1004 Numere Complexe in Geometrie

4. Aplicaţ Aplica ţii ale numerelor complexe în geometrie

În această temă  vom utiliza numerele complexe pentru rezolvarea şi generalizarea unor probleme de geometrie. De şi metoda vectorială şi metoda numerelor complexe sunt echivalente, fiecare dintre ele rezolv ă cu uşurinţă anumite probleme şi în acelaşi timp creează, în limbajul lor specific, noi  probleme. 4.1.1 Amintim câteva rezultate, care vor fi utile în cele ce urmează. Vom nota

cu M(z) punctul M de afix z. 4.1.2 Distanţ Distanţa dintre punctele M 1(z1) şi M2(z2) este M1M2 =  z 1 − z 2 . 4.1.3 Afixul punctului M care împarte segmentul [M1M2] în raportul k ,  z  − kz 2 adică  MM 1 = k  MM 2  este  z  = 1 , unde M(z), M1(z1), M2(z2). 1 − k  4.1.4 Consecinţă Consecinţă . Afixul mijlocului M al segmentului [M 1M2] este  z  + z 2  z  = 1 ; Afixul g al centrului de greutate G al triunghiului M 1M2M3 este

2

 g  =

 z 1 + z 2 + z 3

; patrulaterul M1M2M3M4  este paralelogram dac ă şi numai 3 dacă z1+z3 = z2+z4, unde Mi(zi), i = 1, 2, 3, 4.

Condiţ Condiţia de coliniaritate   : Punctele M 1(z1), M2(z2), M3(z3) sunt coliniare dacă şi numai dacă  există k 1, k 2, k 3 ∈ R cu k 1+ k 2+ k 3 = 0 şi k 1 z 1 + k 2 z 2 + k 3 z 3 = 0 . 4.1.5

Demonstraţ Demonstraţie  : Dacă M1 , M2

,

k ∈ R cu  M 2 M 1 = k  M 2 M 3 . Deci  z 2 =

M3 sunt coliniare, atunci exist ă

 z 1 − kz 3

, adică  z 1 − (1 − k ) z 2 − kz 3 = 0 . 1 − k  Pentru k 1 = 1, k 2 = k-1, k 3 = -k obţinem concluzia. Reciproc, din k 1 z 1 + k 2 z 2 + k 3 z 3 = 0  cu k 2= -k 1-k 3, obţinem k 1 ( z 1 − z 2 ) = −k 3 ( z 3 − z 2 ) . Pentru k  = −

k 3 k 1

 obţinem  z 2 =

 z 1 − kz 3

1 − k 

, adică M1 , M2 , M3 sunt coliniare.

Mă Măsurara unghiului orientat ∠ M 1OM 2 , în sens trigonometric, (semidreapta OM1  se roteşte în sens trigonometric peste semidreapta OM 2), 4.1.6

51

faţă de un reper cu originea în O este: µ (∠ M 1OM 2 ) = arg

 z 2  z 1

, unde z1, z 2 sunt

afixele punctelor M1, respectiv M2. 4.1.7 Consecinţă  : Dacă M1(z1), M2(z2), M3(z3), atunci măsura unghiului ∠ M 1 M 2 M 3   orientat (în sens trigonometric) este: µ (∠ M 1 M 2 M 3 ) = arg

 z 3 − z 2  z 1 − z 2

.

M3

y

M1

z3 – z2

Translatăm M2 în originea O şi aplicăm 4.1.5 .

M2 z1 – z2 x O

Demonstraţie : 4.1.8 Consecinţă : Dacă M 1(z1), M2(z2), M3(z3) şi ε  = cos α  + i sin α  , şi

α ∈ [0, 2π ) ,

cu

 z 3 − z 2  z 1 − z 2

=  ρ ε , unde  ρ  > 0,

atunci

 M 2 M 3  M 1 M 2

= ρ 

(∠ M 1 M 2 M 3 ) = min(α , 2π  −α ) .

