1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................... i DAFTAR ISI ....................................................................................... iii SOAL - SOAL ....................................................................................... 2 UTS Genap 2009/2010 ................................................................................3 UTS Ganjil 2009/2010................................................................................4 UTS Genap 2008/2009 ................................................................................5 UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................6 UTS 2007/2008 ............................................................................................8 UTS 2006/2007 ............................................................................................9 UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10 UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11 UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12 UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13 UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14 UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15 UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17

PEMBAHASAN .................................................................................. 19 UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20 UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24 UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27 UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32 UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39 UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43 UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49 UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56 UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60 UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65 UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69 UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71 UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76

iii

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

SOAL - SOAL

2

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a.

x−2 x2 ≤ 4 x +1

b. x − 5 x ≥ 2 2. Diketahui f (x ) = sin 2 x dan g ( x) = x − 2 a. Tentukan D f , R f , Dg , dan Rg b. Periksa apakah g o f dan f o g terdefinisi ? c. Bila ya, tentukan Dg o f dan D f o g

a ,0 < x ≤ 1  3. Diketahui f ( x ) =  x bx 2 − x, x > 1  Tentukan konstanta a dan b, agar f ( x ) terdiferensialkan di x = 1 . 4. Diketahui f (x ) = 5x 3 − 3x 5 a. b. c. d.

Tentukan selang kemonotonan Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya Gambarkan grafiknya

No Nilai Maks

1 10

2 7

3 8

4 10

Jumlah 35

3

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Close Book dan tanpa kalkulator UTS Ganjil 2009/2010 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2 − 1 < 3 2. Tentukan nilai a agar fungsi  sin (ax ) ,x3  4. Diketahui f ( x) =  3− x qx 2 − 7 x + 1 x ≤ 3 

tentukan konstanta p dan q supaya f(x) kontinu di x = 3 5. Diketahui kurva ( x − 3) 2 + y 2 = 2 a. Tentukan y’ b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x 6. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik y = f ' (x ) seperti gambar di bawah ini

17

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

a. Tentukan selang kemonotonan f(x) b. Tentukan selang kecekungan f(x) c. Buat sketsa grafik f(x)

Selamat Bekerja Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt

18

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

PEMBAHASAN

19

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x−2 x2 a. ≤ 4 x +1 2 x x−2 − ≥0 x +1 4 4 x 2 − ( x + 1)( x − 2 ) ≥0 4( x + 1)

(

)

4x 2 − x 2 − x − 2 ≥0 4( x + 1) 3x 2 + x + 2 ≥0 4( x + 1)

Karena 3 x 2 + x + 2 definit positif, maka jelas bahwa pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x + 1 > 0 yaitu x > −1 . Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {x x > −1}. b. x − 5 x ≥ 2....(i ) Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk x − 5 , kita peroleh untuk x ≥ 5 pertaksamaan (i) secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut (x − 5)x ≥ 2

x 2 − 5x ≥ 2

(x − 52 )2 − (52 )2 ≥ 2 (x − 52 )2 ≥ 334 x − 52 ≥ 12 33

x − 52 ≥ 12 33 atau x − 52 ≤ − 12 33

20

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 yang memberikan penyelesaian

{(

}{

)

}

Hp1 = x x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 ∩ x ≥ 5 = x x ≥ 52 + 12 33 . Sedangkan untuk x < 5, pertaksamaan (i) secara berturut turut menjadi − (x − 5)x ≥ 2

− x 2 + 5x ≥ 2 x 2 − 5 x ≤ −2

(x − 52 )2 − (52 )2 ≤ −2 (x − 52 )2 ≤ 174 x−

5 2

≤

1 2

17

− 12 17 ≤ x − 52 ≤ 12 17 5 2

− 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 yang memberikan penyelesaian

{

}{

}

Hp2= x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 ∩ x < 5 = x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara keseluruhan adalah

{(

Hp = Hp1 ∪ Hp2 = x

5 2

− 12 17 ≤ x ≤ 52 +

1 2

)

17 ∪ x ≥ 52 +

1 2

}

33 .

