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B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R ado

Día a día en el aula Recursos didácticos y atención a la diversidad

Matemáticas ESO

Día a día en el aula para 1. º ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Dionisio Escobar Ana María Gaztelu Augusto González Esther Mayoral Francisco Morillo Andrea Pastor EDICIÓN María de los Ángeles Agudo César de la Prida Laura Sánchez EDICIÓN EJECUTIVA Lola Núñez Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Mercedes Rubio Domingo Sánchez

Índice

¿Por qué SABER HACER? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Claves del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Recursos didácticos y Atención a la diversidad Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Unidad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Unidad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Unidad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Unidad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Unidad 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 Unidad 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 Unidad 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 Unidad 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006 Unidad 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

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¿Por qué SABER HACER? Todos tenemos una pasión. Desde su fundación, hace más de 50 años, Santillana no ha dejado de trabajar, investigar, realizar productos y servicios y buscar innovaciones que mejoren la educación, como forma de construir un mundo mejor para todos. El fruto de este compromiso ha sido una larga historia de grandes proyectos educativos. Proyectos concebidos desde la realidad social y académica existente en cada momento, nacidos con vocación de acompañar a los alumnos en su aventura de aprender y de dotar a los profesores de todas las herramientas y recursos necesarios para llevar a cabo la tarea de educar. Así, nuestro nuevo proyecto, SABER HACER, surge como respuesta a una nueva ley educativa, la LOMCE, y a los intensos cambios que se están produciendo en todos los aspectos de nuestra vida. Hoy, más que nunca, en la sociedad de la información, en un mundo cada vez más global, regido por un cambio rápido y constante, la educación marca la diferencia. Vivimos un presente de grandes interrogantes que merecen grandes respuestas. Hay que educar hoy a los ciudadanos de un mañana que está por construir. La educación se ha centrado tradicionalmente en la enseñanza de contenidos, se trataba de saber. Hoy, la comunidad educativa es consciente de que hay que dar un paso adelante: además de saber hay que SABER HACER. El aprendizaje por competencias es el modelo elegido para alcanzar con éxito los nuevos objetivos que la sociedad reconoce como necesarios en la educación de niños y adolescentes. Saber comunicar, interpretar, deducir, formular, valorar, seleccionar, elegir, decidir, comprometerse, asumir, etc. es hoy tan importante como conocer los contenidos tradicionales de nuestras materias. Necesitamos trabajar con ideas, ser capaces de resolver problemas y tomar decisiones en contextos cambiantes. Necesitamos ser flexibles, versátiles, creativos… Pero el nombre de la serie tiene un segundo significado. Para superar el reto que tenemos por delante, Santillana va a aportar todo su SABER HACER, va a estar al lado de profesores y alumnos, ofreciendo materiales, servicios, experiencia… para garantizar dicho éxito.

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

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Las claves del proyecto SABER HACER EL OBJETIVO: QUE LOS ALUMNOS ADQUIERAN LAS COMPETENCIAS QUE NECESITA UN CIUDADANO DEL SIGLO XXI Todos somos conscientes de que la sociedad actual requiere unas capacidades muy diferentes de las que se demandaban hasta hace poco tiempo. Necesitamos personas capaces de: •  Hacerse preguntas pertinentes. •  Informarse a través de fuentes diversas, textuales o gráficas, lo que implica: – Buscar información. –  Interpretar esa información de forma coherente con el tipo de fuente. •  Pensar reflexiva, crítica y creativamente. •  Crearse una opinión, un juicio y tomar decisiones adecuadas. •  Comunicarse oralmente y por escrito. •  Hacer conexiones: conectar lo aprendido con la vida real (próxima o lejana) y conectar los saberes de las distintas materias entre sí. •  Participar y comprometerse, dar servicio a la comunidad. •  Trabajar cooperativamente con otros. •  Tener siempre presente la perspectiva ética, tener inteligencia emocional y ética. •  Aprender a lo largo de la vida. Este objetivo se materializa en la estructura de las unidades didácticas del material del alumno y en los distintos proyectos que conforman la Biblioteca del Profesorado.

UNA METODOLOGÍA CENTRADA EN EL ALUMNO, PARA QUE ESTE ALCANCE UNA VERDADERA COMPRENSIÓN Y SE CONVIERTA EN UNA PERSONA COMPETENTE El proyecto SABER HACER combina lo mejor de la tradición escolar y las aportaciones de las nuevas metodologías. La escuela debe ser capaz de desarrollar saberes sólidos, puesto que solo es posible pensar y actuar sobre aquello que conocemos con profundidad, pero también de educar personas que conviertan el conocimiento en acción y con sólidas habilidades sociales y morales. En el proyecto SABER HACER: •  El alumno es el centro de su propio aprendizaje: se hace preguntas, busca información y se informa, participa, aprende a controlar su aprendizaje, emprende proyectos… •  Se combinan actividades sencillas y tareas de mayor complejidad, excelentes para desarrollar las competencias, enseñar a pensar a los alumnos, resolver problemas y situaciones reales, desarrollar el pensamiento creativo… •  Se incorpora el aprendizaje cooperativo como elemento destacado, tanto en actividades dentro del libro del alumno, como en proyectos específicos de la Biblioteca del profesor. •  Se desarrolla el aprendizaje por proyectos, tanto en el material del alumno como en proyectos específicos de la Biblioteca del Profesorado. •  Se busca una educación que vaya más allá de lo académico, que plantee situaciones que fomenten la participación de los alumnos, el emprendimiento y que el alumno se involucre en su realidad cotidiana, en los problemas y realidades del centro escolar, de su barrio, pero también a escala global y planetaria. En definitiva relacionar aprendizaje y servicio a la comunidad, aprendizaje y compromiso social. Esta variedad de planteamientos del proyecto SABER HACER convierte el aula en un escenario de experiencias diversas y enriquecedoras para el alumno. 6

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UNA ESCUELA INCLUSIVA, EN LA QUE TODOS DESARROLLEN SUS CAPACIDADES Y TALENTOS Para ello, los libros del alumno disponen de secciones de ampliación y refuerzo, y la Biblioteca del Profesor de planes de apoyo y refuerzo para los alumnos con dificultades y un programa de profundización para aquellos que pueden ir más allá.

UN POTENTE SISTEMA DE EVALUACIÓN COMO GARANTÍA DE ÉXITO La evaluación siempre ha tenido un papel destacado en la escuela. A lo largo de las últimas décadas se ha ido imponiendo una concepción de la evaluación continua y formativa, cuyo objetivo es detectar las dificultades de los alumnos a fin de decidir mecanismos que les permitan superarlas. El papel de la evaluación se va a ver reforzado con la LOMCE, una de cuyas innovaciones es la introducción de evaluaciones externas que todos los alumnos deben pasar en determinados hitos de su vida escolar. El proyecto SABER HACER incluye: •  Pruebas de evaluación de contenidos y pruebas de evaluación por competencias para todas las materias, relacionadas con los estándares de aprendizaje. •  Rúbricas de evaluación. •  Distintas herramientas informáticas: – Deberes, para el seguimiento diario de los alumnos – Generador de pruebas – Informes y estadísticas – Biblioteca de pruebas externas, nacionales e internacionales

LA ATENCIÓN ESPECIAL A LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN En los libros del alumno y la Biblioteca del Profesorado son recurrentes las actividades y tareas que requieren el uso de las TIC. La enseñanza digital se ve potenciada por nuestros productos digitales, LibroMedia y LibroNet, y por el Aula Virtual, un entorno digital con productos, aplicaciones y servicios para alumnos y profesores.

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En qué se concreta el proyecto SABER HACER NUEVOS LIBROS PARA UNOS NUEVOS TIEMPOS Libros con una secuencia didáctica centrada en el propio alumno, en la adquisición de competencias y en los presupuestos del pensamiento creativo: •  El punto de partida de las unidades didácticas lo dedicamos a, por una parte, recordar los contenidos esenciales que el alumno necesita conocer para comprender los nuevos contenidos que va a estudiar en la unidad, y por otra, a plantear una situación motivadora que muestra la utilidad de los contenidos que se van a estudiar. – Claves para empezar. Aparecen los contenidos pertenecientes a cursos o unidades anteriores, que te van a ser necesarios para que el alumno comprenda lo que va a estudiar. Además, mediante la realización de las actividades propuestas, se podrá afianzar los contenidos repasados. – Vida cotidiana. Se muestra la historia, las utilidades y curiosidades de algunos inventos cotidianos. En torno a ellos se plantea una situación problemática en la que su resolución requiere de la aplicación de alguno de los contenidos conocidos para el alumno que sirve como introducción a los contenidos que se van a estudiar •  A continuación, se desarrollan los contenidos de la unidad didáctica. Junto al contenido conceptual se incluyen una serie de programas innovadores: – SABER HACER recoge el aprendizaje de los procedimientos y destrezas, paso a paso, que se relacionan directamente con los contenidos que se están tratando. Saber y SABER HACER forman, por tanto una unidad de aprendizaje, no se presentan desligados. – Resuelve el reto plantea un problema relacionado con los contenidos expuestos en el que su resolución se basa más en la intuición y el razonamiento que en el conocimiento conceptual. –  Al final de cada página de contenidos se proponen actividades clasificadas en tres niveles: ■

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 Practica. Son actividades que se resuelven de forma prácticamente exacta el procedimiento que se ha estudiado.  Aplica. Son actividades en las que se tendrá que aplicar ese procedimiento.  Reflexiona. Una vez que el procedimiento estudiado se ha adquirido y aplicado, se propone una reflexión sobre él.

•  En las actividades finales de la unidad el alumno repasa los contenidos principales de la unidad y se verifica, mediante el apartado debes saber hacer, si ha alcanzado los estándares de aprendizaje. En estas páginas se formulan ejercicios y problemas organizados por contenidos y cuyos enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad. •  Las páginas finales de la unidad se dedican a la competencia matemática. Estas páginas permiten realizar tareas en las que se integran todos los contenidos estudiados. – En la vida cotidiana. Se analizan situaciones problemáticas reales que ponen a prueba las capacidades matemáticas del alumno. Estos problemas, relacionados con el invento mostrado en el punto de partida de la unidad, muestran la utilidad práctica de todo lo aprendido. – Formas de pensar. Razonamiento matemático. Se formulan actividades de investigación en las hay que descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que se acaban de estudiar. – Proyecto final. Trabajo cooperativo. Se plantean supuestos reales con los que un alumno se puede encontrar en tu vida diaria. Se establecen distintas fases para la resolución en grupo de estos supuestos. – Pruebas PISA. Actividades extraídas de las pruebas internacionales de PISA, o formuladas con los mismos criterios, referentes a los contenidos de la unidad. 8

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UNA BIBLIOTECA DEL PROFESORADO, QUE ATIENDE TODAS LAS NECESIDADES DE LOS DOCENTES Para su día a día en el aula: •  Programación didáctica. •  Recursos didácticos para cada unidad: –  Esquema de la unidad. –  Curiosidades matemáticas. –  Notación matemática. –  Estrategias de resolución de problemas. –  Proyecto matemático. –  Matemáticas con ordenador. –  Resumen de la unidad. –  Actividades de repaso y apoyo. –  Actividades de profundización. –  Solucionario del libro del alumno. •  Tutoría, 22 sesiones por curso para apoyarle en esta labor. Competencias del siglo XXI. Proyectos y tareas para su desarrollo • Literatura y Matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática. • Proyecto de trabajo cooperativo e interdisciplinar. • Proyecto social. • Inteligencia emocional y ética. • La prensa en el aula (más herramienta digital). Sistema de evaluación •  Pruebas de evaluación de contenidos. •  Pruebas de evaluación por competencias. •  Rúbricas. •  Generador de pruebas (herramienta digital). •  Biblioteca de pruebas de evaluación externa, nacionales e internacionales (biblioteca digital).

