n( S ) 6 2

dan

n( A) = 3 .

Jadi

peluang

kejadian

A

adalah

2. Anda perhatikan kata acak pada soal ini. Kata tersebut menyatakan bahwa setiap hasil percobaan mempunyai kesempatan muncul yang sama sehingga kita dapat menggunakan rumus peluang definisi klasik. Dari soal diketahui banyaknya anggota ruang sampel adalah n( S ) = 8 dan banyaknya anggota kejadian adalah n( B ) = 5 maka peluang kejadian B adalah P ( B ) =

n( B ) 5 = . n( S ) 8

3. Untuk soal ketiga memerlukan sedikit pemikiran lain. Coba Anda perhatikan bahwa dari kotak diambil dua bola sekaligus. Berapa banyak pasangan bola yang terjadi? Masih ingatkah Anda dengan materi permutasi dan kombinasi? Untuk menghitung banyaknya pasangan bola yang dapat terjadi, kita harus menggunakan rumus kombinasi 2 diambil dari 8 bola yang tersedia yaitu 8! 6!.7.8 = = 7.4 = 28 . 8 C2 = (8 − 2)!.2! 6!.2.1 Jadi banyaknya anggota ruang sampel adalah n( S ) = 28 . Selanjutnya kita akan menentukan banyaknya anggota kejadian terambil bola keduanya putih. Bola putih yang tersedia ada 5 akan diambil 2 maka banyaknya pasangan bola putih yang terjadi adalah merupakan kombinasi 2 diambil dari 5 bola yang tersedia yaitu 5! 3!.4.5 = = 2.5 = 10 5 C2 = (5 − 2)!.2! 3!.2.1 Jadi peluang kejadian terambil keduanya bola putih adalah P =

10 5 = . 28 14

2. Peluang Kejadian Majemuk Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa dua kejadian dapat dikenakan operasi komplemen, gabungan, dan irisan seperti pada himpunan. Jadi dua kejadian tersebut dapat dirangkai menjadi satu kejadian dengan menggunakan kata perangkai gabungan atau irisan. Berikut ini kita akan membahas peluang gabungan dua kejadian. Perhatikan kembali contoh pada halaman 16. Dari contoh tersebut kejadian munculnya mata dadu genap atau prima dinyatakan oleh himpunan 5 - 18

Unit 5

B ∪ C = {2,3,4,5,6} di mana banyaknya anggota adalah n( B ∪ C ) = 5 . Dengan

menggunakan definisi peluang klasik, peluang kejadian tersebut adalah n( B ∪ C ) 5 P( B ∪ C ) = = . Secara umum untuk menghitung peluang kejadian n( S ) 6 majemuk seperti tersebut dapat dijelaskan dengan memanfaatkan teori himpunan, tetapi dalam subunit ini hal tersebut tidak akan dibahas. Rumus menghitung peluang gabungan dua kejadian adalah sebagai berikut. Misal A dan B adalah sebarang dua kejadian yang terdapat dalam ruang sampel, maka peluang kejadian A ∪ B adalah P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) Contoh : Dari hasil penelitian yang dilakukan pada suatu wilayah terhadap kepemilikan TV dan radio, diperoleh data sebagai berikut. 20% penduduk memiliki TV 40% penduduk memiliki radio 15% penduduk memiliki TV dan radio Jika di wilayah tersebut dipilih satu orang secara acak, berapa peluang ia memiliki TV atau radio? Penyelesaian : 20 Misalkan A kejadian penduduk yang terpilih memiliki TV maka P ( A) = , B 100 40 dan C kejadian kejadian penduduk yang terpilih memiliki radio maka P ( B ) = 100 15 . Peluang penduduk yang terpilih memiliki TV dan radio maka P ( A ∩ B ) = 100 penduduk yang terpillih memiliki TV atau radio dapat ditentukan sebagai berikut. P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P ( A ∩ B ) 20 40 15 45 + − = 100 100 100 100 Jadi peluang penduduk yang terpilih memiliki TV atau radio adalah 45%. =

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 19

Rangkuman Peluang adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari cara-cara penghitungan derajat keyakinan untuk menentukan terjadi atau tidaknya suatu peristiwa. Dengan kata lain peluang suatu peristiwa merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Konsep peluang berkaitan dengan percobaan atau eksperimen yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti. Percobaan atau eksperimen adalah proses pengumpulan data tentang fenomena tertentu yang menunjukkan adanya variasi di dalam hasilnya. Sedangkan hasil percobaan didefinisikan sebagai hasil yang mungkin terjadi, jika percobaan tersebut dilakukan. Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel atau ruang contoh. Ruang sampel dalam ilmu peluang biasanya dinotasikan dengan huruf S . Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Rumus peluang kejadian A adalah n( A) P( A) = n( S ) dengan n( A) adalah banyaknya anggota kejadian A dan n(S ) adalah banyaknya anggota ruang sampel. Dua kejadian atau lebih dapat digabung menjadi satu kejadian yang disebut kejadian majemuk. Rumus peluang kejadian A ∪ B adalah: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) − P ( A ∩ B)

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi peluang dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Ruang sampel dari percobaan melempar dua mata uang logam adalah ……. A. {A,G} C. {AA, AG, GG} B. {A, G, A, G} D. {AA, AG, GA, GG} 2. Kejadian munculnya sisi gambar dan angka pada percobaan melempar dua mata uang logam dinyatakan oleh ……. A. {G, A} C. {AG} B. {G, A, G, A} D. {AG, GA}

5 - 20

Unit 5

3. Kejadian yang pasti terjadi merupakan ……. A. himpunan bagian dari ruang sampel B. himpunan bagian sejati C. kejadian yang tidak sejati D. kejadian sejati 4. Peluang kejadian yang mustahil adalah ……. 1 C. A. 0 3 1 B. D. 1 2

5. Pada percobaan melempar dadu satu kali, peluang muncul sisi ganjil adalah ……. 1 5 A. C. 6 6 3 7 B. D. 6 6 6. Diketahui percobaan menyusun bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka. Peluang tersusun bilangan yang habis dibagi 5 adalah ……. 90 100 A. C. 450 500 180 200 B. D. 450 500 7. Pada setumpuk kartu bridge, diambil dua kartu sekaligus. Peluang terambil kartu berwarna merah adalah ……. 12 24 A. C. 52 52 13 26 B. D. 52 52 8. Di dalam sebuah kotak terdapat 12 gelas yang terdiri dari 6 gelas berwarna putih, 6 gelas berwarna hijau. Dari kotak tersebut diambil 5 gelas sekaligus. Peluang terambilnya semua gelas berwarna putih adalah ……. 6 720 A. C. 792 792

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 21

B.

6 95040

D.

720 95040

9. Dari soal nomor delapan, peluang terambil 3 gelas putih dan 2 gelas hijau adalah ……. 35 300 A. C. 792 792 150 600 B. D. 792 792 10. Diketahui percobaan melempar dua dadu satu kali. Peluang muncul sisi-sisi dadu yang jumlahnya sama dengan 12 atau yang hasil kalinya sama dengan 12 adalah ....... 5 7 A. C. 36 36 6 8 B. D. 36 36

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

5 - 22

Unit 5

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 9! 3!.4.5.6.7.8.9 1. C. = = 4.5.6.7.8.9 = 60480 . 3! 3! 23! 20!.21.22.23 2. C. = = 21.22.23 = 10626 . 20!(5 − 4)! 20!.1!

3. B. Karena dalam masalah tersebut hadiahnya bernilai sama 4. D. 18! 10! 7!.8.9.10 = 18 C 5 = 10 P3 = (18 − 5)!.5! (10 − 3)! 7! 13!.14.15.16.17.18 = 8.9.10 = 720 = 13!.5! 14.15.16.17.18 = = 8568 1.2.3.4.5 5. D. Banyaknya angka yang tersedia 10 angka. Banyak cara penyusunan telephone ditunjukkan dengan diagram berikut. 9 10 10 10 10 10 Jadi banyak susunan nomor telephone adalah perkalian keenam bilangan pada tabel yaitu 900000 nomor. 6. A. Banyaknya angka yang tersedia adalah 10 angka dan banyaknya angka ganjil adalah 5 angka. Akan disusun bilangan ganjil terdiri dari 4 angka maka angka terakhir merupakan bilangan ganjil. Banyak cara yang mungkin dalam menyusun angka ganjil yang terdiri dari 4 angka ditunjukkan dengan tabel berikut. 9 10 10 5 Jadi banyaknya angka yang mungkin disusun adalah merupakan perkalian bilangan-bilangan di atas yaitu 4500. 7. A. Banyaknya susunan pemenang pada masalah tersebut merupakan masalah permutasi karena masalah tersebut memperhatikan urutan, sehingga diperoleh 15! 13!.14.15 = = 14.15 = 210 15 P3 = (15 − 3)! 13! 8. B. Soal tersebut merupakan masalah kombinasi sehingga diperoleh

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 23

20

C15 =

20! 15!.16.17.18.19.20 = = 15504 (20 − 15)!.15! 15!.5!

9. A. Banyak cara terambil 2 mata uang logam Rp.100,- adalah sama dengan 6! 4!.5.6 = = 5.3 = 15 6 C2 = (6 − 2)!.2! 4!.2! Sedangkan banyak cara terambil satu mata uang logam Rp.500,- adalah sama dengan 4! 3!.4 = =4 4 C1 = (4 − 1)!.1! 3!.1! Jadi banyak cara terambil 2 mata uang logam Rp.100,- dan satu mata uang logam Rp.100,- adalah 15 × 4 = 60. 10. C. Banyak cara menyusun secara berjajar ke-8 bendera tersebut adalah 8! 4!.5.6.7.8 P= = = 420 4!.2!.2! 4!.2.2

Kunci Tes Formatif 2 1. D. 2. D. 3. C. 4. A. 5. B. Banyak anggota ruang sampel adalah 6 dan banyak anggota kejadian 3 muncul sisi ganjil adalah 3, maka peluang kejadian tersebut adalah . 6 6. A. Banyak anggota ruang sampel bisa dihitung dengan menggunakan aturan perkalian berikut ini. 9

10

5

7. Angka pertama dapat diperoleh dari 9 angka yang mungkin (angka nol tidak mungkin), angka kedua dapat diperoleh dari 10 angka yang mungkin, sedangkan angka ketiga dapat diperoleh dari 5 angka yang mungkin (karena ada syarat bahwa bilangan yang dibentuk harus ganjil), maka banyak anggota ruang sampel adalah 9 × 10 × 5 = 450. Selanjutnya akan dihitung banyak anggota kejadian tersusun bilangan yang habis dibagi lima dengan cara yang sama yaitu 9

5 - 24

Unit 5

10

1

8. Perhatikan pada angka ketiga hanya ada satu kemungkinan yaitu angka 5 agar bilangan yang tersusun merupakan bilangan ganjil dan habis dibagi 5. Jadi banyak anggota kejadian tersusun bilangan yang habis dibagi 5 adalah 9 × 10 × 1 = 90. Peluang tersusun bilangan yang habis dibagi lima dari penyusunan 90 bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka adalah . 450 Jumlah setumpuk kartu bridge adalah 52 kartu yang terdiri dari 13 9. D. kartu hati berwarna merah, 13 kartu daun berwarna hitam, 13 kartu diamond berwarna merah dan 13 kartu keriting berwarna hitam. Dari setumpuk kartu tersebut diambil dua kartu sekaligus. Ditanyakan peluang terambil kedua kartu berwarna merah. Banyak kartu merah adalah 26 kartu, maka peluang 26 . terambil 2 kartu merah adalah 52 Banyaknya anggota ruang sampel dapat dihitung dengan 10. A. menggunakan rumus kombinasi yaitu: 12! 7!.8.9.10.11.12 = 12 C 5 = (12 − 5)!.5! 7!.5! 11. 8.9.10.11.12 = = 792 2.3.4.5 12. Selanjutnya banyaknya anggota kejadian terambil 5 gelas putih semua dihitung dengan cara sebagai berikut. 6! 5!.6 = =6 13. 6 C5 = (6 − 5)!.5! 1!.5! 6 . 792 Banyaknya anggota ruang sampel sama dengan nomor 8 yaitu 792. 15. C. Selanjutnya menghitung banyak anggota kejadian terambil 3 gelas putih dan

14. Maka peluang terambil 5 gelas putih adalah

2 gelas hijau adalah 6 C 3 × 6 C 2 . Sehingga diperoleh 6

16.

C3 × 6 C2 =

6!

(6 − 3)!.3!

×

6!

(6 − 2)!.2!

3!.4.5.6 4!.5.6 × 3!.3! 4!.2! 4.5.6 5.6 = × = 300 2.3 2 =

17. Jadi peluang terambil 3 gelas putih dan 2 gelas hijau adalah

300 . 792

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 25

18. A.

Banyak anggota ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu satu

kali adalah 6 × 6 = 36. Misalnya A kejadian muncul sisi-sisi yang jumlahnya 1 . Kemudian 12, maka A = {(6,6)} sehingga peluang kejadian A adalah 36 misalkan B kejadian muncul sisi-sisi yang hasil kalinya sama dengan 12, 4 maka B = {(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)} sehingga peluang kejadian B adalah . 36 Kejadian A dan B saling asing maka peluang kejadian A dan B sama dengan P ( A ∩ B ) = 0 . Dari sini dapat dihitung peluang kejadian munculnya sisi-sisi yang jumlahnya 12 atau yang hasil kalinya sama dengan 12 adalah sebagai berikut. P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P ( A ∩ B ) 19.

5 - 26

=

Unit 5

1 4 5 + −0= 36 36 36

Daftar Pustaka Raharjo, M. 2004. Peluang. [Online]. Tersedia http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMA/peluang.pdf [19 Januari 2007]

di:

Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga Zaki. 2005. Permutasi dan Kombinasi. [Online]. Tersedia di: http://zaki.web.ugm.ac.id/web/zax_files/kuliah/matematika_diskrit/Permutasi_K ombinasi.pdf

Pemecahan Masalah Matematika

5 - 27

Glosarium Faktorial

: Hasil kali bilangan asli secara berurutan dari 1 sampai dengan n atau sebaliknya. Hasil percobaan : Hasil yang mungkin terjadi jika percobaan tersebut dilakukan. Kejadian : Himpunan bagian dari ruang sampel Kombinasi : Pengaturan atau penyusunan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan. Permutasi : Pengaturan atau penyusunan beberapa unsur dengan memperhatikan urutan. Percobaan : Proses pengumpulan data tentang fenomena tertentu yang menunjukkan adanya variasi di dalam hasilnya. Ruang sampel : Himpunan yang menyatakan semua hasil yang mungkin dalam suatu percobaan. Titik sampel : Anggota ruang sampel

5 - 28

Unit 5

Unit

6

PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan

D

alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran, trigonometri maupun peluang. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya langkah-langkah matematis yang kita buat. Unit penalaran matematika akan membahas mengenai penalaran/logika matematika yang terdiri dari konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan kuantifikasi. Setelah Anda mempelajari unit ini, kompetensi yang harus dikuasai adalah Anda mampu menggunakan konsep dasar penalaran matematika dalam menyelesaikan masalah dalam matematika maupun bidang lain yang terkait. Media yang digunakan untuk mempelajari unit ini adalah bahan ajar cetak dan web. Manfaat mempelajari unit ini, selain merupakan prasyarat untuk mempelajari pemecahan masalah matematika dalam unit 9 juga dapat digunakan dalam penalaran di bidang ilmu lain di luar matematika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu subunit pengantar logika dan pernyataan berkuantor. Agar Anda dapat menguasai materi ini dengan baik dan benar, kajilah materi dalam subunit ini sampai tuntas. Diskusikan dengan teman, hal-hal yang Anda anggap sulit melalui email atau chatting. Setelah Anda selesai mengkaji, ujilah tingkat penguasaan Anda terhadap materi subunit ini dengan mengerjakan tes formatif. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, janganlah segan untuk mempelajari kembali materi tersebut, terutama pada bagian-bagian yang Anda anggap sulit. Bertanyalah pada orang yang Anda anggap mampu dan bersedia membantu Anda, jika Anda mengalami kesulitan.

Selamat belajar, semoga Anda sukses.

