11. Distribuciones multidimensionales

Distribuciones multidimensionales III examen parcial

Distribución de probabilidad conjunta La distribución de probabilidad conjunta de la  variable aleatoria discreta k-dimensional (X1,X2, …, Xk ), denotada por f X1, X2, …, Xk (x1,x2, …, xk ) esta dada por: f X1, X2, …, Xk (x1,x2, …, xk ) = P (X1= x1, X2=x2, …, Xk =xk ) para (x1,x2, …, xk ) ∊ IR k . Por simplificación se usará la notación f (x 1,x2, …, xk ) en lugar de f X1, X2, …, Xk (x1,x2, …, xk )

Ejemplo Ejem plo pági página na 127

1

• En el primer semestre de un año, el padrón de estudiantes de una escuela universitaria tiene 250 estudiantes activos en el bachillerato. Se les clasifica en 4 grupos: los de primer, segundo, tercero y cuarto año. Los datos se resumen en la siguiente tabla: Grupo Nº de estudiantes 1

100

2

70

3

50

4

30

Ejemplo Ejem plo pági página na 127

2

• Se extrae una muestra de 20 estudiantes, entonces sea • X1:Nº de estudiantes de primer año • X2:Nº de estudiantes de segundo año • X3:Nº de estudiantes de tercer año • X4:Nº de estudiantes de cuarto año La distribución de probabilidad conjunta de (X 1,X2, X3, X4) es

Distribuciones marginales de distribuciones k-dimensionales • Dada una distribución conjunta cualquiera f (x 1,x2, …, xk ) se pueden calcular muchas distribuciones marginales. Por ejemplo para k=4 se pueden calcular las siguientes marginales simples f(x 1), f(x2), f(x3) y f(x4), además de las marginales conjuntas f(x1 ,x2), f(x1 ,x3), f(x1 ,x4), f(x2 ,x3), f(x2 ,x4), f(x1 ,x2 , x3), f(x1 ,x2 , x4), f(x2 ,x3 , x4)

Ejemplo • Para el caso del padrón de estudiantes de una escuela universitaria podríamos calcular f(x 2) y f(x1 , x4)

Distribuciones condicionales • Dada una distribución conjunta cualquiera f (x 1,x2 , …, x k ) se pueden calcular muchas distribuciones condicionales. Por ejemplo para k=4 se pueden calcular las siguientes condicionales: f(x1 | x2 ,x3 , x4), f(x1 ,x4|x2 ,x3), f(x2 |x3) entre otros.

Ejemplo

• Siguiendo con el ejemplo del padrón de una escuela universitaria visto anteriormente calcule la distribución condicional de X 1 y X3  dadas X2 = x2 y X4= x4, es decir, f(x1 ,x3|x2 ,x4).

Valor esperado de una variable aleatoria k-dimensional • Teorema 1: Si (X1,X2, …, Xk ) es una variable kdimensional con distribución de probabilidad f(x1,x2, …, xk ) y g(x1,x2, …, xk ) es una función cualquiera, el valor esperado de g(X1,X2, …, Xk ), denotado por E[g(X1,X2, …, Xk )] se calcula como: • E[g(X1,X2, …, Xk )] = ! g(x1,x2, …, xk ) f(x1,x2, …, xk ), para todos los posibles valores de (X 1,X2, …, Xk ). • Prueba: análoga al caso bidimensional (se omite)

Función generatriz de momentos • Definición: La función generatriz de momentos conjunta de (X1,X2, …, Xk ) , se define como: • m X ,X 1

2, …, Xk 

(t1,t2,…,tk ) =E(et1 X1+…+tk xk ) con

-hi < ti0, i=1,2,…,k

Valores esperados de combinaciones lineales • Teorema 2: E[a1X1+ a2X2+ … + anXn]= a1E[X1] + a2E[X2]+ …+ anE[Xn] Prueba: E[a1X1+ a2X2+ … + anXn]= ! (a1X1+ a2X2+ … + anXn) f(x1,x2, …, xk ) = ! a1X1 f(x1,x2, …, xk ) + a2X2 f(x1,x2, …, xk )+ …+ anXn f(x1,x2, …, xk ) = ! a1X1 f(x1,x2, …, xk )+! a2X2 f(x1,x2, …, xk ) + …+ ! anXn f(x1,x2, …, xk ) = a1! X1 f(x1,x2, …, xk )+a2 ! X2 f(x1,x2, …, xk ) + …+ an! Xn f(x1,x2, …, xk ) = a1E[X1] + a2E[X2]+ …+ anE[Xn] Corolario: E[X1+ X2+ … + Xn]= E[X1] + E[X2]+ …+ E[Xn] Como ejercicio

Teorema 3 • Corolario 1

• Corolario 2 • Si X1,X2, …, Xn son variables aleatorias independientes, entonces

