100401_85_Trabajo No.1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería Métodos Numéricos

TRABAJO COLABORATIVO 1

MARYOLY ANDREA PERDOMO CODIGO: 1.079.411.274 LANYS MARIA DIAZ CADENA CODIGO: 56097234 HENRY VANEGAS PLAZA CODIGO: 12283673

TUTOR JOSE ADEL BARRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD LA PLATA HUILA 2016

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CONTENIDO INTRODUCCION................................................................................................... 3 DESARROLLO DEL TRABAJO NUMERO 1...............................................................4 CONCLUCION..................................................................................................... 10 BIOGRAFIA......................................................................................................... 11

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INTRODUCCION Este trabajo se hace con el fin de realizar las actividades de la fase 1 de Métodos numéricos, solucionando los ejercicios del tema Tipos de Error, Exactitud, Redondeo, Método del punto fijo, Método de Newton- Raphson, Método de la Secante, Método de la Regla falsa y Método de Bisección.

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DESARROLLO DEL TRABAJO NUMERO 1

1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

R/: Mi abuelo tiene una finca ganadera y cuando va pasar leche de un recipiente a otro le ocurre que por ejemplo: Error absoluto: si tiene 1,000 ml de la leche al renvalsar observa que hay 0,999 ml E = 1.000 - 999 = 1 ml Error relativo: 0, 999/1,000 = 0,999 Error relativo aproximado (1,000- 0, 999)/ 1000 *100% = 0,1 % Error por truncamiento cuando usamos todos los decimales de 0,999 Error por redondeo si redondeáramos 0,999 a 0,9 o a 1

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2. Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de comenzando con xo=0, con 5 iteraciones.

La raíz a que se tiene que llegar es �=�.���

F ( x )=x 2+ 4 x−e x =0 g ( x ) =x=

e x −x 2 4

g ( xo=0 )=¿ g ( 0,25 )=¿

e

e0 −02 1 = =0,25 4 4 0,25

2

−( 0,25) =0,30 4

e 0,30−( 0,30)2 g ( 0,30 )=¿ =0,31496 4 g ( 0,31496 )=¿

g ( 0,31775 )=¿

e

0,31496

2

−(0,31496) =0,31775 4

e 0,31775−(0,31775)2 =0,31826 4

(0,31826)2+ 4 ( 0,31826 )−e 0,31826 =−0,0004=0

f ( x )=x 2 +4 x−e x ,

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3. Obtener la raíz de la función

x f ( x )=2 −1.3 , en el intervalo [-1, 1] por el

Método de Newton-Raphson, tomando como valor inicial x o= -1, con una exactitud de 10-5.

La raíz a que se tiene que llegar es �=�.���

f ( x )=2 x −1.3 m

Y −Y o x−Xo

Y −Yo=m( x −Xo)

−Yk =f ( xk)( x k +1−Xk ) x ¿ k +1 f ´¿ ¿

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x k+1=¿



x f ´ (¿¿ ko) f (¿ xko ) ¿ ko−¿ ¿ x¿

2 ( ) (¿ ¿ −1 −1,3) =1,3=¿ 2(−1 ) log 2 ( x0 ) 1=¿ x 0− =(−1 )−¿ f ´ ( x0 ) x¿

f ( 1,3 )=21,3 ,1,3=0,89



2 ( ) (¿¿ 1,3 −1,3) =0,618996 2(1,3 ) log 2 2=¿ 1,3−¿ x¿



2 (¿¿ 0,618996−1,3) =0,397 20,618996 log 2 3=¿ 0,618996−¿ x¿



2 (¿¿ 0,397−1,3) =0,366 0,397 2 log 2 4=¿ 0,397−¿ x¿



2 (¿¿ 0,366−1,3) =0,378 20,366 log 2 5=¿ 0,366−¿ x¿

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

2 (¿¿ 0,378−1,3) =0,3785117 0,378 2 log 2 6=¿ 0,378−¿ x¿ 2 ¿ ¿ f ( 0,3785117 )=¿

4. Obtener una raíz de la función f(x) = Cos (x+1) – Sen (x+1) + 0.8 en el intervalo [0,1] por el método de la secante. Entrar también la quinta iteración resultante del proceso iterativo y dar los resultados con cuatro cifras decimales correctos.

La raíz a que se tiene que llegar es �=�.��� f ( x ) cos ( x+1 ) −sen ( x +1 ) +0,8 ;[0,1] ¿ x 0=0

x 2=x 1

f ( x 1 ) .( x 1−x 0) f ( x 1 )−f ( x 0)

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x 1=1 cos ( 1+1 )−sen ( 1+1 ) +0,8 2=1−¿ x¿ cos ( 0+ 1 )−sen (0+1) ( 1+1 )−sen ( 1+ 1 )+ 0,8−[¿+ 0,8] cos ¿ ¿ 1=1−¿ x¿ ¿

[ cos ( 2 )−sen ( 2 ) +0,8 ] −[ cos 1−sen 1+ 0,8 ] =0,4870 2=¿ 3=¿ x ¿ x¿

f ( x 2 ) .(x 2−x 1) =0,4870=¿ f ( x 2 ) −f (x 1)