Pemecahan Masalah Matematika

6- 1

Subunit 1 Pengantar Logika

S

ubunit ini akan membahas mengenai obyek logika yaitu pernyataan dan bagaimana menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan yang didasarkan pada teori korespondensi dan koherensi. Materi berikutnya adalah mengenai komposisi pernyataan dan nilai kebenarannya. Sifat-sifat operasi logika termasuk beberapa ekuivalensi juga dibahas dalam subunit ini. Silahkan Anda mulai mempelajari unit ini dengan sungguh-sungguh dengan mengkaji definisi dan obyek logika berikut ini. Logika merupakan salah satu ilmu yang penting untuk dipelajari. Aplikasi logika seringkali ditemukan tidak hanya dalam bidang matematika tetapi juga dalam ilmu-ilmu lain meskipun tidak secara formal disebut belajar logika. Logika dalam matematika digunakan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer digunakan untuk menguji kebenaran dari program, dalam ilmu pengetahuan alam digunakan untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen dan dalam ilmu sosial digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam kehidupan seharihari. Pengertian logika dirumuskan oleh para ahli dengan rumusan yang berbedabeda, tetapi arti dan maknanya tidak jauh berbeda. Salah satunya menurut Soekadijo, logika adalah suatu studi yang sistematik tentang struktur pernyataan dan syaratsyarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesampingkan isi atau bahan pernyataan dan hanya membahas bentuk logisnya saja. Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan dan hanya melihat bentuknya saja terutama pada saat penalaran, sering dikenal dengan istilah logika formal, logika simbolik, logika modern, atau logika matematika. Salah satu ciri dari logika matematika adalah penalarannya berdasarkan penalaran deduktif. Penalaran ini akan dibahas lebih lanjut pada unit 7. Dengan melihat definisi di atas, menurut Anda, apa yang akan kita pelajari dalam logika? Dikatakan bahwa logika merupakan studi tentang struktur pernyataan. Jadi dalam logika, obyek yang dibicarakan adalah pernyataan. Pernyataan yang bagaimanakah? Setiap ilmuwan akan berusaha menghasilkan teori yang benar. Suatu teori tidak akan berarti jika tidak bernilai benar. Oleh karena itu benar tidaknya suatu pernyataan yang memuat teori menjadi hal penting untuk dibicarakan. Jadi dalam logika, kita mengesampingkan isi atau arti dari pernyataan tetapi yang kita pelajari 6 – 2 Unit 6

adalah benar atau salah suatu pernyataan dan bagaimana menentukan kebenaran pernyataan tersebut. Bagaimana kriteria kebenaran yang digunakan dalam logika? Teori yang terkait dengan kebenaran ini adalah teori korespondensi dan teori koherensi. Teori korespondensi menyatakan bahwa suatu pernyataan bernilai benar jika hal-hal yang termuat dalam pernyataan tersebut sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya. Misalnya “Ibukota propinsi Jawa Timur adalah Surabaya”. Pernyataan tersebut bernilai benar karena sesuai dengan kenyataan. Teori-teori dalam bidang IPA banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Sedangkan pada matematika, teori tidak hanya berdasarkan fakta semata tetapi juga berdasarkan pada rasio dan aksioma. Dari sini muncul teori koherensi. Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat bernilai benar jika pernyataan yang termuat dalam kalimat tersebut bersifat koheren, konsisten atau tidak bertentangan dengan pernyataanpernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Misalnya “Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180 0 ”. Kalimat ini bernilai benar karena kalimat tersebut konsisten dengan aksioma yang telah disepakati kebenarannya dan konsisten dengan teorema atau dalil sebelumnya yang telah terbukti benar. Berdasarkan uraian di atas, obyek di dalam logika adalah kalimat atau pernyataan yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Setiap pernyataan adalah kalimat tetapi sebuah kalimat belum tentu merupakan pernyataan. Kalimatkalimat yang bersifat ”menerangkan sesuatu” atau disebut juga kalimat deklaratif saja yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Jadi pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Istilah pernyataan disebut juga proposisi atau kalimat tertutup. Berikut ini contoh pernyataan dan bukan pernyataan. Contoh : 1. x + 2 = 8 adalah kalimat dengan variabel x. 2. ”Ini warna favorit saya” adalah kalimat dengan variabel ”ini”. 3. Donal bebek adalah salah satu tokoh kartun. 4. Segilima mempunyai tepat 4 sisi. Kalimat pada contoh 1 dan 2, merupakan contoh kalimat yang bukan pernyataan karena kita tidak dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat tersebut. Kalimat tersebut memuat variabel. Kalimat jenis ini disebut kalimat terbuka. Bagaimanakah cara menentukan nilai kebenarannya? Jika variabel pada kalimat tersebut diganti dengan hal tertentu, maka nilai kebenaran kalimat terbuka tersebut dapat ditentukan. Misalnya pada kalimat pertama yaitu ” x + 2 = 8 ”, nilai x diganti dengan bilangan 6 maka diperoleh kalimat 6 + 2 = 8 yang benar. Pada contoh kedua, variabel ”ini” diganti dengan ”ungu” maka diperoleh kalimat ”Ungu adalah warna favorit saya”. Pemecahan Masalah Matematika

6- 3

Jika benar bahwa ungu adalah warna favorit saya maka kalimat tersebut adalah benar, sebaliknya jika tidak, kalimat tersebut salah. Pada contoh 3 dan 4, kita dapat menentukan nilai kebenarannya. Kalimat pada contoh ke-3 benar karena sesuai dengan kenyataannya, sedangkan kalimat pada contoh keempat salah karena bertentangan dengan aturan yang menyatakan bahwa segilima mempunyai tepat 5 sisi. Contoh kalimat lain yang bukan merupakan pernyataan dalam logika adalah ”Mudah-mudahan hari ini tidak hujan” dan ”Tolong buka pintu itu!”. Pernyataanpernyataan tersebut merupakan kalimat yang memuat harapan dan kalimat permintaan yang tidak dapat ditentukan benar atau salah. Jika suatu pernyataan adalah benar maka dikatakan pernyataan itu bernilai benar. Demikian juga jika pernyataan tersebut salah maka dikatakan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah. Menurut definisi logika yang telah dikemukakan di atas, maka yang akan kita pelajari adalah bentuk logis dari pernyataan-pernyataan dan tidak melihat isi atau arti pernyataan tersebut. Oleh karena itu kita membutuhkan notasi agar lebih mudah melihat bentuk logis dari suatu pernyataan. Pada logika sebarang pernyataan disajikan dengan menggunakan notasi p, q, r, s, dan lain sebagainya. Contoh : 1. p: Bilangan 19 adalah prima 2. q: Jika x = 3 maka 2 x = 6 3. r: Kapur berwarna putih 4. : Saat ini di ruang sebelah sedang berlangsung kuliah matematika Contoh satu sampai dengan tiga dapat segera ditentukan benar atau salah, sedangkan contoh keempat memerlukan observasi untuk menentukan apakah pernyataan itu benar atau salah. Pernyataan yang dapat langsung ditentukan nilai kebenarannya disebut pernyataan absolut/mutlak. Sedangkan pernyataan yang tidak dapat ditentukan kebenarannya secara langsung disebut pernyataan empirik. Dalam subunit ini kita hanya akan membicarakan pernyataan yang absolut saja. Selanjutnya kita akan mempelajari komposisi pernyataan. Dalam kehidupan sehari-hari, terkadang kita harus membuat pernyataan baru yang menunjukkan pengingkaran dengan menggunakan kata ”tidak benar”. Selain itu juga sering kita harus menggabungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata penghubung ”dan”, ”atau”, ”Jika...maka...” maupun ”...jika dan hanya jika...”. Jadi pernyataan dapat berupa pernyataan tunggal atau majemuk. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya. Sedangkan pernyataan majemuk adalah pernyataan yang merupakan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal. Jadi pernyataan majemuk merupakan komposisi dari beberapa

6 – 4 Unit 6

pernyataan tunggal yang diperoleh dengan cara menggabungkan pernyataanpernyataan dengan menggunakan kata perangkai atau penghubung. Kata perangkai atau penghubung dalam logika sering juga disebut operasi-operasi logika. Dengan menggunakan kata-kata perangkai tersebut diperoleh 5 macam komposisi pernyataan dalam logika yaitu ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Berikut merupakan uraian dari komposisi pernyataan-pernyataan tersebut.

1. Ingkaran Ingkaran dalam logika merupakan pernyataan yang dibentuk dengan meletakkan kata ”tidak benar” pada pernyataan semula. Di beberapa buku, ingkaran juga disebut negasi. Ingkaran suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang merupakan kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Jika pernyataan bernilai benar maka ingkaran pernyataan tersebut bernilai salah, demikian sebaliknya. Notasi atau simbol operasi ingkaran adalah ” ∼”. Contoh : Tidak benar bahwa ibukota Indonesia adalah Jakarta. Jika p : Ibukota Indonesia adalah Jakarta maka kalimat “Tidak benar bahwa ibukota Indonesia adalah Jakarta” merupakan negasi atau ingkaran dari pernyataan p dan dinotasikan dengan ∼p. Pernyataan ∼p juga dapat dinyatakan dengan pernyataan “Ibukota Indonesia bukan Jakarta”. Pada contoh tersebut nilai kebenaran dari pernyataan p adalah benar sehingga pernyataan ∼p bernilai salah. Bagaimana Saudara, apakah Anda sudah memahami uraian di atas? Untuk lebih jelasnya Anda bisa membaca tabel kebenaran dan contoh berikut ini. Tabel kebenaran adalah sebuah tabel yang menyatakan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yang diperoleh dari nilai kebenaran yang mungkin dari setiap pernyataan yang membentuknya. Tabel 6.1 Tabel Kebenaran Ingkaran p ∼p B S

S B

Pemecahan Masalah Matematika

6- 5

2. Konjungsi Konjungsi merupakan komposisi pernyataan yang terbentuk dengan menggabungkan dua pernyataan dan menggunakan kata perangkai ”dan”. Konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan yang membentuknya bernilai benar. Kata perangkai ”dan” dinotasikan dengan ” ∧ ”. Contoh : Sinta makan nasi dan minum teh. Kalimat ini bernilai benar jika Sinta makan nasi dan sekaligus minum teh. Jika p : Sinta makan nasi dan q : Sinta minum teh maka p ∧ q : Sinta makan nasi dan minum teh bernilai benar. Berikut ini tabel kebenaran dari konjungsi. Tabel 6.2 Tabel Kebenaran Konjungsi p∧q p q B B B B S S S B S S S S Kata penghubung dalam konjungsi disebut juga kata penghubung penyertaan, karena harus menyertakan semua komponen-komponennya. Dalam kehidupan sehari-hari, kata penghubung yang mempunyai arti sama dengan ”dan” antara lain ”yang”, ”tetapi”, ”meskipun”, ”maupun”.

3. Disjungsi Disjungsi merupakan komposisi pernyataan yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan dengan kata penghubung ”atau”. Notasi untuk kata perangkai ”atau” adalah ” ∨ ”. Contoh : Sinta makan nasi atau minum teh. Dari kalimat ini ada empat kemungkinan yang terjadi yaitu (1) Sinta benar makan nasi dan juga minum teh. Jika ini kenyataannya maka pernyataan ”Sinta makan nasi atau minum teh” bernilai benar. (2) Sinta makan nasi tetapi tidak minum teh. Jika ini kenyataannya maka pernyataan ”Sinta makan nasi atau minum teh” bernilai benar karena Sinta makan nasi walaupun tidak minum teh. (3) Sinta tidak makan nasi tetapi minum teh. Jika ini kenyataannya maka pernyataan ”Sinta makan nasi atau minum teh” bernilai benar karena Sinta minum teh walaupun tidak makan nasi.

6 – 6 Unit 6

(4) Sinta tidak makan nasi dan tidak minum teh. Jika ini kenyataannya maka pernyataan ”Sinta makan nasi atau minum teh” bernilai salah karena tidak sesuai kenyataannya. Berdasarkan uraian di atas, disjungsi bernilai benar jika salah satu atau kedua pernyataan yang membentuknya bernilai benar. Dengan kata lain, disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan yang membentuknya bernilai salah. Hal ini ditunjukkan oleh tabel kebenaran berikut ini. Tabel 6.3 Tabel Kebenaran Disjungsi p∨q p q B B B B S B S B B S S S Disjungsi disebut juga alternatif karena cukup salah satu saja komponen yang benar maka disjungsinya benar.

4. Implikasi Implikasi adalah komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai ”jika...maka...”. Lambang yang digunakan untuk menyatakan implikasi adalah ” p → q ”. Pernyataan pertama disebut anteseden atau syarat dan pernyataan kedua disebut akibat atau konsekuen. Implikasi bernilai salah jika anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah. Nilai kebenaran yang mungkin untuk implikasi ditunjukkan oleh tabel berikut ini. Tabel 6.4 Tabel Kebenaran Implikasi p→q p q B B B B S S S B B S S B

Contoh : p : Segitiga ABC sama kaki q : Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang besarnya sama

Pemecahan Masalah Matematika

6- 7

p → q : Jika segitiga ABC sama kaki maka segitiga ABC mempunyai dua sudut yang besarnya sama. Pada implikasi di atas yang menjadi anteseden adalah pernyataan ” Segitiga ABC sama kaki”, sedangkan yang menjadi konsekuennya adalah pernyataan ” Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang besarnya sama”. Bagaimana dengan nilai kebenaran pernyataan p → q ? Jika segitiga ABC benar sama kaki maka segitiga tersebut mempunyai dua sudut yang sama besar. Jadi p dan q keduanya bernilai benar maka nilai kebenaran pernyataan di atas adalah benar. Jika segitiga ABC bukan sama kaki maka pasti pernyataan p → q di atas benar walaupun kita tidak tahu apakah q bernilai benar atau salah. Sepintas penetapan nilai kebenaran untuk keadaan ketiga yaitu anteseden salah, konklusi benar maka implikasinya benar, kelihatannya janggal dan tidak sesuai dengan kondisi real. Tetapi jika dipikirkan lebih mendalam, sebenarnya tidak terjadi pertentangan antara nilai kebenaran yang didefinisikan tabel kebenaran di atas dengan logika secara umum dan penetapan nilai kebenaran ini menjadi masuk akal. Untuk memperjelas hal ini, Anda bisa mengkaji contoh berikut. Contoh : Seseorang berjanji kepada temannya : ”Jika hari tidak hujan maka saya akan datang”. Menurut Anda kapan orang tersebut dikatakan ingkar janji? Pasti Anda akan menjawab bahwa orang tersebut dikatakan ingkar janji jika hari tidak hujan tetapi dia tidak datang. Jadi orang tersebut ingkar janji jika dia dalam keadaan itu saja. Ini berarti untuk tindakan yang lain dia tidak dapat dipersalahkan. Jadi secara umum kita menentukan nilai kebenaran dari suatu implikasi berdasarkan definisi tanpa memperhatikan hubungan antara anteseden dan konklusi. Oleh karena itu implikasi dengan penentuan nilai kebenaran seperti itu disebut implikasi material atau implikasi formal.

6 – 8 Unit 6

5. Biimplikasi Biimplikasi merupakan komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai ”jika dan hanya jika”. Kata perangkai tersebut dinotasikan dengan lambang ” ↔ ”. Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang membentuknya, kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Untuk lebih jelasnya, Anda dapat melihat tabel di bawah ini. Tabel 6.5 Tabel Kebenaran Biimplikasi p↔q p q B B B B S S S B S S S B Contoh : Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang. Jika p : suatu segitiga adalah segitiga sama sisi dan q : ketiga sisi segitiga sama panjang maka pernyataan majemuk di atas dapat dinyatakan dengan simbol p ↔ q .

Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami konsep yang telah kita pelajari di atas? Silahkan Anda mengerjakan contoh-contoh soal berikut ini guna memantapkan pemahaman materi yang sudah Anda peroleh. 1. Di antara kalimat-kalimat berikut ini, manakah yang merupakan pernyataan? a. 2 + 3 = 7 b. Buka buku pelajaran Matematika halaman 12 c. 5 + 7 < 10 d. Bulan merupakan satelit bumi e. x + 5 > 9 untuk setiap x bilangan real 2. Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Ibu kota negara Jepang adalah Tokyo. b. 3 + 5 = 7. c. Pada saat kemarau, suhu di Jakarta panas sekali.

d. 2 × 5 = 10.

Pemecahan Masalah Matematika

6- 9

3. Diketahui : p : Jakarta adalah ibu kota negara Indonesia q : 3 + 4 = 10 r : Persegi panjang adalah suatu persegi s : Bilangan 7 merupakan bilangan ganjil t : Bilangan 8 merupakan bilangan genap Tuliskan komposisi pernyataan di bawah ini dengan kalimat, kemudian tentukan nilai kebenarannya. a. p ∧ r b. q ∨ s c. r → s d. s ↔ t

Pedoman Jawaban Latihan Apakah Anda mengalami kesulitan dalam mengerjakan latihan di atas? Silahkan cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan latihan berikut ini. 1. a. Kalimat 2 + 3 = 7 bernilai salah, maka 2 + 3 = 7 merupakan pernyataan. b. Kalimat ”Buka buku pelajaran Matematika halaman 12” merupakan kalimat perintah yang tidak dapat ditentukan benar atau salah. Jadi kalimat ini bukan pernyataan. c. Kalimat 5 + 7 < 10 merupakan pernyataan yang bernilai salah. d. Kalimat ” Bulan merupakan satelit bumi” merupakan pernyataan yang bernilai benar. 2. Ingkaran dari pernyataan-pernyataan pada soal nomor 2 adalah: a. Ibu kota negara Jepang bukan Tokyo. b. 3 + 5 ≠ 7 . c. Tidak benar bahwa pada saat kemarau, suhu di Jakarta panas sekali. d. 2 × 5 ≠ 10 3. a. p ∧ r : Jakarta adalah ibu kota negara Indonesia dan persegi panjang adalah suatu persegi. Pernyataan ini merupakan pernyataan bentuk konjungsi karena menggunakan kata penghubung ”dan”. Menurut definisi kebenaran konjungsi atau dengan melihat tabel kebenaran konjungsi, pernyataan tersebut bernilai salah karena salah satu komponen pembentuknya yaitu pernyataan ke-2 bernilai salah. b. q ∨ s : 3 + 4 = 10 atau bilangan 7 merupakan bilangan ganjil.

