100408 Fase1 Grupo GRUPO 50

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONOMICAS Y DE NEGOCIOS – ECACEN – ADMINISTRACION DE EMPRESAS

ALGEBRA LINEAL PRIMERA FASE DE TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR:

FREDY ALONSO LOPEZ ACOSTA_CODIGO 79.992.617 JAVIER HERNANDO BELTRAN_CODIGO_ LUIS ISIDRO GAITAN BERMUDEZ CODIGO_ 79.839.348 JIMMY FERNEY CHAMBO CODIGO_ GRUPO_ 100408_50

PRESENTADO A: PEDRO JOSE CARRILLO TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA BOGOTÁ D.C. OCTUBRE DE 2016

1

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INTRODUCCION

Este trabajo se realiza en base a los parámetros especificados en la guía, cuyo fin es evaluar el aprendizaje sobre los conceptos En esta unidad se desarrollarán las temáticas de Operaciones entre vectores, magnitud y ángulo;

Operaciones sobre

matrices, operaciones entre matrices y cálculo de determinantes de vectores y matrices presentados en la unidad uno (1) del curso. Se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se representa a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos. En la unidad uno (1) se explica los métodos de solución para estos sistemas. Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales.

2

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OBJETIVO GENERAL

Manejar de forma adecuada y eficaz cada uno de los conceptos de vectores y matrices, derivaciones

y magnitud y ángulo, tales como: inversa, operaciones con

matrices, determinantes, entre otros, a través del desarrollo de una serie de ejercicios propuestos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal vectores y matrices.



Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.



Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.

3

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ACTIVIDAD

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un topógrafo tomo los siguientes datos del perfil de una montaña:

Determinar la altura de la montaña (altura del pico C).

Hallando lado a 𝐴

𝐶

𝑆𝑒𝑛 𝐴

a=

= 𝑆𝑒𝑛 𝐶

𝐶. 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐶

1.2 𝑘𝑚 .𝑆𝑒𝑛 54°

a=

𝑆𝑒𝑛 84°

4

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𝑎 = 1.30 𝑘. 𝑚

Hallando lado b 𝑏 𝑐 = 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐 .𝑆𝑒𝑛 𝐵

b=

𝑆𝑒𝑛 𝐶

1.6 km . Sen 42° Sen 84° 𝑏 = 1,08, 𝑘𝑚 𝑏=

𝒃

Sen 42° = 𝟏,𝟑𝟎 𝒌𝒎 ℎ = 𝑆𝑒𝑛 42° . 1.30 𝑘𝑚 ℎ = 0,87 𝑘𝑚 𝐴 = 𝜋𝑟 2 Respuesta la altura de la montaña del pico C es = h=0,87 km

2. Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores: a) 𝑣 = (7,2) b) 𝑣 = (5, −√8) a) 𝒍 = √(𝟕)𝟐 + (𝟐)𝟐 5

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𝒍𝒍𝒗𝒍𝒍 = 𝟒𝟗 + 𝟒 𝒍𝒍𝒗𝒍𝒍 = √𝟓𝟑

𝑦 𝜃 = tan −1 ( ) 𝑥 2 𝜃 = tan −1 ( ) 𝑥 𝜃 = 16° b) 𝒍𝒍𝒗𝒍𝒍 = √(𝟓)𝟐 + (√𝟖)𝟐 𝒍𝒍𝒗𝒍𝒍 = √𝟐𝟓 + (√𝟖)𝟐 𝒍𝒍𝒗𝒍𝒍 = √𝟐𝟓 + 𝟖 𝒍𝒍𝒗𝒍𝒍 = √𝟑𝟑 𝜃 = 𝐭𝐚𝐧 −𝟏 ( 𝜽 = −𝟐𝟗, 𝟓 ⇒ = 𝟔, 𝟎, 𝟐𝟐

−√𝟖 𝟓

𝑾

3. Encuentre un vector 𝒗 que tenga la magnitud y dirección dadas: 2𝜋 |𝑣| = 6; 𝜃= 3 x = cos𝜃 X = 6. cos x=6

2𝜋 3

6

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y = cos𝜃 y = 6. Sen y = 0,22

2𝜋 3

⇒ = (𝟔; 𝟎, 𝟐𝟐) 𝑾

4. Analice la siguiente gráfica y con base en los resultados de sus análisis determine las componentes del vector W, su magnitud y su dirección

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EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo. Busque siempre dar alternativas diferentes a las que ya dieron sus compañeros en las soluciones que hayan subido.