2. Diberikan f (x ) = sin 2 x dan g ( x) = x − 2 a. Menentukan D f , R f , Dg , dan Rg

D f = ℜ, R f = [−1,1], Dg = [2, ∞), dan Rg = [0, ∞) b. Memeriksa apakah g o f dan f o g terdefinisi Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah R f ∩ D g ≠ { } dan R g ∩ D f ≠ { }. Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh R f ∩ D g = { } yang menunjukkan bahwa g o f tidak terdefinisi, sedangkan R g ∩ D f = [0, ∞) ≠ { } yang menandakan bahwa f o g terdefinisi.

21

c. Menetukan Dg o f Karena

go f

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I dan D f o g tidak terdefinisi, maka

Dg o f

tidak dapat

ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh

} {

{

}

D f o g = x ∈ Dg g (x ) ∈ D f = x ∈[2, ∞) x − 2 ∈ R

= {x ≥ 2 x − 2 ≥ 0} = {x x ≥ 2} a ,0 < x ≤ 1  3. Diberikan f ( x ) =  x bx 2 − x, x > 1  Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil lim f ( x ) = lim f (x ) = f (1) , yaitu a = b − 1 atau b = a + 1 (*) x →1−

x →1+

Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh f −' (1) = f +' (1) f (x ) − f (1) f (x ) − f (1) = lim lim− + − x 1 x −1 x →1 x →1 a 2 −a bx − x − a x = lim lim− + x − 1 x −1 x →1 x →1 (a + 1)x 2 − x − a a (1 − x ) = lim lim x −1 x →1− x ( x − 1) x →1+ ((a + 1)x + a )(x − 1) a lim− − = lim+ x x →1 x −1 x →1 − a = lim ((a + 1)x + a ) x →1+

− a = 2a + 1 a = − 13

Dengan demikian b =

2 3

Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah a = − 13 dan b=

2 3

22

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 4. Diberikan f (x ) = 5x − 3x a. Menentukan selang kemonotonan f ' (x ) = 15x 2 − 15x 4 = 15x 2 (1 − x )(1 + x ) − − −− + + + + + +− − − − −1 0 1 - f monoton naik jika f ' (x ) > 0 yaitu pada selang (− 1,0 ) ∪ (0,1) - f monoton turun jika f ' (x ) < 0 yaitu pada (− ∞,−1) ∪ (1, ∞ ) 3

5

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f " (x ) = 30x − 60x 3 = 30x 1 − 2 x 2 = 30x 1 − 2 x 1 + 2 x + + + + •− − − • + + +• − − − 1 0 − 12 2

(

(

)

)(

(

)∪ (0, ) f " (x ) < 0 yaitu pada (− ,0 ) ∪ ( ,0 )

- f cekung ke atas jika f " (x ) > 0 yaitu pada − ∞,− - f cekung ke bawah jika - karena

pada

)

pada

1 2

1 2

1 2

x=

1 2

,x=−

1 2

1 2

, dan x = 0

terjadi

( ), f (− ), dan f (0) masing ), (− ,− ), dan masing ada, maka ketiga titik ( , perubahan kecekungan serta f

1 2

1 2

1 2

7 4 2

1 2

7 4 2

(0,0) adalah titik belok. c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena f ' (− 1) = 0 dan f " (− 1) > 0 , sedangkan titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f ' (1) = 0 dan f " (1) < 0

f ( x ) = 5 x 3 − 3x 5 d. Grafik ditunjukkan pada gambar di samping

23

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 UTS Ganjil 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

x 2 − 1 < 3.