6 – 10 Unit 6

Pernyataan ini merupakan disjungsi karena menggunakan kata penghubung ”atau”. Menurut tabel kebenaran disjungsi, pernyataan tersebut bernilai benar karena salah satu komponen pembentuknya bernilai benar. c. r → s : Jika persegi panjang adalah suatu persegi maka bilangan 7 merupakan bilangan ganjil. Pernyataan ini merupakan implikasi karena menggunakan kata penghubung ”jika... maka...”. Anteseden dari implikasi bernilai salah sedangkan konklusinya bernilai benar maka implikasi tersebut bernilai benar. d. s ↔ t : Bilangan 7 merupakan bilangan ganjil jika dan hanya jika bilangan 8 merupakan bilangan genap. Pernyataan ini merupakan biimplikasi karena menggunakan kata penghubung ”jika dan hanya jika”. Setiap komponen yang membentuk pernyataan ini bernilai benar maka biimplikasi tersebut bernilai benar. Susunan pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai hasil operasi dari beberapa pernyataan dengan kata penghubung sebagai operasinya di mana kesamaan dalam logika dikenal dengan nama ekuivalensi dan dinotasikan dengan ” ≡ ”. Operasi beserta pernyataannya tersebut dikenal dengan istilah aljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan. Berikut ini diberikan definisi ekuivalensi. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyatan-pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap keadaan komponennya. Jadi pernyataan-pernyatan yang dibandingkan mungkin tidak sama tetapi nilai kebenarannya sama. Contoh : p ∧ q ≡ q ∧ p Nilai kebenaran konjungsi di ruas kiri sama dengan nilai kebenaran konjungsi di ruas kanan. Jika melihat contoh di atas, apa yang dapat Anda amati? Jika kita anggap notasi ∧ analog dengan operasi penjumlahan pada bilangan dimana penjumlahan bersifat komutatif, apa yang dapat kita simpulkan? Seperti operasi hitung bilangan, pada operasi logika juga berlaku sifat-sifat seperti pada operasi hitung bilangan antara lain sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Untuk lebih jelasnya, berikut ini kita akan membahas beberapa sifat dasar aljabar pernyataan yang sering digunakan dalam penalaran. Sifat-sifat ini dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebenaran dari bentuk aljabar yang bersangkutan. Selain itu, sifat-sifat tersebut juga dapat digunakan untuk membuktikan ekuivalensi yang lain. Pembuktian dengan cara ini akan dibahas pada unit yang lain. Pemecahan Masalah Matematika

6 - 11

Untuk setiap pernyataan p dan q berlaku sifat-sifat berikut. 1. Komutatif a. p ∧ q ≡ q ∧ p b. p ∨ q ≡ q ∨ p 2. Assosiatif a. ( p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r ) b. ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r ) 3. Distributif a. ( p ∧ q ) ∨ r ≡ ( p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ) b. ( p ∨ q) ∧ r ≡ ( p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ) 4. Aturan De Morgan a. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q b. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q Kita akan membuktikan salah satu sifat di atas dengan menggunakan tabel kebenaran. Sifat yang tidak dibuktikan dalam unit ini, silahkan Anda buktikan sendiri. Kita akan membuktikan aturan De Morgan seperti berikut ini.

p

Tabel 6.6 Tabel Kebenaran Aturan De Morgan p∧q q ∼p ∼q ∼(p ∧ q)

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B S S S

S B B B

∼p ∨ ∼q

S B B B

Nilai kebenarannya sama Pada kolom ke-6 dan ke-7 nilai kebenaran yang diperoleh sama maka dapat dikatakan bahwa ∼(p ∧ q) ekuivalen dengan ∼p ∨ ∼q. Selanjutnya diberikan beberapa ekuivalensi yang penting karena ekuivalensi tersebut banyak digunakan dalam penarikan kesimpulan yang dibahas pada unit ke 7. 1. p → q ≡ ∼p ∨ q 2. p → q ≡ ∼q → ∼p Untuk membuktikan ekuivalensi di atas, diserahkan kepada Anda. Seperti dalam pengerjaan operasi hitung pada bilangan yang memuat beberapa operasi hitung, ada aturan urutan dalam pengerjaannya. Pada pengerjaan operasi hitung bilangan, urutan pengerjaannya adalah yang pertama tanda kurung, 6 – 12 Unit 6

kemudian perkalian atau pembagian, dan selanjutnya penjumlahan atau pengurangan. Sedangkan urutan dalam menentukan nilai kebenaran suatu komposisi pernyataan adalah sebagai berikut. 1. Tanda kurung 2. Ingkaran 3. Konjungsi 4. Disjungsi 5. Implikasi 6. Biimplikasi Untuk menjelaskan hal tersebut kita dapat mengkaji contoh berikut ini. Contoh : Diketahui p dan q pernyataan-pernyataan yang benar sedangkan s dan t pernyataan-pernyataan yang salah. Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ∼p ↔ q ∨ s → ∼t ∧ ∼p. Penyelesaian : Kita buat tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut sebagai berikut. p

q

s

Tabel 6.7 Tabel Kebenaran Pernyataan ∼p ↔ q ∨ s → ∼t ∧ ∼p t ∼p ∼t ∼t ∧ ∼p q ∨ s q ∨ s → ∼t ∧ ∼p ∼p ↔ q ∨ s → ∼t ∧ ∼p

B B S S

S

B

S

B

S

B

Anda dapat melihat bahwa penentuan nilai kebenaran dalam tabel di atas menggunakan urutan pengerjaan. Jadi pernyataan ∼p ↔ q ∨ s → ∼t ∧ ∼p bernilai benar jika p dan q pernyataan-pernyataan yang benar sedangkan s dan t pernyataanpernyataan yang salah.

Rangkuman Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih atau tidak sahih. Proses berpikir yang terjadi pada saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang dianggap benar disebut dengan penalaran. Dalam logika kita tidak mempelajari arti dari kalimat atau pernyataan tetapi yang kita pelajari adalah benar atau salah suatu kalimat dan bagaimana menentukan kebenaran kalimat tersebut. Kriteria kebenaran suatu kalimat yang digunakan terkait dengan teori korespondensi dan teori koherensi. Pernyataan dalam logika didefinisikan sebagai kalimat tertutup yang dapat diberi nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya. Pernyataan dapat berupa pernyataan

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 13

yang diperoleh dengan cara menggabungkan pernyataan-pernyataan dengan menggunakan kata perangkai atau penghubung. Kata perangkai atau penghubung dalam logika sering juga disebut operasi-operasi logika. Dengan menggunakan kata-kata perangkai tersebut diperoleh 5 macam komposisi pernyataan dalam logika yaitu ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Ingkaran atau negasi merupakan pernyataan yang dibentuk dengan meletakkan kata ”tidak benar” pada pernyataan semula. Ingkaran dari pernyataan p dan dinotasikan dengan ∼p. Ingkaran suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang merupakan kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Konjungsi merupakan komposisi pernyataan yang terbentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menggunakan kata perangkai ”dan”. Kata perangkai ”dan” dinotasikan dengan ” ∧ ”. Konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan yang membentuknya bernilai benar. Disjungsi merupakan komposisi pernyataan yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan dengan kata penghubung ”atau”. Notasi untuk kata perangkai ”atau” adalah ” ∨ ”. Disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan yang membentuknya bernilai salah. Implikasi adalah komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai ”jika...maka...”. Lambang yang digunakan untuk menyatakan implikasi adalah ” p → q ”. Pernyataan yang pertama disebut anteseden atau syarat dan pernyataan kedua disebut akibat atau konsekuen. Implikasi bernilai salah jika anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah. Biimplikasi merupakan komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai ”jika dan hanya jika”. Kata perangkai tersebut dinotasikan dengan lambang ” ↔ ”. Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang membentuknya, kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pada operasi logika berlaku sifat-sifat komutatif, assosiatif, distributif, dan Aturan De Morgan. tunggal atau majemuk. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya. Sedangkan pernyataan majemuk merupakan komposisi dari beberapa pernyataan tunggal

6 – 14 Unit 6

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pengantar logika dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Berikut ini yang merupakan pernyataan adalah ……. A. Saya harap saya menang undian C. Untuk setiap x berlaku 2x = 5 B. Apa yang Anda suka? D. 3 − 5 > 0 2. Kalimat “ Tidak semua binatang adalah kambing” merupakan ……. A. pernyataan tunggal C. kalimat terbuka B. pernyataan majemuk D. bukan pernyataan 3. Contoh pernyataan absolut ditunjukkan oleh ……. A. Jakarta diguyur hujan deras selama tiga hari berturut-turut B. Pulau Kalimantan merupakan pulau terkaya di Indonesia C. Ibu sedang memasak di dapur D. Air adalah benda padat 4. Suatu pernyataan majemuk bernilai salah jika kedua komponen yang membentuknya bernilai salah. Pernyataan tersebut merupakan definisi nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang berbentuk ……. A. konjungsi C. implikasi B. disjungsi D. biimplikasi 5. Diketahui s : Angin bertiup dan t : Cuaca cerah. Kalimat yang dilambangkan dengan s ∨ ∼t adalah ……. A. Angin bertiup dan cuaca tidak cerah B. Angin bertiup tetapi cuaca tidak cerah C. Angin bertiup atau cuaca tidak cerah D. Angin bertiup sehingga cuaca tidak cerah 6. Jika p : Jumlah dua bilangan ganjil adalah genap dan q : Bilangan 7 bukan bilangan prima, maka pernyataan majemuk berikut ini yang bernilai benar adalah ……. A. p ∧ q C. p → q B. ∼(p ∨ q)

D. ∼p ↔ q

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 15

7. Diketahui pernyataan “Jika 5 bilangan prima maka 3 bukan bilangan prima” ekuivalen dengan pernyataan ……. A. Jika 3 bilangan prima maka 5 bukan bilangan prima B. Jika 5 bilangan prima maka 3 bukan bilangan prima C. Jika 3 bukan bilangan prima maka 5 merupakan bilangan prima D. Jika 5 bukan bilangan prima maka 3 merupakan bilangan prima 8. Jika diketahui pernyataan “Tidak benar bahwa segitiga mempunyai tepat 4 sisi atau tiga sudut“ ekuivalen dengan pernyataan “Segitiga tidak mempunyai tepat 4 sisi dan tidak mempunyai tiga sudut”. Hal ini merupakan salah satu sifat operasi logika, yaitu ……. A. asosiatif C. komutatif B. distributif D. Aturan De Morgan 9. Pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ……. A. Jika 5 + 3 = 8 maka 5.3 = 10 B. Jika 5 + 3 = 8 maka 5.3 = 15 C. 5 + 3 = 8 dan 5.3 = 15 D. 5 + 3 = 8 atau 5.3 = 10 10. Jika pernyataan p dan q bernilai benar, sedangkan pernyataan s bernilai salah maka pernyataan majemuk yang bernilai salah berikut ini adalah ……. A. (s ∨ p ) → q

C. ( p → q ) ∧ s

B. s → ( p ∧ q )

D. (s → p ) ∧ q

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan Tes Formatif 1, bandingkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika dapat menjawab dengan benar minimal 80% pertanyaan dalam tes formatif tersebut, maka Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat untuk Anda, silahkan berlanjut mempelajari subunit berikutnya. Sebaliknya, bila jawaban yang benar kurang dari 80%, silahkan pelajari kembali uraian yang terdapat dalam subunit sebelumnya, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

6 – 16 Unit 6

Subunit 2 Pernyataan Berkuantor

P

ada subunit 2 ini, materi yang dibahas adalah pernyataan-pernyataan berkuantor yang terdiri dari kuantor universal dan eksistensial. Materi lain yang dibahas adalah menentukan diagram Venn untuk menyatakan suatu pernyataan berkuantor, dan negasi pernyataan berkuantor. Menurut Anda apakah kuantor itu? Untuk menjelaskan konsep kuantor, perhatikan tiga kalimat berikut ini. 1. 3 + 4 = 6 2. x 2 − 5 x + 6 = 0, x ∈ A

3. 2 x + 5 > 4, x ∈ A Dari ketiga kalimat di atas hanya kalimat pertama saja yang dapat Anda tentukan nilai kebenarannya. Kalimat kedua dan ketiga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya jika variabel pada kalimat tersebut belum diganti dengan salah satu anggota semesta pembicaraan. Oleh karena itu seperti yang telah dikemukakan di subunit 1, kalimat seperti ini disebut kalimat terbuka. Jika pada kedua kalimat tersebut ditambahkan kata-kata “untuk setiap x….”, “terdapat x …” atau “tidak ada x …”, sehingga kalimat terbuka di atas menjadi kalimat seperti berikut ini. 1. Untuk setiap bilangan asli x berlaku x 2 − 5 x + 6 = 0 . 2. Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga x 2 − 5 x + 6 = 0 . 3. Tidak ada x yang memenuhi x 2 − 5 x + 6 = 0 . Dengan penambahan kata-kata tersebut, ternyata kita dapat menentukan nilai kebenaran kalimat itu. Kata-kata yang kita pakai agar sebuah kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan disebut kuantor. Kuantor di sini terkait dengan banyaknya pengganti nilai x yaitu setiap atau semua x, beberapa atau terdapat ataupun tidak ada, sehingga diperoleh pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya. Jadi secara singkat kuantor adalah suatu ucapan yang dibubuhkan pada kalimat terbuka sedemikian sehingga mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi kalimat tertutup atau pernyataan. Pada dasarnya ada dua jenis kuantor yang dipakai yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kita akan membahas jenis kuantor tersebut satu persatu.

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 17

Kuantor universal adalah kuantor yang dinyatakan dengan menggunakan kata setiap atau semua. Lambang kuantor universal adalah ∀ dibaca “untuk setiap…”. Misal P(x) suatu kalimat terbuka. Pernyataan ∀x P( x) dibaca ”Untuk setiap x berlaku P (x) ”. Berikut ini contoh dan penjelasan mengenai pernyataan yang memuat kuantor universal. Contoh : Misal diketahui kalimat terbuka P ( x) : x + 3 > 5 . Pada kalimat tersebut dibubuhkan kuantor universal untuk setiap x bilangan real ( x ∈ ℜ ) maka diperoleh

∀x P( x) yang berarti (∀x)( x + 3 > 5) . Kalimat (∀x)( x + 3 > 5) merupakan kalimat tertutup atau pernyataan karena dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan ini bernilai salah sebab jika dimisalkan x = 0 diperoleh pernyataan yang salah yaitu 0 + 3 > 5 . Pengambilan contoh seperti di atas yang membuat pernyataan berkuantor menjadi bernilai salah disebut counterexample. Pernyataan berkuantor dapat ditunjukkan dengan diagram Venn yang ditemukan oleh John Venn, seorang matematikawan Inggris yang menerbitkan buku tentang logika simbolik pada tahun 1881. Misal pernyataan berkuantor “Semua artis adalah cantik” di mana pernyataan tersebut bernilai benar. Pernyataan tersebut menjelaskan bahwa ada himpunan artis dan himpunan manusia cantik. Himpunan artis harus termuat dalam himpunan manusia cantik. Jika A himpunan artis dan C himpunan manusia cantik maka pernyataan “semua artis adalah cantik” dapat dinyatakan sebagai A ⊂ C dan himpunan semestanya adalah M himpunan semua manusia sehingga diagram Venn yang diperoleh adalah

Gambar 6.1 Diagram Venn untuk Menunjukkan Pernyataan Kantor Universal Berdasarkan diagram Venn, apakah Anda dapat melihat bahwa suatu pernyataan berkuantor dapat diubah menjadi pernyataan implikasi? Pada contoh kalimat “Semua artis adalah cantik” ekuivalen dengan implikasi “Jika x adalah artis maka x cantik”. Kuantor eksistensial adalah kuantor yang dinyatakan dengan menggunakan kata terdapat, ada beberapa atau sekurang-kurangnya satu. Lambang kuantor

6 – 18 Unit 6

eksistensial adalah ∃ dibaca “terdapat …”, “ada beberapa…” atau “sekurangkurangnya satu …”. Misal P(x) suatu kalimat terbuka. Pernyataan ∃x P( x) dibaca ”Ada x sedemikian sehingga berlaku P (x) ”. Berikut ini contoh dan penjelasan mengenai pernyataan yang memuat kuantor eksistensial. Contoh : Jika kalimat terbuka x + 3 > 5 dibubuhkan kuantor eksistensial maka diperoleh (∃x)( x + 3 > 5) dibaca ”Sekurang-kurangnya ada satu x yang memenuhi x + 3 > 5 ”. Pernyataan ini bernilai benar karena dengan mengambil x = 4 diperoleh pernyataan yang benar yaitu 4 + 3 > 5 . Kita akan kaji pernyataan berkuantor yang ditunjukkan dengan diagram Venn berikut ini. Pernyataan “Ada pria yang baik” menunjukkan bahwa ada himpunan pria dan himpunan manusia yang baik. Jika pernyataan tersebut bernilai benar maka dapat ditarik kesimpulan bahwa ada manusia yang merupakan anggota himpunan pria dan juga anggota himpunan manusia baik. Jadi kedua himpunan tersebut tidak saling asing. Misalkan Himpunan semestanya adalah himpunan manusia yang dilambangkan dengan M,P himpunan pria, dan B himpunan manusia baik maka diperoleh diagram Venn sebagai berikut.

