100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Libro 3 http://matemelga.wordpress.com/

Compré una gabardina, un gorro y unas zapatillas y pagué, por todo, 140 euros. La gabardina me costó 90 euros más que el gorro, y la gabardina y el gorro juntos me costaron 120 euros más que las zapatillas. ¿Cuánto me costó cada prenda?

SOLUCIÓN Si el gorro y la gabardina me costaron 120 euros más que las zapatillas y todo me costó 140 euros, gorro y gabardina me costaron 130 euros en total y las zapatillas 10 euros. Por otro lado, como la gabardina me costó 90 más que el gorro y las dos prendas juntas costaron 130 euros, el gorro me costó 20 euros y la gabardina 110 euros. En resumen,

la gabardina costó 110 euros, el gorro costó 20 euros y las zapatillas costaron 10 euros

En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ponerse ambas fichas?

SOLUCIÓN Como hay 64 escaques, hay 64 maneras de colocar una de las fichas. La otra ficha tendrá 63 posiciones libres para ponerla por cada situación de la anterior: en total, 64 x 63. En conclusión,

se pueden colocar las dos fichas de 4032 maneras diferentes

En una ciudad, cuyo plano es el de la figura, se desea ir de la casa situada en la parte superior a la otra. ¿Cuántos caminos diferentes posibles, con la misma longitud que el marcado, pueden llevar de una casa a la otra?

SOLUCIÓN Numeremos la posibilidad de caminos en cada intersección (desde la casa inicial) y veremos, rápidamente, el número de ellos:

Puede observarse que para llegar a cada cruce, el número de caminos distintos es la suma del número de caminos distintos de los cruces colocados en su lado superior y en su lado izquierdo. Las sucesivas diagonales de la trama forman el triángulo de Tartaglia (o de Pascal), por lo que sería sencillo 7 7 ampliar el resultado a un plano de n x n parcelas. En este ejercicio, la cantidad es   +   = 35 + 35 .  3  4 Por tanto,

hay 70 caminos distintos para llegar de una casa a otra

Tres cazadores disparan, a la vez, a un conejo. El primer cazador suele acertar 3 veces de cada 5 disparos, el segundo lo consigue 3 veces de cada 10 y el último solamente una vez de cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cazadores le de al conejo?

SOLUCIÓN Las probabilidades de acierto de cada uno son, sucesivamente individuales de fallo son

3 3 1 , y , por lo que las probabilidades 5 10 10

2 7 9 , y . 5 10 10

Según esto, la probabilidad de que fallen los tres será que acierte alguno será la contraria: 1 −

2 7 9 63 . En conclusión, la probabilidad de × × = 5 10 10 250

63 187 = = 0,748 250 250

Por tanto,

la probabilidad de que algún cazador acierte al conejo es 0,748

Un equipo ciclista está entrenando para la Vuelta a España yendo todos los corredores con una velocidad constante de 35 kilómetros por hora. En un momento dado, uno de ellos se escapa a una velocidad de 45 kilómetros por hora y recorre 10 kilómetros. Inmediatamente, y siempre a la misma velocidad, regresa y se reintegra en el grupo. ¿Qué tiempo ha transcurrido desde que se fue hasta que volvió con los demás corredores?

SOLUCIÓN Llamamos t al tiempo, en horas, buscado. Durante ese tiempo, el grupo ha recorrido 35t kilómetros, y el corredor 45t kilómetros. Los la suma de esos kilómetros son los que ha hecho el pelotón más los que ha hecho el ciclista solitario en su ida y en su vuelta: 20 kilómetros exactamente, pues en el regreso el corredor llega hasta el complemento, que ha hecho el grupo, a los 10 kilómetros de la ida. Obtenemos entonces que 35t + 45t = 2 × 10 = 20 ⇒ 80t = 20 ⇒ t =

1 4

Es decir,

el corredor marcha en solitario un cuarto de hora

Dos limpiaparabrisas articulados de 50 cm de longitud tienen sus centros de giro a 50 cm de distancia. ¿Qué superficie del parabrisas barren en total si sus giros abarcan exactamente 180º cada uno?

SOLUCIÓN Dibujamos el gráfico:

Observamos que la superficie que cubren los parabrisas será la suma de las áreas de los dos semicírculos menos la zona limitada por los arcos OM y MP y el segmento OP . Es decir, la superficie será S = π × 50 2 − 2 × A cm2 Se trata, entonces, de calcular el área de la zona A . Esta será la diferencia entre las áreas del sector OMP y del triángulo rectángulo OMN El sector OMP abarca un ángulo de 60º , pues el triángulo OMP es equilátero de 50 cm de lado. Su área 1 será, por tanto, × π × 50 2 cm2 6 El triángulo rectángulo OMN tiene de altura, aplicando el teorema de Pitágoras, por lo que su área es

502 − 252 = 25 × 3 cm

25 × 25 × 3 625 × 3 cm2 = 2 2

1 625 × 3 cm2, y la superficie pedida × π × 502 − 6 2 1 625 × 3  2 2 S = π × 502 − 2 × A = π × 502 − 2 ×  × π × 502 − = × π × 502 + 625 × 3 = 6318,52 cm  2 6  3

De lo anterior, la superficie de la zona coloreada es A =

O sea,

La superficie barrida es (aproximadamente) 0,63 m2

Un abuelo reparte 26 caramelos entre sus cuatro nietos. Se ponen a comerlos y todos toman unos cuantos. Al cabo de una hora, comprueba que a todos les queda el mismo número de caramelos. Sabiendo que el mayor ha comido tantos como el tercero, que el segundo ha comido la mitad de los que tenía inicialmente y que el cuarto se ha comido tantos como los otros tres juntos, ¿Cómo ha hecho el abuelo el reparto?

SOLUCIÓN Sea x el número de caramelos que se han comido tanto el mayor como el tercero, e y los que se ha comido el segundo. Según el enunciado, si llamamos n1 , n2 , n3 , n4 al reparto original tendremos:

n1 + n2 + n3 + n4 = 26 ; n1 − x = n2 − y = n3 − x = n4 − (x + y + x ) ; n2 = 2 y ⇒ ⇒ n1 = y + x, n2 = 2 y , n3 = y + x, n4 = 2 x + 2 y ⇒ y + x + 2 y + y + x + 2 x + 2 y = 26 ⇒ 4 x + 6 y = 26 ⇒ ⇒ 2 x + 3 y = 13 , y los únicos valores enteros positivos que satisfacen la ecuación son x = 2, y = 3 o x = 5, y = 1 , siendo esta última solución no válida para el problema porque todos comen más de un caramelo. En suma, n1 = 5, n2 = 6, n3 = 5, n4 = 10 Es decir,

el mayor y el tercero reciben 5 caramelos cada uno, el segundo recibe 6 y el cuarto recibe 10 caramelos

Isidro me comentó un día: “mi madre hubiese querido tener, al menos, 19 hijos pero no lo pudo conseguir. No obstante, mis hermanas eran tres veces más numerosas que mis primas y yo he tenido dos veces menos hermanos que hermanas”. ¿Cuántos hijos e hijas tuvo la madre de Isidro?

SOLUCIÓN Sea x el número de hijos e hijas pedido. El número de hermanas de Isidro es múltiplo de 3 : 3n , siendo n (número natural) el número de primas. Por tanto, el número de hermanos de Isidro es x − 3n − 1 , porque a él lo exceptuamos. Según el enunciado, 2 × ( x − 3n − 1) = 3n ⇒ 2 x = 9n + 2 ⇒ x = 4n + 1 +

n 2

Si n = 2 ⇒ x = 10 y, para valores mayores admisibles de n se obtiene que x ≥ 19 , lo cual contradice el enunciado. De ahí,

la madre de Isidro tuvo 10 descendientes: 6 hijas y 4 hijos

Una compañía de aviación tiene todas las rutas directas posibles entre un número determinado de ciudades. Próximamente va a aumentar la red con 76 nuevos vuelos añadiendo nuevas ciudades y conectándolas entre sí y con las anteriores de manera directa también. ¿Cuántas ciudades tiene, en este momento, interconectadas?, ¿cuántas va a añadir?

SOLUCIÓN Sea x el número de ciudades actuales e y el de las que añadirá próximamente. Según las reglas de la Combinatoria, el número de rutas diferentes actuales es Vx , 2 = x × ( x − 1) y el nuevo número de rutas diferentes posterior sería Vx+ y , 2 = ( x + y ) × ( x + y − 1)

Según las condiciones del problema, Vx+ y , 2 = Vx , 2 + 76 ⇒ ( x + y ) × ( x + y − 1) = x × ( x − 1) + 76 ⇒

⇒ (x + y ) − x 2 − (x + y ) + x = 76 ⇒ y × (2 x + y ) − y = 76 ⇒ y × (2 x + y − 1) = 22 × 19 2

Evidentemente, y en el contexto del problema, x ≥ 2 ⇒ 2 x + y − 1 > y > 1 ⇒ y = 2 o 4 Si y = 2 ⇒ 2 x + 1 = 38 , imposible, pues no se obtiene, de la expresión, un número entero. Si y = 4 ⇒ 2 x + 3 = 19 ⇒ x = 8 Por lo tanto,

hay 8 ciudades interconectadas y se van a añadir 4 más

Un número de tres cifras aumenta en 45 unidades si se permutan las dos cifras de la derecha, y disminuye en 270 si se permutan las dos cifras de la izquierda. ¿Qué sucede cuando se permutan las cifras de los extremos?

SOLUCIÓN Sea abc el número. Según el enunciado se cumple: 1. abc + 45 = acb ⇒ 100a + 10b + c + 45 = 100a + 10c + b ⇒ 9c − 9b = 45 ⇒ c − b = 5 2. abc − 270 = bac ⇒ 100a + 10b + c − 270 = 100b + 10a + c ⇒ 90a − 90b = 270 ⇒ a − b = 3 De ambas afirmaciones podemos deducir que c − a = 2 Supongamos un incremento de valor k al permutar la cifra de los extremos:

abc + k = cba ⇒ 100a + 10b + c + k = 100c + 10b + a ⇒ k = 99c − 99a = 99 × (c − a ) = 99 × 2 = 198 De ahí,

se produce un incremento de 198 unidades

Las edades de tres hermanos cumplen que 1. El producto de la edad del mayor por la del menor es igual al cuadrado de la edad del otro 2. La suma de las tres edades es 35 3. La suma de los logaritmos decimales de sus edades es 3 ¿Cuáles con las edades de los tres hermanos?

SOLUCIÓN Sean x, y , z las tres edades, ordenadas del mayor al menor. Del enunciado se deduce: 1.

xz = y 2

2.

x + y + z = 35

3. log x + log y + log z = 3 De la última ecuación, log x + log y + log z = 3 ⇒ log xyz = 3 ⇒ xyz = 1000 y, con la primera ecuación,

xz = y 2 ⇒ xyz = y 3 = 1000 ⇒ y = 10 y xz = 100 . Además, por la segunda, x + z = 25 Las edades del mayor y del menor son las raíces de la ecuación p 2 − 25 p + 100 = 0 ⇒ p = 5, p = 20 por lo que

los hermanos tienen 20, 10 y 5 años

Hace tiempo se casó una pareja de distinta nacionalidad: francesa y belga. En la boda, el novio tenía la edad actual de la novia y el producto de las edades de ambos y los años que llevan casados es igual a la edad de quien tiene nacionalidad belga más 1539. ¿Cuántos años llevan casados?, ¿cuál es la edad y la nacionalidad de la novia?

