1008 Probleme de Numarare

8. Probleme de numărare 8.1. Consideraţii teoretice şi interpretări ale formulelor uzuale din combinatorică Există o mare varietate de probleme care se pot încadra în această temă. Pentru rezolvarea acestora, este necesar să reţinem următoarele: I. Dacă A şi B sunt două mulţimi finite şi notăm B A = { f f : A → B func þie} , atunci

BA = B

A

,

(am notat X numărul elementelor mulţimii X). Acest rezultat se demonstrează prin inducţie după m = A . Dăm în continuare unele interpretări utile ale acestui rezultat. 1) Numărul submulţimilor unei mulţimi M având n elemente, n ∈ , M este P ( M ) = 2 . Aceasta rezultă din faptul că numărul cerut este egal cu numărul funcţiilor f : M → {0,1} . 2) În câte moduri poate fi pavată o alee de lungime n (n ∈ * ) şi lăţime 1 cu plăci pătrate de 1× 1 , folosindu-se plăci de n culori. Numărul cerut este m n , deoarece fiecărei poziţii de placă din cele n trebuie să-i atribuim o culoare din cele m. 3) Câte cuvinte de m litere pot fi făcute cu un alfabet ce conţine n simboluri? Numărul cerut este m n şi este egal cu numărul funcţiilor f : A → B , A = n − numărul de simboluri şi B = m − numărul literelor dintr-un cuvânt.

4) Câte numere naturale de n cifre se pot forma folosind k cifre fixate, k ∈ {1, 2,K ,10} ? Dacă nici o cifră din cele k nu este 0, putem forma k n numere deoarece orice cifră din număr poate fi aleasă în k moduri. Dacă printre cele k cifre se află şi cifra 0, prima cifră a numărului poate fi aleasă în ( k − 1 ) moduri şi orice altă cifră a numărului poate fi aleasă în k moduri. Aşadar, numărul de numere în acest caz este (k − 1) ⋅ k n −1 . 5) Câte numere naturale au n cifre în scrierea lor în baza k (k ≥ 2) ? Folosind 4) deducem că numărul cerut este (k − 1) ⋅ k n −1 . 6) În câte moduri pot fi împărţite n obiecte la m persoane? A face o astfel de împărţire revine la a stabili un destinatar pentru fiecare obiect, deci a defini o funcţie de la mulţimea obiectelor la mulţimea persoanelor privite ca şi destinatari. Obţinem că numărul cerut este m n . 99

II. Numărul submulţimilor ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente (k , n ∈ , k ≤ n) este not. n! Ank = = n(n − 1)(n − 2)L (n − k + 1) , (n − k )! şi se citeşte aranjamente de n luate câte k, unde p ! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅K ⋅ p . Punem în evidenţă unele interpretări ale numerelor Ank .

1) Dacă A şi B sunt mulţimi finite cu A = k ≤ B = n , atunci numărul funcţiilor injective f : A → B este egal cu Ank . Într-adevăr, pentru a defini o funcţie f : A → B avem nevoie de valorile f (a1 ), f (a2 ),K , f (ak ) care vor forma o submulţime ordonată cu k elemente a lui B. Deci numărul funcţiilor injective de la A la B este egal cu numărul submulţimilor ordonate cu k elemente ale lui B, în total Ank . 2) Numărul cuvintelor formate cu k litere distincte, folosind un alfabet cu n simboluri este tot Ank , k ≤ n . 3) Numărul modurilor de pavare a unei alei 1× k cu plăci alese de culori diferite din n culori date este Ank , k ≤ n . 4) Dacă A este o mulţime finită şi nevidă, atunci numărul funcţiilor injective (surjective, bijective) f : A → A este Ann = n ! . Facem observaţia că o funcţie bijectivă f : A → A , A finită, se mai numeşte şi permutare a mulţimii A. Numărul permutărilor unei mulţimi cu n elemente este egal cu n ! . III. Dacă A este o mulţime cu n elemente, n ∈ * , atunci numărul submulţimilor lui A având fiecare k elemente (k fixat, k ≤ n ) este: Ak n! n(n − 1) ⋅K ⋅ (n − k + 1) = Cnk = n = , k ! k !(n − k )! k! şi se citeşte combinări de n elemente luate câte k. Redăm în continuare câteva aplicaţii semnificative. 1) Care este numărul funcţiilor f :{1, 2,K , n} → {0,1} şi având n

proprietatea

∑ f (i) = k ? A defini o astfel de funcţie presupune a reţine exact k i =1

elemente din domeniul de definiţie şi a asocia fiecăruia valoarea 1. Aşadar, numărul cerut este egal cu numărul de submulţimi cu k elemente ale domeniului de definiţie, adică cu Cnk . Pentru k < 0 sau k > n , sau k ∈ [0, n] \ , nu avem astfel de funcţii. 2) Numărul drumurilor laticeale de lungime minimă care unesc punctul O(0, 0) cu punctul B(m, n) (m, n ∈ ) este Cmm+ n . Într-adevăr, lungimea minimă

