100402_26_Tarea2_JavierMartinez (1).docx

PROBABILIDAD

UNIDAD 2: EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DISTRIBUCIONES

Presentado al tutor:

AMELIA ELIZABETH CORDOBA

Entregado por el grupo: 100402_26

UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 20 De Noviembre 2018 Bogotá

INTRODUCCIÓN La probabilidad nos permite identificar con qué frecuencia se puede presentar cierto evento en un determinado experimento aleatorio. En nuestra vida, está característica se encuentra presente en todos los ámbitos, puesto que en casi la totalidad de los fenómenos el azar juega un papel importante ya que existen infinitas posibilidades de que un mismo evento se presente de diferentes formas en distintos momentos. La implementación de las fórmulas es compleja, debido a que la bibliografía referente al tema es  bastante amplia y se necesita hacer un análisis a la teoría para poder poner en marcha su aplicación en diversos casos y lograr sacar conclusiones con los resultados obtenidos. Se inicia con un recorrido por medio de los conceptos básicos de las variables aleatorias, sus tipos y su distribución en base a sus propiedades, para adentrarnos un poco en las fórmulas y poder aplicarlas en el tema siguiente que son cuatro casos prácticos que nos permitieron identificar claramente la diferencia entre cada tipo de distribución.

OBJETIVOS 

Comprender los conceptos de distribución discreta y continua.



Implementar fórmulas probabilísticas probabilísticas para llegar a conclusiones sobre un tema tema concreto.





Generar debate sobre los temas estudiados con los compañeros y tomar decisiones en grupo. Conocer autores reconocidos en la ciencia de la probabilidad.

EJERCICIO1. MENTEFACTO UNIDAD 2.

Experimentos en donde su resultado sólo puede

Selección de muestra sin reemplazo de una población

tomar un solo valor de los dos posibles, son

finita conocida y que representa una proporción relativamente

mutuamente excluyentes.

grande de la población.

BINOMIAL

HIPERGEOMÉTRICA

Mide la frecuencia

Es la base para la

Mide el

relativa de un evento en función a una unidad de tiempo, espacio o volumen

inferencia de la estadística clásica, debido a su relación con el

espacio del tiempo entre un suceso y

teorema del límite central

otro

POISSON

 NORMAL

EXPONENCIAL

DISTRIBUCIONES

La aleatoriedad está presente en la mayoría de las situaciones

VARIABLES ALEATORIAS

APLICABILIDAD

cotidianas. Lo que se debe conocer son las características de cada situación para definir su forma de análisis.

DISCRETAS

CONTINUAS

Toman un número entero limitado de

Toman cualquier valor numérico producto de

valores, que son producto de un

una medición, el cual está referido a un

conteo

intervalo de valores

EJERCICIO 2. ESTUDIOS DE CASO. ESTUDIO DE CASO 1 En el norte de Chile, un creciente número de personas que buscan un diploma de enseñanza están eligiendo internados pagados en lugar de los tradicionales programas estudiantiles de enseñanza. Un grupo de 8 candidatos para tres posiciones locales de enseñanza estaba formado por cinco candidatos, que se habían inscrito en internados pagados y tres candidatos que se habían inscrito en programas tradicionales estudiantiles de enseñanza. Supongamos que los ocho candidatos están igualmente calificados para las posiciones. Represente con x el número de candidatos capacitados en un internado que son contratados para estas tres  posiciones. a. ¿La

x tiene una distribución binomial o una distribución hipergeométrica?

Argumente su respuesta.  b. Encuentre la probabilidad de que tres candidatos capacitados en internado sean contratados para estas posiciones. c. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de lo tres contratados sea capacitado en internado?

VARIABLES:  N = 8 población total k = 5 candidatos educados en internados n = 3 vacantes disponibles

FÓRMULA:

 ∗    Pr =     

¿La x tiene una distribución binomial o una distribución hipergeométrica? hipergeométrica? En este caso la variable X tiene una distribución de tipo Hipergeométrica, porque cumple con la característica de que se está extrayendo una muestra sin reemplazo donde también existen éxitos y fracasos.



Encuentre la probabilidad de que tres candidatos capacitados capacitad os en internado sean contratados para estas posiciones.

 = 

Reemplazamos las variables en la fórmula que usará combinadas:

5 ∗ 8  5 Pr = 3 = 3 38 3 3 5 ∗  3 Pr Pr = 3 = 3 8 0 3 Para solucionar las combinadas, necesitamos los factoriales:

 = !  ! Cada combinada se reemplaza en la fórmula de factoriales:

5! ∗ 3! Pr = 3 = 3!2!8!0!3! 3!5! 5∗4∗3∗2! ∗ 3! 3!2! 0!3! Pr = 3 = 8∗7∗6∗5! 3!5! Cancelamos los iguales:

5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 0! Pr = 3 = 83!∗ 7 ∗ 6 3! Solucionando los factoriales tenemos: 5∗4∗3∗1 Pr Pr = 3 = 3 8∗ 2∗ 7∗ 1∗ 6 3∗2∗1 60 ∗ 1 1 Pr Pr = 3 = 5040 6

360 Pr = 3 = 2016 Pr = 3 =0,1785 

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de lo tres contratados sea capacitado en internado?

