11ºMATEMATICA TRIGONOMETRIA

MATEMÁTICA A 11.o ano

CADERNO DE EXERCÍCIOS Rodrigo Viegas Silva

ÍNDICE Geometria no Plano e no Espaço II

Introdução ao Cálculo Diferencial I

Resolução de problemas que envolvam triângulos

Funções racionais Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Unidades de medida de ângulos. Círculo trigonométrico

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Derivadas Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Redução ao 1.º quadrante. Equações e funções trigonométricas Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Produto escalar de vetores Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Conjuntos definidos por condições

Funções com radicais Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ficha de autoavaliação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ficha de autoavaliação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Sucessões Reais Sucessões. Monotonia e limitação Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Progressões aritméticas e geométricas Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Limites de sucessões Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Retas e planos – paralelismo e perpendicularidade Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ficha de autoavaliação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Ficha de autoavaliação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ficha de autoavaliação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ficha de autoavaliação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Avaliação final

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico.

88

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

Torre Vasco da Gama, Parque das Nações (Lisboa)

Resolução de problemas que envolvam triângulos Exercícios resolvidos A

1. O triângulo [ABC] da figura é retângulo em A e AD ⊥ BC . De acordo com os dados indicados na figura, determina  AB e AC^B. D

B

3 cm

Resolução

C 9 cm

 AB O cosseno de A ^BC pode ser obtido por  , se considerarmos o triângulo [ABC] em que  AB é a medida BC   a da hipotenusa. Se, no entanto, pensarmos no triângulo [ABD], do cateto adjacente ao ângulo e BC BD  cos A ^BC =  .  AB Como o cosseno de um mesmo ângulo é constante, independentemente do triângulo onde está inserido, podemos, então, escrever:  AB 2  AB BD  3  = ⇔  = ⇔  AB = 36 ⇔  AB = 6 cm 12 BC   AB  AB  AB Para determinar AC^B, utilizamos a razão trigonométrica seno, pois sen AC^B =  donde: BC   A  B 6 1 AC^B = sen–1  = sen–1  = sen–1  = 30º BC  12 2

 

 



Resposta  AB = 6 cm e AC^B = 30º A

2. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: E = 2 cm , AE^C = 33º, AC ⊥ CE , D

B

^ C = 46º e BD ^ C = 36º AD Determina, com aproximação às décimas,  AB.

C

D

E

Resolução No triângulo [ACE] , podemos determinar a tangente de AE^C pela razão entre as medidas dos catetos [AC] – cateto oposto, sendo  AC = AB + BC  e [CE] – cateto adjacente, com C E = C D +D E = C D +2. ^ C, pela razão entre  No triângulo [ACD] , obtemos a tangente de AD AC = AB + BC  e C D . E, no triângulo [BCD], ^ C é obtida pela razão entre BC a tangente de BD eC D . A partir destes dados, podemos concluir que: BC   = 0,73C D  tg 36º =  ⇔ BC C D  3

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

O que nos permite escrever o seguinte sistema, cuja resolução nos leva ao cálculo de  AB:  AB + BC  tg 33º =  C D +2



AB + BC   tg 46º =  C D 

⇔

0,65(C D  + 2) =  AB + BC 



⇔

1,04C D = AB + BC 

⇔

⇔



⇔

1,04C D = AB + 0,73C  D

0,65C D  – 0,73C D – AB = –1,3



⇔

1,04C D  – 0,73C D = A B

–0,08C D – AB = –1,3



⇔

0,31C D = A B

–0,08C D  – 0,31C D  = –1,3



0,65C D  + 1,3 =  AB + 0,73C  D

⇔

AB = 0,31C   D

–0,39C D  = –1,3



⇔

C D   3,3



AB  1,0 

AB = 0,31C   D

Resposta  AB  1,0 cm

Exercícios propostos 1. Num triângulo retângulo, a razão trigonométrica que relaciona os dois catetos é: A. o seno.