Gambar 6.2 Diagram Venn yang Menunjukkan Pernyataan Kuantor Eksistensial Diagram di atas menunjukkan bahwa P ∩ B ≠ ∅ maka pernyataan “Ada pria yang baik” dapat diubah menjadi pernyataan konjungsi yaitu pernyataan “Ada x sedemikian sehingga x adalah pria dan x baik”. Selanjutnya kita akan mempelajari ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut ini. Dalam subunit 1 telah dikatakan bahwa negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Hal ini juga berlaku pada pernyataan berkuantor. Untuk memahami materi ini, kita akan tinjau pengertian negasi pernyataan pada contoh-contoh berikut ini. Contoh : Jika diketahui pernyataan berkuantor p : Semua bilangan asli adalah bilangan bulat. Pernyataan ini bernilai benar untuk semua x bilangan asli. Negasi dari pernyataan tersebut adalah ∼p: Tidak benar bahwa semua bilangan asli adalah

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 19

bilangan bulat. Pernyataan ini berarti bahwa sekurang-kurangnya ada satu bilangan asli yang bukan bilangan bulat. Pernyataan ∼p ini bernilai salah. Berikut ini diberikan contoh lain dari ingkaran pernyataan berkuantor dengan menggunakan diagram Venn untuk menunjukkan pernyataan berkuantor tersebut. Contoh : Diberikan pernyataan berkuantor “Tiada siswa yang senang mendapat nilai jelek”, di mana pernyataan tersebut bernilai benar. Jika S himpunan siswa dan J himpunan manusia yang senang mendapat nilai jelek, maka pernyataan tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram Venn sebagai berikut.

Gambar 6.3 Diagram Venn yang Menunjukkan Negasi Pernyataan Kuantor Eksistensial Pada diagram Venn nampak bahwa pernyataan tersebut menyebabkan S ∩ J = ∅ sehingga kedua himpunan tersebut akan saling asing. Pernyataan “Tiada siswa yang senang mendapat nilai jelek” ekuivalen dengan pernyataan “Semua siswa tidak senang mendapat nilai jelek”. Jadi negasi pernyataan yang memuat kuantor universal akan mengubah kuantor universal menjadi kuantor eksistensial, demikian juga sebaliknya. Dengan menggunakan simbol logika hal ini dikatakan sebagai berikut. 1. ∼[(∀x) P(x)] ≡ (∃x) [∼P(x)] 2. ∼[(∃x) P(x)] ≡ (∀x) [∼P(x)]

6 – 20 Unit 6

Latihan Selanjutnya silahkan Anda berlatih mengerjakan soal latihan berikut ini agar pemahaman Anda mengenai pernyataan berkuantor semakin mantap. Setelah selesai mengerjakan, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahnya. Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut ini. 1. Untuk setiap x bilangan real berlaku x 2 + 1 > 0 2. Terdapat x bilangan real dimana x 2 = 1 3. Tiada kucing yang mirip dengan anjing 4. Ada harimau yang jinak

Pedoman Jawaban Latihan 1. Pernyataan berkuantor soal nomor 1 memuat kuantor universal maka negasi pernyataan tersebut akan mengubah kuantor universal menjadi kuantor eksistensial yaitu “Terdapat x bilangan real sedemikian sehingga tidak berlaku x 2 + 1 > 0 ”. Secara simbol logika diperoleh (∃x ∈ ℜ) [∼ ( x 2 + 1 > 0) ] atau (∃x ∈ ℜ)( x 2 + 1 ≤ 0) dimana ℜ adalah himpunan bilangan real. Nilai kebenaran dari pernyataan (∃x ∈ ℜ)( x 2 + 1 ≤ 0) adalah salah karena setiap bilangan real jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan real positif. 2. Pernyataan berkuantor soal nomor 2 memuat kuantor eksistensial maka negasi pernyataan tersebut akan mengubah kuantor eksistensial menjadi kuantor universal yaitu “Untuk semua x bilangan real, tidak berlaku x 2 = 1 ”. Secara simbol logika diperoleh (∀x ∈ ℜ) [∼( x 2 = 1 )] atau (∀x ∈ ℜ)( x 2 ≠ 1) . Nilai kebenaran dari pernyataan (∀x ∈ ℜ)( x 2 ≠ 1) adalah salah karena jika diambil x = 1 atau x = −1 akan diperoleh x 2 = 1 . 3. Pernyataan “Tiada kucing yang mirip dengan anjing” sama artinya dengan “Semua kucing tidak mirip dengan anjing”. Negasi dari pernyataan tersebut adalah “Ada kucing yang mirip dengan anjing”. Nilai kebenaran pernyataan “Ada kucing yang mirip dengan anjing” adalah salah karena fakta mengatakan demikian. Pernyataan ini dapat bernilai benar jika suatu saat ditemukan kucing yang mirip dengan anjing. 4. Negasi pernyataan “Ada harimau yang jinak” adalah “Semua harimau tidak jinak”. Nilai kebenaran dari pernyataan ini, analog dengan nilai kebenaran pernyataan pada pembahasan soal nomor 3.

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 21

Rangkuman Kuantor adalah suatu ucapan yang dibubuhkan pada kalimat terbuka sedemikian sehingga mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi kalimat tertutup atau pernyataan. Ada dua jenis kuantor yang dipakai yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal adalah kuantor yang dinyatakan dengan menggunakan kata setiap atau semua. Lambang kuantor universal adalah ∀ dibaca “untuk setiap…”. Kuantor eksistensial adalah kuantor yang dinyatakan dengan menggunakan kata terdapat, ada beberapa atau sekurang-kurangnya satu. Lambang kuantor eksistensial adalah ∃ dibaca “terdapat …”, “ada beberapa…” atau “sekurang-kurangnya satu …”. Pernyataan berkuantor dapat ditunjukkan dengan menggunakan diagram Venn. Negasi pernyataan yang memuat kuantor universal akan mengubah kuantor universal menjadi kuantor eksistensial, demikian juga sebaliknya. Dengan menggunakan simbol logika hal ini dikatakan sebagai berikut. 1. ∼[(∀x) P(x)] ≡ (∃x) [∼P(x)] 2. ∼[(∃x) P(x)] ≡ (∀x) [∼P(x)]

6 – 22 Unit 6

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pernyataan berkuantor dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Berikut ini yang merupakan pernyataan berkuantor eksistensial adalah ……. A. Jika x = y maka x + z = y + z . B. Setiap orang mempunyai mata. C. Beberapa hewan berkaki empat. D. Semua x bilangan real berlaku x 2 > 0 . 2. Pernyataan berkuantor (∀x ∈ ℜ )( x < 2 ) , jika diucapkan adalah ……. A. B. C. D.

Setiap bilangan real kurang dari 2. Ada x di mana x kurang dari 2. Beberapa x kurang dari 2. Ada minimal satu x bilangan real yang kurang dari 2.

3. Pernyataan berkuantor universal berikut ini yang bernilai benar adalah ……. A. Setiap bilangan real lebih dari nol. B. Ada bilangan real yang lebih dari nol. C. Setiap bilangan real jika dikuadratkan lebih dari nol. D. Ada bilangan real yang jika dikuadratkan lebih dari nol. 4. Pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah adalah …….

( B. (∃x ∈ ℜ )(x

) < 0)

A. (∀x ∈ ℜ ) x 2 < 0 2

( D. (∃x ∈ ℜ )(x

) > 0)

C. (∀x ∈ ℜ ) x 2 > 0 2

5. Diagram Venn yang menyatakan pernyataan berkuantor universal adalah ……. C. A.

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 23

B.

D.

6. Diagram Venn dari pernyataan “Tidak ada manusia yang berekor” adalah ……. C. A.

B.

D.

7. Pernyataan himpunan dari pernyataan “Ada bilangan bulat sehingga x + 2 > 0 ” adalah ……. C. A ∩ B A. A ⊂ B D. A ∪ B B. B ⊂ A 8. Pernyataan himpunan dari pernyataan “Tidak ada gajah yang kecil” adalah …. A. A ⊂ B C. A ∪ B = S B. B ⊂ A D. A ∩ B = ∅ 9. Negasi dari pernyataan “Ada bilangan bulat x dimana x 2 = −1 ” adalah ……. A. Ada bilangan bulat x dimana x 2 ≠ −1 6 – 24 Unit 6

B. Semua bilangan bulat x dimana x 2 = −1 C. Semua bilangan bulat x dimana x 2 ≠ −1 D. Tidak ada bilangan bulat x dimana x 2 ≠ −1 10. Berikut ini yang merupakan negasi dari pernyataan (∃x ∈ Β )( x + 3 > 0) di mana B adalah himpunan bilangan bulat adalah ……. A. (∃x ∈ Β )( x + 3 < 0 )

B. (∀x ∈ Β )(x + 3 < 0 ) C. (∃x ∈ Β )( x + 3 ≤ 0 )

D. (∀x ∈ Β )( x + 3 ≤ 0 )

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 25

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. D. Kalimat tersebut dapat ditentukan benar atau tidak. 2. B. Pernyataan tersebut diperoleh dengan menambahkan kata tidak. 3. D. Pernyataan tersebut dapat secara langsung ditentukan nilai kebenarannya. 4. B. Disjungsi bernilai salah jika kedua komponen yang membentuk pernyataan majemuk tersebut bernilai salah. 5. C. 6. D. p bernilai benar sehingga ∼p bernilai salah dan q bernilai salah maka ∼p

↔ q akan bernilai benar karena biimplikasi akan bernilai benar jika kedua komponen pembentuknya sekaligus bernilai benar atau sekaligus bernilai salah. 7. A. Nilai kebenaran pernyataan “Jika 3 bilangan prima maka 5 bukan bilangan prima” adalah salah dimana nilai kebenaran ini sama dengan nilai kebenaran pernyataan “Jika 5 bilangan prima maka 3 bukan bilangan prima” 8. D. 9. A. 5 + 3 = 8 bernilai benar sedangkan 5.3 = 10 bernilai salah sehingga implikasi tersebut bernilai salah. 10. C.

Kunci Tes Formatif 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

C. A. C. B. A. C. C. Misalnya A himpunan bilangan bulat dan B himpunan bilangan yang memenuhi x + 2 > 0 maka hubungan antara himpunan A dan B yang menyatakan pernyataan “Ada bilangan bulat x sehingga x + 2 > 0 ” adalah A ∩ B. 8. D 9. C. 10. D.

6 – 26 Unit 6

Daftar Pustaka Karso,dkk. 1993. Materi Pokok Pendidikan Matematika 4. Jakarta : Universitas Terbuka, Departemen pendidikan dan Kebudayaan Markaban. 2004. Logika Matematika. [Online]. Tersedia http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMA/logika.pdf [15 Februari 2007].

di:

Logika Matematika. [Online]. Tersedia Markaban. 2004. http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMK/logika.pdf [15 Februari 2007].

di:

Pemecahan Masalah Matematika

6 - 27

Glosarium Anteseden Biimplikasi

: :

Disjungsi

:

Ekuivalensi Ingkaran

: :

Implikasi

:

Logika

:

Konsekuen Konjungsi

: :

Teori korespondensi :

Kuantor

6 – 28 Unit 6

:

Pernyataan pertama pada implikasi Komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai “… jika dan hanya jika …” Komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai “atau” Kesamaan dalam logika Suatu pernyataan yang diperoleh dengan menambahkan kata “tidak benar” pada pernyataan semula. Komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai “jika … maka…”. Suatu studi yang sistematik tentang struktur pernyataan dan syarat-syarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesampingkan isi atau bahan pernyataan dan hanya membahas bentuk logisnya saja. Pernyataan kedua pada implikasi Komposisi pernyataan yang menggunakan kata perangkai “dan”. Teori yang menyatakan bahwa suatu pernyataan bernilai benar jika hal-hal yang termuat dalam pernyataan tersebut sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya. Kata yang ditambahkan pada suatu kalimat terbuka sedemikian sehingga kalimat tersebut menjadi kalimat tertutup

Unit

7

PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan

U

nit penalaran induktif dan deduktif ini akan membahas mengenai penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam penalaran induktif dan deduktif diperlukan aturan-aturan penalaran yang terdapat pada subunit penarikan kesimpulan. Kompetensi dasar yang harus dicapai setelah mempelajari unit ini adalah mampu menggunakan penalaran induktif dan deduktif dalam menyelesaikan masalah matematika atau dalam membuktikan kebenaran dari beberapa konsep atau teori sederhana di bidang matematika. Penalaran ini tidak hanya digunakan saat mempelajari unit ini tetapi juga menjadi pedoman dalam menyelesaikan masalah matematika di bidang lain dalam matematika. Seperti yang telah diungkapkan dalam unit 6 bahwa penalaran tidak mutlak penting untuk matematika saja tetapi juga penting untuk ilmu-ilmu yang lain. Seperti pada unit-unit yang lain, agar materi dalam unit ini dapat dipahami dengan baik dan benar, kajilah setiap materi dengan sungguh-sungguh dan kerjakanlah latiha-latihan yang ada di dalam unit ini. Jika ada kesulitan atau ketidakpahaman mengenai materi ini, diskusikan bersama teman atau bertanyalah pada dosen atau tutor Anda. Setelah selesai mempelajari satu subunit, kerjakan tes formatif untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi tersebut. Jika Anda belum mencapai standar penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi dimana Anda tidak menguasai dengan benar.

Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.

Pemecahan Masalah Matematika

7- 1

Subunit 1 Penarikan Kesimpulan

M

isalnya diberikan beberapa pernyataan. Dari pernyataan-pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan yang merupakan pernyataan baru. Proses penarikan kesimpulan tersebut dinamakan inferensi. Jika penalaran merupakan aktivitas berpikir maka penarikan kesimpulan merupakan lambang aktivitas tersebut. Jadi penarikan kesimpulan adalah lambang aktivitas pikiran yang abstrak yang berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambang lainnya. Bentuk dari penarikan kesimpulan tersebut dinamakan argumen. Jadi argumen didefinisikan sebagai himpunan sejumlah berhingga pernyataan sedemikian sehingga pernyataan terakhir disebut kesimpulan atau konklusi dan semua pernyataan lain disebut premis-premis. Secara simbolis, argumen didefinisikan sebagai berikut. Definisi : Argumen adalah himpunan pernyataan-pernyataan yang ditulis sebagai p1 p2 p3 M pn ∴q

dimana p1 , p 2 , p3 , K , p n disebut premis dan q disebut konklusi. Proses penarikan kesimpulan secara logis dari premis-premis disebut deduksi. Penarikan kesimpulan yang dilakukan harus sah atau valid. Validitas suatu penarikan kesimpulan dapat diuji dengan cara menguji validitas bentuk dari penarikan kesimpulan tersebut dalam hal ini argumennya. Suatu argumen dikatakan sah jika premis-premis bernilai benar maka konklusinya bernilai benar. Sebaliknya suatu argumen dikatakan tidak sah jika semua premis bernilai benar tetapi konklusinya bernilai salah. Jadi dalam penarikan kesimpulan, premis-premis dianggap atau diasumsikan benar dan argumennya harus sah atau valid. Sebelum kita mengkaji beberapa argumen, terlebih dahulu kita akan mempelajari konsep tautologi dan kontradiksi yang sangat penting dalam membuktikan validitas argumen. Berikut ini diberikan definisi dan contoh dari tautologi dan kontradiksi. 7 – 2 Unit 7

Definisi : Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. Contoh sederhana tautologi diberikan berikut ini. Contoh : pernyataan p ∨ ∼p merupakan tautologi. Dengan tabel kebenaran, kita akan buktikan hal ini. Tabel 1. Tabel Kebenaran p ∨ ∼p

p

∼p

p ∨ ∼p

B S

S B

B B

Definisi : Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. Berikut ini contoh kontradiksi. Contoh : pernyataan p ∧ ∼p merupakan kontradiksi. Dengan tabel kebenaran berikut ini, kita akan buktikan bahwa p ∧ ∼p merupakan kontradiksi. Tabel 2. Tabel Kebenaran p ∧ ∼p

p

∼p

p ∧ ∼p

B S

S B

S S

Dari definisi dan contoh dari tautologi dan kontradiksi, jelas bahwa ingkaran dari suatu tautologi merupakan kontradiksi. Demikian juga sebaliknya, ingkaran dari kontradiksi merupakan tautologi. Suatu pernyataan yang bukan merupakan tautologi maupun kontradiksi disebut kontingensi. Dalam mempelajari penarikan kesimpulan konsep mengenai tautologi ini merupakan konsep terpenting karena digunakan untuk membuktikan apakah suatu penarikan kesimpulan sah atau tidak. Oleh karena itu sebelum kita mempelajari penarikan kesimpulan, ada baiknya kita memperdalam pemahaman mengenai konsep ini dengan mengerjakan soal-soal berikut ini. Latihan : untuk setiap pernyataan majemuk berikut ini, buktikan bahwa pernyataan tersebut merupakan tautologi. 1.

( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p )

Pemecahan Masalah Matematika

7- 3

2.

p ∨ (q ∨ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∨ r

3. ∼ ( p ∨ q ) ↔ ∼p ∧ ∼q Kita akan membuktikan apakah tiga pernyataan di atas merupakan tautologi atau bukan dengan menggunakan tabel kebenaran. 1. Pembuktian pernyataan

( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p )

merupakan tautologi dengan tabel

kebenaran yang disajikan dalam tabel 3 berikut ini.

Tabel 3. Tabel Kebenaran ( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p )

p

Q

p∧q

q∧ p

( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p )

B B S S

B S B S

B S S S

B S S S

B B B B

Dari tabel 3. di atas pernyataan

( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p )

selalu bernilai benar,

bagaimanapun nilai kebenaran dari komponen pembentuknya maka pernyataan tersebut merupakan tautologi. Coba Anda amati kolom ketiga dan keempat. Kemudian bandingkan dengan kolom kelima. Apa yang dapat Anda simpulkan? Apakah Anda masih ingat definisi ekuivalensi dalam logika yang telah kita bahas di unit 6? Disana dikatakan bahwa dua pernyataan disebut ekuivalen jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dengan melihat kolom ketiga dan keempat berarti pernyataan p ∧ q dan q ∧ p ekuivalen atau p ∧ q ≡ q ∧ p dimana ini merupakan aturan komutatif. Dari sini dapat kita simpulkan bahwa membuktikan ekuivalensi selain dengan membuktikan bahwa dua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, ternyata juga dapat dilakukan dengan membuktikan bahwa pernyataan yang diperoleh dari biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut merupakan tautologi. 2. Pembuktian pernyataan p ∨ (q ∨ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∨ r merupakan tautologi dengan tabel kebenaran yang disajikan dalam tabel 4 berikut ini.

