114252988 Tarea2 Julio Rodriguez Resistencia de Materiales A

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DEFORMACIÓN SIMPLE Autor: Julio C. Rodríguez C.

Loja – 03 – 04 – 2012

Línea de investigación: Deformación, Ley de Hooke, Relación De Poisson, Elementos Estáticamente Indeterminados, Esfuerzo y Deformación de Origen Térmico.

UTPL la Universidad Católica de Loja Materia: Resistencia de Materiales

OBJETIVOS: -

Estudiar las leyes que rigen el comportamiento de los cuerpos elásticos frente a pequeñas deformaciones.

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Comprender las deformaciones de los cuerpos por un determinado estado de fuerzas axiales y distorsión.

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Interpretar las relaciones entre carga versus posición de la fuerza.

JUSTIFICACIÓN: El presente proyecto se ha realizado con el fin de poder comprender los diferentes tipos de deformaciones que actúan en los cuerpos tales como, la deformación elástica provocada por las cargas externas y las deformaciones térmicas provocadas par cambio de temperatura. Ya que en el diseño de estructuras es importante evitar deformaciones tan grandes que impidan a la estructura cumplir con el propósito para el que esta destinada. Por ello el ingeniero civil de abarcar todos los conocimientos necesarios en este tema, ya que en su vida profesional e encontrara con situaciones que requieran estos conocimientos.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS: Deformación: La deformación que también se la conoce como deformación unitaria, se obtiene dividiendo la deformación total sobre la longitud de la barra (Robert L. Mott, P.E., 1996)

Ley Hooke: El esfuerzo σ es directamente proporcional la deformación y se puede escribir como:

Carrera: Ingeniería Civil

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El coeficiente E se denomina módulo de elasticidad del material involucrado y ϵ es la deformación. El valor máximo de esfuerzo para el que puede emplearse la Ley de Hooke en un material dado se conoce como limite de proporcionalidad de ese material cuerpo (Beer y Johnston, 1979). Relación De Poisson: Cuando una barra prismática se carga en tensión, el alargamiento axial se acompaña de una contracción lateral (esto es una contracción normal a la dirección de la cargar aplicada). La deformación unitaria lateral ϵ’ en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformación unitaria axial ϵ en el mismo punto, si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad del material que se llama relación de Poisson o razón de Poisson. Esta relación adimensional se la puede representar con la letra griega v (ni) y se puede definir con la ecuación: (James M. Gere, 2006)

Elementos Estáticamente Indeterminados: Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axialmente en los que las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas que, en cada sección, soportan. Estas condiciones se dan en estructuras en las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en número al de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casos se llaman estáticamente indeterminados y requieren ecuaciones adicionales que relacionan las deformaciones elásticas de los distintos elementos (Pytel y Singer, 2011). Deformación De Origen Térmico: Los cambios de temperatura producen dilataciones o contracciones de los materiales estructurales, causando deformaciones térmicas y esfuerzos térmicos. Una ilustración sencilla de dilatación térmica se ve en la siguiente figura.

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Cuando se calienta el bloque cada elemento de material sufre deformaciones térmicas en todas direcciones y en consecuencia sus dimensiones aumentan. Si tomamos el vértice A como punto de referencia fijo y el lado AB mantiene su alineamiento original el bloque tendrá la forma indicada por las líneas interrumpidas. Para la mayor parte de los materiales estructurales, la deformación unitaria térmica τ es proporcional al cambio de temperatura ΔT; esto es. L Donde α es una propiedad llamada coeficiente de dilatación térmica. Esfuerzos térmicos: Cuando un objeto se deforma por cambios de temperatura y el objeto esta sujetado de tal forma que impida su deformación, en esta situación se generan esfuerzos térmicos. Si se permitiera que la pieza se expanda, se alargaría en una porción de =αL(ΔT). Pero como esta sujeta esta cantidad representa la deformación total aparente. Luego la deformación unitaria seria. = El esfuerzo resultante de la pieza se puede hallar por medio de:

Robert L. Mott, P.E., 1996

METODOLOGÍA: En primer lugar se recopilo toda la información bibliográfica como libros, documentos etc. Para posterior poder analizar y comprender cada uno de los conceptos descriptos en los fundamentos teóricos, una vez analizada todo esta información teórica se procedió aplicar esos conocimientos en la resolución de los diferentes problemas planteados en el texto principal de consulta (Resistencia de Materiales: Pytel y Singer), Carrera: Ingeniería Civil

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una vez que se obtuvieron las soluciones de los problemas se procedió analizar dichos resultados para poder interpretar las deformaciones de los cuerpos bajo distintas fuerzas.

DESARROLLO: -

Recopilación de material bibliográfico. Lectura y análisis de los fundamentos teóricos. Análisis de los ejercicios. Desarrollo de los ejercicios El ejercicio 253 del texto guía se lo analizo la relación entre carga y posición de la fuerza, para este análisis se utilizo Matlab

EJERCICIOS: 203.- durante una prueba de esfuerzo deformación se ha obtenido para un esfuerzo de 35MPa la deformación ha sido 167x10-6m/m y para un esfuerzo de 140MPa de 667x10-6m/m. si el limite de proporcionalidad es de 200MPa ¿Cuál es el valor del modulo elástico? ¿Cuál es el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.002? Si el limite de proporcionalidad hubiese sido de 150MPa ¿se hubiese deducido los mismos resultados? Razonar respuesta.

Para una deformación de 0.002 el esfuerzo es de 419.7MPa superado el límite de proporcionalidad. Y si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MPa el resultado hubiese sido el mismo ya que el esfuerzo para una deformación de 0.002 es de 419.7MPa que supera el límite de proporcionalidad de 150MPa. Carrera: Ingeniería Civil

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210.- Un tobo de aluminio esta unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica en la figura, y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determine el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no debe exceder a los 2mm, ni las tenciones han de sobrepasar 140MN/m2 en el acero, 80MN/m2 en el aluminio, ni 120MN/m2 en el bronce. Se supone que el conjunto esta convenientemente anclado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son 200x103 MN/m2 para el acero, 70x103MN/m2 para el aluminio, y 83x103MN/m2 para el bronce. Sección

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214.- Las barras rígidas AB y CD mostradas en la figura están apoyadas mediante pernos en A y en C, y mediante las varillas mostradas. Determine la máxima fuerza P que puede aplicarse como se muestra si el movimiento vertical de las barras esta limitado a 5mm desprecie el peso de todos los miembros.

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224.- Un tambor cilíndrico de acero construido de placa soldada de 10mm, tiene un diámetro interior de 1.20m. Calcular el aumento de diámetro bajo la acción de una presión interior de 1.5MPa. Suponga que la relación de Poisson es 0.30 y E=200GPa.

226.- Un tubo de bronce de 150mm de longitud, cerrado en sus extremos, tiene 80mm de diámetro y 3mm de espesor. Se introduce si holgura en un orificio de 80mm realizado en un bloque absolutamente rígido e indeformable y se somete a una presión interior de 4MPa, con los valores de v=1/3 y E=83GPa, determine el esfuerzo circunferencial de tubo.

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234.- Una columna de madera de sección 250x250mm se refuerza mediante placas de acero de 250mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determine el espesor de las placas de madera que el conjunto puedes soportar una cargar axial de 1200KN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8MPa en la madera y de 140MPa en el acero. Los módulos elásticos son: Em=10GPa y Ea= 200GPa.

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238.- La plataforma rígida de la figura tiene masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 250mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 249.90mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de 400KN se haya aplicado. Cada barra de aluminio tiene una área de 120mm2 y un modulo de elasticidad de E= 70GPa. La barra de acero tiene una área de 2400mm2 y un modulo de elasticidad de 200GPa

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241.- El conjunto de la figura consiste en una barra rígida AB, de masa despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de aluminio y de acero. En la configuración mostrada, la barra AB esta en posición horizontal y hay un claro Δ=4mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D.