B. o cosseno.

C. a tangente.

D. qualquer das anteriores.

2. Se os catetos de um triângulo retângulo medem, respetivamente, 3 cm e 4 cm, então, o seno do ângulo oposto ao maior dos catetos tem o valor de: 3 4 4 A. 4 B.  C.  D.  4 3 5 A

3. Em relação ao triângulo [ABC] da figura ao lado, o seno do ângulo ABC é: A. 0,6

B. 0,8

C. 0,75

D. 1,25

8 cm

6 cm B

C

4. Uma árvore projeta uma sombra de 17 metros de comprimento. Se o ângulo de ascensão com que observamos o Sol é de 30º, a altura da árvore é, aproximadamente: A. 9,8 m

B. 15,7 m

C. 29,4 m

D. 8,5 m

5. A área do paralelogramo representado na figura é, aproximadamente, de: A. 1,52

cm2

C. 32,33 cm2

B. 24,25

cm2

7 cm

C

4 cm

D. 28 cm2 A

4

D

60° E

B

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE ENVOLVAM TRIÂNGULOS

6. Considera um triângulo retângulo e isósceles. Então: III o seno e o cosseno dos ângulos agudos são iguais. III a tangente de cada um dos ângulos agudos é igual a 1. III os senos dos ângulos agudos são diferentes. IV nada podemos concluir acerca das razões trigonométricas dos ângulos agudos. As afirmações verdadeiras são: A. I e II

B. II e III

C. I e IV

D. III e IV

^ B tem de amplitude, 7. Na figura AB ⊥ BD e  AB = BC =C D  . Então, AD aproximadamente: A. 32,6º

B. 60º

C. 30º

D. 26,6º

A

B

D

C

8. A fotografia mostra o farol de Santa Marta, em Cascais. O Tiago queria saber a altura do farol. Colocou-se a 20 metros da sua base e, olhando para o farol, mediu, com um quadrante, a amplitude do ângulo de elevação com que observava o seu topo e obteve 40o. Atendendo aos dados obtidos e a que o Tiago mede 1,65 metros, determina a altura, aproximada aos centímetros, do farol.

9. Às 15 horas do dia 27 de Março de 2004, numa zona perto de Lisboa, a altitude do Sol era de, aproximadamente, 50 graus (a altitude do Sol é o ângulo que os raios solares fazem com o solo). Nesse instante, a sombra projetada no solo por um poste media 5,5 metros. Qual a altura, aproximada, do referido poste em centímetros?

10. A figura ao lado representa o rio Sorraia, em Coruche. Para determinar a largura do rio naquela zona, a Sara colocou-se na posição A indicada no desenho e fixou um ponto B na margem oposta, na perpendicular da margem onde se encontrava (AB ⊥ AC). De seguida, deslocou-se para uma posição C que distava 40 metros de A e mediu o ângulo (α) que AC faz com CB, obtendo 74º.

A

B _ C

Calcula a largura em metros, aproximada às décimas, do rio Sorraia, nesta zona. 5

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

11. Num trapézio isósceles, o ângulo que a base maior faz com o lado é de 60º. A base menor e os lados medem, cada um, 20 cm. Determina: 11.1 a altura do trapézio; 11.2 a área do trapézio.

12. Uma antena com 12 metros vai ser espiada por cabos presos a 2 metros do seu topo. Sabendo que os cabos mais curtos fazem com o solo um ângulo de 55º e os maiores um ângulo de 35º, determina, com aproximação aos centímetros, o comprimento de cada cabo e a que distância da base da antena vão ser fixados.

13. Um poste está preso a duas estacas, colineares com a base do poste e em lados opostos, por duas cordas que medem 8 e 10 metros. Sabendo que o ângulo que a menor corda faz com o chão é de 40º, determina a distância, aproximada aos centímetros, entre as duas estacas.

14. A fotografia retrata a fachada principal da Igreja Matriz de Sernancelhe, no distrito de Viseu. Um turista visualiza a base (B) do torreão do sino da igreja segundo um ângulo de elevação de 24º e o topo (T) do torreão segundo um ângulo de 37º. Sabendo que a base do torreão se encontra a, aproximadamente, 5,6 metros do solo, determina a altura do torreão e a distância a que se encontra o turista do monumento, com aproximação ao decímetro.

T

B

15. A fotografia mostra a torre do castelo de Marvão. A Rita queria determinar a altura da torre e, para isso, determinou os ângulos de ascensão e de depressão com que observava o topo e a base da torre segundo a horizontal do local onde se encontrava (A), tendo obtido, para ambos, um ângulo de 5º. De seguida, deslocou-se 20 metros (de A para B), numa direção perpendicular à da observação inicial, conforme esquema ao lado, e mediu o ângulo em B, na horizontal, obtendo 74º.

Torre

A

Determine, utilizando as medições da Rita, a altura da referida torre, com aproximação às décimas.

