11. Teorema de Rolle.pdf

VIII 1. Aplicar Aplicar el Teorema eorema del valor intermedio intermedio para funciones continuas continuas y el Teorema Teorema de Rolle para 3 demostrar demostrar que la ecuaci´on on x + x − 1 = 0  tiene una y solamente una soluci´on on real.

=  f (b). funcion o´ n continua tal que  f (a)   Teorema del valor intermedio:  Sea  f  : [a, b]  → R, una funci´ Para cada n´umero real y 0  entre  f (a) y  f (b), existe  x 0  entre  a  y  b  tal que f (x0 ) =  y 0 . Aqu´ Aqu´ı hay una demostraci demostraci´on: o´ n: http://en.wikipedia.org/wiki/Bolzano%27s_theorem.

Teorema de Rolle: Sea f  : [a, b] → R, una funci´on on continua en [a, b]  y derivable en ]a, b[. Si f (a) =  f (b)=0, entonces existe  c  en  ]a, b[  tal que f  (c) = 0 . 

Soluci´ Solucion: o´ n:  Sea  f  : R → R, con f (x) =  x 3 + x − 1. Claramente f  es derivable (y continua). Como f (0) = −1, f (1) = 1, f   es continua en [0, 1] y −1 < 0 < 1  entonces, por el Teorema del valor intermedio, debe existir al menos un n´umero  x 0  entre  0  y  1  tal que  f (x0 ) = 0, es decir,  f  posee al menos un cero real lo cual equivale a decir que la ecuaci´ ecuacion o´ n dada tiene (al menos) menos) una soluci solucion ´ real. Sean  a  y  b  dos n´umeros reales distintos cualesquiera, con  a < b. Como  f  es continua en  [ a, b] y derivable en  ] a, b[, si f (a)  fuese igual a f (b), por Teorema de Rolle, existir´ existir´ıa ıa (al menos) un numero u´ mero c  entre a  y  b  tal que f  (c) = 0 , lo cual (claramente) no puede ocurrir pues  f  >  0 . De lo anterior se tiene que si  x 1  y  x 2  son dos n´ numeros u´ meros reales distintos entonces necesariamente debe = f (x2 ), o sea  f  es una funci´ ocurrir que  f (x1 )  funcion o´ n inyectiva, y por tanto, existe solamente un numero u´ mero x 0  (la existencia est´ esta´ justificada en el p´ parrafo a´ rrafo anterior) tal que  f (x0 ) = 0. 



2. Si f (x0 ) = x0  se dice que x0  es un punto fijo para la funci´on on f  . Sea g : [1, 2] → [0, 3] una funci´ funcion o´ n continua tal que  g (1) = 0  y  g (2) = 3 , demostrar que  g  tiene un punto fijo.

Soluci´ Solucion: o´ n: Sea h(x) = g(x)  −  x . Como h  es continua y −h(1) = h(2) = 1, por Teorema del valor intermedio,  h  se anula en alg´ algun u´ n punto x0  entre 1  y  2 y por tanto  g  tiene un punto fijo.

VIII 3. ¿Es posible definir una funci´on continua f , tal que  f ([0, 1]) =]0, 1]?.

Nota:  El conjunto de todas las im´agenes de un conjunto A  por una funci´on f  se define como f (A) =  { f (x) :  x  ∈  A }. Teorema de los valores extremos: Sea f  : [a, b] → posee extremos absolutos en [a, b].

R   una

funci´on continua, entonces f 

Algunas observaciones sobre el Teorema de los valores extremos Observaci´o n 1:   En el Teorema la hip´otesis sobre la continuidad es sobre el intervalo [a, b], pues se dice que una funcio´ n es continua cuando lo es cada punto de su dominio y en este caso el dominio es [a, b]. Observaci´on 2:   El Teorema asegura que una funci´on continua sobre un intervalo cerrado y cotado alcanza un m´aximo absoluto y un m´ınimo absoluto, es decir, que existen, x1 y x2 en [a, b]  tales que  f (x1)  ≤  f (x)  ≤  f (x2 ), para todo  x  en  [a, b]. Observaci´o n 3:  El Teorema asegura que el conjunto f ([a, b])  posee un m´aximo y un m´ınimo (debe notarse la diferencia entre supremo y m a´ ximo de un conjunto), el supremo de un conjunto no necesariamente est´a en el conjunto, mientras que el m´aximo (el mayor de los elementos del conjunto) s´ı. Soluci´on:  No, porque, seg´un el Teorema anterior,  f ([0, 1])  deber´ıa tener m´ınimo. 4. Sea  f  :]a, b[→ R derivable y tal que  | f  (x)| ≤ M . Demostrar que para todo  x  e  y en  ] a, b[, se tiene que |f (x) − f (y )| ≤  M  | x − y |. 

Teorema de valor medio: Si f  : [a, b] →

una funcio´ n continua en [a, b]   y derivable f (b) − f (a) =  f  (c). en ]a, b[, entonces existe un punto c  entre  a  y  b  tal que b−a R  es



Soluci´on:  Por el Teorema anterior, para cada  x  e  y  en  ]a, b[, existe  z  en  ]x, y [  tal que 

f (x) − f (y ) =  f  (z )(x − y ) Al tomar valores absolutos y tener en cuenta que |f  (z )| ≤  M  se obtiene la desigualdad. 

http://www.udec.cl/˜egavilan