100411 Grupo 478 Fase4 Trabajo

Trabajo colaborativo 3.

Roberto Antonio Valbuena Romero Maria Lucrecia Cañon Sandra Liliana Martinez Yeyson Ferney Sierra Rodríguez Marcos Daniel Cardenas

Grupo: 478 Tutor: Rafael Humberto Jurado

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuelas de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Ingeniería Electrónica Chiquinquirá 2016

Introducción

Gracias al desarrollo al análisis y comprensión de las diferentes teorías matemáticas básicas lograremos la comprensión de los diferentes problemas del mundo real y científico ya que gracias a la metodología del curso se logra que los estudiantes desarrollemos diferentes competencias como lo son la comparación, análisis, clasificación, deducción la abstracción, la inducción entre otras. Este trabajo colaborativo está enfocado en reforzar los conocimientos en cuanto al tema de integrales definidas de una función dada, reconociendo las integrales 𝑏 impropias y a su vez si ellas convergen (si existe el limite lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ) o 𝑏→+∞

divergen (no existe el límite, f tiene una integral impropia divergente en [a, + ). Además de esto, se realizaran ejercicios aplicando las propiedades y definiciones propias de las integrales, diferenciando cada una de ellas. Todos estos ejercicios nos proporcionaran conocimientos y permitirán agilizar nuestra mente para que en un futuro en nuestras carreras podamos desarrollarnos mejor en temas como el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes, entre otras. La utilidad de este curso va más allá del cálculo integral nos ayudara más adelante con diferentes materias que tenderemos que desarrollar a lo largo de nuestra carrera profesional y además nos ayudara a complementar los conocimientos para llegar a ser unos buenos profesionales. Por otra parte el desarrollo grupal del trabajo nos ayuda a crear un ambiente de debate constructivo donde podremos evidenciar falencias y virtudes de cada uno de los integrantes del grupo.

Primera parte 1. Hallar el área que, en el primer cuadrante está limitada por la siguiente función 𝑦 = 6𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 Dibujamos la función en la cual se trabajara dentro del cuadrante 1

Sombreamos la región límite dentro del cuadrante 1

Realizamos la integración 𝑓(𝑦) = 6𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3

𝑓(𝑥) = 6 + 2𝑥 − 3𝑥 2 𝑦 Se elimina el cero y el 2

𝑓(𝑥) 𝑦

= 0 + 2 − 6𝑥 𝑓(𝑥) = −6 𝑦 3

La integral definida para el área seria ∫0 6𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 3

Evaluando la integral definida: ∫0 6𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3

Aplica la regla de la suma: ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥 2 𝑥3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 3 2

𝑥4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 4 3

𝑥3

= 3𝑥 2 + 3 −

𝑥4 4

+c

Calcular los límites lim +(3𝑥 2 + 𝑥→0

lim − (3𝑥 2 +

𝑥→3

=

𝑥3 3

𝑥3 𝑥4 63 − )= 3 4 4

63 −0 4

−

𝑥4 4

)=0

2. Encuentre el área de la región comprendida entre la parábola

y 2  x  3 y la

y  x 5

recta

Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

𝑥 =𝑦+3

𝑥 = 𝑦2 + 3

𝑑𝐴 = ℎ . 𝑑𝑦 ℎ = 𝑦 + 5 − (𝑦 2 + 3) = 𝑦 − 𝑦 2 − 3 + 5 ℎ = −𝑦 2 + 𝑦 + 2 𝑑𝐴 = (− 𝑦 2 + 𝑦 + 2 ) 𝑑𝑦 2

𝐴 = ∫(−𝑦 2 + 𝑦 + 2) 𝑑𝑦 −1

−𝑦 3 𝑦 2 𝐴= + + 2𝑦 3 2 𝐴= 𝐴=

−23 3

+

22 2

+ 2(2) − (

3

+

(−1)2 2

− 2)

−8 1 1 + 2 + 4 − ( + − 2) 3 3 2 8

𝐴 = 2+4+2−3−

𝐴=

−(−1)3

1 3

−

1 2

=8 −

9 3

−

48 − 18 − 3 30 − 3 27 9 = = = 6 6 6 2

1 2

Área:

9 2

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.

