11 Derivada de La Función Compuesta PDF
July 4, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIVERSIDAD UNIV ERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN - T
Tema: Der Derivada ivada de la x) compuesta Escuela Profesional: Ingeniería Ambiental Asignatura: Matemática I Docente: Ing. Mg. S. A. Reyes U
Contenido •
Derivada de una función compuest compuesta a
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Derivación implícita
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Derivadas de orden superior Ejercicios.
Derivada de una función compuesta Regla de la cadena
5 8 entonces Si consideramos las ecuaciones = , = 5 puede escribirse "y" como = ( ) . En igual forma, si = , = 4 5 2 entonces puede expresarse "y" como = 4 5 2.
() ) entonces = ( () ) . En general, si = , = ( Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones: = , / = ( ()) = (, )/ = ()
ℎ = (, )/ = [ [ ]
La función la cual recibe ibe[ el nombre nom de fun función ción [ ] rec compues comp uesta tahypara se escr escribe ibe ==()() = ] bre de Observe que los elementos del dominio de h son los x los x que que pertenecen al dominio de la función g, tales que g(x) pertenezca al dominio de f f.. Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:
Otros ejemplos de funciones compuestas son: 1) ℎ() =
6 4 donde ( ()) = y = 6 4 donde
2) ℎ() = + = [ ] donde ( ()) = y = 3 1
Determinaremoss ahora la derivada de una Determinaremo u na función compuesta.
Teorema
(,, ) )// = ( () ) es derivable sobre un Si la función = ( intervalo y si la función = (, ) )// = ( () ) es derivable sobre un intervalo tal que = ( () )// ∈ , entonces la función compuesta ( () ) = (, ) )// = [ [ ] es derivable sobre y [ ] = [ ] ∙ ′() para ∈ Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena. cadena.
TABLA DE EJEMPLOS DE FUNCIONES COMPUESTAS SIMPLES N°
Función
Derivada
1 = [()] 2 = ()
′ = [()]− ∙ ′ ′( ()) = ∙ ′( ()) 1 ′ = ∙ ′( ′() )
3 = ln ()
() ′ = cos
4 = sen ()
= sen ∙ ′() 1 ′ = 2 () ∙ ′( ())
5 = cos 6 = 7
8
=
( ) 1 ()
= 1 ()
∙ ′()
′ =
1 ∙ ′( ()) [ ]
′ = 1 ∙ ′() 2 [( () )]]
Ejemplos:: de deriva Ejemplos derivadas das de funci funciones ones comp compues uestas tas 1) (5 3) 5 3 por lo que En este caso = 5 (5 3) = 4 (5 (5 3) ∙ (5 (5 3) = 4 (5 3) ∙ ( 5 0 ) = ( )
−
2) [(3 5 4) ] = 2(3 5 4)− ∙ (3 5 4)
= ( )− ∙ ( ) 3) 5 4
= (5 4) = ∙ (5 4) ∙ (10 0)
=
+
Ejercicios 1) 6 7 2) 5 6 1
3) 6
4) ( ()) =
+
+
Derivación implícita Funciones implícitas Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x entre x e e y viene dada una cuyo segundo miembro espor cero . ecuación de dos incógnitas cuyo Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y . Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta =1. ahora y teniendo presente que: x' que: x' =1. En general y' ≠1 ≠1. Por lo que omitiremos x' omitiremos x' y y dejaremos y' .
Ejemplos Derivar las funciones: 1. 6 2 = 0
6 2 = 0 2. 7 = 0
′ =
2 2 = 0
=
3. = 7
2 2 2′ = 0
2 2 22 = 0 2 2= 2 2 = 2 −
′ = −+
Ejercicios (implícita) 1) 6 5 3 = 12
2) 3 3 = 0 3) 3 5 = 5
5 4) = 5
Derivadas de orden superior La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir decir,, si f si f (x) (x) es una función f unción y existe su primera derivada f´ derivada f´ (x), (x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar apl icar la derivada se le llama segunda derivada f´´ derivada f´´ (x): (x):
() ′() = () ′′() = ′() = ()
Es la función Es la derivada de la función Es la derivada de la derivada de la función
De manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos las órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.
Notaciones para derivadas de segundo orden Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:
′′
() () () ( ) = ¨
Notaciones para derivadas de orden superior Para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas: () () () ⋮ ()
Derivada de segundo orden Derivada de tercer orden Derivada de quinto orden
Derivada Deriv ada de n-ésimo n-ésimo orde orden n
Ejemplos Dada da la fu func nció ión n f(x) obtener la segunda y cuarta derivada 1) Da
= 1 Para la primera derivada tenemos:
Para la tercera derivada tenemos:
= 5 2
= 60
Para la segunda derivada tenemos:
= 20 2
Para la tercera derivada tenemos:
= 120
2) Dada la función f(x) derivada f(x) = x función f(x) obtener la segunda y cuarta derivada f(x) Obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos: f’(x) f ’(x) = 1 Al sacar la derivada derivada a está línea paralela paralela al eje x, obtenemos: obtenemos: f’’(x) f ’’(x) = 0 Como podemos observar no tiene sentido sacar las derivadas de orden superior. 4
3) Encontramos Encontrar la 2da derivada de: f(x) = 2x -3x+3 la 1ra derivada. f ’(x) = 8x 3-3 f’(x) derivamos f'(x). derivamos f'(x).
f’’(x) = 24x 2
4) Dada la función = sen obtener la segunda y tercera derivada:
= sen = co cos ′() cos = = = sen (ssen ) ( se sen = = = =
Ejercicios
ada a la funció ión n = obtener la segunda derivada y 1) Dad cuarta derivada. 2) Encont Encontrar rar las deriv derivada ada de ord orden en super superior ior de a) = 2 4 7 8 b) =
c) = 5 2 d) = 5 6 5 1
3) Encontrar la segunda derivada de:
() =
+ −
4) Encontrar la tercera derivada de:
=
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