6

B

Unidades de medida de ângulos. Círculo trigonométrico Exercícios resolvidos 1. A fotografia mostra a roda gigante de um parque de diversões. Suponhamos que a roda tem 10 metros de raio e 12 cadeiras igualmente espaçadas, sendo a distância mínima ao solo de 1 metro. 1.1 Determina, com aproximação às décimas, a distância percorrida por cada cadeira numa volta. 1.2 Determina a medida do arco de circunferência, em graus, entre cada cadeira. 1.3 Determina a distância a que se encontra do solo uma cadeira que percorra uma distância correspondente a um ângulo de 120º, depois de se encontrar à distância mínima. Resolução 1.1 Cada cadeira percorre, numa volta, o perímetro da circunferência de raio igual ao raio da roda, logo, percorre P = 2π r = 2π × 10 = 20π  62,8 metros. 360o 1.2 Como a roda possui 12 cadeiras, então, o arco de circunferência, entre cada cadeira, é de  = 30o . 12 1.3 Considera o seguinte esquema relativo à situação apresentada: P O

C

B A

Depois de percorrer uma distância correspondente a um ângulo de 120º, a distância, d, ao solo será: d= AB + BO  + P C  AB é a distância mínima ao solo, logo,  AB = 1 metro BO  é o raio da roda, logo, BO  = 10 metros

P C ^ ^  podemos utilizar sen (P O C) =  ⇔ PC  = PO  sen (P O C) Para o cálculo de PC P O PO  = 10 metros (raio da roda) 1 ^ ^ ^ P O C = P OB – B OC = 120º – 90º = 30º , logo, PC  = 10 × sen 30º = 10 ×  = 5 metros 2 Então, d = 1 + 10 + 5 = 16 metros

7

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

2. O António comprou duas pizas, uma com 31 cm de diâmetro e outra com 24 cm. Como tem de dividir as pizas por si e por mais sete amigos, pretendendo que cada fatia tenha, aproximadamente, a mesma área, quer saber qual a medida aproximada, em graus, dos ângulos ao centro que tem de utilizar no corte de cada fatia em cada piza, sem sobrar piza. Resolução Comecemos por calcular a área de cada uma das pizas: A área da piza maior é Amaior = π r 2 = π × 15,52 ≈ 755 cm2 . A área da piza menor é Amenor = π r 2 = π ×122 ≈ 452 cm2 . Logo, a área total das duas pizas é, aproximadamente, 755 + 452 = 1207 cm2 . Como a divisão das pizas vai ser feita por oito pessoas, obtemos, para cada uma, uma área aproximada de: 1207 A =  ≈ 151 cm2 8 755 360º Assim, a piza maior vai ser dividida por  = 5 pessoas, pelo que o ângulo ao centro é de  = 72º. 151 5 452 360º A piza menor vai ser dividida por  ≈ 3 pessoas, pelo que o ângulo ao centro é de  = 120º . 151 3 Resposta A piza maior é cortada em fatias com 72º de amplitude e a menor com 120º.

Exercícios propostos 1. O valor exato da amplitude em radianos de um ângulo de 105º é: A. 1,83 rad

B. 0,58π rad

7π C.  rad 12

183 D.  rad 100

2. A medida de um arco de circunferência, compreendido entre os lados de um ângulo inscrito numa circunferência de raio 6 cm e cuja amplitude é de 1 radiano, é:

8

A. 3 cm

B. 6 cm

C. 9 cm

D. 12 cm

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

3. No quadrante em que o cosseno é crescente e a tangente é positiva: A. o seno é positivo e crescente. B. o seno é positivo e decrescente. C. o seno é negativo e crescente. D. o seno é negativo e decrescente. 4. Os quadrantes a que α pode pertencer, sabendo que sen α × tg α  0 são: A. apenas o 2.º Q.