Pertaksamaan tersebut setara dengan − 3 < x 2 − 1 < 3 . Kasus x 2 − 1 > −3 disederhanakan menjadi x 2 > −2 yang akan selalu terpenuhi untuk setiap x ∈ ℝ. Sedangkan kasus x 2 − 1 < 3 secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut x2 −1 < 3 x2 < 4 x 2}

b. 1 − 2 > 1 x

1 −2 x

2

> 12 2

1  2  − 2 −1 > 0 x 

1  1   − 2 − 1 − 2 + 1 > 0 x  x   1  1   − 3  − 1 > 0  x  x  (1 − 3x)(1 − x) >0 x2 ++++ +++-------- +++ • • 0• 1 / 3 1

{

}

Hp = x ( x < 0) ∪ (0 < x < 13 ) ∪ x > 1

39

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2

2. Diketahui f ( x) = 2 + x , g ( x) = 1 a. Menentukan ‫ܦ‬௙, ܴ௙, ‫ܦ‬௚ , ܴ௚ -

D f = R(ans)

- Untuk setiap x ∈ R berlaku x2 ≥ 0 2 + x2 ≥ 2

f ( x) ≥ 2 Sehingga R f = [2, ∞ )(ans) -

D g = R (ans )

-

R g = {1}( ans )

b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika terdefinisi. Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R f ∩ D g ≠ { } . Dari hasil pada poin sebelumnya kita memiliki R f ∩ Dg = [2, ∞) ∩ R = [2, ∞ ) ≠ { } yang menunjukkan bahwa gof terdefinisi (ans). Selanjutnya gof ( x) = g ( f ( x)) = g (2 + x 2 ) = 1, (ans) c. Menentukan Dgof Menurut definisinya,

{

} {

D gof = x x ∈ D f , f ( x) ∈ D g = x x ∈ R , x 2 + 2 ∈ R

}

= {x x ∈ R, x ∈ R} = {x x ∈ R}(ans)   1  2  3. Memeriksa apakah f ( x) = ( x − 1) sin  x − 1  ; x ≠ 1 1 ; x =1 kontinu di x = 1. Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah lim f ( x) = f (1) . x →1

Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1 berlaku

40

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I  1  − 1 ≤ sin   ≤1  x −1  1  2 2 2 − ( x − 1) ≤ ( x − 1) sin   ≤ (x − 1)  x −1 − (x − 1)2 ≤ f ( x ) ≤ (x − 1)2

lim − ( x − 1) = 0 2

Selanjutnya

dan

x →1

lim ( x − 1) = 0 , sehingga 2

x →1

menurut teorema apit lim f ( x ) = 0 . Jadi karena lim f ( x ) = 0 ≠ f (1), x →1

x →1

maka f tidak kontinu di x = 1. x 2 − 6x + 9 x a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim (2 x − 6) x − ( x 2 − 6 x + 9) 2 x 2 − 6 x − x 2 + 6 x − 9) f ' ( x) = = x2 x2 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = x2 x2

4. Diketahui f ( x ) =

++++ ----- ------ ++++

• -3

•

0

•

3

- f monoton naik jika f ' ( x ) > 0, yaitu pada selang (− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) - f monoton turun jika f ' ( x ) < 0, yaitu pada selang (− 3,0) ∪ (0,3) - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+
-) dan f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di x =3 (+
-), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan x2 − 9 9 f ' ( x) = =1− 2 2 x x f ' ' ( x) =

18 x3

41

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 , yaitu untuk x > 0 - f cekung ke bawah jika f " ( x ) < 0 , yaitu pada selang (− ∞,0 ) - f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b) f ( x) x 2 − 6x + 9  6 9  = lim = lim 1 − + 2  = 1 a = lim 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x x  x x  2 x − 6x + 9 x2 − 6 x + 9 − x2 b = lim f ( x) − ax = lim − x = lim x→∞ x →∞ x →∞ x x − 6x + 9 9 = lim = lim − 6 + = −6 x x x →∞ x →∞ Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6 - Asimtot tegak ( berbentuk x = c) x 2 − 6x + 9 Karena =∞, lim f ( x ) = lim x →0 x→0 x2 merupakan asimtot tegak dari f.

maka

x=0

d. Grafik f(x)

42

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari : 1 −1 dan < 5 ……....(i) 2x −1 2x −1 pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi 1 + (2 x − 1) >0 2x −1 2x >0 2x − 1 + + + + o+ - - - - - o+ + + + 0

1/2

Hp1 = {x x < 0 ∪ x > 1 / 2} pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 1 − 5(2 x − 1) 3 / 5}(ans) b.

