114167 EjerciciosTest Algebra

Algebra

EJERCICIOS TIPO TEST DE ÁLGEBRA 1 Curso. Grado en Ingeniería. o

Universid Universidad ad Miguel Hernández Hernández

1. Sean Sean A, B y C  matrices C  matrices cuadradas de orden n, con coeficientes reales. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO siempre se verifica? (a)

A · (B · C ) = (A · B ) · C 

(b)

(A + B ) · C  =  A · C  +  + B · C 

(c)

A · B  = A  =  A · C  ⇒ B  = C   =  C 

(d)

(A · B )T  =  B T  · AT 

2. Sean Sean  A  y  B  matrices cuadradas de orden  2  tales que: 3A − 5B  =

 

1 −2 ; 8 1

−A + 3B 3B  =

 

2 4 . 3 0

En ese caso: (a)

A  =

1 4

(b)

A  =

1 4

(c)

A  =

1 4

(d)

A  =

1 4

   

   

13 10 17 1 13 14 39 3 13 14 17 1 7 10 17 1

3. El rango rango de la matriz matriz

 

 

a 1 1 1 1 − a a − 1  es: a 1 1

(a)

3  para todo a todo  a  ∈ R

(b)

2  para todo a todo  a  ∈ R

(c)

1  para todo a todo  a  ∈ R

(d) (d)

Ning Ningun unaa de las las ante anteri rior ores es

1

Algebra 4. Si A  y  P  son matrices cuadradas del mismo orden, ¿qué afirmación es FALSA? (a)

A · AT  es una matriz simétrica.

(b)

P  · A · AT  es simétrica.

(c)

A + AT  es simétrica

(d)

A − AT  es antisimétrica.

5. Resolver la ecuación:

(a)

x = 0; y = 1; z =  − 1; t = 0;

(b)

x = 0; y = 1; z = 0; t =  − 1;

(c)

x = 1; y = 2; z = 3; t = 4;

(d)

x = 1; y = 2; z =  − 3; t = 4;

     1 1 x y · 0 1 z t

=

4 6 . 3 4

6. El producto de matrices es: (a)

Asociativo y conmutativo.

(b)

Asociativo y no conmutativo.

(c)

Conmutativo y no asociativo.

(d)

No conmutativo y no asociativo.

7. Si M  es una matriz cuadrada verificando  M 2 = M  tal que  M   =  I n , entonces: (a)

M   es regular.

(b)

M  es simétrica.

(c)

M  no es invertible.

(d)

M  es antisimétrica.

8. El producto A · B de dos matrices simétricas es una matriz simétrica. . . (a)

Si y solo si  A · B = B  · A.

(b)

Si y solo si  A  y  B  son matrices escalares.

(c)

Si y solo si  A  y  B  son matrices diagonales.

(d)

No es posible que el producto de dos matrices simétricas de como resultado una matriz simétrica.

2

Algebra 9. Si A  es una matriz cuadrada, triangular inferior e invertible, entonces  A −1 es: (a)

Triangular inferior.

(b)

Triangular superior.

(c)

Simétrica.

(d)

No siempre es triangular.

10. Siendo P  y Q  dos matrices invertibles, del mismo orden, se verifica: (a)

(P  · Q)−1 = P −1 Q−1

(b)

(P  + Q)−1 = Q −1 + P −1

(c)

(P  − Q)−1 = P −1 − Q−1

(d)

(P T  )−1 = (P −1)T 

11. Si A es una matriz cuadrada regular de orden  n y Adj(A) representa su matriz adjunta, entonces: (a)

| Adj(A)|  =  |A|

(b)

| Adj(A)|  =

(c)

| Adj(A)|  =  |A|n

(d)

| Adj(A)|  =  |A|n−1

1

|A|

 

1 1 1 1 1 1 cos(c) cos(b) 12. Calcular: 1 cos(c) 1 cos(a) 1 cos(b) cos(a) 1 (a)

−2sin2 a2 sin 2 2b  sin 2

(b)   8sin2 a2  sin 2 2b  sin 2

c

2

c

 

2

(c)

−16sin2 a2  sin 2 2b  sin 2 2c

(d)

−16cos2 a2  cos 2 2b  cos 2

c

2

13. Hallar los valores de x  para los cuales la matriz (a)

= 0 y  x   =2 x  

(b)

x   =  − 2 y  x   =

(c)

x   =  − 1 y  x   =2

(d)

Admite inversa para todo  x





|x| 1  admite inversa. |x − 2| 2

2 3

3

Algebra 1 14. Calcular el valor del determinante: 1 1 n

(a)

2

(b)

n2

(c)

n2 + 1

(d)

1

15. La matriz

n

n

          1 n+1 1 n+2 1

2

n+1

2

n+2

2

a2 ab b2 2a a + b 2b  admite inversa si: 1 1 1

 

(a)

a = b = 1

(b)

a = b = 2

(c)

a   =  b

(d)

∀a, b  ∈ R

 

16. Dados tres vectores cualesquiera  u 1 , u2 , u3  ∈ R3 , señalar la afirmación CORRECTA: (a)

Son linealmente independientes.

