100412_237 TRABAJO FASE 3
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FASE 1: PLANIFICACIÓN
LENNIS YAJAIRA LEAL 1.120 1.120.499. .499.756 756 YUDIBETH GONALE ROJAS 1.120.500.!!7 JENNY CA CATHERINE THERINE RODRIGUE AL"ANA 1.121.##1.107 "ARIA JOSE "ARTINE BARBOSA 1.0!0.646.057
GRUPO: 100412$2!7
TUTOR: DIEGO FRANCISCO "ARTINE
UNI%ERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA&UNAD ECUACIONES DIFERENCIALES 2016
1
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el proceso de formación de la unidad 3. Estudio Es tudio de series y funciones especiales: Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, Funciones especiales y series matemticas entre otras.
OBJETI%OS 2
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el proceso de formación de la unidad 3. Estudio Es tudio de series y funciones especiales: Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, Funciones especiales y series matemticas entre otras.
OBJETI%OS 2
!plicar los conocimientos adquiridos durante la unidad tres. !plicar y conocer los estudios de series y funciones especiales: "onocer las generalidad generalidades es del estudio de series, soluci solución ón de ecuaciones diferenciale diferencialess mediante serie de potencias, Funciones especiales y otras.
DESARROLLO DE LA PRI"ERA ACTI%IDAD INDI%IDUAL 3
P'()*'+ +,-((/+/ I/((/+: 3TE"S DE SELECCIÓN "LTIPLE CON NICA RESPUESTA ! continuación, usted encontrar preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o conte#to, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al $tem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. %na &ez la seleccione, mrquela con un ó&alo la que corresponda y justifique la respuesta. 'esponda las preguntas ( y ) con base a la siguiente información.
1. U )-/ +-*'+-( +'+ 8++' ,(* , *'(* /* -*,(+ /* *,+,(* /(*'*,(+* ,): p ( x ) ´ y +q ( x ) y´ + r ( x ) y =0 ; +'*/*/' /* - '/(+'( < = 0 * * método de la serie de Taylor. E-* )-/ + +'* /* + /*'(+/+ *++/+ * * - '/(+'(; ,+* * >-(** /* + *,+,(? /(*'*,(+ ' /(*'*,(+,(? ,*(+. C+/ * *,*-'+ + /*'(+/+; +) *@ + **)+ /* +' ((,(+ /* + *,+,(? /+/+ y´ −2 x ´ y + 8 y =0 ; con y ( 0 )=3, ´ y ( 0 )=0 es: !.
y =3 + 12 x + 4 x
+.
y =3 −12 x + 4 x
". *.
y =3 + 12 x + 3 x 2 4 y =3 −12 x + 3 x
2
2
2
3
4
3
R*(*/ y -2xy'+8y=0; con
y left (0 right ) =3, y' left (0 right ) =
C(/*'+/:
∝
y =
C x ∑ =
n
n
n 0
n C n x
n−1
, y = s! fro! "n=2# to "∝# "n left (n-1 right ) "$# rs% "n# "x# & "n-2## ∝
y ' =
¿ ∑ = n 1
S-(-*/ * + E.D:
6
∝
n ( n −1 ) C x ∑ =
n −2
n
∝
−2 x ∑ n C n x
n− 1
n=1
n 2
∝
+ 8 ∑ C n x n=0 n =0
R**,'(>(*/ + E.D ∝
n ( n −1 ) C x ∑ =
n −2
n
∝
∝
−2 ∑ nC n x + 8 ∑ C n xn =0 n
n=1
n 2
n= 0
S(: k =n−2
k =n
k =n
k =0
k =1
k =0
n= k + 2
n= k
n= k
REE"PLAANDO : ∝
( k +2 ) ( k +2−1 ) C + x ∑ =
∝
k + 2−2
k 2
−2 ∑ k C k x + 8 ∑ C k x k = 0 k =1
k 0
∝
∝
k
k =0
∝
∝
( k +2 ) ( k +1 ) C + x −2 ∑ k C x +8 ∑ C x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k
k
k 0
k
k 1
k 0
L*@: ∝
∝
∝
( 2 ) (1 ) C 2 x +8 c 0 x +∑ ( k + 2 ) ( k + 1 ) C k +2 x −2 ∑ kC k x + 8 ∑ C k x k =0 0
0
k
k
k =1
k =1
∝
2C 2 + 8 c 0 +
∝
∝
( k + 2 ) ( k +1 ) C + x −2 ∑ kC x +8 ∑ C x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k 1
k
k
k
k 1
k 1
∝
2C 2 + 8 c 0 +
k =1
[ ( k + 2 ) ( k + 1 ) C + − 2kC +8 C ] x =0 ∑ = k
k 2
k
k
k 1
7
I@++/ + E0E '1*'>G%E/ !!0/!
