102419234 Ejercicios Mecanica de Fluidos II

EJERCICIOS MECÁNICA DE FLUIDOS II 1) Demostrar que el coeficiente “C” de Chezy en tuberías circulares con superficie hidráulicamente lisa se puede expresar mediante la siguiente fórmula: C   18 Log (3.13 Re / C ) Solución:

 46.4R    δ x   0    gRS   46.4( D / 4)  .................................................( ) C   RS    Ln  x   0    

Se sabe V  C RS 

V  0

Pero

 Re V *

VD



   

V 

11.6  V |

VD  Re

  



Ln

 11.6   0 

 



V*

  f   8

 y

C  

8 g 



  f  

V *



V 

 g  C 

  46.4 * D *V |     Ln En () C   0.4  4 *11.6 *V  * D / Re    g   46.4 * V | * Re    g   46.4 * V  *  g  * Re      C    Ln  Ln   0.4   4 *11.6 * V    0.4   4 *11.6 * V  * C     C   18 Log (3.13 Re / C ) L.q.q.d.  g 

2) Se tiene un canal ancho cuyo fondo está formado por arena de diámetro uniforme, fluye agua (flujo uniforme y      1.5 *10 6 m² / s ) donde a partir del nivel del agua a una profundidad de 0.5m la velocidad es 3m/s y a una profundidad de 1.6m la velocidad es 2.63m/s para una superficie hidráulicamente hidráulicam ente rugosa y velocidad de corte mínimo. Determinar: a) El diámetro que debe tener las partículas de arena b) El tirante del canal c) El caudal por unidad de ancho d) La pendiente del canal e) El número de Reynold Solución: 0.5m 1.6m

3m/s y 2.65m/s

h

Para: h  y - 0.5m



V* 0.4

K=D

 30 * ( y  0.5)    3m / s.......... .......... .......... ( )  D    

 Ln

Para: h  y - 1.6m V *  min imo 

V*

 V * D

  De (), () y ()

0.4

 30 * ( y  1.6)    2.63m / s.......... .......... .......... (  )  D    

 Ln

 75..................................................( )

a)

 D  0.001m

V *  0.112 m / s

 y

b)

 y  2m

Vmed  

V*  x

 11* R  0.112  11* 2   Ln   0.4    K     0.001 

 Ln

Vmed   2.79m / s

c) Q  V med  * A  2.79(1 * 2) Q  5.58m³ / s / m

d) V *  C   RS   0.112

 S   0.00064

e)  Re

VD 



Re



3.72 *10

6

  

3) Se tiene un canal ancho de tierra sin revestir cuyo fondo está formado por cantos rodados de diámetro uniforme, fluye agua (flujo uniforme) donde se instalan dos manómetros en cuyo extremo existe un tubo de Pitot tal como se muestra en la figura, h1=0.014m, h2=0.035m, la densidad relativa del mercurio es 13.6,     10 6 m² / s ,  S   2650 kg / m³ a) ¿Cuál es el mínimo tamaño que debe tener las piedras para que el canal sea estable b) Hallar el tirante del canal con el diámetro mínimo de las piedras c) Hallar el caudal del canal con los datos anteriores. (Ancho unitario) d) Determinar la pendiente del canal con los datos anteriores. Solución: Por manometría  P 2   P 1    P 4   P 3  

 h1 ( D. R Hg   1)..........................................................(*)  h2 ( D. R Hg   1)..........................................................(**)

Bernoulli : 1 - 2 P1  



V 12 2 g 



P2  



V 22 2 g 



 P 2   P 1  



V 12 2 g 

En (*) V1  2 gh1 ( D. R Hg   1)  1.86m / s Análogamente : V3  2 gh2 ( D. R Hg   1)  2.94m / s Superficie hidraulicamente rugosa Vh 

 30h      K   

V *

 Ln

 x

 K    D

Para : h  y - 0.14 Vh 

V * 0 .4

 30 y  4.2    V 1  1.86m / s...........................................................(1)    D  

 Ln

Para : h  y - 0.25

 30 y  7.5    V 3  2.94m / s...........................................................(2) 0.4    D   Asumiendo : D  0.05m Vh 

V *

 Ln

Con D al ábaco

 V * cr   0.21m / s Dividiendo (1)/(2)Se tiene : y  0.219m

 30 * 0.219  4.2    1.86m / s  V *  0.193m / s 0.4   0.05   Asumiendo : D  0.01m

en (1)