UNA POTENTE OFERTA DIGITAL •  Aula Virtual Santillana, un entorno de servicios educativos. •  LibroNet, un auténtico libro digital, que permite sacar el máximo partido a las nuevas tecnologías de la información. Tiene un útil complemento en papel, el Cuaderno de estudio, que facilita el estudio de los alumnos. •  LibroMedia, el libro en papel enriquecido con recursos digitales y potentes herramientas. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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unidad 1

Programación didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Guion de la Unidad y recursos didácticos . . . . . . . . . . 27 Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Curiosidades matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Notación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Matemáticas con ordenador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Resumen de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Enseñanza individualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Repaso y apoyo • Objetivo 1. Conocer la estructura del sistema de numeración decimal . . . 44 • Objetivo 2. Hacer aproximaciones de números naturales . . . . . . . . . . . . 45 • Objetivo 3. Manejar las propiedades de las operaciones con números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 • Objetivo 4. Comprender el concepto de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 • Objetivo 5. Operar con potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 • Objetivo 6. Calcular raíces cuadradas exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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Recursos para la evaluación de contenidos . . . . . . . . 57 Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 • Control A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 • Control B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Estándares de aprendizaje y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Recursos para la evaluación por competencias . . . . . 69 Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Estándares de aprendizaje y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Rúbricas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Solucionario del libro del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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Programación didáctica

Presentación

El modelo de Programación Didáctica de Aula de Santillana El presente documento ofrece un ejemplo del modelo de Programación Didáctica de Aula (PDA) de Santillana para el área de Matemáticas de 1.º de ESO. La programación pretende ser una herramienta que facilite a los profesores las siguientes tareas: •  Planificar su trabajo de forma eficaz. •  Reflexionar sobre el proceso de aprendizaje de los alumnos. •  Establecer pautas claras para la evaluación. En relación con la PDA se ha desarrollado un riguroso sistema de rúbricas para la evaluación. El conjunto de materiales compuesto por las programaciones didácticas de aula y las rúbricas para la evaluación constituye un apoyo muy valioso para orientar el trabajo docente y facilitar su aplicación en el aula. La Programación Didáctica de Aula que recoge este documento está elaborada sobre el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre de 2014, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. Las competencias educativas del currículo ‹‹En línea con la Recomendación 2006/962/EC, del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2006, sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente, este real decreto se basa en la potenciación del aprendizaje por competencias, integradas en los elementos curriculares para propiciar una renovación en la práctica docente y en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Se proponen nuevos enfoques en el aprendizaje y evaluación, que han de suponer un importante cambio en las tareas que han de resolver los alumnos y planteamientos metodológicos innovadores. La competencia supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz. Se contemplan, pues, como conocimiento en la práctica, un conocimiento adquirido a través de la participación activa en prácticas sociales que, como tales, se pueden desarrollar tanto en el contexto educativo formal, a través del currículo, como en los contextos educativos no formales e informales››. ‹‹Se adopta la denominación de las competencias clave definidas por la Unión Europea. Se considera que “las competencias clave son aquellas que todas las personas precisan para su realización y desarrollo personal, así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el empleo”. Se identifican siete competencias clave esenciales para el bienestar de las sociedades europeas, el crecimiento económico y la innovación, y se describen los conocimientos, las capacidades y las actitudes esenciales vinculadas a cada una de ellas››. Las competencias clave del currículo son las siguientes: •  Comunicación lingüística (CL). •  Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT). •  Competencia digital (CD). •  Aprender a aprender (AA). •  Competencias sociales y cívicas (SC). •  Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (IE). •  Conciencia y expresiones culturales (CEC).

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Objetivos curriculares de la Educación Secundaria a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre mujeres y hombres, como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón de sexo o por cualquier otra condición o circunstancia personal o social. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra la mujer. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia. g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura. i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada. j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural. k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora. l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

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Presentación

Bloques de contenidos En cada una de las áreas curriculares, los contenidos, los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje aparecen organizados en bloques. Matemáticas Las Matemáticas constituyen una forma de mirar e interpretar el mundo que nos rodea, reflejan la capacidad creativa, expresan con precisión conceptos y argumentos, favorecen la capacidad para aprender a aprender y contienen elementos de gran belleza. Sin olvidar además el carácter instrumental que las Matemáticas tienen como base fundamental para la adquisición de nuevos conocimientos en otras disciplinas, especialmente en el proceso científico y tecnológico y como fuerza conductora en el desarrollo de la cultura y las civilizaciones. [ ... ] Por tanto, las Matemáticas dentro del currículo favorecen el progreso en la adquisición de la competencia matemática a partir del conocimiento de los contenidos y su amplio conjunto de procedimientos de cálculo, análisis, medida y estimación de los fenómenos de la realidad y de sus relaciones, como instrumento imprescindible en el desarrollo del pensamiento de los individuos y componente esencial de comprensión, modelización y transformación de los fenómenos de la realidad. Por otra parte, las Matemáticas contribuyen a la formación intelectual del alumnado, lo que les permitirá desenvolverse mejor tanto en el ámbito personal como social. La resolución de problemas y los proyectos de investigación constituyen ejes fundamentales en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. La habilidad de formular, plantear, interpretar y resolver problemas es una de las capacidades esenciales de la actividad matemática ya que permite a las personas emplear los procesos cognitivos para abordar y resolver situaciones interdisciplinares reales, lo que resulta de máximo interés para el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proceso de resolución e investigación están involucradas muchas otras competencias, además de la matemática. [... ] El currículo básico de Matemáticas no debe verse como un conjunto de bloques independientes. Es necesario que se desarrolle de forma global pensando en las conexiones internas de la asignatura tanto a nivel de curso como entre las distintas etapas. En el desarrollo del currículo básico de la asignatura de Matemáticas se pretende que los conocimientos, las competencias y los valores estén integrados; de esta manera, los estándares de aprendizaje evaluables se han formulado teniendo en cuenta la imprescindible relación entre dichos elementos. El bloque de «Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas» es un bloque común a la etapa y transversal que debe desarrollarse simultáneamente al resto de bloques de contenido y que es el eje fundamental de la asignatura. Se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y la utilización de medios tecnológicos. Los contenidos del área de Matemáticas se estructuran en los siguientes bloques: •  Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. •  Bloque 2. Números y Álgebra. •  Bloque 3. Geometría. •  Bloque 4. Funciones. •  Bloque 5. Estadística y probabilidad.

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Modelo de Programación Didáctica de Aula de Matemáticas. 1.er curso de Educación Secundaria UNIDAD 1. Números naturales OBJETIVOS CURRICULARES a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD •

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer el sistema de numeración decimal y la numeración romana, estableciendo equivalencias entre ambos sistemas. Deben resolver operaciones de aproximación de números naturales. Los alumnos resolverán, según las reglas, operaciones combinadas con números naturales, con potencias y con raíces, así como con paréntesis; aplicarán los cálculos a la resolución de problemas.

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Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números naturales y sus operaciones básicas, así como el cálculo elemental de potencias. Identifican algunos números romanos y saben expresar sus equivalencias con los números naturales.

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Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para aplicar el orden correcto de las operaciones con paréntesis, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Prevenir para que no confundan el orden correcto de resolución, especialmente, cuando hay paréntesis.

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Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos.

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Propiedades de las operaciones con números naturales; propiedades de la suma y la multiplicación; propiedades de la resta y la división. Potencias de números naturales. Operaciones con potencias. Potencias de base 10; descomposición polinómica de un número. Producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente. Expresar productos y cocientes de potencias como una sola potencia. Raíz cuadrada; raíz cuadrada exacta; raíz cuadrada entera. Operaciones combinadas con potencias y raíces.

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Potencias de números enteros y fraccionarios con exponente natural. Operaciones.

Potencias de base 10. Utilización de la notación científica para representar números grandes.

Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.

Jerarquía de las operaciones.

Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.

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Aproximación de números. Aproximación de números naturales; aproximación por truncamiento; aproximación por redondeo.

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Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica y operaciones. Operaciones con calculadora.

Sistema de numeración; sistema de numeración decimal; sistema de numeración romano.

B2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

B2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

B2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

Potencias de números naturales. Operaciones con potencias. Potencias de base 10; descomposición polinómica de un número. Producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente. Expresar productos y cocientes de potencias como una sola potencia.

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B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

Propiedades de las operaciones con números naturales; propiedades de la suma y la multiplicación; propiedades de la resta y la división.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES

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CONTENIDOS DE LA UNIDAD

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BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Planificación del proceso de resolución de problemas.

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BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

CONTENIDOS CURRICULARES DEL ÁREA

CONTENIDOS

Sugerencia de temporalización: 2 últimas semanas de septiembre y 2 primeras de octubre

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•

•

B1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

B1-6.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

B1-6.2. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático: identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios.

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES

Comprende la situación planteada en un problema, investiga; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números, datos y tomando decisiones relacionadas con la vida cotidiana.

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números potencias y raíces de números naturales; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos relacionados entre sí.

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números naturales; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos relacionados entre sí.

INDICADORES DE LOGRO

BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

Pág. 26 Act. 149

Pág. 25 Acts.145 a 148

Pág. 25 Acts.137 a 144

Pág. 24 Acts.125 a 136

ACTIVIDADES

IE

CSC

AA

CD

CMCT

CL

AA

CMCT

CL

AA

CMCT

CL

COMPETENCIAS

20

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

B2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES

B2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

B2-1.1. Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Realiza operaciones con números naturales y aproxima números naturales por truncamiento y por redondeo. Resuelve operaciones, aplicando la jerarquía, en las que aplica las propiedades de la suma, la multiplicación, la resta y la división de números naturales. Calcula el valor de potencias de números naturales y utiliza las potencias de base 10 para realizar la descomposición polinómica de un número. Utiliza correctamente la calculadora para resolver potencias sencillas.

•

•

•

Lee y escribe números romanos y sus equivalentes en el sistema de numeración decimal.

•

•

Lee, escribe, compone y descompone números naturales, según sus órdenes de unidades.

•

INDICADORES DE LOGRO

Pág. 26 Acts. 150 a 153

Pág. 12 Acts.15 a 18

Pág. 11 Acts. 11 a 14

Pág. 10 Acts. 8 a 10

Pág. 9 Acts. 5 a 7

Pág. 8 Acts. 1 a 4

ACTIVIDADES

AA

CD

CMCT

CL

AA

CMCT

CL

COMPETENCIAS

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

21

B2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con potencias.

B2-3.1. Realiza operaciones combinadas entre números enteros, decimales y fraccionarios, con eficacia, bien mediante el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o medios tecnológicos utilizando la notación más adecuada y respetando la jerarquía de las operaciones.

B2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

B2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES

BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (CONTINUACIÓN)

Realiza correctamente operaciones combinadas con potencias, raíces sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, y con paréntesis. •

Utiliza correctamente la calculadora para resolver raíces cuadradas sencillas.

•

Resuelve correctamente operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, y con paréntesis.

Calcula correctamente la raíz cuadrada exacta y la raíz cuadrada entera, expresando el resultado del resto con precisión.

•

•

Realiza correctamente operaciones con producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente, aplicando las reglas básicas y expresando el resultado como una sola potencia.

•

INDICADORES DE LOGRO

Pág. 19 Acts. 50 a 55

Pág. 18 Acts. 46 a 49

Pág. 17 Acts. 38 a 45

Pág. 16 Acts. 32 a 37

Pág. 15 Acts. 26 a 31

Pág. 14 Acts. 22 a 25

Pág. 13 Acts.19 a 21

ACTIVIDADES

CSC

AA

CMCT

CL

AA

CD

CMCT

CL

COMPETENCIAS

22

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

 Motivación.  Personalización.  Inclusión.  Interacción.  Significatividad.

 Talleres.

 Aprendizaje cooperativo.

 Trabajo por tareas.

 Trabajo por proyectos.

 Otros.

 Otros.

 Evaluación formativa.

 Globalización.

 Funcionalidad.

 Participación.

 Modelo experiencial.

PRINCIPIOS METODOLÓGICOS  Actividad y experimentación.

 Modelo discursivo/expositivo.

MODELOS METODOLÓGICOS

OTROS ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN AGRUPAMIENTO

 Otros.

 Grupo interclase.

 Gran grupo.

 Pequeño grupo.

 Parejas.

 Agrupamiento flexible.

 Tareas individuales.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

23

TRABAJO COOPERATIVO

RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN

Comprar un teléfono y contratar una tarifa acorde con tus necesidades (pág. 27).

Proyecto de trabajo cooperativo de primer trimestre: Magos.

•

 Otros.

 Elaboraciones multimedia.

 Representaciones y dramatizaciones.

 Proyectos personales o grupales.

 Debates e intervenciones.

 Otros documentos gráficos o textuales.

 Pruebas de evaluación externa.

 Evaluación por competencias, pruebas correspondientes a la unidad.

 Evaluación de contenidos, pruebas correspondientes a la unidad.

 Elemento de diagnóstico: rúbrica de la unidad.

INSTRUMENTOS PARA LA EVALUACIÓN

•

 Otros.

 Valoración cualitativa del avance colectivo.

 Valoración cuantitativa del avance colectivo.

 Valoración cualitativa del avance individual (anotaciones y puntualizaciones).

 Valoración cuantitativa del avance individual (calificaciones).

 Análisis y valoración de tareas especialmente creadas para la evaluación.

 Observación directa del trabajo diario.

PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN

Pruebas de evaluación de contenidos.

•

•

Observación directa.

Pruebas de evaluación por competencias.

Calificación cualitativa: tendrá como clave para el diagnóstico la rúbrica correspondiente a la unidad.

•

Calificación cuantitativa:

SISTEMA DE CALIFICACIÓN

24

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

TRANSVERSALES

CONTENIDOS

Valores personales. El cuidado de los objetos de uso personal: la agenda de teléfono (pág. 26).

Educación cívica y constitucional. Saber algunos números de teléfono importantes: emergencias, policía, etc. (pág. 26).

Emprendimiento. Expresar productos y cocientes de potencias con una sola potencia (pág. 15); Calcular la raíz cuadrada de un número (pág. 17); Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces (pág. 19); Calcular el divisor de una división en la que conocemos el dividendo, el cociente y el resto (pág. 21); Calcular el radicando de una raíz conociendo su raíz entera y su resto (pág. 23); Resolver problemas en que los datos están relacionados (pág. 24) y Proyecto final: Comprar un teléfono y contratar una tarifa acorde con tus necesidades (pág. 27).

El tratamiento de las tecnologías de la Información y de la Comunicación. Manejo del teléfono (págs. 7 y 26) y utilizar la calculadora (págs. 11, 17 y 26).

