11 - Torri Di Raffreddamento (Scambio Termico 3)

Torri di raffreddamento Lo scambio termico realizzato per contatto diretto fra due fluidi è certamente il metodo più efficace per trasferire energia ma, poiché comporta un intimo contatto con possibilità di mescolamento, non è sempre utilizzabile. Uno degli esempi più tipici, è quello che si realizza nelle torri di raffreddamento, in cui avviene il trattamento di una corrente d'acqua calda (in quanto a sua volta utilizzata come fluido refrigerante in un impianto) mediante diretto contatto con una corrente d'aria. Questa situazione, del resto, è estremamente comune in quanto i fluidi in assoluto più utilizzati nei processi industriali di raffreddamento sono proprio l'aria e l'acqua; in particolare, l'acqua utilizzata per raffreddamento viene prelevata da falde, da fiumi oppure da acquedotto: poiché le portate impiegate sono, generalmente, di un certo rilievo, sorge l'esigenza di riutilizzare tale acqua. E' necessario sottolineare che il riciclaggio dell'acqua di raffreddamento comporta:  Un risparmio (sia in termini economici che in termini di risorse ambientali) in quanto il fabbisogno d'acqua viene ridotto di almeno un ordine di grandezza [il rapido sviluppo industriale degli ultimi decenni ha determinato una situazione critica: le falde acquifere e i corsi d'acqua superficiali non sono più in grado di soddisfare del tutto le ingenti richieste di acqua per uso industriale, per cui si è posta l'esigenza di riqualificare l'acqua già utilizzata con funzioni di raffreddamento (ciò significa riportarla alle condizioni di temperatura alla quale aveva iniziato il processo di servizio)]  Un trattamento di refrigerazione con aria in modo tale da renderla di nuovo disponibile per il ciclo di raffreddamento [si noti, del resto, che tale trattamento andrebbe eseguito comunque per evitare l'inquinamento termico dell'ambiente da parte dell'acqua calda di scarico: per l'aria calda non ci sono problemi. Recentemente, infatti, è entrata in vigore una nuova legislazione che ha imposto che l'acqua prelevata da un corso superficiale alla temperatura T*, dopo essere stata utilizzata come fluido di servizio, può essere scaricata nello stesso corso d'acqua ad una temperatura al più pari a T*+2÷5°C in modo da non alterare i cicli biologici presenti: ciò ha reso di fatto obbligatoria la riqualificazione dell'acqua utilizzata] Per realizzare la riqualificazione dell'acqua di servizio vengono utilizzate le cosiddette Torri di raffreddamento (impiegate, in particolare, se si richiedono grandi capacità di raffreddamento); tali apparecchiature vengono generalmente realizzate in acciaio e non sono molto sviluppate in altezza (rapporto altezza diametro al 70

massimo di 3 a 1): le prime torri di raffreddamento vennero realizzate in muratura con grande attenzione alle forme ed ai particolari architettonici. Il flusso d'aria può avvenire per tiraggio naturale (ma solo se la velocità del vento è maggiore di 3 m/h) nel qual caso i lati della torre sono muniti di persiane e l'aria passa attraverso i vari ripiani presenti; più spesso, vengono utilizzate le torri a circolazione indotta: i ventilatori sono disposti in cima alla torre e l'aria viene aspirata da feritoie poste intorno alla base in modo da salire verso l'alto attraversando i ripiani in controcorrente rispetto al flusso d'acqua. E' possibile dare le seguenti definizioni per il sistema aria-acqua:

Umidità assoluta (titolo)

Y=

18 pv nv M v pv M v pv M v = = = na M a pa M a (P − pv )M a 29(P − pv )

rapporto in peso tra vapor d'acqua v e aria secca a; abbiamo indicato con: Mi peso molecolare pi pressioni parziali

ni numero di moli P pressione totale (generalmente P = 1 atm)

si noti che è possibile definire anche un'umidità molare rapporto del numero di moli del vapore e dell'aria secca nv/na

Umidità di saturazione

come

18 p v0 p v0 M v p v0 M v = = Ys = p a M a (P − p v0 )M a 29(P − p v0 )

rapporto in peso tra la massima quantità di vapor d'acqua che può essere ospitata (a quella P e T) e l'aria secca

Umidità percentuale

pv (P − pv0 ) pv (P − pv0 ) Y 100 = 0 100 YP = 100 = 0 Ys pv − pa pv (P − pv )

tale grandezza, anche detta più in generale percentuale di saturazione, rappresenta il rapporto percentuale tra vapore e quantità massima di vapore potenzialmente presente

Umidità relativa

Y

R

=

pv 100 p v0

tale grandezza, anche detta più in generale saturazione relativa, rappresenta il rapporto percentuale tra la pressione parziale e la tensione di vapore dell'acqua alla temperatura a cui si trova l'aria 71

Temperatura di saturazione adiabatica Ts: è la temperatura a cui si porta una corrente di aria umida all'uscita di un sistema adiabatico nel quale si satura lambendo uno specchio di acqua liquida alla stessa temperatura Ts Temperatura di rugiada Tr: è la temperatura di incipiente condensazione del vapor d'acqua contenuto in aria umida per variazioni di temperatura o di pressione (di solito si abbassa la temperatura a pressione costante) Temperatura di bulbo umido Tw: è la temperatura a condizioni stazionarie un termometro a bulbo bagnato corrente gas-vapore che si muove rapidamente; il bulbo è ricoperto dallo stesso liquido presente come vapore. di bulbo umido è in relazione con l'umidità della fase Volume umido molare

cui giunge in esposto ad una del termometro La temperatura gassosa

Vh = (1 + Y)*22.4*T/(273*P)

Rappresenta il volume di 1Kmole di gas secco più il vapore ad esso associato Calore specifico umido molare

c = c a + Y cv

Calore richiesto per innalzare la temperatura di 1Kmole di aria secca più il vapore associato di 1 °C

Generalmente, non viene data alcuna denominazione speciale all'entalpia della miscela gas-vapore; è possibile scrivere che H = Ha + Y H v dove H è l'entalpia di 1Kg di gas secco più quella del vapore contenuto mentre Ha e Hv sono rispettivamente le entalpie del gas incondensabile e del vapore (cioè H è l'entalpia specifica: viene riferita alla quantità totale di gas secco). Naturalmente queste entalpie devono essere calcolate relativamente ad uno stato arbitrario di riferimento in corrispondenza del quale Hi = 0. Per il sistema aria-acqua si assume come stato di riferimento per l'entalpia (Hi = 0):  Acqua: liquida al punto triplo (0°C, 1 atm)  Aria: stato gas secco, 0°C, 1 atm In base a questi stati di riferimento, l'entalpia dell'aria umida può essere espressa in funzione del calore latente e dei calori specifici e si ha che:

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H = ca (T-T0) + Y [λ λ0 + cv (T-T0)] = c (T-T0) + Y λ0 = c T + Y λ0 dove

T0 λ0

è la temperatura di riferimento, cioè per entrambi 0°C calore latente di evaporazione dell'acqua a 0°C

nella relazione vista:  si trascura l'effetto della pressione sull'entalpia del liquido  sono stati considerati costanti ca e cv; se tale ipotesi non è valida si devono considerare i valori medi Vogliamo sottolineare che il raffreddamento della corrente liquida avviene anche a causa dell'evaporazione di una certa quantità d'acqua; il calore latente di vaporizzazione è fornito a spese della stessa corrente liquida: in una torre di raffreddamento la variazione del calore sensibile è la quantità di principale interesse. Vediamo di schematizzare meglio come avviene lo scambio termico. Abbiamo detto che il raffreddamento dell'acqua nella torre avviene per contatto diretto con aria; poiché l'acqua presenta una tensione di vapore (funzione crescente con la temperatura) maggiore della pressione parziale del vapor d'acqua nella corrente gassosa, una volta a contatto, comincia a vaporizzare: non vi sono problemi di inquinamento in quanto dell'acqua di servizio è stata modificata solo la sua temperatura e non la sua composizione. Il contatto diretto:  accelera il flusso termico il trasferimento di energia da un fluido all'altro avviene attraverso degli stadi in serie, ciascuno con la propria resistenza: ovviamente, questa aumenta per ogni superficie di scambio interposta tra due fluidi a diversa temperatura  determina un risparmio economico per realizzare uno scambio di tipo indiretto è necessario ricorrere ad apparecchiature molto costose come, ad esempio, gli scambiatori a tubo e mantello  realizza due vie di scambio in parallelo si noti, infatti, che viene scambiata energia sia attraverso un flusso termico di tipo conduttivo dovuto alla differenza di temperatura tra acqua ed aria a contatto tra loro sia attraverso un flusso di materia, a cui è associato un flusso di energia, dovuto alla vaporizzazione dell'acqua nell'aria (ogni chilogrammo di acqua che vaporizza necessita di 540 Kcal prelevate a spese della stessa corrente liquida) Per rendere il più efficace possibile il contatto diretto fra l'acqua e l'aria, l'interno delle torri di raffreddamento è riempito con materiale inerte disposto a nido d'ape; il liquido viene ripartito, in questo modo, tra le diverse intercapedini percorse in controcorrente dall'aria: ne risulta un'ampia superficie di contatto. 73

Descrizione Una corrente di acqua calda di portata La e temperatura Ta viene inviata in testa alla torre per essere raffreddata, tramite contatto diretto, con una corrente d'aria introdotta alla base, in modo tale da realizzare un flusso in controcorrente; tale corrente d'aria è costituita sia da gas La Ta G Ya Ha incondensabili (ossigeno, azoto, ta argon, etc …) che da una certa aliquota di vapor d'acqua: L T indichiamo con G la portata di aria secca e con Y l'umidità dz assoluta (ricordiamo che è stata q definita come rapporto in peso G Y tra vapor d'acqua e aria secca; H t in questo modo, il prodotto G*Y L0 rappresenta la quantità in Kg di T0 Lb Tb G Yb vapor d'acqua presente nella x0 Hb tb corrente d'aria in una generica sezione della torre). Tale S xs impostazione è necessaria in quanto la portata di aria secca G non varia all'interno della colonna mentre varia il vapor d'acqua presente; comunque, per definire completamente la corrente d'aria, oltre a G e Y, abbiamo bisogno della temperatura t e dell'entalpia specifica H: ricordiamo che in generale si ha che h = ha + Y hv se dividiamo h per G (Kg totali di aria secca) otteniamo l'entalpia specifica H; per essere più chiari, possiamo dire che l'entalpia specifica Hb rappresenta l'entalpia di 1 Kg di aria secca più G * Yb Kg di vapor d'acqua: H dipende dalla temperatura t e dall'umidità assoluta Y (vi è anche una dipendenza dalla pressione). Tali definizioni derivano da convenzioni atte a semplificare i calcoli energetici; si noti, infatti, che il contenuto entalpico della corrente gassosa in ingresso si può esprimere come G * Hb mentre la portata di vapor d'acqua come G * Yb: ribadiamo che ci si riferisce alla portata d'aria secca in quanto non varia nell'attraversamento della torre di raffreddamento. In figura, il blocco riportato alla sinistra della torre vuole rappresentare le varie apparecchiature in cui viene utilizzata l'acqua come fluido di servizio: questa, scambiando la quantità di calore q, innalza la sua temperatura rendendo così necessaria l'operazione di raffreddamento.

