1.2 Limite de Funciones UPC

Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad

Definición de límite

1

¡Razonemos juntos! El gerente de una Compañía determina que cuando se está utilizando  x porcentaje de la capacidad de la planta el costo total es C ( x) cientos miles de dólares. La compañía tiene una  política de rotar el mantenimiento de tal forma que nunca se utilice más del 80% de su capacidad. ¿Qué costo esperaría el gerente cuando la planta esta operando a toda la capacidad  permitida? 2

¿Es razonable que el gerente espere un costo de $700 000 cuando se utiliza el 80% de la capacidad de la planta? ← x tiende a 80 por la derecha

 x tiende a 80 por la izquierda → x 

 f ( x)

79,9

79.99

79.999

6,99891

6,99989

6,99999

80

80.0001

80.001

80.04

7,000001

7,00001

7,00043

Este comportamiento se describe diciendo “C ( x) tiene valor  límite 7 cuando x tiende a 80”

3

Ejemplo 1 Sea la función: ¿qué ocurre con el valor de  f ( x) cuando x se aproxima a 3?

4

3 4

Cuando  x se aproxima a 3 por medio de valores mayores que el 3, se dice que  x se aproxima a 3 por la derecha Vemos que f ( x) tiende a 4. 4

Esto se simboliza por:

lim  f  ( x)  4

3

 x

 x 3

5

Cuando  x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3, se dice que  x se aproxima a 3 por la izquierda Vemos que f ( x) tiende a 4.

4

Esto se simboliza por:

lim  f  ( x )  4

 x

3

 x 3

6

Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos: Vemos que f ( x) tiende a 4.

4

Esto se simboliza por:

lim  f  ( x )  4  x

3

 x

 x 3

7

Ejemplo 2 Sea la función:

¿qué ocurre con el valor  de f ( x) cuando x  3 ?

5 4

 x

3

 x 8

Conclusión: En el Ejemplo 1, se aprecia que cuando x 3 ya sea por  la izquierda o por la derecha,  f ( x)  4 En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando x 3 por la izquierda, f ( x)4 y cuando x3 por la derecha,  f ( x) 5

¿En cuál de los ejemplos (1 o 2) existe el límite de f ( x) cuando x tiende a 3? 9

¡Observación !  Note que para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto  por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor  “ L” (en nuestro ejemplo L = 4) Para que el límite de una función en un valor de “ x” exista, no es necesario que la función esté definida en ese valor de “ x”

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Definición Si f ( x) se acerca más y más al número  L cuando x se aproxima cada vez más a a, por ambos lados, entonces  L es el límite f ( x) cuando x tiende a a. Este comportamiento se expresa: Este límite existe si

11

 y

Geométricamente, el enunciado de límite

 f ( x) ↓  L ↑  f ( x)

lim  f ( x)  L

 x a

 x→ a ←x

 x

Significa que la altura de la gráfica y = f ( x) tiende a L cuando x tiende a a, tal como se muestra en la figura.

12

Analicemos

¿A qué valor tienden los valores de  f ( x), g ( x) y h( x) cuando x tiende a 1? 13

En los ejercicios del a) al d), en caso existan, calcular los siguientes límites

Ejemplos:

a) lim  x  4

d) lim

 x 4

 x 3

 b) lim  x  1  2   x 1 2

c) lim   x 1

1   x

 x  3  x  9 2

e) limln  x   x e

2

 x  1

x   e f ) lim   x 0 

14

Ejemplo. De la gráfica de la función f , determine, en caso exista, el límite de f ( x) cuando x tiende a: −4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5

5

 y

4 3 2

 f 

1 −6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

 x

−1 −2 −3 −4 15

Ejemplo: Trace la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes condiciones: a) dom( f ) = R – {-2}

 f  ( x)  1 y  b)  xlím  2

lím  f  ( x)  1

 x 2

c) lím  f  ( x)  1,  f (0) = 3  x 0

d) lím  f  ( x)  2 , lím  f  ( x)  1 y  f (3) = 1    x 3

 x 3

Resuelva ejercicios del texto recomendados en la guía del alumno. 16