adalah

4 ≥ x − 3 ……………………………………………………..(ii) x

x ;x≥0 Menurut definisinya x =  − x ; x < 0

43

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I sehingga : - untuk x ≥ 0 (ii) menjadi 4 ≥ x −3 x 4 − x(x − 3) ≥0 x − x 2 − 3x − 4 ≥0 x (x − 4)(x + 1) ≤ 0 x

(

)

− − − •+ + + •− − − − − •+ + + −1 0 4

Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk x ≤ −1 ∪ 0 < x ≤ 4 , sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii) untuk x ≥ 0 adalah Hp1 = {x (x ≤ −1 ∪ 0 < x ≤ 4) ∩ x ≥ 0} = {x (0 < x ≤ 4)} - untuk x < 0 (ii) menjadi 4 ≥ x−3 −x − 4 − x ( x − 3) ≥0 x x 2 − 3x + 4 ≤0 x Karena x 2 − 3 x + 4 definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika x < 0 . Sehingga himpunan penyelesaian untuk (ii) adalah Hp2 = {x x < 0 ∩ x < 0} = {x x < 0}

(

)

Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp2 = {x x ≤ 4 ; x ≠ 0} (ans) 2. Diberikan f ( x) = x dan g ( x) = 1 − x 2 a. Memeriksa apakah fog terdefinisi Untuk memeriksanya kita selidiki apakah R g ∩ D f ≠ { }.

44

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I D f = [0, ∞ ) , R f = [0, ∞) , D g = R Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap x ∈ R x2 ≥ 0 − x2 ≤ 0 1 − x2 ≤ 1 g ( x) ≤ 1, Rg = (− ∞,1] . Dengan demikian Kemudian

berlaku

karena

R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞) = [0,1] ≠ { } , maka fog terdefinisi/ada. b. Menentukan fog dan Dfog fog ( x) = f ( g ( x)) = f (1 − x 2 ) = 1 − x 2 Menurut definisinya D fog = x ∈ R x ∈ D g , g ( x) ∈ D f

{ = {x ∈ R x ∈ R ,1 − x = {x ∈ R 1 − x ≥ 0} = {x ∈ R x ≤ 1} = {x ∈ R x ≤ 1}

2

} ∈ [0, ∞ )}

2

2

= {x ∈ R − 1 ≤ x ≤ 1} 3. Menentukan a agar lim 9 x 2 − ax − 7 + 3x = 1 x → −∞

lim

2

9 x − ax − 7 + 3 x = 1

x → −∞

9x2 − ax − 7 − 3x 2 =1 lim  9x − ax − 7 + 3x   9x2 − ax − 7 − 3x x →−∞ 

lim

x → −∞

lim

x → −∞

9 x 2 − ax − 7 − 9 x 2 9 x 2 − ax − 7 − 3x − ax − 7

=1

=1

a 7 x 9 − − 2 − 3x x x

45

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 7  x − a −  x  =1 lim x → −∞ a 7 − x 9 − − 2 − 3x x x 7  − a −  x  =1 lim x → −∞ a 7 − 9− − 2 −3 x x −a =1 ⇒ a = 6 − 9 −3 2x 4. Diberikan f ( x) = 4 − x2 a. Menentukan selang kemonotonan 2(4 − x 2 ) − (−2 x)2 x 8 − 2 x 2 + 4 x 2 2x2 + 8 = f ' ( x) = = (4 − x 2 ) 2 (4 − x 2 ) 2 (4 − x 2 ) 2 f ' ( x) selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x ≠ ± 2). Ini berarti f(x) selalu naik pada interval (-∞,∞)/{±2}. Fakta ini juga menunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .

b. Menentukan selang kecekungan 4x(4 − x2 )2 − 2(4 − x2 )(−2x)(2x2 + 8) f ' ' (x) = (4 − x2 )4 = =

4 x( 4 − x 2 ) + 4 x(2 x 2 + 8) (4 − x 2 ) 3

=

16 x − 4 x 3 + 8 x 3 + 32 x (4 − x 2 ) 3

4 x( x 2 + 12) 4 x 3 + 48 x = (2 − x) 3 (2 + x) 3 ( 2 − x) 3 (2 + x) 3 +++++ ----- +++++