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Spurgo Si noti che la corrente liquida La viene raffreddata dalla corrente gassosa sia per trasporto di tipo conduttivo determinato dalla differenza di temperatura sia per un trasporto di materia (evaporazione dell'acqua nella corrente gassosa) a cui è associato uno scambio termico concorde con quello conduttivo (in seguito specificheremo meglio tali aspetti); ciò che ora vogliamo porre in rilievo è che, a causa di tale trasporto di materia, la portata di liquido diminuisce: per reintegrare le perdite è necessario introdurre nel circuito la portata d'acqua L0 disponibile a temperatura ambiente T0 (il punto più conveniente per l'immissione della portata L0 è quello di ingresso alle apparecchiature che utilizzano l'acqua come fluido di servizio). Generalmente, l'acqua utilizzata per il raffreddamento delle apparecchiature non è pura, ma contiene dei sali disciolti; poiché siamo in presenza di una vaporizzazione (che riguarda solo acqua pura), di un reintegro (effettuato da falde e da corsi superficiali contenenti comunque sali disciolti) e di un riciclo, vi è un aumento della concentrazione di sali: ciò può determinare l'insorgere di problemi di corrosione e/o la formazione di incrostazioni dovuta alla precipitazione degli stessi sali. Onde evitare tutto questo, è necessario effettuare uno spurgo in modo tale che, a regime, la quantità di sali in ingresso con L0 sia pari alla quantità uscente con lo spurgo S (la posizione più conveniente per lo spurgo è subito dopo l'uscita dalla torre di raffreddamento in quanto, per l'effetto dell'evaporazione, si ha una maggior concentrazione di sali). E' evidente, quindi, che la corrente di reintegro L0 deve portare in conto sia la portata E di acqua vaporizzata che la portata S di acqua eliminata con lo spurgo; possiamo scrivere che: L0 = E + S Indicando con x0 e con xs le concentrazioni dei sali nel reintegro L0 e nello spurgo S, si ha che: L0 x0 = S xs E' evidente che, in tali condizioni, è possibile comunque fissare la massima concentrazione xs* di sali che può circolare nell'impianto; lo spurgo minimo da eseguire è esprimibile come:

S* =

L0 x 0 x s*

Generalmente, nell'ipotesi di acqua molto ricca di sali, si pone xs* = 2 x0 e, quindi, risulta che: 75

S* =

L0 2

Possiamo concludere, con buona approssimazione, che metà del reintegro viene spurgato, per cui l'altra metà deve necessariamente evaporare nella torre:

E =

L0 2

Il risparmio di acqua realizzato con una torre di raffreddamento non può essere determinato con assoluta precisione in quanto bisognerebbe valutare la quantità d'acqua vaporizzata (a tale scopo è necessario conoscere esattamente quanta energia si trasferisce all'aria per conduzione e quanta per vaporizzazione); in realtà, supponendo che tutta l'energia venga trasferita all'aria per vaporizzazione dell'acqua (e si tratta della peggior ipotesi realizzabile, in quanto determina il massimo valore di E e, quindi, di L0), è possibile calcolare tale risparmio con esattezza. Possiamo scrivere, infatti, il seguente bilancio termico: La cp Ta - Lb cp Tb = E λ cp (La Ta - Lb Tb) = (La - Lb) λ cp Ta - cp Tb Lb/La =

λ - λ Lb/La

cp (Ta - Tb Lb/La) = (1 - Lb/La) λ - cp Tb Lb/La + λ Lb/La = λ - cp Ta

Lb/La = (λ λ - cp Ta)/(λ λ - cp Tb) dove cp calore specifico dell'acqua λ calore di vaporizzazione - λ = 540 cal/g e assumendo per ricordando che cp = 1 cal/g °C Ta e Tb i valori tipici di 60°C e 20°C otteniamo che

Lb = 0.92 La Tale risultato ci consente di affermare che la corrente liquida La, per effetto dell'evaporazione, subisce una perdita E del 8%; si ha, quindi, in tali ipotesi che L0 = 16% di La. In realtà, poiché il calore viene scambiato oltre che per trasporto di massa anche per trasporto conduttivo, la corrente E si riduce a circa il 5% di La: possiamo concludere, per quanto visto prima, che il reintegro L0 è circa il 10% di La e ciò dimostra quanto sia vantaggioso, in termini di risparmio d'acqua, l'utilizzo della torre di raffreddamento rispetto allo scarico diretto di tutta la portata La. 76

Meccanismo di scambio termico - Modello del Doppio Film Abbiamo detto che nelle torri di raffreddamento lo scambio termico viene realizzato per contatto diretto fra corrente liquida (acqua) e corrente gassosa (aria); la particolarità di tale scambio è che, oltre ad avvenire per trasporto conduttivo senza l'introduzione di ulteriori resistenze oltre a quelle già presenti (ciò che invece si verifica quando utilizziamo superfici di separazione tra i due fluidi), avviene anche per trasporto di materia dovuto all'evaporazione di una parte della corrente liquida nella fase gassosa: associato a tale trasporto di materia vi è un trasporto di energia in quanto l'evaporazione avviene a spese del calore sensibile della corrente liquida. Vediamo nel dettaglio cosa accade realmente:  la corrente liquida è costituita da acqua "calda" in quanto è stata utilizzata come fluido refrigerante; la corrente gassosa è costituita da aria "fredda" così come è disponibile nell'ambiente circostante: non ci costa alcuna fatica supporre che la temperatura dell'acqua sia certamente maggiore di quella dell'aria  la differenza di temperatura determina uno scambio termico caratterizzato da un trasporto conduttivo che avviene senza interposizione di superfici per cui le resistenze sono ridotte al minimo (sono essenzialmente quelle tipiche di un contatto diretto tra fluidi)  a questo punto basta osservare che la tensione di vapore dell'acqua liquida alla temperatura a cui si trova è, in generale, superiore alla pressione parziale del vapor d'acqua presente nella corrente d'aria: esiste, quindi, una forza spingente che promuove il trasporto di materia dalla fase liquida a quella vapore (evaporazione). A tale trasporto di materia è associato un trasporto di energia perché ogni Kg di acqua che evapora necessita di circa 540 Kcal; tale energia viene sottratta al liquido che, conseguentemente, si raffredda In definitiva, il raffreddamento della corrente d'acqua con aria mediante diretto contatto è molto efficace sia perché riduciamo al minimo le resistenze presenti nel trasporto conduttivo sia perché è possibile l'instaurarsi di un trasporto di materia a cui è associato uno scambio termico concorde con quello conduttivo. Consideriamo, ora, una generica sezione della torre identificata dall'elemento di volume di altezza infinitesima dz; possiamo supporre che le condizioni di scambio siano uniformi all'interno della sezione cioè, le composizioni variano solo lungo l'altezza z della torre: in tale ipotesi, possiamo affermare che nel volume individuato si ha una portata di liquido L alla temperatura T che incrocia una portata di aria secca G di temperatura t, umidità Y ed entalpia H.

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Si noti che i valori di temperatura sia nel gas che nel liquido sono uniformi; possiamo ipotizzare, quindi, l'esistenza di un moto turbolento: in queste condizioni non si ha resistenza al trasporto di energia all'interno delle singole fasi considerate. Ora, poiché registriamo una differenza di temperatura tra liquido e gas a contatto, possiamo dedurre che esiste una resistenza al trasporto tra le due fasi e deve essere concentrata in prossimità dell'interfaccia liquido-gas (se non esistesse alcuna resistenza al trasporto tra liquido e gas, le due fasi dovrebbero avere la stessa temperatura); d'altra parte, però, proprio all'interfaccia il liquido e il gas sono in equilibrio e presentano la stessa temperatura Ts. Ricordiamo che quando non siamo in grado di descrivere esattamente i fenomeni fisici che si verificano, ricorriamo a dei modelli che descrivono (più o meno) bene il fenomeno considerato sia da un punto di vista fisico che da un punto di vista quantitativo, grazie anche all'introduzione di opportuni parametri "di ignoranza" (da valutare sperimentalmente). Per superare l'apparente paradosso legato a ciò che accade nei pressi dell'interfaccia, è possibile ricorrere al modello del doppio film: è lecito supporre, all'interfaccia, l'esistenza di un film liquido e di un film gassoso (a contatto) entrambi di spessore infinitesimo in cui ritenere concentrata tutta la resistenza. Interfaccia In definitiva, quindi, si avrà una prima resistenza al T trasporto di energia nel film liquido ed infatti vi è una film caduta di temperatura che passa gas dal valore T al valore Ts di Ts interfaccia; è necessario sottolineare che proprio t all'interfaccia non si incontra Ys nessuna resistenza in quanto è costituita da punti appartenenti film Y sia al liquido che al gas (hanno liquido la stessa temperatura Ts): una seconda resistenza si incontra in corrispondenza del film presente lato gas ed infatti la temperatura passa dal valore Ts di interfaccia al valore t. Si noti che lato gas, oltre ad essere presente un gradiente di temperatura, vi è anche un gradiente di concentrazione (esprimibile come Ys - Y); ricordiamo, infatti, anche la presenza di un trasporto di materia dovuto all'evaporazione dell'acqua nella corrente gassosa: ciò si verifica in quanto la tensione di vapore dell'acqua alla temperatura Ts è maggiore della pressione parziale del vapor d'acqua presente nel gas. Questo modello, quindi, è caratterizzato da una struttura delle resistenze nota come serie - parallelo; infatti, le due resistenze in serie, sono quelle relative ai due film liquido e