V *

 Ln

Con D al ábaco

 V * cr   0.093m / s Dividiendo (1)/(2)Se tiene : y  0.184m

 30 * 0.184  4.2    1.86m / s  V *  0.15m / s 0.4   0.05   De este gráfico V *  0.175m/s

en (1)

V *

 Ln

a) Para : V *  0.175m / s  V * cr  Del abaco  D m im  0.03m  b) en (1)

0.175  30 y  4.2   Ln   1.86 0.4 0 . 03    

  y mim  0.21m

c) Se sabe : Vme d 

 R 2 / 3 S 1 / 2

..................................................( )

n

V *   gRS ...........................................................(   ) De éstas dos ecuaciones se obtiene Vme d V *



n

 R 1 / 6 n  g 

Pero R  y

V *  R 1 / 6 Vme d

Pero : Vme d 



0.175 * 0.211 / 6

 g  V * 0.4

Vme d 9.81

..................................................( I )

 11 R  0.175  11 * 0.21   Ln      K    0.4   0.03    Q  VA  1.9 * 0.21 * 1  0.4m³ / s

 Ln

 V med   1.9m / s Q  0.4m ³ / s d) en (I)

n  0.022

en ( ) 1.9 

0.212/3 S 1 / 2 0.022

 S   0.0139

4) Se tiene un canal trapezoidal cuyo talud es 1m, ancho del fondo del canal 1.20m, pendiente 0.001 y coeficiente de rugosidad n=0.015, se transporta un caudal de 4m³/s Calcular: a) El tirante normal. b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme. c) El caudal máximo que podría ser transportado con la energía calculada anteriormente d) Si se desea cambiar el canal trapezoidal por un canal alcantarilla circular, para el mismo caudal máximo, pendiente y coeficiente de rugosidad. Determinar el diámetro de la tubería. Solución: Revestimiento liso

 A  (1.2   y ) y

 P   1.2  2 y 1  1²

a) Qn 

 A5 / 3 S 1 / 2



nP 2 / 3

(1.2   y ) 5 / 3  y 5 / 3 * 0.0011 / 2 0.015(1.2  2 y 1  1² ) 2 / 3

4

 y  1.14m b)  E e   y 

Q2

 E e  1.14 

c)

....................................................................................(*)

2 gA 2

4² 2 * 9.81* 2.667²

  E e  1.255m

De (*)

Q  (1.255   y )19.6 (1.2   y ) y.......... .......... .......... .......... .......... .....( ) dQ dy

0

  y c  0.93m

en ( )  Q ma x  4.999  5m³ / s d ) Q ma x  5m³ /  s

S   0.001

n  0.015

 D  ?

Para : Q ma x  y  D

    5.278rad   302.409º

 0.94

 A   P   Q

 D² 8  D 2

(   sen ) 

 D² 8

(5.278  0.844)  0.765 D²

   2.639 D

 A 5 / 3 S 1 / 2 nP 2 / 3



(0.765 D²) 5 / 3 (0.001) 1 / 2 0.015(2.639 D) 2 / 3

5

  D  2.08m  Rpta 5) Un canal trapezoidal cuyo ancho de solado es 0.5m y talud igual a 0.5m, se debe conducir un caudal de 5m³/s con una velocidad media de 1.5m/s con la misma magnitud de área y talud óptimo otro canal desde el punto de vista hidráulico (máxima eficiencia hidráulica). Determinar las dimensiones de este último canal. Solución:

Para M.E.H y z 

3

(Optimo)  z 

3

3 3

 0.577

 A MEH   (2 1  0.577²  0.577) 2  y  A MEH   3.33m²

  y  1.386m Para M.E.H  b  2y( 1  z²   z )

 b  1.6m

Del ábaco : Con V  1.5m/s y y  1.386m

 F  0.2m h  y  F  1.386  0.2 h  1.586m Rpta

6) Se tiene un canal trapezoidal cuyo ancho de solado es 1m, talud es 0.5m y la pendiente 0.001, cuando el fondo del canal y talud fueron revestidos con cemento liso, el tirante normal medido fue de 1.20m para un caudal de 0.6m³/s, posteriormente se incrementó la rugosidad de este canal con un revestimiento de concreto sin acabar obteniéndose un tirante normal de 1.30m para un caudal de 0.45m³/s. Calcular: a) El Caudal Para un tirante normal de 1.5m si el fondo fuera rugoso y  talud fuera liso. b) El caudal para un tirante normal de 1.40m si el fondo fuera liso y  talud fuera rugoso c) El tirante alterno del tirante de la parte (a) con el caudal de la parte (a) Solución: Para Revestimiento liso  y n1  1.20m

