10. Sınıf Matematik Akıllı Defter

10. SINIF MATEMATİK AKKILLI DEFTER

Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.’ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Çözüm Yayınları Grafik Birimi

Çözüm Yayınları Dizgi Birimi

2015, Ankara

Yorum Matbaacılık 0 312 395 21 12

          

         


    



Değerli Öğretmenim,

FATİH Projesi ile ülkemizdeki hemen hemen tüm okullarımıza "akıllı tahtalar" yerleştirildi ve siz değerli öğretmenlerimizin kullanımına sunuldu. Akıllı tahtalar doğru bir şekilde kullanıldığında öğrenme süreçlerini hızlandıran, öğrenme düzeyini artıran etkili bir eğitim aracıdır. Akıllı tahtaların etkili bir şekilde kullanılabilmesi için seçilecek içerik büyük önem taşımaktadır. Çözüm Yayınları, akıllı tahta ile ders işleme sistemini Türkiye'de ilk uygulayan kuruluştur. Bünyesinde barındırdığı tüm dershanelerde bu sistem günümüze kadar başarı ile kullanılmıştır. Bu teknolojiyi kullanmanın getirdiği tecrübe ile hem öğrenci hem de öğretmeni aktif bir şekilde derste tutacak, öğrenme becerilerini maksimum düzeye çıkaracak içerikleri üretmek, Çözüm Yayınlarının kültüründe yer alan önemli bir birikimdir. Şu an kullandığınız bu eser, bu birikim ve tecrübenin bir ürünüdür. Uygulamalar sonucunda her yıl geliştirilerek bugünkü hâlini almıştır. Bu ürünün tamamlayıcısı olan "Akıllı Tahta Programı"mız ile öğretmenlerimiz tahtada dersini anlatırken öğrencilerimiz basılı bir materyal olan akıllı defterlerinden dersi takip edecek ve sizin tahtaya yazdığınız bilgileri defterlerine not edeceklerdir. Yeni bir yaklaşımda bulunarak Öğretmenler İçin Özel Akıllı Defter hazırladık. Öğretmenlerimiz için hazırladığımız bu defterde, öğrencilerimizde bulunan Akıllı Defterlerdeki not almak için bırakılan boşluklar dolduruldu. Öğrenci defterinde olmayan ancak öğretmen defterinde yer alan kısımlar farklı bir renk ile belirtilmiştir.

Birbirinden farklı 4 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı bir rafa yanyana dizilecektir.

Öğrenci defterinde olmayan,

a. Kaç farklı şekilde dizilebilirler?

öğretmenlerimizin ders anla-



4 + 3 + 2 = 9 ⇒ 9!



Matematik

tımı sırasında öğrencilerimize not aldırması gereken yerler.

b. Matematik kitaplarının yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler? Fizik

Kimya

1 + 3 + 2 = 6 ⇒ 6! . 4! c. Aynı tür kitapların yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?

Matematik



1

Fizik +

Kimya

1

+

1

= 3 ⇒ 3! . 4! . 2! . 3!

d. Herhangi iki fizik kitabının yan yana olmaması koşuluyla kaç farklı şekilde dizi-

Öğretmenlerimiz için özel hazırlanan bu akıllı defter sayesinde, akıllı tahta olmadan da öğretmenlerimiz ders işleyebilir. lebilirler? gözden P(7, 3) = 7 . 6 . 5 = 210 Derslerden önce, anlatacakları konuları geçirebilir.

Ders anlatımı sırasında kullanacakları ek materyallerin notlarını defterlerine alabilirler.

Birlikte başarmak dileğiyle…Bir hastanede 3 doktor ve her bir doktorun ikişer tane asistanı vardır. Her doktorun kendi asistanlarının arasında olması koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanabilirler? Çözüm Yayınları A) 3! A

D1

B) 2!3! A

A

D2

A

Tekrarlı Permütasyon

C) 3!3! A

D3

A

D) 6!

⇒ 3! . 2! . 2! . 2!

E) 2!2!2!3!