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gas ma, lato gas, vi sono due resistenze in parallelo di cui una legata al trasporto conduttivo e l'altra legata al trasporto di materia: a questo punto, non resta che esprimere il flusso termico totale come somma di più termini ognuno valutato in relazione alla propria coppia forza spingente - resistenza (e non come forza spingente totale - resistenza totale). Per meglio chiarire tali aspetti, possiamo utilizzare un'analogia con i circuiti elettrici; è lecito, infatti, rappresentare il meccanismo di trasmissione come costituito da due resistenze in serie di cui una però è costituita da due resistenze in parallelo: in R2' particolare, nel film R1 i' liquido si ha un trasporto i i per sola conduzione (ed infatti si ha una sola A B C resistenza), mentre nel i'' film gassoso si ha un R2'' trasporto per conduzione e per diffusione (per cui in i = flusso termico tale film sono presenti due R1 = resistenza alla conduzione resistenze in parallelo). nel film liquido Si osservi che, a regime, R2' = resistenza alla conduzione il flusso termico è uguale nel film gassoso per tutti gli stadi per cui R2'' = resistenza alla diffusione i è lo stesso sia in A che nel film gassoso in B che in C: la particolarità è che, arrivato in B, si biforca (i = i' + i'') ripartendosi sulle due resistenze poste in parallelo. Poiché si opera a regime, i può essere calcolato in uno dei seguenti tre modi equivalenti: i = ∆VAB/R1

nel film liquido il trasporto avviene per conduzione, per cui la forza spingente (indicata come ∆VAB) è costituita da una differenza di temperatura

i = i' + i'' = ∆VBC'/R2' + la forza conduzione la forza diffusione

∆VBC''/R2'' si noti che ∆VBC' rappresenta spingente che consente il trasporto per nel film gassoso, mentre ∆VBC'' rappresenta spingente che consente il trasporto per nel film gassoso

i = ∆VAC/(R1 + R2) in questo caso ∆VAC rappresenta la forza spingente globale consentendo il trasporto di energia dall'acqua all'aria, ma non è semplicemente identificabile né con una differenza di concentrazione (di umidità) né con una differenza di temperatura; poiché la sua espressione è di difficile determinazione non conviene utilizzare questa strada

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Riferiamoci alla fase liquida; la potenza termica totale dqtot si può esprimere come prodotto di un coefficiente di scambio hL, per una superficie di scambio a S dz (se indichiamo con S la sezione della torre, l'elemento di volume da noi considerato è esprimibile come S dz ; per ottenere la superficie di scambio relativa a tutto S dz è necessario moltiplicare per la superficie di scambio specifica [per unità di volume] a) e per la forza spingente T - Ts: dqtot = hL a S dz (T - Ts) Riferiamoci, ora, alla fase gassosa; la potenza termica totale dqtot ricevuta dal liquido è esprimibile come somma di due termini di cui uno legato al gradiente di temperatura dqc (trasporto conduttivo) mentre l'altro legato al gradiente di concentrazione dqd (trasporto diffusivo): dqtot = dqc + dqd il termine dqc è esprimibile in modo del tutto analogo a quello visto per la fase liquida (a patto di utilizzare un opportuno coefficiente di scambio hG per la fase gas); se indichiamo con dN il numero di moli d'acqua evaporate per unità di tempo nel volume S dz considerato, possiamo scrivere che: dqd = dN Mv λ dove Mv peso molecolare acqua λ calore di vaporizzazione Del resto, definito un opportuno coefficiente di trasporto KG si ha dN = KG a S dz (ys - y) dove y e ys sono frazioni molari di vapor d'acqua Con riferimento ad 1 unità in peso di aria secca si verifica che

y =

Y M Y M

+ v

v

1 M a

Y

= Y +

M M

v a

e, poiché Y è trascurabile rispetto al rapporto Mv/Ma , si ha

y=

Ma Y Mv

ys =

Ma Ys Mv

In definitiva, possiamo scrivere le seguenti relazioni: dqd = KG a S dz (Ys - Y) Ma λ dqc = hG a S dz (Ts - t) 80

Problemi di Progetto Il nostro obiettivo è quello di raffreddare la portata La di acqua utilizzando una corrente d'aria umida prelevata direttamente dall'ambiente; tale corrente gassosa scambia calore sia attraverso un trasporto conduttivo (dovuto ad una differenza di temperatura) sia attraverso un trasporto diffusivo (dovuto ad un diverso valore di umidità). Consideriamo una generica sezione S della torre posta ad un'altezza z dalla base; per tutti i punti di La Ta G Y a Ha ta tale sezione si realizzano le stesse condizioni di scambio: analogamente, è possibile considerare un elemento di volume S dz, tanto piccolo, da L T poter comunque ritenere che, al suo interno, si abbiano le S dz stesse condizioni di scambio. G Y Osserviamo che, generalmente, H t sono note la portata d'acqua da la sua raffreddare La, temperatura Ta, la temperatura L b Tb G Yb alla quale la vogliamo portare Hb tb Tb e le condizioni di ingresso dell'aria (in effetti, stante la variabilità di tali grandezze, ci si deve riferire a dei valori medi calcolati su quelli degli ultimi anni); vogliamo determinare la portata di aria secca G, le condizioni di uscita dell'aria, tutti i valori relativi ad ogni sezione della torre e l'altezza della colonna. Per procedere nei nostri intenti, abbiamo bisogno delle condizioni di equilibrio del sistema e delle condizioni di lavoro; le condizioni di equilibrio rappresentano le caratteristiche limite del sistema (sono, quindi, proprietà intrinseche del sistema stesso), mentre le condizioni di lavoro rappresentano le condizioni effettive in cui si opera (le determiniamo noi stessi oppure vengono imposte da condizioni esterne). Per quanto riguarda le condizioni di equilibrio, ci si deve riferire alla rappresentazione nel piano T, H dei valori di saturazione del sistema aria-acqua (fissata la temperatura Ts tramite la H relazione Hs = c Ts + Ys λ0 è possibile costruire per punti la relativa curva di Y = cost saturazione); l'andamento di Hs(T) tale curva è noto ed è riportato nel grafico in figura: a tal proposito, è necessario sottolineare che Hb la curva così ottenuta è relativa ad un preciso valore di pressione. Tb T 81

I punti di non saturazione si trovano al di sotto della curva: uno di questi è individuato dal punto (Tb, Hb) già noto in partenza essendo note le caratteristiche della corrente d'aria in ingresso (quindi, il valore Hb) e la temperatura Tb dell'acqua in uscita. In altri termini, tale diagramma T,H non è altro che una forma diversa del diagramma psicrometrico di Mollier dell'aria umida; la curva di saturazione rappresenta il luogo dei punti (Ts,Hs) corrispondenti alle condizioni di saturazione dell'aria ad ogni temperatura. Su tale diagramma sono riportate anche le curve di umidità Y costante; spostandoci su tali curve:  diminuendo la temperatura otteniamo l'intersezione con la curva di saturazione (cioè otteniamo tutti i valori di saturazione Ys, Ts, Hs: il valore Ys è proprio quello della curva considerata che nel punto intersezione con la curva di saturazione rappresenta proprio il valore di equilibrio)  aumentando la temperatura il valore Y relativo alla curva considerata rappresenta una frazione sempre più bassa di quello di saturazione relativo alla temperatura fissata Per quanto riguarda le condizioni di lavoro, ci si deve riferire alle equazioni di bilancio e, in particolare, a quelle relative allo scambio termico; per determinare una relazione che specifichi le condizioni di lavoro in una generica sezione S è necessario effettuare un bilancio termico tra la sezione b dell'apparecchiatura e la generica sezione S: L cp T + GHb = Lb cp Tb + GH ricordando che

cp calore specifico dell'acqua liquida (≅1Kcal/Kg°C) L ≅ Lb infatti, La - Lb = E ≅ 5% di La per cui L la possiamo ritenere praticamente costante

possiamo scrivere in definitiva che: L T + G Hb = L T b + G H

H − Hb L = − T Tb G Ritenendo noti L, G, Hb, Tb quella scritta non è altro che una relazione lineare che lega tra loro T e H, cioè le condizioni di lavoro nella generica sezione S della torre; si osservi che la possibilità di rappresentare nel piano T, H tali condizioni di lavoro mediante una retta è data proprio dall'ipotesi di portata L costante: in definitiva, quella ottenuta rappresenta la retta di lavoro. 82

Sorge il problema, quindi, di disegnare tale retta di lavoro; ricordiamo che una retta si può tracciare conoscendo o due suoi punti, oppure un punto e la sua pendenza data dal rapporto L/G. A tal proposito, si osservi che conosciamo i valori Tb, Hb e Ta; la coppia Tb, Hb individua un punto, come abbiamo già visto, ma per tracciare la retta ci serve conoscere anche l'altro punto individuato da Ta, Ha: le condizioni dell'aria in uscita (e quindi il valore di Ha), però, non siamo proprio in grado di determinarle. Ora, è vero che della pendenza conosciamo solo la portata di liquido L, ma è possibile per noi assegnare la portata di aria secca G; si noti, infatti, che la torre di raffreddamento presenta tre gradi di libertà che vengono saturati con le seguenti scelte:  Temperatura (si sceglie quella ambientale)  Pressione (si sceglie quella atmosferica)  Portata (si sceglie la portata G di aria secca) Una volta, quindi, fissata la portata di aria secca G è nota anche la pendenza della retta di lavoro, per cui è possibile tracciarla sul piano T, H insieme alla curva di saturazione; al diminuire del valore G, la pendenza aumenta, e la retta di lavoro ruota H intorno al punto (Tb, Hb) avvicinandosi sempre più G = Gmin alla curva di equilibrio: la condizione di tangenza tra retta di lavoro e curva di saturazione indica una coincidenza tra condizioni di lavoro e condizioni di equilibrio che deve essere assolutamente evitata in Hb quanto, in tali condizioni, il processo voluto sarebbe realizzabile utilizzando una Tb Ta T colonna di altezza infinita. Riassumendo, esiste un valore minimo della portata di aria secca, Gmin, per cui la retta di lavoro risulta tangente alla curva di saturazione: in tali condizioni l'operazione necessiterebbe di una colonna di altezza infinita. Se, viceversa, ci allontaniamo da tali condizioni aumentando il valore della portata di aria secca G, riusciamo ad ottenere il trasferimento desiderato con dimensioni dell'apparecchiatura sempre più piccole. In ogni caso, la retta di lavoro non può disporsi molto lontano dalla curva di equilibrio: in tal caso, infatti, il valore di G sarebbe molto grande e, poiché tale corrente deve attraversare la torre, avremmo di conseguenza un notevole incremento delle dimensioni trasversali della torre stessa (inoltre, poiché l'aria è aspirata nella torre da ventilatori, anche questi dovrebbero essere opportunamente dimensionati). 83

Vogliamo determinare, ora, l'altezza della colonna; a tale scopo, è necessario valutare l'entità dello scambio in un generico elemento di volume S dz: noto, infatti, il flusso scambiato in tale elemento e quello totale che deve essere scambiato dall'acqua [esprimibile come L cp (Ta - Tb)], è possibile valutare l'altezza della torre. Ricordiamo che la superficie di scambio aria-acqua nell'elemento di volume S dz si può esprimere come: A = a S dz dove con a indichiamo una superficie di scambio specifica riferita all'unità di volume. Si noti che a questo punto dovremmo ripetere tutte le considerazioni viste in precedenza sull'analisi del meccanismo di scambio termico e sul modello del doppio film. Ritenendo già acquisite tali informazioni, riportiamo solo i risultati a cui si era giunti; in particolare, riferendoci alla fase liquida, la potenza termica totale dqtot si può esprimere come: dqtot = hL a S dz (T - Ts) Relativamente alla fase gassosa, la potenza termica totale dqtot è esprimibile come somma di due termini di cui uno legato al gradiente di temperatura dqc (trasporto conduttivo) mentre l'altro legato al gradiente di concentrazione dqd (trasporto diffusivo): dqtot = dqc + dqd dove dqc = hG a S dz (Ts - t) dqd = KG a S dz (Ys - Y) Ma λ