Comunicación audiovisual. El teléfono (págs. 6, 7, 26 y 27); Imágenes de niños explicando diversos conceptos matemáticos (págs. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16 y 18); Cuadros explicativos de conceptos matemáticos con ejemplos (págs. 11, 12, 13, 14, 16 y 18).

Expresión oral y escrita. Reflexión y aplicación del uso del teléfono en la vida cotidiana, en función de las cifras posibles de un número incompleto (pág. 26).

Comprensión lectora. Texto inicio de la unidad: El teléfono (págs. 6 y 7).

Guión de la unidad y sugerencias didácticas

1

GUION DE LA UNIDAD Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

NÚMEROS NATURALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD Números naturales

Sistemas de numeración

Decimal

Romano

Aproximación

Trucamiento

Redondeo

Propiedades de las operaciones con números naturales

Suma y multiplicación

Resta y división

Potencias

De números naturales

Operaciones con potencias

De base 10

Descomposición polinómica de un número

Producto y cociente de potencias con igual base

Potencias de exponente 1y0

Potencia de una potencia

Producto y cociente de potencia de distinta base

Raíz cuadrada

Raíz cuadrada exacta

Raíz cuadrada entera

Operaciones combinadas

28

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1

GUION DE LA UNIDAD Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

NÚMEROS NATURALES

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Sistemas de medida El sistema de medida más extendido en el mundo es el Sistema Métrico Decimal, que sirve para medir las magnitudes que nos rodean, y cuya unidad de longitud, el metro, es apropiada a la altura de nuestro cuerpo. Un sistema de medidas debe ser adecuado a las magnitudes que queremos medir y al entorno que nos rodea. Hagamos ahora un ejercicio de imaginación y supongamos unos seres inteligentes y de un tamaño medio de 2 ? 10-12 metros. ¿Qué unidad de medida de longitud utilizarían y cuáles serían en su unidad nuestras distancias habituales? Parece lógico entonces que utilizaran una unidad, que llamaremos «mini» en lo sucesivo, cuya equivalencia con el metro fuera: 1 mini = 10-12 metros. Con esa unidad, una persona de 1,70 metros de altura mediría 1,7 billones de minis (1,7 ? 1012). Asimismo, una caminata en la que una persona recorriera 4 kilómetros, medida en minis, sería: 4 ? 103 ? 1012 = 4 ? 1015 minis. Y dos ciudades distantes entre sí 300 km, estarían a la distancia de 300 ? 103 ? 1012 = 3 ? 1017 minis. Además, para medir distancias para las que nosotros usamos los múltiplos del metro, ellos tendrían que utilizar una unidad mucho mayor que el mini (como a nosotros nos ocurre con las distancias estelares).

Evolución histórica de la potencia Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados. Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x. Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación moderna: x, x 2, x 3…

Los Pitagóricos No se sabe quién descubrió los números irracionales, pero los pitagóricos, a finales del siglo V a.C., conocían la condición de irracionalidad de 2 (números inconmensurables).

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

29

1

GUION DE LA UNIDAD Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

NÚMEROS NATURALES

NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa?

¿Cómo lo escribimos?

Indica que el número romano bajo la línea está multiplicado por 1 000.

L, M

¿Qué significa?

¿Cómo lo escribimos?

a+b

Indica la suma de dos números naturales.

a>b

Señala una relación entre dos números naturales. El primero, a, es mayor que el segundo, b.

a 5, sumamos 4 + 1 y obtenemos 500.

c) 18 462 " 18 000

Puede ser truncamiento o redondeo a las unidades de millar, porque en este caso como 4 < 5, el truncamiento y el redondeo darían el mismo resultado.

d) 986 492 " 986 500

7

Es un redondeo a las centenas, como 9 > 5, se hace 4 + 1 y se obtiene 986 500.

REFLEXIONA. Escribe todos los números cuya aproximación sea 25 560 al realizar: a) Un redondeo a las decenas. b) Un truncamiento a las decenas.

Decenas: 3 729

9>5

Centenas: 3 729

25

Centenas: 653 497

9>5

" 9 + 1 = 10 " 653 500 " 4 + 1 = 5 " 653 500

El redondeo es mejor aproximación que el truncamiento, porque en este caso como mucho el error entre el número y su aproximación es de 5 unidades en la cifra que es redondeada.Si se trunca, en el peor caso el error puede ser de 9 unidades en la cifra truncada.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

89

1 8

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

PRACTICA. Completa en tu cuaderno e indica las propiedades que se aplican en cada igualdad.

14

a) 14 + 35 = 4 + 14 b) 7 ? (4 ? 5) = (4 ? 4) ? 5 a) 14 + 35 = 35 + 14 " Propiedad conmutativa de la suma.

15

a) 7

d) 52 ? 32

b) 52 ? 4

e) 1 ? 42 f ) 92

PRACTICA. Expresa en forma de potencia y calcula su valor.

REFLEXIONA. Da valores a d  hasta que calcules el divisor de estas divisiones.

b) 108= 100 000 000

b) 89   d

a) 103 = 1 000

16

c) 102   d

a) 7 854 = 7 ? 1 000 + 8 ? 100 + 5 ? 10 + 4

Para ello, ayúdate de la prueba de la división.

b) 11 111 = 10 000 + 1 000 + 100 + 10 + 1 c) 123 456 = 100 000 + 2 ? 10 000 + 3 ? 1 000 + + 4 ? 100 + 5 ? 10 + 6 17

b) 105 + 6 ? 103 + 5 ? 102 + 9 ? 102 + 2 ? 105 a) 104 + 7 ? 103 - 4 ? 102 + 8 ? 102 + 2 = = 10 000 + 7 000 - 400 + 800 + 2 =17 402 La descomposición polinómica de 17 402 es la suma de los productos que consisten en multiplicar sus cifras por la potencia de base 10 correspondiente a su orden, es decir, en este caso sería: 104 + 7 ? 103 + 4 ? 102 + 2 Por tanto la indicada en el enunciado no es una descomposición correcta.

c) Dos a la octava

b) Tres a la sexta

d) Seis a la quinta

a) Cuatro al cubo = 4 Base: 4 Exponente: 3

3

b) Tres a la sexta = 36 Base: 3 Exponente: 6

b) 105 + 6 ? 103 + 5 ? 102 + 9 ? 102 + 2 ? 105 = = 100 000 + 6 000 + 500 + 900 + 200 000 = = 307 400 La descomposición polinómica de 307 400 es la suma de los productos que consisten en multiplicar sus cifras por la potencia de base 10 correspondiente a su orden, es decir, en este caso sería: 3 ? 105 + 7 ? 103 + 4 ? 102 Por tanto la indicada en el enunciado no es una descomposición correcta.

c) Dos a la octava = 28 Base: 2 Exponente: 8 d) Seis a la quinta = 65 Base: 6 Exponente: 5 APLICA. Calcula: a) 24 

  b)  33  

  c)  54 

  d)  72 

  e)  44 

  f )  210

a) 16  

c) 625 

e) 556  

b) 27  

d) 49  

f ) 1 024

APLICA. ¿Son correctas las descomposiciones? a) 104 + 7 ? 10 3 - 4 ? 102 + 8 ? 102 + 2

PRACTICA. Expresa en forma de potencia indicando la base y el exponente. a) Cuatro al cubo

PRACTICA. Obtén la descomposición polinómica. a) 7  854   b)  11  111   c)  123  456

"d=2 b) 89 = 22 ? 4 + 1 " d = 4 c) 102 = 20 ? 5 + 2 " d = 5

90

f ) 9 ? 9

b) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto

13

c) 11 ? 11 ? 11 ? 11

a) 10 ? 10 ? 10

a) 34 = 17 ? 2 + 0

12

e) 1 ? 4 ? 4

c) 11

 0   17  1   22   2   20

11

b) 5 ? 5 ? 4

Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto Dividendo = 14 ? 23 + 2 = 322 + 2 = 324

a) 34   d

d) 5 ? 5 ? 3 ? 3

4

APLICA. Calcula el dividendo de una división en la que el divisor es 14, el cociente es 23 y el resto 2.

10

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7

4

b) 7 ? (4 ? 3) = (7 ? 4) ? 3 " Propiedad asociativa de la multiplicación. 9

REFLEXIONA. Escribe, si se puede, como potencia.

18

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno. a) (2 ? d)d = 10 000

Escribe en forma de potencia y calcula su valor.

b) (2 + 5+d)d = 1 000

a) 10 ? 10 ? 10

b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6

a) (2 ? 5)4 = 104 = 10 000

a) 103 = 1 000

b) 65 = 7 776

b) (2 + 5 + 3)3 = 103 = 1 000 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1 19

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

PRACTICA. Resuelve estas operaciones y escribe el resultado con una sola potencia. 7

4

d) 5 : 5

5

2

6

25

a) (2 4 ) 3 ? (3 3)d = d 6 b) 3 4 ? d4 : 27 4 = 1

6

a) 2 ? 2 b) 3 : 3

e) 4 ? 4

c) 125 3 : 25 3 ? dd = 5 6

c) 104 ? 10

f ) 73 : 7

a) (2 4) 3 ? (3 3) 2 = (2 2) 6 ? 36 = 126

4

a) 27 ? 24 = 27 + 4 = 211 = 2 048 5

2

5-2

4

c) 10 ? 10 = 10 6

d) 5 : 5 = 5

6-1

b) 3 4 ? 9 4 : 27 4 = 1

3

b) 3 : 3 = 3

= 3 = 27

4+1

c) 125 3 : 25 3 ? 5 3 = 56

5

= 10 = 100 000

26

= 55 = 3 125

e) 46 ? 44 = 46+4 = 410 = 1 048 576 f ) 73 : 7 = 73-1 = 72 = 49 20

22

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno. a) 83 ? 8d = 87

b) 86 : 8d = 8

a) 83 ? 84 = 87

b) 86 : 85 = 8

c) 146 ? 23

e) 183 : 36

b) 74 ? 73

d) 214 ? 24

f ) 12311 : 1235

c) 146 ? 2 3 =26 ? 76 ? 2 3 = 29 ? 76 " No se puede expresar como una sola potencia. d) 214 · 24 = (21 · 2)4 = 424 e) 18 3 : 3 6 = (2 ? 3 2) 3 : 36 = 2 3 ? 36 : 36 = 2 3 f ) 12311 : 1236 = 1235 27

Expresa con una sola potencia, si se puede, y calcula. a) 82 : 22

c) 74 ? 54

e) 43 ? 73

g) 156 ? 26

b) 95 : 35

d) 108 : 58

f ) 122 : 42

h) 57 ? 77

PRACTICA. Escribe como una sola potencia.

a) 8 2 : 2 2 = (2 3 ) 2 : 2 2 = 26 : 2 2 = 2 4

a) (2 2 ) 3

d) (76 ) 4

b) 95 : 35 = (3 2) 5: 35 = 310 : 35 = 35

b) (3 4 ) 5

e) (9 2 ) 4

c) 7 4 ? 5 4 = 35 4

c) (5  3 ) 3

f ) (10 10 ) 5

d) 108 : 58 = (2 ? 5) 8 : 58 = (28·58 ): 58 = 28 e) 4 3 ? 7 3 = 28 3 f ) 12 2 : 4 2 = (3 ? 4) 2 : 4 2 = (3 2 ? 4 2) : 4 2 = 3 2

b) (3 4) 5 = 3 4 ? 5 = 3 20

g) 156 ? 26 = (15 ? 2) 6 = 306

c) (5 3) 3 = 5 3 ? 3 = 59

h) 5 7 ? 7 7 = (5 ? 7) 7 = 35 7

d) (76) 4 = 76 ? 4 = 7 24 e) (9 2) 4 = 9 2 ? 4 = 98

28

Expresa con una sola potencia.

f ) (1010 ) 5 = 1010 ? 5 = 1050

a) (45 ? 43) ? (44 ? 42)

c) (78 : 72) ? (74 : 73)

APLICA. Expresa como una sola potencia.

b) (52 ? 54) : (53 ? 5)

d) (39 : 3) : (35 : 33)

a) (8 ? 5) 2 ? (8 ? 5) 7

c) (9 : 2) 6 ? (9 : 2) 3

a) (45 ? 4 3 ) ? (4 4 ? 4 2) = 4(5+3)+(4+2) = 414

b) (5 ? 3) 8 : (5 ? 3) 4

d) (15 : 4) 9 : (15 : 4) 6

b) (5 2 ? 5 4) : (5 3 ? 5) = 5_2+4i-_3+1i = 5 2

c) (78 : 7 2) ? (7 4 : 7 3) = 7(8-2)+(4-3) = 7 7

a) (8 ? 5) 2 ? (8 ? 5) 7 = (8 ? 5) 9 = 409

d) (39 : 3) : (35 : 3 3 ) = 3(9-1)-(5-3) = 36

b) (5 ? 3) 8 : (5 ? 3) 4 = (5 ? 3) 4 = 15 4 c) _9 : 2i ? _9 : 2i = _9 : 2i = e 6

3

9

9

9 o 2

d) (15 : 4) 9 : (15 : 4) 6 = (15 : 4) 3 = e 24

a) 85 : 45

b) 7 4 ? 7 3 = 7 4+3 = 7 7

a) (2 2) 3 = 2 2 ? 3 = 26

23

Expresa, si se puede, con una sola potencia.