Tabel 4. Tabel Kebenaran p ∨ (q ∨ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∨ r

7 – 4 Unit 7

Dari tabel 4 di atas, terbukti bahwa pernyataan p ∨ (q ∨ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∨ r merupakan tautologi. Jika anda perhatikan kolom kelima dan kolom ketujuh pada tabel 4, dapat dikatakan bahwa p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r yang merupakan aturan asosiatif. Jadi untuk membuktikan ekuivalensi p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r dapat dengan cara membuktikan pernyataan p ∨ (q ∨ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∨ r merupakan tautologi. 3. Pembuktian pernyataan ∼ ( p ∨ q ) ↔ ∼p ∧ ∼q merupakan tautologi dengan tabel kebenaran yang disajikan dalam tabel 5 berikut ini. Tabel 5. Tabel Kebenaran ∼ ( p ∨ q ) ↔ ∼p ∧ ∼q

p

q

∼p

∼q

p∨q

∼ ( p ∨ q)

∼p ∧ ∼q

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B B B S

S S S B

S S S B

∼ ( p ∨ q ) ↔ ∼p ∧ ∼q B B B B

Pernyataan ∼ ( p ∨ q ) ↔ ∼p ∧ ∼q selalu bernilai benar maka pernyataan tersebut merupakan tautologi. Biimplikasi ∼ ( p ∨ q ) ↔ ∼p ∧ ∼q merupakan aturan De Morgan yaitu ∼ ( p ∨ q ) ≡ ∼p ∧ ∼q. Selanjutnya kita siap mempelajari penarikan kesimpulan dalam hal ini kita akan kaji terlebih dahulu bentuk penarikan kesimpulannya yaitu argumen. Berikut ini diberikan contoh penarikan kesimpulan.

Pemecahan Masalah Matematika

7- 5

Contoh : 1. Jika 2 + 3 = 6 maka 4.5 = 20 Diketahui 2 + 3 = 6 Jadi 4.5 = 20

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan

2. Jika SBY presiden maka JK wakil presiden Diketahui SBY presiden Jadi JK wakil presiden

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan

Kedua contoh di atas mempunyai bentuk yang sama. Bentuk argumen tidak memperhatikan kalimat atau pernyataan. Argumen tersebut memiliki bentuk sebagai berikut. p→q p ∴ q

Argumen dengan bentuk seperti di atas disebut modus ponens. Salah satu cara untuk mengetahui validitas suatu argumen adalah dengan menggunakan konsep tautologi. Caranya adalah sebagai berikut. Kita bentuk pernyataan majemuk yang merupakan implikasi dimana antesedennya merupakan konjungsi premis-premis dari argumen tersebut dan kesimpulan dari argumen menjadi konsekuennya. Jadi untuk membuktikan bahwa argumen tersebut sah atau valid bentuk argumen di atas diubah menjadi bentuk implikasi sehingga diperoleh

(( p → q ) ∧ p ) → q .

Bentuk implikasi tersebut harus dibuktikan benar tanpa

memandang nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. Berarti dengan tabel kebenaran kita akan buktikan apakah pernyataan tersebut termasuk tautologi atau bukan. Jika merupakan tautologi maka argumen tersebut sah atau valid. Sebaliknya jika bukan merupakan tautologi maka argumen itu tidak valid. Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran berikut ini.

(( p → q ) ∧ p ) → q ( p → q ) ∧ p (( p → q ) ∧ p ) → q

Tabel 6. Tabel Kebenaran

7 – 6 Unit 7

P

Q

p→q

B B S S

B S B S

B S B B

B S S S

B B B B

Setiap kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan q akan menghasilkan nilai kebenaran pernyataan

(( p → q ) ∧ p ) → q

yang selalu benar dengan kata lain

pernyataan tersebut merupakan tautologi. Jadi argumen yang berbentuk modus ponens merupakan argumen yang valid. Hal ini berarti cara penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens merupakan penarikan kesimpulan yang sah atau valid. Selanjutnya kita akan mempelajari argumen dengan bentuk modus tolens melalui contoh berikut ini. Contoh : Jika saya giat belajar maka saya lulus ujian Ternyata saya tidak lulus ujian Berarti saya tidak giat belajar Argumen di atas secara umum berbentuk p→q ∼q ∴ ∼p Dengan tabel kebenaran, silakan Anda mencoba membuktikan validitas modus tolens di atas yaitu dengan melihat apakah pernyataan majemuk

[(p → q) ∧ ∼q] → ∼p merupakan tautologi. Tabel 7. Tabel Kebenaran [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p p

q

∼p

∼q

p→q

[(p → q) ∧ ∼q]

[(p → q) ∧ ∼q] → ∼p

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B S B B

S S S B

B B B B

Pernyataan [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p selalu bernilai benar, tanpa memandang benar atau tidak pernyataan yang menjadi komponen pembentuk pernyataan

[(p → q)

∧ ∼q] → ∼p. Jadi pernyataan [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p merupakan tautologi. Dengan demikian bentuk argumen dengan jenis modus tolens merupakan penarikan kesimpulan yang sah atau valid.

Bentuk penarikan kesimpulan yang ketiga adalah argumen yang disebut silogisme. Untuk memahami argumen bentuk ini, Anda perhatikan contoh berikut.

Pemecahan Masalah Matematika

7- 7

Contoh : Setiap hari Sabtu, ibu tidak masuk kerja Jika tidak masuk kerja, ibu suka berkebun Jadi setiap hari Sabtu, ibu suka berkebun Argumen di atas secara umum mempunyai bentuk sebagai berikut. p→q q→s ∴p→s

Untuk membuktikan validitas argumen di atas, dengan tabel kebenaran akan dibuktikan bahwa pernyataan

[( p → q ) ∧ (q → s )] → ( p → s )

merupakan tautologi.

Tabel kebenaran pernyataan tersebut disajikan berikut ini. Tabel 8. Tabel Kebenaran

[( p → q ) ∧ (q → s )] → ( p → s )

Dari tabel 5 nampak bahwa pernyataan

[( p → q ) ∧ (q → s )] → ( p → s )

selalu

bernilai benar, bagaimanapun nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. Maka dikatakan bahwa pernyataan tersebut merupakan tautologi. Dengan demikian penarikan kesimpulan dengan bentuk argumen jenis silogisme merupakan penarikan kesimpulan yang sah. Ketiga bentuk argumen yang telah kita pelajari di atas, selanjutnya digunakan sebagai dasar penarikan kesimpulan yang sah. Selain menggunakan ketiga bentuk argumen tersebut, jika diperlukan kita dapat menggunakan semua aturan-aturan di dalam logika asalkan aturan-aturan tersebut telah dibuktikan kebenarannya. Berikut ini salah satu contoh soal mengenai penarikan kesimpulan.

7 – 8 Unit 7

Contoh : Perhatikan premis-premis berikut ini. Premis 1 : Jika Anita mendapat A pada ujian akhir maka Anita mendapat A untuk mata kuliah itu. Premis 2 : Jika Anita mendapat A untuk mata kuliah itu maka ia dinominasikan menerima beasiswa. Premis 3 : Anita tidak dinominasikan menerima beasiswa. Dari premis-premis tersebut, kesimpulan apa yang dapat ditarik? Kita akan menyelesaikan masalah di atas. Silakan Anda ikut mencoba untuk menyelesaikannya. Agar kita dapat lebih mudah melihat bentuk dari penarikan kesimpulan yang kita buat maka kita akan ubah premis-premis di atas dalam simbol logika dengan memisalkan pernyataan-pernyataan yang membentuk premis-premis sebagai berikut. p : Anita mendapat A untuk ujian akhir q : Anita mendapat A untuk mata kuliah itu r : Anita dinominasikan menerima beasiswa Dengan pemisalan tersebut akan diperoleh terjemahan secara simbol logika sebagai berikut. Premis 1 p→q Premis 2

q→r

∼r Premis 3 Dari premis 1 dan 2, dengan menggunakan silogisme diperoleh p → r . Dari

pernyataan p → r dan premis ketiga yaitu ∼r diperoleh ∼p dengan menggunakan modus tolens. Jadi dari ketiga premis tersebut dapat ditarik kesimpulan∼p. Jadi Anita tidak mendapat A untuk ujian akhir.

Latihan Bagaimana Saudara, apakah ada bagian yang sulit untuk Anda dalam penarikan kesimpulan di atas? Agar Anda lebih terampil membuat kesimpulan dari premispremis yang diketahui, cobalah Anda kerjakan soal-soal berikut dan jika Anda sudah selesai, cocokkan pekerjaan Anda tersebut dengan pembahasan yang ada pada penyelesaian soal.

Pemecahan Masalah Matematika

7- 9

1. Untuk argumen di bawah ini, buktikan bahwa argumen tersebut valid. a. b. c. p p p∧q ∴p∨q ∴p q ∴p∧q d.

p∨r

e.

p→q

f.

∼p

p→q

r→s

∴r

r→s p∨r ∴q ∨ s

q → ∼s

∴

p → ∼r

2. Jika diketahui premis-premis sebagai berikut. Premis 1 : Jika Andy tidak sakit maka ia masuk sekolah Premis 2 : Jika Andy tidak lelah maka ia masuk sekolah Premis 3 : Andy sakit dan tidak lelah Kesimpulan : Andy masuk sekolah Buktikan bahwa penarikan kesimpulan di atas sah.

Pedoman Jawaban Latihan Kita akan bahas penyelesaian soal di atas satu persatu sebagai berikut. p 1. a. Akan dibuktikan bahwa argumen dengan bentuk adalah sah. ∴p∨q Pembuktian dilakukan dengan tabel kebenaran dari p → ( p ∨ q ) sebagai berikut.

Jadi argumen

P

q

( p ∨ q)

p → ( p ∨ q)

B B S S

B S B S

B B B S

B B B B

p merupakan argumen yang sah. Argumen bentuk ini ∴p∨q

biasanya disebut addisi dan sering digunakan untuk membuktikan validitas argumen lain atau untuk menarik kesimpulan dari premis-premis.

7 – 10 Unit 7

b. Akan dibuktikan argumen bentuk

p∧q adalah sah dengan menggunakan ∴p

tabel kebenaran dari pernyataan ( p ∧ q ) → p . p

q

p∧q

( p ∧ q) → p

B B S S

B S B S

B S S S

B B B B

Jadi argumen dengan bentuk

p∧q adalah sah. Argumen jenis ini sering ∴p

disebut simplifikasi dan digunakan untuk membuktikan argumen lain. c. Akan dibuktikan bahwa argumen dengan bentuk p q adalah sah. ∴p∧q

Pembuktian dilakukan dengan tabel kebenaran dari sebagai berikut. p

q

p∧q

p ∧ q → ( p ∧ q)

B B S S

B S B S

B S S S

B B B B

p ∧ q → ( p ∧ q)

Pernyataan p ∧ q → ( p ∧ q ) merupakan tautologi maka argumen dengan bentuk tersebut adalah sah. Argumen ini juga sering digunakan dalam pembuktian penarikan kesimpulan lain dan disebut konjungsi. d. Untuk membuktikan argumen dengan bentuk p∨r ∼p ∴r

Kita dapat menggunakan ekuivalensi p → q ≡ ∼p ∨ q sehingga

p∨r ≡

∼p→ r. Jadi premis pertama adalah ∼p→ r, premis kedua ∼p dan kesimpulannya adalah r, sehingga nampak bahwa ini adalah argumen jenis modus ponens. Jadi argumen

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 11

p∨r ∼p ∴r adalah sah. e. Untuk pembuktian argumen selanjutnya kita akan mencoba dengan menurunkan pernyataan-pernyataan dari premis-premis yang diketahui sehingga sampai pada kesimpulan. Agar lebih mudah dan jelas, kita akan tuliskan dalam tabel berikut ini. Pernyataan Asal Alasan p→q Premis 1 (1) r→s Premis 2 (2) p ∨ r Premis 3 (3) (4) ∼p → r (3) p → q ≡ ∼p ∨ q

(5) (6)

∼r → p ∼r → p p→q

(4) (4) & (1)

p → q ≡ ∼q → ∼p

Silogisme

∴∼r → q

(7) (8)

(9)

∼q → r ∼q → r r→s ∴∼q → s q∨s

(6) (6) & (2)

(8)

p → q ≡ ∼q → ∼p Silogisme

p → q ≡ ∼p ∨ q

Jadi argumen dengan bentuk p→q r→s p∨r ∴q ∨ s

merupakan argumen yang sah karena dari premis-premis dapat diturunkan pernyataan-pernyataan hingga sampai pada kesimpulan atau konklusinya.

7 – 12 Unit 7

f. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal d kita akan buktikan argumen soal e sah. Pernyataan Asal Alasan p→q (1) Premis 1 r→s Premis 2 (2) (3) q → ∼s Premis 3 p → q (1) & (3) Silogisme (4) q → ∼s

(5)

∴ p → ∼s s → ¬p

(6)

r→s

(4) (2) & (5)

p → q ≡ ∼q → ∼p Silogisme

s → ∼p ∴ r → ∼p (7)

p → ∼r

(6)

p → q ≡ ∼q → ∼p

2. Dari premis-premis yang diketahui akan diubah dalam bentuk simbol logika dengan memisalkan p : Andy sakit q : Andy masuk sekolah r : Andy lelah Sehingga dari sini diperoleh

∼p → q ∼r → q p ∧ ∼r

∴q Kita akan membuktikan bahwa penarikan kesimpulan di atas sah. Pembuktian akan dilakukan dengan cara menurunkan pernyataan-pernyataan baru dari premis-premis yang diketahui. Penurunan pernyataan-pernyataan tersebut dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. Pernyataan

Asal Premis 1

(2)

∼p → q ∼r → q

Premis 2

(3)

p ∧ ∼r

Premis 3

(1)

Alasan

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 13

(4)

∼r ∧ p

(3)

Aturan Komutatif

(5)

∼r

(4)

Simplifikasi (soal 1b)

(6)

∼r → q

(2) & (5)

Modus Ponens

∼r

∴q Jadi terbukti bahwa penarikan kesimpulan

∼p → q ∼r → q p ∧ ∼r

∴q sah atau valid

Rangkuman Penarikan kesimpulan adalah lambang aktivitas pikiran yang abstrak yang berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambang lainnya. Bentuk dari penarikan kesimpulan tersebut dinamakan argumen. Jadi argumen didefinisikan sebagai himpunan sejumlah berhingga pernyataan sedemikian sehingga pernyataan terakhir disebut kesimpulan atau konklusi dan semua pernyataan lain disebut premis-premis. Validitas suatu penarikan kesimpulan dapat diuji dengan cara menguji validitas argumennya. Suatu argumen dikatakan sah jika premis-premis bernilai benar maka konklusinya bernilai benar. Sebaliknya suatu argumen dikatakan tidak sah jika semua premis bernilai benar tetapi konklusinya bernilai salah. Salah satu cara untuk mengetahui validitas suatu argumen adalah dengan menggunakan konsep tautologi yaitu dengan membuktikan bahwa implikasi dimana antesedennya merupakan konjungsi premis-premis dari argumen tersebut dan kesimpulan dari argumen menjadi konsekuennya, merupakan tautologi. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar tanpa memandang nilai kebenaran dari komponenkomponen pembentuknya. Ada tiga jenis argumen yang dibahas dalam subunit ini yaitu modus ponens, modus tolens dan silogisme dimana ketiganya merupakan argumen yang sah. Modus ponens adalah argumen yang berbentuk p→q p ∴ q

Modus tolens adalah argumen yang berbentuk

7 – 14 Unit 7

p→q ∼q ∴ ∼p

Silogisme adalah argumen yang berbentuk p→q q→s ∴p→s

Ketiga argumen ini digunakan dalam membuktikan validitas argumen dengan bentuk lain dan juga digunakan untuk menarik kesimpulan dari sekumpulan premis. Selain ketiga jenis argumen tersebut, jika diperlukan dapat juga digunakan aturan-aturan dalam logika dalam membuktikan suatu argumen atau dapat juga digunakan argumen lain yang telah dibuktikan bahwa argumen tersebut valid.

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi penarikan kesimpulan dengan cara memberi tanda silang pada (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pernyataan

[( p → q ) ∧ q ] → p

A. ekuivalensi B. kontingensi

adalah pernyataan ……. C. kontradiksi D. tautologi

2. Pernyataan yang merupakan tautologi adalah ……. A. [ p ∧ ( p ∨ q )] → p

C. ( p → q ) ∧ p

B. (∼p ∧ q) → p

D. ∼(p ∧ ∼q)

3. Berikut ini pernyataan yang merupakan kontradiksi adalah ……. A. Andy pintar dan Andy tidak pintar B. Andy pintar atau Andy tidak pintar C. Jika Andy pintar maka Andy tidak pintar D. Jika Andy tidak pintar maka Andy pintar

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 15

4. Diberikan argumen yang berbentuk p→q ∼q ∴ ∼p Bentuk argumen tersebut adalah ……. A. modus ponens C. silogisme B. modus tolens D. simplifikasi

5. Diketahui penarikan kesimpulan di bawah ini. Jika x dan y bilangan berurutan maka yang satu genap dan yang lainnya ganjil. Jika salah satu bilangan genap dan yang lain ganjil maka jumlah kedua bilangan tersebut ganjil. Jadi jika x dan y bilangan berurutan maka jumlah kedua bilangan tersebut ganjil. Bentuk penarikan kesimpulan tersebut adalah ……. A. modus ponens C. silogisme B. modus tolens D. simplifikasi 6. Penarikan kesimpulan berikut ini yang merupakan simplifikasi adalah ……. p→q p∧q p A. C. ∴p ∴ q p

B.