Q1  0.6m³ / s

 y

 A1  (1  0.5 *1.2)1.2  1.92m²  P 1  (1  2 *1.2 1  0.5² )  3.68m De f  Maning : n 1 

 A15 / 3 S 11 / 2 Q1 P 12 / 3



1.92 5 / 3 * 0.0011 / 2 0.6 * 3.68 2 / 3

 n 1  0.0656 liso Para Revestimiento Rugoso  y n 2  1.30m

 y

Q2  0.45m³ / s

 A2  (1  0.5 * 1.3)1.3  2.145m²  P 2  (1  2 * 1.3 1  0.5² )  3.91m De f  Maning : n 2 

 n 2  0.1 R ugoso

 A25 / 3 S 21 / 2 Q2 P 22 / 3



2.1455 / 3 * 0.0011 / 2 0.45 * 3.912 / 3

a)  P  Rugoso  1m  P  Liso  2(1.5) 1  0.5²

  P  Liso  3.35m

 3.35 * 0.06563 / 2  1 * 0.13 / 2     n   1 3 . 35       A  (1  0.5 * 1.5) *1.5  2.625m²

2/3

 0.074

 P   1  2 * 1.5 * 1  0.5²  4.354m Q

 A5 / 3 S 1 / 2 n P 2 / 3



2.6255 / 3 * 0.0011 / 2 0.074 * 4.354 2 / 3

 Q  0.8m³ / s

b)  P  Liso  1m  P  Rugoso  3.35m

 1* 0.06563 / 2  3.35 * 0.13 / 2     n    1 3 . 35      A  (1  0.5 *1.4) *1.4  2.38m²

2/3

 0.0927

 P   1  2 *1.4 * 1  0.5²  4.13m Q

 A5 / 3 S 1 / 2 2/3

n P 



2.385 / 3 * 0.0011 / 2 0.0927 * 4.13

2/3

 Q  0.56m³ / s

c)  y1  1.50m

 y 2  ?

Q  0.8m³ / s

Para tirantes alternos E1  E 2 1.5  1.5 

Q² 2 gA12

  y 2 

Q2 2 gA22

0.8² 19.62(1  0.5 * 1.5)1.5

  y 2 

0.8² 19.62(1  0.5 *  y 2 ) y 2

  y 2  0.2166m  Rpta 7) Se tiene un canal alcantarilla cuya sección se muestra en la figura (R=1.5m). a) Calcular el tirante para una velocidad máxima b) Calcular el tirante para un caudal máximo c) Si este canal se cambia por un canal trapezoidal cuyo talud es 0.5m y  un tramo del canal se produce un salto hidráulico donde los tirantes de (a) y (b) son los tirantes conjugados. Calcular el ancho de solado =1.10, Q=4.85m³/s Solución:

    R    A   R R   RCos   (   Sen ) 2  2   2

    R    A   R 1  Cos   (   Sen ) 2 2     2

2

 R 2        dA   Sen  Cos   1d   2   2    P    R   R 

 dP    Rd  

a ) Si : V ma x

  PdA   AdP   0

  3      R 2         R 3      Sen d    0  R(1   )  Sen  Cos   1d     R 1  Cos   2   2 2  2                  (1   ) Sen  Cos   1  2  Sen     Sen  2 2    

 Transformando    4.792rad 

 Luego    274.561º

De la figura   y   R   RCos

274.561 2

 2.6m

b) Si : Qma x

   

 5 PdA  2 AdP   0

     Cos   1  4  4Cos  2   2Sen  2 2    Luego    317.876º    5.548rad  5(1   ) Sen

 

 y   R   RCos

317.876 2

 2.9m

c)  y1  2.60m     1.1

 y 2  2.90m Q  4.85m³ / s

 z   0.5  Fe1   Fe2 z 1 A1 

z1 

  Q 2  gA1

Para tirantes conjugados

 z 2 A2 

6.76  7.8b

6b  7.8  A1  2.6b  3.32 en (*) b  1.03m

,

  Q 2  gA2

z2 

..............................................(*)

8.41  8.7b

6b  8.7  A2  2.9b  4.205