a) 85 : 45 = (8 : 4) 5 = 25

APLICA. ¿Cuántos bolígrafos hay en 36 estuches con 6 bolígrafos en cada uno? Escríbelo en forma de potencia. 36 estuches = 62 estuches, y en cada estuche hay 6 bolígrafos. Por tanto habrá en total 62 ? 6 = 63 = = 216 bolígrafos

21

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno:

29 3

15 o 4

Escribe el resultado en forma de potencia. a) (2 3 ) 4 ? 2 5

c) (7 4)2 ? (73 )4

e) 48 : (43 )2

b) 35 ? (32 )4

d) (64 )5 : (610 ) 0

f ) (35 ) 2 : (32 )4

a) (2 3 ) 4 ? 25 = 2(3 ? 4)+5 = 217

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno.

b) 35 ? (3 2) 4 = 35+(2 ? 4) = 313

a) 18 5 : d5 = 6d

c) 5 3 ? d3 = 20d

c) (7 4) 2 ? (7 3) 4 = 7(4 ? 2)+(3 ? 4) = 7 20

b) d ? 5 = 15

d) d : 4 = 4

d) (6 4) 5 : (610 ) 0 = (6 4) 5 : 6 0 = (6 4) 5 : 1 = 6 20

6

d

 6

2

 2

 2

a) 185 : 35 = 65 c) 5 3 ? 4 3 = 20 3 6

6

6

2

2

2

b) 3 ? 5 = 15 d) 16 : 4 = 4

e) 48 : (4 3 ) 2 = 48 : 46 = 48-6 = 4 2 f ) (35) 2 : (3 2) 4 = 310 : 38 = 310-8 = 3 2

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91

1 30

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Calcula el resultado indicando la base y el exponente.  5 3 

3

36

2 

a) (3 ) : (6 ? 6 )

No existe ningún cuadrado perfecto que acabe en 2, 3 o 7. Siempre que se multiplica un número por sí mismo, para saber en qué número acaba basta multiplicar la última cifra por sí misma, y no hay ningún número de 1 cifra que al multiplicarlo por sí mismo acabe en 2, 3 o 7.

b) (3 5 : 3 2 ) ? 34 ? (3 3 )2 c) (7 ) : (7 ? 7 ) 4 3

3

5

a) (35) 2 : (6 3 ? 6 2) = 310 : (65) = 310 : (2 ? 3) 5 = Base " 5

2

3 Exponente " 5 2 4

3 2

3

4

35 3 =e o 2 25

37

6

b) (3 : 3 ) ? 3 ? (3 ) = 3 ? 3 ? 3 = 3

13

Base " 3 Exponente " 13 Base " 7 Exponente " 8 38

Expresa como una sola potencia y calcula.

a) 125

b) (14 : 7) 4 : (18 : 9) 3

b)  96

3

3

4

4

5

3

3

5

4-3

=2

39

c) (8 : 2 ) ? (2 ? 2) : 2 = 4 ? 2 : 2 = 4 3

5

b) 144

40

c) 243 = 15 2 + 18

f ) 355 = 18 2 + 31

Completa en tu cuaderno.

85 =

92 + 4

e)

a . 8 y el resto es 5

a)

44 . 6 y resto 8

d)

a) a = 5 + 7 = 32

f )

2347 =

48 2 + 43

Halla el radicando y escríbelo en tu cuaderno.

c)

2

11 2 + 17

9 2 + 12

93 =

b) a . 7 y el resto es 3 c)

d) 138 =

c)

b)

a . 5 y el resto es 7

2 347 = 42 + 4

8 2 + 13 e) 154 = 12 2 + 10

4 . 6 y resto 8 4 . 9 y resto 9 4 . 8 y resto 6 4 . 13 y resto 15 4 . 30 y resto 26

APLICA. Halla el valor de a en estas raíces cuadradas no exactas.

f )

b) 77 =

a)

d) 14 400 = 120

b) 90 . 9 y resto 9

b) a = 7 2 + 3 = 52

c)

c) a = 8 2 + 5 = 69

70 . 8 y resto 6

d) 184 . 13 y resto 15

APLICA. ¿De qué número es raíz cuadrada el número 15?

e) 41

De 225, 225 = 15, porque 15 2 = 225 APLICA. ¿Cuánto mide de lado un cuadrado cuyo área es 196 cm2? No, porque 42 = 62 + 6 no es una raíz cuadrada exacta. 92

e) 160 = 12 2 + 16

a)

d) 14 400

c) 10 000 = 100

35

b) 96 = 9 + 15

c) 93 = 42 + 4

a) 121 = 11

a)

d) 72 = 8 2 + 8

b) 77 = 42 + 4 e) 154 = 42 + 4

PRACTICA. Calcula estas raíces cuadradas exactas. a) 121 c) 10 000

34

f ) 355

a) 85 = 42 + 4 d) 138 = 42 + 4

d) (3 3 ? 3 2) : (18 4 : 6 4) = 35 : (18 : 6) 4 = 35 : 3 4 = 3

b) 144 = 12

d) 72  2

b) (14 : 7) : (18 : 9) = 2 : 2 = 2 3

e) 160

a) 125 = 11 + 4

a) 3 2 ? (18 : 6) 4 = 3 2 ? 3 4 = 3 2+4 = 36 4

c) 243 2

d) (3 3 ? 32 ) : (184 : 64 )

33

Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de estos números.

a) 32 ? (18 : 6) 4 c) (8 3 : 2 3) ? (24 ? 2) : 25

32

REFLEXIONA. ¿Existe algún número cuya raíz entera sea 6? ¿Cuántos números cumplen esta condición? Como 62 = 36 y 72 = 49, todos los números entre ambos, el 6 incluído, tendrán por raíz entera el 6. Es decir, lo cumplen el 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y 48.

c) (7 4) 3 : (7 ? 7 3 ) = 712 : 7 4 = 712-4 = 78

31

REFLEXIONA. ¿Existe algún cuadrado perfecto que acabe en 2? ¿Y en 3? ¿Y en 7?

926 . 30 y resto 26

Luis ha calculado 292 y afirma que el resto es 36. ¿Ha realizado correctamente los cálculos? Se ha equivocado, porque lo ha descompuesto como 292 = 16 2 + 36, pero se descompone como 292 = 17 2 + 3, lo que implica

292 . 17 y resto 3.

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1 42

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Entre todas estas raíces hay una que tiene distinto resto que las demás. ¿Cuál es?

47

a) 17 + (4 ? 2 - 7) ? 3 b) (22 - 5 ? 3) ? 2

403 a) 52 d)

c) (4 + 4 ? 5) ? 5 - 4

b) 124 e) 173 c) 228

d) (29 - 3 ? 5) : 7 + 5

f ) 199

e) 7 ? 4 - 12 + 3 ? 6 - 2

Todas las raíces tienen resto 3, salvo la de 173. Tenemos que: 52 = 72 + 3, 124 = 112 + 3, 228 = = 152 + 3,403 = 202 + 3 y 199 = 142 + 3.

43

f ) (11 - 7) ? 4 + 2 ? (8 + 2) g) 3 ? (14 + 12 - 20) : 9 + 2

Y que: 173 = 132 + 4

a) 17 + 1 ? 3 = 20

¿Cuál es el número de monedas que hay en el lado de un cuadrado formado por las siguientes monedas?

c) 24 ? 5 - 4 = 120 - 4 = 116

b) (22 - 15) ? 2 = 7 ? 2 = 14 d) 14 : 7 + 5 = 2 + 5 = 7

a) 64   b) 121   c) 144   d) 324

e) 28 - 12 + 18 - 2 = 16 + 16 = 32

a) 64 = 82 " 8 monedas en el lado del cuadrado

f ) 4 ? 4 + 2 ? 10 = 16 + 20 = 36

b) 121 = 112 " 11 monedas en el lado del cuadrado

g) 3 ? 6 : 9 + 2 = 2 + 2 = 4

c) 144 = 122 " 12 monedas en el lado del cuadrado d) 324 = 182 " 18 monedas en el lado del cuadrado 44

45

48

APLICA. Calcula el valor de estas expresiones.

Encuentra un número natural comprendido entre 100 y 121, cuya raíz cuadrada entera tenga por resto:

a) 3 ? (100 - 90) - 12 ? (5 + 2)

a) 8   b) 10   c) 12   d) 15

c) 66 : (15 - 9) - 7 ? (6 : 2) - 12 : 2

¿Cuál es el mayor resto que se puede tener en este caso?

d) 7 ? (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 ? (8 - 6 + 1)

La raíz de 100 es 10 y la de 121 es 11, de modo que el número las posibilidades estarán elevando 10 al cuadrado y sumándole el resto indicado.

f ) [200 - 3 ? (12 : 4 - 3)] - 6 + 37 - 35 : 7

a) 108 = 102 + 8

c) 112 = 102 + 12

b) 110 = 102 + 10

d) 115 = 102 +15

c) 66 : 6 + 7 ? 3 - 6 = 11 + 21 - 6 = 26

b) 7 ? (26 : 2) - (6 : 3) ? 6 + 4

e) 8 ? (28 - 14 : 7 ? 4) : (22 + 5 ? 5 - 31) a) 3 ? 10 + 12 ? 7 = 30 + 84 = 114 b) 7 ? 13 - 2 ? 6 + 4 = 91 - 12 + 4 = 83 d) 7 ? 7 : 7 + 7 ? 3 = 49 : 7 + 21 = 7 + 21 = 28

En este caso, el mayor resto puede ser 20, en el número 120, porque ya el siguiente es 121 = 112, con resto 0.

e) 8 ? (28 - 2 ? 4) : (22 + 25 - 31) = 8 ? (28 - 8) : 16 = = 8 ? 20 : 16 = 160 : 16 = 10

Escribe todos los números que tengan como raíz entera 5. ¿Cuántos números hay? ¿Cuántos números tendrán como raíz entera 6? ¿Y 7?

f ) [200 - 3 ? (3 - 3)] - 6 + 37 - 5 = = [200 - 3 ? 0] - 6 + 37 - 5 = = 200 - 6 +37 - 5 = 226

Tienen como raíz entera 5 todos los números comprendidos entre 25 y 36.

49

REFLEXIONA. Realiza estas operaciones. 3 ? 4 - 2 + 12 : 6 - 4 - 8 3 ? (4 - 2) + 12 : (6 - 4) - 8 ¿Por qué no obtienes el mismo resultado si los números y los signos de las dos operaciones son los mismos?

Tienen como raíz entera 6 todos los números comprendidos entre 36 y 49, y tienen como raíz entera 7 todos los números comprendidos entre 49 y 64. 46

APLICA. Resuelve estas operaciones.

3 ? 4 - 2 + 12 : 6 - 4 - 8 = 12 - 2 + 2 - 4 - 8 = = 10 + 2 - 4 - 8 = 12 - 4 - 8 = 8 - 8 = 0

PRACTICA. Calcula. a) 9 : 3 + 5 ? 7

d) 12 ? 8 - 5 ? 10

b) 7 + 8 ? 6 - 19

e) 7 ? 9 + 4 + 6 : 3

c) 35 - 2 ? 4 - 3 ? 5

f ) 26 + 9 : 3 - 4 ? 5

3 ? (4 - 2) + 12 : (6 - 4) - 8 = 3 ? 2 + 12 : 2 - 8 = = 6 + 6 - 8 = 12 - 8 = 4 No se obtiene el mismo resultado porque cambia el orden de realización de las operaciones al haber paréntesis, influyendo en el resultado final.

a) 3 + 35 = 38 b) 7 + 48 - 19 = 55 - 19 = 36 c) 35 - 8 - 15 = 27 - 15 = 12

50

Halla el resultado de estas operaciones.

d) 96 - 50 = 46

a) 4 ? 9 - 23 ? 3

d) 8 - (24 - 3 ? 4) ? 2

e) 63 + 4 + 2 = 69

b) 5 ? (6 + 22) - 33

e) 13 + 6 : (22 - 2) ? 32

f ) 26 + 3 - 20 = 29 - 20 = 9

2

c) 25 : (6 - 11) + 18

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f ) (22 ? 7 - 3) ? 4 93

1

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

a) 36 - 24 = 12

a) (12 + 3) : 5 = 15 : 5 = 3

b) 5 ? 10 - 27 = 50 - 27 = 23

b) (3 - 2) ? ( 3 + 2 )= 1 ? 5 = 5

c) 25 : 25 + 18 = 1 + 18 = 19

c) 24 : 12 = 2

d) 8 - 4 ? 2 = 8 - 8 = 0

d) 4 ? ( 8 - 1 ) = 4 ? 7 = 28

e) 13 + 3 ? 9 = 13 + 27 = 40

e) 25 + 3 = 28

f ) 25 ? 4 = 100

f ) 16 - 1 = 15 g) 9 : 9 = 1

51 Calcula.

h) 14 : ( 4 + 3) = 14 : 7 = 2

a) (15 - 32) ? 2 3 + 9 : 3 b) _ 25 + 36 - 32i ? 4 + 8

i) (9 - 3 ) : 5 + 1 = 6 : 6 = 1

c) _4 - 169 i : (2 + 1) d) 16 + 25 : (2 3 - 3) 3

j) (7 - 4) + (1 + 5) ? 2 = 3 + 6 ? 2 = 3 + 12 = 15

4

55

a) 6 ? 8 + 3 : 3 = 48 + 1 = 49

a) 25 + 32 ? 2 - 24 : 4

b) 2 ? 2 +8 = 4 + 8 = 12

b) 162 : 16 ? 8 3 - 26

c) (64 - 13 ) : 17 = 51 : 17 = 3

c) ` 52 + 2 3 ? 3 + 2 3 j : 3

d) 4 + 5 : 5 = 4 + 1 = 5 52

d) 36 : 3 ? (32 - 5) + 42 ? _ 16 - 2i : 2

Resuelve estas operaciones. ¿Por qué obtienes resultados distintos?

a) 5 + 9 ? 2 - 16 : 4 = 5 + 18 - 4 = 23 - 4 = 19

8 ? _ 144 : 22i - 2 a) 8 ? 144 : 22 - 2 c)

b) 256 : 4 ? 512 - 64 = 32 768 - 64 = 32 704

b) 8 ? 144 : (22 - 2) d) 8 ? _ 144 : 22 - 2i a) 8 ? 12 : 4 - 2 = 24 - 2 = 22

c) 8 ? 3 - 2 = 22

b) 8 ? 12 : 2 = 48

d) 8 ? 1 = 8

Se obtienen resultados distintos porque el añadir o eliminar paréntesis modifica el orden de las operaciones, y por tanto, el resultado de la operación. 53



c) (7 + 8) : 3 = 15 : 3 = 5 d) 6 : 3 ? (9 - 5) + 16 ? (4 - 2) : 2 = 2 ? 4 + 16 ? 2 : 2 = = 8 + 16 = 24 56

Determina los errores que se han cometido.