SOLUCIÓN Sean a la edad del componente del matrimonio que tiene nacionalidad belga y b del de nacionalidad francesa. Sea x los años que llevan casados Según el enunciado, se verifica que a − b = x y que abx = a + 1539 . De esta ecuación se deduce que

a × b × x = a + 1539 ⇒ a × b × x − a = 1539 ⇒ a × (b × x − 1) = 1539 = 34 × 19 Las posibilidades (razonables) que se deducen son:

b = 41 y x = 2 1. a = 19 ⇒ b × x − 1 = 81 ⇒ b × x = 82 = 2 × 41 ⇒   b = 82 y x = 1 b = 29 y x = 2 2. a = 27 ⇒ b × x − 1 = 57 ⇒ b × x = 58 = 2 × 29 ⇒   b = 58 y x = 1 3. a = 57 ⇒ b × x − 1 = 27 ⇒ b × x = 28 = 2 2 × 7 ⇒ b = 28 y x = 1 4. a = 81 ⇒ b × x − 1 = 19 ⇒ b × x = 20 = 2 2 × 5 ⇒ b = 20 y x = 1 De todas ellas, solamente la primera posibilidad de la segunda cumple la primera condición: a − b = x De ahí,

llevan 2 años casados y la novia, belga, tiene 27 años

Cuatro amigos quieren comprar un libro, que interesa a todos. Uno de ellos dice a los demás: “Solo tengo 1 euro. Si me prestáseis la mitad de todo vuestro dinero podría comprarlo”. Otro le contesta: “También lo compraría yo con lo que tengo y un tercio del dinero que tenéis”. El tercero apunta: “Yo podría comprarlo con mi dinero y una cuarta parte del vuestro.” El último apostilla: “Si me dáis la quinta parte de vuestro dinero, con lo que tengo podría comprarlo”. ¿Cuánto cuesta el libro? ¿Cuánto dinero lleva cada uno de los amigos?

SOLUCIÓN Llamamos x, y, z , t al dinero que lleva cada uno y p al precio del libro. Está claro que x = 1 Según el enunciado, y+ z +t  y+ z +t  =p =p 1+ 1 +  2 2 y+ z +t   y+ z +t  1+ z + t  1+ z + t =p 1+ =p y+ z +t  1 + 2 2 =p = 1+ y + y +     3 3 2 ⇒ ⇒  3y − z − t = 4 ⇒  3y − z − t = 4 ⇒  1+ y + t 1+ y + t y+ z +t z + z +  − y + 2z − t = 3  5 z − 4t = 13 =p = 1+ 4 4 2     − 3 y − 3 z + 5t = 8  − z + t = 3 t + 1 + y + z = p t + 1 + y + z = 1 + y + z + t   5 5 2  y+ z +t = p  p = 37 1 + 2  y = 19   ⇒  3y − z − t = 4 ⇒   5 z − 4t = 13  z = 25   t = 28 t = 28  Por lo tanto,

el libro cuesta 37 euros y los amigos llevan 1, 19, 25 y 28 euros

Encuentra el número xy0yx que es producto de cuatro números consecutivos.

SOLUCIÓN Si xy0 yx es producto de cuatro números consecutivos debe ser múltiplo de 8 y, por tanto, sus tres últimas •

cifras también: yx = 8 •

Además, también será múltiplo de 3 , por lo que es evidente que yx = 3 •

En conclusión, yx = 24 ⇒ yx = 24, 48, 72 o 96 Los cuatro números consecutivos no deben tener, como cifras finales, ni 5 ni 0 porque el número buscado acabaría en 0 por lo que, en cuanto a cifras finales, sólo pueden ser 1, 2, 3, 4 o 6, 7, 8, 9 . En ambos casos, el producto de las cuatro cifras acaba en 4 ⇒ x = 4 por lo que,

el número es 42024 (= 11 x 12 x 13 x 14)

Coloca los números de 1 a 8 en cada vértice del cubo de manera que los vértices de cada cara sumen lo mismo.

SOLUCIÓN Como cada vértice pertenece a tres caras y 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 la suma total de las caras será 108 36 × 3 = 108 y, al haber 6 caras, la suma de los vértices de cada cara será = 18 6 También debe pensarse que los números deben ir equilibrados, por lo que podemos ir preparando parejas de números que sumen 9 y combinarlas ( 1 − 8, 2 − 7, 3 − 6, 4 − 5 ) Teniendo cuatro caras juntando esos pares, es cuestión, de probar las posibilidades de las otras dos. Así, enseguida se llega a una de las posibles soluciones:

Identifica todos los números de 1 a 9 en este criptograma que se compone de un producto y una suma y construye estas operaciones, sabiendo que a letra distinta le corresponde un número diferente.

SOLUCIÓN Evidentemente, C ≠ 1 , por lo que A ≤ 4 . Si A ≠ 1 debe cumplirse que D ≥ 6 lo que determinaría que F ≤ 3 y H ≥ 7 y las posibilidades factibles, en este caso, no existirían: pueden ir comprobándose partiendo (en principio) de que si C y A son 2 y 3 ⇒ F = 1 ⇒ ... Por tanto A = 1 . Desde aquí, con H ≥ 5 y H −1 > D > C , podemos llegar sin problemas a la solución:

Una millonaria sin familia, en su lecho de muerte, decide hacer testamento repartiendo entre sus sirvientes el dinero que tiene. Siguiendo un orden de antigüedad en la casa, al más veterano le otorga un millón de euros más un séptimo de la cantidad restante, al siguiente dos millones más un séptimo del resto, al tercero tres millones más un séptimo de lo que queda y así sucesivamente hasta que todos recibieran su parte. El notario, asombrado, se da cuenta de que todos recibían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero reparte la millonaria?, ¿cuántos sirvientes tiene?

SOLUCIÓN Si llamamos x a la cantidad que reparte los dos primeros sirvientes van a obtener la misma cantidad, por lo  1 1  1 que 1000000 + × ( x − 1000000 ) = 2000000 + ×  x − 1000000 + × ( x − 1000000 ) − 2000000  7 7   7   Simplificando obtenemos que

⇒

6000000 + x 1 6 x − 20000000 = 2000000 + × ⇒ 7 7 7

6000000 + x 78000000 + 6 x = ⇒ 42000000 + 7 x = 78000000 + 6 x ⇒ x = 36000000 7 49

1 El reparto, entonces, fue de 1000000 + × 35000000 = 6000000 para cada persona, por lo que había 7 36000000 = 6 sirvientes. 6000000

Repartió 36 millones de euros entre 6 sirvientes

Un comerciante de productos audiovisuales decide subir el precio de sus televisores, ¡en esta época de crisis!, un 10% de su valor. Al cabo de dos meses, y viendo que sus ventas han descendido notablemente, decide bajar su precio el 10%. ¿El precio es el mismo que antes de subirlos?, ¿cuál es la diferencia, si la hay?

SOLUCIÓN Sea T el precio inicial de un televisor. Al aumentar un 10% , su precio es T × 1,1 Si después disminuye el precio de ese momento en un 10% el nuevo precio será T × 1,1 × 0,9 = T × 0,99 Por tanto,

el precio ha bajado en un 1% respecto a su valor original

En un círculo se inscribe un rectángulo y, en éste, un rombo con sus vértices en los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el perímetro del rombo si el diámetro del círculo es de 10 centímetros?

SOLUCIÓN Está claro, dibujando el problema, que los lados del rombo equivalen a los radios del círculo, por lo que

el perímetro del rombo es de 20 centímetros

Un constructor quiere dar una cantidad extra a sus operarios. Con la cantidad que ha pensado distribuir, si da 50 euros a cada uno le sobran 5 euros y si da 51 euros a cada uno le faltarán 3 euros. ¿Cuántos son los operarios?, ¿cuánto pensaba repartir?

SOLUCIÓN Sea x el número de operarios e y la cantidad que piensa repartir. De ahí, 51x − 3 = 50 x + 5 ⇒ x = 8 Además, y = 50 x + 5 = 50 × 8 + 5 = 405 En conclusión,

son 8 operarios y pensaba repartir 405 euros

Un chico, que vive en el último piso de su casa, baja la escalera de tres en tres peldaños y la sube de dos en dos, dando un total de 100 saltos. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera?

SOLUCIÓN Llamamos n al número de peldaños de la escalera. Según el enunciado da subir, por lo que

n n saltos al bajar y saltos al 3 2

n n 600 + = 100 ⇒ 5n = 600 ⇒ n = = 120 y 3 2 5

la escalera tiene 120 peldaños

En un monte hay desperdigadas varias casetas de manera que cada una de ellas está unida a las demás por un camino. Si hay 36 caminos, ¿cuántas casetas están en el monte?

SOLUCIÓN Sea n el número de casetas. Como cada camino une un par de casetas y es el mismo para ir de una a otra o viceversa, el número de caminos será el número de combinaciones de las casetas tomadas dos a dos:

 n n × (n − 1)   = 36 ⇒ = 36 ⇒ n 2 − n = 72 ⇒ n = 9 (la otra solución de la ecuación es negativa, lo que no 2 2   tiene sentido en el contexto del problema).

Hay 9 casetas

Un amigo tiene tres hijos: uno tiene la misma edad que la cifra de las decenas de la edad del padre y otro tiene la misma edad que la cifra de las unidades de la edad de su padre. La edad del restante es, casualmente, la suma de las cifras de la edad del padre. Si ninguno de los niños tiene la misma edad y la suma de todas las edades es 45, ¿qué edades tienen cada uno de los cuatro integrantes de la familia?

SOLUCIÓN Llamamos p y q a las edades de los dos primeros hijos. p + q es la edad del tercer hijo y, la edad del padre es pq = 10 p + q En estas condiciones, 10 p + q + p + q + ( p + q ) = 45 ⇒ 12 p + 3q = 45 ⇒ 4 p + q = 15 Como las dos incógnitas planteadas son cifras y distintas, se deduce que la única solución válida se produce cuando p = 2 y q = 7 Por lo tanto,

el padre tiene 27 años y los hijos tienen 2, 7 y 9 años

El uno de enero de 1886 la población de cierta ciudad europea era de P habitantes. Durante ese año el número de defunciones se elevó a 1/42 de la población y el de nacimientos a 1/35. Si hubiera ocurrido lo mismo en todos los años sucesivos, ¿en qué año la población se incrementaría en su mitad?

SOLUCIÓN La proyección de incremento para la población es, para el año siguiente, de P − y, en años sucesivos, de un incremento geométrico de razón r =

P P 211 + = P habitantes 42 35 210

211 . 210

Por tanto, la época en la que se incrementa la mitad la población inicial corresponderá a n años después en

211  donde P ×    210 

n −1

=

3  211  P⇒  2  210 

n−1

=

3 , según la relación de términos de una progresión geométrica. 2

3 3 ln  ln   2 ⇒ n =  2  + 1 = 85,35 + 1 = 86,35 De ahí, aplicando logaritmos, n − 1 =  211   211  ln  ln    210   210  En conclusión,

la población de 1886 se incrementaría en su mitad a lo largo del año 1972

Calcula la superficie del círculo naranja tangente a los lados del cuadrado y a la semicircunferencia dibujada en la figura sabiendo que el lado del cuadrado mide 2 centímetros.

SOLUCIÓN Sea x el radio del círculo y construimos el triángulo rectángulo ABC Según se ve en la figura, tenemos que

AB = 1 − x AC = 2 − x BC = 1 + x Aplicando el teorema de Pitágoras,

AB + AC = BC ⇒ (1 − x ) + (2 − x ) = (1 + x ) ⇒ 2

2

2

2

2

2

⇒ x2 − 2 x + 1 + x2 − 4x + 4 = x2 + 2 x + 1 ⇒ x2 − 8x + 4 = 0 ⇒ ⇒ x = 4 ± 12 , y se desecha el valor mayor que el lado del cuadrado, luego el radio es ⇒ x = 4 − 2 × 3 cm

(

El área es, por tanto, π × x 2 = π × 4 − 2 × 3

)

2

= 0,902224817

Es decir,

la superficie del círculo es 0,9022 cm2

La siembra de un kilo de patatas produce tres kilos al año. Una familia de granjeros consume 600 kilos al año y el jefe de familia debe comprar la cantidad inicial de patatas suficiente para que la familia tenga, a partir de ese momento, un consumo indefinido. ¿Cuántas patatas, como mínimo, debe comprar?

SOLUCIÓN Si x es el número mínimo de kilos que deben sembrar al año para mantenerse, deberá cumplirse que la producción de cada año sirva para la el consumo y para sembrar para el próximo año: 3 x = x + 600 De ahí, 3 x = x + 600 ⇒ 2 x = 600 ⇒ x = 300 Como el primer año no se ha producido nada, deberá comprar para sembrar y para el consumo de ese primer año, por lo que

deberá comprar, al menos, 900 kilos de patatas

Calcula las medidas de un rectángulo tal que sus lados, diagonal y área estén en progresión aritmética.