1. Dados los vectores resultado al operar: 1 a). (𝑢 + 6𝑣) 3 b). (2𝑢 + 𝑣) ∙ (4𝑢 − 𝑣) 𝑢 𝑣 𝑐). | + | 2 3

𝒖 = 𝟖𝒊 + 𝟒𝒋 − 𝟑𝒌

8

y𝒗 = 𝟐𝒊 + 𝟕𝒋 − 𝟑𝒌 determine el

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1 a). (𝑢 + 6𝑣) 3 1 3 1 3

( = 𝟖𝒊 + 𝟒𝒋 − 𝟑𝐤 + 𝟔. (𝟐𝐢 + 𝟕𝐣 − 𝟑𝐤) ( = 𝟖𝒊 + 𝟒𝒋 − 𝟑𝐤 + 𝟔. (𝟐𝐢 + 𝟕𝐣 − 𝟑𝐤))

1 ( 𝟖𝒊 + 𝟒𝒋 − 𝟑𝐤) + 𝟏𝟐𝐢 + 𝟒𝟐𝐣 − 𝟏𝟖𝐤) 3 1 (𝟖𝒊 + 𝟒𝒋 − 𝟑𝒌 + 𝟏𝟐𝒊 + 𝟒𝟐𝒋 − 𝟏𝟖𝒌) 3 1 (20𝑖 + 46𝑗 − 21𝑘) 3 (

20 46 𝑖 + 𝑗 − 7𝑘) 3 3 b). (2𝑢 + 𝑣) ∙ (4𝑢 − 𝑣)

(2(8𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘 + 2𝑖 + 7𝑗 − 3𝑘)(4(8𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘) − (2𝑖 + 7𝑗 − 3𝑘) = (16𝑖 + 8𝑗 − 6𝑘) + (2𝑖 + 7𝑗 − 3𝑘)(32𝑖 + 16𝑗 − 12𝑘) − (2𝑖 + 7𝑗 − 3𝑘) (18𝑖 + 15𝑗 − 9𝑘)(30𝑖 + 9𝑗 − 9𝑘) = (18𝑖)(30𝑖) + (15𝑗)(9𝑗) + (−9𝑘)(−9𝑘) (540𝑖 + 135𝑗 + 81𝑘) = 756 𝑢 𝑣 𝑐). | + | 2 3 (8𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘) (8𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘) + 3 3 4𝑖 + 2𝑗 −

3𝑘 2

+

2𝑖 3

7𝑗

+ 3 -k

14 13 5 ( 𝑖 + 𝑗 − 𝑘) 3 3 2

9

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2. Sean 𝒖 = 𝟕𝒊 + 𝟑𝒋𝒚𝒗 = 𝟒𝒊−∝ 𝒋 Encuentre 𝜶 tal que: 𝑎). 𝑢𝑦𝑣 Sean ortogonales. 𝑏). 𝑢𝑦𝑣 Sean paralelos. Si U y V son ortogonales, entonces U * V = 0 (7𝑖 + 3𝑗) ∗ (4𝑖 − 𝛼𝑗) = 0 28𝑖 + 3(𝛼)𝑗 = 0 𝛼= −

28 3

a) U y V sean paralelos Si U y V son paralelos, entonces U = KV, donde K es un número real. 𝑈 = 𝐾𝑉 7𝑖 + 3𝑗 = 𝐾 (4𝑖 − 𝛼𝑗)