_5 + 16 i ? 81 + 3 ? 4 = (5 + 4) ? 9 + 3 ? 2 = = 9 ? 12 ? 2 = 9 ? 12 + 9 ? 2 = 108 + 18 = 126 Los errores en el enunciado son que en el paso (5 + 4) ? 9 + 3 ? 2 ha efectuado la suma 9 + 3, cuando es prioritaria la multiplicación 3 ? 2.

57

b)  12 463

d)  3 532 001

a) 5 396

3 C = 300 U

b) 12 463

3U

Indica el valor posicional de todas las cifras. a) 4 596

c) 17 890

b) 35 702

d) 252 525

b) 3 DM, 5 UM, 7 C, 2 U

a) _12 + 9 i : 25

c) 1 DM, 7 UM, 8 C, 9 D

b) _ 9 - 4 i ? _ 9 + 4 i

d) 2 CM, 5 DM, 2 UM, 5 C, 2 D 5 U

c) (52 - 1) : 144

58

d) 16 ? (2 3 - 1) e) 52 + 81 : 3

Escribe, en cada caso, números que cumplan las siguientes condiciones. a) Tiene ocho unidades, nueve centenas y dos unidades de millar.

f ) 42 - 25 : 5

g) 81 : _ 16 + 5i

b) Tiene siete decenas, cinco unidades de millar y es capicúa de cuatro cifras.

h) 196 : (22 + 3)

94

c)  303 030

a) 4 UM, 5 C, 9 D, 6 U

Resuelve estas operaciones.

j ) _ 49 - 4i + _1 + 25 i ?

a) 5 396

d) 3 532 001 3 U. de millón y 3 DM = 30 000 U

Luego una vez cometido ese fallo, aplica la propiedad distributiva de la suma cuando no hay suma, lo cual es otro error.

i ) _ 81 - 3i : _ 25 + 1i

Indica el valor posicional de la cifra 3.

c) 303  030 3 CM = 300 000 U, 3 UM = 3 000 U y 3 D = 30 U

(5 + 4) ? 9 + 3 ? 2 = 9 ? 9 + 3 ? 2 = 81 + 6 = 87

54

Obtén el resultado.

a) 2 908, 2 918, … , 2 998, 12 908,… 4

b) 5 775 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1 59

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

¿Cuántos números comprendidos entre 200 y 300 cumplen que la cifra de las decenas es igual o mayor que la cifra de las unidades?

62

Los números entre 200 y 300, es decir de 201 a 299. Para el 0 como decenas, todas las unidades que podemos escribir son mayores. Para el 1 como decenas, podemos tener de unidades el 0 y el 1, es decir dos números (210 y 211). Para el 2 como decenas, podemos tener de unidades 0, 1 y 2, es decir, tres números (220, 221, 222).

63

Para el 3 como decenas tendríamos cuatro números, para el 4 de decenas tendríamos cinco números y así sucesivamente hasta llegar al 9 como decenas que tendríamos 10 números (290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298 y 299). Tenemos un total de 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + + 9 + 10 = 54 números que cumplen la condición. 60

Transforma al sistema de numeración decimal.

64

a) XVIII   b) LXXI     c) XCVII     d) MDCXXVIII a) 18

b) 71

c) 97

a) 511   b) 49   c) 827   d) 65  306

d) 614 e) 57

c) 462

f ) 9 999

a) CXLVIII

d) DCXIV

b) XCIX

e) LVII

c) CDLXII

f ) IXCMXCIX

Expresa en el sistema de numeración decimal estos números romanos. a) XXVII

d) XLVIII

b) DCXLVI

e) CMXXIV

c) DXXX

f ) MXXIX

a) 27

c) 530

e) 924

b) 646

d) 48

f ) 1029

¿Qué números en el sistema decimal son estos números romanos? b) CDXL e) MMCIII

Escribir números romanos Expresa en números romanos.

a) 148 b) 99

a) XIX d) IVCDXX

d) 1 628

  SABER HACER

61

Escribe en números romanos.

65

•  Si el número es menor que 4 000. primero. Se descompone el número. a) 511 = 500 + 10 + 1 b) 49 = 40 + 9

c) MMCIV

f ) MMMDLXXX

a) 19 000

d) 4 420

b) 400 040

e) 2 000 103

c) 1 001 104

f ) 1 002 580

Aproxima estos números truncándolos a las unidades de millar y a las centenas. a) 24 536

d) 19 864

b) 656 419

e) 456 283

c) 200 664

f ) 6 332

a) UM: 24 000, C: 24 500

c) 827 = 800 + 20 + 7

b) UM: 656 000, C: 656 400

segundo.

Se transforma cada sumando de la descomposición en números romanos.

c) UM: 200 000, C: 200 600

–  Si la cifra es 1 o 5, existe una letra. a)  511 " D + X + I " DXI

d) UM: 19 000, C: 19 800

–  Si la cifra es 4 o 9, se aplica la regla de la sustracción. b) 49 " XL + IX " XLIX

f ) UM: 6 000, C: 6 300

–  Si es otra cifra, se aplica la regla de la suma. c) 827 " DCCC + XX + VII " DCCCXXVII

e) UM: 456 000, C: 456 200

66

Aproxima estos números redondeándolos a las decenas de millar y a las decenas. a) 33 675

d) 87 554

primero. Se escribe el número en dos partes: unidades, decenas y centenas por un lado, y el resto por otro.

b) 674 323

e) 105 538

c) 34 544

f ) 220 551

d)  65 306 = 65  306

a) DM: 30 000, D: 33 680

•  Si el número es mayor o igual que 4 000.

Se transforman los dos números en números romanos, aplicando al primero la regla de la multiplicación.

b) DM: 670 000, D: 674 320

d) 65  306 " LXV  CCCVI " LXVCCCVI

e) DM: 110 000, D: 105 540

segundo.

c) DM: 30 000, D: 34 540 d) DM: 90 000, D: 87 550 f ) DM: 220 000, D: 220 550

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95

1 67

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Completa en tu cuaderno la tabla con las aproximaciones por truncamiento y redondeo a las centenas, y elige la mejor aproximación. Truncamiento

Redondeo

4 356

4 300

4 400

66 724

66 700

66 700

200 443

200 400

200 400

84 351

84 300

84 400

79 884

79 800

79 900

71

a) 4 ? (9 - 6) = 4 ? 9 + 4 ? 6 b) (7 + 8) ? 5 = 7 ? 8 + 7 ? 5 c) (3 + 12) ? 2 = 3 + 12 ? 2 d) 5 ? (10 - 3) = 5 ? 10 - 5 - 3 a) Cambia el signo de la operación entre paréntesis al aplicar la propiedad distributiva. Bien sería: 4 ? (9 - 6 ) = 4 ? 9 - 4 ? 6 b) Aplica erróneamente la propiedad distributiva. Lo correcto sería: (7 + 8 ) ? 5 = 7 ? 5 + 8 ? 5 c) No se puede eliminar paréntesis sin aplicar correctamente la propiedad distributiva. Debería ser: (3 + 12) ? 2 = 3 ? 2 + 12 ? 2

Si la cifra que sigue a las centenas es menor que 5, la aproximación por truncamiento y por redondeo es la misma. Si la cifra de las decenas es mayor o igual que 5, la mejor aproximación viene dada por el redondeo. 68

d) Al aplicar la propiedad distributiva, el número que multiplica, multiplica a los dos que hay entre paréntesis, aquí cambia la operación de multiplicación por una resta. Lo correcto sería: 5 ? (10 - 3) = 5 ? 10 - 5 ? 3

Completa en tu cuaderno la tabla con las aproximaciones por truncamiento de 37 894. 72

37 894

Si D es el dividendo, d, el divisor, c, el cociente y r, el resto, ¿son correctas las siguientes divisiones?

A las unidades

37 894

a) D = 436

d = 7

c = 61

r=9

A las decenas

37 890

b) D = 10 583

d = 28

c = 37

r = 27

A las centenas

37 800

A las unidades de millar

37 000

A las decenas de millar

30 000

Truncamiento

a) El resto es mayor que el divisor, eso no puede pasar. 436 : 7 tiene como cociente 62 y resto 2. b) 28 ? 37 + 27 = 1 063, que no coincide con el dividendo 10 583. 73

69

Escribe tres números cuyo:

d = 19

c = 321

r=?

b) Truncamiento a las centenas sea el mismo.

b) D = 986

d = 17

c = 58

r=?

c) Redondeo y truncamiento a las decenas coincidan.

a) 19 ? 321 = 6 099 " r = 0

Respuesta abierta. Por ejemplo:

b) 17 ? 58 = 986 " r = 0

a) 37 312, 37 401 y 37 403

Ambas divisiones tienen resto igual a 0.

b) 301, 350, 387

74

c) 1 990, 1 992, 1 994

Calcula el dividendo de estas divisiones sabiendo que su resto es igual a 0.

Aplica la propiedad distributiva y calcula.

a) Cociente: 14

Divisor: 8

a) 2 ? (5 - 3)

d) (12 - 7 + 3) ? 8

b) Cociente: 25

Divisor: 12

b) (14 - 6) ? 4

e) 16 ? (5 + 6)

c) Cociente: 363

Divisor: 42

f ) (8 - 6 + 9) ? 6

d) Cociente: 148

Divisor: 17

e) Cociente: 4 020

Divisor: 10

c) 5 ? (9 + 4 - 2) a) 2 ? 2 = 4

96

Sin realizar la división indica cuáles de estas divisiones tienen resto igual a 0. a) D = 6 099

a) Redondeo a las unidades de millar sea el mismo.

70

Detecta el error en cada una de las expresiones.

b) 8 ? 4 = 32

a) D = 14 ? 8 = 112

c) 5 ? 11 = 55

b) D = 25 ? 12 = 300

d) 8 ? 8 = 64

c) D = 363 ? 42 = 15 246

e) 16 ? 11 = 176

d) D = 148 ? 17 = 2 516

f ) 11 ? 6 = 66

e) D = 4 020 ? 10 = 40 200 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1 75

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

¿Cuántas unidades hay que añadir al dividendo de la división 412 : 26 para que el resto sea igual a 0?

80

Halla el divisor de una división en la que el dividendo es 324, el cociente es 21, y el resto, 9.

Escribe como producto de factores estas potencias y calcula el resultado. b)  65

81

Escribe, si es posible, las siguientes expresiones en forma de potencia: a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5

d) 17

a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5

9

b) 4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 4 ? 7 = (4 ? 7)3 = 283 c) 49 ? 49 ? 50 ? 50 = (49 ? 50)2 = 24502 d) 17 = 17 1

El divisor de la división es 15. 82

Escribe con números. a) Diecisiete a la cuarta

Encuentra el divisor. a) D = 279

c = 23

r=3

b) D = 1320

c = 47

r=4

c) D = 1 160

c = 36

r=8

d) D = 8 035

c = 55

r=5

e) D = 17 310

c = 84

r=6

c) Dos a la quinta

b) Trece al cubo

d) Quince a la sexta

a) Diecisiete a la cuarta = 17

4

b) Trece al cubo = 133 c) Dos a la quinta = 25 d) Quince a la sexta = 156 83

a) d = (279 - 3): 23 = 276 : 23 = 12

Escribe cómo se leen las siguientes potencias.

b) d = (1 320 - 4) : 47 = 1 316 : 47 = 28

a) 32

c) d = (1 160 - 8) : 36 = 1 152 : 36 = 32

a) 32 = Tres al cuadrado

d) d = (8 035 - 5) : 55 = 8 030 : 55 = 146

b) 75 = Siete a la quinta

Completa la tabla en tu cuaderno. Divisor

Cociente

Resto

195

42

4

27

7 582

135

56

22

359

25

14

9

780

5

156

0

Indica la base y el exponente de las siguientes potencias:

c) 43

d) 1417

d) 1417 = Catorce elevado a diecisiete 84

Dividendo

b)  75

c) 43 = Cuatro al cubo

e) d = (17 310 - 6) : 84 = 17 304 : 84 = 206

d) 73

c) 49 ? 49 ? 50 ? 50

b) 4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 4 ? 7

315 : 21 = 15

b) 345

d) 76

d) 76 = 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 117 649

segundo. Se divide el resultado por el cociente y se obtiene el divisor.

c) 54

c) 84

c) 84 = 8 ? 8 ? 8 ? 8 = 4 096

Se resta el resto al dividendo.

a) 233

Exponente = 3

b) 65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776

D - r = 324 - 9 = 315

79

Exponente = 5

a) 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81

Calcular el divisor de una división en la que conocemos el dividendo, el cociente y el resto

78

Exponente = 4

a) 34

  SABER HACER

77

" Base = 34, " Base = 5, 3 d) 7 " Base = 7, 5

c) 54

Si se le suma al dividendo 4 unidades, se obtiene 416, que al dividirlo entre 26 tiene por cociente 16 y por resto 0.

primero.