−( cos ( 0,4870+1 )−sen ( 0,4870+1 ) +0,8)(0,4870−1) [ cos ( 0,4870+1 )−sen ( 0,4870+1 ) +0,8 ] −¿

3=¿ 0,4870−

( cos ( 1,4870 )−sen ( 1,4870 )+ 0,8 ) .(−0,512591) =0,346774=0,3468 ( cos ( 1,4870 )−sen ( 1,4870 ) +0,8 )−( cos ( 2 ) −sen ( 2 ) + 0,8 ) x¿

4=¿ x¿

x 3−¿

f ( x 3 ) .(x 3−x 2) =0,346774 f ( x 3 )−f (x 2)

=

−( cos ( 0,346774+1 )−sen ( 0,346774+ 2 )+ 0,8 ) .(0,346774−0,4870) ( cos ( 0,346774+1 ) −sen ( 0,346774 +1 ) +0,8 ) −(cos ( 0,4870+ 1 )−sen ( 0,4870+1 ) +0,8)

x 4=0,346774 −−( cos (1,346774 )−sen ( 1,346774 ) +0,8 ) (−0,140235 ) ( cos ( 1,346774 ) −sen ( 1,346774 )+ 0,8 )−( cos ( 1,4870 )−sen ( 1,4870 ) +0,8 ) ¿ 0,317973 5=¿ x 4−¿ x¿

f ( x 4 ) .( x 4−x 3) =0,317973=¿ f ( x 4 )−f ( x 3)

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0,317973−1,346774 ¿ −(cos ( 0,31793+1 ) −sen ( 0,317973+1 )+ 0,8) ¿ −¿ ¿ 0,3180

x 5=0,310276=0,3103 f ( 0,3103 ) =cos ( 0,3103 )−sen ( 0,3103 ) +0,8=1,4461 6=¿ x 5 −

f ( x 5 ) . ( x 5−x 4 ) =0,3845 f ( x 5 ) −f ( x 4 ) x¿

f ( 0,3845 ) =0,0025=0

5.

Usando

el

Método

de

f ( x )=e− x ( 3,2 sen ( x )−0,5 cos ( x ) )

la

Regla

Falsa

aproximar

la

raíz

de

en el intervalo [0, 1] con ξa = 0,001

En la interacción que tendremos la raíz dentro de un intervalo

[ ak , bk ]

Tomaremos el valor

k b¿ ¿ k b¿ ¿ . bk f¿ ck ¿ Tenemos

[ a0 , b0 ]

=

[ 0,1 ]

Ahora miramos donde es positiva o negativa la función

f ( 0 )=−0,5 f ( 1 )=0,8912085469 Debemos dejar siempre a la izquierda un valor que haga negativa a f y a la derecha positiva

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3.2. 0−0.5 .1 ¿ 3.2 .0−0.5 . 1 3.2 sen ( 1 )−0.5 cos (1 )−e 0 ¿ e−1 ¿ −e 0 ¿ f (1 ) .0−f ( 0 ) .1 c0 = =¿ f ( 1 )−f (0) ¿

0.5 =0.3593997472 e ( 3.2 sen ( 1 )−0.5 cos ( 1 ) ) +5 −1

f ( c0 ) =f ( 0.3593997472 )=0.4598455059 Que es mayor que el valor permitido Como

f ( c0 ) > 0 o debe ir a la derecha en próximo intervalo, será:

[ a1 , b1 ]=[ 0, 0.3593997472 ] Estos son los resultados: An

Bn

0

1 0,3593997 5 0,1873931 7 0,1596245 2 0,1556470 6

0 0 0 0

Cn+1 0,3593997 5 0,1873931 7 0,1596245 2 0,1556470 6 0,1550879 1

f(Cn+1) 0,4589456 9 0,0869811 4 0,0127771 8 0,0018026 8 0,0002528 7

Resultado Siga Siga Siga Siga Ya está: 0,15508791489055

6. Demostrar que f(x) = x3 + 4x2 – 10 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10 -5.

F(1) = 1^3 + 4·1^2 - 10 = 1+4-10 = -5 F(2) = 2^3 + 4·2^2 -10 = 8 + 16 -10 = 14

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Vale, son de distinto signo y la función es continua en [1, 2] por el teorema de Bolzano habrá al menos una raíz. Tomaremos el valor medio y calculamos la función c_0 = (a_0+b_0) / 2 = (1+2)/2 = 1.5 F(1.5) = 1.5^3 + 4 · 1.5^2 - 10 = 2.375 > 0.001 Para que los signos de los valores de la función en los extremos sean distintos tomamos [a_1, b_1] = [1, 1.5] c_1 = [1+1.5] / 2 = 1.25 f(1.25) = 1.25^3 + 4 · 1.25^2 - 10 = -1.796875 < -0.001 Ahora se debe tomar [1.25, 1.5] ya que F(1.25)0 [a_2, b_2] = [1.25, 1.5] c_2 = (1.25+1.5)/2 = 1.375 F(1.375) = 1.375^3 + 4 · 1.375^2 - 10 = 0.162109375 >0.001 Ahora se debe tomar [a_3, b_3] = [1.25, 1.375] c_3 = (1.25+1.375) = 1.3125 F(1.3125) = 1.3125^3 + 4 · 1.3125^2 - 10 = -0.8483886719