4
!
!'@! A1SB !'2@0E/ +!'+1S!
5
!
E00>S C!A!>'! E! %''EG1
)
E00>S C!A!>'! E! %''EG1
9
'espuesta ( y ) !
C%*>+E2D G10/!E/ '1A!S
10
F!2! 'ES-%ES2!
E00>S C!A!>'! E! %''EG1
6 7 #
DESARROLLO DE LA PRI"ERA ACTI%IDAD GRUPAL
P'()*'+ +,-((/+/ G'+:
27
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respecti&os en el foro colaborati&o con el fin de reconocer las caracter$sticas del problema que se a planteado y buscar el m?todo de solución ms apropiado segn las ecuaciones diferenciales de primer orden.
P'>*)+: Si tenemos en cuenta que la carga en el capacitor de un circuito '" queda descrita por: 1 - ´q ( t ) + + q´ ( t ) + q ( t ) = ( t ) , donde es la >nductancia, ' la resistencia, " la capacitancia y E C
la fuente de &oltaje. "omo la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que + ( t ) =1+
t / . 10
0i - =0,1 1enrio,C =2 faradio, ( t )=0, q ( 0 ) =10 co&(o2) y ´q ( 0 )= 0
*etermine al menos los primeros cuatro t?rminos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a t9 8 para la carga del capacitor.
"onsideramos la ecuación: '
q ( t ) =
*eri&amos:
∞
− nC t ∑ =
∞
n 1
q ( t ) ' ' =
n
n 1
− n ( n −1) C t ∑ =
n 2
n
n 2
28
Sustituimos: ∞
n ( n−1 ) C t ∑ =
n −2
n
n ( n−1 ) C t ∑ =
n −2
n
∞
n =0
∞
∞
+ ∑ 10 nC n t +∑ nC n t + ∑ 5 C n t n=0 n−1
n= 1
n 2
∞
+ ( 10 + t ) ∑ nC n t + 5 ∑ C n t n=0 n− 1
n =1
n 2 ∞
∞
n
n=1
n=0
Se tiene en cuenta para la primera sumatoria k =n−2 k =n−1 para la segunda sumatoria k =n
en las dos ltimas sumatorias. k + 1 ¿ C
¿
¿ k + 1t k +1−1 10 ¿ ∞
(k + 2 )( k + 2 −1) C + t ∑ =
k + 2− 2
k 2
k 0
∞
+∑ ¿ k =0
k + 1 ¿ C
¿ ¿ k + 1 t k 10 ¿ ∞
∞
(k + 2 )( k + 1 ) C + t + ∑ ¿ ∑ = = k
k 2
k 0
k 0
29
k + 1 ¿ C
¿ ¿ k + 1 t k 10 ¿ ∞
∞
(0 + 2 )( 0 + 1 )C 0 +2 t + 10 (0 + 1 )C 0 +1 t + 5C 0 t + ∑ ( k + 2)( k + 1) C k +2 t + ∑ ¿ 0
0
0
k
k =0
k + 1 ¿ C
¿ ¿ k + 1 t k 10 ¿ ∞
2 C 2 + 10 C 1 + 5 C 0 +
∞
¿ ∑= (k + 2)( k + 1) C + t +∑ = k
k 2
k 1
k 1
k + 1 ¿ C
¿ (k + 2 )( k + 1 ) C k +2+ 10 ¿ t k ¿ ¿ ∞
2C 2 + 10C 1 + 5 C 0 +
¿ ∑ = k 1
1btenemos: 2C 2 + 10 C 1 + 5 C 0 =0 ;(< k + 1 ¿ C
;)< ¿ ( k +2 )( k + 1 ) C k +2+ 10 ¿ Se establece: C 0 =q ( 0 )=10 C 1= q ( 0 )=0 '
se obtiene de la ecuación (: 30
k =0
C 2 =
−10∗0−5∗10 2
C 2 =−25
*e la ecuación ) aciendo k =1 se obtiene 1 +1 ¿ C
¿ (1 + 2)( 1+ 1 ) C 1+ 2+ 10 ¿ C 3 + 20 C 2+ C 1= 0
C 3 + 20∗−25 + ∗0 =0