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253.- Una barra rígida de masa despreciable, esta articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura. ¿Cuanto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120MPa ni una en el bronce de 70MPa.

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267.- A una temperatura de 200C hay un claro Δ=0.2mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero según se muestra en la figura. Desprecie la masa de la losa. Determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a 1000C. Para la barra de bronce A=600mm2, E=83GPa y α=18.9 m/ (m0C). Para cada barra de acero A=400mm2, E=200GPa y α=11.7 m/ (m0C).

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278.- Una barra rígida horizontal de masa despreciable esta conectada a dos varillas según se muestra en la figura. Si el sistema esta originalmente libre de esfuerzos. Determine el cambio de temperatura que causara un esfuerzo de tención de 60MPa en la varilla de acero.

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281.- Como se observa en la figura cuatro barras de acero soportan una masa de 15Mg. Cada barra tiene una sección 600mm2- determine la fuerza de tensión en cada barra después de un incremento de temperatura de 50oC, α=11.7 m/ (m0C) y E=200GPa.

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CONCLUSIONES:

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Se ha logrado comprender las distintas leyes que rigen el comportamiento elástico de los cuerpos. Como la Ley de Hooke, la Relación De Poisson, Esfuerzo y Deformación de Origen Térmico causados por la variación de la temperatura.

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Se ha logrado comprender que los cuerpos sometidos a determinado tipo de cargas no se deforman mientras no se sobrepasen su modulo de elasticidad y si una cargar sobrepasa su esfuerzo admisible quedan deformados permanentemente ya que se ha sobrepasa el modulo de elasticidad propuesto por Thomas Young.

Ejercicio: 253

El esta grafica podemos observar de que si la posición de la fuerza cambia en el intervalo de [0.6] la carga tiende hacerse infinita cuando se acerca a cero y hacerse muy pequeña cuando ce acerca a 6. La carga se hace muy grande al acercarse a cero por que el brazo que la soporta es muy pequeño, y la carga se hace muy pequeña acercándose a 6 por que el brazo que la soporta es grande y por qué los dos cables también están soportando una tensión que es parte de la fuerza P. Carrera: Ingeniería Civil

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REFERENCIAS Beer y Johnston, 1979, Mecánica de Materiales, México, INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

James M. Gere, 2006, Mecánica de Maratiales, México, Séptima Edición, Thomson. Pytel y Singer, 2011, Resistencia de Materiales, México, Cuarta Edición, Oxford University Press S.A, de C.V. R. c. Hibbeler, 2004, Mecánica Vectorial Para Ingenieros, Décima Edición, México, Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

ANEXOS:

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Anexo 1: Código Matlab %Datos Qa=120*10^6 Qb=70*10^6 % Acero Aa=9*10^-4 Ea=200*10^9 La=3 %Bronce Ab=3*10^-4 Eb=83*10^9 Lb=2

%Pa %Pa

%m2 %Pa %m %m2 %Pa %m

%calculos Fa=Qa*Aa %N da=(Fa*La)/(Aa*Ea) Fb=Qb*Ab %N db=(Fb*Lb)/(Ab*Eb) %relaciono las dos deformaciones para poder encontrar %la fuerza Fa1 por que solo una de las dos fuerzas esta trabajando a su %maxiomo esfuerzo Fa1=(Fa*Lb*Aa*Ea*da)/(La*Ab*Eb*db) %N %con sumatoria de momentos en O para encontrar Pmax Pmx=(2*Fa+5*Fb)/6 %sumatoria de momentos en O para encontrar P en funcion de la distancia x=[0:0.1:6] a=length(x) for i=1:(a) P(i)=(2*Fa+5*Fb)/(i) end plot(x,P,'') title('Carga vs Posicion de la Fuerza') xlabel('Distancia (m)') ylabel('Carga (N)') grid on hold on

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