12-Oscilaciones y Vibraciones Mecanicas Energia

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Vibraciones Por vibración mecánica se entiende el movimiento oscilatorio de una partícula, sólido o sistema de sólidos en torno a una posición de equilibrio.

Nos limitaremos a un solo grado de libertad

• • •

Vibraciones libres. Movimiento armónico simple Vibraciones amortiguadas Vibraciones forzadas. Resonancia

Vibraciones Por vibración mecánica se entiende el movimiento oscilatorio de una partícula, sólido o sistema de sólidos en torno a una posición de equilibrio.

Nos limitaremos a un solo grado de libertad

• • •

Vibraciones libres. Movimiento armónico simple Vibraciones amortiguadas Vibraciones forzadas. Resonancia

Vibraciones libres. Movimiento armónico simple

Bloque que cuelga de un resorte de constante elástica k Fm=k (leq-lo) posi posici ci n de de equilibrio lo

mg= k(leq-lo) mg

leq

xm

Desplazando el bloque de su posición de equilibrio una distancia x:

(

kx + k l

posici n de equilibrio

x=0 (a)

Fm=k (leq+x-lo) eq

O

!F

kx

x x

! lo ) =

 ma

x) ( !############ "

mg ! k leq  ! lo

(b)

+

=

 m$x$

! kx

x

mg xm

m!x! + kx

=  0

Ec diferencial del movimiento

m!x! + kx

=

0

ec. diferencial de 2º orden con coeficientes constantes

La solución es una combinación de exponenciales x = C1e !1 t

+

C2 e ! 2 t   siendo !1  y ! 2 , las raíces del polinomio característico

El polinomio característico es el obtenido sustituyendo en la ec. diferencial !! ! " x

En nuestro caso

Definiendo:

m!

!n

2

=

 !!  !x!

=

! !" x

+ k  =  0 " !

x !1

2

=  #

k =

2 ! A" n ·sen" n t !

k m

x

m

Derivando respecto al t: a

2

v

=

! x

2

B" n ·cos " n t

=

=

" !  = ± i

=  A·sen! n t +

k m

B·cos ! n t

A! n ·cos ! n t " B! n ·sen! n t

2 !" n ·x

A y B son constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales del problema

Otra forma de expresar la solución:

x = x m sen

(!

n

t+"

)

T

A  x m  cos !

xm

=

B  x m sen! =

tg!

O

B =

t

A + xm

xm Amplitud o valor máximo del desplazamiento !n =

frecuencia angular o pulsación  natural de la vibración; en rad/s

! ángulo de fase o desfase

T es el periodo  o tiempo en que hace una oscilación completa:

Frecuencia, f, es el número de oscilaciones por unidad de tiempo:

f=1/T

unidades SI: Hz (hercios o ciclos/s)

T

2! =

"

Muelles en paralelo Sistema en la posición de equilibrio:

Muelle único equivalente:

k1

ke

k2

xeq

xeq

Separado ligeramente de la posición de equilibrio: ambos muelles se estiran la misma longitud k1

k2 xeq

ke

xeq

!x

Fm

1

+

Fm2

=

Fme

!

ke

=

k1

+

k2

!x

k2

k1

Muelles en serie xeq2

xeq1 xeq

k1!x1

k2!x2

xeq1

xeq2

!x1

ke

!x2

xeq

k1 !x1

=

k 2 !x 2

xeq

!x

=

k e !x

=

ke!x

ke!x

!x

Fm

1 ke

1 =

k1

=

!x1

1 +

k2

+

!x 2

!x

Fm ke

=

Fm k1

+

Fm k2

Un bloque de 25 kg se sostiene mediante la disposición de que se muestra. Si el bloque se desplaza verticalmente de su posición de equilibrio hacia abajo, determínense: a) el periodo y frecuencia del movimiento resultante y b) la velocidad y aceleración máximas del bloque si la amplitud del movimiento es 30 mm

6 kN/m 3 kN/m 24 kN/m

Muelle equivalente : 1 ks

25 kg

ke

1 =

=

6 ks

1 +

+

!