100

a unui astfel de drum este m + n , singurele deplasări fiind de forma ( p, q) a ( p + 1, q) sau ( p, q) a ( p, q + 1) . Din cei n + m paşi de lungime unu avem de făcut m paşi orizontali şi n paşi verticali, ordinea efectuării lor fiind arbitrară. Numărul drumurilor laticeale cerut este egal cu numărul de paşi pe orizontală, ceea ce se poate face în Cmm+ n moduri. 3) Numărul funcţiilor strict crescătoare f :{1, 2,K , k} → {1, 2,K , n} , k ≤ n , este egal cu Cnk . Aceasta rezultă din faptul că fiecare funcţie strict crescătoare este determinată de k ! funcţii injective prin ordonarea crescătoare a valorilor sale. Aşadar, numărul cerut este Num ã rul func þiilor injective Ank N= = = Cnk . k! k! 4) Numărul funcţiilor crescătoare f :{1, 2,K , k} → {0,1, 2,K , n − k} este k Cn . Motivăm în continuare acest lucru. Fie f o funcţie care îndeplineşte condiţiile din ipoteză. Atunci, funcţia g :{1, 2,K , k} → {1, 2,K , n} , g (i ) = i + f (i ) , (∀) i = 1, k este strict crescătoare. Într-adevăr, g este corect definită şi dacă presupunem 1 ≤ i1 < i2 ≤ k , atunci f (i1 ) ≤ f (i2 ) , deci i1 + f (i1 ) < i2 + f (i2 ) , adică g (i1 ) < g (i2 ) . Reciproc, dacă g :{1, 2,K , k} → {1, 2,K , n} , g (i ) = i + f (i ) , (∀) i = 1, k , este o funcţie strict crescătoare atunci i + f (i ) ∈ {1, 2,K , n} pentru (∀) i = 1, k , de unde f (i ) ∈ {0,1,K , n − k} pentru orice i = 1, k şi 1 < 2 < K < k ⇒ g (1) < g (2) < K < g (k ) ⇒ ⇒ 1 + f (1) < 2 + f (2) < 3 + f (3) < K < k + f (k ) , de unde utilizând faptul că f (i ) ∈ , i = 1, k , obţinem f (1) ≤ f (2) ≤ K ≤ f (k ) . Aşadar, funcţia f este crescătoare. Ca urmare, mulţimea funcţiilor f cerute este în bijecţie cu mulţimea funcţiilor g. A defini o funcţie g revine la a alege un şir 1 ≤ b1 < b2 < K < bk ≤ n ({b1 , b2 ,K , bk } ⊂ {1, 2,K , n}) şi acesta se poate face în Cnk moduri (vezi şi problema precedentă). Ca urmare, numărul cerut este Cnk . Mai facem observaţia că numărul funcţiilor crescătoare f : A → B , A = n , B = m este Cmn + n −1 . 5) Numărul modurilor de descompunere a numărului natural n în sumă de k numere naturale nenule, a1 + a2 + K + an , în care contează ordinea 101

numerelor a1 , a2 ,K , an este Cnk−−11 . Pentru a motiva aceasta, este suficient să ne imaginăm că intervalul [0, n] de lungime n, trebuie să-l partiţionăm în k subintervale. Aceasta se poate face alegând cele k − 1 capete dintre numerele 1, 2,K , n − 1 , alegere ce se poate face în Cnk−−11 moduri. 6) Numărul modurilor de pavare a unei alei de lungime n şi lăţime 1 cu plăci 1× 1 dintre care k albe şi n − k negre este Cnk . Într-adevăr, numărul cerut este egal cu numărul de alegeri a k poziţii din cele n poziţii în care să punem plăci albe şi acesta este Cnk . IV. Dacă n = p1α1 ⋅ p2α 2 ⋅K ⋅ pαk k reprezintă descompunerea în factori primi

a numărului natural n ( p1 , p2 ,K , pk sunt numere prime iar α1 ,α 2 ,K ,α k ∈ atunci numărul divizorilor naturali ai lui n este: (α1 + 1)(α 2 + 1) ⋅K ⋅ (α k + 1) .

*

),

Bibliografie 1. Dorin Andrica, Eugen Jecan, Teste de matematică, Editura GIL, Zalău 2. Dan Brânzei, Vasile Gorgota, Sorin Ulmeanu, Concursuri interjudeţene de matematică, Editura Paralela 45, 1999 3. Ovidiu Cojocaru, Matematică, Concursul interjudeţean “Spiru Haret – Gh. Vrânceanu” 1985-1986, Editura Paralela 45 4. Mircea Ganga, Probleme elementare de matematică, Editura Mathpress, 2003 5. Adrian Ghioca, Acad. Nicolae Teodorescu, Culegere de probleme, Bucureşti, 1987 6. Laurenţiu Panaitopol, Dinu Şerbănescu, Probleme de teoria numerelor şi combinatorică pentru juniori, Editura GIL, 2003 7. Acad. Nicolae Teodorescu şi alţii, Culegere de probleme, S.S.M.R., vol.I, Bucureşti 8. Ion Tomescu, Introducere în combinatorică, Editura Tehnică, 1972 9. * * *, Colecţiile revistelor G.M. şi R.M.T

102