7𝑖 + 3𝑗 = 4𝐾𝑖 − 𝐾𝛼𝑗 7 = 4𝐾

y

3 = 𝐾𝛼

10

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7 =𝐾 4

𝑦

3=

7 𝛼 4

3. Calcule 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 sabiendo que: 6 𝑎). 𝑢 = 𝑖 + 3𝑗; 𝑣 = 2𝑖 − 2𝑗 7

3 = 𝛼 1,75

La proyección de U sobre V, se hace con la siguiente fórmula: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑉 𝑈 =

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑉 𝑈 =

𝑈. 𝑉 𝑉 6 (7 𝑖 + 3𝑗) (2𝑖 − 2𝑗) √(2𝑖)2 − (2𝑗)2

12 𝑖 − 6𝑗 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑉 𝑈 = 7 √4𝑖 2 − 4𝑗 2

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑉 𝑈 =

1,71𝑖 − 6𝑗 4𝑖 − 4𝑗

4. Calcule los cosenos directores del vector 𝑉 = 4𝑖 + 6𝑖 − 7𝑘 11

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𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑐𝑜𝑠𝛽 =

𝑐𝑜𝑠𝛾 =

4𝑖 √(4𝑖)2 + (6𝑖)2 − (7𝑘)2 6𝑖 √(4𝑖)2 + (6𝑖)2 − (7𝑘)2 7𝑘 √(4𝑖)2 + (6𝑖)2 − (7𝑘)2 4

6

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √101

𝑐𝑜𝑠𝛽 = √101

=

=

=

4𝑖 √16𝑖 2 + 36𝑖 2 + 49𝑘 2 6𝑖 √16𝑖 2 + 36𝑖 2 + 49𝑘 2 7𝑘 √16𝑖 2 + 36𝑖 2 + 49𝑘 2 7

𝑐𝑜𝑠𝛾 = √101

La suma de los cuadrados de los cosenos directos es = a 1: (

4 √101

)2 + (

6 √101

)2 + (

7 √101

)2 = 1

16 36 49 + + =1 101 101 101 1=1

12

=

=

=

4 √101 6 √101 7 √101

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EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo. Busque siempre dar alternativas diferentes a las que ya dieron sus compañeros en las soluciones que hayan subido.

1. ¿Cuál es la distancia del vector W de la siguiente gráfica?

2. Determine el producto cruz 𝒖 × 𝒗 sabiendo que : 𝒂). 𝒖 = 𝟓𝒊 + 𝟑𝒋 − 𝟖𝒌; 𝒗 = 𝟑𝒊 − 𝟔𝒋 − 𝟐𝒌 V= (5,3, - 8)

V=(3,-6-2)

UxV= I j k 5 3 -8

= 3 -8

3 -6

-6 -2

i – 5 -8 j + 5 3 k 3 -2

3 -6

= (3)(-2)-(6)(-2)I – (5)(-2)-(3)(-8) j + (5)(-6) – (3)(3)k = - 6 -12 I – (-10)-(-24) j + (30) -9k = 18 i + 34 j +21k = (-18,34,21) 𝒃). 𝒖 = 𝝅𝒊 +

𝝅 𝒋 + 𝟑𝝅𝒌; 𝒗 = 𝒊 + 𝒋 − 𝒌 𝟐 𝜋

u = (π, 2 , 3 𝜋)

V = (1,1,-1)

13

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u x V= i J 𝜋

𝜋 2

k

=

3𝜋

𝜋 2

3𝜋 i - 𝜋

1 -1

3𝜋 j +

1

-1

𝜋 1

𝜋

k=

2

1

1 1 -1 =(

𝜋 2 𝜋

)(-1)-(1)( 3 𝜋) i – ( 𝜋)(−1) − (1)(3 𝜋) j +(( 𝜋)(1) − (1)( 𝜋

𝜋 2

) k=

= (- 2 − 3 𝜋) i + (𝜋 − 3 𝜋) j + ( 𝜋 − 2 ) 𝑘 = =-

7𝜋 2

i- 2𝜋j +

𝜋 2

𝑘 =(-

7𝜋 2

,- 2𝜋,

𝜋 2

)

EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo

1. La fábrica de alimentos NUTRINAT tiene una producción diaria automatizada de 25000 yogures, 16000 avenas en bolsa, 4500 quesillos y 9200 leches achocolatadas. Según proyecciones económicas del departamento de mercadeo, las ganancias netas por cada unidad del producto, una vez puestas en el mercado es de $450 por yogurt, $380 por bolsa de avena, $270 por quesillo y $320 por bolsa de leche achocolatada. a) Exprese la producción diaria como un vector renglón. b) Exprese las ganancias netas por cada producto como un vector columna c) Determine, desde la teoría del producto escalar, las ganancias netas que tendría la empresa en un día por la puesta en mercado de estos productos. a) Exprese la producción diaria como un vector renglón. A= 2500, 16000, 4500, 9200 b) Exprese las ganancias netas por cada producto como un vector columna B=

450 380 270 320

14

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c) Determine, desde la teoría del producto escalar, las ganancias netas que tendría la empresa en un día por la puesta en mercado de estos productos. C= A x B = (2500)(450) + (1600)(380) + (4500)(270) + (9200)(320) = 11.250.000 + 6.080.000 + 1.215.000 + 2.944.000 = 21.489.000 𝟒 𝟔 1. Dada la matriz: 𝐀 = ( 𝟎 𝟓 −𝟑 𝟏

−𝟏 𝟑) 𝟕

a) Exprese la matriz como una matriz triangular superior, haciendo uso únicamente de operaciones elementales. A = 4 6 -1 F1 0 5 3 F2 Triangular -3 1 7 F3

3 4

4 6 -1 0 5 3

F1 + F2

0

2

𝟑

b) Calcule 𝑩𝟐 sabiendo que: 𝑩 = ( 2 3

2 1

4 1 2

1

0 -3 3 4

2

4

3

𝐵2= 2

1 2

1 1

12

11 25

𝟐

B.

11

0 0

4

𝟒

𝟐

𝟏

𝟏

𝟏

𝟎 −𝟑

𝟐

𝟑 𝟒

2

0

2

3

)

4

3

-3

1 2

1 1

4

15

4 6 -1 F1 + F3 0 5 3

0 -3 3 4

111 12

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4 9 4 3 2 3

+ 8 + 0 + 1 + (-3) + 2 +

3 4

2 3

+ 2 + 0

8 + 4 +

1 4 1 2

+ (-3) +

3 4

0 + (-12) + 0 −3

−4

0 + (2 ) + (2) 0 + (-3)

+

76

14

9

3

2

= -3

21 4

9

41

21

16

12

4

-12 -

15 4 39

- 16

2. Hallar A.B si

A x B = 7 + 6 + 24 28 + 4 + 32

1 + 0 + 24

=

4 + 0 + 32

37 25 64 36

EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo

2 1 0 2 1. Encuentre la matriz inversa de𝐴 = (3 2 −1 −2) haciendo uso del método de 1 3 −2 1 4 3 −4 2 Gauss-Jordan y luego por el método de los 16

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1

𝐴−1 = |𝐴| . (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑡 , donde |𝐴|, es el determinante

Determinantes. Recuerde que:

de A y (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑡 es la matriz transpuesta de la adjunta.