Teorema 4

• Prueba

Ejemplo página 131 Suponga que para las variables aleatorias X 1,X2,X3 se tiene que E(X1) = 4, E(X2) = 9, E(X3) = 3,  Var(X1) = 3, Var(X2) = 7, Var(X3) = 5, Cov(X1, X2) =1, Cov(X2, X3) =– 2, Cov(X1, X3) =– 3.  Además sea Y=2X1– 3X2+X3, Z=X1+ 2X2–X3. Calcule los siguientes valores esperados a) E(Y)  b)  Var(Y) c) Cov(Y, Z)

Solución • a) E(Y) = 2(4) – 3 (9) + 4(3) = -7. • b) Var(Y) =4(3) + 9 (7) +16(5) -2(6) (1) +2(8)(-3) – 2 (12) (-2) = 143. • c)

Valor esperado y variancia muestrales en el muestreo aleatorio simple 1 • Teorema 5: Suponga que una población consta de N unidades, U1, U2, …, Un  y que los valores respectivos que toma una variable X en esas unidades son x1,x2, …, xN. Sean u1,u2, …, un, las n unidades de una muestra aleatoria simple seleccionadas en ese orden y X 1,X2, …, Xn  los  valores respectivos de la variable X en esas n unidades. Entonces la media muestral satisface

Valor esperado y variancia muestrales en el muestreo aleatorio simple 2

Prueba

1

• X1  puede tomar los valores x 1,x2, …, xN cuyas respectivas probabilidades son 1/N, 1/N, …, 1/N.  Análogamente sucede para X2,X3, …, Xn  pues tienen la misma distribución de probabilidad de X1 . Por su parte, (X1,X2) puede tomar los valores (xi, x j) con probabilidad 1/N(N-1) (suponiendo muestreo sin reemplazo); lo mismo ocurre para cualquier par de variables (Xa,X b) con a" b.

Prueba

2

• Porque todas las variancias son iguales, lo mismo que las covariancias

Prueba

• Por tanto

3

Muestra aleatoria • Definición: Se dice que n variables aleatorias X1,X2, …, Xn  constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución de probabilidad discreta f(x), si las variables son independientes  y la distribución de probabilidad de cada una es f(x). Es decir, si su distribución de probabilidad conjunta f (x1,x2, …, xn) se puede expresar como: • f (x1,x2, …, xn) = f(x1) f(x2) … f(xn)

Ejemplos de la página 135 • Sea X1, el número de puntos obtenido al lanzar un dado y X2 el número de puntos obtenido al lanzar de nuevo el dado.  A) Halle la distribución de probabilidad f(x). B) (X1, X2) es una muestra aleatoria de f(x), halle la distribución de la muestra. • Suponga que (X1, X2) es una muestra aleatoria de una distribución de Bernoulli, halle la distribución de la muestra.

Teorema 6 • Si (X1,X2, …, Xn) es una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad f(x) con media µ y variancia #2, se cumple que

• Prueba se omite

Distribución Multinomial • Sean X1,X2, …, Xk variables aleatorias. Se dice que dichas variables tienen una distribución multinomial y nos referimos a ellas como  variables aleatorias multinomiales si y solo si su distribución de probabilidad conjunta esta dada por

Ejemplo: Tomado de Miller & Miller (1999) página 199 • En una cierta ciudad hay tres estaciones de televisión. Durante el horario de máxima audiencia del sábado en la noche, el canal 12 tiene el 50% de audiencia, el canal 10 el 30% y el canal 3 el 20%. Encuentre la probabilidad de que en una muestra de 8 televidentes en esa ciudad elegidos aleatoriamente durante el (prime time) del sábado en la noche 5 vieran canal 12, 2 canal 10 y 1 canal 3.

Ejemplo Una empresa lechera desea conocer la opinión que se tiene sobre sus tres productos estrella,  yogurt light, queso crema y helado de yogurt. Las preferencias a cerca de los productos son del 10%, 30% y 40% respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 personas tres prefieran el yogurt light, dos prefieran el queso crema y tres el helado de  yogurt?

Ejemplo página 137 En un hogar viven 4 adultos: 2 están con el candidato A, uno con el candidato B y uno con el candidato C. Se selecciona una muestra con reemplazo de tres personas y se anotan los nombres de los candidatos que apoyan, sea X 1: el número de veces que sale A, X 2: el número de  veces que sale B y X3: el número de veces que sale C. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de X 1, X2 y X3 ?