SOLUCIÓN Sean a , b , d = a 2 + b 2 , A = ab las medidas lado menor, lado mayor, diagonal, área del rectángulo que están en progresión aritmética y todos los términos no nulos.

 a2 + b2 − b = b − a Se deberá cumplir que la diferencia de dos consecutivos es la misma:   ab − a 2 + b 2 = a 2 + b 2 − b

 a 2 + b 2 = 2b − a a 2 + b 2 = (2b − a )2 2 2    + − = − a b b b a De ahí,  ⇒ 2 ab + b ⇒ ab + b ⇒  2 2 2 2 2 2b − a = ab − a + b = a + b − b  a + b =  2   2 4a 2a   4a 6 − 2a = 3  3 a 2 + b 2 = 4b 2 − 4ab + a 2  3b 2 = 4ab  b= 3  3 = 3−a  4a ⇒ a = 2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ b= 4a 4b − 2a = ab + b  3b − ab = 2a b = 2a  b = 2  b=  3 3−a 3   En resumen,

los lados del rectángulo miden 3/2 y 2

En una división entera la suma del dividendo y del divisor es 328, y la suma del cociente y el resto es 19. Calcula el dividendo y el divisor.

SOLUCIÓN Sea la división entera D : d ⇒ D = dc + r

 D + d = 328 Se sabe que  , cumpliéndose que r < d < D . Por tanto D > 164 , 19 < d < 164 , r < 19 [*]  c + r = 19 Despejando en las condiciones y sustituyendo en la primera expresión tenemos

328 − d = d (19 − r ) + r ⇒ 20 d − dr = 328 − r ⇒ d =

328 − r 308 = 1+ 20 − r 20 − r

Como 328 = 2 2 × 7 × 11 y es divisible por 20 − r , estudiamos los posibles valores según las condiciones [*] a) 20 − r = 2 ⇒ d = 155 , r = 18 ⇒ c = 1 ⇒ D = 173 b) 20 − r = 4 ⇒ d = 78 , r = 16 ⇒ c = 3 ⇒ D = 250 c)

20 − r = 7 ⇒ d = 45 , r = 13 ⇒ c = 6 ⇒ D = 283

d) 20 − r = 11 ⇒ d = 29 , r = 9 ⇒ c = 10 ⇒ D = 299 e) 20 − r = 14 ⇒ d = 23 , r = 6 ⇒ c = 13 ⇒ D = 305 Por tanto, hay cinco posibilidades:

Dividendo: 173; divisor: 155 Dividendo: 250; divisor: 78 Dividendo: 283; divisor: 45 Dividendo: 299; divisor: 29 Dividendo: 305; divisor: 23

Agustín, Gustavo y Félix tienen una especial relación entre sus edades. La suma de dos cualquiera de las tres edades da siempre un número que resulta de invertir las cifras de la tercera edad, y todas suman menos de 100 años. ¿Cuál es la suma de las tres edades?, ¿qué edad tiene el menor?

SOLUCIÓN Según los datos del problema sean ab , cd y ef las tres edades.

ab + cd = fe ⇒ 10a + b + 10c + d = 10 f + e  Así,  ab + ef = dc ⇒ 10a + b + 10e + f = 10d + c . Sumando todo obtenemos que cd + ef = ba ⇒ 10c + d + 10e + f = 10b + a 

20a + 2b + 20c + 2d + 20e + 2 f = a + 10b + c + 10d + e + 10 f ⇒ 19 × (a + c + e ) = 8 × (b + d + f ) , por lo que s  a + c + e = 8m deduce que  al ser 8 y 19 números primos entre sí. b + d + f = 19n

Sumando las tres edades, ab + cd + ef = 10 × (a + c + e ) + b + d + f = 80 m + 19 n , siendo m y n números naturales. Como la suma es menor de 100 años, deberá ser m = n = 1 y ab + cd + ef = 99 , suma de las tres edades

 ab + cd = fe Además,  ⇒ fe + ef = 99 ⇒ 11e + 11 f = 99 ⇒ e + f = 9 y, de la misma manera, a + b = 9 ab + cd + ef = 99 y c+d =9  a+c+e =8 Todas las edades son múltiplos de 9 y  por lo que las únicas posibilidades de edades son 18 , b + d + f = 19 27 y 54 o 18 , 36 y 45 En conclusión,

la suma de las tres edades es 99 y el menor tiene 18 años

Halla el resultado de la suma

SOLUCIÓN Racionalizando la expresión,

1 1 1 1 + + + ... ... + = 1+ 2 2+ 3 3+ 4 99 + 100

2− 1 3− 2 4− 3 100 − 99 + + + ... ... + = 2 −1 3− 2 4−3 100 − 99 = 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... ... + 100 − 99 = 100 − 1 = 10 − 1 = 9 =

En resumen,

la suma vale 9

El dueño de una fábrica con grandes beneficios decide repartir una paga extraordinaria entre sus tres empleados más antiguos. Esa paga será proporcional a los años que cada uno lleva en la empresa. Sabe que uno lleva tantas semanas como días lleva otro y éste tantos meses como años lleva el tercero. Si entre todos suman 60 años trabajando allí, ¿cuántos años lleva cada uno de ellos?

SOLUCIÓN Según el enunciado, el primero último llevará 7 veces los años del segundo y el tercero, a su vez, 12 veces los años del segundo. Si llamamos x a los años que lleva el segundo, se cumplirá que 7 x + x + 12 x = 60 ⇒ 20 x = 60 ⇒ x = 3 Por tanto,

los empleados llevan 21, 3 y 36 años en la empresa

Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 505, 233 y 52 hectáreas. ¿Cuál es la superficie del campo triangular?

SOLUCIÓN El triángulo tiene de lados a = 505 , b = 233 y c = 52 , medidos en hectómetros. Llamando h a la altura del triángulo y x al elemento auxiliar en la base, aplicamos a los dos triángulos rectángulos, creados con la altura, el teorema de Pitágoras:

h 2 = 52 − x 2 ; h 2 = 233 −

(

)

2 × 505 x = 324 ⇒ x =

162 162 2 16 4 ⇒ h 2 = 52 − = ⇒h= 505 505 505 505

2

505 − x = −272 + 2 × 505 x − x 2 ⇒

Entonces, la superficie del triángulo es

1 1 4 × a × h = × 505 × = 2 ha 2 2 505

Es decir,

la superficie del campo triangular es de 2 hectáreas

Una persona decide invitar a una caña a dos amigos si averiguan, sin comunicarse ningún dato, dos números cuyo producto está comprendido entre 32 y 40. Al primero le dice el producto de los números y éste, inmediatamente, le dice al oido cuáles son. Al segundo le da después la suma de ambos y también le dice los números de manera inmediata. De esta manera, los tres se toman las cañas prometidas. ¿Cuáles son los dos números?

SOLUCIÓN Si el producto está comprendido entre 32 y 40 y el amigo que lo conoce da la respuesta inmediata, esto quiere decir que dicho producto debe tener una descomposición única en dos factores, por lo que debe ser primo. Y el único primo, entre los límites dados, es el 37 = 1 × 37 Por eso el primer amigo lo sabe enseguida. El segundo amigo, según el razonamiento dado y conociendo la suma (habrá recibido 38 como dato), da también la respuesta correcta.

Los números son 1 y 37

Expresa, mediante una fórmula, el resultado de la suma

en donde cada sumando tiene un dígito 1 más que el anterior hasta llegar al último, que tiene n dígitos 1.

SOLUCIÓN Tendremos en cuenta, en el desarrollo, la suma de los m términos de una progresión geométrica:

Sm =

a1 × r n − a1 r −1

Observando detenidamente la expresión se deduce que

(

) ( ) + ... ... + (10 + 10 ) + 10 =

)

1 + 11 + 111 + ... ... + 1111111 ...11111 = 1 + (10 + 1) + 10 2 + 10 + 1 + ... ... + 10 n−1 + 10 n−2 + ... ... + 10 + 1 =

(

) (

= n + 10 + 10 2 + ... ... + 10 n−1 + 10 + 10 2 + ... ... + 10 n−2

2

=n+

10 × 10 n−1 − 10 10 × 10 n−2 − 10 10 × 10 2 − 10 10 × 10 − 10 + + ... ... + + = 10 − 1 10 − 1 10 − 1 10 − 1

= n−

10 × (n − 1) 10 10 − n 10 10 × 10 n−1 − 10 + × 10 n−1 + 10 n−2 + ... ... + 10 2 + 10 = + × = 9 9 9 9 10 − 1

=

(

)

90 − 9n + 10 n+1 − 100 10 n+1 − 9n − 10 = 92 81

Por lo tanto, la fórmula pedida es

10 n + 1 − 9n − 10 81

¿Para qué valores positivos de a el producto

es un valor múltiplo de 15?

SOLUCIÓN Es evidente que el primer factor no puede ser múltiplo de 5 ni el segundo factor múltiplo de 3 , por lo que deberá cumplirse que el primer factor debe ser múltiplo de 3 y el segundo de 5 :

5a + 1 = 3m , siendo m y n números naturales.  3a + 2 = 5n

3m − 1 5n − 2 25n − 7 7 × (n − 1) , por lo que n − 1 = ⇒ 9m − 3 = 25n − 10 ⇒ m = ⇒ m = 2n + 5 3 9 9 debe ser múltiplo de 9 ⇒ n = 9 x + 1 , siendo x = 0, 1, 2, 3, ...

De ahí, a =

Sustituyendo en una de las igualdades anteriores, a =

5n − 2 5 × (9 x + 1) − 2 45 x + 3 = = ⇒ a = 15 x + 1 3 3 3

En resumen,

a = 15x + 1, siendo x = 0, 1, 2, 3, …: a = 1, 16, 31, 46, …

Estamos en una habitación cuadrada. El piso de la habitación está cubierto con losetas iguales a las de la imagen, formando una cuadrícula de 30 x 30. Si trazamos una recta que vaya de una esquina de la habitación a la esquina opuesta y pintamos de azul la mitad inferior del piso determinada por la diagonal, ¿cuántas losetas tenemos que por lo menos tengan un pedazo pintado de azul?

SOLUCIÓN De las 900 losetas existentes, 30 estarán bajo la diagonal que tracemos, pues la cantidad es la misma que las que hay en cada lado de la habitación.

900 − 30  De las restantes, la mitad  = 435  estarán a un lado de la diagonal y la otra mitad al otro. 2   Las losetas de una de esas mitades más las losetas de la diagonal serán las que tengan todo o algún pedazo pintado de azul, por lo que el total será

465 losetas

Sea la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, … ¿Qué valor tiene el término 2000?

SOLUCIÓN Si llamamos a la sucesión (an ) , observamos que •

a1 = 1 es el último término de valor 1 … y el orden del término es 1

•

a3 = 2 es el último término de valor 2 … y el orden del término es 1 + 2 = 3

•

a6 = 3 es el último término de valor 3 … y el orden del término es 1 + 2 + 3 = 6

•

a10 = 4 es el último término de valor 4 … y el orden del término es 1 + 2 + 3 + 4 = 10

•

…

De lo anterior se deduce que an = m es el último término de valor m … y el orden del término es

n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + m =

(m + 1) × m = m 2 + m , según la fórmula que da la suma de los términos de una 2

2

progresión aritmética. Buscamos ahora el último término del valor m más próximo y anterior al orden 2000 . Si n ≤ 2000 ⇒

m2 + m ≤ 2000 2

Resolvemos la ecuación

x2 + x = 2000 ⇒ x 2 + x − 4000 = 0 ⇒ x = 62,7475 desechando el valor negativo. 2

62 2 + 62 = 1953 y los 63 2 siguientes tendrán de valor 63 , entre ellos el que ocupa el lugar 2000 , pues 1953 + 63 = 2016 > 2000

Determinamos entonces el orden del último término de valor m = 62 : n =

En conclusión,

a2000 = 63

Halla el número natural que es el producto de los primos p, q, r, sabiendo que r – q = 2p y rq + p2 = 676

SOLUCIÓN

 (r − q )2 = 4 p 2  r − q = 2p 2 Si  ⇒ ⇒ (r − q ) = 2074 − 4rq ⇒ r 2 + q 2 − 2rq + 4rq = 2074 ⇒  2 2 rq + p = 676 4 p = 2074 − 4rq ⇒ (r + q ) = 2074 ⇒ r + q = 52 2

Según todos los primos inferiores a 52 y sabiendo que p =

r −q también debe ser primo, encontramos las 2

siguientes posibilidades:

r = 47 , q = 5 ⇒ p = 21 , imposible porque no es primo r = 41 , q = 11 ⇒ p = 15 , imposible porque no es primo r = 29 , q = 23 ⇒ p = 3 En suma, el número buscado es 3 × 23 × 29 =

2001

La iglesia de San Pedro de Fraga (Huesca) tiene ascendencia visigótica. Los árabes la convirtieron en mezquita y el 24 de octubre de 1149 fue consagrada al cristianismo durante la conquista de la ciudad. Si multiplicas las cifras de ese año se obtiene 36. ¿Cuántos años pasaron hasta que el producto de las cifras del año volvió a dar 36?