2 1 0 2

1 0 0 0

3 2 -1 -2

0 1 0 0

1 3 -2 1 4 3 -4 2

0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 0

1 2 1 2 5 2

1

0 1

2

F1

0 0 0

2

- 3 F1 + F2

0 1 0 0

- F1 + F3

1 3 -2 1 4 3 -4 2

0 0 1 0 0 0 0 1

- 4 F1 + F4

1

0 1

2

2

0 0 0

-2 0

-2 0 1 0

1 3 -2 1

-2 0 1 0

-2 0 0 1

1 3 -2 1

-2 0 1 1

2

2 F2

1

-2 1 0 0

1

1

1

0 1

2

0 0 3 25

0 0 0

1

1

7 -5 1 0

2

1

0 1

3

F3

0 1 -2 -10 0 0 0

7

3

3

5

-3

1 3

1

0 1

2

0 0 0

1

-3 2 0 0

25

1

2

- f2 + f4

0 0 0

25

7 5

1

3

3 3

3

0 1 -2 -8

0 0 0

2

1

-2 F2 + f3

0 1 -2 -10 - 3 2 0 0

0 0 -2 8 1 -2 0 1 1

5

0 1 -2 -10 - 3 2 0 0

0 1 -2 -10 -3 2 0 0

1

1

3 2 -1 -2

1

3

0 1

2

-1 -5

0 1 -4 -2 1

1

0 0 0

2

1

1

0

3 74

F4

1 2

2

1 1 -2 10 0 0 1

17

1 -2 0 1 1

0 1

0 + 2F3 + F4

0 0 0

-3 2 0 0

25

7

3

3

−5 1 3

3

0

-F4 + F 10 FA + F2 -

25 3

F4 +F3

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0 1 -2

1

1 2

74

17 −16 2

3

3

0 0

0 1 -2 0 0 0 10 0 0 0 1

1 0 0 0 0 10 0 0 0 10

3

3

1

1 0 0 1

10

8

−1 −3

37

37 37 74

2F3 + F2

−52

−6 10 15

74

37 37 37

31

5

74

37 37

4

- F2 + F1

−23 74

17

−8

1

3

74

37 37 74

36

14 −11 −33

37

37

37

74

5

4

−9

−10

37

37

74

37

31

5

74

37 37

0 0 0 1

4

−25 74

17

−8

74

37 37 74

1

3

La matriz inversa de A es:

36

14 −11 −33

37

37

37

74

5

4

−9 −10

37

37

74

37

31

5

4

−25

74

37

37

74

18

17

−8

74

37 37 74

1

3

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17

−8

1

3

74

37

37

74

2. Decir si la siguiente matriz es invertible, justificando cada uno de los pasos y los conceptos para su determinación.

5 𝐴=(3 10

−2 4 −1 6) −8 1

EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo

1. Calcule el determinante de la siguiente matriz, haciendo uso del método de menores y cofactores:

Por cofactores (cualquier fila y/o cualquier columna con la mayor cantidad de ceros)

A= -2 a12 + 5 a32 = -2 (-1) B + (5) (-1) C = (-2)(-1)(52) + (5X-)(-132) 19

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= (-2)(-1)(52)+ (5)(-1)8-132) = 104 + 60 = 764 Det= 764 2. Tome la siguiente matriz y resuelva los siguientes casos: 8 6 3 𝐴 = ( 7 5 −2) −1 9 10 a) Halle su determinante 8 6 3 ( 7 5 −2) = 8 ∗ 5 ∗ 10 + 6 ∗ (−2) ∗ (−1) + 3 ∗ 7 ∗ 9 − (−1) ∗ 5 ∗ 3 − 9 ∗ (−2) ∗ 8 − 10 ∗ 7 −1 9 10 ∗6 8 6 (7 5 −1 9

3 −2) = 340 10

b) Intercambie la fila 1 con la fila 2 y vuelva hallar el determinante 7 5 −2 ( 8 6 3 ) = 7 ∗ 6 ∗ 10 + 5 ∗ 3 ∗ (−1) + (−2) ∗ 8 ∗ 9 − (−1) ∗ 6 ∗ (−2) − 9 ∗ 3 ∗ 7 − 10 ∗ 8 −1 9 10 ∗5 7 5 −2 ( 8 6 3 ) = −286 −1 9 10 c) Intercambie la fila 1 con la fila 3 y vuelva hallar el determinante