Exponente = 3

b) 34

412 : 26 = 15 y tiene resto r = 22.

76

a) 233 " Base = 23,

Calcula las siguientes potencias. a) 34

b)  71

a) 34 = 81

d) 50

c) 63 = 216

1

d) 50 = 1

b) 7 = 7 85

c) 63

Completa en tu cuaderno la tabla y calcula. Al cuadrado

Al cubo

A la cuarta

7

49

343

2 401

8

64

512

4 096

10

100

1 000

10 000

11

121

1 331

14 641

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97

1 86

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Completa en tu cuaderno. a) 2

d d

b) 7

92

= 32  

c)  d = 81

= 1 

d)  d = 343

4

a) 52 ? 32

3



7

7

7

g) 210 ? 1010

e) 20 : 10

h) 124 : 44

" 25 = 32 b) 7 = 1 " 70 = 1 c) d4 = 81 " 34 = 81 d) d3 = 343 " 73 = 343

c) 103 ? 103

f ) 38 ? 28

i) 157 : 37

Obtén la expresión polinómica de estos números.

d) 86 : 26 = 46

a) 347  b) 10  286  c) 400  658  d) 5  338  655

e) 207 : 107 = 27

d

7

a) 52 ? 32 = 152 b) 47 ? 27 = 87 c) 103 ? 103 = 106

f ) 38 ? 28 = 68

a) 347 = 3 ? 102 + 4 ? 10 + 7

g) 210 ? 1010 = 2010

b) 10 286 = 104 + 2 ? 102 + 8 ? 10 + 6

h) 124 : 44 = 34

c) 400 658 = 4 ? 105 + 6 ? 102 + 5 ? 10 + 8 d) 5 338 655 = 5 ? 106 + 3 ? 105 + 3 ? 104 + 8 ? 103 + + 6 ? 102 + 5 ? 10 + 5 88

d) 86 : 26

b) 4 ? 2

a) 2d = 32

87

Escribe como una sola potencia.

i) 157 : 37 = 57 93

Detecta el error. a) 23 ? 43 = 86

Averigua, en cada caso, el número cuya descomposición polinómica es:

5

2

c) 54 ? 53 = 512

3

d) 76 : 74 = 710

b) 8 : 2 = 4

a) 23 ? 43 = 86. Lo correcto es: 23 ? 43 = 83 a) 6 · 104 + 7 · 103 + 9 ? 10 + 7

b) 85 : 22 = 43. Lo correcto es: 215 : 22 = 213

b) 3 · 105 + 4 · 102 + 1

c) 54 ? 53 = 512. Lo correcto es: 54 ? 53 = 57

c) 8 · 103 + 102

d) 76 : 74 = 710. Lo correcto es: 76 : 74 = 72

d) 2 · 106

94

4

3

5

2

a) 6 ? 10 + 7 ? 10 + 9 ? 10 + 7 = 67 097

91

b) 204 : 54 ? 24

d) 215 : 75 ? 25

a) 5 ? 2 ? 3 = 30

c) 8 ? 103 + 102 = 8 100

b) 204: 54 ? 24 = 84

7

7

7

d) 2 ? 10 = 2 000 000

c) 163 : 43 : 23 = 23

Realiza estas operaciones con potencias.

d) 215 : 75 ? 25 = 65

a) 53 ? 58

c) 106 ? 103

e) 25 ? 25

b) 36 ? 34

d) 105 ? 10

f ) 74 ? 78

3

8

11

6

4

10

5

95

d) 10 ? 10 = 10 5

5

"d=9 b) 27 = 3 " d = 12 c) 1256 = 5d " d = 18 a) 83 = 2d

10

e) 2 ? 2 = 2

c) 106 ? 103 = 109

f ) 74 ? 78 = 712

4

Calcula. a) 38 : 32

c) 108 : 108

e) 26 : 24

b) 57 : 53

d) 74 : 7

f ) 105 : 102

a) 38 : 32 = 36

d) 74 : 7 = 73

b) 57 : 53 = 54

e) 26 : 24 = 22

c) 108 : 108 = 1

f ) 105 : 102 = 10 3

Escribe en tu cuaderno los exponentes que faltan. a) 83 = 2d    b) 274 = 3d   c) 1256 = 5d

6

b) 3 ? 3 = 3

96

d

Completa en tu cuaderno. a) d7 : 53 = 54 b) 12

97

Escribe el resultado con una sola potencia.

d

6

c) 95 : 9d = 93 d) 39 : 3d = 32

9

: 12 = 12

a) 57 : 53 = 54

c) 95 : 92 = 93

b) 1215 : 126 = 129

d) 39 : 36 = 32

Completa en tu cuaderno. a) 34 ? d2 ? 37 = 3d

c) (d7 ? 10d) : 10 = 10d

e) 76 : 73 ? 74

b) (58 : 5d) ? 53 = d4

d) 68 (d7 : 6d) = 612

c) 53 ? 56 : 52

f ) 109 : 10 ? 105

a) 34 ? d2 ? 37 = 3d

a) 24 ? 26 : 27 = 23

d) 102 ? 106 : 103 = 105

b) 35 : 33 ? 32 = 34

e) 76 : 73 ? 74 = 77

a) 24 ? 26 : 27

d) 102 ? 106 : 103

b) 35 : 33 ? 32

3

6

2

7

c) 5 ? 5 : 5 = 5 98

c) 163 : 43 : 23

b) 3 ? 10 + 4 ? 10 + 1 = 300 401

a) 5 ? 5 = 5

90

a) 57 ? 27 ? 37 7

6

89

Expresa como una sola potencia.

f ) 109 : 10 ? 105 = 1013

" 34 ? 32 ? 37 = 313 b) (58 : 5d) ? 53 = d4 " (58 : 57) ? 53 = 54 c) (d7 ? 10d) : 10 = 10d " (107 ? 102) : 10 = 108 d) 68 (d7 : 6d) = 612 " 68 ? (67 : 63) = 612

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1 98

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Completa en tu cuaderno con una potencia.

105

a) 76 = 74 ? 4

e) 118 = 4 ? 115

a) (62)5 : (63)3

c) (108)3 : (104)5

b) 5 3 = 4 : 56

f ) 34 = 37 :4

b) (87)2 : (83)4

d) (29)2 : (23)5

c) 28 3 = 73 ? 4

g) 454 = 4 ? 54

a) 610 : 69 = 61

d) 8 = 4 : 5

h) 36 = 4 : 66

b) 814 : 812 = 82

7

7

c) 1024 : 1020 = 104

" d = 72 b) 5 3 = 4 : 56 " d = 59 c) 28 3 = 7 3 ? 4 " d = 43 d) 8 7 = 4 : 5 7 " d = 407 e) 118 = 4 ? 115 " d = 113 f ) 3 4 = 3 7 :4 " d = 33 g) 45 4 = 4 ? 5 4 " d = 94 h) 36 = 4 : 66 " d = 186 a) 76 = 7 4 ? 4

99

d) 218 : 215 = 23 106

4 3

2 5

b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4 a) 39 : (310 : 37) ? 33 = 39 : 33 ? 33 = 36 ? 33 = 39 b) 76 ? 73 : 78 = 79 : 78 = 7 107 4 6

5 3

a) (2 )     b) (5 )     c) (3 )     d) (7 )

102

d) (524 ? 5221) : 5213

b) (136)8 ? 1330

e) 1018 : (106)2

c) (10 ) : 10

f ) (915 ? 95) : (96 : 93)

b) (5 2) 5 = 510 d) (75)3 = 715

a) 713 + 9 + 20 = 742

d) 524 + 21 - 13 = 5212

b) 136 ? 8 + 30 = 1378

e) 1018 - 6 ? 2 = 106

c) 108 ? 8 - 44 = 1020

f ) 915 + 5 : 96 - 3 = 920 - 3 = 917

Completa en tu cuaderno. a) (32)4 = 36

c) (114)3 = 1112

b) (45)4 = 425

d) (154)2 = 1518

6

4 3

108

a) (3 ) = 3

c) (11 ) = 11

b) (45)5 = 425

d) (159)2 = 1518

44

Calcula estas potencias y completa en tu cuaderno. a) 10 3 ? 208 ? 254 = 104

12

b) 84 ? 162 = 24 c) 276 : 814 = 34

Completa en tu cuaderno con números para que las igualdades sean ciertas.

d) 102 ? 40 ? 52 = 104

a) 9d ? 96 = 911

d) 31d : 314 = 316

b) 125 ? 12d = 129

e) (7d)4 = 716

c) 88 : 8d = 85

f ) (52 )d = 532

e) 255 : 1252 = 54 a) 10 3 ? 208 ? 25 4 = 104 " 103 ? (2 ? 10)8 ? (52)4 =   = 10d " d = 19 b) 8 4 ? 16 2 = 24 c) 276 : 81 4 = 34

a) 5

c) 3

e) 4

b) 4

d) 10

f ) 16

d) 10 2 ? 40 ? 5 2 = 104 e) 255 : 125 2 = 54

Expresa como una sola potencia. 109

Reduce estas expresiones.

b) (34)3 : 38 = 34 d) 69 : (62)2 = 65

b) (77 : 74) ? (7 ? 3)5

Calcula.

d) (2 ? 9)12 : (9 ? 2)5 ? 93

5

2

3

a) (3 ? 3 ) : 3 3

7

4

b) 4 ? (4 : 4 ) 7

3

4

3

3

6

a) 3 : 3 = 3

b) 4 ? 4 = 4

5

3

c) (8 : 8 ) ? 8 5

2

c) 45 ? (46 : 44) ? (5 ? 4)5

2

a) 3 ? 33 ? 53 = 34 ? 53

2

d) 7 : (7 ? 7 ) 2

2

5

4

c) 8 ? 8 = 8

b) 73 ? 75 ? 35 = 78 ? 35

4

c) 45 ? 42 ? 55 ? 45 = 412 ? 55

d) 7 : 7 = 7

d) (2 ? 9)7 ? 93 = 27 ? 910

Resuelve. 5 2

110 2 4

a) (3 ) ? (3 )

5 3

c) (9 ) ? (9 )

d) (116)2 ? (113)4

a) 310 ? 38 = 318

c) 915 ? 912 = 927

9

8

b) 7 ? 7 = 7

17

12

12

d) 11 ? 11 = 11

Expresa como una sola potencia. a) 24 ? 83

4 3

b) (73)3 ? (72)4

" d = 20 "d=2 "d=5 "d=4

a) 3 ? (3 ? 5)3

a) (23)2 ? 24 = 210 c) 45 ? (42)3 = 411

104

a) 713 ? 79 ? 720 8 8

a) (23)2 ? 24  b) (34)3 : 38   c) 45 ? (42)3   d) 69 : (62)2

103

Opera y expresa como una potencia.

a) (2 4) 3 = 212 c) (34)6 = 324

2 3

101

Calcula las siguientes expresiones. a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33

Calcula el resultado.

100

Indica como una sola potencia.

7

c) 56 ? 1252

4

d) 493 ? 75

b) 3 ? 27 a) 24 ? 83 = 213 24

7

4

19

b) 3 ? 27 = 3

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

c) 56 ? 1252 = 512 d) 493 ? 75 = 711 99

1 111

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Completa en tu cuaderno.

a) Raíz entera = 8

Resto = 12 "

a) 225 = 4, ya que d2 = 225

b) Raíz entera = 17

Resto = 5

b) 729 = 4, ya que d = 729

c) Raíz entera = 11,

c) 1296 = 4, ya que d = 1 296

d) Raíz entera = 21,

2

2

d) 2304 = 4, ya que d2 = 2 304

116

a) d = 15   b)  d = 27   c)  d = 36   d)  d = 48 112

Completa.

