11 .Chap G 6 géométrie de l'espace .Fiche guide

L-P-Bourguiba deTunis Chapitre 6 Fiche6 Résumé du cours

Prof :Ben jedidia chokri Géométrie dans l’espace Classe :4 Math

Produit scalaire Définition : l’espace E est orienté dans le sens direct →

→

* Soit A, B et C des points. Le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : →

→

→

→

→

→

→

→

→

→


AB . AC = 0, si AB = 0 ou AC = 0 . →

→

→

→


AB . AC = AB.AC. cos BAC, si AB ≠ 0 et AC ≠ 0 . → 2

→ 2


AB . AB = AB = AB . Expression analytique dans une base orthonormé Propriétés → → →

Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormé de l’espace.  x  → x '    Pour tous vecteurs u  y  et v  y' , z   z'      → 

→ →

→

u . v = xx '+ yy'+ zz' et u = x 2 + y 2 + z 2 .

Pour tous points M (x, y, z) et M’ (x’, y’, z’), MM ' =

(x − x ')2 + (y − y')2 + (z − z')2 .

Orthogonalité dans l’espace Produit vectoriel Définition →

→

Soit A, B et C des points de l’espace. Le produit vectoriel de AB par AC est le →

→

vecteur noté AB∧ AC et défini comme suit : →

→

→

→

→

→

→

* si AB et AC colinéaires, alors AB∧ AC = 0 , →

→

→

→

* si AB et AC ne sont pas colinéaires, alors AB∧ AC est orthogonal à AB et à AC →

→

→

→


(AB, AC, AB∧ AC) est une base directe, →

→


AB∧ AC = AB.AC.sin BAC. Propriété →

→

Soit u et v deux vecteurs et α, β deux réels. →

→

→

→

→

→


u ∧ u = 0. →

→


u ∧ v = 0 . si et seulement si, u et v sont colinéaires ; →

→

→ →

u ∧ v = ( v ∧ u ),

→

→ →

→

→ →

→

u ∧ ( v + w) = u ∧ v + u ∧ w,

→

→

Expression analytique du produit vectoriel

( )

L’espace est muni d’une base orthonormé directe i, j, k .  a'  a  →  Pour tous vecteurs u  b  et v  b' , c   c'      → 

→

→

→

→

→ →

α u ∧ β v = αβ ( u ∧ v )

→

u ∧ v = ( bc'− cb ') i + ( ca '− ac') j + ( ab '− ba ') k .

Propriétés

(

)

L’espace est muni d’un repère orthonormé direct O, i, j, k . → →

→

*Pour tous vecteurs u , v et w , →

→ →

→

→

→

( u ∧ v ).w = ( v ∧ w). u =

→

→ →

→ → →

(w ∧ u ). v = det ( u , v, w). →

→

*L’aire du parallélogramme ABCD est égale à AB∧ AD . *Le volume V d’un tétraèdre ABCD est égal à

1 → → → (BC∧ BD). BA . 6 →

→

→

*Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égal à (AB∧ AD). AE L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k ) . Représentation paramétrique d’une droite de l’espace  x=x 0 +ka   y=y 0 +kb z=z +kc 0 

(k réel)

Ce système est une représentation paramétrique de ∆ qui passe par A(x 0 , y 0 , z 0 ) a 
  et de vecteur directeur non nul u b .   c 

Représentation paramétrique d’un plan Soit P le plan passant par A(x 0 , y 0 , z 0 ) et dont un couple de vecteurs directeurs a   a'      est u , v où u  b  et v b'  c   c'     

( )

 x = x 0 + αa + β a '  Le système  y = y 0 + αb + βb' (α, β ) ∈ R 2 est une représentation paramétrique de P . z = z + α c + β c ' 0  Equation cartésienne d’un plan Tout plan de l’espace a une équation cartésienne vérifiant ax + by + cz + d = 0 a 
  de vecteur normal n b avec (a , b, c ) ≠ (0,0,0 ).   c 

Point méthode : Pour déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) →

→

→

*On peut traduire analytiquement : n.AM =0 ou n est un vecteur normal au plan →

→

→

par exemple, en choisissant n = AB∧ AC →

→

→

*On peut traduire analytiquement : AM =t AB+t'AC et en déduire une relation liant les coordonnées x,y et z de M

Distance d’un point à une droite →

Soit D une droite de vecteur directeur u et A un point de D. →

→

MA ∧ u

d (M, D) =

→

.

u

Distance d’un point à un plan

(

)

L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i, j, k . soit un plan P d’équation :ax + by + cz + d = 0 et A (x0, y0, z0) un point de l’espace. d(A,P)=

ax 0 +by 0 +cz 0 +d a²+b²+c²

.

