100412_5_Trabajo_Fase 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍA PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES Presentado por: Jairo Alfonso Parra Bulla - Cód. 79.449.584 Raúl Alberto Avellaneda – Cód. 79.720.169 Ricardo Cruz - Cód. Ricardo Alfonso Paramo - Cód. 79.613.941 Jesús Nelson Enrique Prieto Guerrero Cod: 79607428 Grupo: 100412_5

Tutor: YENIFER ELIZABETH GALINDO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” Bogotá, Marzo de 2016

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OBJETIVOS  Propiciar el desarrollo de habilidades para modelar situaciones reales en términos de ecuaciones diferenciales  Introducir al estudiante en el análisis de las soluciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.  Potenciar el desarrollo de competencias para la resolución de problemas propios de la ingeniería y la física.

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta.

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PUNTO A: x sin ¿ ¿ X 2 sin( x )−cos ( x ) y =¿ PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA CLASIFICACION SEGÚN EL ORDEN:

RAZON O EXPLICACION

Ecuación Diferencial de orden 1

El orden de la ecuación se identifica por la derivada de orden más alto, en el ejercicio se muestra una derivada de primer orden. dy dx

CLASIFICACION SU GRADO:

SEGÚN Ecuación Diferencial es de primer grado El grado se define como el exponente al que esta elevado la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación, en el ejercicio solo encontramos una derivada con exponente uno lo que indica que es de primer grado. x sin ¿ ¿ 2 X sin(x )−cos ( x ) y =¿

CLASIFICACION SEGÚN Ecuación Diferencial No lineal LA LINEALIDAD O NO En una derivada lineal el coeficiente de Y, y sus derivadas LINEALIDAD dependen solamente de la variable independiente, en el ejercicio por ejemplo la función COS (x) y coseno depende

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de y

PUNTO B y

dy + ( senx ) y 3=e x +1 dx PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA y

dy + ( senx ) y 3=e x +1 dx

RAZON O EXPLICACION Ecuación de primer orden ya que solo aparece la primera derivada de y respecto a x Dividiendo la ecuación en y, obtenemos

dy 2 e x +1 + y senx = dx y

PUNTO C

Como se puede observar, quedan términos no lineales respecto a y tales como y 2 , lo que hace que la ecuación no sea lineal.

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d 2 y dy + + y=cos(X + Y ) dx 2 dx

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA CLASIFICACION SEGÚN EL TIPO:

RAZON O EXPLICACION Ecuación Diferencial Ordinaria Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. d 2 y dy + + y=cos(X + Y ) dx 2 dx

CLASIFICACION SEGÚN SU ORDEN:

Ecuación Diferencial de Segundo Orden (El orden lo da la más alta derivada) 2

d y 2 dx CLASIFICACION SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD

PUNTO D

Ecuación Diferencial NO LINEAL, la función de la derecha cos( X +Y ) depende de (x) y (y) y no solamente de (x)

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.

√

d2 r dr = 1+ 2 du du

2

( )

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA CLASIFICACION SEGÚN SU ORDEN:

RAZON O EXPLICACION Ecuación Diferencial de Segundo Orden (El orden lo da la más alta derivada) d2r 2 du

CLASIFICACION SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD

Ecuación Diferencial NO LINEAL a causa del término

dr du

2

( )

PUNTO E

( y 2−1 ) dx +6 xdy=0 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

( y 2−1 ) dx +6 x dy=0

La ecuación diferencial es de primer orden ya que la derivada más alta es de orden 1

( y 2−1 ) dx +6 xdy=0

La ecuación es lineal, debido a que cumple con las condiciones necesarias como son: a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado b) No se tienen derivadas parciales, es decir ∂ , c) La

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variable “y” está siendo multiplicada por la variable independiente.