3. hallar el área de superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la gráfica de 𝑦 = 2√𝑥 entre X=3 y X=8 alrededor del eje x. Tener en cuenta que. El área lateral (excluyendo los extremos) del solido 𝑏 resultante es: 𝑆 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥 Hallamos la primera derivada de: 2√𝑥 Sacamos la constante:

𝑑 2 √𝑥 𝑑𝑥

𝑑 √𝑥 𝑑𝑥 Teniendo esto decimos que la raíz cuadrada es igual a: 2

2 Aplicamos la regla de la potencia: 2

𝑑 1 𝑥2 𝑑𝑥

𝑑 1 1−1 ∗ 𝑥2 𝑑𝑥 2 2 1−1 𝑥2 2 1

1𝑥 −2 1 Precedemos a hallar la integral

√𝑥

2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) √1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥 Remplazamos 2𝜋 ∫ 2√𝑥 √1 + ( Sacamos la constante.

1 √𝑥

2

) 𝑑𝑥

2 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∫ √𝑥 √1 + (

1 √𝑥

2

) 𝑑𝑥

Aplicamos sustitución.

Aplicamos la regla de la potencia.

𝑢 = √𝑥 𝑑 √𝑥 𝑑𝑥 1 1 ∗ 𝑥 2−1 2

1 2√𝑥 𝑑 1 = 𝑑𝑥 2√𝑥 1 𝑑𝑥 2𝑢 𝑑𝑢 2𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 =

1 2 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∫ 𝑢 √1 + ( ) 2𝑢 𝑑𝑢 𝑥 Sacamos la constante.

2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∫ 𝑢 √1 + ( 2 ∗ 2 ∗ 2𝜋 ∫ √1 + ( 𝑢 = √𝑥

1 ) 𝑢 𝑑𝑢 𝑥

1 ) 𝑢2 𝑑𝑢 𝑥

𝑥 = 𝑢2

1 2 ∗ 2 ∫ √1 + ( 2 ) 𝑢2 𝑑𝑢 𝑢 Integramos por partes 1 𝑢 =√ 2 +1 𝑢 𝑣′ = 𝑢2 𝑑 1 =√ 2 +1 𝑑𝑢 𝑢

1 +1 𝑢2

𝑣= 𝑑 √𝑣 𝑑𝑣

𝑑 1 ( + 1) 𝑑𝑢 𝑢2 𝑑 √𝑣 𝑑𝑣 𝑑 1 𝑣2 𝑑𝑣 1 1−1 𝑣2 2 1 −1 𝑣 2 2 1 2 √𝑣

𝑑 1 ( + 1) 𝑑𝑢 𝑢2 𝑑 1 ( ) 𝑑𝑢 𝑢2

𝑑 1 𝑑𝑢

𝑑 −2 𝑢 𝑑𝑢 −2𝑢−2−1 −2𝑢−3 2 − 3 𝑢 𝑑 1=0 𝑑𝑢 1 2 √𝑣

(−

1 1 2√ 2 + 1 𝑢

2 ) 𝑢3 (−

2 ) 𝑢3

1

−

∗

2 𝑢3

1 2√ 2 + 1 𝑢 2 − 1 2√ 2 + 1 𝑢3 𝑢 2

−

1 2√ 2 + 1 𝑢3 𝑢 1 − √ 12 + 1 𝑢3 𝑢

1 √ 2 +1 𝑢 1 1 1 +1= 2 + 2 𝑢 𝑢 1 1 1 1 + 𝑢2 + = 𝑢2 1 𝑢2 1 + 𝑢2 √ 𝑢2 √1 + 𝑢2 √𝑢2 − Aplicamos la ley de extremos −

1 𝑢3 √1 + 𝑢2 √𝑢2 √𝑢2 𝑢3 √1 + 𝑢2

𝑣 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 𝑢2+1 𝑢3 = 2+1 3

2 ∗ 2 (√

1 +1 𝑢2

𝑢3 √𝑢2 𝑢3 − ∫ (− ) 𝑑𝑢) 3 𝑢3 √1 + 𝑢2 3

1 1 √𝑢2 𝑢3 3 √ 2 ∗ 2( + 1 𝑢 − ∫− 𝑑𝑢) 3 𝑢2 𝑢3 √1 + 𝑢2 3

1 1 1 √𝑢2 2 ∗ 2 ( √ 2 + 1 𝑢3 − (− ∫ 𝑑𝑢)) 3 𝑢 3 √1 + 𝑢2

1 1 1 𝑢 2 ∗ 2 ( √ 2 + 1 𝑢3 − (− ∫ 𝑑𝑢)) 3 𝑢 3 √1 + 𝑢2

Aplicamos la integración por sustitución. 𝑣 = 1 + 𝑢2 𝑑 𝑑 = 𝑢2 =1 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑 = 2 𝑢2−1 𝑑𝑣 𝑑 = 2𝑢 𝑑𝑣 𝑑 =1=0 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑢 1 𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 2𝑢 ∫