24

ks

=

ke

yequil

4.8 kN / m

3  = 7.8 kN / m

k ey

25 kg

Ecuación del movimiento al desplazarlo una distancia (y) de la posición de equilibrio (2ª ley de Newton)

m!! y + k e y

=

 0

y

!! y+

!

ke

y

m

ke

=

m

=

0

!

y

=

y o cos ( "t )

7800 N / m =

=

25 kg

Frecuencia

f 

! =

2"

=

17.66 rad/s

2.81 Hz

Frecuencia angular o pulsación

Periodo

T=

2! =

0.36 s

"

 b) Derivando respecto al tiempo la coordenada y(t) hallamos la velocidad y aceleración del bloque en cualquier instante

y

=

y o cos ( !t )

y!

=

"

y o!  sen ( !t )

!! y

=

"

y o! 2 cos ( !t )

vmáx = y o!  = 0.03·17.66 = 0.53 m/s (cuando pasa por la posición de equilibrio) a máx

=

y o! 2

=

0.03 · 17.66 2

=

9.36 m / s2 (en los extremos de y= ± y o )

Péndulo simple O O

n

!

n

t

T

t

!

mgsen! !

an= #2L

mgcos!

at= L"

mg ! Ft

=

! Fn

ma t )

=

" mg sen#

=

ma n ) T " mg cos #

Ecs dinámica

m at =

m an

Cinemática: v

=

 L !

! Ft

=

=

 L·

d" dt

2

2

at

ma t ) " mg sen#

=

=

 L !

=

 L

 d " dt

mL

d2# dt 2

2

v

an

=

!

 ! ( t )

=

L

=

2 d! %  "   L $ #  dt '  & 

ec del movimiento

L!! ! + gsen! =  0

Para ángulos !  muy pequeños, el sen

g !! !+ ! = 0

!

 !  (en

siendo " n

=

g

Frecuencia angular del péndulo simple

L

Solución para el desplazamiento angular :

De periodo:

radianes)

Ec. de movimiento armónico simple

L

2 !! ! + " n! = 0

!

T=

2! "n

#

T

=

2!

g L

! = ! msen ( " n t + # )

Péndulo físico: Sólido oscilando en torno a un punto fijo Y O

X

O dG

dG

!

G mg

mg

dG sen!

Teorema del momento angular: MO

=

IO! )

" mgdG ·sen#

=

IO!! #

Para ángulos !  muy pequeños, el sen !

!

 !  (en

mgdG !! !+ ! =  0

radianes)

IO

Movimiento armónico simple con frecuencia natural: !n

=

mgdG IO

periodo:

T

=

2!

IO mgdG

Dos barras uniformes, cada una de masa 12 kg y longitud L=800 mm, se sueldan para formar la “T” del dibujo. La constante de cada resorte es k=500 N/m y al extremo A se le da un pequeño desplazamiento y se suelta. Calcular la frecuencia del movimiento resultante.

A

m=24 kg L

OG

IO

12·0 =

=

+ 12·0.4

24

1 12

12· 0.8 2

G =  0.2m

O +

1 3

12· 0.8 2

=

3.2 kg·m 2

k

0.5 L

0.5 L

Se desplaza ligeramente de la posición de equilibrio

OG=0.2 m G

!

mg= 235.2 N

y 0.4!

O

y= 0.4sen! 0.4!

!

ky

ky

El teorema del momento angular " respecto al punto fijo O: ! !!  =

MO

Para ! pequeño :

sen!

!

 !

47 ! " 160 !

!

=

35.3

=

5.94 rad / s

cos! =

!

! 3.2!!

 pulsación

1

=

y

IO ! )  mg OG sen " # 2ky·0.4 cos "

!

0.4!

!! ! + 35.3 ! = 0 Frecuencia

f 

! =

2"

=

0.94 Hz

=

" IO !!

mpg=15 N r=0.75 m

Ejemplo : Hallar el periodo natural de oscilación del sistema cuando apartamos al bloque A hacia debajo de su posición de equilibrio

O

mAg=3 N

mA

3 =

9.8

=

0.306 kg m p

15 =

9.8

=

1.53 kg

=80 N/m

MO=0) Fm=T=3

En la posición de equilibrio: Polea : M O  0 )  T·r ! Feq ·r  0 " T  Feq

O

=

=

X=0 Fm=k(leq-lo)

Y

Bloque : ! Fy

T

=

T

m A g  Feq =

T=3 N

leq lo mAg=3 N

)

0  m A g

=

T

=

Esquema de fuerzas

Sistema desplazado una distancia y del equilibrio !

