100411 295 Fase 4 Trabajo Colaborativo.

TRABAJO COLABORATIVO FASE 4 CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO POR: Jorge E. Aguilar Barros Ivan Andrés Barragán Linda Luz Brunal Gerolin José Cujia Valdés Osneinder José Gutiérrez

GRUPO: 100411_295

TUTOR Alejandro Moreno

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) NOVIEMBRE DE 2016

INTRODUCCION La integración es una herramienta matemática fundamental del cálculo, ésta permite resolver muchas de las cuestiones en diferentes ciencias del saber humano como la física, la economía, las ciencias sociales entre otras, por eso es necesario conocer los métodos de integración, en el presente trabajo se presentan diferentes métodos de integración, como lo es el método de sustitución e integración por parte, entre otros como método de fracciones parciales y sustitución trigo mentica; como lo es todo la practica hace al maestro y para poder dar soluciones a situaciones problema de la ciencias mencionadas es necesario conocer el método de solución matemático que estas situaciones requieren.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Primera parte (punto 1 al 4)

Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.

1. Hallar el área que, en el primer cuadrante, está limitada por el eje X y

por la siguiente función:

y  6 x  x 2  x3

Puntos de intersección con el eje de 6x + X Intersecta (0,0), (- 2, 0), (3,0) Y Intersecta (0,0) Puntos Extremos de 6x +

x 2−x 3

19−1 √¿ Mínimo ( √ 19−1 ,−2¿ 3

2+16 27

+

Puntos Críticos X=

√ 19−1 3

,

1+ √ 19 3

x=

f ' ( x ) 6+ 2 x−3 x 2 Dominio de 6x + X= -

x 2−x 3 : - ∞ < x< ∞

√19−1 , x= 1+ √ 19 3

3

2

x −x

3

Mínimo

–(

Máximo

19−1 √¿ ¿ √19−1 ,−2¿ 3

)

( 1+3√19 ,2 ( 1+√ 19) + 2−1627√ 19 )

Gráfica: Y= 6x +

x 2−x 3

2. Encuentre el área de la región comprendida entre la parábola y

la recta

y  x5

y 2=x−3, y=x−5

y 2=x−3 −¿

y2  x  3

y=x −5 y − y=x−3( x−5) 2

Simplifico.

y 2= y +2 2

resolver y = y +2 : y=2, y=−1 2

sustituir y =2, y =−1 en y =x−3 2

para y =x−3, sustituir con 2 ; x=7 para y 2=x−3, sustituir con−1; x=4 Verificando las soluciones sustituyéndolas en Ecuación 0. Quitar las que no concuerden con la ecuación.

por lo tanto ,la solucion finales para y 2=x−3, y=x−5 son

y=2, x=7 { y=−1, x=4 } con todo estos valores dibujola grafica de y 2=x−3, y=x−5.

3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de

y2 x

entre x = 3

y

x = 8 alrededor del eje X.

Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido b

S  2  f ( x) 1  ( f ' ( x)) 2 dx a

resultante es:

f ( x )= y =2 √ x=2 x 1/2 f ( x )= y =x −1 /2 dx=

1 dx √x

Reemplazando en la ecuación de S 8

2 √ x +1 dx=¿ ( 2 π ) ∫ 2U 3

1/ 2

[

8

]

[

]

8

[

]

[

4 4 4 4 4 dU =( 2 π ) U 3 /2 =( 2 π ) √ ( x+1 )3 =( 2 π ) √ ( 8+1 )3− √ ( 3+1 )3 = ( 2 π ) √( 9 ) 3 3 3 3 3 3 3 8

√

S=( 2 π ) ∫ 2 √ x 1+ 3

4. Hallar la longitud de la curva

f ( x)  4 x 3 / 2

( )

entre x = 0

y

b

L   1  ( f ' ( x)) 2 dx Considerar que: la longitud de la curva es:

8

8

1 2 1 dx=( 2 π )∫ 2 √ x 1+ dx= ( 2 π )∫ 2 x √x 3 3

a

Solución. Gráficamente, el ejercicio sería (con la ayuda de Geogebra):

x = 2/3.