-2

0

-----

f “(x)

2

- f(x) cekung ke atas jika f ' ' ( x) > 0 , yaitu pada interval x < −2 dan 0 < x < 2

46

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f(x) cekung ke bawah jika f ' ' ( x) < 0 , yaitu pada interval − 2 < x < 0 dan x > 2 - Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) = (0,0) adalah titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b) f ( x) 2x 2 = lim = lim =0 a = lim 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x (4 − x ) x (4 − x 2 )

b = lim f ( x) − ax = lim

( x)

x2 2

2x

= lim

=

0 =0 −1

x 2  4 2 −1  x  Dengan demikian f(x) memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y = 0. x →∞

x →∞

2

(4 − x )

x →∞

- Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) 2x 2x Karena lim = ∞, dan lim = ∞ maka f(x) memiliki 2 2 x→2 4 − x x→−2 4 − x dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2 d. Grafik f(x)

R

Q (x,y) 44

O

grafik f ( x) =

2x 4 − x2

P P

Gambar 5

47

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Perhatikan gambar 5 di atas ! a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan

x 2 + y 2 = 16 ⇒ y = 16 − x 2 Sehingga luas persegi panjang = L(x) = 4× luas persegi panjang OPQR. L( x) = 4 × OP × PQ

= 4 x 16 − x 2

0≤ x≤4

b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L’(x) = 0 yakni 4 16 − x 2 + 4 x.

( −2 x ) 2 16 − x 2

4x 2

4 16 − x 2 −

16 − x 2

=0

=0

2

4 16 − x 2  − 4 x 2 = 0   2 64 − 4 x = 4 x 2 8 x 2 = 64 x=± 8

Karena 0 ≤ x ≤ 4 maka x yang mememuhi adalah x = 8 . Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu x = 8 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimana L(x) mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada titik-titik kritis tersebut yaitu L( 8 ) = 32 , L(0) = 0 , L(4) = 0 . Karena L( 8 ) = 32 merupakan luas maksimum, maka ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah 2.OP × 2.PQ = 2 8 × 2 8 = 4 2 × 4 2 (ans) .

48

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114) Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006 1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva x 2 − xy + y 2 = 16 .........(i ) dengan sumbu x. Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga dari (i) diperoleh x 2 = 16 atau x = ±4 Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut. D x ( x 2 − xy + y 2 ) = D x (16)

2 x − ( y + xy') + 2 yy' = 0 2 x − y − xy'+2 yy' = 0 (2 x − y ) − ( x − 2 y ) y ' = 0 (2 x − y ) = ( x − 2 y ) y '

y' =

2x − y x − 2y

Di titik (4,0), y ' = 2 Di titik (-4,0), y ' = 2 Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah y − 0 = 2(x − 4 ) atau y = 2 x − 8 (ans ) , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis singgungnya adalah y − 0 = 2(x − (− 4 )) atau y = 2 x + 8 (ans ). 2. Menentukan

himpunan

penyelesaian

pertaksamaan

2 x + 1 + x(x + 1) ≤ 4..............(iii ) Menurut definisinya  x + 1, x ≥ −1 x +1 =  − ( x + 1), x < −1

49

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sehingga - untuk x ≥ -1 (iii) menjadi 2( x + 1) + x( x + 1) ≤ 4 2x + 2 + x 2 + x ≤ 4 x 2 + 3x ≤ 2

(x + 32 )2 − ( 32 )2 ≤ 2 (x + 32 )2 ≤ 174 x + 32 ≤ 12 17 − 12 17 ≤ x + 32 ≤ 12 17 − 12 17 − 32 ≤ x ≤ 12 17 − 32 Hp1 = [−1, ∞) ∩[− 12 17 − 32 , 12 17 − 32 ] = [−1, 12 17 − 32 ] - sedangkan untuk x < -1 (iii) menjadi 2(− ( x + 1) ) + x(x + 1) ≤ 4 − 2x − 2 + x 2 + x ≤ 4 x2 − x − 6 ≤ 0 ( x − 3)( x + 2) ≤ 0 − 2 ≤ x ≤ 3 ( periksa !) Hp 2 = (−∞,−1] ∩ [−2,3] = [ −2,−1] Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp2 = − 1, 12 17 − 32 ∪ [− 2,−1] = − 2, 12 17 − 32 (ans)