SOLUCIÓN Factorizando 36 obtenemos 36 = 2 2 × 32 y los divisores son, ordenados, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36 Está claro que el año siguiente tendrá, en su tercer dígito, el 6 Por lo tanto el año en el que volvió a obtenerse 36 como el producto de sus cifras fue 1166 y pasaron

1166 – 1149 = 17 años

En cinco garajes hay aparcados cinco automóviles, uno en cada garaje, siendo todos los coches de distinto color y los garajes están numerados, de izquierda a derecha, de 1 a 5 Indica la situación de los coches según su color, y mirando de frente los garajes, si se sabe que 1. El coche blanco no está ni al lado del azul, ni al lado del rojo, ni al lado del gris. 2. El coche verde no está ni al lado del azul ni al lado del gris. 3. El coche azul no está al lado del rojo. 4. El coche gris está a la izquierda del rojo.

SOLUCIÓN Llamamos B, A, R, G y V a los coches respectivos de color blanco, azul, rojo, gris y verde. Por la primera condición el coche B debe estar en uno de los extremos, ocupando el garaje 1 o el 5, y el coche V debe ocupar el puesto de al lado, el 2 o el 4. Por la segunda condición el coche R debe ocupar, obligatoriamente, el garaje 3 al ser adyacente a la posición del coche V. Y la tercera condición, considerando las anteriores, nos indica que el coche A ocupa otro de los extremos: el garaje 1 o el 5. La última condición nos indica que el coche G debe ocupar el garaje 2, por lo que el V debe ocupar el garaje 4, B el 5 y A el 1. Concluyendo, las posiciones de los coches, de izquierda a derecha, son

Azul – Gris – Rojo – Verde – Blanco

Jugando al Mastermind numérico se obtienen las siguientes combinaciones: 3895 RR 9457 RR 1290 RB 7680 B 4687 R Averigua el número secreto teniendo en cuenta que R significa número acertado pero no su colocación, y B acertado en su lugar correspondiente.

SOLUCIÓN Por el cuarto y quinto resultado desechamos los dígitos 6 y 8, y puede ser que a) 0 está en la última posición y el 4 está en otra y el 7 no está Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición y el 4 debe estar en tercera posición Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición, por lo tanto su posición correcta es la segunda Por el tercer resultado, debe estar el 9 y su posición correcta será la primera, lo cual se contradice con el segundo resultado Por tanto, es imposible la suposición inicial b) 7 está en la primera posición y el 0 y el 4 no están Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición Por el tercer resultado, debe estar el 9 (fuera de su posición) y debe estar el 2 en su posición correcta. El número es, por tanto,

7239

A un cliente, en un bar, le sirven un vermut en una copa de forma cónica. Ha indicado al camarero que le llene la copa hasta la mitad de la altura del recipiente. ¿Qué parte del volumen total de la copa beberá?

SOLUCIÓN

1 Siendo el recipiente un cono, su volumen es V = × π × r 2 × h , siendo r el radio de la 3 boca de la copa y h la altura del recipiente. 1 × h , el radio de la superficie de la bebida será proporcional, por 2 1 el teorema de Thales: × r 2 Si el camarero rellena

2

1 1 1 1 1 1 El volumen será, en este caso, V ' = × π ×  × r  × × h = × × r 2 × h = × V 3 3 8 8 2  2 Es decir,

beberá 1/8 del volumen total de la copa

Se ha realizado un torneo de ajedrez en el que han participado 30 niños divididos, de acuerdo con su edad, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás del grupo. Se jugaron, en total, 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7,5 puntos. Teniendo en cuenta que se puntúa 1 por partida ganada y 0,5 por tablas, ¿en cuántas partidas hizo tablas el ganador?

SOLUCIÓN Llamamos n al número de jugadores del primer grupo. 30 − n es el número de jugadores del segundo grupo.

 30 − n   n  (30 − n ) × (29 − n ) = n × (n − 1) + 87 ⇒ Según el enunciado,   =   + 87 ⇒ 2 2  2   2 2 2 ⇒ n − 59n + 870 = n − n + 174 ⇒ 58n = 696 ⇒ n = 12 Fueron 12 los componentes del primer grupo, por lo que el ganador jugó 11 partidas. Entones no pudo ganar 7 partidas y empatar 1 ( 7 + 1 ≠ 11 ), no pudo ganar 6 partidas y empatar 3 ( 6 + 3 ≠ 11 ), no pudo ganar 5 partidas y empatar 5 ( 5 + 5 ≠ 11 ), … Si no perdió ninguna partida, teniendo en cuenta las puntuaciones y el número de juegos, el campeón del primer grupo ganó 4 partidas e

hizo tablas en 7 partidas

En un convento hay un fantasma bastante especial. Aparece cuando las campanas de la iglesia del convento empiezan a tocar las 12 campanadas de la medianoche y desaparece con la última campanada. Si las campanas tardan 6 segundos en dar 6 campanadas, ¿cuánto dura la aparición del fantasma?

SOLUCIÓN Según el enunciado las seis primeras campanadas suenan en un periodo de 6 segundos. Al haber cinco 6 intervalos entre cada par de campanadas, cada intervalo será de = 1,2 segundos. 5 Las 12 campanadas, que se producen en 11 intervalos, tocarán en 1,2 × 11 = 13,2 segundos O sea,

la aparición del fantasma dura 13,2 segundos

Entre los antiguos papeles en el desván de una casa se ha encontrado una nota de una venta realizada en el año 1952. La nota dice asi: “Por la venta de 72 pollos he recibido la cantidad de _67,9_ pesetas” Parece ser que la primera y la última cifra de la nota no están legibles, seguramente por deficiencias de la conservación, y se han sustituido por guiones. ¿Qué precio tenía cada pollo?

SOLUCIÓN Llamamos x679 y al precio total multiplicado por 100 para evitar decimales. Éste valor debe ser divisible por 72 = 9 × 8 •

Para que sea divisible por 8 las tres últimas cifras deben formar un número divisible por 8 : 79 y = 8 ⇒ •

•

⇒ 79 y = 784 + 6 + y = 98 × 8 + 6 + y = 8 ⇒ 6 + y = 8 ⇒ y = 2 •

Para que sea divisible por 9 la suma de todas sus cifras debe ser divisible por 9 : x + 6 + 7 + 9 + y = 9 ⇒ •

•

•

⇒ x+4+ y = 9 ⇒ x+4+2 = 9 ⇒ x+6 = 9 ⇒ x = 3 El precio total de los pollos es de 367,92 pesetas, por lo que

367,92 = 72

5,11 pesetas costaba cada pollo

Nevó abundantemente y, debido a las bajas temperaturas, la nieve se heló. Un vecino quería atravesar la plaza en donde vive, desde el portal nº 26 al portal nº 2. Cada vez que daba un paso (50 cm) se deslizaba 25 cm en el sentido de la pendiente. Aproximadamente hay 24 m desde el portal nº 26 hasta el centro de la calzada y 10,5 m desde el centro de la calzada hasta el portal nº 2, como se indica en el dibujo.

¿Cuántos pasos debe dar para llegar de un portal a otro?

SOLUCIÓN Desde el comienzo de la caminata, y hasta el centro de la calzada, cada paso (con el correspondiente 2400 deslizamiento) supone 50 + 25 = 75 centímetros por lo que hará = 32 pasos. 75 Del centro de la calzada hasta su destino, cada paso supone 50 − 25 = 25 centímetros por lo que serían (en 1050 teoría) = 42 pasos, aunque en el penúltimo ya llegaría con los 50 centímetros y no retrocedería. En 25 este caso, por tanto, hace 41 pasos. En resumen, hará en total

73 pasos

En el parque infantil hay un arenero rectangular, con una valla de madera, que mide 4,07 por 2,30 metros. Con la nueva remodelación se quiere transformar en un arenero cuadrado que tenga el triple de superficie que el anterior. ¿Cuántos metros de valla son necesarios?

SOLUCIÓN La superficie del arenero actual es 4,07 × 2,30 = 9,361 m2 El triple de esta superficie es 3 × 9,361 = 28,083 m2 El lado de la nueva superficie cuadrada debe ser

28,083 = 5,3 m

Por tanto, la valla necesaria medirá el cuádruple del lado:

21,2 metros

Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, en cierto bar fijaron un precio muy económico. Y al cabo de 2 meses se duplicó el precio. Cuando el dueño vio que la venta de esos bocadillos disminuía, bajó el precio un 20%. El precio final del bocadillo quedó en 1,92 € ¿Cuál era el precio inicial?

SOLUCIÓN Consideramos x euros el precio inicial del bocadillo. Cuando lo duplicaron costaba 2 x euros. Al bajar el precio el porcentaje citado quedó 80% de 2 x =

80 192 × 2 x = 1,92 ⇒ x = = 1,20 100 160

El precio inicial era

1,20 €

Para celebrar el fin de temporada de un club deportivo se hizo una comida. Cada cuatro asistentes compartieron una plato de jamón, cada tres una ración de calamares y cada dos una pata de ternasco. Si en total se sirvieron 65 platos, ¿cuánta gente participó en la comida?

SOLUCIÓN Si llamamos n al número de asistentes, hubo

n n n platos de jamón, platos de calamares y platos de 4 3 2

ternasco. De ahí,

n n n 13n 12 × 65 + + = 65 ⇒ = 65 ⇒ n = = 60 por lo que 4 3 2 12 13

hubo 60 asistentes a la comida

Encuentra un número hexadecimal de tres dígitos que tenga los mismos dígitos que en base 10 en orden invertido y que represente el mismo número.

SOLUCIÓN Sea abc el número en base decimal. Según el enunciado, abc = 10 2 a + 10b + c = 16 2 c + 16b + a ⇒ 100a + 10b + c = 256c + 16b + a ⇒ ⇒ 99a = 255c + 6b ⇒ 2b = 33a − 85c , por lo que a y c tienen la misma paridad: son a la vez pares o a la vez impares. Además, como 2b = 33a − 85c ≥ 0 ⇒ 33a ≥ 85c , luego c < 4 porque 85 × 4 = 340 > 33 × 10 > 33a y también a>c Por último, 33a ≥ 85c ⇒

a 85 5 > > c 33 2

En resumen, se debe cumplir que c < 4 ;

a 5 > ; a y c tienen la misma paridad; 2b = 33a − 85c ≥ 0 c 2

Los casos posibles son, entonces, a) c = 1 , a = 3 ⇒ 2b = 99 − 85 = 14 ⇒ b = 7 b) c = 1 , a = 5 ⇒ 2b = 165 − 85 = 80 ⇒ b = 40 > 9 … ¡imposible!, y también para valores de a > 5 c) c = 2 , a = 6 ⇒ 2b = 198 − 170 = 28 ⇒ b = 14 > 9 … ¡imposible!, y también para valores de a > 6 d) c = 3 , a = 9 ⇒ 2b = 297 − 255 = 42 ⇒ b = 21 > 9 … ¡imposible! En conclusión,

371 = 173(16

La profesora escribe en la pizarra un número natural menor que 50000. Un estudiante afirma que el número es múltiplo de 2; un segundo estudiante dice que es múltiplo de 3; y así sucesivamente, hasta que el decimosegundo estudiante dice que es múltiplo de 13. La profesora observa que todos excepto dos de sus estudiantes están en lo cierto y que los dos estudiantes que se equivocan han hablado uno enseguida del otro. ¿Qué número está escrito la pizarra?