Equation cartésienne d’une sphère La sphère S de centre A (x 0 , y 0 , z 0 ) et de rayon R a pour équation :

(x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 = R 2 .

Positions d’une sphère et d’un plan

(

)

L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i, j, k . Soit S une sphère de centre A et de rayon R. Soit P un plan, d la distance de A à P et H le projeté orthogonal de A sur P. L’intersection de S et P est

• vide si d > r, • réduire au singleton {H} si d = R, • le cercle de rayon

R²-d² et de centre H si d < R

Point méthode Soit P : ax+by+cz+d=0 Pour déterminer H : *on écrit le système d’équations paramétriques de la droite (AH) a 
  qui passe par A(x 0 , y 0 , z 0 ) et de vecteur directeur non nul u b .   c  **On détermine l’intersection du plan P et (AH)

Translation Définition →

Soit u un vecteur de l’espace. L’application qui à tout point M de l’espace →

→

→

associe l’unique point M’ tel que MM' = u est appelée translation de vecteur u et notée t u . →

→

Pour tous points M et M’ de l’espace, t u (M) = M’ équivaut à MM' = u .

Théorème →

Toute translation de l’espace de vecteur u est bijective. →

Son application réciproque est la translation de vecteur − u .

Propriété caractéristique Théorème Une application de l’espace dans lui-même est une translation, si et seulement si, →

→

pour tous points M et N d’images respectives M’ et N’, MN' = MN .

Conséquences • Toute translation de l’espace conserve la distance. • Toute translation de l’espace conserve le produit scalaire. Action d’une translation sur les configurations Théorème L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle. L’image d’un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle.

Conséquences Toute translation conserve le parallélisme et l’orthogonalité. Toute translation conserve le milieu. Théorème L’image d’une sphère S par une translation est une sphère S’ de même rayon et de centre l’image du centre. Expression analytique d’une translation Théorème L’espace est muni d’un repère (O, i, j, k ) . a   • Soit u  b  un vecteur de l’espace. c    →

Si M (x, y, z) est un point de l’espace et M’ (x’, y’, z’) est son image par x ' = x + a la translation de vecteur u alors  y' = y + b z ' = z + b  →

• L’application qui à tout point M (x, y, z) associe le point M’ (x’, y’, z’) tel que x ' = x + a a  →    y' = y + b est la translation de vecteur u  b  z ' = z + b c    

Homothétie de l’espace Définition Soit I un point de l’espace et k un réel non nul. L’application qui à tout point M →

→

de l’espace associe l’unique point M’ tel que IM' = k IM est appelée homothétie de centre I et de rapport k, elle est notée h(I,k). →

→

Pour tous points M et M’ de l’espace, h(I,k) (M) = M’ équivaut à IM' = k IM . Théorème Toute homothétie de centre I et de rapport non nul k est une bijection de l’espace et admet comme application réciproque l’homothétie de centre I et de rapport Pour tous points M et N de l’espace, N = h(I,k) (M) équivaut à M = h 

1  ( N) .  I,   k

1 . k

Propriété caractéristique Théorème Soit f une application de l’espace dans lui-même et k un réel non nul et différent de 1. f est une homothétie de rapport k, si et seulement si, pour tous points M et N →

→

d’images respectives M’ et N’ par f, M' N' = k MN . Conséquence Soit h une homothétie de l’espace de rapport k. Pour tous points M et N d’images respectives M’ et N’ par h, M' N' = k MN. Action d’une homothétie sur les configurations Théorème L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. L’image d’un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle. Théorème L’image d’une sphère s de centre I et de rayon R par une homothétie de l’espace de rapport k est une sphère S’ de centre I’ image de I et de rayon k R. Propriété Toute homothétie de l’espace conserve le contact. Expression analytique d’une homothétie Théorème L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k ) . • Soit un point I (a, b, c), k un réel non nul et différent de 1 et h l’homothétie de centre I et de rapport k. Si M (x, y, z) est un point de l’espace et M’ (x’, y’, z’) est son image par h,

*L’application qui à tout point M (x, y, z) associe le point M’ (x’, y’, z’) tel que  x ' = kx + α  δ    α β , ,  y' = ky + β, k ≠ 1 est l'homothétie de centre I   et de rapport k. 1-k 1 − k 1 − k    z ' = kz + δ