= KG a S dz (Ys - Y) 29 λ

risulta, quindi, che: dqtot = [hG (Ts - t) + KG (Ys - Y) 29 λ](a S dz) = = 29 KG [(hG/29 KG)(Ts - t)+ λ(Ys - Y)] a S dz Consideriamo, a questo punto, il numero di Lewis Le (adimensionale); tale numero, per un sistema costituito da due fluidi a diretto contatto, esprime la relazione esistente tra il trasporto conduttivo e quello diffusivo, ossia quanta parte del calore trasferito da un fluido all'altro è dovuto ad un meccanismo rispetto all'altro: è dato da un rapporto in cui al numeratore c'è la conduttanza unitaria per convezione del fluido nel quale l'altro diffonde, mentre al denominatore c'è il prodotto tra il coefficiente di scambio di materia globale fra i due fluidi, il peso molecolare del fluido nel quale l'altro diffonde e il suo calore specifico 84

Le =

hG 29 K G c

dove c calore specifico dell'aria umida; verifichiamo che Le è effettivamente un numero adimensionale:

Kcal hm 2 °C Le [= ] Kg Kmole Kcal Kmole hm 2 Kg °C Si noti che per il sistema aria-acqua si verifica che, in un ampio intervallo di temperature Le ≅ 1, per cui ne deriva che:

hG =c 29 K G Prima di andare avanti, è opportuno ricordare che il numero di Lewis Le si può esprimere, in realtà, come il rapporto tra il numero di Schmidt Sc e il numero di Prandtl Pr dove Sc è il rapporto fra la diffusività di quantità di moto e la diffusività di materia, mentre Pr è il rapporto fra la diffusività di quantità di moto e la diffusività termica Sc = ν/' = µ/ρ ρ'

Pr = ν/α α = µ/ρ ρ * ρ cp/K = µ cp/K

Le = Sc/Pr = K/ρ ρ'cp -1 -1 K/ρ ρ' = cp [=] Kcal h m °C-1 Kg-1 m3 m-2 h In definitiva, il numero di Lewis rappresenta il peso relativo tra trasporto termico e trasporto di materia; generalmente, per i gas, Le = 1 anche perché sia SC che Pr sono unitari: cogliamo l'occasione per sottolineare che per il sistema alcool etilico - azoto Le ≠1 Dalle considerazioni effettuate sul numero di Lewis ed in particolare dall'ultima relazione vista, possiamo concludere che la potenza termica si può scrivere come segue: dqtot = 29 KG [c(Ts - t)+ λ(Ys - Y)](a S dz) ricordando che l'entalpia della fase gassosa (aria secca + vapor d'acqua) si esprime come H = c T + Y λ si ha che: dqtot = 29 KG [c(Ts - t)+ λ(Ys - Y)](a S dz)= = 29 KG [(c Ts + λ Ys) - (c t + λ Y)] a S dz = = 29 KG (Hs - H) a S dz 85

Risulta chiaro, quindi, che la quantità totale di calore pur attraversando il film gassoso per effetto di due distinti fenomeni, ciascuno caratterizzato da una propria forza spingente, può essere espressa nella sua globalità con riferimento ad un'unica forza spingente: ciò è possibile in quanto il numero di Lewis è praticamente unitario. Del resto, però, dqtot rappresenta anche l'energia persa dalla fase liquida nel passaggio dalla sezione ad altezza z alla sezione ad altezza z + dz; possiamo scrivere che: dqtot = d(L cp T) Poiché riteniamo costante sia il calore specifico dell'acqua (pari a 1 Kcal/Kg °C) sia la corrente liquida L (trascuriamo la variazione subita durante il percorso all'interno della torre), si ha: dqtot = d(L cp T) = d(L T) = L dT + T dL ≅ L dT Uguagliando i secondi membri, otteniamo che: L dT = 29 KG (Hs - H) a S dz Separando le variabili ed integrando otteniamo l'altezza della torre:

L z = 29 K G aS

Ta

∫

Tb

1 dT Hs − H

In questa relazione, l'unica incognita è costituita dall'integrale; si noti, infatti, che L e S sono noti mentre il prodotto KG a si ricava da opportune tabelle: il calcolo dell'integrale può essere effettuato per via grafica (a tale scopo, 1 N basta tracciare su un Hs-H diagramma i valori della funzione 1/Hs-H per differenti valori della T M compresi tra Tb e Ta; l'area sottesa dalla curva così ottenuta rappresenta il valore dell'integrale cercato). Si noti che l'ordinata del punto N rappresenta Tb Ta T il valore massimo per la funzione 1/Hs-H cioè il valore minimo per Hs-H, mentre l'ordinata del punto M rappresenta il valore minimo per la funzione 1/Hs-H cioè il valore massimo per Hs-H. 86

In definitiva, per poter tracciare la curva vista, è necessario conoscere il valore di Hs e di H ∀ T ∈ [Tb,Ta]; vediamo come ciò è possibile: per facilitare tale compito visualizziamo ancora una volta il piano T,H con la curva di saturazione e la retta di H lavoro. Ricordiamo che la retta di lavoro di equazione H = Hb + L/G (T - Tb) non rappresenta altro che una relazione tra T e H; H* quindi, una volta fissata la temperatura T*, siamo in grado di valutare il valore Hb H* corrispondente: resta il problema di come valutare il termine Hs. Ora, Hs è Tb T* Ta T l'entalpia di saturazione all'interfaccia, cioè alla temperatura Ts; nota, quindi, Ts è possibile valutare Hs tramite la curva di saturazione: è necessario, però, trovare una relazione tra T e Ts (in altri termini, quando la temperatura del liquido è pari a T, quanto vale Ts?). A questo punto, è bene riflettere su cosa determina il valore della temperatura all'interfaccia; in effetti, Ts dipende dalle resistenze relative dei due film ed infatti:  Il valore di Ts risulta tanto più vicino a T quanto più la resistenza del film liquido risulta minore della resistenza del film gassoso  Analogamente, il valore di Ts risulta tanto più vicino a t quanto più la resistenza del film liquido risulta maggiore della resistenza del film gassoso E' necessario, quindi, andare a confrontare tra loro le due resistenze; avendo trovato che la potenza termica lato liquido e lato gas si esprime come dqtot = hL a S dz (T - Ts) dqtot = 29 KG (Hs - H) a S dz possiamo uguagliare i due termini e si ha che hL a S dz (T - Ts)= 29 KG (Hs - H) a S dz

Hs − H h a =− L 29 K G a Ts − T 87

Tale relazione rappresenta nel piano T,H una retta; è necessario osservare che la superficie specifica per unità di volume a non si è potuta semplificare in quanto è possibile valutare i prodotti KG a e hL a ma non è possibile individuare separatamente i termini dei due prodotti: in particolare, è il valore di a che non può essere determinato in maniera diretta in quanto dipende  dalla disposizione geometrica del riempimento della torre  dalla modalità con cui l'acqua scorre e ristagna sul riempimento  dalle dimensioni delle gocce in cui l'acqua viene scomposta durante l'attraversamento del riempimento l'incapacità della valutazione della superficie specifica per unità di volume a viene superata determinando sperimentalmente i prodotti KG a e hL a come se fossero un'unica quantità, una volta fissato il tipo di riempimento. Al solito, è possibile tracciare una retta conoscendo due punti oppure un punto e la pendenza; seguiamo quest'ultima strada in quanto conosciamo il punto T*,H* e la pendenza: l'intersezione di tale retta con la curva di saturazione ci consente di individuare il punto voluto di coordinate Ts,Hs. Riassumendo, il nostro problema è quello di H valutare l'altezza della torre; a tale scopo si deve valutare graficamente un integrale: è necessario, quindi, tracciare per punti la funzione 1/Hs-H. Per Hs realizzare tale obiettivo è necessario conoscere il H* e di H valore di Hs ∀T∈[Tb,Ta]; si procede come Hb qui di seguito riportato: Tb

Ts T*

Ta

T

 Si fissa il valore di temperatura T*∈[Tb,Ta]

 Si calcola il valore H* utilizzando la retta di lavoro H = Hb + L/G (T - Tb)  Si traccia la retta Hs = H* - [(hL a/29 KG a) (Ts - T*)] conoscendo la pendenza - hL a/29 KG a ed il punto T*,H* appartenente anche alla retta di lavoro  L'intersezione con la curva di saturazione ci consente di individuare il punto di coordinate Ts,Hs

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E' necessario sottolineare che ∀T∈[Tb,Ta] ma diverso da T*, otteniamo delle rette parallele a quella vista in quanto i parametri hL e KG non variano da punto a punto della torre. Si è visto, da misure sperimentali, che la resistenza al trasporto è essenzialmente concentrata lato gas; in altri termini si verifica che hL>>KG e ciò influisce sia sulla pendenza della retta che tende ad ∞ (cioè la retta è verticale) sia sul profilo di temperatura all'interno del film liquido in quanto Ts diventa molto prossimo a T. H Interfaccia T Ts

film gas

Hs H* film liquido

Ys

t

Y

Hb

Tb T*≅ ≅Ts Ta T Quanto detto, spiega anche perché nel valutare l'altezza della torre non abbiamo utilizzato la pur valida espressione dqtot = hL a S dz (T - Ts) Tale relazione, infatti, non può essere utilizzata da un punto di vista calcolativo in quanto il valore finito dqtot è ottenuto come prodotto di hL→∞ e di (T - Ts)→ →0 cioè deriva da una forma indeterminata; in ogni caso, si deve tener presente che Ts deve necessariamente differire da T: il flusso termico lato liquido, infatti, è presente ed avviene, a causa dell'alto valore del coefficiente di scambio, sotto l'azione di una forza spingente estremamente piccola. Alla luce di queste nuove considerazioni, possiamo concludere che ∀T∈[Tb,Ta] è sufficiente tracciare la verticale per quella temperatura: l'intersezione con la retta di lavoro individuerà il valore H mentre l'intersezione con la curva di saturazione individuerà il valore Hs. Torniamo su alcune considerazioni riguardanti la portata G di aria secca; abbiamo visto che la scelta di tale valore satura uno dei tre gradi di libertà a nostra disposizione ed influenza direttamente la pendenza della retta di lavoro: può capitare che per un certo valore di G (detto Gmin) la retta di lavoro è tangente alla curva di saturazione. In questa situazione, condizioni di lavoro e condizioni di equilibrio coincidono: ciò significa che per realizzare il voluto