SOLUCIÓN El primer estudiante dice la verdad pues hay más de dos números, del 2 al 13 , que son múltiplos de 2 Por la misma razón, los que dicen que es múltiplo de 3 y de 4 también están en lo cierto, por lo que igualmente dice la verdad el que dice que es múltiplo de 12 Si es múltiplo de 12 también lo será de 6 . Además, debe ser múltiplo de 13 teniendo en cuenta que los que mienten están diciendo dos números consecutivos. Como es múltiplo de 4 y de 6 también lo será de 5 al estar entre dos correctos. Por tanto será múltiplo de 10 y también de 11 , éste último al estar también entre dos correctos. Por ahora hemos visto que el número es múltiplo de 2 , de 3 , de 4 , de 5 , de 6 , de 10 , de 11 , de 12 y de 13 Queda por averiguar si es de 7 , de 8 y de 9 Si los erróneos son 8 y 9 el número es múltiplo de 7 . El menor número con esa condición será

mcm(2,3,4,5,6,7,10,11,12,13) = 2 2 × 3 × 5 × 7 × 11× 13 = 60060 > 50000 que no cumple las condiciones del problema, por lo que no puede ser múltiplo de 7 ni de 8 y sí es múltiplo de 9 El menor es, entonces,

mcm(2,3,4,5,6,9,10,11,12,13) = 22 × 32 × 5 × 11× 13 = 25740 < 50000 y está claro que es el único que cumple las condiciones. El número buscado es

25740

Tomando los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 calcula la suma de las 100 fracciones que se obtienen al tomar dos números de la lista, incluso si denominador y numerador son iguales.

SOLUCIÓN Consideramos primero la suma de las fracciones de denominador 2 : 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2 22 23 24 25 26 27 28 29 210 + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 210 × 2 − 2 = × = 210 − 1 al formar los numeradores una progresión geométrica de razón 2 2 2 −1 Si tomamos la suma de las fracciones de denominador 4 :

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2 2 2 23 2 4 25 26 27 28 29 210 + + + + + + + + + = 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2 = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 1 2 ×2−2 1 = 2× = × 210 − 1 por la misma razón que antes. 2 2 −1 2

(

)

Sucesivamente, y de la misma manera, obtenemos las sumas hasta las fracciones de denominador 1024 :

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 + + + + + + + + + = 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 2 2 2 23 2 4 25 26 27 28 29 210 1 210 × 2 − 2 1 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 10 × = 9 × 210 − 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −1 2

(

)

La suma total, entonces, será la suma de las diez sumas construidas:

(2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 − 1 + × 210 − 1 + 2 × 210 − 1 + 3 × 210 − 1 + 4 × 210 − 1 + ... ... + 8 × 210 − 1 + + 9 × 210 − 1 = 2 2 2 2 2 2 1 1 × −1 9 1 1 1 1 1 1 1 210 − 1  1 1 10 10 2 2 = 2 − 1 × 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9  = 2 − 1 × = 210 − 1 × 9 1 2 2 2 2 2 2 2  2  2 2 −1 2 10

(

)

(

)

La suma es, por tanto,

2  210 − 1   = 1046529 512 29

(

)

En la figura, a, b, c, d, e y f son las áreas de las regiones correspondientes y todos esos valores son números naturales diferentes entre sí y menores que 10. Cada triángulo formado por tres regiones tiene área par y el área de la estrella completa es 31. Calcula el valor de f.

SOLUCIÓN Como a + f + d y b + f + d son pares, a y b tienen la misma paridad: son ambos pares o ambos impares. Razonando de la misma forma llegamos a que a , b , c , d y e tienen la misma paridad. Como a y d tienen la misma paridad a + d es par y como a + f + d es par, f debe ser también par. Si todos suman 31 , a , b , c , d y e deben ser todos impares: 1 , 3 , 5 , 7 y 9 (no necesariamente en el mismo orden). En resumen, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + f = 31 ⇒ f = 6

f mide 6 unidades cuadradas

En un triángulo rectángulo dibujamos la altura CH correspondiente a la hipotenusa. Halla los ángulos x e y sabiendo que el área del triángulo AHC es la cuarta parte del área del triángulo BCA.

SOLUCIÓN Evidentemente, x + y = 90º Los triángulos AHC y BCA son semejantes al ser ambos rectángulos y con los mismos ángulos por lo que, si sus áreas están en proporción 1 / 4 , sus lados estarán en proporción 1 / 4 = 1 / 2 Según lo anterior, los lados del triángulo AHC miden la mitad de los lados homólogos en el triángulo BCA , por lo que la relación entre las respectivas hipotenusas es c = AB = 2 AC = 2b De ahí, en el triángulo BCA , cos x =

b b 1 = = ⇒ x = 60º ⇒ y = 30 º c 2b 2

x = 60o; y = 30o

Calcula el resultado de la suma 1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + …

SOLUCIÓN Llamamos S =

1 2 3 4 + + + + ... 2! 3! 4! 5!

1 1 1 1 1 2 3 4 5  1 1 1 1 1  + + + + ... ⇒ S + T =  + + + + + ...  +  + + + + + ...  = 2! 3! 4! 5! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 !     2 3 4 5 6 1 1 1 1 = + + + + + ... = 1 + + + + + ... = 1 + T ⇒ S + T = 1 + T 2! 3! 4! 5! 6! 2! 3! 4! 5!

Tomando T =

por lo que

la suma vale 1

Como cada domingo, la familia de Lisa desayuna junta. Un domingo cada uno de los miembros de la familia de tomó una mezcla de café con leche, y todos la misma cantidad de mezcla. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero siempre había de ambos. Lisa se tomó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una sexta parte de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?

SOLUCIÓN Llamamos C, L y T a las cantidades totales de café, leche y tazas (mezcla) que consumió la familia. Lisa tomó

C L + =T 4 6

Llamando n al número de familiares de Lisa, éstos consumieron

3C 5 L + = nT 4 6

 5C 5 L 2C  5C 5 L   3C 5 L   4 + 6 = 5T ⇒  4 + 6  −  4 + 6  = 5T − nT ⇒ 4 = (5 − n )T ⇒ 5 − n > 0 ⇒ n < 5     Operando,  3 C 3 L 3 C 5 L 3 C 3 L 2L      + = 3T ⇒  + + = (n − 3)T ⇒ n − 3 > 0 ⇒ n > 3 −  = nT − 3T ⇒  4 6 6   4 6  6  4 Por tanto, el resto de la familia de Lisa es de n = 4 miembros y

hay 5 personas en la familia

Halla el valor de la expresión

SOLUCIÓN Sea a = 11 + 11 + 11 + ... y b = 11 − 11 − 11 − ... . Se trata de hallar a − b Está claro que a = 11 + a y b = 11 − b Entonces, (a + b ) × (a − b ) = a 2 − b 2 = ⇒ a −b =1

( 11 + a ) − ( 11 − b ) 2

2

O sea, el valor pedido es

1

= 11 + a − (11 − b ) = 11 − a − 11 + b = a + b ⇒

SOLUCIÓN Según los datos que nos indican las dos últimas viñetas, el triángulo rectángulo construido tiene los dos catetos iguales, pues es isósceles (ángulos de 45º ,45º ,90 º ) y, además, los catetos miden 200 metros, pues la altura de vuelo es de 1000 metros y la altura del cono es de 800 metros. Llamamos m a los metros que recorre Margarita en su caída y h a los metros que recorre el helicóptero desde que Ramón simula el fallo hasta que tira a su mujer.

45º = 22,5º . 2 Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la bisectriz citada, se verifica que: Al llevar el helicóptero una trayectoria bisectriz, ésta con la horizontal forma un ángulo de

1. tan 22,5º =

200 − m ⇒ 200 − m = 200 × tan 22,5º ⇒ m = 200 × (1 − tan 22,5º ) = 117,16 metros. 200

2. cos 22,5º =

200 200 ⇒h= ⇒ h = 216,48 metros. h cos 22,5º

3. Obsérvese penúltima viñeta, que da la pista. Concluyendo,

1. Margarita recorre 117,6 metros en su caída 2. El helicóptero recorre 216,48 metros desde la simulación del fallo hasta que Ramón tira a Margarita 3. Los zapatos que deja Margarita en la repisa del helicóptero es una prueba de la implicación de Ramón en su muerte

Un número de 9 cifras acaba en 4. Si multiplicamos el número por 2 y le borramos la primera cifra resulta el mismo valor que si lo multiplicamos por 3 y le borramos la última cifra. ¿Qué número es?

SOLUCIÓN Sea el número abcdefgh 4 Si lo multiplicamos por 2 su última cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra acabará ahora en la cifra de las unidades de 3h + 1 Por tanto 3h + 1 = 8 , 3h + 1 = 18 o 3h + 1 = 28 y la única posibilidad es que 3h + 1 = 28 ⇒ h = 9 . El número buscado es abcdefg 94 Si lo multiplicamos por 2 la penúltima cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la penúltima cifra coincidirá con la de las unidades de 3 g + 2 La única posibilidad es que 3 g + 2 = 8 ⇒ h = 2 . El número buscado es abcdef 294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas es 5 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las centenas coincidirá con la de las unidades de 3 f La única posibilidad es que 3 f = 15 ⇒ f = 5 . El número buscado es abcde5294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millar es 0 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 3e + 1 La única posibilidad es que 3e + 1 = 10 ⇒ e = 3 . El número buscado es abcd 35294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millar es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 3d + 1 La única posibilidad es que 3d + 1 = 7 ⇒ d = 2 . El número buscado es abc 235294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas de millar es 4 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las centenas de millar coincidirá con la de las unidades de 3c La única posibilidad es que 3c = 24 ⇒ c = 8 . El número buscado es ab8235294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millón es 6 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millón coincidirá con la de las unidades de 3b + 2 La única posibilidad es que 3b + 2 = 26 ⇒ b = 8 . El número buscado es a88235294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millón es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las decenas de millón coincidirá con la de las unidades de 3a + 2 La única posibilidad es que 3a + 2 = 17 ⇒ a = 5 . El número buscado es 588235294 En efecto, porque 588235294 × 2 = 1176470588 ⇒ 17670588 quitándole la primera cifra, y 588235294 × 3 = 1764705882 ⇒ 17670588 quitándole la última cifra. El número buscado es

588235294

La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer viernes del mes que viene da 37. Si todas las fechas suceden en el presente año, ¿en qué mes estamos?

SOLUCIÓN Si ambas suman fechas suman 37 y el primer viernes no va más allá del día 7, el último lunes es, al menos, 30. Tenemos dos casos: 31 y 6 o 30 y 7. Si el último lunes del mes anterior es 31, el mes en curso puede tener 28, 29, 30 o 31 días y acabará en lunes, miércoles o jueves, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 4, 3, 2 o 1 y no podrá ser 6. Si el último lunes del mes anterior es 30 puede suceder a) que tenga 30 días. El mes en curso tendrá 31 días por lo que acabará en jueves, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 1 y no podrá ser 7. b) que tenga 31 días y el mes en curso tenga 28, 29, 30 o 31 días por lo que acabará en martes, miércoles, jueves o viernes, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 3, 2, 1 o 7. Por lo tanto el mes anterior y en el que nos encontramos deben tener, ambos, 31 días. Esto sólo puede suceder si el mes anterior es julio y estamos en

agosto

¿Qué porcentaje del área total representa la región roja?

SOLUCIÓN Tomando L como la longitud del lado de los cuadraditos, el área total del rectángulo es 4 L × 6 L = 24 L2 La superficie ‘no roja’ está formada por regiones que conforman un círculo de radio 2 L (las suma de las esquinas) y otro círculo de radio L (las dos regiones restantes). Por tanto, la superficie de la parte roja 2 será 24 L2 − π (2 L ) + πL2 = 24 L2 − 5πL2 = (24 − 5π )L2

(

El porcentaje es

)

(24 − 5π )L2 × 100 % = 24 − 5π × 100 % , y su valor concreto es 24 L2

24

34,55 %

Si hacemos la “simplificación”

obtenemos un resultado cierto, pues

Halla todas las fracciones que poseen esa propiedad si el numerador y denominador son números de dos dígitos y todos los dígitos que intervienen en la fracción son distintos.