D.

p→q ∼q

q ∴p∧q

∴ ∼p

7. Berikut ini argumen yang tidak sah atau valid adalah ……. p→q p→q q q→s A. C. ∴p→s ∴ p B.

p→q ∼q ∴ ∼p

7 – 16 Unit 7

p D.

q ∴p∧q

8. Jika diketahui premis-premis dari suatu penarikan kesimpulan yang berbentuk sebagai berikut. Premis 1 : p ∨ q Premis 2 : s ∧ t Kesimpulan yang dapat ditarik dari kedua premis tersebut sehingga menjadi argumen yang valid adalah ……. A. t ∨ ( p ∧ q )

C. t ∨ ( p ∨ q )

B. t ∧ ( p ∧ q )

D. t ∧ ( p ∨ q )

9. Diketahui premis-premis sebagai berikut. Premis 1 : Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A Premis 2 : A ∩ B ≠ A Kesimpulan yang dapat ditarik dari kedua premis di atas adalah ……. C. A ⊄ B A. A ⊂ B D. A ∩ B = ∅ B. A ⊃ B 10. Jika diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. Suatu fungsi disebut bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif dan onto. Fungsi f bukan fungsi bijektif. Kesimpulan yang dapat ditarik dari pernyataan-pernyataan di atas adalah ……. B. fungsi f bukan injektif dan onto C. fungsi f injektif dan bukan onto D. fungsi f injektif atau onto E. fungsi f bukan injektif atau bukan onto

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 17

Subunit 2 Penalaran Induktif dan Deduktif

P

enalaran merupakan hal yang penting dalam kehidupan manusia. Kemampuan melakukan penalaran menyebabkan manusia mampu mengembangkan pengetahuan secara terus menerus. Hakikat penalaran adalah bahwa penalaran merupakan suatu proses berpikir dalam menarik kesimpulan yang berupa pengetahuan terkait dengan kegiatan berpikir. Sebagai kegiatan berpikir, penalaran mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri yang pertama adalah adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika. Berpikir logis merupakan kegiatan berpikir menurut alur, pola atau kerangka tertentu. Ciri kedua adalah adanya proses analitik dari proses berpikirnya. Berpikir analitis merupakan konsekuensi dari adanya suatu pola berpikir analisis sintesis berdasarkan langkah-langkah tertentu. Penalaran deduktif menurut Aristoteles, Plato, dan Socrates merupakan bekal dan proses yang dapat menemukan kebenaran. Namun demikian proses pencarian kebenaran dapat pula bersifat induktif dan verifikasi kebenaran harus berdasarkan fakta yang teramati dan atau terukur. Dalam subunit kita akan mengkaji dan berlatih melakukan penalaran induktif dalam menyelesaikan masalah-masalah dalam matematika.

1 Penalaran Induktif Penalaran induktif adalah suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan atau membuat pernyataan baru yang bersifat umum berdasar pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui atau dianggap benar. Jadi dengan kata lain dalam penalaran induktif telah terjadi proses berpikir yang berusaha menghubungkan fakta-fakta khusus yang sudah diketahui menuju kepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Kesimpulan ditarik dengan jalan mensintesa kasus-kasus yang digunakan sebagai premis-premis. Kesimpulan tidak mungkin mengandung nilai kepastian mutlak dalam hal ini terdapat aspek probabilitas. Penalaran induktif bersifat a posteriori yaitu kasus-kasus yang dijadikan premis merupakan hasil pengamatan inderawi. Berikut ini diberikan contoh penggunaan penalaran induktif.

7 – 18 Unit 7

Contoh : Diberikan suatu permasalahan mengenai jumlah besar sudut segitiga sebagai berikut. Tunjukkan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 180 0

Berdasarkan penalaran induktif, kita akan mencoba menyelesaikan permasalahan di atas, sebagai berikut. Untuk menunjukkan bahwa jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga sama dengan 180 0 , kita buat model segitiga sebarang dari kertas. Kemudian ketiga sudut segitiga tersebut kita gunting seperti pada gambar.

Contoh di atas menunjukkan tentang adanya segitiga-segitiga yang berbeda atau juga bisa dengan segitiga-segitiga khusus namun mengarah ke hasil yang sama yaitu jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 180 0 . Jadi dapat kita simpulkan bahwa dari kasus-kasus khusus yang kita ketahui benar, juga benar untuk semua kasus yang serupa dengan kasus-kasus kusus tersebut dalam hal-hal tertentu. Hal ini dapat digambarkan dengan diagram berikut ini.

Pernyataan bahwa jumlah besar sudut-sudut setiap segitiga sama dengan 180 0 bernilai benar karena sesui atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Artinya tidak ada satupun segitiga yang jumlah besar sudut-sudutnya bukan 180 0 . Penentuan nilai kebenaran seperti ini berdasarkan teori korespondensi. Apakah Anda masih ingat? Pada kegiatan ini terjadi proses berpikir yang berusaha menghubunghubungkan fakta-fakta khusus yang sudah diketahui menuju kepada suatu

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 19

kesimpulan yang bersifat umum. Jadi penalaran induktif adalah suatu kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum berdasarkan pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar.

2 Penalaran Deduktif Penalaran deduktif adalah suatu cara penarikan kesimpulan dari pernyataan atau fakta yang dianggap benar dengan menggunakan logika. Penalaran deduktif merupakan cara penarikan kesimpulan yang bersifat khusus dari hal-hal atau kasuskasus yang bersifat umum. Penalaran deduktif bersifat silogisme yaitu berdasarkan argumen yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan dimana hubungan antara premis-premis dengan kesimpulan merupakan hubungan yang tidak terpisahkan satu sama lain. Selain itu penalaran deduktif bersifat a priori yaitu premis-premis tidak memerlukan pengamatan inderawi atau empiris. Inti penalaran deduktif adalah pada tepat atau tidaknya hubungan antara premis-premis dan kesimpulan. Kesimpulan ditarik dengan menganalisa premis-premis yang sudah ada. Kesimpulan sesungguhnya telah tersirat dalam premis-premisnya. Oleh karena itu penalaran deduktif bersifat tautologis. Berikut ini diberikan contoh proses penalaran deduktif. Contoh : Diberikan permasalahan yang sama seperti contoh pada penalaran induktif, tetapi kita akan tunjukkan dengan menggunakan penalaran deduktif. Dalam penalaran deduktif, proses pembuktian akan melibatkan teori atau rumus matematika lain yang sebelumnya telah dibuktikan kebenarannya. Teori yang digunakan adalah “ Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam yang berseberangan sama besar”. Untuk lebih jelasnya, teori ini akan dijelaskan dengan gambar di bawah ini.

7 – 20 Unit 7

Pada gambar di atas, sudut A1 sama dengan sudut B2 dan sudut A2 sama dengan sudut B1. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa jumlah sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 180 0 . Perhatikan segitiga ABC di bawah ini, dimana melalui titik C dibuat garis m yang sejajar dengan garis AB.

Dengan menggunakan teori sebelumnya diperoleh bahwa sudut A1 sama dengan sudut C1 dan sudut B3 sama dengan sudut C3. Dengan kata lain diperoleh

∠A1 = ∠C1 ∠B3 = ∠C3 ∠C2 = ∠C2 Dari sini diperoleh ∠A1 + ∠B3 + ∠C2 = ∠C1 + ∠C2 + ∠C3 Karena ∠C1 + ∠C2 + ∠C3 = 180 0 maka ∠A1 + ∠B3 + ∠C2 = 180 0 . Jadi terbukti bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 180 0 . Ternyata dalam pembuktian di atas kita juga menggunakan definisi atau pengertian sudut lurus yang besarnya 180 0 . Jadi dalam pembuktian dengan menggunakan penalaran deduktif, kita dapat melibatkan lebih atau minimal satu teori atau rumus matematika yang lain dimana kebenaran dari teori atau rumus tersebut juga dibuktikan dengan menggunakan teori atau rumus sebelumnya yang telah dibuktikan sebelumnya. Demikian seterusnya. Untuk contoh di atas, proses pembuktian dapat digambarkan dengan diagram berikut ini.

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 21

Diagram di atas menunjukkan bahwa dalam matematika kebenaran berarti konsisten. Diagram tersebut juga menunjukkan bahwa matematika disusun dengan landasan berupa kumpulan pengertian pangkal dan sifat pangkal (aksioma). Aksioma adalah semacam dalil yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi namun aksioma menjadi dasar pembuktian dalil atau sifat berikutnya. Demikian juga dengan pengertian pangkal akan menjadi dasar untuk pendefinisian pengertian-pengertian atau konsep-konsep lain dalam matematika. Bangunan matematika akan runtuh jika terdapat pengertian, teorema, dalil atau sifat yang bertentangan dengan yang sebelumnya. Jadi nampak bahwa matematika dibangun berdasarkan deduksi sehingga kebenaran dari suatu konsep di dalamnya dilakukan dengan langkahlangkah yang benar secara deduktif. Oleh karena itu matematika dikenal sebagai ilmu yang dikembangkan secara deduktif-aksiomatis atau sistem aksiomatik.

3 Kelebihan Dan Kelebihan Penalaran induktif sering digunakan oleh para ilmuwan (scientist). Kelebihan penalaran induktif ditunjukkan oleh ahli IPA terkenal dari Prancis, yaitu Galileo saat menemukan teori yang terkait dengan hubungan antara waktu ayun dan jarak ayun suatu bandul. Pada saat itu Galileo melakukan percobaan dan mendapatkan hasil sebagai berikut.

7 – 22 Unit 7

Jarak Ayun 1 unit 4 unit 9 unit 16 unit

Waktu Ayun 1 detik 2 detik 3 detik 4 detik

Dengan menghubung-hubungkan kasus-kasus khusus seperti pada tabel di atas, diperoleh suatu pola hubungan antara jarak ayun dan waktu ayun. Penemuan ini kemudian sangat bermanfaat untuk penemuan berikutnya yaitu penemuan jam bandul. Proses penemuan dengan cara seperti ini dalam ilmu pengetahuan dikenal dengan metode eksperimental, sedangkan dalam matematika disebut penalaran induktif. Namun demikian penalaran induktif mempunyai kelemahan. Contoh kelemahan penalaran induktif ditunjukkan dengan kasus berikut ini. Sekitar tahun 1894, para ahli kimia menemukan unsure baru berupa gas yang diberi nama Argon. Selama enam tahun berikutnya, ditemukan lima unsur lain dengan ciri-ciri khusus yang sama dengan Argon. Keenam unsur itu (Argon, Helium, Krypton, Neon, Xenon, Radon) disebut gas mulia karena tidak bersenyawa dengan unsur lain. Pernyataan tersebut gugur pada tahun 1962 ditemukan bahwa gas Xenon untuk pertama kalinya dapat berkombinasi dengan senyawa lain sehingga membentuk suatu senyawa baru. Contoh di atas menunjukkan bahwa teori-teori dalam IPA, kebenarannya bersifat nisbi, relatif, atau tentatif. Hal ini merupakan salah satu kelemahan penalaran induktif. Jadi suatu teori yang bernilai benar pada suatu saat, dapat menjadi bernilai salah pada decade berikutnya jika ditemukan suatu contoh yang bertentangan dengan teori tersebut. Apakah Anda masih ingat, contoh yang demikian disebut apa? Contoh yang menyangkal suatu teori disebut counterexample. Jadi kesimpulan atau pernyataan yang diperoleh dari penalaran induktif masih mempunyai kemungkinan untuk bernilai salah. Dalam matematika kesimpulan yang diperoleh dari penalaran induktif disebut dugaan (conjecture) yang harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif. Jadi suatu dugaan harus dibuktikan kebenarannya melalui penalaran deduktif atau ditunjukkan kesalahannya dengan cara memberikan suatu contoh sangkalan (counterexample). Dalam matematika yang menggunakan konsep penentuan kebenaran seperti di atas disebut kebenaran apriori. Jadi kelebihan penalaran induktif terletak pada proses mendapatkan pernyataan baru namun pada sisi lain hasil yang didapat tersebut masih berpeluang untuk menjadi salah. Sedangkan kelebihan penalaran deduktif yang valid atau sah adalah bahwa kesimpulan yang diperoleh tidak akan pernah salah jika premispremisnya bernilai benar. Banyak filusuf yang memimpikan suatu bentuk argumen

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 23

atau penalaran yang menghasilkan pernyataan baru yang bersifat umum yang melebihi kasus-kasus khususnya dan hasilnya tidak akan salah jika premis-premisnya bernilai benar. Namun menurut Giere (1984) hal ini tidak akan terlaksana karena kedua penalaran tersebut memiliki kelemahan dan kelebihan masing-masing, dan manusia dituntut untuk memilih sesuai dengan kebutuhannya. Jadi penarikan kesimpulan dengan menggunakan penalaran induktif tetaplah sangat penting bahkan dalam matematika karena suatu ilmu tidak akan berkembang tanpa adanya penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari kasus-kasus khusus. Proses matematisasi yang dilakukan dan dihasilkan oleh para matematikawan, pada awalnya berdasarkan penalaran induktif yang kemudian digeneralisasikan menjadi pernyataan umum. Kemudian proses berikutnya adalah proses formalisasi pengetahuan matematika dengan menetapkan pengertian pangkal dan sifat pangkal (aksioma) yang menjadi landasan pengetahuan berikutnya yang harus dibuktikan secara deduktif.

7 – 24 Unit 7

Rangkuman Hakikat penalaran adalah bahwa penalaran merupakan suatu proses berpikir dalam menarik kesimpulan yang berupa pengetahuan terkait dengan kegiatan berpikir. Ciri pertama dalam penalaran adalah adanya suatu pola berpikir yang secara luas yang disebut logika dimana berpikir logis merupakan kegiatan berpikir menurut alur, pola atau kerangka tertentu. Ciri kedua adalah adanya proses analitik dari proses berpikirnya dimana berpikir analitis merupakan konsekuensi dari adanya suatu pola berpikir analisis sintesis berdasarkan langkah-langkah tertentu. Penalaran induktif adalah suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan atau membuat pernyataan baru yang bersifat umum berdasar pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui atau dianggap benar. Penalaran induktif bersifat a posteriori yaitu kasus-kasus yang dijadikan premis merupakan hasil pengamatan inderawi. Penalaran deduktif adalah suatu cara penarikan kesimpulan dari pernyataan atau fakta yang dianggap benar dengan menggunakan logika dimana cara penarikan kesimpulan tersebut bersifat khusus dari hal-hal atau kasus-kasus yang bersifat umum. Penalaran deduktif bersifat a priori yaitu premis-premis tidak memerlukan pengamatan inderawi atau empiris. Inti penalaran deduktif adalah pada tepat atau tidaknya hubungan antara premis-premis dan kesimpulan. Kelebihan penalaran induktif terletak pada proses mendapatkan pernyataan baru namun pada sisi lain hasil yang didapat tersebut masih berpeluang untuk menjadi salah. Sedangkan kelebihan penalaran deduktif yang valid atau sah adalah bahwa kesimpulan yang diperoleh tidak akan pernah salah jika premis-premisnya bernilai benar. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan penalaran induktif tetaplah sangat penting bahkan dalam matematika karena suatu ilmu tidak akan berkembang tanpa adanya penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari kasus-kasus khusus. Proses matematisasi awal berdasarkan penalaran induktif yang kemudian digeneralisasikan menjadi pernyataan umum. Kemudian proses berikutnya adalah proses formalisasi pengetahuan matematika dengan menetapkan pengertian pangkal dan sifat pangkal (aksioma) yang menjadi landasan pengetahuan berikutnya yang harus dibuktikan secara deduktif.

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 25

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi penalaran induktif dan deduktif dengan cara memberi tanda silang pada (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran induktif. 2. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran deduktif. 3. Buktikan dalil Pythagoras dengan menggunakan penalaran induktif. 4. Buktikan dalil Pythagoras dengan menggunakan penalaran deduktif. 5. Buktikan bahwa jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dimana a < b , berlaku a + c < b + c dengan menggunakan penalaran deduktif.

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

7 – 26 Unit 7

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. D. Pernyataan tersebut selalu bernilai benar untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. 2. A. Pernyataan tersebut selalu bernilai benar yang ditunjukkan oleh tabel kebenaran berikut ini. p ∨ q p ∧ ( p ∨ q ) [ p ∧ ( p ∨ q )] → p p Q B B S S

B S B S

B B B S

B B S S

B B B B

3. A. Apapun nilai kebenaran dari pernyataan “Andy pintar”, pernyataan “Andy pintar dan Andy tidak pintar” selalu bernilai salah. 4. B. 5. C. Untuk mengetahui bentuk penarikan kesimpulan yang diketahui, kita misalkan bahwa p : x dan y bilangan berurutan q : bilangan yang satu genap dan yang lainnya ganjil s : jumlah kedua bilangan tersebut ganjil sehingga diperoleh p→q

q→s ∴p→s yang merupakan argumen silogisme. 6. A. 7. A. Pernyataan

[( p → q ) ∧ q ] → p bukan

merupakan tautologi, sedangkan 3

pilihan yang lain merupakan tautologi.