20

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−1 9 (7 5 8 6

10 −2) 3 = (−1) ∗ 5 ∗ 3 + 9 ∗ (−2) ∗ 8 + 10 ∗ 7 ∗ 6 − 8 ∗ 5 ∗ 10 − 6 ∗ (−2) ∗ (−1) − 3 ∗ 7 ∗ 9 −1 9 (7 5 8 6

10 −2) = 340 3

d) Intercambie columnas según su criterio y halle los determinantes. 3 6 (−2 5 10 9

8 7) −1 = 3 ∗ 5 ∗ (−1) + 6 ∗ 7 ∗ 10 + 8 ∗ (−2) ∗ 9 − 10 ∗ 5 ∗ 8 − 9 ∗ 7 ∗ 3 − (−1) ∗ (−2) ∗ 6 3 6 (−2 5 10 9

8 7 ) = −340 −1

e) Suba al foro sus conclusiones proponiendo una regla o reglas al respecto. El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un número real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolle los ejercicios y comparta la solución en el foro de trabajo colaborativo

1. Calcule el determinante de la siguiente matriz, haciendo uso del método de menores y cofactores:

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Por cofactores (cualquier fila y/o cualquier columna con la mayor cantidad de ceros)

A= -2 a12 + 5 a32 = -2 (-1) B + (5) (-1) C = (-2)(-1)(52) + (5X-)(-132) = (-2)(-1)(52)+ (5)(-1)8-132) = 104 + 60 = 764 Det= 764 2. Tome la siguiente matriz y resuelva los siguientes casos: 8 6 3 𝐴 = ( 7 5 −2) −1 9 10 a) Halle su determinante 8 6 3 ( 7 5 −2) = 8 ∗ 5 ∗ 10 + 6 ∗ (−2) ∗ (−1) + 3 ∗ 7 ∗ 9 − (−1) ∗ 5 ∗ 3 − 9 ∗ (−2) ∗ 8 − 10 ∗ 7 ∗ 6 −1 9 10 8 6 3 ( 7 5 −2) = 340 −1 9 10

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b) Intercambie la fila 1 con la fila 2 y vuelva hallar el determinante 7 5 −2 ( 8 6 3 ) = 7 ∗ 6 ∗ 10 + 5 ∗ 3 ∗ (−1) + (−2) ∗ 8 ∗ 9 − (−1) ∗ 6 ∗ (−2) − 9 ∗ 3 ∗ 7 − 10 ∗ 8 ∗ 5 −1 9 10 7 5 (8 6 −1 9

−2 3 ) = −286 10

c) Intercambie la fila 1 con la fila 3 y vuelva hallar el determinante −1 9 (7 5 8 6

10 −2) = (−1) ∗ 5 ∗ 3 + 9 ∗ (−2) ∗ 8 + 10 ∗ 7 ∗ 6 − 8 ∗ 5 ∗ 10 − 6 ∗ (−2) ∗ (−1) − 3 ∗ 7 ∗ 9 3 −1 9 10 ( 7 5 −2) = 340 8 6 3

d) Intercambie columnas según su criterio y halle los determinantes. 3 6 (−2 5 10 9

8 7 ) = 3 ∗ 5 ∗ (−1) + 6 ∗ 7 ∗ 10 + 8 ∗ (−2) ∗ 9 − 10 ∗ 5 ∗ 8 − 9 ∗ 7 ∗ 3 − (−1) ∗ (−2) ∗ 6 −1 3 6 (−2 5 10 9

8 7 ) = −340 −1

CONCLUSIONES 23

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A través del desarrollo del presente trabajo colaborativo, se logró afianzar los conceptos referentes a

vectores y

matrices y sus respectivas derivaciones, tales

como: las operaciones que se pueden llevar a cabo vectores, Angulo de vectores determinantes de matrices

e inversa de matrices, por otra también se vio la

participación del grupo en los aportes individuales.

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