10 Soal Euler

Soal dan penyelesaian Graf Euler :

Tentukanapakahgrafpadagambar di bawahmempunyaisirkuit Euler? 1. Tentukanapakahgrafpadagambar

A Penyelesaian:

Untu Untuk k meng mengeta etahu huii apak apakah ah graf graf A di atas atas memi memili liki ki sirku sirkuit it Eule Euler, r, kita kita dapa dapatt menggunakan suatu teorema yang menyatakan “ika pseudograf G terhubung dan dera!at dera!at setiap setiap titikny titiknyaa mempun mempunyai yai dera!at dera!at genap, genap, maka maka G mempun mempunya yaii sebuah sebuah sirkuit Euler" Untuk itu kita periksa bahwa bahwa A terhubung dan dera!at setiap titiknya genap# $ertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

A Graf A terhubung terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik % dan y !ika diketahui sembarang titik % dan y# &an !ika kita periksa sebagai berikut: a ke b lintasannya 'a, e(, b) * a ke + lintasannya lintasannya 'a, e(, b, e, +) * a ke d lintasannya 'a, e(,d) * a ke e lintasannya 'a, e((, e((, e) * a ke f lintasannya 'a, e((, e, e(-, f) * b ke + lintasannya 'b, e, +) * b ke d lintasannya 'b, e., d) * b ke e lintasannya 'b, e., d, e/,e) * b ke f lintasannya 'b, e0, f) * + kelintasannya '+, e1, f, e2, d) * + ke e lintasannya '+, e3, e) * + ke f lintasannya '+, e1, f) * d ke e lintasannya 'd, e/, e) * d ke f lintasannya 'd, e2, f) * e ke f lintasannya 'e, e(-, f) * sehingga dengan demikian A terhubung#

d'a) 4 d'b) 4 d'+) 4 d'd) 4 d'e) 4 d'f) 4 . ini artinya setiap setiap titik pada graf A berdera!at genap# 5arena dera!at setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler# adi graf A di atas mempunyai Sirkuit Euler6nya, dan sirkuit Euler6nya yaitu: '+, a, b, f, +, e, a, d, e, f, d, b, +) 2. &ari gambar dibawah apakah terdapat path dan sirkuit euler ?

Penyelesaian :

a# A&A lintasan euler dengan lintasan yaitu a,b,+,d,e,f,g,b,d,f,a,g  b# Tidak A&A sirkuit Euler# 3.

a# Apakah ada lintasan Euler ?  b# Apakah ada Sirkuit Euler ? awab a# A&A lintasan Euler dengan lintasan : a,b,+,d,e,+,h,b,f,h,e,f,g,a  b# Ada sirkuit euler karena berawal dari simpul a dan berakhir di simpul a 4. 7intasan Euler pada graf 'a) : 8, (, , 8, ., ( 7intasan Euler pada graf 'b) : (, , ., 0, , 8, 0, 3, (, 8 Sirkuit Euler pada graf '+) : (, , 8, ., 1, 8, 3, 1, 0, 3, , 0, (

Sirkuit Euler pada graf 'd) : a, c, f  , e, c, b, d , e, a, d ,  f  , b, a Graf 'e) dan 'f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler  2

1

1

'a)

2

'b)

2

'+)

3 4

3

5

4

3 5

1

4

6

6

7

a

b

c

d 

a 'd)

d 

b

1

'e)

2

'f)

3

e

c 

4

5

f 

'a) dan 'b) graf semi6Euler  '+) dan 'd) graf Euler  'e) dan 'f) bukan graf semi6Euler atau graf Euler  5. 9arilah lintasan dan sirkuit euler dari graf? a b

d 

c 

d 

c 

a

b

a

b

g

f 

c  e

d  'a)

'b)

 'a) Graf berarah Euler 'a, g , c, b, g , e, d ,  f  , a)  'b) Graf berarah semi6Euler 'd , a, b, d , c, b) '+) Graf berarah bukan Euler maupun semi6Euler 

6. 9ari apakah grf dibawah adalah path atau sirkuit euler 

'+)

e

 Graf diatas merupakan 7intasan Euler pada graf Gambar tsb adalah : (, , 8, ., (, 8