[

]

3. a. Menentukan a agar lim

9 x 2 + ax + 4 + 3x =

x → −∞

2 lim 9x + ax+ 4 + 3x.

x→−∞

lim

x → −∞

[

]

1 3

9x2 + ax+ 4 − 3x 1 = 9x2 + ax+ 4 − 3x 3

9 x 2 + ax + 4 − 9 x 2 9 x 2 + ax + 4 − 3 x

=

1 3

50

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I lim

x → −∞

lim

ax + 4

=

9 x 2 + ax + 4 − 3 x 4  x a +  x 

1 3

=

a 4 + 2 − 3x x x 4  x a +  1 x  = lim x → −∞ 3 a 4 x 9 + + 2 − 3x x x 4  x a +  1 x  = lim x → −∞ 3 a 4 − x 9 + + 2 − 3x x x 4  a +  1 x  = lim x →−∞ 3 a 4 − 9+ + 2 −3 x x 1 a = − 9 −3 3 a 1 = −6 3 a = −2(ans) x → −∞

x2 9 +

1 3

b. Menentukan nilai a dan b jika lim

a + cos(bx)

x2 lim a + cos(bx) haruslah bernilai 0. Sebab

= −2

x →0

jika hal ini tidak

x→0

terjadi (katakanlah lim a + cos(bx) = c ≠ 0 )

akan berakibat

x →0

a + cos(bx) c = =∞ 2 2 x →0 x lim x

lim

x →0

51

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I yang bertentangan dengan pernyataan lim x →0

a + cos(bx) x2

= −2

Tulis lim a + cos(bx) = 0 x →0

a + cos 0 = 0

a + 1 = 0, a = −1 (ans) a + cos(bx) berbentuk x →0 x2 kita dapat menerapkan dalil L’Hospital a + cos(bx) = −2 lim x →0 x2 − b sin(bx) = −2 lim x →0 2x − b 2 cos(bx) = −2 lim x→0 2 − b2 = −2 ⇒ b 2 = 4 ⇒ b = ±2(ans ) 2 x 4. Diberikan f ( x) = 2 ⋅ x +1 a. Menentukan selang kemonotonan 1 x 2 + 1 − (2 x )x 1 − x2 x 2 + 1 − 2x 2 f ' (x ) = . = = 2 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2 x2 +1

Kemudian karena sekarang lim

(

0 0

maka

)

(

- - - - - -

-1

)

+ + + +

- - - - - - f ‘(x)

1

- f(x) monoton naik jika f ' (x ) > 0, yaitu pada selang (-1,1). - f(x) monoton tutun jika f ' (x ) < 0 , yaitu pada selang (-∞,-1) dan (1,∞). - Karena terjadi perubahan kemonotonan (-
+ ) dititik x = -1 dan f(-1) ada, maka (-1,- ½) merupakan titik minimum lokal. Selain itu pada x = 1 terjadi perubahan kemonotonan ( +
-) dan f(1) , maka titik (1,½ ) merupakan titik maksimum local.

52

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan selang kecekungan − 2x(x2 +1)2 − 2(x2 +1)(2x)(1− x2 ) f ''(x) = ⋅ (x2 +1)4 =

− 2 x( x 2 + 1) − 2(2 x)(1 − x 2 ) ( x 2 + 1) 3

=

− 2x3 − 2x − 4x + 4x3 2x 3 − 6x = ( x 2 + 1) 3 ( x 2 + 1) 3

=

2 x( x 2 − 3) 2 x( x − 3 )( x + 3 ) = ( x 2 + 1) 3 ( x 2 + 1) 3 - - - -

−

+ + + +

3

- - - -

+ + + + f “(x)

3

0

- f cekung ke atas jika f ' ' ( x) >0, yaitu pada selang (− 3,0) dan

( 3, ∞) - f cekung ke bawah jika

f ' ' ( x) 0 untuk − 12 < x < 0 . Kemudian f (0) = 0 dan f ( x ) > 0 > − 52

untuk 0 < x ≤ 2 , sehingga f (− 12 ) = − 52 adalah nilai minimum pada [- ½ ,2].

f

58

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.

