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Fonctions monotones sur

et homographies d'après Karl Löwner

Richard Antetomaso1

Notes ... Antetomaso1 Agrégé de mathématiques, professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Fénelon, Paris.

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Partie I INTRODUCTION Partie II QUELQUES EXEMPLES SIMPLES Partie III UTILISATION DE REPRÉSENTATIONS INTÉGRALES Partie IV UNE CARACTÉRISATION DES HOMOGRAPHIES Bibliographie

Partie I INTRODUCTION 1 - Le problème Notons

l'espace des matrices symétriques réelles,

symétriques positives et

le sous-ensemble des matrices

celui des matrices symétriques définies positives.

est naturellement muni d'une structure d'ordre partiel

définie par :

Il est intéressant d'étudier la monotonie de certaines applications pour cet ordre. Par exemple l'exercice suivant est un classique des concours : L'application l'ordre ci-dessus et

est croissante sur l'espace

lorsque

est muni de

de l'ordre usuel.

2 - Le travail de Karl Löwner

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Un autre exemple abondamment étudié est celui de la fonction racine carrée définie sur Plus généralement, pour toute fonction réelle de variable réelle tout matrice

dont le spectre est inclus dans

où

est la décomposition de

demander si

.

, où

et pour

on peut définir

sur ses projecteurs spectraux, et on peut se

est croissante pour l'ordre de

.

Ce problème a été en grande partie résolu par Karl Löwner en 1934 dans son article [1] où il prouve, en particulier, que : si

,

est croissante sur

prolongement analytique sur

pour tout

si, et seulement si,

qui envoie le demi-plan

a un

sur lui-

même. Karl Löwner obtient le résultat énoncé ci-dessus en donnant pour tout nécessaires et suffisantes pour que soit croissante sur . On peut aussi prouver que

est croissante sur

une représentation intégrale de

où

,

pour tout

des conditions

si, et seulement si, il existe

sous la forme

est positive, mesurable et telle que

est intégrable sur

.

3 - Le but de cette note Mon propos n'est pas de prouver ces difficiles théorèmes mais, plus modestement, d'établir quelques résultats en utilisant des idées développées par Löwner et des rudiments d'analyse fonctionnelle. On verra, en particulier, une preuve très courte de la monotonie de

et le rôle

central joué par les homographies.

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On verra aussi que

est croissante sur

seulement si,

pour une valeur de

si, et

.

Partie II QUELQUES EXEMPLES SIMPLES 1 - Définitions Pour tout

, on munit

de l'ordre partiel défini au I. On note

matrices positives de

(i.e. à valeurs propres positives) et

l'ensemble des celui des matrices

définies positives (i.e. à valeurs propres strictement positives). Soit

un intervalle de

et

.À

dont les valeurs propres sont dans

on

associe

où

est la décomposition de

croissante si

sur ses projecteurs spectraux.

est croissante pour l'ordre de

et

. On définit de manière analogue les fonctions

Propriété 1 1) Si

est

-

-décroissantes.

-croissante, elle est -croissante pour tout

-croissante pour

-

-croissante si elle est

croissante pour tout

toute fonction

sera dite

. En particulier,

est croissante comme fonction d'une variable réelle.

2) Sur un intervalle convenanble : un composé et une somme de deux fonctions -croissantes sont -croissantes, un composé d'une -croissante et d'une -décroissante est -décroissante. Pour 1) considérer des matrices diagonales par blocs. 2) est immédiat.

2 - Monotonie des homographies Théorème 1 L'application Plus généralement, l'homographie

est

-décroissante sur

.

est :

*

-croissante sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition si

*

-décroissante sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition si

, .

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Preuves Soient

,

symétriques définies positives telles que

quadratiques

et

réduction simultanée de . Il existe donc

et

. Considérons les formes

. Comme

est définie positive, par

, il existe une base orthonormale pour

inversible telle que

et

et orthogonale pour

avec

diagonale. Le caractère défini positif de

et la relation

se traduisent par

ou par

i.e. par

.