SOLUCIÓN Para que se cumpla la propuesta anterior, debe verificarse que Es decir,

ab a = , siendo a, b, c cifras. bc c

10a + b a 9ac = ⇒ 10 ab + ac = 10 ac + bc ⇒ 10 ab − bc = 9ac ⇒ b = 10b + c c 10 a − c

Entonces se dan dos casos a) b = 9 ⇒

9ac 10 a = 9 ⇒ ac = 10 a − c ⇒ c = 10 : imposible

•

Si a = 2 ⇒ c = 5 ⇒ b = 6 : la fracción es

•

Si a = 2 ⇒ c = 8 ⇒ b = 8 : imposible

•

Si a = 3 ⇒ c = 6 ⇒ b =

162 27 : imposible = 24 4

•

Si a = 3 ⇒ c = 9 ⇒ b =

243 81 = : imposible 21 7

•

Si a = 4 ⇒ c = 7 ⇒ b =

252 84 = : imposible 33 11

•

Si a = 5 ⇒ c = 8 ⇒ b =

360 60 : imposible = 42 7

•

Si a = 6 ⇒ c = 9 ⇒ b =

486 162 : imposible = 51 17

26  2  =  65  5 

Las fracciones son

19/95, 49/98, 16/64, 26/65

Un agricultor deja en herencia a sus dos hijos una parcela rectangular dividida en un muro en dos partes, como muestra la figura. Recibida la herencia a los hijos no les gusta el muro y lo eliminan, dividiendo la finca con una valla recta desde el punto P hasta un punto Q del lado opuesto del rectángulo. ¿A qué distancia está el punto Q del punto X para que las dos partes tengan la misma superficie?

SOLUCIÓN Llamamos x a la longitud pedida, y a la dimensión desconocida de la parcela original y z a la menor altura de los trapecios de la nueva distribución, ambos necesariamente iguales al tener la misma longitud en la base. En la herencia original, las dos superficies son iguales, por lo que 160 z + 98 × 40 = 160( y − z ) − 98 × 40 ⇒ 160 y − 320 z = 7840 ⇒ ⇒ y − 2 z = 49 En el nuevo reparto, los lados laterales serán iguales dos a dos, por lo que y − z − (98 − x ) = z ⇒ y − 2 z + x = 98 De ambas igualdades generadas se obtiene que x = 49 :

la distancia de Q a X es de 49 metros

En una habitación de planta rectangular hay dos alfombras triangulares, una rosa y otra verde, colocadas como se muestra en la figura. Se sabe que el área de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo) mide 4,2 m2. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero determinado por la superposición de las dos alfombras (sombreado en negro)?

SOLUCIÓN Las dos alfombras tienen, cada una, como base y altura a los lados de la habitación, por lo que tendrán una superficie igual a la mitad de la habitación y la suma será la superficie de la habitación. Por tanto el área de la superficie negra común a ambas alfombras debe coincidir con el área de la superficie que no cubren (sombreada en amarillo) pues la que cubren tiene de área la suma de las áreas de las dos menos la de la superficie negra, al estar ésta contada dos veces en la citada suma. En resumen, la superficie negra tiene un área de

4,2 m2

Si x 2 +

1 1 = 14 halla el valor de la suma x 6 + 6 sin calcular x , número positivo. 2 x x

SOLUCIÓN 2

1 1 1 1 1 Calculamos  x +  = x 2 + 2 × x × + 2 = x 2 + 2 + 2 = 14 + 2 = 16 ⇒ x + = 4 por ser x positivo. x x x x x  1 1 1 1 1 1 1 Entonces,  x 2 + 2  ×  x +  = x 3 + x + + 3 = x 3 + 3 + x + ⇒ 14 × 4 = x 3 + 3 + 4 ⇒ x   x x x x x x  1 ⇒ x 3 + 3 = 14 × 4 − 4 = 52 x 2

1 1 1 1 1 De ahí,  x 3 + 3  = x 6 + 2 × x 3 × 3 + 6 = x 6 + 6 + 2 = 52 2 ⇒ x 6 + 6 = 52 2 − 2 x  x x x x  Por lo tanto,

x6 +

1 = 2702 x6

En un círculo se dibujan cuatro interiores de 1 cm de radio todos tangentes a él y, a la vez, tangentes entre sí dos a dos. ¿Qué porcentaje de superficie está coloreada de naranja respecto a la total del círculo original?

SOLUCIÓN Dibujamos el cuadrado ABCD formado por los segmentos que unen los centros de los cuatro círculos interiores y trazamos sus diagonales, que se cortan en el centro O del círculo grande. Llamamos T al área del círculo grande, cuyo radio es la mitad de la diagonal del cuadrado más el radio de uno de los círculos interiores. Es decir, su radio es (teniendo en cuenta que el lado del cuadrado mide 2 cm)

1 2× 2 × 2 2 + 22 + 1 = + 1 = 2 + 1 cm usando el teorema de 2 2 Pitágoras en el triángulo rectángulo isósceles ABC . radio =

De lo anterior, T = π ×

(

) (

)

2

2 + 1 = 3 + 2 × 2 × π cm2

Vamos a deducir dicha área de otra forma, teniendo en cuenta que es la suma de las áreas de la superficie verde ( Ve ), de las de los círculos interiores ( Am , cada una) y de las de las cuatro superficies iguales a la roja ( Ro , cada una): T = Ve + 4 × Am + 4 × Ro El área de cada círculo interior es Am = π × 12 = π cm2 El área de la superficie verde es la diferencia entre el área del cuadrado y el área de uno de los círculos interiores (obsérvese la figura que engloba el cuadrado: cuatro cuartos de un círculo interior más la parte verde). Ve = 2 2 − π = 4 − π cm2

(

)

En conclusión, T = 4 − π + 4 × π + 4 × Ro = 3 + 2 × 2 × π ⇒ Ro =

(

)

2 ×π 2 − 1 cm 2

(

)

2 ×π 2 + 2 ×π 2 2 −1 = − 1 cm y T = 3 + 2 × 2 × π cm , el 2 2 2 + 2 ×π −1 Am + Ro 2 porcentaje pedido es × 100% = × 100% = T 3 + 2× 2 ×π

Como la superficie naranja es Am + Ro = π +

( (

)

) 23,828%

Al dividir por siete un número de cuatro cifras resulta el que se obtiene al tachar, del original, la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número?

SOLUCIÓN Sea el número abcd y hay que tener en cuenta que a, b, c, d son cifras y a ≠ 0 Al dividirlo por 7 se obtiene acd por lo que abcd = 7 × acd ⇒ ⇒ 1000 a + 100b + 10c + d = 700a + 70c + 7d ⇒ 300a + 100b − 60c = 6d ⇒ 50b ⇒ 3d = 150a + 50b − 30c ⇒ d = 50a + − 10c 3 Para que d sea una cifra debe ser b = 3n , siendo n ≥ 0 entero. Entonces, d = 50a + 50n − 10c ⇒ d = 10 × (5a + 5n − c ) por lo que d = 0 ⇒ 5a + 5n − c = 0 ⇒ c = 5a + 5n = 5 × (a + n ) Como a ≠ 0 , sólo puede darse el caso que a = 1, n = 0 (b = 0 ), c = 5 Es decir, el único número que cumple la condición es

1050

Una persona compró doce botellas de vino, blanco y tinto, por 99 euros. Si el vino tinto cuesta 3 euros más que el blanco y compró más vino blanco que tinto, ¿cuántas botellas de cada una compró si ambos precios son valores enteros?

SOLUCIÓN Llamamos x al número de botellas de tinto e y al número de botellas de blanco que compró. Según el enunciado, x + y = 12 ⇒ y = 12 − x siendo x < 6 < y Llamando p al precio del vino blanco, tenemos que x × ( p + 3) + (12 − x ) × p = 99 ⇒ 3 x + 12 p = 99 ⇒ ⇒ 3x = 99 − 12 p ⇒ x = 33 − 4 p Como x < 6 , el valor de la botella de vino blanco puede ser •

p = 8 euros ⇒ x = 1 ⇒ y = 11

•

p = 7 euros ⇒ x = 5 ⇒ y = 7

por lo que

compró 1 botella de vino tinto y 11 de vino blanco o compró 5 botellas de vino tinto y 7 de vino blanco

En un cuadrado de 1 cm de lado construimos un hexágono regular como indica la figura. ¿Cuánto vale el área de la zona coloreada?

SOLUCIÓN Obsérvese que el triángulo ABC es rectángulo y con el ángulo C = 60 º , pues es suplementario a uno interior del hexágono. Por ello, uniendo el triángulo ABC con el triángulo A' B' C ' obtenemos un triángulo equilátero de lado 2 x . Igual efecto surge haciendo lo mismo con los triángulos superiores. El área pedida será la diferencia entre el área del cuadrado y el doble del área del triángulo equilátero de lado 2 x Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa OC a2 1 3a 2 1 1 1 3 cm, lado del hexágono regular. obtenemos que a 2 = + ⇒ = ⇒a 2 = ⇒ a = = 4 4 4 4 3 3 3 Entonces a + 2 x = 1 ⇒ 2 x = 1 − a = 1 −

3 cm, lado del triángulo equilátero construido anteriormente. 3

La altura de ese triángulo es, por el teorema de Pitágoras, AB =

2

2

el área es

2

BC − AC =

(2 x )2 − x 2

2 x × x × 3 4 x2 × 3 3  3 3  4 2× 3  3 1 2  = = ×  − = = × 1 − − cm   2 4 4  3  4 3 3  3 2

 3 1 2× 3  El área de la superficie coloreada es 1 − 2 ×  cm2  3 − 2 = 2− 3   es decir,

0,8453 cm2

= x × 3 cm y

Representamos por P(n) y S(n) el producto y la suma, respectivamente, de las cifras del número natural n. Por ejemplo: P(23) = 6 y S(23) = 5. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número natural, de entre los de dos cifras, que verifique que P(n) + S(n) = n?

SOLUCIÓN Sea el número n = ab : P (n) + S (n) = n ⇒ ab + (a + b ) = 10a + b ⇒ ab + a = 10a ⇒ a × (b + 1) = 10a ⇒ ⇒ b + 1 = 10 ⇒ b = 9, ∀a cifra. Por tanto, todos los números de dos cifras que poseen la cifra de las unidades igual a 9 verifican la condición. Hay 90 números de dos cifras (: de 10 a 99 ) y, de ellos, 9 acaban en 9 (: 19 , 29 , …, 99 ) Entonces, la probabilidad es

9 1 = . Es decir, 90 10

0,1 No hay más números naturales de las características citadas salvo los indicados aquí.

Un rectángulo de 22 cm de perímetro, se divide en 5 rectángulos iguales. ¿Cuál es el perímetro de cada uno de estos 5 rectángulos?

SOLUCIÓN Llamamos a y b a los lados de cada uno de los 5 rectángulos interiores. Se observa que 3a = 2b El perímetro del rectángulo grande es

2 × (3a + a + b ) = 22 ⇒ 8a + 2b = 22 ⇒ 8a + 3a = 22 ⇒ 11a = 22 ⇒ a = 2 cm Entonces, el perímetro de cada uno de los 5 rectángulos es 2a + 2b = 2a + 3a = 5a = 5 × 2 =

10 cm

En un triángulo rectángulo ABC se toma un punto D sobre la hipotenusa AC y resulta que el triángulo BCD tiene todos sus lados iguales a 1 cm ¿Cuánto mide AB?