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raffreddamento dell'acqua abbiamo bisogno di una colonna di altezza infinita in quanto, in un punto della torre, risulta essere nulla la forza spingente. In definitiva, il valore Gmin rappresenta la portata minima al di sotto della quale non si può lavorare; è necessario, quindi, operare in condizioni sufficientemente distanti da tale condizione e ciò si ottiene maggiorando opportunamente tale valore minimo. In questo caso, però, anche variando G entro un ampio campo di valori (sempre al di sopra di Gmin) non è possibile ottenere indicazioni efficaci da un'analisi di tipo economico (così come si è proceduto nel caso della distillazione). A tal proposito, si noti che quanto più è grande G tanto più è bassa la torre di raffreddamento (infatti, la retta di lavoro si allontana H 1 Hs-H

G1 > G2 > G3

L/G3

L/G2 L/G1 Hb

Tb Ta T Tb Ta T dalla curva di saturazione con conseguente diminuzione dei corrispondenti valori della funzione 1/Hs-H), tuttavia aumentano le dimensioni trasversali della torre (una corrente d'aria elevata richiede una sezione di passaggio maggiore) e la potenza dei ventilatori addetti al tiraggio. Si sceglie come valore ottimale di G quello pari a 4 ÷ 5 volte il valore di Gmin cioè il valore in corrispondenza del quale la retta di lavoro è tangente alla curva di saturazione; in altri termini Gott = 4 ÷ 5 Gmin L'obiettivo che si vuole perseguire con tale scelta è quello di mantenere il più possibile la retta di lavoro alla stessa distanza dalla curva di saturazione; si noti, infatti, che l'altezza della colonna è fortemente influenzata dalle sezioni in cui è presente la minima forza spingente (ricordiamo che per avere un'altezza infinita basta che in una sola sezione si abbia coincidenza tra condizioni di lavoro e condizioni di equilibrio): in altri termini, è inutile allontanare la retta di lavoro dalla curva di saturazione (in modo da ottenere bassi valori di 1/Hs-H) se poi in altre sezioni non si può guadagnare molto in termini di forza spingente.

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Richiami Prima di procedere ulteriormente nell'analisi dei fenomeni inerenti le torri di raffreddamento è importante ricordare le definizioni di  Temperatura di bulbo bagnato  Temperatura di saturazione adiabatica Consideriamo un termometro a bulbo bagnato, cioè costituito da un termometro il cui bulbo è circondato da una garza immersa in un recipiente contenente il liquido i cui vapori sono presenti nella corrente gassosa che investe il termometro (per capillarità la garza è sempre impregnata di liquido); nel nostro caso, il liquido considerato è acqua mentre la corrente gassosa è aria umida di temperatura t ed umidità Y (titolo). Inizialmente, tutto il sistema si trova alla temperatura t, per cui all'interfaccia liquido-gas il valore dell'umidità è pari al valore di saturazione alla temperatura t, che indichiamo con Yst; ora, poiché l'aria non è in condizioni di T* saturazione, si verifica che Yst > Y: ciò determina un flusso netto di materia dal liquido all'aria (vaporizzazione dell'acqua presente Y t Ys* sulla garza) con conseguente abbassamento della temperatura (il termometro segnerà un valore T* < t) il che determina l'instaurarsi di un flusso termico conduttivo dall'aria all'acqua presente sulla garza. E' importante sottolineare che l'abbassamento della temperatura dal valore t al valore T determina anche una diminuzione del valore dell'umidità di saturazione che passa dal valore Yst al valore Ys*: ciò determina una riduzione del flusso di materia e, quindi, una riduzione del flusso termico associato. Riassumendo:  È presente un flusso di materia (a cui è associato un flusso termico) dal termometro verso l'aria in quanto Ys* > Y; la vaporizzazione dell'acqua determina una diminuzione di temperatura e, conseguentemente, una riduzione del valore dell'umidità di saturazione Ys*: in definitiva, si ha una riduzione del flusso di materia e, quindi, del flusso termico associato  È presente, però, anche un flusso termico conduttivo di verso opposto (cioè dall'aria al termometro) dovuto al gradiente termico presente; si noti ,infatti, che la temperatura della corrente gassosa è pari a t mentre il termometro continua a registrare un abbassamento di temperatura dovuto alla vaporizzazione dell'acqua presente sulla garza per cui t > T*

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Possiamo affermare, quindi, che fino a quando il flusso termico associato al flusso di materia prevale sul flusso termico dovuto al gradiente di temperatura, il termometro continuerà a segnalare una diminuzione di temperatura; in questo modo, però, si determina una diminuzione della forza spingente per il flusso di materia ed un aumento della forza spingente per il flusso termico legato al gradiente di temperatura: necessariamente si raggiunge una condizione di regime (vogliamo segnalare che, ovviamente, il flusso termico più imponente è quello associato al trasporto di materia in quanto è direttamente coinvolto il calore latente di vaporizzazione). Quando ciò si verifica, i due flussi si bilanciano esattamente; il termometro misura sempre la stessa temperatura Tbu detta appunto Temperatura di bulbo umido (o di bulbo bagnato) a cui corrisponde l'umidità di saturazione Ysbu: si noti che t > Tbu mentre Ysbu > Y. Supponendo di trovarci, appunto, in condizioni stazionarie è possibile scrivere il seguente bilancio: hG (t - Tbu) = 29 λ KG (Ysbu - Y) ricordando che per il sistema aria-acqua Le ≅ 1, si ha che:

Le =

hG 29 K G c

hG =c 29 K G

dove c è il calore specifico umido molare (aria secca - vapore); per cui, in ultima analisi, è possibile scrivere che: c (t - Tbu) = λ (Ysbu - Y) In definitiva, quindi, da due misure di temperatura, una di bulbo secco ed una di bulbo umido, siamo in grado di valutare l'umidità Y di una corrente d'aria (il valore di saturazione dell'umidità alla temperatura di bulbo umido Ysbu è noto dai diagrammi psicrometrici). È importante, a questo punto, esplicitare i termini della relazione ottenuta e riordinarli come segue: c t + λ Y = c Tbu + λ Ysbu Ricordiamo che l'umidità di saturazione Ys è una funzione univoca della temperatura; in particolare, il valore Ysbu è il valore di saturazione corrispondente al valore Tbu della temperatura.

Vogliamo dimostrare, ora, che per il sistema aria-acqua la temperatura di saturazione adiabatica coincide numericamente con la temperatura di bulbo umido; a tale scopo andiamo a ricordarne il significato.

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È noto che per Temperatura di saturazione adiabatica tsa si intende la temperatura raggiunta all'equilibrio da una corrente d'aria umida all'uscita da un sistema adiabatico in cui si satura lambendo uno specchio di acqua liquida di temperatura tsa . Per essere più chiari, consideriamo una corrente d'aria di temperatura t ed umidità Y (la sua entalpia si può esprimere come t Y H tsa Ysa Hsa H = c t + λ Y); a questo punto, poniamo a contatto la corrente gassosa con una corrente di tsa acqua liquida (ciò deve avvenire in modo adiabatico; a tale scopo la camera di saturazione viene supposta di lunghezza infinita e perfettamente isolata: in figura è riportato uno schema di accorgimento in grado di ottenere il risultato voluto con dimensioni accettabili): poiché il gas non è saturo e si trova in un sistema adiabatico, una piccola parte del liquido (la massa d'acqua presente deve essere molto grande rispetto a quella che passa lato gas) vaporizza a spese del calore sensibile della corrente gassosa (l'aria si raffredda) e se il contatto è sufficientemente prolungato (abbiamo detto che idealmente la camera di saturazione viene supposta di lunghezza infinita), la corrente d'aria si porterà alla stessa temperatura tsa del liquido (temperatura di saturazione adiabatica) con umidità di saturazione Ysa. Ricordando che il calore legato alla vaporizzazione dell'acqua è esprimibile come λ (Ysa - Y) e che questo è fornito a spese del calore sensibile dell'aria esprimibile come c (t - tsa) possiamo scrivere: c (t - tsa) = λ (Ysa - Y) c t + λ Y = c tsa + λ Ysa H = Hsa del resto ci dovevamo aspettare tale risultato in quanto è stata eseguita una trasformazione adiabatica. In definitiva, abbiamo trovato che per la temperatura di bulbo umido c t + λ Y = c Tbu + λ Ysbu mentre per la temperatura di saturazione adiabatica c t + λ Y = c tsa + λ Ysa 93

tenendo presente che l'umidità di saturazione è una funzione univoca della temperatura, l'unica possibilità che le due relazioni viste siano soddisfatte simultaneamente è che risulti Tbu = tsa cioè il valore della temperatura di bulbo umido coincide con quello della temperatura di saturazione adiabatica; bisogna precisare che:  Tale uguaglianza deriva direttamente dal valore unitario del numero di Lewis per il sistema aria-acqua (in altri termini, tale uguaglianza non è verificata per sistemi caratterizzati da Le ≠ 1)  Si noti che vi è una profonda differenza di tipo concettuale fra tali temperature; mentre tsa è una grandezza termodinamica (una proprietà di stato) in quanto definita attraverso condizioni di equilibrio, Tbu deriva essenzialmente dall'instaurarsi di una condizione di regime in cui il flusso termico associato al flusso di materia è uguale e contrario al flusso termico conduttivo Temperatura Tb di uscita dell'acqua Abbiamo visto come, una volta fissata la portata della corrente liquida con le sue temperature di ingresso ed uscita e la portata di aria secca con la sua temperatura ed umidità in ingresso, è possibile determinare l'altezza della torre di raffreddamento. Si noti, però, che la temperatura Tb dell'acqua in uscita non può essere scelta in modo del tutto arbitrario; esiste un valore minimo limite al di sotto del quale non si può andare: in altri termini, non è possibile ottenere in uscita una corrente liquida avente temperatura bassa quanto si vuole. Potremmo pensare che tale valore minimo coincida con la temperatura tb di ingresso della corrente gassosa: ciò sarebbe vero se il trasporto termico avvenisse solo grazie ad un meccanismo di tipo conduttivo ma, come ben sappiamo, è presente anche un meccanismo di tipo diffusivo grazie al quale è possibile portare la Tb al di sotto della tb. In altri termini, quando si verifica l'uguaglianza tra temperatura della corrente liquida e temperatura della corrente gassosa, lo scambio di calore può continuare attraverso il meccanismo diffusivo con ulteriore diminuzione della Film temperatura del liquido; il punto, liquido Film quindi, è capire qual' è il valore gas minimo limite raggiungibile dalla Tsi temperatura del liquido. Torniamo alla rappresentazione del modello del doppio film e concentriamo la t nostra attenzione su ciò che accade Ysi tra interfaccia e film gassoso (in Y questa fase riteniamo che non vi siano resistenze lato liquido). 94

Inizialmente, Tsi > t e Ysi > Y per cui flusso termico conduttivo e flusso di materia sono concordi: entrambi i meccanismi contribuiscono al raffreddamento della corrente liquida. In una zona della torre, grazie al continuo raffreddamento dell'acqua, è possibile che si verifichi l'uguaglianza tra temperatura del liquido e temperatura del gas (flusso termico conduttivo nullo); se, però, sussiste ancora la relazione Yst > Y è presente comunque un flusso di materia e quindi un flusso termico dall'acqua Film Film all'aria: la temperatura liquido gas dell'acqua continua a diminuire e raggiunge il valore Ts1 < t. Tale Ts0=t t evento determina l'instaurarsi di due fenomeni di verso opposto: Ts1 Ts2 Yst Ys1 Ys2 Y