√

Nos

faltaría

entonces

f ' (x) ,

intervalo de integración es: [0, 2/3] f ( x )=4 x 3/ 2=4 √ x 3 f ' ( x )=6 √ x

Reemplazando: 2 3

√

2

L=∫ 1+(6 √ x) dx 0

2 3

L=∫ √ 1+36 x dx 0

2 3

1

L=∫ (1+ 36 x ) 2 dx 0

Integrando: 3

(

)

1 L= ( 1+36 x ) 2 2/3 54 ¿0

L=

( ( ( )) ) (

L=

62 ≅ 2.296 27

1 2 1+ 36 54 3

3 2

−

3

1 ( 1+ 36 ( 0 ) ) 2 54

)

ya

que

el

Segunda parte (punto 5 al 8) 5. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región limitada por la curva

y=x

2

las rectas

Sugerencia: Utilizar el método de arandelas.

R ( X )= X 2 r ( x) =

x 2

r (x)¿2 R ( x ) ¿2−¿ dx ¿ π¿ b

v=∫ ¿ a

y=

x 2 ,

x=1

y

x=2

x 2 ¿ 2 x ¿ 2−¿ ¿ π¿ 2

v =∫ ¿ 1

2

[

∫ π x 4− 1

[

5

]

x2 dx 4

3 2

]

x x π − 5 12

1

[

2 2 1 1 − −π − 5 12 5 12

3

]

π

[

32 8 1 1 − −π − 5 12 5 12

] [

]

π

[ ] [ ]

π

[

π

5

3

] [

86 7 −π 15 60

86 7 − 15 60

337 π 60

]

5

6. Hallar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje encerrada por la parábola

x y

2

y la recta

x  2y

x  1

la región

(ver figura)

Solución. Tomamos la definición general del volumen del sólido de revolución para el caso de las arandelas. b

2

2

V =π ∫ ([ R ( y ) ] −[ r ( y ) ] ) dy a

Intervalo de integración, vista en la figura, es: [0, 2] Teniendo en cuenta que rota sobre el eje x = -1, las ecuaciones nos quedan: R ( y )=2 y+ 1 2

r ( y )= y +1

Reemplacemos en la ecuación: 2

V =π ∫ [(2 y +1)2 −( y 2 +1)2 ] dy 0

2

4 y + 4 y +1− y (¿ ¿ 4−2 y 2−1 )dy 2

V =π ∫ ¿ 0

2 y 2+ 4 y− y (¿¿ 4)dy 2

V =π ∫ ¿ 0

Integrando, nos queda: y3 y2 y5 2 V =π 2 + 4 − 3 2 5 ¿0

(

((

)

))

( 2 )3 ( 2 )2 ( 2 )5 ( 0 )3 ( 0 )2 ( 0 )5 104 π V =π 2 +4 − −2 +4 − = 3 2 5 3 2 5 15

)(

7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Considere la densidad lineal como:

 ( x)  Rx 2

Para R una constante. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y centro de masa (Ce). Ρ (x)= unidades de masa por unidad de longitud. R 7200= R 3600 por tanto R=7200/3600=2, D= R x˄2 7200=R 60˄2 7200=R3600 R=7200/3600 R=2

Luego tienes que la densidad es D= 2 x˄2 La Masa es la integral evaluada de 0 a 60 de la densidad D= 2x˄2 El centro de masa es la integral evaluada de 0 a 60 de la densidad multiplicada por x, es decir se debe encontrar la integral 2x˄3 y evaluarla

8. Encuentre el centroide de la región limitada por la rama de parábola,

y=√ x , el eje x y la recta x = 4. 2

∫ (4−√ x )dx −1

2

∫ (4−√ x )dx=4 x− −1

3 2

2 x +C 3

Calculamos los límites.

lim

(

x →−1+ 4 x−

¿

2x 3

3 2

.