B. 2.º ou 3.º Q.

C. 3.º ou 4.º Q.

D. apenas 4.º Q.

5. Se α tiver uma amplitude positiva e inferior ou igual a 45º, o valor da expressão sen α + tg α tem como máximo: A. 2

2 + 2  B.  2

2 2  C.  2

1 D.  2

6. Considera: III o dobro do seno de um ângulo adicionado do dobro do cosseno do mesmo ângulo é igual a 1. III quando o seno de um ângulo é zero, o valor do cosseno é 1. III nem todos os ângulos têm tangente. IV quando a tangente de um ângulo é zero, o valor do seno também é zero. As afirmações verdadeiras são: A. I e II

B. II e III

C. I e IV

D. III e IV

2k – 6 7. Sabendo que α pertence ao 1.º quadrante e sen α =  , então k pertence ao intervalo: 3 9 A. ]0, 1[ B. 3,  2

 

 

1 C. 0,  3



3 9 D.  ,  2 2

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GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

8. Determina o quadrante em que se encontra o lado extremidade dos ângulos cujo lado origem coincide com o semieixo positivo dos xx e cuja amplitude é: 8.1 160º 8.2 – 443º 8.3 1275º 9 8.4  π rad 5 11 8.5 –  π rad 3 9. Considera os polígonos regulares, inscritos numa circunferência de raio 5 cm, e de 3 a 6 lados, inclusive. 9.1 Indica a amplitude, em graus e em radianos, dos ângulos internos dos referidos polígonos. 9.2 Indica a amplitude, em radianos, dos ângulos ao centro a cujos lados pertencem dois vértices consecutivos, de cada um dos polígonos. 9.3 Indica a medida do arco compreendido entre os lados consecutivos de cada um dos polígonos. 7π 10. Um ângulo ao centro mede  radianos. Sabendo que o seu lado origem coincide com o semieixo posi5 tivo dos xx, indica em que quadrante se encontra o lado extremidade. 11. Indica os valores máximos e mínimos de cada uma das seguintes expressões: 11.1 2 + sen x 11.2 2 cos (2x + 1) 3 11.3  sen (x – 2) – 1 2 11.4 3 cos2 x – sen x (utiliza a calculadora gráfica) 11.5 sen2 x – cos2 x (utiliza a calculadora gráfica) 12. A roda do automóvel da fotografia tem 57 cm de diâmetro. Sabendo que o arco da jante, compreendido entre os lados de um ângulo ao centro de 1 radiano, mede, aproximadamente, 19 cm, determina: 12.1 a área lateral do pneu (área visível na fotografia), considerando-a uma coroa circular (2 c.d.); 12.2 o perímetro da roda (2 c.d.); 12.3 o número aproximado de voltas completas que o pneu deu, depois de o automóvel ter efetuado um percurso de 100 metros.

10

19 cm 57 cm

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

13. Numa rotunda rodoviária, a distância entre o centro da rotunda e o lado exterior do passeio é de, aproximadamente, 16 metros.

A

Dois automóveis (A e B) circulam nessa rotunda distanciados por um arco de circunferência de 150º. Determina o comprimento desse arco, em decímetros, supondo que os dois veículos percorrem uma trajetória idêntica e encostados ao passeio exterior, conforme o desenho ao lado.

B

14. Recortou-se o cone da figura pela geratriz [AV] e planificou-se o setor circular resultante da superfície lateral do cone.

V

Sabendo que O  A=2 e O  V = 4 , determina a amplitude, em graus e com aproximação às décimas, do ângulo do respetivo setor circular. O

A

15. Um funil tem 7 cm de diâmetro da «boca». A secção feita por um plano que contenha o vértice do cone e um diâmetro da «boca» do funil tem as seguintes dimensões: 7 cm A

B

8 cm θ V

15.1 Determina a amplitude, em graus, do ângulo θ. 15.2 Determina a quantidade máxima de líquido, em mililitros, que se pode despejar de uma só vez no funil, estando tapada a sua saída. 15.3 Qual a amplitude que deveria ter o ângulo θ, mantendo constante a altura do funil, para que a quantidade máxima de líquido que se podia despejar de uma só vez fosse o dobro da determinada na alínea anterior?

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Redução ao 1.o quadrante. Equações e funções trigonométricas Exercícios resolvidos





3 3 1. Sabendo que sen  π – x =  e que x  2.o Q. , determina sen (π – x) + tg (π  x) . 2 5 Resolução Simplificando os dados, obtemos:





3 3 3 3 sen  π – x =  ⇔ –cos x =  ⇔ cos x = –  2 5 5 5 e, simplificando a expressão pretendida, temos: sen (π – x) + tg (π + x) = sen x + tg x

(1)

Utilizando a fórmula fundamental da Trigonometria sen2 x + cos2 x = 1 , obtemos:



 