5 ∗ 8  5 Pr Pr = 0 = 0 38 0 3 5 ∗  3 Pr Pr = 0 = 0 8 3 3 5! ∗  3!  Pr = 0 = 0!5! 8!3!0! 3!5! 0! ∗ 0! Pr = 0 = 8∗7∗6∗5! 3!5! Pr = 0 = 8 1∗ 7∗ 1∗ 6 3∗2∗1 1 Pr = 0 = 336 6 6 Pr = 0 = 336 Pr = 0 =0,0178

ESTUDIO DE CASO 2 La preferencia por el color de un auto cambia con los años y de acuerdo con el modelo  particular que seleccione el cliente. En año reciente, suponga que 10% de todos los autos de lujo que se vendieron eran negros. Si 25 autos de es año y tipo se seleccionan al azar, encuentre las siguientes probabilidades: a) Al menos cinco autos sean negros.  b) A lo sumo seis autos son negros. c) Más de cuatro autos son negros. d) Exactamente cuatro autos son negros. e) Entre tres y cinco autos (inclusive) son negros. f) Más de veinte autos no son negros.

VARIABLES: P = 10% = 0.1 Q = 1- 0.1 = 0.9 n = 25

FÓRMULA:

  =  =   ×  × − 

Al menos cinco autos sean negros

 ≥ 

Como sólo podemos calcular la probabilidad de un número exacto de éxitos (P(X=k)); entonces, para el cálculo de la probabilidad solicitada tendríamos que sumar las  probabilidades de 5, 6, 7 hasta 25, es decir, de cir, P(X >= 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + ... + P(X=25). Pero en casos como éste, es más sencillo calcular la probabilidad contraria y luego restarle ese resultado al total (100%=1). A continuación se calculará: P(X   =  ≥ 

Este ítem es igual al solicitado en el a; puesto que más de 4 autos de color negro significan los números a partir del 5 hasta el 25.

 =    = 4 = 254 ×0.1 × 0.9− [ 6,25 × 0,0001   = 4 = [ 6,25 0001×× 0,109] 09]   =  =,



Exactamente cuatro autos son negros



Entre tres y cinco autos (inclusive) son negros

  ≥  ≤  =  =  +  =  +=

  = 3 = 253 ×0.1 × 0.9−   = 3 = [ 8,33 ×0,001× 0,098]   = 3 =0,00082   = 4 = 254 ×0.1 × 0.9−   = 4 = [ 6,25 × 0,000 0001 × 0,109 109]   = 4 =0,00007   = 5 = 255 ×0.1 × 0.9−   = 5 = [ 5 ×0,00001× 0,1215]  =5  =0,000006



 3 ≥  ≤ 5  =0,00082+0,00007+0,000006   ≥  ≤   =, Más de veinte autos no son negros  > 

En este caso las variables sufren un cambio, debido a que el caso de éxito sería que el auto fuera de un color diferente al negro. P = 90% = 0.9 Q = 1- 0.9 = 0.1 n = 25

 × 0.1−  =21 =21 = 25 ×0.9 21  =21 = [ 1,19 × 0,109 109 × 0,000 0001]  =21 =0,0000130  × 0.1−  =22 = 25 ×0.9 22

 =22 = [ 1,14 ×0,098× 0,001]  =22 =22 =0,00011  −  =23 =23 = 25 23×0.9 × 0.1   =23 = [ 1,09 × 0,08 ,088 × 0,01 ,01]  =23 =23 =0,00096

 × 0.1−  =24 =24 = 25 ×0.9 24  =24 = [ 1,04 × 0,079 × 0,1]  =24 =0,00830  × 0.1−  =25 =25 = 25 ×0.9 25 [ 1 × 0,071 × 1]  =25 =25 = [ 1  =25 =0,07178

 >20  = 0,00 ,000013 001300 + 0,00011 0011++ 0,0009 000966 + ,00 ,00830 830 + 0,071 07178  >  =,

ESTUDIO DE CASO 3 La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. supu estos. El primero consiste en que la probabilidad probabili dad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la  probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado. El incremento del número de vuelos regionales cortos en aeropuertos importantes ha aumentado la preocupación por la seguridad en el aire. Un aeropuerto de la región este ha registrado un promedio mensual de cinco accidentes a punto de ocurrir en aterrizajes y despegues en los últimos 5 años. a. Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado no haya accidentes a  punto de ocurrir en aterrizajes a punto de ocurrir en aterrizajes y despegues en el aeropuerto.  b. Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado haya cinco accidentes a punto de ocurrir. c. Encuentre la probabilidad de que haya al menos cinco accidentes a punto de ocurrir durante un mes particular.

VARIABLES:

ƛ  =5  =5 Accidentes mensuales

k = Cantidad de accidentes que pueden ocurrir

FÓRMULA:

ƛ  ƛ )   =  = ( ! !  