)

=−4 +

2i 3

lim

(

x → 2− 4 x−

2x 3

¿

3 . 2

)

=8−

4 √2 3

2 √ 2−18+i 4 √2 2 i −2 8− −4+ = ¿ 3 3 3

Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. 9. Se arroja una piedra desde un puente con una velocidad inicial de 8 m/s, después de lo cual cae con la aceleración de la gravedad (9.8 m/s2).

Encontrar la distancia que recorre en los primeros tres (3) segundos.

Considerar:

v(t )   a (t ) dt  v0 ,

velocidad inicial y 3

v ( t )=∫ 0

a (t )

donde

v0

la aceleración.

9,8 m 8m dt+ 2 s s

3

v ( t )=9,8 m/s 2∫ dt + 0

8m s

v ( t )=

9,8 m 3 8 m 9,8 m 8m t |5 + = 2 ( 3 seg .−0 seg . ) + 2 s s s s

v ( t )=

9,8 m 8m ( 3 seg . ) + 2 s s

v ( t )=

31,4 m 8 m + s s

v ( t )=39.4 m/s

es la velocidad en t = 0

o

10. Un resorte sin carga mide 0.5 m y se requiere de una fuerza de 12 N para alargarlo 0.1 m. Calcular el trabajo realizado al estirar el mismo resorte de su longitud original a una longitud de 0.75 m.

F=12 N x=0,1 m

w=?

F=kx 12=k∗0,1

k=

12 0,1

k =120 F=120 x 0,25

w= ∫ 120 xdx 0

⌈

120 x 2 0,25 ⌉ 2 0

0 ¿2 0,25 ¿2−60 ¿ 0,25

[ 60 x2 ]0

=60 ¿

3,75 Julios

Es el trabajo realizado al estirar el mismo soporte de su longitud

original a una de 0,75m

11. La función de demanda para un producto es

P  D( x)  100  0.05 x

, en

donde P es el precio por unidad (en pesos) de x unidades. La función oferta es

S ( x)  10  0.1x

. Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) y el

Excedente del Productor (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio.

Resolviendo para obtener punto de equilibrio

10+0,1 x=100−0,05 x entonces 0,15 x=90 caculando x =600

x=600 y p=70 punto de equilibrio ( 600,70 )

Excedente del consumidor 600

600

Ec=∫ ( 100−0,05 x−70 ) dx= ∫ ( 30−0,05 x ) dx=30 x−0,025 x 2 ¿600 0 0

0

Ec=30 ( 600 )−0,025 ( 600 )2=9000 Excedente del productor

600

600

Ep= ∫ [ 70−( 10+ 0,1 x ) ] dx=∫ ( 60−0,1 x ) dx=60 x−0,05 x2 ¿600 0 0

0

Ep=60 ( 600 ) −0,05 ( 600 )2=18000

12. La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es

C ' ( x )  x  100

, donde x es el número de unidades producidas. Se sabe

también que el costo total es $40000, cuando x = 100. Determine la función

de costo total

C (x).

Lo que debemos hacer es una integral de la función dada.

1

∫ ( x +100 ) dx= 2 x 2+100 x +c Con esto evaluó los valores que nos dan, para determinar el valor de “c”.

1 40000= (100)2+ 100 ( 100 )+ c 2 Despejamos la variable y determinamos que su valor es 25000.

La función final.

1 Ct= x 2 +100 x +25000. 2

CONCLUSIONES

 En el anterior trabajo estudiamos la integral indefinida, la cual permitía a través de un proceso inverso a la derivación, llegar a una función primitiva que se llamó anti derivada. Este proceso permitió partir de funciones como el ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad marginal respectivamente a las funciones de ingreso total, costo total y utilidad total.  Conocer el proceso de integración definida el cual nos lleva a determinar un área limitada por curvas, que nos servirá para estudiar otras aplicaciones como el excedente del consumidor y del productor.

BIBLIOGRAFIA

Rondón, J. (2010). Cálculo integral. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7146

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551110/Unidad_3/Otras_aplicaciones_ de_la_integral.pdf

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=1&docID=10584492&tm=1460997813230