Titik p dapat bergerak sepanjang kurva y = − x 2 + 4 x ( periksa !) Luas ∆ pqr = L(x) = 2.Luas ∆ prs ps.rs L( x) = 2. = ps.rs = ps. p ' p 2 = ( x − 2)(− x 2 + 4 x) = − x3 + 4 x2 + 2 x 2 − 8x

= − x 3 + 6 x 2 − 8x ; 2 ≤ x ≤ 4 Untuk menentukan nilai maksimum L(x), terlebih dahulu harus ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh dengan menyelesaikan L ' ( x) = 0 − 3 x 2 + 12 x − 8 = 0 x 2 − 4 x + 83 = 0

( x − 2) 2 − 4 + 83 = 0 ( x − 2) 2 = x=2±

4 3

4 3

Kita tolak x = 2 −

4 3

karena tidak berada dalam selang 2 ≤ x ≤ 4 .

Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis, sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang merupakan titik maksimum, kita evaluasi L(x) pada titik kritis yang kita miliki, yakni f (2 +

4 3

) = 163 3 , f ( 2) = 0 , f ( 4) = 0 . Jadi

Luas segitiga maksimum adalah

16 3

3.(ans)

59

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Senin 6 Oktober 2003 UTS 2003/2004

1. Menetukan daerah asal suatu fungsi: a. f ( x) = 2 x − 2 − x − 5

D f = {x f ( x) ∈ R}

{

= x 2 x −2 − x −5∈R

{

}

}

= x2x −2 − x −5≥0

Kita selesaikan pertidaksamaan 2 x − 2 − x − 5 ≥ 0..(i ) Menurut definisinya ;x≥2 x − 2 x−2 = − ( x − 2 ) ; x < 2 ;x≥0 x x = − x ; x < 0 Sehingga : - untuk x ≤ 0 (i) menjadi

2( −( x − 2)) − (− x) − 5 ≥ 0 − 2x + 4 + x − 5 ≥ 0 − x −1 ≥ 0 x ≤ −1 Hp1 = {x x ≤ 0 ∩ x ≤ −1} = {x x ≤ −1}

- kemudian untuk 0 < x < 2 (i) menjadi 2(−( x − 2)) − x − 5 ≥ 0 − 2x + 4 − x − 5 ≥ 0 − 3x − 1 ≥ 0 x ≤ − 13

{

}

Hp 2 = x 0 < x < 2 ∩ x ≤ − 13 = { }

60

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - sedangkan untuk x ≥ 2 (i) menjadi 2( x − 2) − x − 5 ≥ 0 2x − 4 − x − 5 ≥ 0 x≥9 Hp 3 = {x x ≥ 2 ∩ x ≥ 9} = {x x ≥ 9} Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp3 = {x x ≤ −1 ∪ x ≥ 9} yang sekaligus menjadi daerah asal f yaitu D f = {x x ≤ −1 ∪ x ≥ 9} (ans)

x3 − x2 − 6x x+3 Menurut definisinya D f = {x f ( x) ∈ R}

b. f ( x) =

x 3 − x 2 − 6x ≥ 0 ; x ≠ −3} x+3 x3 − x 2 − 6x Kita selesaikan pertidaksamaan ≥ 0....................(ii ) x+3 x ( x 2 − x − 6) ≥0 x+3 x( x − 3)( x + 2) ≥0 x+3 = {x

+ + + + + -- - + + + + - - - - - - - - + + + + -3

-2

0

3

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah {x x < −3 ∪ −2 ≤ x ≤ 0 ∪ x ≥ 3} yang sekaligus menjadi daerah asal f. (ans) 1 + cos x 2 x →π x sin x

2. a. Menghitung lim

Karena limit berbentuk dalil L’Hopital.