C 3 =
250 3
uego aciendo k =2 se tiene 2+ 1 ¿ C
¿ ( 2 + 2 )( 2+ 1) C 2 +2+ 10 ¿ 12C 4 + 30 C 3+ C 2= 0
12C 4 +
30∗250 + ∗−25= 0 3
31
C 4=
−5 4
q ( t )=C 0 + C 1 t + C 2 t + C 3 t + C 4 t + . … . 2
2
q ( t )=10 + 0 t −25 t +
3
4
250 3 5 4 t − t + . …. 3 4
2
q ( t )=10 −25 t +
250 3 5 4 t − t + . 3 4
SEGUNDA ACTI%IDAD GRUPAL: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborati&a deben e&aluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes e#tras a la solución. Si el grupo considera que el proceso yo respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la obser&ación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes e#tras a la solución. Situación y solución planteada: Enunciado y solución planteada: a solución de la Ecuación *iferencial con coeficientes no polinomiales 3 +( enx ) y =0 , Esta dada as$:
32
%sando
la
serie
de
aclaurin
para
,
junto
con
la
suposición
usual
∞
y =
C x 4ene2o q&e * ∑ = n
n
n 0
∞
y´ + ( enx ) y =
∑= n ( n−1 ) C x
n−2
n
n 2
(
2
4
x x x + 1 − + − +… 2! 4! !
)∑ ∞
C n x
n
n =0
O>*'+,(?: "onsidero que el proceso se encuentra incorrecto, ya que debemos tener en cuenta que el 3
desarrollo en serie de
5
x x x en x = x − + − + … ; 3 ! 5! !
enxe *
en el anterior planteamiento encuentro que la sustitución esta errada, ya que estn utilizando como referencia el desarrollo para cos x H no obstante, se procede a corregir con Sen #, siguiendo as$ el procedimiento. a función en serie de aclaurin es: 3
5
x x x x en x = x − + − + + … ; 3 ! 5! ! !
-or tanto tenemos que: ∞
y´ + ( enx ) y =
∑= n ( n−1 ) C x n
n 2
n−2
(
3
5
x x x + x − + − + … 3! 5! !
(
)
∞
C x ∑ =
n
n
n 0
3
5
)
x x x 2 3 y´ + ( enx ) y = 2C 2+ C 3 x + 12 C 4 x + 20 C 5 x + … + x − + − + … ( C 0 + C 1 x + C 2 x + C 3 x + … ) 3! 5! ! 2
3
2
(
y´ + ( enx ) y = 2C 2+ ( C 3 + C 0 ) x + ( 12 C 4 + C 1) x + 20 C 5 + C 2−
33
)
1 3 C 0 x + ..= 0 3!
Se tiene que 2C 2=0
C 3 + C 0=0 12C 4 + C 1=0
20 C 5 + C 2−
1 C =0 3! 0
'esol&iendo tenemos: C 2 =0 ,C 3=
−1
C 0 , C 4=
−1 12
C 1 ,C 5=
1 C 120 0
!grupando los t?rminos llegamos a la solución general y = c0 y 1 ( x )+ c 1 y 2 ( x ) , donde 1 3 1 5 1 4 y 1 ( x )=1 − x + x −⋯ y y 2 ( x )= x − x + ⋯ 120 12
a ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia con&ergen para II J 7.
34
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