𝑢 √𝑣

∫

∗

1 𝑑𝑣 2𝑢

1 2√𝑣

𝑑𝑣

1 1 1 1 2 ∗ 2 ( √ 2 + 1 𝑢3 − (− ∫ 𝑑𝑣)) 3 𝑢 3 2√𝑣 1 1 1 1 1 2 ∗ 2 ( √ 2 + 1 𝑢3 − (− ∗ ∫ 𝑑𝑣)) 3 𝑢 3 2 √𝑣 1 1 1 1 1 2 ∗ 2 ( √ 2 + 1 𝑢3 − (− ∗ ∫ 𝑣 −2 𝑑𝑣)) 3 𝑢 3 2

1

1 1 1 1 𝑣 −2+1 3 √ 2∗2( + 1 𝑢 − (− ∗ 𝑑𝑣)) 3 𝑢2 3 2−1 + 1 2 1

1 1 1 1 ((√𝑥)2 + 1)−2+1 3 2 ∗ 2( √ + 1 𝑥 − (− ∗ 𝑑𝑣)) √ 1 3 (√𝑥)2 3 2 −2 + 1 3 1 1 √𝑥 + 1 (4 ( √ + 1 𝑥 2 + )) + 𝐶 3 𝑥 3 8 3 1 1 √𝑥 + 1 (4 ( √ + 1 𝑥 2 + )) 3 𝑥 3 3 3 3 1 1 1 1 √3 + 1 √8 + 1 4 ( √ + 1 32 + ) − (4 ( √ + 1 82 + )) 3 3 3 3 8 8

2𝜋 (36 −

32 152𝜋 )= 3 3

4. hallar la longitud de la curva 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3/2 entre x=0 y x=2/3 𝑏 Considerar que: la longitud de la curva es: 𝐿 = ∫𝑎 √1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥 Hayamos la primera derivada de: 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3/2 3 𝑑 (4𝑥 2 ) 𝑑𝑥

4

𝑑 3 𝑥2 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de la potencia 4∗

3 3−1 𝑥2 2

12𝑥1/2 = 6√𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = 6√𝑥 Ahora sustituimos los valores 2 3

𝐿 = ∫ √1 + (6√𝑥)2 𝑑𝑥 0

Aplicamos sustitución 𝑢 = 1 + (6√𝑥)2 Hallamos la derivada de (6√𝑥)

2

Aplicamos la regla de la cadena 𝑢 = 6√𝑥 𝑑 𝑑 (𝑢2 ) (6√𝑥) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 (𝑢2 ) 𝑑𝑢

Aplicamos la regla de la potencia 2𝑢2−1 = 2𝑢

𝑑 (6√𝑥) 𝑑𝑥 Sacamos la constante 6

𝑑 (√𝑥) 𝑑𝑥 6

𝑑 1 𝑥2 𝑑𝑥

Aplicamos la regla de las potencias 1 1 6 ∗ ∗ 𝑥 2−1 2 3

√𝑥 2𝑢

3 √𝑥

2 ∗ 6√𝑥 ∗

3 √𝑥

= 36

𝑑𝑢 = 36𝑑𝑥 𝑑𝑢

1 = 𝑑𝑥 36

∫

√𝑢 𝑑𝑢 36

Sacamos la constante 1 ∫ √𝑢 𝑑𝑢 36 Aplicamos la regla de la potencia 1

1 𝑢2+1 ∗ 36 1 + 1 2 1

1 (1 + (6√𝑥)2 )2+1 ∗ 1 36 2+1

3 1 ∗ (36𝑥 + 1)2 54

Evaluamos en los límites 3 1 ∗ (36 ∗ 0 + 1)2 54 1 54

3 1 2 125 ∗ (36 ∗ + 1)2 = 54 3 54

125 1 62 − = 54 54 27 Segunda parte

5. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la 𝑥 región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥 2 y la recta 𝑦 = 2, x=1 Y x=2 Este ejercicio se realiza por medio de arandelas Para lo cual se halla el radio interno (r), el radio externo (R) y la altura (h) 𝑥