"

! y

O

r

#

!! y

y

=

=

O

 !! "

Fm=k(leq-lo+y) =Feq+ky

 r !! !

X=0 Y T

T y

mAg=3 N

(eq.) y

leq+y

y y

lo

k=80 N/m

mAg=3 N

Polea: M O

=

Bloque : ! Fy

(

mA

+

IO ! )  T·r " Fm ·r =

)

)

ma  m A g " T

0.5m p !! y + ky =  0

=

=

# 1 m r 2 &  !!) %$ 2 p (  ' 

Eliminando T m Ag

! 0.5m p r!"! !

m A !! y

!n =

"

Feq

! ky

=

 m A !! y

!! y

k mA

+

0.5m p

=

 8.64rad / s

T

2! !

=

"n

0.73 s

Vibración de una viga Una viga sobre la que actúa una carga sufre una deformación. El desplazamiento de sus puntos se calcula a partir de la resistencia de materiales, siendo proporcional a la carga aplicada. Q=mg

dest

Si la carga Q ha producido un desplazamiento del punto en que se ha colocado d est significa que la viga ha respondido con una fuerza recuperadora que la iguala. Podemos calcular entonces la constante recuperadora k: Q  k·d est =

!

k

Q =

d est

Separando el sistema de esa posición de equilibrio, la viga vibrará en torno a ella en un movimiento armónico simple de frecuencia natural !n

k =

m

Aplicación de la conservación de la energía en vibraciones Otra forma de encontrar la ec. diferencial del movimiento armónico si todas las fuerzas son conservativas E cin x

+

E pot

=   Asen

E cin

+

=

x

 cte

( ! n t + ")

E pot

k

=

1 2

mx! 2

! x +

Derivando respecto al t :

1 2

kx 2

=

(

1 2

=

 ! A" n cos ( " n t + # )

kA2

! m!! x x + kx

) = 0 ! m!!x + kx = 0

Este procedimiento se puede aplicar a cualquier sistema conservativo haciendo desplazamiento del sistema respecto a su posición de equilibrio.

Como ejemplo, para el sistema bloque-polea anterior:

E cin

E pot

=

=

1 2 1 2

m A ! y2

+

k ( l ! lo

1 2

+

IO !2

=

1 2

m A ! y2

+

1 " 1

1 %  mr 2 '  !! 2 = ( m A + 0.5m ) !y 2 $ &  2 # 2 2 "

2

y ) ! m A gy y

En la posición de equilibrio y=0, la E pot  es mínima:

! dE pot $  #"  dy &  % y

=

=

 0 ' k ( l ( lo )  m A g

O

r

y

=

0

!

#

y

mAg=3 N

k=80 N/m

La energía mecánica es constante:

(

d E cin

+

dt

E pot

)

=

 0

"#( m A + 0.5m ) !! y + k ( l ! lo + y ) ! m A g $% !y = 0

( m A + 0.5m ) !!y + ky = 0

(eq.) y

y y

Una barra de 800g está atornillada a un disco de 1.2 kg. Un resorte de constante k= 12 N/m une el centro del disco y la pared. Si el disco rueda sin deslizar, determinar el periodo de  pequeñas oscilaciones del sistema. Radio del disco=250 mm; AB=600 mm

r=250 mm A

k C

600 mm

B

"= !

y

xA=r!

x

k

Desplazamientos pequeños:

A

C

A

0.3 cos!

sen!

!

 !

cos!

!

1"

G ! "= !

Disco: !

Rueda sin deslizar sobre el suelo: Ec

1 =

2

2

m vA

1 +

2

IA

!2

1 =

Barra: gira como el disco xG

=

yG

=

2

(

")

1.2· 0.25 !

!

