1.1 Problemas Matemáticos y Sus Soluciones
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1.1. Problemas matemáticos y sus soluciones.
En las matemáticas hay diversos tipos de problemas a abordar.
La naturaleza de cada uno de ellos, es totalmente distinta.
Para analizarlos podemos valernos de algunos “formatos de modelado y de soluciones” ya establecidas.
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Raíces de ecuaciones
Estos
problemas
se
relacionan con el valor de una variable o de un parámetro ue satisface una ecuaci!n no lineal.
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Raíces de ecuaciones
Estos
problemas
se
relacionan con el valor de una variable o de un parámetro ue satisface una ecuaci!n no lineal.
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Raíces de ecuaciones
"on especialmente valiosos en proyectos de ingenier#a, donde
con
frecuencia
resulta imposible despe$ar de manera anal#tica los parámetros
de
ecuaciones de dise%o.
las
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Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
En esencia, se trata de problemas similares a los de ra#ces de ecuaciones, en el sentido de ue están relacionados con valores ue satisfacen ecuaciones.
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Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
En particular, se originan a partir de modelos matemáticos de
grandes
elementos
sistemas
de
interrelacionados,
tal como estructuras, circuitos el&ctricos y redes de flu$o.
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Optimización
En estos problemas se trata de determinar el valor o los valores de una variable ue
independiente
corresponden
al
“me$or” o al valor !ptimo de una funci!n.
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Optimización
La optimizaci!n considera la
identificaci!n
de
má'imos y m#nimos.
(ales
problemas
se
presentan com)nmente en el conte'to del dise%o en ingenier#a.
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Ajuste de curvas
"e aplica a un con$unto de datos representados por puntos.
Las t&cnicas desarrolladas para tal prop!sito se dividen en dos categor#as generales* regresi!n e interpolaci!n.
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Ajuste de curvas
La regresi!n se emplea cuando hay un significativo grado de error asociado con
los
frecuencia
datos+ los
con datos
e'perimentales son de este tipo.
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Ajuste de curvas
En contraste, la interpolaci!n se utiliza cuando el ob$etivo es
determinar
valores
intermedios entre datos ue est&n, relativamente, libres de error. (al es el caso de la informaci!n tabulada.
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Integración
Es la determinaci!n del área ba$o la curva.
(iene diversas aplicaciones en la práctica de la ingenier#a.
Las
f!rmulas
num&rica importante
de
integraci!n
desempe%an en
la
un
papel
soluci!n
ecuaciones diferenciales.
de
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
(ienen una enorme importancia en la práctica de la ingenier#a, lo cual se debe a ue muchas leyes f#sicas están e'presadas en t&rminos de la raz!n de cambio de una cantidad, más ue en t&rminos de la cantidad misma.
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
"irven para caracterizar sistemas de ingenier#a, en los ue el comportamiento de una cantidad f#sica se e'presa en t&rminos de su raz!n de cambio con respecto a dos o más variables independientes.
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ODE!O A"E#"I$O
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odelo matem%tico simple
"e define, de manera general, como una formulaci!n o una ecuaci!n ue e'presa las caracter#sticas esenciales de un sistema f#sico o de un proceso en t&rminos matemáticos.
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odelo matem%tico simple
En general, el modelo se representa mediante una relaci!n funcional de la forma*
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Proceso de soluci!n de problemas de ingenier#a.
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n e$emplo de modelado simple, es la ecuaci!n*
-onde* la variable dependiente. t es la variable independiente. c y m son parámetros. g es la funci!n de fuerza.
v(t) es
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E$emplo de "oluci!n anal#tica n paracaidista con una masa de /.1 0g salta de un globo aerostático fi$o. pliue la ecuaci!n*
para calcular la velocidad antes de ue se abra el paraca#das. 2onsidere ue el coeficiente de resistencia es igual a 13.4 0g5s.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica -atos* 6ravedad* 7./ m5s. 8asa del paracaidista* /.1 0g. 2oeficiente de resistencia* 13.4 0g5s.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica l sustituir los valores de los datos en la ecuaci!n anterior, se obtiene*
ue sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica " &seg'
( &m)s' ( &mi)s'
9
9.99
3
1.:9
: / 19 13 ;
9.99
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
-e acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera rápidamente.
"e alcanza una velocidad de ::./< m5s despu&s de 19 s.
-espu&s de un tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidad terminal o velocidad l#mite de 4=.=7 m5s.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
La velocidad se hace constante porue, despu&s de un tiempo, la fuerza de gravedad estará en euilibrio con la resistencia del aire.
Por lo anterior, la fuerza total es cero y cesa la aceleraci!n.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
la ecuaci!n
se le llama soluci!n anal#tica o e'acta ya ue satisface con e'actitud la ecuaci!n diferencial original.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica 2omo se mencion! anteriormente, los m&todos num&ricos pueden replantear esta e'presi!n a algo más sencillo. Para el e$emplo anterior, de la "egunda Ley de >e?ton, tenemos ue*
@sta, es una apro'imaci!n en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo t . i
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
-onde* y ∆t son diferencias en la velocidad y en el tiempo. v(t i ) es la velocidad en el tiempo inicial t i . v(t i +1) es la velocidad alg)n tiempo más tarde t i A l.
∆v
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
B pro'imaci!n
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E$emplo de "oluci!n anal#tica Cgualando las ecuaciones* y tenemos ue* reordenando*
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E$emplo de "oluci!n anal#tica Resuelva el mismo problemas del paracaidista pero, ahora, utilizando la ecuaci!n*
obtenida anteriormente. tilizando los datos anteriores*
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
l iniciar con los cálculos D t B 9, la velocidad del paracaidista es igual a cero. La velocidad en . i
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
Para el siguiente intervalo Dde t B 3 a : s, se repite el cálculo y se obtiene*
"e contin)a con los cálculos de manera similar para obtener los valores siguientes*
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
2omparando las dos tablas obtenidas, tanto anal#tica como por la apro'imaci!n, tenemos*
"ol. nal#tica
"ol. pro'imaci!n
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
2omo se puede ver, el m&todo num&rico se apro'ima bastante a la soluci!n e'acta.
na forma de reducir estas diferencias consiste en usar un tama%o de paso menor.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
Por e$emplo, si se aplica la ecuaci!n con intervalos de 1 s, se obtendr#a un error menor, ya ue los segmentos de recta estar#an un poco más cerca de la verdadera soluci!n.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
2on los cálculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez más peue%os har#a poco prácticas tales soluciones num&ricas.
2on incrementos cada vez más peue%os, se podr#a modelar con más e'actitud la velocidad del paracaidista ue cae, sin tener ue resolver la ecuaci!n diferencial en forma anal#tica Duso de ordenador.
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E$emplo de "oluci!n anal#tica
Fbtener un resultado num&rico más preciso tiene un costo en t&rminos del n)mero de cálculos.
2ada divisi!n a la mitad del tama%o de paso para lograr mayor precisi!n nos lleva a duplicar el n)mero de cálculos.
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