3 sen2 x + –  5

2

9 16 16 4 = 1 ⇔ sen2 x = 1 –  ⇔ sen2 x =  ⇔ sen2 x = ±   ⇔ sen x = ± 25 25 25 5 4 Como x  2.º Q. e o seno no 2.o quadrante é positivo, sen x =  . 5 sen x Utilizando a fórmula tg x =  , encontramos o valor da tangente: cos x 4  5 4 4 4 12 20 8 tg x =   –  = –  3 ⇔ tg x = – 3 , substituindo em (1), sen x + tg x = 5 – 3 =  15 15 15 –  5 Resposta 8 sen (π – x) + tg (π + x) = –  15

3π x 2. O gráfico seguinte representa as funções definidas por f(x) = sen (2x) e g(x) = cos  +  , no intervalo 2 2 y [0, 2π]:



1 g 0 -1

π 2

π

2π

3π 2 f

2.1 Indica o conjunto dos zeros de cada uma das funções no intervalo dado. 2.2 Determina as soluções da equação f(x) = g(x) no intervalo [π, 2π]. 12

x



REDUÇÃO AO 1.o QUADRANTE. EQUAÇÕES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Resolução

 3 2.1 Observando o gráfico, verificamos que a função f interseta o eixo dos xx quando x  0,  , 2 2 , ,  2 e a função g quando x  {0, 2} , logo, estes são os zeros das funções dadas.





2.2 Comecemos por resolver a equação dada: 3 x x f(x) = g(x) ⇔ sen (2x) = cos  2 + 2 ⇔ sen (2x) = sen 2 ⇔





 

x x ⇔ 2x =  + 2k ∨ 2x =  –  + 2k, k  ⺪ ⇔ 2 2 x x ⇔ 2x – = 2k ∨ 2x +  =  + 2k, k  ⺪ ⇔ 2 2 3x 5x ⇔  = 2k ∨  =  + 2k, k  ⺪ ⇔ 3x = 4k ∨ 5x = 2 + 4k, k  ⺪ ⇔ 2 2 2 4k 4k   ⇔ x=  3 ∨x= 5 + 5 ,k⺪

Vamos, agora, atribuir valores a k para obter valores no intervalo pretendido: 2 • k = 0: x = 0 ∨ x =  5 , estes valores não pertencem ao intervalo.

• k = 1:

2 4 4 6 4  +  ⇔ x =  ∨ x =  , ambos os valores pertencem ao intervalo. x=  ∨ x = 5 3 5 3 5

• k = 2:

8 8 2 8 8     x=  3 ∨ x = 5 + 5 ⇔ x = 3 ∨ x = 2 , apenas 2 pertence ao intervalo, pois 3  2 .

Assim, as soluções da equação são os elementos do conjunto



6 4  ,  , 2 . 5 3



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GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

Exercícios propostos 1. Na redução ao 1.o quadrante de um ângulo qualquer, obtemos um ângulo em que: A. as razões trigonométricas são iguais. B. as razões trigonométricas são, em valor absoluto, iguais. C. o seno e o cosseno são iguais e a tangente é simétrica. D. o seno e o cosseno são simétricos e a tangente igual.

3 2. Sabendo que sen (270º + x) = –  e x  1.o Q. , então sen x é: 2 1 A.  2

3 B.  2

2 C.  2

3 D. –  2

π 3. A simplificação da expressão sen (π – x) + cos (π + x) + sen  + x é: 2 A. 2 sen x + cos x B. cos x



C. sen x



D. sen x + 2 cos x

4. Considera: III existem ângulos cujas razões trigonométricas são todas negativas. III as soluções da equação cos x = –2 pertencem aos 2.o e 3.o quadrantes. III a equação sen x = –1 tem infinitas soluções. IV existem dois ângulos do intervalo [0, ] que têm o mesmo seno. As afirmações verdadeiras são: A. I e II

B. II e III

C. II e IV

D. III e IV

5. Indica qual é a afirmação verdadeira:

14

A. sen  + cos (90º + ) = 0

cos  B. tg  =  sen 

1 C. sen 210º =  2

D. cos 70º = – sen 20º

REDUÇÃO AO 1.o QUADRANTE. EQUAÇÕES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

6. A expressão tg2  · cos2  + cos2  é equivalente a: B. tg 2  + 2 cos2 

A. 1

C. 2 sen2 

D. –1 y

7. A figura representa, em referencial o.n. xOy:

A

• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1; • uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1, 0) ; • um ponto A pertencente a esta semirreta; origem é o semieixo positivo Ox e cujo • um ângulo de amplitude , cujo lado •

α O

1

x

lado extremidade é a semirreta OA.

