1.2 Función Cóncava y Convexa

Matemáticas IV UNIDAD 1: O PTIMIZACIÓN EST ESTÁ ÁTICA

1.2 FUNCIÓN CÓNCAVA Y CONVEXA

Definición de concavidad Una función F : Rn → R es cóncava, si el dominio de F   es un conjunto convexo de Rn y, para cualquier segmento o contenido en el dominio, las imágenes de F  de puntos intermedios no caen por debajo de la recta que une los puntos de F  correspondientes a los extremos.



 f   1    x

0

 

 f   x

   x  1   

0

    f   x 

Desigualdad de Jensen

Propiedades

a) Si F es convexa en k  ⊆  Rn, entonces α F  es convexa en k  (α  ≥  0)  b) Si f  1, f  2, …, f  m  son funciones convexas, entonces la función:    =1   , con  ≥ 0, es convexa. c) Sea F   una función real definida sobre  k  ⊆ R n y sea     ∈   ≤  ,  ∈  , si F  es convexa en X , entonces X   es un conjunto convexo de  R n. d) La función lineal en R n :      +   es, a la vez, cóncava y convexa.

Propiedades e) Si  f y g son cóncavas y a  0, b  0  af   bg es cóncava. f) Si  f y g son convexas y a  0, b  0  af   bg es convexa.

g) Si  f   x  es cóncava y  F u  cóncava y creciente 

U  x    F  f   x  es cóncava.

h) Si  f   x  es convexa y  F u  convexa y creciente 

U  x    F  f   x  es convexa.

i) Si  f y g son cóncavas



h x  min  f  x , g  x  es cóncava.

 j) Si  f y g son convexas



h x  max f  x, g  x es convexa.

Criterio de la derivada de segundo orden a)Funciones de una variable:  y

= f(x) 

Si f’’(x)  ≥  0

→  f(x) es

convexa

Si f’’(x)  ≤  0

→  f(x) es

cóncava

b) Funciones de dos variables:  z = f(x , y)  Evaluaremos el diferencial total:

  dz 

d 2 z   d dz   2

d   z    f   xx dx

2

 x 

dx 



dz   y

dy

2  f    xy dxdy   f    yy dy

Forma Cuadrática 2

Criterio de la derivada de segundo orden

Sea F : Rn → R   una función continua y diferenciable en todo su dominio hasta el orden 2. Se define la matriz Hessiana como:

 H  F  x 

  f    f         f  n

11

 f  12



 f  1n 

21

 f  22



 f  2 n





 f  n 2



1

      f  nn  nxn

Criterio de la derivada de segundo orden

Teorema:

Si F   es continua y diferenciable hasta el orden 2 y el dominio de F   es un conjunto convexo de R n, entonces: a) F es cóncava si HF  es Semi –   Definida Negativa.  b) F es convexa si HF es Semi –   Definida Positiva. c) F es estrictamente cóncava si H F  es Definida Negativa. d) F es estrictamente convexa si H F  es Definida Positiva.

Criterio de la derivada de segundo orden

Ejemplos:

Evalúe la concavidad de las siguientes funciones:



  y  y  a

1a

1.

U  x, y    x   x

2.

  L, K    p0 L  K    wL  rK 

3.



Q K , L   A   K 

  





0  a 1

1    L     

1 /

1            2     

 A  0,    0, 0     1