Radio interno, este está definido por la recta 𝑦 = 2 𝑟=𝑦 𝑟=

𝑥 2

Radio externo, este está definido por la curva 𝑦 = 𝑥 2 𝑅=𝑦 𝑅 = 𝑥2 La altura está definida por dx ℎ = 𝑑𝑥 Ahora hallamos el volumen de la arandela 𝑉 = 𝜋𝑅 2 ℎ − 𝜋𝑟 2 ℎ Sacamos factor común 𝑉 = 𝜋(𝑅 2 − 𝑟 2 )ℎ

El volumen de la arandela corresponde a dv 𝑥 𝑑𝑣 = 𝜋 [(𝑥 2 )2 − ( )2 ] 𝑑𝑥 2 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝜋 [(𝑥 ) − ( )] 𝑑𝑥 4 4

Como el sólido está compuesto por varias arandelas se debe integrar para hallar el volumen del solido 2

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝜋 (𝑥 4 − 1

𝑥2 ) 𝑑𝑥 4

2 1 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 4 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 4 1 2

𝑥5 1 𝑥3 𝑉 = 𝜋{ − ] } 5 4 3 1 2

𝑥5 𝑥3 𝑉 = 𝜋{ − ] } 5 12 1 Evaluamos los límites 25 23 12 13 𝑉 = 𝜋 {[ − ] − [ − ]} 5 12 5 12 𝑉 = 𝜋 {[

32 8 1 1 − ] − [ − ]} 5 12 5 12

2 1 1 𝑉 = 𝜋 {[5 − ] − [ − ]} 3 5 12 𝑉 = 𝜋 {[

384 − 40 12 − 5 ]−[ ]} 60 60

𝑉 = 𝜋{

344 7 − } 60 60

𝑉 = 𝜋{ 𝑉=

337 } 60

337 𝜋 𝑢3 60

6. Hallar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x=-1 la región encerrada por la parábola 𝑥 = 𝑦 2 y la recta x= 2y

Los puntos de intersección son (0,0) y (4,2) Al rotar la figura sobre el eje x=-1, el disco hueco que se genera tiene un radio exterior 𝑅 = (2𝑡𝑖 + 1) su radio interno 𝑟 = (𝑡𝑖 2 + 1) y su altura será ℎ = ∆𝑦1 El volumen de revolución del solido al girarlo sobre el eje x=-1 queda 𝑛

𝑉 = lim 𝜋 ∑[(𝑅)2 − (𝑟)2 ] ℎ ‖𝑝‖→0

𝑖=0

Remplazamos términos 𝑛

𝑉 = lim 𝜋 ∑[(2𝑡𝑖 + 1)2 − (𝑡𝑖2 + 1)2 ] ∆𝑦𝑖 ‖𝑝‖→0

𝑖=0

Integramos la expresión 2

𝑉 = 𝜋 ∫ [(2𝑦 + 1)2 − (𝑦 2 + 1)2 ] 𝑑𝑦 0 2

𝑉 = 𝜋 ∫ (−𝑦 4 + 2𝑦 2 + 4𝑦) 𝑑𝑦 0 2

−𝑦 5 2𝑦 3 4𝑦 2 𝑉 = 𝜋{ + + ] } 5 3 2 0 Evaluamos los límites −(2)5 2(2)3 4(2)2 −05 2(0)3 4(0)2 𝑉 = 𝜋 {[ + + ]−[ + + ]} 5 3 2 5 3 2 𝑉 = 𝜋 {[

−32 16 16 + + ] − [0]} 5 3 2

𝑉 = 𝜋 {[

104 ] − [0]} 15

𝑉=

104 𝜋 15

7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Considere la densidad lineal como: (x)  R𝑥 2

p(60)=R602 = 3600 R = 7200 ,R=2

Calculamos la masa total:

𝑥=60

M = ∫𝑥=0

60

𝑥3

dm=∫0 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ( 3 ) = 2 ∗

603 3

= 144000gr

Masa total: 144 kg

Calculamos el centro de masas:

M * 𝑋 𝐺 = ∫ 𝑥𝑑𝑚

∫

60

2𝑥 3 𝑑𝑥

𝑋 𝐺 = 0144000

= 45cm

8. Encuentre el centroide de la región limitada por la rama de parábola 𝒚 = √𝒙 el eje X y la recta x=4 Para encontrar el centroide de la región limitada, hacemos el siguiente procedimiento: Figura:

4

𝐴 = ∫ (√𝑥 − 0)𝑑𝑥 0

4

1

𝐴 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 0

2 3 4 𝐴 = 𝑥2 ∫ = 3 0 3 2 3 𝐴 = (42 − 02 ) 3

2 16 𝐴 = (8) = 3 3 𝑏

∫ 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝐶𝑒 = (𝑥) = 𝑎 𝐴 4

1

∫ 𝑥 (𝑥 2 − 0) 𝑑𝑥 0 4

3

= ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 0 5 2 5 4 2 5 = 𝑥 2 ∫ = (42 − 02 ) 5 5 0

2 64 = (32) = 5 5 64 = 5 16 3 =

192 96 48 = = 80 40 20 =

𝟏𝟐 𝟓

1 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 ] 𝐶𝑒(𝑦) = 2 𝑑𝑥 𝐴 1 4 1 4 2 2 ∫ (√𝑥) − 0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 2 0 2 0 1 2 4 1 = 𝑥 ∫ = (42 − 02 ) 4 4 0

1 = (16) = 4 4 4 12 𝐶𝑒(𝑦) = 1 = 16 16 3 = El centroide es (𝟐. 𝟒 ,

𝟑 𝟒

𝟎. 𝟕𝟓)

9. Se arroja una piedra desde un puente con una velocidad inicial de 8m/s, después de lo cual cae con la aceleración de la gravedad (9.8 m/s2). Encontrar la distancia que recorre en los primeros tres (3) segundos. Considerar: 𝒗(𝒕) = ∫ 𝒂(𝒕) 𝒅𝒕 + 𝑽𝒐 , donde Vo es la velocidad en t = 0 o velocidad inicial y a(t) la aceleración.

𝑣(𝑡) = ∫ 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑉𝑜 𝑣(𝑡) = 𝑎(𝑡) ∗ 𝑡 + 𝑉𝑜

𝑠(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑠(𝑡) = ∫(𝑎(𝑡) ∗ 𝑡 + 𝑉𝑜 ) 𝑑𝑡 3

𝑠(3) = ∫ (𝑎(𝑡) ∗ 𝑡 + 𝑉𝑜 ) 𝑑𝑡 0

𝑉𝑜 = 8𝑚/𝑠 𝑎(𝑡) = 9.8𝑚/𝑠 2 3

𝑠(3) = ∫ (9.8𝑡 + 8) 𝑑𝑡 0

3 𝑡2 𝑠(3) = (9.8 + 8𝑡) 2 0 𝑠(3) = (9.8

(3)2 (0)2 + 8(3)) − (9.8 + 8(0)) = 68.1 𝑚 2 2

La respuesta es: recorre 68.1 m en los 3 segundos después del lanzamiento.

Tercera parte

10. Un resorte sin carga mide 0.5 m y se requiere de una fuerza de 12 N para alargarlo 0.1 m. Calcular el trabajo realizado al estirar el mismo resorte de su longitud original a una longitud de 0.75 m. 𝑥𝑓

𝑊 = ∫ (−𝑘𝑥) 𝑥𝑖

Hallamos la k 𝐹 = −𝑘𝑥 𝐹 = −𝑘 𝑥 12𝑁 = −𝑘 0,1𝑚 120

𝑁 = −𝑘 𝑚 𝑥𝑓

𝑊 = ∫ (−𝑘𝑥) 𝑥𝑖

1 2 1 2 𝑘𝑥 − 𝑘𝑥 2 𝑖 2 𝑓 1 1 (120)(0,252 ) − (120)(02 ) 2 2 1 (120)(0.0625) − 0 2 3.75 11. La función de demanda para un producto es 𝑃 = 𝐷(𝑥) = 100 − 0.05𝑥, en donde P es el precio por unidad (en pesos) de x unidades. La función oferta es 𝑆(𝑥) = 10 + 0.1𝑥 . Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) y el Excedente del Producto (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio. Solución. Cuando el mercado está en equilibrio es el encuentro entre la demanda y la oferta, es decir, el punto en el cual se interceptan ambas funciones. Encontremos las coordenadas: 𝐷(𝑥) = 𝑦 = 100 − 0.05𝑥