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

PUNTO A −y

−2 x− y

e +e

x

=e y

dy dx

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA e− y + e−2 x e− y =e x y

dy dx

RAZON O EXPLICACION

Transposición de términos Resolviendo la integrales básicas

−y

e

[ 1+e−2 x ]=e x y dy

dx

1+ e−2 x y dx= −y dy x e e

Separando términos (se tiene en cuenta que todo está multiplicándose y/o dividiendo). En un lado de la ecuación todo lo relacionado con la variables Transposición de términos

[

−2 x

]

1 e y + x dx= y e dy x e e

Se integra en ambos términos de la Ecuación Diferencial

∫ ( e−x + e−3 x ) dx=∫ y e y dy Transposición de términos

∫ e−x dx +∫ e−3 x dx=∫ y e y dy

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Resolviendo la integrales básicas 1 −3 x −x y −e − e =∫ y e dy 3 Transposición de términos 1 −3 x −x y y −e − e = y e −∫ e dy 3 Transposición de términos y se finaliza el ejercicio 1 −e−x − e−3 x = y e y −e y +e 3

PUNTO B Determine si la ecuación dada es exacta, si lo es resuelva. y ( 1−lnx ) dy=(1+lnx+ )dx x PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0 y ( −1−lnx− ¿ dx + ( 1−lnx ) dy =0 x M ( x , y )=−1−lnx−

N ( x , y )=1−lnx

y x

RAZON O EXPLICACION Expresión de una ecuación diferencial exacta. Se da la forma a la ecuación Se asigna termino M según la forma de la ecuación.

Se asigna termino N según la forma de la ecuación.

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∂ M −1 = ∂Y X

Comprobamos la condición de exactitud:

∂M ∂N = ∂y ∂x

∂ M −1 = ∂X X

Como las derivadas parciales son iguales, se demuestra que es exacta.

F ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx +g ( y )

(

F ( x , y )=∫ −1−lnx−

y dx + g( y ) x

)

Hacemos ∂f y =−1−lnx− ∂x x

Integrando ambos lados.

F ( x , y )=−x−xlnx+ x− ylnx+ g( y )

Resultado de la integración

∂ M ( x , y ) dx +g ' ( y )=N (x , y ) ∂y∫

Derivamos a f respecto a y

∂ (−x−xlnx+ x− ylnx ) + g ' ( y )=N (x , y) ∂y '

Remplazamos ∂f ∂y

−lnx+ g ( y)=1−lnx

Igualamos

g' ( y)=1

Integrando ambos lados con respecto a y

aN

g ( y )= y Obtenemos F ( x , y )=−x−xlnx+ x− ylnx+ g( y )

g( y)

Remplazamos en la función.

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Se obtiene F ( x , y )= y−xlnx− ylnx

Solución de la ecuación diferencia.

F ( x , y )= y ( 1−lnx )−xlnx

PUNTO C 6 xydx +( 4 y +9 x 2)dx=0 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

6 xydx +(4 y +9 x 2) dx=0

RAZON O EXPLICACION

Si tenemos:

M ( x , y )=6 xy N ( x , y )=( 4 y + 9 x 2 )

∂ M ( x , y )=6 x ∂y

Despejamos

∂ N ( x , y )=18 x ∂x ∂ N ∂M − ∂ x ∂ y 18 x−6 x 12 x 2 = = = 6 xy 6 xy y M (x , y)

Buscar el factor integrante

dμ 18 x−6 x = μ dx 4 y +9 x 2

Es decir

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μ ( x ) =e ∫

2 dy y

Hallamos el factor integrante 2

μ ( x ) =e2 ∈ y =e¿ y

Despejamos

μ ( x ) = y2

Factor Integrante

6 xy 3 dx+ ( 4 y 3 +9 x 2 y 2 ) dy=0

Multiplicamos por el factor integrante

∂ M ( x , y )=18 x y 2 ∂y

Despejamos

∂ N ( x , y )=18 x y 2 ∂x

∂f =6 x y 3 ∂x f ( x , y ) =6 y

Y Obtenemos 3

∫ xdx=3 x 2 y3 + g( y)

∂f =4 y 3 +9 x 2 y 2 ∂y

Existe la función f(x,y) tal que Despejamos y descomponemos

∂f 2 2 =9 x y + g ' ( y) ∂y

g' ( y ) =4 y 3

Derivada de g’

g ( y )= y 4

Por lo tanto la función g(y) es

f (x , y )3 x 2 y 3 + y 4

Reemplazamos g(x) en la función f(x,y)