Qual das expressões seguintes dá a área da região colorida, em função de ?  tg  A.  +  4 2

 2 B.  +  4 tg 

tg  C.  +  2

2 D.  +  tg  Exame Nacional 2001 – 1.a Fase – 2.a Chamada

8. Recorrendo ao círculo trigonométrico, indica, se possível, ângulos do 3.o quadrante: 1 8.1 com cosseno –  ; 2 8.2 com tangente 1;

3 . 8.3 com seno  2

9. Determina o valor exato de cada uma das expressões seguintes: 9.1 sen 270º + cos 210º – tg 135º

 







 





 



3 13 3 9.2 sen   + sen   – cos –   2 4 4



7 5 7 9.3 sen   – cos   + cos –3 + tg   3 6 4

 







7 2 2 9.4 2 sen   × cos   – tg –   3 3 3





       – cos  × sen  + sen2  – cos2  9.5 sen  × cos 6 4 3 6 4 3

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GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

10. Simplifica as seguintes expressões: 10.1 cos (180º – ) – sen (270º + ) – sen (90º – )  10.2 sen ( – ) – sen ( + ) + cos  2 –





 10.3 cos  2 +  – sen (– – ) + sen (– )





 5  – 10.4 1 – cos  +  × sen (5 – ) – cos (3 + ) × sen 2 2









 cos  +  2 10.5  – tg (–) 3 sen α –  2









 3 12 o  11. Determina tg ( – ) – sen  . 2 + x , sabendo que x  1. Q. e que cos 2 + x = –  13









12. Resolve as seguintes equações trigonométricas: 1 12.1 sen x =  2

2 12.2 cos x = –  2

3 12.3 sen (2x) =  2

12.4 3  tg (2x) = 1

12.5 2 cos x – 3 = 0

sen α × tg α 1 π 13. Mostra que  +1–  = 0 , para α   + kπ, k  ⺪ . cos α cos2α 2  4–k 14. Indica para que valores reais de k é possível a condição sen  2 + α = 7 .





 15. Considera a expressão A(x) = sen  2 + x – cos 5 – x .









15.1 Simplifica, o mais possível, a expressão A(x).  3 3  15.2 Sabendo que sen ( + x) = –  ∧ x   2, 2 2



15.3 Resolve, em IR, a equação A(x) = 3 . 16

 , determina o valor exato de A(x).

REDUÇÃO AO 1.º QUADRANTE. EQUAÇÕES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

16. Considera a função, real de variável real, definida por f(x) = 2 + cos (2x) . 16.1 Indica o domínio e o contradomínio da função. 16.2 Escreve a expressão geral dos maximizantes da função. 16.3 Determina, se existirem, os zeros da função no intervalo ]–, [.

 

7 1 4 d(t) = 4,6 +  cos  t –   5 2 5

Fotografia: Câmara Municipal de Lisboa – Divisão de Comunicação e Imagem – Humberto Mouco

17. Um barco de passageiros encontra-se atracado. A distância de um dado ponto do navio ao fundo do rio varia com a maré. Essa distância (d em metros) pode ser obtida, num determinado dia, em função do tempo (t em horas), pela expressão:



Em relação a esse ponto, determina valores, aproximados às décimas, da: 17.1 distância ao fundo do rio às 10 horas; 17.2 distância mínima a que se encontra do fundo do rio nesse dia; 17.3 amplitude (diferença entre os valores máximo e mínimo) da distância ao fundo do rio. 18. Num determinado ano civil, em Lisboa, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do sol, no dia de ordem n do ano, é dado em horas, aproximadamente, por: (n – 81) f(n) = 12,2 + 2,64 sen  183

n  {1, 2, 3, …, 366}

(O argumento da função seno está expresso em radianos.) Exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do sol foi de f(34)  10,3 horas. 18.1 No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que instante ocorreu o pôr do sol? Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota • Recorda que, no presente ano, o mês de fevereiro teve 29 dias. • Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 18.2 Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do sol é superior a 14,7 horas. Recorrendo à tua calculadora, determina em quantos dias do ano é que isso acontece. Indica como procedeste. Exame Nacional 2001 – 1.a Fase – 1.a Chamada

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