4 = 13 d) 4 = 25 a) d = 32 c) d = 19 b) d = 169 d) d = 625

c) Raíz entera = 29 Radicando = 852 a) 175 - 132 = 175 - 169 = 6 b) 579 - 242 = 579 - 576 = 3

Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de los números que ha anotado Ana.

c) 852 - 292 = 852 - 841 = 11 117

a) 10 + 4 ? 8

d) 3 ? 2 + 5 ? 9

b) 32 

b) 12 : 3 - 3

e) 9 : 3 - 6 : 2

c) 140 

c) 7 + 5 ? 6

f ) 4 ? 9 - 7 ? 5

79 . 8 y resto 15

118

b) 32 . 5 y resto 7 c) 140 . 11 y resto 19 d) 853 . 29 y resto 12

  SABER HACER Calcular el radicando de una raíz conociendo su raíz entera y su resto

119

La raíz entera de un número es 5 y su resto es 10. Halla el radicando.

primero. En la fórmula que da el resto de una raíz entera se sustituye cada término por su valor.

RESTO = RADICANDO - (RAÍZ ENTERA)2 10 = RADICANDO - 52 10 = RADICANDO - 25 segundo.

Realiza las siguientes operaciones.

a) 79  

d) 853

114

Halla el resto de estas raíces.

b) Raíz entera = 24 Radicando = 579

b)

a)

" 294 Resto = 15 " 136 Resto = 6 " 447

a) Raíz entera = 13 Radicando = 175

361 = 4 a) 1024 = 4 c)

113

76

a) 10 + 4 ? 8 = 42

d) 3 ? 2 + 5 ? 9 = 51

b) 12 : 3 - 3 = 1

e) 9 : 3 - 6 : 2 = 0

c) 7 + 5 ? 6 = 37

f ) 4 ? 9 - 7 ? 5 = 1

Calcula. a) (9 + 13) ? 4

d) 7 - (7 + 2) : 3

b) 26 : (5 - 3)

e) 10 : (6 - 4) + 14

c) (7 + 15) : 2

f ) (6 - 3) ? 5 - 2

a) (9 + 13) ? 4 = 88

e) 7 - (7 + 2) : 3 = 4

b) 26 : (5 - 3) = 13

f ) 10 : (6 - 4) + 14 = 19

c) (7 + 15) : 2 = 11

g) (6 - 3) ? 5 - 2 = 13

Efectúa estas operaciones. a) 28 - 3 ? 2 ? 4

e) (42 - 6) : 6 + 5 ? 3

b) 5 ? 9 : 3 + 7

f ) 15 ? (7 - 3) : (3 - 1)

c) 25 + 4 ? 2 - 7 ? 3

g) 25 - 5 ? (10 - 6) : 10

d) 14 : 2 + 3 ? 9 - 5

h) 15 ? 3 - 2(8 + 4)

a) 28 - 3 ? 2 ? 4 = 4 b) 5 ? 9 : 3 + 7 = 22 c) 25 + 4 ? 2 - 7 ? 3 = 12

Se busca un número tal que, al restarle 25,

d) 14 : 2 + 3 ? 9 - 5 = 29

dé 10. RADICANDO = 10 + 25 = 35

e) (42 - 6) : 6 + 5 ? 3 = 21 f ) 15 ? (7 - 3) : (3 - 1) = 30

El número 35 tiene como raíz entera 5 y su resto es 10.

g) 25 - 5 ? (10 - 6) : 10 = 23 h) 15 ? 3 - 2(8 + 4) = 21

115

100

Calcula el radicando en cada caso.

120

Calcula el resultado.

a) Raíz entera = 8

Resto = 12

a) 2 ? 32 + 52 - 6

e) 23 + 22 ? (5 - 2)

b) Raíz entera = 17

Resto = 5

b) 42 - (23 + 1)

f ) 10 + 4 ? (32 - 5)

c) Raíz entera = 11

Resto = 15

c) (19 - 22) : 5

g) 52 ? (42 - 32) - 22

d) Raíz entera = 21

Resto = 6

2

d) 3 + 5 ? (8 - 6)

h) 5 ? (1 + 32) - 4 ? (23 - 6)

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1

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

a) 2 ? 32 + 52 - 6 = 37

124

b) 42 - (23 + 1) = 7

a) 24 - 23 + 22 - 2

2

c) (19 - 2 ) : 5 = 3

b) 100 : 5 + 33 : 3

d) 32 + 5 ? (8 - 6) = 19

c) 7 ? (5 + 3) - 52 ?

e) 23 + 22 ? (5 - 2) = 20

e) 72 : _ 36 + 1i - 22

g) 52 ? (42 - 32) - 22 = 171

f ) _32 - 25 i : (42 - 12)

h) 5 ? (1 + 32) - 4 ? (23 - 6) = 42

g) 25 : 6_ 81 - 32i + 42@

Encuentra los errores, corrígelos y resuelve.

h) 5 ? 43 - (102 : 52) + 100

a) (7 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 = 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 74 2

b) (7 ? 7) + 7 = 7 ? (7 + 7) = 7 + 7

2

a) 16 - 8 + 4 - 2 = 10

c) (7 + 7 ? 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 + 7 ? 7 = 3 ? 72

b) 10 : 5 + 27 : 3 = 2 + 9 = 11

d) (7 + 72 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 72 + 7 ? 7 = 72 + 7 3 ? 72

c) 7 ? 8 - 25 ? 2 = 56 - 50 = 6

e) 7 ? (7 + 72 + 73) = 7 ? 76 = 77

d) 12 - 9 + 4 ? 11 = 3 + 44 = 47

f ) 72 ? (7 + 72 ) = 72 ? 7 + 72 ? 7 = 7 3 + 7 3 = 76

e) 49 : (6 + 1) - 4 = 49 : 7 - 4 = 7 - 4 = 3

a) (7 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 ! 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 7 4 7 ? 7 + 7 ? 7 = 2 ? (7 ? 7) = 2 ? 7 2 = 98 b) (7 ? 7) + 7 ! 7 ? (7 + 7) = 7 2 + 7 2 (7 ? 7) + 7 = 49 + 7 = 56 c) (7 + 7 ? 7) ? 7 ! 7 ? 7 + 7 ? 7 + 7 ? 7 = 3 ? 7 2 (7 + 7 ? 7) ? 7 = 7 2 + 7 3 = 7 2 (1 + 7) = 49 ? 8 = 392

f ) (9 - 5) : (16 - 12) = 4 : 4 = 1 g) 32 : (0 + 16) = 2 h) 5 ? 64 - 4 + 10 = 326 125

d) (7 + 7 2 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 2 + 7 ? 7 ! 7 2 + 7 3 ? 7 2 7 2 + 7 3 + 7 2 = 2 ? 7 2 + 7 3 = 441 e) 7 ? (7 + 7 2 + 7 3) ! 7 ? 76 = 7 7 7 ? (7 + 7 2 + 7 3) = 7 2 ? (1 + 7 + 7 2) = 7 2 ? 57 = 2 793

Un edificio tiene planta baja y cuatro pisos. La planta baja tiene 5 m de altura y cada uno de los pisos 3 m. ¿Cuál es la altura del edificio? La planta baja mide 5 m. Hay 4 plantas que miden cada una 3 m de altura: 4 ? 3

f ) 7 ? (7 + 7 ) ! 7 ? 7 + 7 ? 7 = 7 + 7 = 7 7 2 ? (7 + 7 2) = 7 2 ? 7 + 7 2 ? 7 2 = 7 3 + 7 4 = 2744

La altura del edificio será la suma de todas las alturas:

Calcula el resultado de las operaciones. a) 2 3 ? _ 25 - 2 - 1i c) 64 + 4 ? (11 - 5)

El edificio mide 17 m de altura.

2

122

4

d) 12 - 18 : 2 + 4 ? 121

f ) 10 + 4 ? (32 - 5) = 26

121

Efectúa estas operaciones.

2

2

2

3

3

6

b) _ 81 + 3 ? 2i : 5 + 7 0 d) 9 - 9 ? 2 - 16 : 4 a) 2 3 ? ( 25 - 2 - 1) = 8 ? (5 - 2 - 1) = 8 ? 2 = 16 b) ( 81 + 3 ? 2) : 5 + 7 0 = (9 + 6) : 5 + 1 = 15 : 5 + 1 = = 3+1 = 4 c)

1 ? 5 + 4 ? 3 = 5 + 12 = 17

126

Un barco llevaba 502 pasajeros y ha hecho paradas en tres puertos. En el primero bajan 256 pasajeros, en el segundo suben 162 pasajeros y en el tercero bajan 84 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros quedan a bordo del barco tras las tres paradas?

64 + 4 ? (11 - 5) = 8 + 4 ? 6 = 8 + 24 = 32

d) 9 - 9 ? 2 - 16 : 4 = 9 - 3 ? 2 - 4 : 4 = 9 - 6 -1= 2 123

Calcula. a) 3 3 ?

9 - 32 - 33

b) _12 + 3 ? 25 i : 32 + 49 c) 72 + 64 - 5 3 : 5 d) 81 : e) 180 :

9 - _ 16 - 4 i

4 - 34 + 4 ? 121

a) 3 3 ? 9 - 3 2 - 3 3 = 27 ? 3 - 9 - 27 = 81 - 36 = 45

b) _12 + 3 ? 25 i : 3 2 + 49 = (12 + 15) : 9 + 7 = = 27 : 9 + 7 = 3 + 7 = 10 c) 7 2 + 64 - 5 3 : 5 = 49 + 8 - 125 : 5 = 57 - 25 = 32

d) 81 : 9 - _ 16 - 4 i = 9 : 3 - (4 - 2) = 3 - 2 = 1

e) 180 : 4 - 3 4 + 4 ? 121 = 180 : 2 - 81 + 4 ? 11= = 90 - 81+ 44 = 9 + 44 = 53

Vamos calculando cuántos pasajeros quedan tras cada parada: El barco va con 502 pasajeros. En la primera parada bajan 256 " Quedan entonces 502 - 256 = 246 pasajeros. En la segunda parada suben 162 " Hay en el barco 246 + 162 = 408 pasajeros. En la tercera bajan 84 " Quedan al final a bordo 408 - 84 = 324 pasajeros.

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101

1 127

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Para hacer una tarta grande de manzana se necesitan 3 manzanas y para hacer una pequeña se necesitan 2 manzanas. ¿Cuántas manzanas son necesarias para hacer cuatro tartas grandes y seis pequeñas? Cuatro tartas de tres manzanas. Seis tartas de dos manzanas.

  SABER HACER Resolver problemas en que los datos están relacionados 133

En una tienda de regalos hay tres cuadros. El primero vale 38 €, el segundo cuesta 17 € más que el primero y el último vale 19 € menos que el segundo.



Si se venden los tres cuadros, ¿cuánto dinero se recaudará?

Por tanto: 4 ? 3 + 6 ? 2 = 12 + 12 = 24 Se necesitan en total 24 manzanas. 128

En una hucha hay 246 €, y en otra, 114 €. a) Si todo el dinero está en monedas de 2 €, ¿cuántas monedas hay entre las dos huchas?

primero.

b) ¿Y si estuviera en billetes de 5 €? a) 246 : 2 + 114 : 2 = (246 + 114) : 2 = 360 : 2 = 180 Entre las dos huchas hay 180 monedas de 2 €. b) 246 : 5 + 114 : 5 = (246 + 114) : 5 = 360 : 5 = 72 Entre las dos huchas habría 72 billetes de 5 €. 129

En una sala de cine hay 36 filas con 15 butacas en cada fila. Si hay 146 personas sentadas en la sala, ¿cuántas butacas hay vacías? Número de butacas en total 36 ? 15 = 540 butacas. Como hay 146 personas en la sala, en total habrá 540 - 146 = 394 butacas libres.

130

En el garaje se van a cambiar las ruedas a cuatro motos, cinco camiones de 6 ruedas y seis coches. ¿Cuántas ruedas se cambiarán en total?

segundo.

Se calculan los demás datos a partir del dato conocido. «El segundo, 17 € más que el primero» 38 + 17 = 55 € «El tercero, 19 € menos que el segundo» 55 - 19 = 36 €

tercero.

134

Cinco camiones con seis ruedas. Seis coches con cuatro ruedas.

África: 350 + 157 = 507 Europa: 350 - 98 = 252

4 ? 2 + 5 ? 6 + 6 ? 4 = 8 + 30 + 24 = 62

En total, son 350 + 507 + 252 = 1 109 músicos

¿Cuánto dinero hay en una cartera que contiene 2 billetes de 20 €, 3 de 10 €, 6 de 5 € y 4 monedas de 2 €?

135

2 ? 20 + 3 ? 10 + 6 ? 5 + 4 ? 2 = = 40 + 30 + 30 + 8 = 108

Seis personas tienen 1 000 € para gastos de un viaje. Deben viajar en tren y en avión. El billete de tren cuesta 38 € y el de avión 125 €. ¿Tienen suficiente dinero para realizar el viaje? Cada persona gasta para los dos billetes: 125 + 38 = 163 €, por lo que en total las seis personas gastarán 163 ? 6 = 978 €. Como 1 000 € es más dinero que 978 €, tendrán suficiente.

En la restauración de un edificio trabajan 45 hombres y 37 mujeres. A su lado se restaura otro edificio en el que trabajan 17 hombres menos y 24 mujeres más que en el anterior. ¿En qué edificio trabajan más personas? Los hombres del segundo edificio son 45 - 17 = 28, y las mujeres, 37 + 24 = 61; en total, 28 + 61 = 89. Trabajan más personas en el segundo edificio.

Hay en total en la cartera 108 €.