SOLUCIÓN El triángulo BCD es equilátero, por lo que todos sus ángulos valen 60º Entonces, en el triángulo ABD se verifica: el ángulo B = 30 º por ser complementario a uno de 60º y el ángulo D = 120 º por ser suplementario a otro de 60º . Por lo tanto, el tercer ángulo vale A = 180 º −30 º −120 º = 30 º = B , por lo que el triángulo ABD es isósceles y AD = BD = 1 cm De ahí AC = AD + DC = 1 + 1 = 2 y como BC = 1 cm, aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC y obtenemos: 2

2

AB = AC − BC = 2 2 − 12 = 3 cm En resumen,

AB = √3 cm

Si 3a = 4, 4b = 5, 5c = 6, 6d = 7, 7e = 8 y 8f = 9, halla el valor del producto

SOLUCIÓN

( )

32 = 9 = 8 f = 7

e f

(( ) )

= 6

f d e

(( ) )

= 6 def =  5 

e c d

(( ) )

 =   4 b      f

c d

(( ) )

f    =    3a        

=2

e

b c

      d

e

f

  = 3abcdef , por lo que  

Cada una de las afirmaciones siguientes puede ser cierta o falsa. 1. Las afirmaciones 3 y 4 son ambas ciertas. 2. Las afirmaciones 4 y 5 no son ambas falsas. 3. La afirmación 1 es cierta. 4. La afirmación 3 es falsa. 5. Las afirmaciones 1 y 3 son ambas falsas. ¿Qué afirmaciones de estas cinco son ciertas?

SOLUCIÓN Supongamos que la afirmación 3 es cierta. Entonces la afirmación 1 también lo es y la 4 igualmente, luego la afirmación 3 es falsa: ¡contradicción! En conclusión, 3 es FALSA. Por tanto, 1 es FALSA y 4 es CIERTA. De lo anterior, la afirmación 5 es CIERTA y la 2 es CIERTA.

Son ciertas las afirmaciones 2, 4 y 5

De regreso a casa, Tomás conducía su coche a velocidad constante. A las 6 de la tarde estaba a abc km de su casa, donde a, b, c son dígitos tales que a ≥ 1 y b = 0. A las 6 y 18 minutos estaba a ca km de casa y a las 7 horas a ac km de casa. ¿A qué hora llegó a casa?

SOLUCIÓN A las 6 estaba a abc = 100 a + c km de su casa.

18 minutos más tarde estaba a ca = 10c + a km, por lo que en 18 minutos recorre 100a + c − (10c + a ) = = 99a − 9c km A las 7 de la tarde estaba a ac = 10a + c km, por lo que en 60 minutos recorre 100a + c − (10a + c ) = = 90a km Como lleva velocidad constante,

99a − 9c 18 11a − c 3 = ⇒ = ⇒ 11a − c = 3a ⇒ c = 8a 90a 60 10a 10

Como ambos son dígitos, deberá ser a = 1 y c = 8 O sea, a las 6 estaba a 108 km y a las 7 a 18 km de casa por lo que lleva una velocidad de 90 km/h Hace 90 km cada hora y le faltan 18 km para llegar, por lo que le falta

18 1 = de hora para llegar: 90 5

1 × 60 = 12 minutos. 5

Llegó a casa a las 7 horas 12 minutos

Si f es una función que verifica f(xy) = f(x)/y para cualesquiera números positivos x e y y f(500) = 3, ¿cuál es el valor de f(600)?

SOLUCIÓN

f (500 ) = f (100 × 5) =

f (100 ) = 3 ⇒ f (100 ) = 15 5

Entonces, f (600 ) = f (100 × 6 ) =

f (100 ) 15 5 = = 6 6 2

f (600) = 5/2

En un cuadrado de 36 cm2 de área se marca el punto punto medio M de uno de los lados. ¿Cuánto vale el área de la zona roja?

SOLUCIÓN Es evidente que los lados del cuadrado miden 6 cm y que el lado vertical del triángulo rojo mide 3 cm según el enunciado. Se trata de calcular la superficie del triángulo A Se puede observar que, por el teorema de Thales, los triángulos A y C son semejantes al tener sus tres ángulos iguales. Además, su razón de semejanza entre sus lados es 2 y, por tanto, la razón entre sus áreas es 4 Esto es, C = 4 A Además, observemos que el triángulo A + B tiene de superficie A + B = 9 cm2 y el triángulo B + C tiene de superficie B + C = 18 cm2 Restando los dos valores obtenidos tendremos que C − A = 9 cm2 y como C = 4 A ⇒ 4 A − A = 3 A = 9 cm2

La superficie roja tiene un área de 3 cm2

Una persona dispuso en su testamento que, al morir, se repartiesen cada año 66000 euros entre los jóvenes de su pueblo, pero sólo se podía continuar otro año con la donación mientras se diera, cada vez, a una cantidad diferente de mujeres y hombres (al menos uno en cada caso) a la que se había dado en cada uno de los años anteriores. Obligatoriamente debían entregarse 1800 euros a cada hombre y 3000 euros a cada mujer. ¿Cuántos años duraron las donaciones?

SOLUCIÓN Llamamos x al número de mujeres e y al número de hombres de cada donación. Se sigue, de lo anterior y del enunciado, que 3000 x + 1800 y = 66000 ⇒ 5 x + 3 y = 110 Despejando, 5 x + 3 y = 110 ⇒ x =

110 − 3 y 3y 3y , siendo un valor entero positivo. ⇒ x = 22 − 5 5 5

Las únicas posibilidades son, entonces, 1.

y = 5 ⇒ x = 19 : 19 mujeres y 5 hombres

2.

y = 10 ⇒ x = 16 : 16 mujeres y 10 hombres

3.

y = 15 ⇒ x = 13 : 13 mujeres y 15 hombres

4.

y = 20 ⇒ x = 10 : 10 mujeres y 20 hombres

5.

y = 25 ⇒ x = 7 : 7 mujeres y 25 hombres

6.

y = 30 ⇒ x = 4 : 4 mujeres y 30 hombres

7.

y = 35 ⇒ x = 1 : 1 mujer y 35 hombres

En conclusión,

el reparto duró 7 años

Halla el valor de

SOLUCIÓN

32013 × 52015 32014 × 52014 × 5 (3 × 5) × 5 15 2014 × 5 5 = = = = 152014 3 × 15 2014 3 × 15 2014 3 × 152014 3 2014

el valor de la expresión es 5/3

La media aritmética de los nueve números del conjunto {9, 99, 999, 9999, ...., 999999999} es un número M de nueve cifras, todas distintas. ¿Cuál es la cifra que no está en M?

SOLUCIÓN Como todos los números del conjunto son múltiplos de 9 , su media aritmética M debe ser múltiplo de 9 La suma de las 10 cifras significativas es 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 , múltiplo de 9 y como la suma de nueve de esas cifras es también un número M múltiplo de 9 la cifra que falta debe ser 0 o 9 Ahora bien, la suma de los nueve números del conjunto acaba en 1 (pues todos acaban en 9 ) y su cociente entre 9 deberá tener esta última cifra, precisamente, al final, por lo que

la cifra que no está en M es 0

¿Para qué enteros positivos n resulta que n2 – 3n + 2 es un número primo?

SOLUCIÓN Como n 2 − 3n + 2 = (n − 1) × (n − 2 ) , pues basta hacer la elemental descomposición factorial de este trinomio por el método de Ruffini, dicho número será siempre compuesto salvo que uno de los factores de la descomposición (positivo, por supuesto) sea 1 . Esto sólo ocurre si n − 1 = 1 ⇒ n = 2 y n 2 − 3n + 2 = 0 , que no es primo, ó n − 2 = 1 ⇒ n = 3 y n 2 − 3n + 2 = 2 , evidentemente primo.

Sólo para n = 3, n2 - 3n + 2 ( = 2) es un número primo

Una persona compra, en una carnicería, piezas de cordero lechal: cierta cantidad exacta de kilos de chuletas a 24 euros el kilo y otra cantidad exacta de kilos de paletilla a 18 euros el kilo. Si hubiera dividido equitativamente el mismo dinero entre las chuletas y la paletilla habría ganado dos kilos en el peso total. ¿Cuánta es la mínima cantidad de dinero que pudo gastar?

SOLUCIÓN Llamamos x e y a los kilos respectivos que compró de chuletas y de paletilla.

24 x + 18 y = 12 x + 9 y ) 2 12 x + 9 y 2 x y 12 x + 9 y x 3 y en cada producto habría comprado kilos de chuletas y = + = + kilos de 24 2 8 18 3 2 paletilla. Le costó todo 24 x + 18 y euros, por lo que si hubiera gastado la mitad de ese dinero (

Es decir,

x 3y 2x y 7x 7 y kilos en total, siendo x + y los kilos que compró realmente. + + + = + 2 8 3 2 6 8

Entonces, según el enunciado,

7x 7 y 28 x + 21 y + = x+ y+2⇒ = x + y + 2 ⇒ 4 x − 3 y = 48 6 8 24

4 x − 48 x = x − 16 + , siendo x e 3 3 y valores enteros positivos. Los mínimos valores que cumplen esas condiciones son x = 15 ⇒ y = 4

Ecuación diofántica que resolvemos: 4 x − 3 y = 48 ⇒ 3 y = 4 x − 48 ⇒ y =

Compró 15 kilos de chuletas y 4 kilos de paletilla. Si hubiera repartido el dinero que gastó en partes iguales, habría comprado 2 kilos más: 9 kilos de chuletas y 12 kilos de paletilla. En conclusión, gastó 24 ×15 + 18 × 4 =

432 euros

Se quiere construir una carretera de 4 metros de ancha que atraviese, atraviesa como indica la figura, una plantación de girasoles de forma rectangular. ¿Cuántos m2 de plantación se perderán como consecuencia de la existencia de la carretera?

SOLUCIÓN La superficie del tramo de carretera que atraviesa la plantación (el paralelogramo ABDE es 5h m2 Debemos hallar, por tanto la longitud h , medida de un lado del campo de girasoles. Si observamos, es bastante evidente que los triángulos EFA y ECD son, ambos, rectángulos y semejantes entre si, por lo que podemos establecer la proporción AF EC entre sus catetos correspondientes: = FE CD Por otro lado, y aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ECD , obtenemos: 2

2

2

CD = DE − EC = 5 2 − 4 2 = 25 − 16 = 9 ⇒ CD = 3 metros. Entonces,

AF EC h 4 = ⇒ = ⇒ h = 20 metros. 15 3 FE CD

En resumen, la superficie perdida será 5h = 5 × 20 =

100 m2

Preparando el milagro de los panes y los peces, Jesús llevó a cuatro de sus discípulos (Juan, Santiago, Pedro y Judas) al río y les pidió que pescasen un pez y se lo entregasen. Una vez cumplida la solicitud Jesús hizo una invocación y, de repente y con el original, apareció un montón de 108 peces en total. Satisfecho por el éxito, decidió repartir todos los peces, sin trocearlos, a cada uno de sus acompañantes dando a Juan a+b peces, a Santiago axb peces, a Pedro a-b peces y a Judas a/b peces. Si dio más de un pez a cada discípulo, ¿cuál es la mayor cantidad de peces que pudo recibir Pedro?

SOLUCIÓN Según el enunciado, a + b + a − b + a × b + Teniendo en cuenta que 108 = 2 2 × 33 ,

(

)

2ab + ab 2 + a a a × b 2 + 2b + 1 = 108 ⇒ = 108 ⇒ = 108 b b b

(

)

a × b 2 + 2b + 1 a × (b + 1) a × (b + 1) = = 108 ⇒ = 2 2 × 33 b b b 2

2

Si debe ser b > 1 , solo caben estas posibilidades: 1. b = 2 ⇒

32 × a = 2 2 × 33 ⇒ a = 23 × 3 = 24 , valor factible al ser entero positivo como b : a − b = 22 2

2. b = 5 ⇒

62 × a = 2 2 × 33 ⇒ a = 5 × 3 = 15 , valor factible al ser entero positivo como b : a − b = 10 5

Otros valores superiores para b no dan soluciones enteras para a Entonces, el valor de a − b es 24 − 2 = 22 (lo cual ya debe ser evidente en el primer intento, pues si b es mínimo, a y a − b son máximos) , por lo que

Pedro recibió, como máximo, 22 peces

En la imagen aparece una matrícula doblemente capicúa: de números y de secuencia literal. Además, el capicúa numérico es múltiplo de 11.

Evidentemente, cualquier número de cuatro cifras del tipo ABBA es capicúa y múltiplo de 11 pero, ¿cuántos números capicúas de tres cifras son múltiplos de 11?