Ainsi pour tout tout

ce qui montre que Pour

: si

de coefficients

et

on a :

sont définies positives et l'inégalité

le résultat est évident. Si

est composé de fonctions

, on a

-croissantes ou

. ce qui montre que

-décroissantes selon le signe de

.

3 - Les puissances Proposition 1 Si croissante pour

, sur

est croissante (i.e. -croissante ) mais pas

-

.

Preuve

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Considérons pour

les matrices

est symétrique définie positive de valeurs propres l'on a

et

; on trouve facilement que

. est symétrique positive de valeurs propres

De plus on a

car

sa trace positive) et

donc, pour

voisin de ,

et

; on a

est symétrique positive (son déterminant est nul et a pour déterminant

n'est pas positive. Ainsi

n'est pas -croissante sur

. Remarque Par un argument de continuité, on peut en déduire que

n'est pas -croissante sur

.

Partie III UTILISATION DE REPRÉSENTATIONS INTÉGRALES 1 - Un résultat général Théorème 2 Soit intégrable sur et

continue par morceaux positive et telle que . La fonction

est

est définie sur

-croissante.

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Preuve Soit

de décompostion spectrale

. On a alors pour tout

,

ce qui donne

Si, de plus,

est telle que

d'où, en multipliant par

, on a d'après le théorème 2,

et en intégrant l'inégalité,

.

2 - Le logarithme et les puissances a) Logarithme En prenant

dans l'énoncé précédent et en utilisant la formule intégrale évidente :

on a :

Théorème 3 La fonction

est

-croissante sur

.

b) Puissances

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Théorème 4 Pour

,

est

-croissante sur

.

Preuve Commençons par le :

Lemme 1 Soit

. Il existe

et

tels que

Preuve du lemme Posons

.

est

sur

comme

pour tout

, on a

est continue et intégrable sur

donc sur

est définie et continue sur tout segment

,

est

.

En outre, pour tout

comme

,

, on a

est continue et intégrable sur et on a, en posant

sur tout segment

donc sur

,

ce qui en intégrant, et compte tenu de la continuité en , donne

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Pour en déduire le théorème, il suffit maintenant de procéder comme pour le théorème 2.

3 - Les puissances : une preuve très courte Théorème 4 bis Pour est

est

-croissante sur

-décroissante sur

et

.

Remarque Pour avoir le caractère

-croissante de

sur

, il faudrait ajouter un

argument de continuité.

Preuve Ici le résultat immédiat suivant suffit :

Lemme 2 Soit

. Pour tout

, l'intégrale suivante existe et on a

tel que

Preuve du lemme Poser

.

On obtient le théorème par des arguments analogues aux précédents.

Partie IV UNE CARACTÉRISATION DES HOMOGRAPHIES Pour présenter la méthode de Karl Löwner, nous allons en détailler le cas le plus simple où et en déduire le :

Théorème 5 Soit

un intervalle de

et

.

est telle que

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alors

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est une homographie croissante sur .

Remarque On peut ainsi montrer, sans calcul supplémentaire, que

n'est pas -croissante si

.

Preuve du théorème On suppose que

a une infinité d'éléments. Considérons d'abord

-croissante. * Soient

tels que

. Il existe

de

soient

En effet, il s'agit de résoudre en

tel que les valeurs propres et

.

le système

dont on voit qu'il équivaut à

* Soit

telle que

. Comme

est de rang , on a (avec un peu de calcul)

d'où

Or, puisque

.

est -croissante,

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est positive donc son déterminant est positif. Le même calcul que ci-dessus donne

ce qui, grâce à la valeur de

trouvée plus haut, devient :

* Supposons maintenant que

de valeurs propres dans ,

Tout d'abord, cette propriété est vraie en dimension l'étude ci-dessus, appliquée à

En fixant trois de quatre points

et

donc

est strictement croissante. En suite

, montre que l'on a :

on voit, qu'au voisinage de chaque point,

homographie. Comme deux homographies égales sur un ensemble infini sont égales,

est une est une

homographie sur .

Bibliographie 1

Karl Löwner, Über monotone Matrix Funktionen, Mathematische Zeitschrift 38 (1934) pp. 177-216.

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