Teoremas relativos a la distribución multinomial 1 Si las variables X1,X2, …, Xk  se distribuyen como una multinomial de parámetros n y p 1, p2, …, pk  entonces: 1. La distribución de probabilidad marginal de X i es  binomial de parámetros n y pi. 2. La distribución de probabilidad de X i + X j , i" j, es  binomial de parámetros pi + p j. 3. La distribución condicional de X i dado X j=x j , i" j, es binomial de parámetros n – x j y pi /(1 – p j)

Teoremas relativos a la distribución multinomial 2 4. Cov (Xi + X j ) = – n pi p j para i" j. 5. La generatriz de momentos conjunta de X 1,X2, …, Xk  es:

Pruebas

1

• 1) Considere un experimento aleatorio que puede producir k diferentes resultados denotados por s1,s2,…,sk , con probabilidades respectivas y p 1, p2, …, pk   y cuya suma es 1. Suponga que el experimento se repite n veces, de manera que los eventos son mutuamente independientes. Sea X i : el número de veces que ocurre el resultado si en las n repeticiones, con xi 0 0,1,…,n y p(si) = pi en cada repetición. Por tanto, X i es una variable con distribución binomial de parámetros n y p i.

Pruebas

2

2. Sea Y = Xi + X j . Y es el número de veces que ocurre si o s j en las n repeticiones del experimento, con P (si o s j ) = pi + p j en cada repetición. Por tanto, Y se distribuye como una binomial de parámetros n y p i + p j . 3. Tómese el caso i= 1, j = 2. Sea y = n –X 1 – X2. Las  variables X1 , X2, Y se distribuyen como una multinomial de parámetros n, p 1 , p2 y 1 – p1 – p2 . Esto sucede por que en cada repetición del experimento solo se consideran tres resultados posibles a saber s1, s2  y todos los demás (s 3, s4,…, sk ) con probabilidades p 1 , p2 y 1 – p1 – p 2 , respectivamente.

Pruebas

3

Pruebas

4

• 4. Como Xi + X j es una binomial de parámetros n  y pi + p j , además Xi  es una binomial de parámetros n y pi  , análogamente X j  es una  binomial de parámetros n y p j:

Pruebas

5

• Igualando las dos expresiones de Var(X i, X j) se obtiene

Pruebas • 5.

6

Distribución Hipergeométrica kdimensional • Suponga que las variables X 1,X2, …, Xk tienen una distribución hipergeométrica k-dimensional si ésta tiene la forma:

• Con xi = 0,1,…, n, xi $ Ni para i = 1,2, …, k 

Ejemplo

1

•  En un equipo de futbol con 12 jugadores, han hecho una comisión de 4 representantes. En la  plantilla hay 3 delanteros, 3 mediocampistas y 6 defensas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 delanteros y 2 mediocampistas? 

Ejemplo (Miller y Miller pag 201) • En una lista para candidatos a ser jurados hay 6 hombres casados, 3 solteros, 7 mujeres casadas y 4 solteras. Suponga que se hace una selección aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el  jurado consista de 4 hombres casados, un hombre soltero, 5 mujeres casadas y 2 mujeres solteras?

Transformación de variables aleatorias discretas 1 • Sean X y Y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(x,y). Sea A el conjunto de puntos (x,y) donde f(x,y) > 0. Se definen dos nuevas  variables aleatorias mediante la transformación. •  W = u1 (x, y) • Z = u2 (x, y) Definidas de A en B. Suponga además que la transformación es biunívoca, entonces, la distribución de probabilidad conjunta de la variable  bidimensional (W,Z) es

Transformación de variables aleatorias discretas 2

• Donde: x = v 1 (w, z), y = v 2 (w, z) son las inversas de  w = u1 (x, y), z = u2  (x, y). Para obtener las distribuciones de probabilidad de W y de Z, se obtienen las marginales de W y Z de la distribución conjunta g(w,z). Lo anterior se puede generalizar para X1 ,X2 , …, Xn, cuando se desea encontrar la distribución conjunta de n variables nuevas Y 1 ,Y 2 , …, Y n, definidas en función de las X i.

Ejemplo página 142

1

• Sea la distribución de probabilidad conjunta f(x,y) definida por

• Suponga que se desea encontrar la distribución de probabilidad de una nueva variable aleatoria  W = XY. Para resolver el problema considere la siguiente transformación

Ejemplo página 142

2

 w = xy z = y. • Se elige z = y, para que la transformación w =xy, z=  y, sea biunívoca. Así entonces, tenemos que • A = {(x,y)|f(x,y)} = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} • B = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (4,2), (6,3), (3,1), (6,2), (9,3)}

Ejemplo página 142

3

• A cada par (x,y) de A le corresponde un único par (w,z) de B, por ejemplo el par (2,3) de A le corresponde el par (6,3) de B (w = xy, z = y). Así mismo, un par (w,z) de B le corresponde según la transformación , el único par x=w/z, y=z, Por lo que, para (w,z) ! B, los valores de g(w,z) están dados por

Ejemplo página 142

4

• Los valores de g(w,z) y la distribución de probabilidad de W, g(W) se presentan en la siguiente tabla z

1

2

3

g(w)

1

1/36

0

0

1/36

 w  2 3

2/36

2/36

0

4/36

3/36

0

3/36

6/36

4

0

4/36

0

4/36

6

0

6/36

6/36

12/36

9

0

0

9/36

9/36