(b)

Son linealmente dependientes.

(c)

Uno de ellos es combinación lineal de los restantes.

(d)

Si se añade otro vector  u 4 , los cuatro son linealmente dependientes.

17. Sea V  un espacio vectorial real y  u, v  ∈  V . Entonces: (a)

u, v linealmente independientes  ⇒  u − v, u + v linealmente independientes.

(b)

u, v linealmente independientes  ⇒  u − v, u + v linealmente dependientes.

(c)

u, v linealmente dependientes  ⇒  u − v, u + v linealmente independientes.

(d)

Ninguna de las anteriores es correcta

18. Sabiendo que el conjunto de vectores {u,v,w}  es linealmente independiente, se puede afirmar que el conjunto  { u + v, w + u, v + w }  es: (a)

Linealmente independiente.

(b)

Linealmente dependiente.

(c)

La dependencia lineal depende de los vectores  u, v y w.

(d)

Ninguna de las anteriores es cierta.

4

Algebra 19. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de Rn son subespacios vectoriales sobre R? W 1  =  { (1, x2 , x3 , . . . , xn ) : x i  ∈ R} W 2  =  { (x1 , x2 , . . . , xn ) : x i  ∈ Q} W 3  =

(a)

Sólo W 1 y W 3 .

(b)

Sólo W 2 .

(c)

Sólo W 3 .

(d)

Ninguno de ellos.



(x1, x2 , . . . , xn ) :

n

  xi  = 1

i=1

20. Determinar la dimensión del subespacio de R5 generado por los vectores

{(1, 2, −4, 3, 1), (2, 5, −3, 4, 8), (6, 17, −7, 10, 22), (1, 3, −3, 2, 0)} . (a)

1

(b)

2

(c)

3

(d)

4

21. Consideremos los subespacios de R3 : U  =  { (α,β, 0) : α, β  ∈ R} ,

S  =  { (0, 0, γ ) : γ  ∈ R} ,

W  =  { (λ,λ,λ) : λ  ∈ R} .

¿Qué igualdad es CIERTA? (a)

R3 = U  ⊕ S 

(b)

R3 = U  ⊕ W 

(c)

R3 = S  ⊕ W 

(d)

R3 = U  ∩ S 

22. Consideremos los siguientes subespacios de R3 : U  =   (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2) ; W  =   (2, 1, 3), (1, 2, 3) . ¿Qué afirmación es CORRECTA? (a)

U  ⊂  W 

(b)

W  ⊂  U 

(c)

R3 = U  ⊕ W 

(d)

U  = W 

5

Algebra 23. Se considera el espacio vectorial F  de las funciones reales definidas en el intervalo (a, b). ¿Qué afirmación es INCORRECTA? (a)

El subconjunto de las funciones continuas en  (a, b) es un subespacio de  F .

(b)

El subconjunto de las funciones derivables en  (a, b) es un subespacio de  F .

(c)

El subconjunto de las funciones integrables en  (a, b) es un subespacio de  F .

(d)

El subconjunto de las funciones tales que  f (x) > 0,  ∀ x  ∈  (a, b), es un subespacio de  F .

24. Sea V  un espacio vectorial de dimensión  4, y B  =  { v1 , v2 , v3 , v4 } una base se V . Si u = v 1 − v2 +v3 , entonces también es una base de  V   el conjunto: (a)

{v1, v2 , v3 , u}

(b)

{v1, v3 , u , v4 }

(c)

{v1, v2 , v3 , u , v4}

(d)

{v1, v1 , v3 , u}

25. Sean los vectores:  v 1  = x + x2, v2  = 1 + x, v3  =  x 2 − 1; pertenecientes al espacio vectorial de los polinomios de grado ≤  2  con coeficientes reales. ¿Qué afirmación es VERDADERA para dichos vectores? (a)

Son un sistema generador.

(b)

Son linealmente independientes.

(c)

Son una base.

(d)

Son linealmente dependientes

26. En R3 , los subespacios  U  =   (2, b, 4), (3, 5, a)  y  W  =   (1, 3, 0), (b, 1, 1)  coinciden si: (a)

a =  − 16; b = 5/12;

(b)

a = 16; b =  − 5/12;

(c)

a =  − 16; b =  − 5/12;

(d)

a = 16; b = 5/12;

27. Siendo  { v1 , v2, v3 }  una base del espacio vectorial  V   sobre R, entonces: (a)

V  =   v1  ∪ v2  ∪ v3 

(b)

v1  ∩ v1 + v2  ∩ v1 + v2 + v3   =  { 0}

(c)

v1  ∩ v1 + v2   =  { 0}

(d)

Ninguna de las anteriores es correcta.