 Nasce un flusso termico conduttivo dall'aria all'acqua  L'umidità di saturazione diminuisce ed assume il valore Ys1 relativo alla temperatura Ts1; conseguentemente, diminuisce anche il flusso di materia e, quindi, il flusso termico associato (dall'acqua all'aria)

Inizialmente, il flusso termico (liquido-gas) associato al flusso di materia prevale sul flusso termico conduttivo (gas-liquido); in tali condizioni, l'acqua continua a raffreddarsi e ciò determina:  Un incremento del flusso termico conduttivo (gas-liquido); infatti, la temperatura dell'acqua è pari a Ts2 < Ts1 < t  Una diminuzione del flusso di materia e, quindi, del flusso termico associato (liquido-gas); infatti, l'umidità di saturazione assume il valore Ys2 relativo alla temperatura Ts2 In definitiva, diminuisce il flusso termico associato al trasporto di materia liquido-gas (più imponente, in quanto è direttamente coinvolto il calore latente di vaporizzazione) mentre aumenta il flusso termico conduttivo gas-liquido: si raggiungerà una condizione di regime in cui i due flussi saranno uguali e di verso opposto per cui la temperatura all'interfaccia Ts non varia e, conseguentemente, non varierà neanche l'umidità di saturazione corrispondente Ys. Possiamo concludere, quindi, che la temperatura minima raggiungibile dalla corrente liquida è quella caratterizzata dall'uguaglianza tra flusso termico associato a quello di materia dal liquido al gas e flusso termico di tipo conduttivo dovuto al gradiente termico esistente dal gas al liquido: tale temperatura minima limite non è altro che la temperatura di bulbo umido dell'aria entrante. 95

Naturalmente, se l'aria umida entrante si trova già in condizioni di saturazione non avviene la vaporizzazione del liquido, per cui la temperatura minima raggiungibile coincide con la temperatura tb di ingresso dell'aria in quanto il flusso termico è dovuto al solo gradiente di temperatura. Per convincerci di tale risultato (Ts ≡ Tbu) ricordiamo le espressioni dei due flussi considerati: dqc = hG a S dz (Ts - t) dqd = 29 λ KG a S dz (Ys - Y) a regime questi due flussi devono essere uguali ed opposti; si ha che hG a S dz (t - Ts) = 29 λ KG a S dz (Ys - Y) ricordando che per il sistema aria-acqua praticamente unitario, possiamo scrivere che

il

numero

di

Lewis

è

c (t - Ts) = λ (Ys - Y) c t + λ Y = c T s + λ Ys a questo punto, ricordiamo che il gas è disponibile alla temperatura t ed ha un'umidità Y; se effettuiamo su tale gas una trasformazione adiabatica portando il sistema in condizioni di saturazione otteniamo proprio la temperatura di saturazione adiabatica tsa: abbiamo visto che il bilancio si può esprimere come c t + λ Y = c tsa + λ Ysa Tenendo presente che l'umidità di saturazione è una funzione univoca della temperatura, l'unica possibilità che le due relazioni viste siano soddisfatte simultaneamente è che risulti Ts = tsa cioè il valore di temperatura all'interfaccia raggiunto a regime, coincide con quello della temperatura di saturazione adiabatica; abbiamo, però, già visto che tale uguaglianza si verifica tra la temperatura di bulbo umido e la temperatura di saturazione adiabatica: non ci resta che concludere che il valore più basso che può assumere la temperatura dell'acqua in uscita, e che abbiamo indicato con Ts (valore che si instaura a regime), non è altro che la temperatura Tbu di bulbo umido dell'aria in ingresso. Ribadiamo che ciò si verifica in quanto il numero di Lewis per il sistema aria-acqua è unitario; inoltre, la Ts non è una grandezza termodinamica in quanto deriva essenzialmente da una condizione di regime tra due flussi uguali ed opposti. 96

Una volta raggiunto questo risultato, è opportuno effettuare alcune considerazioni su ciò che accade lato liquido che, inizialmente, avevamo tralasciato. Ricordiamo che in condizioni di flussi concordi, cioè quando il flusso termico conduttivo e il flusso termico associato al trasporto di materia sono diretti entrambi dal liquido al gas, si è verificato che hL→∞; in altri termini si ha un flusso termico finito attraverso il liquido in quanto pur essendo il coefficiente di scambio estremamente grande, la forza spingente è estremamente piccola (infinitesima): in pratica, Ts diventa molto prossimo a T cioè (T - Ts)→ →0 (in pratica tutta l'acqua si trova alla temperatura Ts). Si osservi, però, che in condizione di flussi concordi la temperatura Ts non rappresenta altro che la temperatura di interfaccia a cui si trova anche tutto il liquido; temperatura destinata certamente a cambiare in quanto non è presente una condizione di regime. Consideriamo, ora, il caso in cui i due flussi sono uguali e di verso opposto, cioè il flusso termico conduttivo è diretto dal gas al liquido mentre il flusso termico associato al trasporto di materia è diretto dal liquido al gas; in tali condizioni la temperatura di interfaccia Ts (temperatura di bulbo umido) è proprio uguale a quella della massa liquida in quanto attraverso il film liquido non vi è passaggio di flusso termico. In altri termini, la condizione di regime esaminata è tale che Film Film il flusso termico conduttivo liquido gas dovuto al gradiente di t temperatura tra gas e liquido uguaglia il flusso termico associato al flusso di materia dal liquido al gas; ciò determina la totale Ts assenza di flusso termico attraverso il film liquido: per questo motivo la temperatura di tutto il liquido è proprio pari a Ts. Ys Y Possiamo concludere, quindi, che la condizione T = Ts (la temperatura della massa liquida coincide con la temperatura di interfaccia) si può verificare sia quando i due flussi sono uguali e di verso opposto (ciò si verifica certamente nel caso del termometro a bulbo bagnato) e, in questo caso, l'uguaglianza è totalmente verificata in quanto non vi è flusso termico lato liquido, sia quando i flussi termici sono concordi (ciò si verifica certamente nelle sezioni intermedie della torre) ma, in questo caso, l'uguaglianza non esprime altro che un'approssimazione in quanto si deve giustificare la presenza di un flusso termico finito attraverso il film liquido in presenza di un coefficiente di scambio estremamente grande (hL→∞): l'unica possibilità è quella di ritenere infinitesima la forza →0. spingente ed infatti si ritiene che (T - Ts)→ 97

Valutazione dell'umidità dell'aria in ingresso Ricordiamo, a questo punto, che per determinare l'altezza della torre di raffreddamento, oltre ad aver fissato la portata dell'acqua con le sue temperature di ingresso ed uscita, è necessaria la conoscenza della portata di aria secca con la sua temperatura ed umidità in ingresso; in altri termini, abbiamo il bisogno di caratterizzare la corrente d'aria in ingresso attraverso la conoscenza della sua temperatura ed umidità (oppure entalpia). Come è noto dalla fisica, sono proprio le misure di umidità che ci creano più problemi; a tale scopo potremmo pensare di utilizzare:  Un igrometro, apparecchiatura empirica che si basa sull'allungamento dei capelli  Un'apparecchiatura composta da un letto adsorbente (in grado, cioè, di trattenere il vapore d'acqua contenuto nella corrente gassosa) e da un misuratore volumetrico (per la determinazione della portata volumetrica del gas secco): conoscendo il peso del letto adsorbente prima e dopo il passaggio dell'aria siamo in grado di risalire all'umidità della corrente trattata In realtà, è possibile caratterizzare la corrente d'aria in ingresso attraverso due semplici misure di temperatura: una a bulbo asciutto ed una a bulbo bagnato. Per meglio comprendere il ragionamento, riportiamo il diagramma T,H con la curva di saturazione e le curve (ad andamento quasi rettilineo) a titolo costante; supponiamo, ora, di aver effettuato le misure opportune e di H conoscere la temperatura di bulbo umido Tbu e la temperatura di bulbo Y = cost asciutto Tba (questa non è altro che la temperatura tb dell'aria Hb = Hs Yb in ingresso): vogliamo vedere come questi due valori ci consentono di determinare il valore Yb di umidità dell'aria in ingresso. Si noti che, Tbu Tba ≡ tb T certamente, il punto caratterizzante l'aria in ingresso si trova sulla verticale per Tba; per individuarlo con precisione, basta considerare anche la temperatura di bulbo umido Tbu che, per il sistema aria-acqua, coincide con la temperatura di saturazione adiabatica: l'intersezione tra la verticale per Tbu e la curva di saturazione individua il punto caratteristico delle condizioni di saturazione e cioè l'entalpia Hs e l'umidità di saturazione Ys. 98

Poiché per il processo di saturazione adiabatica risulta Hb = Hs, il punto caratterizzante l'aria in ingresso è individuato dall'intersezione tra l'orizzontale passante per Hs e la verticale passante per Tba ≡ tb; in definitiva, abbiamo determinato il valore dell'umidità presente nella corrente d'aria considerata attraverso due semplici misure di temperatura: ribadiamo, ancora una volta, che tutto questo è possibile in quanto, per il sistema aria-acqua, il numero di Lewis è unitario e quindi è possibile affermare che il valore della temperatura di bulbo umido coincide con il valore della temperatura di saturazione adiabatica. Problemi di Verifica Abbiamo visto che per progettare una torre di raffreddamento è necessario indicare, tra le altre grandezze, un preciso valore sia per la temperatura tb sia per l'umidità dell'aria in ingresso Yb (cioè l'entalpia Hb). Si noti, però, che tali proprietà variano non solo nel corso delle diverse stagioni, ma anche durante lo stesso giorno; poiché, per il progetto della torre, vi è comunque la necessità di fissare dei valori precisi, allo scopo di minimizzarne le escursioni, si adottano come valori di progetto quelli ottenuti effettuando la media, relativamente al posto scelto, degli ultimi 5 anni. Riassumendo, le caratteristiche dell'aria sono variabili nel tempo; in particolare, la sua temperatura ed umidità (quindi la sua entalpia) dipendono dalle condizioni atmosferiche locali e dalla stagione: il valore dell'entalpia dell'aria utilizzato per il progetto della torre, si assume pari al valor medio calcolato sugli ultimi 5 anni. E' evidente, quindi, che una volta realizzata la torre non è per nulla detto che le caratteristiche dell'aria in ingresso siano uguali a quelle di progetto, anzi, è molto probabile che non lo siano affatto; il risultato è che certe volte le condizioni di lavoro sono più efficaci per cui la Tb di uscita dell'acqua è minore di quella di progetto ma, altre volte, le condizioni di lavoro sono meno efficaci per cui la Tb è maggiore di quella di progetto. Consideriamo, ora, una torre di altezza zT progettata per un valore Tb della temperatura dell'acqua in uscita e per un valore Hb dell'entalpia dell'aria in H ingresso; supponiamo di dover lavorare in un certo momento della giornata con una corrente d'aria di entalpia H* > Hb cioè con 1 caratteristiche differenti da quelle ipotizzate in fase H* 2 di progetto (aria con entalpia maggiore): vogliamo calcolare la temperatura di Hb uscita dell'acqua mantenendo invariata la portata di aria secca G. Tb T1 T2 Ta T 99

