100 Yilin Olimpiyat

 

ÜÇGENLER - II

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

"Özel bir yeteneğim yok, yalnızca aşırı meraklıyım." Albert Einstein

4. ÜÇGENLER - II 4.1 Merkezil Benzerlik Benzerlik ve ve Benzer Üçgenler 

4.14 Va Van n Aubel Teo Teoremi remi-II -II

4.2 Üçgend Üçgende e Alan

4.15 Kosin nüs üs T Teorem eoremii

4.3 Desargues Desargues Te Teorem oremii

4.16 Kena Kenarort rortay ay Teor Teoremi emi

4.4 Pappus Pappus Te Teorem oremii 4.5 Va Van n Aubel Teoremi Teoremi--II

4.17 Leibn Leibniz iz Teorem Teoremii 4.18 Carnot Carnot Teorem Teoremi-I i-I

4.6 Ceva Teore Teoremi mi ve Karşıt Karşıtıı

4.19 Stewart Stewart Teorem Teoremii

4.7 Menelaus Teor Teoremi emi ve Karşıtı

4.20 4.20 Alt Altın ın Üçg Üçgen en

4.8 Temel Temel Orantı Teoremi ve Karşıtı Karşıtı

4.21 Peda Pedall Üçgen ve Or Ortik tik Üçg Üçgen en

4.9 Routh Teorem eoremii 4.10 Ta Tales les Teoreml Teoremle er  r 

4.22 Doku Dokuzz Nokta Nokta Çemberi Çemberi 4.23 Euler Euler Doğru Doğrusu su

4.10.1 I.T I.Tales ales Teoremi Teoremi

4.24 Sims Simson on Doğru Doğrusu su

4.10.2 II.T II.Tales ales Teor Teoremi emi

4.25 Ferm Fermat at Noktası Noktası

4.11 Açıortay Teor Teoremleri emleri

4.26 Gergonne Gergonne Noktası Noktası

4.11.1 İç A Açıortay çıortay Teoremi Teoremi

4.27 Nage Nagell Noktası Noktası

4.11.2 Steiner-Lehmus Steiner-Lehmus Teoremi Teoremi

4.28 Napo Napolyon lyon Noktası Noktası

4.11.3 Dış Açıortay Teoremi Teoremi 4.12 Heron Alan Fo Formülü rmülü 4.13 Öklit Teoremleri Teoremleri ve Pisagor Pisagor Teoremi Teoremi 4.13. 4.13.1 1 I.Ök I.Öklit lit Teoremi Teoremi 4.13. 4.13.2 2 II.Ö II.Öklit klit Teoremi Teoremi 4.13.3 III.Öklit Teoremi Teoremi 4.13.4 Pisagor Teoremi ve Karşıtı 4.13.5 IV.Öklit IV.Öklit Teoremi Teoremi

Bu bölümde; 1.bölümde tanıdı-

ğımız üçgenleri tekrar ele alacağız. Bu kez, bundan önce incelenen olgularla üçgenlere daha yakından bakacağız.

ÖLÜM   125

 

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ 4.1 Merkezil Benzerlik ve Benzer Üçgenler İlk önce benzerliğin tanımı için merkezil benzerliği göreceğiz. (Şunu belirtmeliyiz ki merkezil benzerliğin sadece tanımını göreceğiz.) Sonra da üçgende alan vb. konulara geçerek devam edeceğiz.

 Aşağıdaki şartlar sağlandığında; A' noktasına, A no noktasının ktasının O ya göre merkez merkezilil benzeri denir. 1) A' noktası, OA doğrusu üzerindedir. üzerindedir. 2) Verilen (sıfırdan (sıfırdan farklı) k sayısı için, IOA'I=k.IOAI IOA'I=k.IOAI dır. dır. 3) k>0 olduğunda; O noktası noktası [AA'] doğru parç parçasının asının dışında, kIBCI iken IADI>IBFI olmalıdır. olmalıdır. Ya Yani, ni, eşitliğin aynı taratarafındaki iki büyüklük aynı anda büyük olamayacağından, olamayacağından, IACI=IBCI olması gerekir gerekir..

 

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:

 A

 ABC üçgeninde; AN iç açıortay açıortay doğrusunun çevrel çemberi çemberi kestiği nokt nokta a X olmak üzere, N noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikme ayakları sırasıyla D ve E ise; A(ADXE)=A(ABC) dir. Gösteriniz.

D E B

 

C

N

Çözüm: 1- AN açıortay doğrusunda doğrusundan n kolara indirilen dikmeler eşit olduğundan IDNI=IENI ve IXKI=IXLI dir. Öte yandan, ABXC kirişler  dörtgeninde dörtgenind e IXBI=IXCI dir. Bu ikisi ile şuna varırız: KBX ≅ LCX. Buradan da A(KBN)=A(CNL) yi anlarız. 2- Alan kaydırma tekniğiyle, DN II KX olan DNXK dik yamuğunda, A(DNX)=A(DNK)=A(DBN)-A(KBN) A(DNX)=A(DNK)=A(DBN)-A(KBN) ve ENXL dik yamuğunda, A(ENX)=A(ENL)=A(E A(ENX)=A (ENL)=A(ENC)+A(C NC)+A(CNL) NL) dir dir.. Taraf tarafa toplanırsa, A(NDXE)=A(DBN)+A(ENC) olur. Buradan  A(ADXE)=A(ABC) bulunur. bulunur.

 A X D E K  

B

C N

L

X

Soru:

 A

Ceva teoremini, Menelaus teoreminden faydalanarak gösteriniz. Y

Çözüm:

Z K X

B

1- Menelaus teoremini kullanalım.

 A

 A C

Y Z K

K X

B

C

B

X

C

eşitlikeri elde edilir.

2- Bu eşitlikle eşitliklerr taraf tarafa çarpılırsa, ka karşımıza rşımıza Ceva teoremi çıka çıkar. r.

Soru:

 A

Bir üçgende iç açıortayların bir noktada kesiştiğini, Ceva teoremi ile gösteriniz.

F E

Çözüm: B

D

1- Açıort Açıortay ay teo teorem remind inden en

 A

C

Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa,

F E I

2- Ceva teoreminin teoreminin kkarşıtına arşıtına göre; göre; [AD], [BF] ve [CE] bir  bir  noktada kesişir. Bir üçgende kenarortayların kenarortayların bir bir noktada noktada kesiştiğini de siz gösteriniz. B

* 164

D

C