6

Algebra 28. Los vectores de R2 : u = (a, b) y  v  = (c, d) son dependientes si, y solo si, se verifica: (a)

ad − bc = 0

(b)

ac − bd = 0

(c)

ad + bc = 0

(d)

ac + bd = 0

29. Si los vectores u1, u2, . . . , un de un espacio vectorial  V  son linealmente independientes y definimos: v1  = u 1,

v2  = u 1 + u2 ,

...

, vn  = u 1 + u2 + · · · + un ,

¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? (a)

Los vectores v 1 , v2 , . . . , vn  son linealmente dependientes.

(b)

v1 , v2 , . . . , vn  son linealmente independientes.

(c)

El vector v n  es combinación lineal de  v 1 , v2 , . . . , vn−1 .

(d)

Ninguna de las anteriores.

30. Entre los subespacios de R3 : U 1  =   (1, −1, 1), (1, 0, 2) ;

U 2  =  { (x,y,z) : 2x + y − z = 0} ,

se verifica: (a)

U 1  = U 2

(b)

U 1  ⊂  U 2

(c)

U 2  ⊂  U 1

(d)

U 1 ∩ U 2  =  ∅

31. La matriz que permite el cambio de coordenadas desde la base  B  =  { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}  a la base  B  =  { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)}  en el espacio R3 es: (a)

(b)

(c)

(d)

       

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1/2

 

1 0 0 0 1 0 0 0 2

1 1 0 1 0 1 0 1/2 1/2

 

1 1 0 1 0 1 0 1 1/2

 

7

Algebra 32. Dadas las aplicaciones lineales f  : R3 → R4 y g  : R4 → R3, podemos asegurar que: (a)

f  no es inyectiva ni suprayectiva.

(b)

f  no es suprayectiva y  g  no es inyectiva.

(c)

g no es inyectiva ni suprayectiva.

(d)

f  y g  no son suprayectivas.

33. Dada la aplicación lineal f  : R4 → R3 , definida por  f (x,y,z,t) = (0, y , t), se puede afirmar que: (a)

f   es inyectiva.

(b)

f  es epimorfismo.

(c)

f  es biyectiva.

(d)

f  no es un isomorfismo.

34. Siendo f  : V  → V  una aplicación entre dos espacios vectoriales reales V  y V  , señalar la proposición FALSA. (a)

f   lineal  ⇒  f (−v) =  − f (v) para todo v  ∈  V .

(b)

f (0)  = 0  ⇒  f  no es lineal.

(c)

Si f  es lineal, las imágenes de los vectores de una base de  V   constituyen una base de  V   .

(d)

Si f  es lineal, la imagen de todo subespacio de  V  es un subespacio de  V   .

35. Señalar la matriz asociada al endomorfismo de R2 que transforma el vector (x1 , x2) en (x1  + x2 , x1 − x2 ). (a) (b) (c) (d)

      1/2 1/2 1/2 −1/2 1 1 1 −1 2 2 2 −2

No existe matriz asociada.

36. Dada la aplicación lineal f  :  R 2 →  R 2 , tal que  f (1, 0) = (4, −2) y f (0, 1) = (2, −1), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es CIERTA? (a)

(6, −2) ∈  Ker(f )

(b)

(20, 10) ∈  Im(f )

(c)

El rango de f  es 2.

(d)

Im(f ) =  { (α + 7β, (−α − 7β )/2)}

8

Algebra 37. Dada la aplicación lineal f  : V  → V   , es FALSO que: (a)

El conjunto formado por las imágenes de los vectores de una base de V , es un sistema generador de Im(f ).

(b)

Im(f ) es un subespacio vectorial de  V   .

(c)   Ker(f ) es un subespacio vectorial de  V . (d)   dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V  ).

38. Sea f  una aplicación lineal entre espacios vectoriales tal que  Ker(f ) =  { 0}, entonces se verifica que: (a)

f   es suprayectiva.

(b)

El rango de f  es 0.

(c)

f   es inyectiva.

(d)   Ker(f ) no es subespacio vectorial.

39. ¿Cuál es la matriz en la base canónica (denotada por {e1 , e2 , e3 }) de un endomorfismo f  de R3 que cumple las siguientes condiciones? ker(f ) está generado por  e 1 + e2 + e3 . f (e1 + e2 ) = 3e2 e1 − e2  ∈  f −1 (2e1 ) (a)

(b)

(c) (d)

     

−1 0 1 3/2 3/2 3 0 0 0

     

1 1 0 2/3 −2/3 0 0 0 1

−1 0 1 1/3 2/3 2 0 0 1

Ninguna de las anteriores.

40. Sea R2×2 el espacio vectorial de las matrices reales, cuadradas de orden 2  ×  2. Se define el endomorfismo f   de dicho espacio mediante la expresión: f (X ) = A  ·  X  −  X  ·  A, siendo A = 1 −1 . Entonces: 1 0

 

(a)   dim(Ker(f )) = 0 (b)   dim(Ker(f )) = 1 (c)   dim(Ker(f )) = 2 (d)

f  es un epimorfismo.

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