=

! "

vA

=

! r "

+

! 0.25 "

# 1 1.2·0.25 2 &  !"2 % (  '  2 $ 2 1

2

=

Ep

=  0.05625

=

 0

"! 2

! "

x A  ! AG sen" ! 0.25" ! 0.3" 1 2 &   ! AG cos"  !0.3 #  %$ 1 ! 2 " (  '  =

=

vGx

=

vGy

 !0.05 "" )+ dt +v ! v * G Gx dyG 0.3 "" " + dt +, vGy  O ( 2 )

dxG

=

=

=

=

!

vGx

=

 O (1)

1 2 ! 2

1

Ec

=

Ep

=

2

2

m b vG

1 +

2

IG

!2

1 =

2

1 1 2 &  2 "2 ) + #  " 0.8·0.6 (  ! % '  2 $ 12

(

0.8 0.0025 !

= 0.013

"! 2

 1 2 &  2  ! m b gAG cos"  ! m b gAG #  = cte + 1.176" %$ 1 ! 2 " (  '  !

Resorte elástico:

Ep

La energía total:

E

1 =

2

kx 2A

1 =

2

!2

=  0.06925!

2

12 ( 0.25! )

+ 1.551!

=

 0.375!2

2

La energía mecánica es constante del movimiento: dE dt

( 0.1385 !!!

+

3.102 !

) !!

De frecuencia angular

=

!" !! + 1.551·2" "! 0 ! 0.06925·2 "

=

0

!=

! + 3.102 ! 0.1385 !!

  3.102 0.1385

=

 4.73 rad / s

=

0

=

0

Ec. del movimiento vibratorio

 periodo

T

2! !

=

"

1.33 s

Vibraciones libres amortiguadas Los sistemas reales no se mantienen indefinidamente en vibración, ya que siempre hay rozamientos que hacen que pierdan energía hasta que se paran. De entre los tipos de fuerzas de rozamiento que puede haber, vamos a considerar únicamente el rozamiento fluido o amortiguamiento viscoso, que tiene lugar cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido. Este tipo de rozamiento puede ser de origen natural e inevitable como el debido movimientos en el aire o en agua, o bien puede ser buscado a propósito para eliminar vibraciones indeseadas Nos limitaremos a amortiguadores lineales: la fuerza de amortiguación se opone a la velocidad y es directamente proporcional al módulo de la velocidad con que se extiende o comprime el amortiguador !

F

!

=

 ! cv

siendo c : constante de amortiguamiento  viscoso (unidades S.I.

!

N·s/m)

x,x

c cx

k

mg kx

x

N

x

2ª Ley de Newton:

! Fx

=

ma x

)

" kx " cx! = m!! x

Ec. diferencial del movimiento: (de 2º orden con coeficientes constantes)

! + kx = 0 m!! x + cx

Polinomio característico: m!

2

+ c! + k

= 0 " !1,2 =

#c ±

2

c # 4mk 2m

Vamos a escribir estas raíces en función de las siguientes variables: !n

!

k =

m

pulsación natural del sistema

c =

c =

2 mk

2m" n

o razón de amortiguamiento (adimensional)

!1,2 = " #$ n

± $n

#2 " 1

El valor de c tal que la raíz es cero se llama coeficiente de amortiguamiento crítico, c r : c r 

La solución

x

=

C1e

=

!1 t

2m! n

+ C2 e

=

2

mk

!2 t

Se comporta de forma muy distinta según c sea mayor, menor o igual que cr

•

Sistema sobreamortiguado (o fuerte):

0 < !2 " 1 < !

c  > c r 

( o ! >1)

# $1 ,$ 2 reales y negativas # x ( t )   exp onencial decreciente

No hay movimiento vibratorio

•

Sistema con amortiguamiento crítico !1 =! 2

=

 " # n

c

=

c r 

( !=1)

1 raíz doble

La solución es de la forma (se puede comprobar sustituyendo en la ec. diferencial)

( ) = ( B + Ct ) e

x t

!" n t

No oscilatoria, cae rápidamente a 0

Tiene interés en ingeniería porque el sistema regresa a su posición de equilibrio, sin oscilar, en el menor tiempo posible.

•

Sistemas subamortiguados (o débil)

!1,2 = " #$ n

±

i$n 1 " #

c

<

c r 

( !