4.1.9 Formula rotaţiei în comple Dacă M3(z3) se obţine printr-o rotaţie cu centrul în M2(z2) şi unghi α ∈ [0, 2π ) , a punctului M1(z1), atunci :  z 3 =  z 2 + ( z 1 − z 2 )ε  , unde ε  = cos α  + i sin α  , dacă rotaţia se efectueaz ă în sens

trigonometric sau ε  = cos(2π  − α ) + i sin (2π  − α ) , dacă rotaţia se efectueaz ă în sens invers trigonometric. Consecinţă  : Triunghiul ABC este echilateral dac ă şi numai dacă π  π  c = a + (b − a )ε  , unde ε  = cos + i sin , dacă ∆ ABC este orientat în sens 4.1.10

3

trigonometric, sau ε  = cos

3

5π  5π  , dacă ∆ ABC este orientat în sens + i sin 3 3

invers trigonometric. 52

4.1.11 Unghiul a două  drepte. Dacă M1(z1), M2(z2), M3(z3), M4(z4) sunt  puncte distincte în plan, diferite de origine, atunci m ăsura unghiului orientat (în sens trigonometric) al dreptelor M 1M2 şi M3M4 este :  z  − z 1 µ (∠( M 1 M 2 , M 3 M 4 ) ) = arg 2 .  z 4 − z 3 Consecinţă  : Dacă

4.1.12

α ∈ [0, 2π ) , atunci:

 M 1 M 2  M 3 M 4

= ρ  şi

 z 3 − z 1  z 4 − z 3

= ρ ε , unde ρ > 0, ε  = cos α  + i sin α  ,

(∠( M 1 M 2 , M 3 M 4 ) ) = min(α , 2π  − α ) .

4.1.13 Consecinţă :  M 1 M 2 ⊥ M 3 M 4 ⇔

 z 2 − z 1  z 4 − z 3

 M 1 M 2  M 3 M 4 ⇔

∈ iR * .

 z 2 − z 1  z 4 − z 3

∈  R * .

4.1.14 Punctele M1(z1), M 2(z2), M 3(z3), M 4(z4), distincte, sunt conciclice dac ă şi numai dacă raportul anarmonic al afixelor z1, z2, z3, z4 este real, adică:  z  − z   z  − z  ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = 3 1 : 4 1 ∈ R * .  z 3 − z 2  z 4 − z 2 Demonstraţie : Cazul I: Dacă M1 şi M2  sunt de aceea şi parte a dreptei M3M4  avem:  z 1 −  z 4  z 1 −  z 3

arg

 z 2 −  z 3

= arg

 z 2 −  z 4

.

Cazul II: Când M1 şi M2 sunt separate de dreapta M 3M4  avem: arg 4.1.15

 z 1 − z 3

 z 2 − z 3

− arg

 z 1 − z 4

 z 2 − z 4

= π .

' ' ' Triunghiuri asemenea   . Triunghiurile A1A2A3 şi  A1 A2 A3 , la fel

orientate, sunt asemenea, în aceast ă  ordine, dacă şi numai dacă a 2 − a1 a3 − a1

=

a 2' − a1' a3' − a1'

.

53

Demonstraţie: Avem ∆ A1 A 2 A 3 ~ ∆ A1' A 2'  A 3'

  A1 A2  A1' A2' =  ⇔   A1 A3  A1' A3' ⇔ ∠ A  A  A ≡ ∠ A ' A ' A ' 3 1 2  3 1 2 a −a a 2' − a1' 2 1  = ' a3 − a1'  a3 − a1   a 2 − a1 a 2' − a1' = arg ' arg a a a3 − a1' − 3 1 

⇔

a 2 − a1 a3 − a1

=

a 2' − a1' a3' − a1'

.

' ' ' 4.1.16 Observaţie: Triunghiurile A1A2A3 şi  A1 A2 A3 , la fel orientate, sunt

asemenea, dac ă şi numai dacă: a1' (a 2 − a3 ) + a 2' (a3 − a1 ) + a3' (a1 − a 2 ) = 0 . ' ' ' 4.1.17 Observaţie: Triunghiurile A1A2A3 şi  A1 A2 A3 , invers orientate, sunt asemenea în aceast ă ordine, dacă şi numai dacă:

a 2 − a1 a3 − a1

=

a 2' − a1' a3' − a1'

 .

' ' ' Demonstraţie : Se consider ă triunghiul M1M2M3 simetric cu  A1 A2 A3  faţă de O

Triunghiul M1M2M3 are afixele vârfurilor a1' , a 2' , a3' şi este la fel orientat cu triunghiul A1A2A3. Folosim 4.14, obţinem relaţia cerută. 4.1.18 Consecinţă : Triunghiul A1A2A3 este echilateral dacă şi numai dacă: 2 2 2 a1 + a 2 + a3 = a1a 2 + a 2 a3 + a3 a1 . Demonstraţie: Triunghiul A1A2A3 este echilateral ⇔ ∆ A1 A 2 A 3 ~ ∆ A 2 A3 A1 ⇔ a 2 (a 2 − a3 ) + a3 (a3 − a1 ) + a1 (a1 − a 2 ) = 0 ⇔ a12 + a 22 + a32 = a1a 2 + a 2 a3 + a3 a1