8. D. Pernyataan t ∧ ( p ∨ q ) dapat diturunkan dari kedua premis yang diketahui sebagai berikut. Pernyataan Asal p ∨ q (1) Premis 1 s∧t (2) Premis 2 (3) t ∧ s (2)

Alasan

Komutatif

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 27

(4) (5)

T t ∧ ( p ∨ q)

(3) (1) & (4)

Simplifikasi Konjungsi

9. C. Bentuk penarikan kesimpulan tersebut merupakan modus tolens. 10. D. Untuk memudahkan menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui, kita misalkan p : Suatu fungsi bijektif q : fungsi injektif r : fungsi onto Pernyataan-pernyataan yang diketahui mempunyai bentuk sebagai berikut.

(q ∧ r ) → p

∼p Bentuk

di

atas

merupakan

argumen

modus

tolens

sehingga

kesimpulannya adalah ∼ (q ∧ r ) ≡ ∼q ∨ ∼r. Dengan kata lain kesimpulan yang diperoleh adalah “fungsi f bukan injektif atau bukan onto”.

Kunci Tes Formatif 2 1. Akan dibuktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran induktif sebagai berikut. Kita ambil sebarang dua bilangan ganjil berikut ini. 1+3=4 1+5=6 3+5=8 Demikian seterusnya. Jika kita ambil sebarang dua bilangan ganjil, kemudian kita jumlahkan diperoleh bilangan genap. Dari sini disimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. 2. Akan dibuktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran deduktif sebagai berikut. Misalkan dipunyai dua bilangan ganjil yaitu 2n + 1 dan 2k + 1 dengan n dan k bilangan asli. Dua bilangan ganjil tersebut kita jumlahkan sehingga diperoleh (2n + 1) + (2k + 1) = 2n + 2k + 2 = 2(n + k ) + 2

7 – 28 Unit 7

n dan k bilangan asli maka n + k = m juga merupakan bilangan asli. Selanjutnya diperoleh (2n + 1) + (2k + 1) = 2m + 2 = 2(m + 1) . Bilangan m

merupakan bilangan asli maka m + 1 juga merupakan bilangan asli. Setiap bilangan asli jika dikalikan dengan 2 maka hasil kalinya adalah bilangan genap. Jadi terbukti bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. 3. Akan dibuktikan dalil Pythagoras dengan menggunakan penalaran induktif. Untuk membuktikan dalil Pythagoras, dibuat sebarang segitiga siku-siku, misalnya seperti gambar di bawah ini dengan ukuran 3-4-5.

Untuk menunjukkan kebenaran dalil Pythagoras digunakan alat peraga seperti di atas. Secara umum persegi 1 dan 2 dipindahkan ke persegi 3 sehingga persegi 3 tertutup semua oleh persegi 1 dan 2. Cara pemindahan bisa dengan memotong persegi 1 dan 2 menjadi persegi satuan sehingga dengan mudah dapat dipindahkan ke persegi 3 sehingga daerah persegi 3 tertutup semua. Hal ini menyatakan bahwa luas daerah 3 sama dengan jumlah luas daerah 1 dan 2. Dengan kata lain jika luas daerah persegi 3 adalag c 2 , luas daerah persegi 2 adalah a 2 , dan luas persegi 1 adalah b 2 maka diperoleh c 2 = a 2 + b 2 . Jadi terbukti kebenaran dalil Pythagoras yang menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lainnya. 4. Akan dibuktikan dalil Pythagoras dengan menggunakan penalaran deduktif. Dalil Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lainnya atau secara matematis dinyatakan dengan c 2 = a 2 + b 2 dimana segitiganya adalah sebagai berikut.

Pemecahan Masalah Matematika

7 - 29

Dipunyai

aturan

kosinus

yang

menyatakan

bahwa

c = a + b − 2.a.b cos(C) . Sudut C merupakan sudut siku-siku yang 2

2

2

besarnya 90 0 maka cos 90 0 = 0 sehingga diperoleh c 2 = a 2 + b 2 . Jadi bukti mengenai dalil Pythagoras selesai. 5. Akan dibuktikan bahwa jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dimana a < b , berlaku a + c < b + c dengan menggunakan penalaran deduktif. Diketahui a < b , menurut definisi “lebih kecil dari” berarti ada bilangan asli k sehingga a + k = b . Selanjutnya diperoleh Alasan (a + k ) + c = b + c Sifat penjumlahan pada kesamaan a + (k + c) = b + c

Sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k ) = b + c

Sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c

Sifat asosiatif penjumlahan

a+c 2 dan b > 3 apakah ab + 6 > 3a + 2b ? Pertanyaan di atas merupakan jenis pertanyaan atau masalah yang terkait dengan ....... A. generalisasi B. kehidupan sehari-hari C. membuktikan sesuatu D. penemuan sesuatu yang teoritis atau praktis

9 – 6 Unit 9

9. Pemecahan masalah matematika dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu pemecahan masalah rutin dan tidak rutin. Hal ini dikemukakan oleh ....... A. Cooney B. Poyla C. Silver D. Troutman 10. Usaha untuk mencari dan menemukan cara atau jalan untuk mencapai tujuan yang berupa solusi dari suatu masalah merupakan definisi dari ....... A. pemecahan masalah B. prosedur pemecahan masalah C. strategi pemecahan masalah D. validasi pemecahan masalah

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

9– 7

Subunit 2 Strategi Pemecahan Masalah

P

ada subunit 1 telah mengenai pengertian masalah. Ada dua jenis masalah yaitu masalah rutin dan tidak rutin. Masalah matematika yang merupakan masalah rutin adalah masalah yang disusun berkaitan secara langsung dengan konsep-konsep yang diberikan pada suatu topik. Sedangkan masalah tidak rutin adalah masalah yang disusun dengan maksud untuk memperluas wawasan sebagai aplikasi suatu konsep dalam memecahkan masalah nyata yang dihadapi, baik masalah yang berhubungan secara langsung dengan konsep tertentu maupun dengan disiplin ilmu yang lain. Dalam subunit 2 akan dibahas mengenai strategi pemecahan masalah. Secara umum strategi pemecahan masalah yang sering digunakan adalah strategi yang dikemukakan oleh Polya (1973). Menurut Poyla untuk mempermudah memahami dan menyelesaikan suatu masalah, terlebih dahulu masalah tersebut disusun menjadi masalah-masalah sederhana, lalu dianalisis (mencari semua kemungkinan langkah-langkah yang akan ditempuh), kemudian dilanjutkan dengan proses sintesis (memeriksa kebenaran setiap langkah yang dilakukan). Pada tingkatan masalah tertentu, langkah-langkah Polya di atas dapat disederhanakan menjadi empat langkah yaitu memahami masalah, membuat rencana penyelesaian, melaksanakan rencana dan melihat kembali. Berikut ini bagan yang dapat menjelaskan proses pemecahan masalah yang dikemukakan oleh Poyla.

Memahami masalah

Melihat kembali

Membuat rencana

Melaksanakan rencana Gambar 9.1 Bagan langkah-langkah pemecahan masalah matematika 9 – 8 Unit 9

Bagan di atas menekankan dinamisme dan sifat siklis dari pemecahan masalah yang asli. Pemecah masalah mulai dari masalah itu sendiri dan berusaha memahaminya. Kemudian pemecah masalah membuat rencana dan di dalam proses perencanaan mungkin akan menemukan sesuatu yang dibutuhkan untuk memahami masalah lebih baik. Setelah rencana terbentuk, pemecah masalah akan melaksanakan rencana tersebut. Dalam pelaksanaan bisa jadi diperoleh solusi, tetapi bisa jadi tidak. Jika tidak diperoleh solusi maka pemecah masalah bisa kembali membuat rencana baru atau kembali ke tahap memahami masalah. Jika masih mengalami kemacetan, pemecah masalah bisa mengajukan masalah baru yang mungkin relevan atau menyerupai masalah tersebut. Selanjutnya kita akan membahas langkah-langkah pemecahan masalah matematika yang dikemukakan oleh Poyla, satu persatu sebagai berikut. 1. Memahami masalah Pada langkah pertama ini, pemecah masalah harus dapat menentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan. Untuk mempermudah pemecah masalah memahami masalah dan memperoleh gambaran umum penyelesaiannya dapat dibuat catatan-catatan penting dimana catatan-catatan tersebut bisa berupa gambar, diagram, tabel, grafik atau yang lainnya. Dengan mengetahui apa yang diketahui dan ditanyakan maka proses pemecahan masalah akan mempunyai arah yang jelas. 2. Merencanakan cara penyelesaian Untuk dapat menyelesaikan masalah, pemecah masalah harus dapat menemukan hubungan data dengan yang ditanyakan. Pemilihan teorema-teorema atau konsep-konsep yang telah dipelajari, dikombinasikan sehingga dapat dipergunakan untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi itu. Jadi diperlukan aturan-aturan agar selama proses pemecahan masalah berlangsung, dapat dipastikan tidak akan ada satupun alternatif yang terabaikan. Untuk keperluan ini, bila perlu perlu pemecah masalah mengikuti langkah-langkah berikut. a. mengumpulkan data/informasi dengan mengaitkan persyaratan yang ditentukan untuk analisis b. jika diperlukan analisis informasi yang diperoleh dengan mengunakan analogi masalah yang pernah diselesaikan c. apabila ternyata “macet”, perlu dibantu melihat masalah tersebut dari sudut yang berbeda. Jika hubungan data dan yang ditanyakan sulit untuk dilihat secara langsung, ikutilah langkah-langkah berikut. a. Membuat sub masalah. Hal ini akan sangat berguna pada masalah yang kompleks.

Pemecahan Masalah Matematika

9– 9

b. Cobalah untuk mengenali sesuatu yang sudah dikenali, misalnya dengan mengingat masalah yang mirip atau memiliki prinsip yang sama. c. Cobalah untuk mengenali pola dengan mencari keteraturan-keteraturan. Pola tersebut dapat berupa pola geometri atau pola aljabar. d. Gunakan analogi dari masalah tersebut, yaitu masalah yang mirip, masalah yang berhubungan, yang lebih sederhana sehingga memberikan Anda petunjuk yang dibutuhkan dalam memecahkan masalah yang lebih sulit. sesuatu yang baru untuk membuat hubungan e. Masukan antara data dengan hal yang tidak diketahui. f. Buatlah kasus g. Mulailah dari akhir (Asumsikan Jawabannya) yaitu dengan menganalisis bagaimana cara mendapatkan tujuan yang hendak dicapai. 3. Melaksanakan rencana Berdasarkan rencana, penyelesaian–penyelesaian masalah yang sudah direncanakan itu dilaksanakan. Didalam menyelesaikan masalah, setiap langkah dicek, apakah langkah tersebut sudah benar atau belum. Hasil yang diperoleh harus diuji apakah hasil tersebut benar-benar hasil yang dicari. 4. Melihat kembali Tahap melihat kembali hasil pemecahan masalah yang diperoleh mungkin merupakan bagian terpenting dari proses pemecahan masalah. Setelah hasil penyelesaian diperoleh, perlu dilihat dan dicek kembali untuk memastikan semua alternatif tidak diabaikan misalnya dengan cara a. melihat kembali hasil b. melihat kembali alasan-alasan yang digunakan c. menemukan hasil lain d. menggunakan hasil atau metode yang digunakan untuk masalah lain e. menginterpretasikan masalah kembali f. menginterpretasikan hasil g. memecahkan masalah baru h. dan lain sebagainya. Berikutnya kita akan mengkaji suatu masalah dan mencoba untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan berdasarkan 4 langkah pemecahan yang dikemukakan oleh Poyla. Silahkan Anda menyimak contoh masalah berikut ini.

9 – 10 Unit 9

Contoh : Pak Heri mempunyai 6 buah drum yang sama dengan jari-jari alasnya sama dengan 50 cm. Keenam drum tersebut akan diikat menjadi satu dengan posisi seperti pada gambar berikut. Tentukan panjang tali yang diperlukan untuk mengikat keenam drum tersebut.

Penyelesaian : Tahap 1. Memahami masalah Dari gambar dicari informasi penting yang akan digunakan dalam memecahkan masalah. Dengan menggunakan garis pertolongan sehingga diperoleh gambar di bawah ini, kita akan mengumpulkan informasi yang diperlukan.

Tali yang digunakan untuk mengikat drum, menurut gambar di atas merupakan gabungan dari garis lurus, garis lengkung dan garis miring. Panjang jari-jari alas drum sama dengan 50 cm. Tahap 2. Membuat rencana Karena tali yang diperlukan merupakan gabungan dari garis lurus, garis lengkung dan garis miring, maka akan dihitung panjang garis-garis tersebut sebagai berikut. Selanjutnya hasil yang diperoleh dijumlahkan untuk mendapatkan panjang tali yang diperlukan untuk mengikat keenam drum. Tahap 3. Melaksanakan rencana Pada tahap ini, kita akan menghitung panjang garis lurus, garis lengkung dan garis miring sebagai berikut. Panjang tali yang berbentuk garis lengkung adalah 1 • Panjang garis lengkung di sisi atas, kiri dan kanan = 2 × keliling lingkaran 8 1 = keliling lingkaran 4 1 • Panjang garis lengkung di sisi kiri = keliling lingkaran 4

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 11

1 keliling lingkaran 8 1 1 3 • Panjang garis lengkung di sisi kanan = + = keliling lingkaran 4 8 8 1 1 1 3 Jadi panjang seluruh garis lengkung yang ada sama dengan + + + = 1 keliling 4 4 8 8 lingkaran. Jadi panjang tali yang merupakan garis lengkung sama dengan 2πr = 2 × 3,14 × 50 = 314 cm.

•

Panjang garis lengkung di sisi bawah kiri =

Selanjutnya akan dihitung panjang tali yang merupakan garis lurus. •

Panjang garis lurus di sisi atas = r + r = 2r

• Panjang garis lurus di sisi bawah = r + r + r + r = 4r Jadi panjang seluruh garis lurus yang ada adalah 2r + 4r = 6r = 6 × 50 = 300 cm. Panjang tali yang merupakan garis miring adalah

•

Panjang garis miring di sisi kiri, atas dan bawah = r + r + r + r = 4r

•

Panjang garis miring di sisi kanan merupakan sisi miring dari segitiga sama kaki sehingga dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh panjang garis miring tersebut yaitu ( 2r ) 2 + ( 2r ) 2 = 4r 2 + 4 r 2 = 8r 2 = 2r 2

Jadi

panjang

tali

yang

merupakan

garis

miring

sama

dengan

4r + 2r 2 = 4 × 50 + 2 × 50 × 1,41 = 200 + 141 = 341 cm. Dengan demikian panjang tali yang dibutuhkan mengikat keenam drum tersebut adalah 314 + 300 + 341 = 955 cm. Tahap 4. Melihat kembali Pada tahap ini, dicek kembali apakah ada yang terlewati. Pemecahan masalah merupakan sebuah proses. Berikut ini kita akan mengkaji ruang lingkup proses pemecahan masalah. Untuk menjadi pemecah masalah dalam matematika, dia harus memiliki pengetahuan matematika sebagai dasar. Sejauh mana efektivitas pengorganisasian pengetahuan mempunyai kontribusi untuk keberhasilan pemecahan masalah. Menurut Silver (1979) menyatakan bahwa keberhasilan pemecah masalah lebih dikarenakan bagaimana mereka dapat menggolongkan masalah matematika berdasarkan kesamaan dalam struktur

9 – 12 Unit 9

matematika. Jadi ruang lingkup pertama dalam proses pemecahan masalah adalah pengetahuan matematika sebagai dasar. Ruang lingkup proses pemecahan masalah matematika yang kedua adalah terkait dengan algoritma. Algoritma adalah sebuah prosedur, yang dapat diaplikasikan pada soal latihan dimana jika prosedur tersebut benar maka dapat dipastikan akan memberikan jawaban yang benar untuk soal tersebut. Algoritma merupakan hal penting dalam matematika, tetapi proses penggunaan algoritma bahkan untuk algoritma yang rumit bukan pemecahan masalah. Proses membentuk algoritma dan generalisasinya dalam aplikasi khusus dapat merupakan pemecahan masalah. Jadi pemecahan masalah dapat membuat pemecah masalah membangun algoritma sendiri. Contoh pembentukan algoritma disini antara lain membangun proses dalam faktorisasi persamaan kuadrat, proses membagi ruas garis hanya dengan menggunakan konstruksi Euclidean. Ruang lingkup yang ketiga dalam pemecahan masalah adalah penggunaan strategi heuristic. Heuristic adalah strategi, teknik dan aturan-aturan dalam pemecahan masalah. Teori pemecahan masalah matematika merupakan fokus mayor dalam aturan heuristic. Poyla dalam How to Solve It menyatakan bahwa pemecahan masalah matematika jauh lebih kompleks dibandingkan teori manapun yang telah dibangun sejauh ini. George Polya (1973) melalui pengalaman mengajar selama 40 tahun sebagai guru matematika menganjurkan strategi heuristic dalam pemecahan masalah matematika. Strategi ini dimaksudkan agar dalam proses pemecahan masalah dapat dibuat keputusan (decide) berdasarkan analogi, keputusan induktif, peragaan dan mensketsa gambar masalah. Strategi ini menuntut kemampuan menemukan hubungan yang ada dan tepat dalam suatu masalah. Polya menganjurkan dalam pemecahan masalah matematika perlu dipersiapkan sejumlah contoh soal yang bervariasi yang dimulai dari contoh sederhana, kemudian melalui proses pemecahannya dapat ditemukan metode yang paling baik sebagai konsekuensi dari pemecahan masalah sederhana itu hingga langkah-langkah solusi yang dilakukan berikutnya. Pemecahan masalah menurut Polya merupakan proses pendidikan yang cukup baik asalkan jawaban itu dipresentasikan. Strategi heuristic Polya terdiri atas tujuh macam yaitu

1. Generate and Test. Suatu proses pemecahan masalah yang dilakukan terlebih dahulu secara acak (apa yang terpikirkan sebagai jawaban yang mungkin), kemudian terhadap solusisolusi acak itu dilakukan pengecekan (validasi) kemudian diambil generalisasi solusi. Langkah-langkahnya adalah a. pilih jawaban yang mungkin

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 13

b. uji jawaban itu c. jika jawaban itu valid berarti masalah selesai, dan jika jawaban itu invalid maka lakukan langkah itu kembali mulai dari a.