E' opportuno osservare che:  La retta di lavoro si sposta verso l'alto in quanto H* > Hb e resta parallela a se stessa dal momento che non variano le portate L e G (per cui non varia la pendenza)  Poiché la temperatura Ta di ingresso dell'acqua non varia, è logico aspettarsi un valore della temperatura dell'acqua in uscita più alto; del resto, fissata l'altezza zT della torre ed essendo aumentato il valore dell'entalpia dell'aria in ingresso, le forze spingenti sono diminuite Resta da stabilire, quindi, quale può essere il nuovo valore della temperatura dell'acqua in uscita; in base a quanto affermato potrebbe essere un qualsiasi valore posto a destra del valore di progetto Tb: ad esempio, tale valore potrebbe essere pari a T1 se la nuova retta di lavoro è la 1, oppure potrebbe essere pari a T2 se la nuova retta di lavoro è la 2. La nuova temperatura di uscita dell'acqua T* (corrispondente, cioè, all'entalpia H* dell'aria in ingresso), deve essere determinata per tentativi secondo la seguente procedura: 1. Nota l'entalpia H* dell'aria in ingresso (H* > Hb), si traccia la retta di lavoro 1; tale retta ha la stessa pendenza della retta di lavoro di progetto (in quanto non variano le portate L e G) e un estremo è dato dall'intersezione con la verticale passante per la temperatura Ta di ingresso dell'acqua di raffreddamento (anche tale valore non cambia e, del resto, dipende da ciò che accade negli scambiatori dell'impianto): l'altro estremo si ottiene come intersezione con l'orizzontale relativa al valore H* e ciò ci consente di individuare il valore di temperatura T1 2. Con la retta di lavoro 1 e con la coppia T1,Ta andiamo a valutare l'altezza della torre: otteniamo il valore z1 3. Se si verifica che z1 = zT e cioè l'altezza reale della torre coincide con quella calcolata con la nuova retta di lavoro 1, allora effettivamente la temperatura dell'acqua in uscita è proprio pari a T1 (cioè T1 ≡ T*) 4. Se risulta z1 > zT cioè l'altezza ottenuta con la retta di lavoro 1 è maggiore dell'altezza reale della torre, significa che per ottenere l'acqua alla temperatura T1 avremmo bisogno di una torre più alta; in altri termini, con la nostra torre e con l'entalpia H* dell'aria in ingresso, otteniamo una temperatura dell'acqua in uscita maggiore anche della T1: questo ci induce a considerare la nuova retta di lavoro 2 caratterizzata, appunto, da una T2 > T1. Invece, nel caso in cui z1 < zT avremmo dovuto considerare una nuova retta di lavoro in modo tale da individuare una temperatura T tale che Tb < T < T1. 5. A questo punto, non resta che iterare il ragionamento cioè si calcola l'altezza z2 e la si confronta con l'altezza reale zT: se si verifica che z2 = zT allora T2 ≡ T*, per cui tale temperatura 100

rappresenta il valore di uscita effettivo dell'acqua, altrimenti dovremo considerare una nuova retta di lavoro, spostandoci più a destra o più a sinistra in funzione del confronto tra z2 e zT (z2 > zT oppure z2 < zT). Il procedimento resta del tutto analogo anche nel caso in cui H* < Hb cioè quando l'entalpia dell'aria in ingresso risulta minore di quella di progetto; in questo caso, le condizioni di scambio migliorano e la temperatura dell'acqua in uscita può anche essere H inferiore a quella di progetto. Al solito si ha:  La retta di lavoro si sposta verso il basso in quanto H* < Hb e resta parallela a se stessa dal Hb momento che non variano le portate L e G (per cui non varia la pendenza) H*  Poiché la temperatura Ta di ingresso dell'acqua T* Tb Ta T non varia, è logico aspettarsi un valore della temperatura dell'acqua in uscita più basso; del resto, fissata l'altezza zT della torre ed essendo diminuito il valore dell'entalpia dell'aria in ingresso, le forze spingenti sono aumentate  Il metodo per la determinazione della temperatura dell'acqua in uscita è lo stesso di quello visto in precedenza Possiamo concludere che, in entrambi i casi (e cioè sia per H* > Hb che per H* < Hb), la nuova temperatura T* deve essere determinata per tentativi, in modo tale che l'altezza z* ottenuta valutando l'integrale tra T* e Ta coincida con la reale altezza zT della torre ottenuta valutando l'integrale tra Tb e Ta. Fino ad ora, non abbiamo modificato il valore della H portata G di aria secca, ma è evidente che intervenendo su tale valore siamo in grado di H* cambiare la pendenza della retta di lavoro e, quindi, la forza spingente; ad esempio, è Hb possibile compensare un * aumento di entalpia con un Tb T T1 Ta T aumento della portata gassosa: ciò può essere utile quando, con il metodo descritto in precedenza, otteniamo temperature di uscita dell'acqua troppo alte o comunque incompatibili con il processo di raffreddamento che si vuole realizzare, attraverso gli scambiatori, nell'impianto. 101

Formazione delle Nebbie Abbiamo visto in precedenza che, per le operazioni di trasferimento di calore e/o di materia, il punto di tangenza oppure quello di intersezione tra la retta di lavoro e la curva di saturazione (anche detta di equilibrio) rappresenta un punto in cui la forza motrice è uguale a zero e di H conseguenza le operazioni possono essere eseguite solo entalpia con apparecchiature di fase contatto infinitamente grandi gas (ad esempio, nel nostro caso dovremmo utilizzare una torre di raffreddamento di altezza infinita): l'annullarsi della forza motrice pone un limite al campo delle possibili Hb condizioni operative. Un'altra limitazione, spesso più restrittiva, alla Tb Ta TL variabilità delle condizioni Temperatura fase liquida operative si ha quando si formano Nebbie nella fase vapore, cioè quando la massa della fase gassosa diviene soprassatura: il trasporto di goccioline di liquido da parte del gas elimina la validità dei bilanci di materia e di energia e rende inutilizzabili i metodi matematici sviluppati. La formazione di Nebbie, quindi, rappresenta un serio inconveniente, perché la separazione delle goccioline dalla corrente gassosa è costosa e scomoda; inoltre, per sistemi diversi da quello aria-acqua la presenza di Nebbie può costituire sia un serio pericolo per la salute sia una perdita di tipo economico: ad esempio, la principale ragione per cui l'aria che viene inviata ad un impianto di produzione di acido solforico per contatto deve essere essiccata, è proprio quella di prevenire la formazione di Nebbie. Sul diagramma TL-H utilizzato fino ad ora non appare la temperatura della massa gassosa; se si potesse introdurre nel grafico TL-H una curva di t in funzione di H, il punto di intersezione di questa curva con il luogo delle condizioni all'interfaccia (curva di saturazione) rappresenterebbe il limite per la formazione di Nebbie, cioè il raggiungimento nella fase gas della saturazione. Se non si verifica tale intersezione la colonna è in grado di funzionare bene. Si noti che ogni punto della curva t-H indica la condizione della fase gassosa all'interno della colonna corrispondente ad una temperatura della fase liquida letta sulla curva TL-H per il medesimo valore dell'entalpia H. Se non si portasse in grafico la curva t-H si potrebbe inavvertitamente eseguire un progetto ottenendo, poi, una torre sbagliata a causa della formazione di Nebbie, anche se fosse ben dimensionata rispetto alle altre condizioni di processo. Per determinare il diagramma t-H relativo alla fase gassosa Mickley ha sviluppato un metodo grafico.

102

Consideriamo un volumetto scriviamo, ora, un bilancio calore sensibile nella fase (tali bilanci si riferiscono

elementare di colonna di altezza dz; entalpico relativo al trasferimento del gassosa ed un bilancio entalpico totale all'aria umida):

1)

G c dt = hG a S dz (Ts - t)

2)

G dH = 29 KG (Hs - H) a S dz

bilancio entalpico calore sensibile bilancio entalpico totale

Dividendo membro a membro tali espressioni, otteniamo che

Gcdt h aSdz T −t = G • s GdH 29KG aSdz H s − H

dt hG a T −t = • s 29 K G ac H s − H dH

a questo punto, ricordando che per il sistema aria-acqua Le ≅ 1 si ha

3)

T −t ∆t dt = s ≈ dH H s − H ∆H

in cui ∆ indica una differenza piccola ma finita; in altri termini l'espressione vista è tanto più vera quanto più piccoli sono i termini ∆t e ∆H. Da questa relazione, possiamo dedurre che la pendenza della tangente al profilo di temperatura dell'aria umida è pari alla pendenza del segmento dato da rapporto (Ts - t)/(Hs -H); questo ci consente di tracciare il profilo di temperatura dell'aria umida in colonna: si noti, infatti, che sul segmento (Ts - t)/(Hs -H) è possibile individuare un punto rappresentativo proprio dell'incremento di temperatura dell'aria umida in corrispondenza di un certo incremento di entalpia. Possiamo concludere, a questo punto, che se si conoscono le condizioni dell'aria umida ad una delle estremità della colonna, si può utilizzare un metodo a stadi per tracciare il luogo delle condizioni della fase gassosa lungo la colonna. Ricordiamo che l'acqua calda entra nella colonna alla temperatura Ta ed esce raffreddata alla temperatura Tb; questo raffreddamento è ottenuto mediante un flusso d'aria umida, in controcorrente, che entra alla base della colonna nelle condizioni tb,Hb: la temperatura dell'aria può essere maggiore, minore od uguale alla temperatura Tb dell'acqua ma deve essere necessariamente maggiore della temperatura di saturazione Tsb relativa al valore di entalpia Hb (del resto ciò è evidente perché, in tal caso, l'aria in ingresso si troverebbe già in condizioni di saturazione). Consideriamo il caso in cui tb > Tb cioè la temperatura dell'aria in ingresso è maggiore della temperatura dell'acqua in uscita; se concentriamo la nostra attenzione sulla sezione B di uscita dell'acqua (entrata dell'aria) possiamo individuare i seguenti punti: 103