0 0

, maka kita dapat menerapkan

− sin x 1 + cos x 0 = lim = = 0 (ans ) 2 2 x →π x sin x x →π 2 x sin x + x cos x 0−π 2 lim

61

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan a agar lim

4 x 2 + ax + 2 x = 5

x → −∞

lim

4 x 2 + ax + 2 x = 5

lim

4 x 2 + ax + 2 x ⋅

x → −∞

x → −∞

lim

x → −∞

4 x 2 + ax − 4 x 2 4 x 2 + ax − 2 x ax

4 x 2 + ax − 2 x 4 x 2 + ax − 2 x

=5

=5

=5 a x 4 + − 2x x ax =5 lim x → −∞ a x 4 + − 2x x ax =5 lim x → −∞ a − x 4 + − 2x x a =5 lim x → −∞ a − 4+ −2 x a =5 − 4−2 a = −20 (ans) lim

x → −∞

2

3. Memeriksa apakah  x 2 − 2 x + 3, x ≥ 1 f ( x) =  2  x − 2 x + 2, x < 1 diferensiabel di x = 1. Jika kita perhatikan dengan baik, terlihat bahwa f tidak kontinu di x = 1 karena lim f (x ) = 2 = f (1) sedangkan lim f ( x ) = 1 . Ini + − x →1

x→1

mengakibatkan f tidak diferensiabel di x = 1. (ans) 62

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2

x + x −1 x −1 a. Menentukan selang kemotonan

4. f ( x) =

f ' ( x) =

(2 x + 1)( x − 1) − 1( x 2 + x − 1) x 2 − 2 x x( x − 2) = = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2

+ + + + - - - - - - - - + + + 0

1

2

- f(x) naik jika f ‘(x) > 0, yaitu pada selang (-∞,0) dan (2,∞). - f(x) turun jika f ‘(x) < 0, yaitu pada selang (0,1) dan (1,2). - Terjadi perubahan kemonotonan di x = 0 (+
-), maka (0,f(0)) = (0,0) adalah titik maksimum local. Terjadi perubahan kemonotonan di x =2 (-
+), maka (2,f(2)) = (2,5) merupakan titik minimum local. b. Menentukan selang kecekungan

(2 x − 2)( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x 2 − 2 x) ( x − 1) 4 (2 x − 2)( x − 1) − 2 x( x − 2) = ( x − 1) 3

f " ( x) =

=

2x2 − 2x − 2x + 2 − 2x2 + 4x 2 = 3 ( x − 1) ( x − 1) 3 - - - - - - - - + + + + + + + 1

- f(x) cekung ke atas jika f " ( x) > 0, yaitu pada selang x > 1 - f(x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang x < 1 - f tidak memiliki titik belok, walaupun terjadi perubahan kecekungan di x = 1 tetapi f(1) tidak ada. c. Menentukan asimtot • Asimtot miring/ datar (berbentuk y = ax + b)

63

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a = lim

x →∞

f ( x) x2 + x −1 x2 + x −1 = lim = lim 2 x →∞ x( x − 1) x→∞ x − x x

 1 1   1 1  x 2 1 + − 2  1 + − 2  x x  x x   = lim  =1 = lim x →∞ x →∞  1  1 1 − x 2 1 −     x  x

x2 + x −1 −x x →∞ ( x − 1)

b = lim f ( x) − ax = lim x →∞

2x − 1 ( x 2 + x − 1) − x ( x − 1) = lim =2 x→∞ x →∞ x − 1 x −1

= lim

Jadi f memiliki asimtot miring y = x + 2 • Asimtot tegak ( berbentuk x = c )

x2 + x −1 = ∞, maka x = 1 merupakan asimtot x →1 ( x − 1) tegak dari f. Karena lim

d. Grafik f(x)

5. Materi UAS

64

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2002/2003 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Senin 11 April 2003 UTS 2002/2003 1. Menetukan himpunan penyelesaian dari x −1