2. Hill Climbing. Setiap langkah yang dilakukan harus progressif hingga mendekati hasil akhir. Alternatif solusi berikutnya harus diketahui jika muncul masalah pada langkahlangkah yang dilakukan (masalah minimal atau maksimal). Jika tidak diketahui alternatif berikutnya berarti hill climbing berakhir.

3. Best First Search. Proses ini dilakukan dengan memilih langkah terbaik yang akan diteruskan di antara sejumlah langkah alternatif yang telah dipersiapkan. Bila langkah yang dipilih itu mengalami kebuntuan maka dapat dipilih langkah lain yang telah dipersiapkan sebelumnya.

4. Problem Reduction. Proses ini mereduksi masalah menjadi masalah-masalah sederhana. Selanjutnya dengan memecahkan bagian bagian masalah sederhana secara benar maka masalah sesungguhnya telah terpecahkan.

5. Constraint Satisfaction. Dalam hal ini konstrain (syarat) yang diberikan harus dipenuhi terlebih dahulu, dengan demikian dicari alternatif solusi . Di antara alternatif solusi inilah dipilih suatu jawaban akhir. Jadi dalam proses pemecahan masalah terjadi pengambilan keputusan dimana pengambilan keputusan ini didefinisikan sebagai pemilihan solusi terbaik dari sejumlah alternatif solusi yang diperoleh (Hunsaker, dalam Lasmahadi, 2005).

6. Means Ends Analysis. Hunsaker dalam Lasmahadi (2005) mendefinisikan pemecahan masalah sebagai suatu proses penghilangan perbedaan atau ketidaksesuaian yang terjadi antara hasil yang diperoleh (current state) dan hasil yang diinginkan (goal state). Jadi dalam proses ini perlu dilakukan deteksi antara current state dan goal state. Ketidaksesuaian jawaban yang ditemukan segera disisihkan. Susunlah submasalah kemudian lakukan deteksi pada submasalah yang dibuat. Temukan jawaban yang paling tepat di antara jawaban yang mungkin dari solusi submasalah.

7. Heuristic Vee. Dalam proses ini terlebih dahulu dipahami struktur masalah kemudian dikonstruksikan pemecahannya. Elemen-elemen konseptual (teori, prinsip) masalah utama, metodologi diketahui secara baik. Setiap kejadian atau obyek dirangkai dan

9 – 14 Unit 9

dimengerti bagaimana masing-masing elemen yang ada saling berhubungan satu sama lain yang akan berakibat pada penemuan pengetahuan baru. Pencarian yang luas mengenai pengetahuan dasar sebagai informasi dasar dalam pemecahan masalah matematika, algoritma dan daftar strategi heuristic belum cukup untuk memecahkan suatu masalah matematika. Pemecah masalah harus juga mengkonstruksi mekanisme keputusan untuk memilih strategi heuristic yang ada atau membuat yang baru seperti situasi masalah yang ditemukan. Secara pasti Poyla mengharapkan bahwa pemecah masalah harus berpikir mengenai berbagai macam taktik, pola, teknik dan strategi yang mungkin untuk memecahkan masalah tersebut. Seperti yang telah dikemukakan pada subunit 1 bahwa ada dua jenis pemecahan masalah matematika. Jenis pertama adalah pemecahan masalah rutin dan yang kedua adalah pemecahan masalah yang tidak rutin atau tidak biasa. Berikut ini kita akan membahas proses kedua pemecahan masalah tersebut. Tabel berikut mengilustrasikan proses kedua pemecahan masalah tersebut. Tabel 9.1 Tahap pemecahan masalah rutin dan tidak rutin Masalah Rutin Masalah tidak rutin a. membuat masalah menjadi a. memahami masalah dan pilih prosedur yang memenuhi familiar b. melaksanakan prosedur dan b. mengumpulkan informasi yang mencari solusi relevan dengan masalah c. mengevaluasi solusi c. temukan beberapa strategi untuk memecahkan masalah dan evaluasi strategi-strategi tersebut d. pilih strategi dan melaksanakannya untuk mencari solusi serta evaluasi solusi tersebut. Pemecahan masalah rutin sebenarnya telah kita pelajari pada unit 8. Pada unit 8 telah dibahas bagaimana menterjemahkan masalah atau soal cerita ke dalam model matematika sehingga dapat diselesaikan secara matematis. Oleh karena itu dalam unit ini kita hanya akan membahas pemecahan masalah yang tidak rutin.

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 15

Banyak masalah matematika yang merupakan masalah tidak biasa dimana tidak ada metode atau prosedur standar dalam menyelesaikannya. Pada tabel di atas telah dikemukakan proses pemecahan masalah tidak rutin. Berikut ini kita akan membahas proses tersebut satu persatu.

1. Membuat masalah menjadi familiar Untuk membuat masalah menjadi familiar dapat dilakukan dengan dua cara yaitu yang pertama adalah mencoba mengenali ciri-ciri dari obyek atau konsep matematika yang mungkin telah dipunyai. Cara yang kedua adalah untuk menyatakan kembali masalah dalam berbagai macam bentuk atau cara. Ungkapkan masalah tersebut dengan kata-kata Anda sendiri, buat diagram, tabel, atau grafik dan temukan kalimat matematika untuk membuat pernyataan ulang yang sesuai dengan masalah itu.

2. Mengumpulkan informasi Langkah selanjutnya adalah mengumpulkan informasi dengan melihat pola dan mengidentifikasi hubungan yang ada. Ada beberapa cara untuk mengumpulkan informasi yaitu a. menemukan persamaan dan perbedaan. b. mengklasifikasi obyek atau konsep matematika c. menentukan apakah informasi yang diperoleh cukup untuk menyelesaikan masalah dan mengeliminasi informasi yang tidak relevan d. menemukan hubungan dan pola e. menentukan sistematika kasus atau alternatifnya f. menentukan aproksimasi atau pendekatan g. memperluas informasi yang diperoleh h. membandingkan obyek atau konsep dengan kriteria

3. Menemukan dan mengevaluasi strategi Setelah pemecah masalah mempunyai masalah yang telah diformulasi dan mempunyai informasi yang cukup, maka langkah selanjutnya adalah menemukan strategi untuk menemukan solusi. Pada tahap ini diperlukan kemampuan untuk berpikir secara matematis.

4. Menggunakan strategi untuk menemukan solusi Gunakan strategi yang telah ditentukan pada langkah ketiga untuk menemukan solusi dan selanjutnya solusi tersebut dievaluasi. Untuk mengevaluasi solusi dapat digunakan cara sebagai berikut. a. Lihat kembali apakah solusi yang ditemukan benar-benar merupakan solusi dari masalah

9 – 16 Unit 9

b. Temukan solusi dengan menggunakan lebih dari satu strategi c. Lihat kembali perhitungan, kesimpulan dan lain sebagainya. Materi mengenai strategi pemecahan masalah telah selesai kita bahas. Rangkuman berikut ini, semoga dapat membantu Anda memahami materi secara garis besar.

Rangkuman Pada tingkatan masalah tertentu, Polya membuat 4 langkah penyelesaian atau pemecahan masalah yaitu memahami masalah, membuat rencana penyelesaian, melaksanakan rencana dan melihat kembali. Pemecahan masalah merupakan sebuah proses. Dalam proses tersebut diperlukan pengetahuan matematika yang harus dimiliki oleh pemecah masalah sebagai dasar dalam pemecahan masalah matematika. Keberhasilan pemecahan masalah biasanya berdasarkan kesamaan masalah dalam struktur matematika. Selain pengetahuan matematika, diperlukan suatu prosedur yang dapat diaplikasikan pada soal atau masalah matematika. Prosedur tersebut adalah algoritma. Penggunaan algoritma bukan merupakan bagian dari proses pemecahan masalah, namun proses pembentukan algoritma dan generalisasinya merupakan bagian dari proses pemecahan masalah. Bagian lain dalam proses pemecahan masalah adalah strategi pemecahan masalah yang dalam hal ini adalah strategi heuristic yang dinyatakan oleh Poyla. Strategi heuristic ini mempunyai 7 macam proses pemecahan masalah yaitu generate and test, hill climbing, best first search, problem reduction, constraint satisfaction, means ends analysis, dan heuristic vee. Jenis masalah matematika yang akan dipecahkan terdiri dari dua jenis yaitu masalah rutin dan tidak rutin. Masalah rutin merupakan masalah yang telah diketahui prosedur penyelesaiannya sedangkan masalah tidak rutin merupakan masalah yang tidak dapat segera diketahui prosedur penyelesaiannya. Untuk memecahkan masalah yang tidak rutin diperlukan cara lain dari pemecahan masalah rutin. Proses pemecahan masalah yang tidak rutin biasanya melalui beberapa tahap. Tahap pertama adalah membuat masalah tersebut menjadi maslah yang dikenali dengan cara membuat diagram, tabel atau grafik. Selanjutnya mengumpulkan informasi seperti menemukan persamaan dan perbedaan, mengklasifikasi, menemukan hubungan dan lain sebagainya. Tahap ketiga adalah menemukan strategi-strategi untuk memecahkan masalah dan mengevaluasi strategi-strategi tersebut. Dari evaluasi dipilih satu strategi yang tepat untukmenemukan solusi. Kemudian jangan lupa untuk mengevaluasi solusi yang sudah diperoleh.

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 17

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi strategi pemecahan masalah matematika dengan cara memberi tanda silang pada (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Dalam pemecahan masalah, melihat kembali hasil yang diperoleh merupakan tahap yang paling sulit dan penting. Berikut ini adalah cara yang dapat digunakan untuk melihat kembali hasil pemecahan masalah yaitu ....... A. mulai dari akhir B. menemukan hasil lain C. menggunakan analogi D. mengetahui yang ditanyakan 2. Berikut ....... A. B. C. D.

ini merupakan bagian dari proses pemecahan masalah, kecuali penggunaan algoritma pembentukan algoritma generalisasi algoritma penggunaan strategi heuristic

3. Pemecahan masalah merupakan proses penghilangan perbedaan yang terjadi antara hasil yang diperoleh dan hasil yang diinginkan. Hal ini merupakan salah satu proses strategi heuristic yaitu ....... A. problem reduction B. constraint satisfaction C. means ends analysis D. heuristic vee 4. Dalam proses hill climbing, hal yang dilakukan adalah ....... A. memilih jawaban yang mungkin secara acak B. memilih langkah terbaik dari sejumlah alternatif langkah C. memahami masalah dan mengkonstruksikan pemecahannya D. menemukan alternatif solusi jika muncul masalah pada langkah penyelesaian

9 – 18 Unit 9

5. Diberikan masalah sebagai berikut. Pak Ketut menggunakan mobil dengan daya angkut 750 kg barang untuk keperluan belanja. Suatu hari ia membeli 3 kwintal gula dan 7 karung beras yang masing-masing berisi 50 kg. Sisa daya angkut mobil akan diisi dengan terigu. Berapa kg terigu yang dapat dibeli oleh pak Ketut? Dalam memecahkan masalah tersebut, seorang siswa menuliskan seperti berikut ini. Diketahui : daya angkut mobil 750 kg 3 kwintal gula sama dengan 300 kg 7 karung beras masing-masing 50 kg sama dengan 350 kg Ditanyakan : berapa kg terigu sehingga jumlah kg barang sama dengan 750 kg. Proses yang dilakukan siswa tersebut merupakan tahap pemecahan masalah yaitu tahap ....... A. memahami masalah B. merencanakan cara penyelesaian C. melaksanana rencana D. melihat kembali 6. Dari masalah yang diberikan pada soal 5, diketahui siswa lain menuliskan seperti berikut ini. Misalkan banyak terigu yang dibeli adalah x maka x + 300 + 350 = 750 . Apa yang dilakukan siswa tersebut adalah ....... A. memahami masalah B. membentuk algoritma C. generalisasi algoritma D. menggunakan strategi 7. Diberikan masalah matematika sebagai berikut. Besar salah satu sudut segitiga sama dengan 20o. Besar sudut kedua sama dengan 3 kali besar sudut yang ketiga. Berapa besar sudut yang ketiga? Misalkan seorang pemecah masalah menyelesaikan masalah tersebut sebagai berikut.

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 19

Langkah 1. Diketahui salah satu besar sudut sebuah segitiga sama dengan 20o. Besar sudut kedua sama dengan 3 kali besar sudut ketiga. Jumlah besar ketiga sudut suatu segitiga sama dengan 180o. Langkah 2. Ditanyakan besar sudut ketiga dari segitiga tersebut. Langkah 3. Misalkan besar sudut kedua sama dengan x dan besar sudut ketiga sama dengan y maka x = 3 y dan 20 + x + y = 180 . Langkah 4.

20 + 3 y + y = 180 4 y = 180 − 20 4 y = 160 y = 40 Langkah 5. Karena y = 40 maka x = 3 × 40 = 120 . 20 + 120 + 40 = 180 Langkah 6. Jadi besar sudut ketiga dari segitiga tersebut adalah sebesar 40o.

Penyelesaian pada langkah 5 merupakan tahap ....... A. memahami masalah B. merencanakan cara penyelesaian C. melaksanana rencana D. melihat kembali 8. Pada soal nomor 7, langkah yang ketiga merupakan proses ....... A. penggunaan algoritma B. pembentukan algoritma C. generalisasi algoritma D. penggunaan strategi heuristic 9. Diberikan suatu masalah berikut ini. Diberikan himpunan bilangan {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9}. Buatlah bilangan terbesar yang disusun dari bilangan-bilangan dalam himpunan tersebut dimana setiap bilangan hanya boleh digunakan sekali. Masalah di atas merupakan masalah ....... A. rutin B. tidak rutin

9 – 20 Unit 9

C. aljabar D. peluang 10. Diberikan suatu masalah penarikan kesimpulan berikut ini 1. Diketahui x = 1 2. Karena x = 1 maka x 2 = 1 3. Karena x = 1 dan x 2 = 1 maka x 2 = x 4. Karena x 2 = x maka x 2 − 1 = x − 1 5. Dari x 2 − 1 = x − 1 diperoleh ( x − 1)( x + 1) = ( x − 1) 6. Dengan aturan kanselasi diperoleh x + 1 = 1 7. Padahal diketahui x = 1 maka 1 + 1 = 1 atau 2 = 1 Pada proses penarikan kesimpulan di atas diperoleh kalimat atau pernyataan yang salah yaitu 2 = 1 maka pasti ada kesalahan dalam pengerjaannya. Langkah yang salah dalam proses penarikan kesimpulan di atas adalah langkah ke ....... A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, sudah siapkah Anda mengikuti Ujian Akhir Semester?. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 21

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. C. 2. B. 3. D. 4. B. 5. B. 6. D. 7. B. 8. C. 9. D. 10. A.

Kunci Tes Formatif 2 1. B. 2. A. 3. C. 4. D. 5. A. 6. B. 7. D. 8. B. 9. B. 10. A.

9 – 22 Unit 9

Daftar Pustaka Cooney, T. J. 1975. Dynamics of Teaching Secondary School Mathematics. Boston: Houghton Mifflin Company Hudoyo. 1979. Pengembangan Kurikulum Matematika dan Pelaksanaannya di Depan Kelas. Surabaya: Usaha Nasional National Council of Supervisors of Mathematics. 1978. Position Paper on Basic Mathematical Skills. Mathematics Teacher. (Reprinted from position paper distributed to members January 1977) National Council of Teachers of Mathematics. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM Poyla, G. 1973. How to Solve It. Princeton, NJ: Princeton University Press

Shadiq, F. 2004. Pemecahan Masalah, Penalaran dan Komunikasi. [Online]. Tersedia di: http://www.p3gmatyo.go.id/ [4 Desember 2006]. Schoenfeld, A. H. 1985. Mathematical Problem Solving. Orlando, FL: Academic Press Silver, E. A. 1979. Student Perceptions of Relatedness among Mathematical Verbal Problems. Journal for Research in Mathematics Education Troutman, A. P. 1982. Mathematics: A Good Beginning Strategies for Teaching Children. Monterey, California: Brooks/Cole Publishing Company

Pemecahan Masalah Matematika

9 – 23

Glosarium Algoritma

Heuristic

: sebuah prosedur, yang dapat diaplikasikan pada soal latihan dimana jika prosedur tersebut benar maka dapat dipastikan akan memberikan jawaban yang benar untuk soal tersebut. : strategi, teknik dan aturan-aturan dalam pemecahan masalah.

9 – 24 Unit 9