113115632-Contrastes-ortogonales

Contrastes ortogonales: Un contraste en estadística es una combinación lineal de las medias de los tratamientos definida por la suma de productos de las medias de tratamiento por un coeficiente. Estos coeficientes deben cumplir con la característica de que su suma es igual a cero, de tal manera que para algunas medias sus coeficientes asociados son positivos positivos y para otras son negativos. Las reglas de asignación de los coeficientes va a depender de la tendencia que se desee encontrar o de la comparación comparación de medias que se desee hacer. Cada contraste tendr asociado un grado de libertad, debido a que la comparación que se lleva a cabo es entre dos grupos de tratamientos, lo que llevan el signo positivo contra los que llevan el signo negativo. !e esta manera el numero de posibles contrastes ortogonales en un con"unto de datos corresponde e#actamente a los grados de libertad para los tratamientos. !os !os cont contra rast stes es ser sern n orto ortogo gona nale less si la suma suma de los los prod produc ucto toss de sus sus correspondientes coeficientes es igual a cero. Esto implica que la covarian$a entre los dos contrastes es igual a cero, y por lo tanto los contrastes van a ser  independientes. En este sentido la ortogonalidad implica independencia. %i todos los contrastes formulados son ortogonales entre si, entonces esto llevara a que la suma de cuadrados acumulada en todos los contrastes ortogonales corresp corresponda onda e#actam e#actament ente e a la suma de cuadrados cuadrados de los tratami tratamient entos. os. La suma de cuadrados asociada a un contraste se calcula por el cuadrado de la combinación lineal de las medias multiplicada por el numero de repeticiones y dividida por la suma de los cuadrados de los coeficientes de la combinación lineal. Esta suma de cuadraos siempre lleva asociada un solo grado de libertad. %i se aplican aplican contrastes contrastes no ortogonales, ortogonales, entonces entonces e#istir e#istir covarian$a covarian$a entre ellos y esto implica que la información contenida en ellos esta relacionada en un cierto grado, con lo cual se considera que la información contenida en los datos esta siendo sobreutili$ada. Esto se va a refle"ar en el hecho de que el acumulado de la suma de cuadrados de los contrastes no ortogonales no cerrara a la suma de cuadrados de los tratamientos.

Contrastes ortogonales para el calculo de tendencias: Los contrastes ortogonales pueden ser usados para estimar las sumas de cuadrados asociadas a los diferentes componentes de un modelo polinomial, siempre y cuando los datos e#perimentales tengan las siguientes dos características: & E#perimento balanceado, lo que es un requisito general para aplicar  contrastes. ' Los niveles del factor deben estar igualmente espaciados %i alguna de estas características no se da en el con"unto de datos, se recomienda aplicar la t(cnica de la regresión para llevar a cabo la separación de la suma de cuadrados de tratamientos en las diferentes tendencias. La siguiente tabla muestra los coeficientes de las combinaciones lineales para cada una de las diferentes tendencias que se pueden a"ustar a un con"unto de datos de acuerdo al n)mero de niveles del factor. Los coeficientes estn en orden creciente del factor. *umero +rats ' /   1     2      

+endencia Lineal Lineal Cuadrtica Lineal Cuadrtica C)bica Lineal Cuadrtica C)bica Cuarto

rimer *ivel

%egndo *ivel & & & / & & ' ' & &

Cuarto +ercer *ivel *ivel & 0 ' & & / & & ' 1

& & & & / 0 ' 0 3

-uinto *ivel

/ & & & & ' 1

' ' & &

E"emplo num(rico 2. 4plicar contrastes ortogonales al e"emplo num(rico &. 5amos a llevar a cabo los clculos en E#cel y mostrarlos en la siguiente tabla. Como puede ser observado los niveles se acomodan en orden creciente y así tambi(n las medias por nivel. !e la tabla de coeficientes se seleccionan los correspondientes a 1 tratamientos. *ivel medias Lineal

&20 66.1////// /

'00 '20 /00 71.& 78.'333336 82.&////// & & /

Cuadrtica C)bica Contr Lin Contr Cuadr Contr Cubico

& & '/'./ 66.1//////  66.1//////

& & & / / & 71.& 78.'333336 '72.1 27.'333336  71.& 78.'333336 82.&////// 0.7 '2'./

'36.7 82.&//////

'.'

En la tabla estn contenidos los clculos del coeficiente por la media y en la ultima columna su correspondiente suma. 4 partir de estos clculos podemos determinar  la suma de cuadrados correspondientes a cada uno de los contrastes: ara la tendencia lineal: %.C.+end. Lineal 9 /;27.'333336< '='0 9 208.'20336 ara la tendencia cuadrtica: %.C.+end Cuadr 9 /;0.7ediante la t(cnica de contrastes ortogonales van a poder ser separadas las sumas de cuadrados en componentes con un solo grado de libertad, sin importar la naturale$a de los factores que se estn investigando. Contrastes ortogonales para comparación de medias: ara factores cualitativos, la aplicación de los contrastes ortogonales es mas especifica para cada problema. %e requiere de un conocimiento mas o menos profundo de lo que son los tratamientos para poderlos agrupar. La idea de los contrastes para factores cualitativos es ir formando dos grupos de comparación, cada uno de los cuales va estar formado por uno o ms tratamientos con alguna característica com)n. Cada uno de los grupos se irn separando en otros dos grupos de comparación, en

base a otra característica de los tratamientos, y este proceso continuara hasta que al final los contrastes comparen un tratamiento contra otro. E"emplo de aplicación conceptual &: %uponga que se esta llevando a cabo una investigación para seleccionar un ingrediente proteico en la elaboración de un alimento para mascotas. %e prueban tres fuentes de proteína: Carne de res, carne de cerdo y soya. Lleve a cabo la comparación de los tratamientos por contrastes ortogonales: Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estas tres fuentes son: &

roteína de origen animal ;cerdo y res< contra proteína de origen vegetal ;soyaedia C vs ;4 @<  4 vs. @

4

C vs ;4 @<  4 vs. @

@

C

8./2 & &

&&.1'2 & &

8./2 8./2

&&.1'2 &&.1'2

&3.6&'2 %uma ' &'.32 0 '.062 //.1'2 0

 4 partir de las cantidades en la tabla podemos calcular las sumas de cuadrados correspondientes a cada contraste: Contraste convencional vs. *uevas alternativas: %.C. 9 7;&'.32