SOLUCIÓN Llamamos aba a un número capicúa de tres cifras, a > 0 Si debe ser múltiplo de 11 , a + a − b = 11n ⇒ 2a − b = 11n , siendo n = 0, 1, 2, 3, ... Desglosamos los casos admisibles, sabiendo que a y b son cifras:

a)

 a = 1 ⇒ b = 2 ⇒ 121 a = 2 ⇒ b = 4 ⇒ 242  n = 0 ⇒ 2a − b = 0 ⇒ b = 2a ⇒   a = 3 ⇒ b = 6 ⇒ 363  a = 4 ⇒ b = 8 ⇒ 484

a = 6 ⇒ b = 1 ⇒ 616 a = 7 ⇒ b = 3 ⇒ 737 b) n = 1 ⇒ 2a − b = 11 ⇒ b = 2a − 11 ⇒    a = 8 ⇒ b = 5 ⇒ 858 a = 9 ⇒ b = 7 ⇒ 979 Por tanto,

hay 8 capicúas de tres cifras y múltiplos de 11

En una de las habituales conversaciones con su amiga, una dama apuntó: la edad de mi esposo se representa invirtiendo los números de mi propia edad. Él es mayor que yo y la diferencia de nuestras edades equivale a la undécima parte de la suma de ambas. La amiga, después de reflexionar breves instantes, dedujo las edades de ambos miembros del matrimonio…. y siguieron conversando de sus cuitas… ¿Qué edades tenían marido y mujer?

SOLUCIÓN Llamamos xy a la edad de la mujer, por lo que yx será la edad del esposo.

(

)

Y, según las condiciones, yx + xy = 11× yx − xy ⇒ 10 y + x + 10 x + y = 11 × (10 y + x − 10 x − y ) ⇒ ⇒ 11 y + 11x = 11 × (9 y − 9 x ) ⇒ y + x = 9 y − 9 x ⇒ 5 x = 4 y Como x e y son cifras, los únicos valores válidos son x = 4 e y = 5 Es decir,

el marido tenía 54 años y la dama tenía 45 años

Halla el número de parejas de enteros (a, b) que verifican la ecuación

SOLUCIÓN

1 b 1 10 = + ⇒ 5a = 10 × (ab + 5) ⇒ a = 2ab + 10 ⇒ a − 2ab = 10 ⇒ a = 10 5 a 1 − 2b Al ser a y b enteros debe cumplirse que 0 < 1 − 2b ≤ 10 Posibilidades 1. b = 0 ⇒ a = 10 … (10 , 0) 2. b = 1 ⇒ a = −10 … (− 10 , 1) 3. b = 3 ⇒ a = −2 … (3 , − 2) 4. b = −2 ⇒ a = 2 … (− 2 , 2) ¡y no hay más!

Hay 4 parejas de enteros, soluciones de la ecuación

¿Cuántos números de tres cifras abc, con la última no nula, verifican que abc – cba = de4 ?

SOLUCIÓN

abc − cba = de 4 ⇒ 100 a + 10b + c − 100c − 10b − c = de 4 ⇒ 99 × (a − c ) = de 4 La única posibilidad de un producto 99 × (a − c ) acabe en 4 es que a − c = 6 Como c ≠ 0 , las posibilidades son: 1. a = 7, c = 1 y los números son 7b1 con b = 0, 1, ..., 9 ⇒ 10 números 2. a = 8, c = 2 y los números son 8b 2 con b = 0, 1, ..., 9 ⇒ 10 números 3. a = 9, c = 3 y los números son 9b3 con b = 0, 1, ..., 9 ⇒ 10 números

Hay 30 números de tres cifras cumpliendo las condiciones

Decimos que un número es de libro si es igual a la suma de un número de dos cifras diferentes y del número que se obtiene invirtiendo estas dos cifras. Por ejemplo: 143 es un número de libro porque 143 = 58 + 85 ¿Cuántos números de libro son múltiplos de 7?

SOLUCIÓN Un número de libro cumple es igual a N = ab + ba , siendo a y b cifras: con valores entre 0 y 9 Pero N = ab + ba = 10 a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11 × (a + b ) por lo que, para que sea múltiplo de 7 , debe cumplirse que a + b = 7 o a + b = 14 y, así, N = 11 × 7 = 77 o N = 11× 14 = 154

Hay 2 números de libro múltiplos de 7

Un hombre despistado preguntó a su mujer, aficionada a los acertijos lógicos, “¿qué día de la semana es hoy?” La mujer le respondió: “Cuando pasado mañana sea ayer, hoy estará tan lejos del domingo como hoy lo estaba del domingo cuando anteayer era mañana”. ¿En qué día de la semana estaba el caballero?

SOLUCIÓN Llamamos x al día de la semana en el que estamos y traducimos la frase de la mujer: Cuando pasado mañana (x+2) sea ayer: hoy es x+3… estaremos tan lejos del domingo como hoy lo estaba del domingo cuando anteayer (x-2) era mañana: hoy es x-3 Evidentemente, las equidistancias para x-3 y x+3 se refieren precisamente a x por lo que

el día de la semana era domingo

En la figura adjunta, donde EA es perpendicular a AC, sabemos la medida de los siguientes segmentos: AB = 8, AC = 18, AE = 16 y AF = 6 ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado?

SOLUCIÓN Trazamos una paralela, por D, a AC que corta a AE en H Llamamos x = HD e y = HF Como los triángulos rectángulos ABE y HDE son semejantes, se cumple que HE AE AE − AF + y AE 10 + y 16 = ⇒ = ⇒ = = 2 ⇒ 10 + y = 2 x HD AB x AB x 8 Como los triángulos rectángulos ACF y HDF son semejantes, se cumple que HD AC x 18 = ⇒ = = 3 ⇒ x = 3y HF AF y 6 De ambas igualdades obtenemos que 10 + y = 6 y ⇒ y = 2 y x = 3 y = 6 El área solicitada es la suma de las áreas del triángulo rectángulo HDF y del trapecio rectángulo ABDH Por tanto, el valor de la superficie será

6× 2 8 + 6 xy AB + x + × AH = + × (6 − 2 ) = 6 + 7 × 4 = 34 2 2 2 2

El área vale 34 unidades cuadradas

Si a ≥ b > 1 , ¿cuál es el mayor valor posible de log a

a b + log b ? b a

SOLUCIÓN Llamamos x = log b a > 0 porque a ≥ b > 1

a b 1 1 2x −1 − x2 (x − 1) log a + log b = log a a − log a b + log b b − log b a = 1 − + 1 − log b a = 2 − − x = =− b a log b a x x x

2

Como x > 0 ⇒ −

(x − 1)2

≤ 0 , por lo que el mayor valor se producirá para −

x ⇒ x = 1 ⇒ log b a = 1 ⇒ a = b

(x − 1)2 x

= 0 ⇒ x −1 = 0 ⇒

En conclusión,

el mayor valor que puede tomar la expresión es 0

En un aula hay un cierto número de alumnos. Curiosamente la media de edad de esos alumnos coincide con el número de alumnos que hay. Entra entonces en la habitación un alumno de 17 años y vuelve a coincidir la edad media de los que hay con el número de alumnos. ¿Cuántos alumnos había en el aula al principio?

SOLUCIÓN Llamamos n al número original de alumnos. Según la hipótesis inicial, el número de alumnos coincide con la media aritmética de sus edades: n

x=

∑ xi

i =1

n

n

= n por lo la suma de esas edades será ∑ xi = n 2 i =1

n

Al entrar un nuevo alumno de 17 años se verifica que, según la segunda condición, Por tanto,

∑ xi + 17

i =1

n +1

= n +1

n 2 + 17 2 2 = n + 1 ⇒ n 2 + 17 = (n + 1) ⇒ (n + 1) − n 2 = 17 ⇒ 2n + 1 = 17 ⇒ 2n = 16 ⇒ n = 8 y n +1

el número original de alumnos en el aula es 8

Halla el mayor número posible de nueve cifras, distintas entre sí, que sea múltiplo de 11.

SOLUCIÓN Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y suma de las cifras que ocupan lugar par es 0 o múltiplo de 11 En el número faltará una cifra de las diez que existen. Tomando como número 98765 abcd debemos considerar que debe cumplirse que (9 + 7 + 5 + b + d ) − (8 + 6 + a + c ) = 7 + b + d − a − c sea 0 o múltiplo de 11 , siendo los dígitos desconocidos algunos de los cinco menores. Si hacemos b = 4 , d = 3 , a = 2 y c = 1 , obtenemos que (9 + 7 + 5 + 4 + 3) − (8 + 6 + 2 + 1) = 28 − 17 = 11 Por ello,

el mayor número múltiplo de 11 con nueve cifras y distintas es 987652413

¿Cuál es el perímetro de la estrella si el del pentágono central es de 60 centímetros y el de cada uno de los triángulos es de 40 centímetros?

SOLUCIÓN La suma de todos los perímetros de los triángulos es 5 × 40 = 200 centímetros. En esa suma se incluyen los lados de la estrella y los lados del pentágono. Por eso, restando a ese valor el perímetro del pentágono tendremos la solución: 200 − 60 = 140 centímetros

el perímetro de la estrella mide 140 centímetros

El resto de la división de un número de dos cifras ab entre 7 es 2 ¿Cuál es el resto de dividir abab entre 7?

SOLUCIÓN

ab = 7c + 2 según el enunciado. Entonces, abab = 101 × ab = 101 × (7c + 2 ) = 7 × 101c + 202 = 7 × 101c + 7 × 28 + 6 = 7 × (101c + 28 ) + 6 Por lo tanto,

el resto de la división de abab entre 7 es 6

Preguntado un número si era múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 6 y de 8, respondió cinco veces que sí y una que no. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es, con seguridad, falsa? a) Es múltiplo de 24 b) Es múltiplo de 30 c) Es múltiplo de 40 d) Es múltiplo de 50 e) Es múltiplo de 60

SOLUCIÓN Debe ser múltiplo de 2 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 4 ni de 8 , y sólo una respuesta es negativa. Debe ser múltiplo de 3 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 6 , y sólo una respuesta es negativa. Debe ser múltiplo de 4 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 8 , y sólo una respuesta es negativa. Es múltiplo de 6 , porque lo es de 2 y de 3 Por tanto, o no es múltiplo de 5 o no lo es de 8 , por lo que nunca lo será de 40 = 5 × 8

La afirmación c) es falsa con seguridad

Siete amigos van un fin de semana a un sitio de playa y se gastan 120 euros cada uno excepto Roberto, que es el más derrochador y gasta 36 euros más que el promedio de gasto de todo el grupo. ¿Cuánto gasta Roberto?

SOLUCIÓN Sea p el promedio de gasto del grupo. Roberto gasta p + 36 euros, por lo que

6 × 120 + p + 36 =p 7

De ahí, 720 + p + 36 = 7 p ⇒ 6 p = 756 ⇒ p = 126 ⇒ p + 36 = 126 + 36 = 162 euros En conclusión,

Roberto gasta 162 euros

Dos cuadrados iguales, de 4 cm de lado, se cortan perpendicularmente en los puntos medios de los lados correspondientes como indica la figura. Si el diámetro del círculo construido es el segmento cuyos extremos son los puntos de corte de los cuadrados, ¿cuál es el área de la región sombreada?

SOLUCIÓN Vamos a calcular la mitad del área sombreada pedida, que se ve en la figura de la derecha. El área de todo el contorno es el área del cuadrado menos el área del triángulo azul, que es la misma superficie que le falta. Como el triángulo azul tiene ambos catetos de 2 cm, su área es de

2× 2 2 = 2 cm , 2

por lo que el área del contorno es de 4 2 − 2 = 14 cm2 Por otro lado el semicírculo tiene, de radio, la mitad de la hipotenusa del triángulo rectángulo azul:

22 + 22 2 2 = = 2 cm 2 2

Por tanto, el área de la figura que estamos tratando es 14 −

π× 2 2

… y el área de toda la figura pedida es

28 – 2π π cm2

2

2 = 14 − π cm

El número m = 999… 9 consta de 999 nueves. ¿Cuánto vale la suma de las cifras de m²?

SOLUCIÓN 999 nueves

(

)

2

998 nueves

999 ceros

m = 999...9 = 101000 − 1 ⇒ m 2 = 101000 − 1 = 10 2000 − 2 × 101000 + 1 = 999...9 8 000...01 Entonces, la suma de sus cifras es 998 × 9 + 1× 8 + 999 × 0 + 1× 1 = 8982 + 8 + 0 + 1 = 8991

La suma de las cifras de m2 es 8991