102

En un festival de música étnica hay músicos de tres continentes. De Asia han llegado 350 músicos, de África 157 músicos más que de Asia y de Europa 98 músicos menos que de Asia. Halla el número total de músicos que hay.

Por tanto: En total se cambiarán 62 ruedas.

132

Se resuelve el problema. 38 + 55 + 36 = 129 €

Se recaudarán 129 €.

Cuatro motos con dos ruedas.

131

Se toma el dato conocido. «El primer cuadro vale 38 €»

136

Para prevenir intoxicaciones alimentarias se han organizado una serie de conferencias en un instituto. A la primera charla han asistido 125 alumnos de 1.º ESO, 100 alumnos de 2.º ESO, 97 de 3.º ESO y el resto de 4.º ESO, hasta un total de 406 alumnos. ¿Cuántos alumnos de 4.º ESO han asistido a la conferencia? Los alumnos de 4.º ESO son el total menos la suma de los otros cursos: 405 - (125 + 100 + 97) = = 405 - 322 = 83 alumnos

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1 137

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO a) Hay 5 ? 24 = 120 lápices.

Luis tiene 6 años, su hermana Ángela tiene 3 años más, y su hermano Enrique tiene el doble de la edad de Luis. Cuando su madre tuvo a Enrique tenía el triple de la edad actual de Ángela. ¿Qué edad tiene ahora mismo la madre? Luis tiene 6 años. Su hermana Ángela 6 + 3 = 9 años, y Enrique 2 ? 6 = 12.

b) Como en total hay 8 colores distintos, y 24 lápices por caja, entonces hay en cada paquete 24 : 8 = 3 lápices de cada color en cada uno de los paquetes. 143

a) ¿Cuántos ramos puedo hacer con 90 €?

La madre tuvo a Ángela con 3 ? 9 = 27, y como ahora Enrique tiene 12 años, entonces la madre tiene 27 + 12 = 39 años. 138

139

Un conductor de autobús ha estado conduciendo desde las 6 de la mañana hasta las 4 de la tarde, descansando 2 horas para comer. Si ha llevado una velocidad de 64 km/h, ¿cuántos kilómetros ha recorrido? Las 4 de la tarde son las 16 horas. De modo que en total ha conducido 16 - 6 - 2 = 8 horas. Y si en cada hora ha recorrido 64 km, en 8 habrá recorrido 8 ? 64 = 512 km.

141

a) En un ramo se pueden separar las 12 flores en 6 parejas de flores, ya que 12 : 2 = 6, y como cada pareja vale 3 €, un ramo entero vale 3 ? 6 = 18 €. Sabiendo esto, si se tienen 90 €, y cada ramo vale 18, para ver cuántos puedo hacer tengo que dividir 90 : 18 = 5. Por lo tanto, puedo hacer 5 ramos. b) Nos hemos gastado 90 €, y queremos ganar 40, así que tenemos que vender 5 ramos a 90 + 40 = 130 €, o lo que es lo mismo, a 130 : 5 = 26 € cada ramo. 144

Doña Raquel tenía 12 €, se gastó la mitad en una entrada de cine y con la otra mitad se compró una participación de lotería que resultó premiada con 15 € por cada euro jugado. ¿Cuánto dinero ganó? Tenía 12 € y se gastó 6 en una entrada de cine, por lo que le quedaron 12 - 6 = 6 €. Con ese dinero se compró una participación de lotería que por cada euro ganaba 15, así que como gastó 6 ganó 6 ? 15 = 90 €.

140

b) Si se quieren ganar 40 €, ¿por cuánto se debe vender cada ramo?

Un naranjo ha producido este año 40 kg de naranjas y el año anterior 27 kg. Si el kilo de naranjas el año pasado estaba a 3 € y este año está a 2 €, ¿han aumentado o disminuido las ganancias respecto del año pasado? El año pasado se ganó 27 ? 3 = 81 € por las naranjas del árbol, y este año 40 ? 2 = 80 €, por lo tanto han disminuido las ganancias en 1 € respecto del año pasado.

Dos flores cuestan 3 € y un ramo tiene 12 flores.

Se han invertido 12 375 € para plantar árboles. Si en cada parcela se han plantado 25 árboles y cada árbol ha costado 3 €, ¿cuántas parcelas se han plantado? En total se han plantado 12 375 : 3 = 4 125 árboles con ese dinero. Teniendo en cuenta que en cada parcela se plantan 25 árboles, en total se habrán plantado 4 125 : 25 = = 165 parcelas.

145

Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas llenas de vasos que debe colocar. La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar? Tiene que colocar 43 = 64 vasos

146

Se tiene un jardín cuadrado de 36 m2 y se quiere ampliar añadiendo un metro más a cada lado. ¿Qué superficie añadiremos al jardín?

Una caja vacía pesa 2 kg y llena pesa 7 kg. ¿Cuánto pesa el contenido de 26 cajas? El contenido de una caja pesa 7 - 2 = 5 kg, por lo que el contenido de 26 cajas será de 26 ? 5 = 130 kg.

142

En una papelería tienen 5 paquetes de 24 lápices de colores. a) ¿Cuántos lápices de colores hay? b) Si en cada paquete hay el mismo número de lápices de cada color y se sabe que hay 8 colores diferentes, ¿cuántos lápices de cada color hay en los 5 paquetes?

Si el jardín es cuadrado de área 36 m2, eso quiere decir que cada lado mide 36 = 6 m, por lo tanto si queremos añadir 1 m más por lado, el área será de 49 m2, con lo que estaremos añadiendo 49 - 36 = = 13 m2.

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103

1 147

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

Un cuadrado tiene una superficie de 100 m2. ¿Cuánto mide el lado de otro cuadrado que tiene la cuarta parte de la superficie que el anterior?

148 Tengo

100 monedas y quiero formar cuadros con el mismo número de filas y de columnas. Explica de cuántas formas distintas es posible formarlos.

Si el otro cuadrado tiene una superficie de la cuarta parte, será de 100 : 4 = 25 m2, por lo que el lado de ese cuadrado será 25 = 5 m.

El mayor cuadrado tendrá 100 = 10 monedas de lado. Así que podré hacer cuadros de 1 ◊ 1, de 2 ◊ 2 hasta de 10 ◊ 10, lo que me indica que tengo 10 maneras distintas.

DEBES SABER HACER Sistemas de numeración 1

Potencias y raíces

Escribe un número que tenga 6 decenas de millar, la tercera parte son unidades de millar, 3 centenas y el triple de unidades que de centenas.

4

a) 47 = 4 : 57 b) (44) 3 = 212 35 = 97 :4 c) a) d = 207 b) d = 39 c) dd = 24

62 309 2

Escribe en el sistema de numeración decimal estos números romanos.

5

462 . 21 y resto 21

a) XXIV = 24 

Operaciones combinadas

b) CDXIV = 414 

6

c) MCMI = 1 901

Calcula el resultado de las operaciones: a) 6 + 2 ? _ 49 + 5 ?

Operaciones con números naturales

1i

b) 4 2 - 16 + 9 : (4 + 5 0)

¿Cuántas unidades hay que añadir al dividendo de la división 186 : 24 para que el resto sea 0? 186 = 24 ? 7 + 18 Para que el resto sea 0, veamos cuánto valdría el dividendo con el siguiente divisor: 24 ? 8 - 186 = 192 - 186 = 6 Hay que añadir 6 unidades para que el resto sea 0.

104

Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de 462. 462 = 212 + 21

a) XXIV    b)  CDXIV    c)  MCMI

3

Completa en tu cuaderno.

c) (5 3 - 6 2 - 3 2) : 16 + (2 3 ) 2 a) 6 + 2 ? _ 49 + 5 ? = 6 + 24 = 30

1 i = 6 + 2 ? (12) =

b) 4 2 - 16 + 9 : (4 + 5 0) = 16 - 5 : 5 = = 16 - 1 = 15 c) (5 3 - 6 2 - 3 2) : 16 + (2 3 ) 2 = 80 : 4 + 64 = = 20 + 64 = 84

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1

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

En la vida cotidiana 149

En España los números de teléfono tienen nueve dígitos, excepto los números especiales como el 112, número único para emergencias; el 091, teléfono de la policía... Aunque hay diferencias entre las numeraciones de los teléfonos fijos y los móviles: •  Los números de la red fija empiezan por 9, excepto dos operadoras que también ofrecen el 8. •  Y los números de telefonía móvil comienzan por 6 o 7.

édico

M Centro 9585

0

43  

do Asocia Centro   7 06 9543 ero Carpint 400  

6573

En cierta ocasión, la madre de Marta tuvo un accidente doméstico: se le derramó el café sobre la agenda y se le borraron algunas cifras de sus números de teléfono. •  Hoy necesita llamar al Centro Médico. ¿Cuáles son los posibles números del Centro Médico? •  Si el número del Centro Asociado tenía todas las cifras distintas, ¿cuáles son los posibles números? •  El número del carpintero era un móvil que terminaba en 0 o en 1. ¿Cuáles son los posibles números del carpintero?

En total tengo 6 opciones, porque puedo elegir entre tres parejas (1, 2), (1, 8) y (2, 8) con sus permutaciones (2, 1), (8, 1) y (8, 2) ya que generan números distintos.

a) Hay 100 números distintos posibles para el Centro Médico, van desde 958 543 000 hasta 958 543 990. b) El número del Centro Asociado es de la forma 954 37_ 06_, y los únicos números que no aparecen en el número son 1, 2 y 8.

c) En total hay 20 números posibles, que van desde 657 340 000, y 657 340 001 al 657 340 090 y 657 340 091.

Formas de pensar. Razonamiento matemático 150

Completa en tu cuaderno las cifras que faltan para que las siguientes igualdades se cumplan. a) 5439 + 74 = 5 517 b) 3472 - 424 = 2 947 c) 6 453 - 748 = 5465 d) 987 ? 46 = 25 662 e) 244 ? 23 = 5 635 a) 5 439 + 78 = 5 517 b) 3 372 - 425 = 2 947 c) 6 453 - 788 = 5 665

151

Razona si las siguientes igualdades son ciertas o no. a) 32 + 42 = 3 + 4 d) 24 ? 54 = 22 ? 32 b) ` 92 j = 92 e) 16 = 2 2

c) (5 + 1) 2 = 5 + 1 a) Falso, porque

f )

9 - 3 + 1 = 9 - (3 + 1)

32 + 42 =

25 = 5 ! 7.

b) Verdadero, porque el cuadrado anula la raíz. c) Verdadero, porque el cuadrado anula la raíz. d) Verdadero, porque 24 ? 54 = 362.

d) 987 ? 26 = 25 662

e) Verdadero, porque

e) 245 ? 23 = 5 635

f ) Falso, porque

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16 =

4 = 2.

9 - 3 +1= 9 - 4 = 3 - 2 =1 105

1 152

SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Pon los 20 primeros números como suma de, a lo más, cuatro números al cuadrado. Por ejemplo:  1 = 1

2 ? 24 + 1 = 49

13 = 32 + 22



14 = 32 + 22 + 12



 5 = 22 + 12 2

2

16 = 42

2

 7= 2 + 1 + 1 + 1  8 = 22 + 22



18 = 42 + 12 + 12

Respuesta abierta. Por ejemplo: 840

19 = 42 + 12 + 12 + 12

840 + 1 = 841 = 292

20 = 42 + 22

2 ? 840 + 1 = 1 681 = 412

Cubos 154

Dados

En este dibujo puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) a la (f  ). Hay una regla que cumplen todos los dados:

155 Ahora

se han colocado los dados como en la imagen; los tres dados se han colocado uno encima del otro. Como puedes observar, el dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba.

(c) (b) (a)

La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.

(f ) (e) (d)

Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el número que tiene la cara inferior del dado correspondiente en el dibujo. (Prueba PISA 2003)

106

2 ? 1 599 + 1 = 3 199 562 = 3 136 < 3 199 < 3 249 = 572 El número 3 199 no es un cuadrado perfecto; por tanto, 1 599 no cumple la propiedad que estamos buscando.

17 = 42 + 12





10 = 32 + 12

Ensaya con los números anteriores a los cuadrados perfectos. Por ejemplo, 402 = 1 600; el número anterior a este cuadrado perfecto es 1 599:

15 = 32 + 22 + 12 + 12



 6 = 22 + 12+ 12

 9 = 32

2

12 = 32 + 12 + 12 + 12



 3 = 12 + 12 + 12

2

2

11 = 3 + 1 +1

 2 = 12 + 12  4 = 22

•  Su doble más 1 es otro cuadrado perfecto:

2



Utiliza la calculadora para encontrar un número que tenga las mismas propiedades que el número 24. •  Ser anterior a un cuadrado perfecto (25).

7 = 22 + 12 + 12 + 12 2

153

(a)

(b)

(c)

1

5

4

2

6

5

(d)

(e)

(f )

Dado 1

Dado 2

Dado 3

Recuerda la regla del ejercicio anterior: La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.

¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de abajo de los dados 2 y 3)? (Prueba PISA 2003) La cara horizontal del dado que no se ve es 3, y como las dos caras opuestas de un dado suman siempre 7, eso implica que las que no se ven del dado 2 y del dado 3 suman 7, así que en total, en las 5 caras que no se ven hay 7 + 7 + 3 = 17.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

NOTAS

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