En un mes determinado no haya accidentes a punto de ocurrir en aterrizajes a punto de ocurrir en aterrizajes y despegues en el aeropuerto

5    = 0 =  0! 0!    = 0 =0,0067 

 = 

En un mes determinado haya cinco accidentes a punto de ocurrir en aterrizajes a punto de ocurrir

 = 

5    = 5 =  5! 5! 

  = 5 =0,175467 

En un mes determinado no haya accidentes a punto de ocurrir en aterrizajes a punto de ocurrir

 ≤  =  =  +  =  +  =  ….= 5    = 0 =  0! 0!    = 0 =0,0067 5    = 1 =  1! 1!    = 1 =0,0336 5    = 2 =  2! 2!    = 2 =0,0842

5    = 3 =  3! 3!    = 3 =0,1403 5    = 4 =  4! 4!    = 4 =0,175467 5    = 5 =  5! 5!    = 5 =0,175467  ≤  = ,  + ,  + ,  + ,  + ,  + ,   ≤  =, ESTUDIO DE CASO 4 El coeficiente intelectual C.I. de un individuo es medido en una escala que va de 45 a 155. El C.I. de 100 es el promedio. La mayoría de la población tiene el C.I. alrededor de 100. Existen menos personas que tienen el C.I. menor a 85 y muy pocos tienen tien en el C.I. por encima de 115. Una empresa que recluta personal para multinacionales, plica un test de inteligencia a todos los posibles candidatos. Una persona que desea ser contratada, acaba de presentar el test y le informan que ha obtenido C.I. igual a 95. Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen promedio 100 y desviación estándar 15, usted debe  presentarle un informe acerca de sus resultados. Usando sus conocimientos sobre la distribución de probabilidad pr obabilidad normal, presente un informe que como mínimo contenga: 

Porcentaje de personas que podrían tener un C.I. inferior o igual a 95.



Porcentaje de personas podrían tener un C.I. superior a 95.



Probabilidad de que una persona tenga un C.I. entre 85 y 90.



Puntuación C.I. que habría que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior (puntuación de CI que deja el 30% de sujetos por debajo).



Puntuación de C.I. que es superada solo por el 10% de los sujetos.



Valores de C.I. entre los que se encuentran el 50% central de los sujetos.

VARIABLES



Media ( )=100



Desviación Estándar ( )=15

FÓRMULA

 =    

Porcentaje de personas que podrían tener un C.I. inferior o igual a 95.

≤ ≤ Hallamos la distribución normal Z:

 = 95100 15  = 5 15 =0,33

Procedemos a buscar la probabilidad en base a la tabla de Distribución Normal:

≤95=0,3707 ≤95 ≤95 =37,07% 

Porcentaje de personas podrían tener un C.I. superior a 95

≥ ≥

≤95, procedemos a hallar su contrario: ≥ ≥ =    ≤ ≤ ≥ =, ≥ =, Probabilidad de que una persona tenga un C.I. entre 85 y 90 ≤≥

Como ya se conoce el resultado de



Para hallar el valor de este intervalo, calculamos cada límite individualmente y sumamos los resultados:

 = 85100 15  = 15 15 =1 ≤85 =0,1584

 = 90100 15  = 10 15 =0,66 ≤90 =0,2546 ≤≥ ≤≥ =,+, ≤≥ ≤≥ =, ≤≥ =,% 

Puntuación C.I. que habría que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior

==%

Buscamos en la tabla de distribución de frecuencia normal el valor de Z al que le corresponde el 30%.

=, =% En nuestra fórmula Z, reemplazamos el resultado por el valor encontrado en la tabla y  procedemos a despejar “x” para encontrar la puntuación solicitada:

0,52= 100 15 0,52∗15=100 0,52∗15+100= 7,8+100= ,= Para pertenecer al 30% inferior del test de coeficiente intelectual se deben sacar s acar un menor o igual puntaje a 92,2.



Puntuación de C.I. que es superada solo por el 10% de los sujetos

==% Para conocer el valor superado sólo por el 10% de los sujetos, procedemos a calcular la  puntuación que saca el 90% de la población:

=, =% 1,3∗15+100= 19,5+100= ,= El 90% de los sujetos sacan un porcentaje inferior o igual a 119,5. Si queremos estar dentro del 10% superior, debemos sacar un porcentaje mayor a 119,5.



Valores de C.I. entre los que se encuentran el 50% central de los sujetos

==%

=, =, =% 0,0∗15+100= 0+100= =

El 50% central de los sujetos saca una puntuación de C.I igual a 100.

CONCLUSIONES

•

Es posible identificar datos importantes para definir el tipo de variables y así

implementar su aplicación. •

Con estos procedimientos podemos dar tratamiento a un conjunto de datos

específicos. •

La implementación de la probabilidad puede darse en cualquier ámbito de la la vida

cotidiana.

BIBLIOGRAFÍA 





Rodríguez, F. & Pierdant, A. (2014). Estadística para administración. Pp. 242304. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=258&do cID=11013767&tm=1470693471527

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

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