𝑆(𝑥) = 𝑦 = 10 + 0.1𝑥 Igualando ambas y, tenemos: 100 − 0.05𝑥 = 10 + 0.1𝑥 90 = 0.15𝑥 𝑥 = 600 Reemplazando el valor que nos dio de x en D(x), tenemos: 𝑦 = 100 − 0.05(600) 𝑦 = 100 − 30 𝑦 = 70 El punto es: (600, 70) Usamos la fórmula del Excedente del Consumidor (E.C.) y del Excedente del Producto (E.P.) ∅

𝐸𝑐 = ∫ (𝐷(𝑥) − 𝑃𝑜 ) 𝑑𝑞 0

∅

𝐸𝑝 = ∫ (𝑃𝑜 − 𝑆(𝑥)) 𝑑𝑞 0

𝐷(𝑥) = 100 − 0.05𝑥 𝑃𝑜 = 70 𝑆(𝑥) = 10 + 0.1𝑥 

Excedente del Consumidor (E.C.) 600

𝐸𝑐 = ∫

(100 − 0.05𝑥 − 70) 𝑑𝑥

0 600

𝐸𝑐 = ∫

(30 − 0.05𝑥) 𝑑𝑥

0

Integrando: 𝐸𝑐 = (30𝑥 − 0.05

𝑥 2 600 ) 2 0

Evaluando la integral definida: (600)2 )−0 2 𝐸𝑐 = 9000

𝐸𝑐 = (30(600) − 0.05



Excedente del Producto (E.P.) 600

𝐸𝑝 = ∫

(70 − (10 + 0.1𝑥)) 𝑑𝑥

0 600

𝐸𝑝 = ∫ 0

(60 − 0.1𝑥) 𝑑𝑥

Integrando 𝑥 2 600 𝐸𝑝 = (60𝑥 − 0.1 ) 2 0 Evaluando la integral definida: (600)2 )−0 2 𝐸𝑝 = 18000

𝐸𝑝 = (60(600) − 0.1

12. La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es 𝐶 ′ (𝑥) = 𝑥 + 100, donde x es el número de unidades producidas. Se sabe también que el costo total es $40000, cuando x = 100. Determine la función de costo total C (x). Integramos el costo marginal 𝐶𝑥 = ∫ 𝑥 + 100 𝑑𝑥 𝐶𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 100 𝑑𝑥 𝑥2 𝐶𝑥 = + 100𝑥 + 𝐶 2 Como el costo total de producir 100 unidades es 40000 entonces 𝐶𝑥 =

𝑥2 + 100𝑥 + 𝐶 2

1002 40000 = + 100(100) + 𝐶 2 40000 = 5000 + 10000 + 𝐶 40000 − 5000 − 10000 = 𝐶 25000 = 𝐶 Entonces la función del costo total queda 𝐶𝑥 =

𝑥2 + 100𝑥 + 25000 2

Conclusiones



Gracias al desarrollo de las actividades lograremos crear conocimientos que nos ayudaran más adelante.



El crear un debate constructivo nos trae una ayuda para evidenciar nuestras virtudes y falencias.



El apoyo de los diferentes compañeros del grupo y las correcciones del tutor crean un entorno adecuado para el conocimiento.

Bibliografía Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Alicante: Digitalia. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?user=proveedor&pass=danue0a0 &url=http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=nlebk &AN=318092&lang=es&site=ehost-live&ebv=EB&ppid=pp_Cover Ortiz, C. F. J., & Ortiz, C. F. J. (2014). Cálculo integral. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID =11046762&tm=1460996791877 Benítez, E. (2014, mayo, 12). Sólidos de revolución – Método de discos. [Video]. Recuperado http://hdl.handle.net/10596/7144 Rivera, F. (2014). Cálculo y sus fundamentos para ingeniería y ciencias. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID =11013408&tm=1460997910102 Rondón, J. (2010). Cálculo integral. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7146 Salazar, J. M. (2010). Cálculo: apuntes de teoría y ejercicios resueltos. España: Servicio de Publicaciones. Universidad de Alcalá. Recuperado de

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID =10498356&tm=1460998000006