3 x2 y 3 + y 4 =c

Y Obtenemos el resultado

y4

y2

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PUNTO D

( y 2 + yx ) dx−x 2 dy =0 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

( y 2 + yx ) dx−x 2 dy =0

dy y 2 + yx = 2 dx x

Dividendo por x 2 dx y pasando el término dy /dx al otro lado de la igualdad:

x dy du u= ; =u+ x y dx dx

( )

du u+ x =u2 +u dx

( )

du

∫ u 2 =∫

u=

dx x

−1 −x → y= ln ( x ) +c ln ( x ) + c

Se identifica que, si se hace la respectiva división, quedan diferentes potencias del término y / x Haciendo el cambio de variable

Se divide todo por x , y se organizan los términos. La ecuación resultante es fácilmente resuelta por separación de variables, de tal manera que integrando queda:

Despejando u obtenemos u ( x ) , y para obtener y (x) , nos devolvemos en el cambio de variable realizado anteriormente, por lo que y ( x )=x∗u ( x ) Así, obtenemos la solución a la ecuación diferencial, donde c es una constante, producto de la integración. Esta constante estará determinada por condiciones iniciales.

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PUNTO E:

( x 2+ 2 y 2 ) dx −xy=0 y (−1 ) =1 dy

( x 2+ 2 y 2 ) dx −xy=0

Ecuación planteada.

( x 2+ 2 y 2 ) dx=xy ( dy)

xy que estaba restando pasa a sumar y dy que estaba dividiendo pasa a multiplicar

( x 2+ 2 y 2 ) dx=xy ( dy)

Reemplazamos

dy

y=ux

y

dy=udx +dux

( x 2+ 2(ux)2 ) dx=x (ux )( u dx+ du x )

Efectuamos las sustituciones

( x 2 dx +2 u2 x 2 dx )=(u2 x 2 dx + x3 u du)

Efectuamos las operaciones

( x 2 dx +2 u2 x 2 dx−u2 x 2 dx ) =( x 3 u du)

( x 2 dx +u2 x 2 dx ) =( x 3 u du) x 2 dx ( 1+u2 )=(x 3 u du)

Aplicamos factor común

(u) x2 dx= du 3 x ( 1+u 2)

Al lado izquierdo ubicamos la variable x y al derecho la u

1 u dx= du x ( 1+u 2 )

simplificamos

1

∫ x dx=∫ (

u du 1+u2 )

1 ln |x|+C= ln |1+u2| 2

Estamos listos para realizar la integración Integración realizada

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2 ( ln |x|+C ) =2

( 12 ln|1+u |) 2

Multiplicamos por 2 a cada lado de la ecuación

2 ln |x|+ 2C=ln|1+ u2| ln |x 2|+C=ln |1+u2|

Por regla de logaritmo, la constante pasa a ser el exponente de la x

e ln|x |+C =e ln|1+u |

En ambos lados de la ecuación aplicamos el número euler

2

2

2

x C=1+u

2

u2=x 2 C−1

Ordenamos y dejamos la u al lado izquierdo y el 1 se pasa a restar

√ u2=√ x 2 C−1

Como la u está al cuadrado aplicamos raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación

u= √ x 2 C−1 y = √ x 2 C−1 x

Reemplazamos u por y/x y pasamos la x a multiplicar al lado derecho

y=x √ x C−1

Solución General

1=(−1) √(−1 ) C−1

Teniendo en cuenta que nos dan y(-1)=1, eso quiere decir que x vale -1 y la y vale 1, los cuales reemplazamos

2

2

2

12=(−1)2 √ (−1 )2 C−1

Elevamos al cuadrado en ambos lados de la ecuación para quitar la raíz cuadrada. Reemplazamos y realizamos las operaciones

1=1(C−1)

C=2

Despejamos C y la Reemplazamos en la solución

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general para que nos de la solución particular

y=x √ 2 x 2−1

Solución Particular

 Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.

Solución: Sea X(t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t, entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es: kg e ( t )=6 ¿ ∗1 ¿ min Instante t, la cantidad de líquido en el tanque V (t)=1000+(6−6) t