 Fb(tb,Hb) rappresentativo delle condizioni di ingresso dell'aria  Rb(Tb,Hb) rappresentativo del punto della retta di lavoro relativo alla sezione B e, quindi, di valori Tb temperatura di uscita dell'acqua e Hb entalpia dell'aria entrante  Sb(Ts,Hs) rappresentativo delle condizioni di saturazione all'interfaccia liquido-gas nella sezione B Precisiamo, quindi, che dalla relazione 3) si deduce che la pendenza della curva t-H è uguale alla pendenza della retta che unisce il punto Fb(tb,Hb) con quello Sb(Ts,Hs) che rappresenta le condizioni all'interfaccia corrispondenti ai punti Fb(tb,Hb) Rb(Tb,Hb)(sezione B). È necessario precisare che, come abbiamo visto in precedenza, le condizioni all'interfaccia possono essere determinate tramite la relazione

Hs − H hL a =− 29 K G a Ts − T ma poiché la resistenza al trasporto è essenzialmente concentrata lato gas (hL>>KG) abbiamo che la temperatura di saturazione Ts si può ritenere praticamente uguale a quella del liquido TL; in altri termini, quindi, i valori di saturazione si ottengono dall'intersezione della verticale passante per il punto considerato della retta di lavoro con la curva di saturazione. Il procedimento a stadi è il seguente: S3

H S2

Ha

Fa

Ra

S1 Sb F3 R3 F2 R2 R1

F1

Hb Rb

Tb

Fb

tb

Ta

T

1. Con riferimento alla sezione B conosciamo i punti Fb(tb,Hb) (aria) e Rb(Tb,Hb)(retta di lavoro) mentre il punto rappresentativo delle condizioni di saturazione all'interfaccia Sb(Ts,Hs) in quella sezione si individua tracciando la verticale per Rb e individuando il punto intersezione con la curva di saturazione. Tracciamo il segmento SbFb e fissiamo su tale segmento il punto F1 rappresentativo delle condizioni dell'aria umida nella sezione 1 della torre: per il piccolo tratto Fb F1 si ritiene valida la relazione 3)

104

2. Si noti che l'aver fissato il punto F1 equivale ad aver assegnato un certo ∆H che ci consente la determinazione dei valori caratteristici di F1 e cioè t1 e H1. Le condizioni sulla retta di lavoro corrispondenti al punto F1(t1,H1) si trovano in R1(T1,H1) (intersezione del valore di entalpia costante H1 con la retta di lavoro); infatti, la temperatura T1 è la temperatura del liquido nella sezione della colonna in cui la fase gassosa si trova alla temperatura t1: al solito, l'intersezione tra la verticale per R1 e la curva di saturazione individua il punto S1 caratteristico delle condizioni di saturazione. Si unisce S1 con F1 e si assume arbitrariamente che il punto F2 rappresenti le condizioni dell'aria nella sezione 2 3. A questo punto si itera il procedimento costruzione indicata si ha che:

varie

volte;

con

la

 I punti Ri si trovano sulla retta di lavoro  I punti Fi si trovano sulla curva che è il luogo delle condizioni della fase gassosa  La curva luogo delle condizioni dell'aria umida termina nel punto Fa in corrispondenza dell'entalpia del gas uscente (sezione A)

In definitiva, la formazione di Nebbie si determina quando il profilo delle condizioni dell'aria umida all'interno della torre interseca la curva di saturazione del diagramma psicrometrico.

Ovviamente, una costruzione grafica del tipo visto determina un accumulo degli errori dovuti all'impiego delle differenze finite al posto dei differenziali; possiamo comunque affermare che ciascun segmento della curva Fb Fa rappresenta la retta tangente alla curva reale luogo delle condizioni della fase gassosa: scegliendo segmenti Fb F1, F1 F2, F2 F3 ecc… sempre più piccoli, avvicinandosi sempre più a tratti infinitesimi, gli errori divengono di minore entità e si tende al luogo effettivo delle condizioni della fase gas. Si noti, inoltre, che la curvatura della curva trovata utilizzando le differenze finite è minore di quella reale allorché la costruzione viene iniziata a partire da una qualsiasi delle estremità della colonna; un modo per avvicinarsi maggiormente alla curva effettiva consiste nel costruire la curva a gradini partendo da entrambe le estremità della colonna e tracciando, poi, una curva che abbia pendenza intermedia rispetto a quelle costruite.

105

Osserviamo che la costruzione di Mickley utilizza due rette; fissata la sezione della torre, una retta di equazione

4)

Hs − H hLa = − 29 K G a Ts − T

collega il punto Ri, appartenente alla retta di lavoro, con il punto corrispondente alla condizione di saturazione all'interfaccia Si nella stessa sezione (tale retta è verticale in quanto hL>>KG) mentre l'altra retta di equazione

5)

dt h a Ts − t = G • dH K G ac H s − H

e che poi conduce alla relazione 3), collega il punto Fi rappresentante delle condizioni dell'aria umida nella sezione considerata con lo stesso punto Si caratteristico delle condizioni di saturazione all'interfaccia. Vogliamo analizzare tali espressioni:  Nella relazione 4) il rapporto tra la forza motrice entalpica relativa alla fase gas e la forza motrice termica relativa alla fase liquida è uguale al rapporto tra il coefficiente di trasporto di calore fase liquida e il coefficiente di trasporto di materia fase gas; in altri termini, la pendenza di tale retta è data dal rapporto tra i coefficienti di trasporto di calore fase liquida e di materia fase gas  Nella relazione 5) si ha che la pendenza di una linea coniugata congiungente un punto del luogo delle condizioni di una fase (nel nostro caso fase gas) con il punto delle corrispondenti condizioni all'interfaccia (condizioni di saturazione) è uguale ad una costante (numero di Lewis) moltiplicata per la pendenza della curva delle condizioni della fase stessa (espressa come rapporto tra la forza motrice termica relativa alla fase gas e la forza motrice entalpica relativa alla fase gas) In definitiva, la differenza fondamentale tra queste due relazioni deriva dalle quantità a cui si riferiscono; infatti, la 4) pone in relazione la quantità totale di calore trasferita alla fase gas sia per trasporto termico che per trasporto di materia con la quantità totale di calore trasferita al liquido, mentre la 5) pone in relazione la quantità di calore trasferita alla fase gas con il solo trasporto termico con la quantità totale di calore trasferita alla fase gas sia per trasporto termico che per trasporto di materia. In conclusione, il luogo delle condizioni della fase gas è fondamentalmente diverso dalle linee di lavoro incontrate nei calcoli relativi al trasporto di calore e/o di materia. 106

Abbiamo detto che la temperatura dell'aria tb in ingresso può essere maggiore, minore od uguale alla temperatura Tb dell'acqua in uscita ed abbiamo visto come realizzare la costruzione di Mickley nel caso in cui tb > Tb; eseguiamo, a titolo di completezza, tale costruzione anche per tb = Tb e per tb < Tb

H S3 S2 S3

Ha

S1

Ra

Sb

Fa

S2 Ha

S1

Ra

Sb

Fa F3

F3 R3

F2

F2

R2

F1 R2

F1

R3

R1

R1

Hb Fb

Rb

Hb Rb≡Fb

Tb=tb

Ta

T

tb

Tb

Ta T

Considerazioni conclusive Attualmente le torri di raffreddamento sono alte qualche metro e si presentano molto compatte; tali caratteristiche derivano da alti valori dei coefficienti di scambio e della superficie specifica: infatti, mentre le vecchie torri in muratura mantenevano alti tali valori utilizzando un riempimento leggero con lo scopo di ridisperdere l'acqua in caduta dall'alto, le nuove apparecchiature utilizzano per gli stessi scopi dei getti d'acqua finemente dispersi. Ciò comporta, però, notevoli spese per il pompaggio dell'acqua ma, soprattutto, forti problemi di inquinamento acustico (anche se si riesce a contenere il tutto intorno ai 70 decibel si è comunque fuori normativa). Un'altra caratteristica attuale, derivante anche dalle caratteristiche di compattezza appena viste, è quella di preferire la realizzazione di più unità disposte in parallelo piuttosto di un'unica grande torre; in questo modo si realizza un'apparecchiatura più flessibile rispetto alla variazione dei valori delle portate d'acqua da trattare.

107

Per quanto riguarda la posizione più conveniente per i ventilatori, bisogna dire che la disposizione in testa alla torre (i ventilatori lavorano in aspirazione) è certamente da preferire rispetto a quella alla base della torre (i ventilatori lavorano in compressione); si noti, infatti, che con i ventilatori alla base della torre si corre il rischio di risucchiare l'aria calda ed umidificata appena fuoriuscita dalla torre stessa e che tende a depositarsi negli strati bassi dell'atmosfera. Disponendo i ventilatori in testa, invece, è possibile inviare più facilmente negli alti strati dell'atmosfera l'aria già utilizzata evitando, così, il rischio di aspirare alla base l'aria fuoriuscita dalla torre. Nelle torri di raffreddamento è possibile realizzare varie modalità di contatto tra fase gas e fase liquida: L

L

1°

2° Fase continua

Fase continua

Gas

liquido e gas

Fase discontinua

liquido

3° G

G

Fase continua

liquido Fase discontinua

gas

L

G G Si osservi che il nostro scopo è quello di realizzare uno scambio di materia estremamente intenso, ma ciò dipende:  Dalla superficie di scambio  Dal coefficiente di scambio (è opportuno adottare un moto turbolento) Adottando le prime due modalità di scambio, si realizza un'estesa superficie di scambio con condizioni di moto turbolente (in particolare, nel 2° caso è opportuno realizzare bolle piccole); l'unico inconveniente è che il rapporto tra le portate volumetriche liquido-gas è grande, per cui è necessario aumentare la sezione di passaggio della torre (ma anche il numero di ugelli in particolare nel 2° caso): del resto, la velocità del gas non può aumentare per evitare fenomeni di trascinamento del liquido. Il terzo caso è da escludere in quanto, pur consentendo il passaggio di grandi portate, la superficie di scambio è piccola e stagnante; tale inconveniente è risolto utilizzando le torri a riempimento: la superficie di scambio è costituita dalla superficie del liquido che percorre il riempimento stesso e che viene disposto su vari piani, mentre la turbolenza si realizza grazie alla caduta del liquido da un piano all'altro.

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Un'ultima considerazione: la teoria vista sul funzionamento delle torri di raffreddamento può essere utilizzata senza sostanziali variazioni anche per descrivere il processo di essiccazione di un solido imbevuto d'acqua. Il solido da essiccare deve essere investito da una corrente di aria calda; a causa della differenza di umidità si determina una diffusione di vapore dal solido all'aria: il raffreddamento del solido a causa della vaporizzazione dell'acqua viene compensato da un trasferimento di calore per conduzione dall'aria al solido in modo tale da lasciare inalterate le condizioni di temperatura ed umidità all'interfaccia (cioè, il flusso termico dovuto al trasporto di materia dal solido al gas viene compensato dal flusso termico conduttivo dal gas al solido). Se la corrente d'aria che investe il solido è fredda, il raffreddamento del solido, non più compensato, determina una diminuzione del valore dell'umidità all'interfaccia con conseguente diminuzione della forza spingente che determina il trasporto di materia: alla fine si viene a determinare il blocco della vaporizzazione dall'acqua di cui il solido è impregnato.

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