. 4.1.19 Aria unui triunghi. Dacă a1, a2, a3 sunt afixele vârfurilor triunghiului

A1A2A3, notat în sens trigonometric, atunci 1 σ [ A1 A2 A3 ] = Im(a1 a 2 + a 2 a3 + a3 a1 ) . 2

54

Făr ă  a restrânge generalitatea  problemei, putem considera originea sistemului ortogonal de axe în interiorul triunghiului. Fie a1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 2 ) a 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) a3 = r 3 (cosθ 3 + i sin θ 3 ) . Atunci: a1a 2 + a2 a3 + a3 a1 = r 1r 2 [cos(θ 2 − θ 1 ) + + i sin (θ 2 − θ 1 )] + r 2 r 3 [cos (θ 3 − θ 2 ) + i sin (θ 3 − θ 2 )] + r 1 r 3 [cos (θ 1 − θ 3 ) + i sin (θ 1 − θ 3 )] . Deci:

y A1

A2

O

x A3

Demonstraţie :

1 1 1 1 Im(a1 a 2 + a 2 a 3 + a3 a1 ) = r 1 r 2 sin (θ 2 − θ 1 ) + r 2 r 3 sin(θ 3 − θ 2 ) + r 1 r 3 sin(θ 1 − θ 3 ) = 2 2 2 2 = σ [ A1OA2 ] + σ [ A2 OA3 ] + σ [ A3OA1 ] = σ [ A1 A2 A3 ] . 4.1.20 Observaţie : Formula se poate extinde pentru un poligon conve Dac ă

A1A2…An, n ≥ 3   este un poligon convex, notat în sens trigonometric, iar a1, a2,…, an sunt afixele vârfurilor, atunci: 1 σ [ A1 A2 ... An ] = Im (a1 a 2 + a 2 a 3 + .... + a n −1 a n + a n a1 )  (Formula lui Kiril 2 Docev). Demonstraţie prin inducţie (vezi [3] ). 4.1.21 Afixul ortocentrului unui triunghi. Faţă  de un reper cartezian cu

originea O în centrul cercului circumscris triunghiului ABC, afixul ortocentrului H al triunghiului ABC, este: h = a + b + c , unde H(h), A(a), B(b), C(c). Demonstraţie :

Fie O1  simetricul lui O faţă  de BC. Atunci AHO1O este paralelogram. Rezult ă: a + o1 = h + o . Obţinem : h = a + o1 = a + b + c  .

. O

B

C . O1

55

4.1.22

Consecinţă : Faţă  de un reper cu originea în centrul cercului

circumscris triunghiului ABC, centrul ω   al cercului lui Euler al triunghiului ABC este :

ω  =

a+b+c

, unde ω  (ω ) .

2 Demonstraţie : Ω  este mijlocul segemntului [OH]. 4.1.23 Caracterizarea triunghiului dreptunghic  . Triunghiul ABC înscris în cercul C(O, R) este dreptunghic dacă şi numai dacă a + b + c =  R , unde A(a),

B(b), C(c). Demonstraţie : Dacă triunghiul ABC este dreptunghic cu unghiul drept în A, atunci B şi C sunt diametral opuse, deci b = −c , de unde a + b + c = a =  R .

Reciproc dacă

a + b + c =  R , atunci

a +b + c

2

=  R 2 , adică

  R 2  R 2  R 2    =  R 2 , (a + b + c ) + + deci a b c     1 1 1 (a + b + c )   + +   = 1 ⇔ ⇔ (a + b )(b + c )(c + a ) = 0  adică două b c     a

din punctele A, B, C sunt diametral opuse.

Bibliografie 1. Andrei Gh., Caragea C., Cucurezeanu I., Bordea Gh., Probleme de algebr ă  pentru concursurile de admitere  şi olimpiade  şcolare, E.D.P., Bucure şti, 1993 2. Andrica D., Bi şboacă  N., Numere complexe de la…a…la…z, Aditura  Millenium, Alba Iulia, 2001 3. Andrica D., Varga C., V ăcăre ţ u D., Teme de geometrie, Editura Promedia  Plus, Cluj Napoca, 1997 4. Cocea C., 200 de probleme din geometria triunghiului echilateral, Editura Gh. Asachi, Ia şi, 1992 5. Dincă M., Chiri ţă M., Numere complexe în matematica de liceu, Editura All  Educational, Bucure şti, 1996 6. Nicula V., Numere complexe. Probleme  şi exerci ţ ii pentru clasa a X-a,  Editura Scorpion 7, Bucure şti, 1993

56