100412_136_trabajo_fase 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES FASE TRES Presentado a: JORGE ENRRIQUE TABOADA Tutor

Entregado por: Misael Esneider Losada Gómez Código: 1077868149 Sindy Yohana Rojas Celis Código: 1083877119 Hugo Armando Garzón Quiroga Código: 1075540016 Juan Carlos Vargas Rivera Código: 1.082.215.848 Alexander Pastrana Conde Código: 7709667

Grupo: 100412_136

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL CEAD NEIVA MAYO DEL 2016 NEIVA

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INTRODUCCION Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

Una ecuación diferencial es una función que, al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. La tercera actividad se encuentra dividida en dos partes y se realizara en grupo colaborativo a partir del reconocimiento, análisis, construcción y solución de problemas. Está se encuentra organizada en tres fases y cada una de ellas se encuentra asociada a una unidad del curso. Con todos los ejercicios desarrollados se busca adquirir las habilidades para la resolución de ecuaciones diferenciales a fin de lograr una mayor apropiación de cada tema y tener un punto de partida para las unidades posteriores del curso.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL



En la actividad se deben desarrollar los momentos del aprendizaje basado en problemas por lo tanto debe primero reconocer el problema planteado en la guía, luego en grupo analizarlo y plantear soluciones y con el apoyo de los contenidos, ideas grupales y retroalimentación del tutor hacer una síntesis con el fin de elaborar un producto final de la fase 3 para ser presentado en el entorno de evaluación y seguimiento. OBJETIVOS ESPECIFICOS:

  

Realizar como mínimo un aporte al análisis y evaluación a la solución presentada puede ser incluyendo procedimiento, formulas etc. Análisis y evaluación a la solución presentada incluyendo complementos de procedimiento, formulas etc. Construir con el grupo colaborativo la solución al problema planteado y entregar la actividad en formato de trabajo con normas APA

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL Temática:

ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor: dy 1 = y ( 0 )=0 dx x + y +1´

Respuesta Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA dy 1 = y ( 0 )=0 dx x + y +1' ' y= y ( 0 ) + y ( 0 )∗x +

'' ' '' y ( 0) 2 y ( 0) 3 x+ x 2! 3!

y (0)= 0

RAZON O EXPLICACION

Forma original de la E.D

Forma general de la serie taylor Valor inicial

1 y +¿ ¿ y ' ( 0 )=¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1+¿ y ' ' ( 0 )=−¿

Alexander Pastrana

Primera derivada de la solución propuesta 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿−¿

Segunda derivada de la solución

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1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ) 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1¿ y '' ' ( 0 )=2 ¿

Tercera derivada de la solución

1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿2¿

1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿¿

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1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿−2 ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿−3 ¿ −¿ y=¿

Se reemplaza en la forma de la serie de taylor

1 (¿ ¿ 3−1−2) 2 1−5 +3∗1−4 +2−13 3 ∗x + ∗x 2 6 y = y 1 x +¿ y=x +

−2 2 1+ 3+2 3 x + x 2 6

y=x - x 2+ x 3−x 4 + x5 +… .. ∞

y=∑ x ∗(−1) n

n +1

n=1

dy 1 = y ( 0 )=0 dx x + y +1'

Se reemplazan los valores previamente encontrados Se simplifica Se obtiene la solución Solución en forma de serie

Forma original de la E.D

y '' ( 0 ) 2 y ' '' ( 0 ) 3 y= y ( 0 ) + y ( 0 )∗x + x+ x 2! 3!

Forma general de la serie taylor

y (0)= 0

Valor inicial

'

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1 y +¿ ¿ y ' ( 0 )=¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1+¿ y ' ' ( 0 )=−¿

Primera derivada de la solución propuesta 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿−¿

1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ) 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1¿ y '' ' ( 0 )=2 ¿

Segunda derivada de la solución

Tercera derivada de la solución

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1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿2¿

1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿¿

1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿−2 ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ 1 y +¿ ¿ ¿−3 ¿ −¿ y=¿

Se reemplaza en la forma de la serie de Taylor

1 (¿ ¿ 3−1 ) 2 1 +3∗1−4 +2−13 3 ∗x + ∗x 2 6 y = y 1 x +¿ −2

y=x +

−5

−2 2 1+ 3+2 3 x + x 2 6

y=x - x 2+ x 3−x 4 + x5 +… ..

Se reemplazan los valores previamente encontrados Se simplifica Se obtiene la solución

2. Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de :

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES ∞

(−2)n ∑ (n+ 1) (x−3)n n=0

Respuesta Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞ (−2 )n ∑ n+1 ( x−3 )n n=0 lim

n →∞

| |{ ( an +1) an

¿ 1 coverge → ¿1 diverge ¿ 1 no decide

|

(−2 )n+1 ( x−3 )n+1 n+ 2 lim n →∞ (−2 )n ( x−3 )n n+1

Se reemplaza la serie en la fórmula del criterio

|

(−2 )n +1 ( x−3 )n +1∗( n+1) lim n →∞ (−2 )n ( x−3 )n∗(n+ 2) lim

n →∞

|

(−2)( x−3)(n+1) (n+2)

Serie a resolver

Criterio del cociente

|

|

JUAN CARLOS VARGAS RAZON O EXPLICACION

|

Se opera extremos y medios

Se simplifica Puesto que n tiende a infinito,

lim |(−2)( x−3)|=lim 2|(x −3)|

n →∞

n→∞

n+1

se divide n+2 ,

lo cual es

aproximadamente igual a 1

1 2| x−3|