1. BÖLÜM: Sayma: ............................................................................ 5 2. BÖLÜM: Olasılık: ......................................................................... 20 3. BÖLÜM: Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları: .......................... 29 4. BÖLÜM: Analitik Geometri: ........................................................... 70 5. BÖLÜM: Dörtgenler Ve Çokgenler: ................................................ 90 6. BÖLÜM: II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar: ........................ 138 7. BÖLÜM: Polinomlar: .................................................................. 180 8. BÖLÜM: Çember ve Daire: .......................................................... 221 9. BÖLÜM: Geometrik Cisimler: ....................................................... 243

Sayma

1. BÖLÜM SAYMANIN TEMEL KURALLARI 1. Toplama Kuralı A ve B sonlu, ayrık iki küme olsun.

s(AUB) = s(A) + s(B) ‘dir.

Bir sınıfta bulunan 14 kız, 10 erkek öğrenci arasından 1 kız veya 1 erkek öğrenci kaç farklı yolla seçilebilir? A) 10

B) 12

C) 14

D) 20

E) 24

14 + 10 = 24

A şehrinden B şehrine 2 farklı hava yolu, 4 farklı karayolu ve 1 farklı deniz yolu şirketi gitmektedir. A kentinden B kentine kaç farklı şirket ile gidilebilir? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

2 + 4 + 1 = 7

2. Çarpma Kuralı Birbirinden farklı n tane işten 1. iş a1 farklı yolla, 2. iş a2 farklı yolla, ... n. iş an farklı yolla yapılabiliyorsa bu n tane iş birlikte (a1 . a2 . … an) değişik yolla yapılabilir.

Betül’ün 3 farklı gömleği, 5 farklı pantolonu vardır. Betül 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir? A) 3

B) 5

C) 8

D) 12

E) 15

3 . 5 = 15

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

5

Sayma

1. BÖLÜM B

A

C

A kentinden B kentine 2 farklı yol, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. A’dan C’ye giden bir yolcu; a. B kentine uğramak koşulu ile kaç farklı yoldan gidebilir? b. Giderken kullandığı yolu tekrar kullanmamak koşulu ile, kaç farklı yoldan gidip dönebilir? a) 2 . 4 = 8 b) gidiş = 2.4, dönüş = 3.1 ⇒ 8.3=24



A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 100

B) 120

C) 150

D) 200

E) 216

6 . 6 . 6 = 216



A = {0, 1, 2, 3, 4}

kümesinin elemanları ile rakamları tekrarsız üç basamaklı pozitif tamsayılar yazılacaktır. a. Kaç farklı sayı yazılabilir? b. Kaç farklı çift sayı yazılabilir? C. 200’den büyük kaç farklı sayı yazılabilir? d. 100 ile 300 arasında kaç farklı çift sayı yazılabilir? a) 4 . 4 . 3 = 48 b) 3 . 3

.

2

{2,4}

+ 4 . 3 .

1

{0}

= 18 + 12 = 30

c) _ 3_ . 4 . 3 = 36 {2,3,4} d)

1 . 3 . ___3___ + _1_ . 3 . {1}

{0,2,4}

{2}

2

= 9+6=15

{0,4}

7 kişilik bir gruptan 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 49



B) 42

C) 36

7 . 6 = 42 Başkan Başkan yrd.



6

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 14

E) 13

Sayma

1. BÖLÜM

8 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? A) 24

B) 26

C) 28

D) 29

E) 210

Sınava katılanlar kümesi A = {1, 2, ...., 8}, değerlendirme kümesi B={Başarılı, başarısız}

f: A → B

S(B)S(A) = 28

Faktöriyel Kavramı n ∈N olmak üzere 1’den n’e kadar olan pozitif tamsayıların çarpımına n faktöriyel denir.

n! = 1 . 2 . 3 … (n – 1) . n



0! = 1

10! 8! + 9! işleminin sonucu kaçtır?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

D) 8

E) 9

10 .9.8! 10! 10.9.8! = = =9 8! + 9.8! 8! (1 + 9) 8!.10

(n - 2) ! = 30 (n - 4) ! olduğuna göre n kaçtır?

A) 5

B) 6

C) 7

(n - 2).(n - 3) = 30 (n - 2) (n - 3) (n - 4) ! \ = 30 & \ 6 5 (n - 4) ! n- 2 = 6 n= 8

n tane farklı eleman kendi aralarında n! farklı şekilde sıralanır.

5 kız, 4 erkek öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir? A) 4!

B) 5!

C) 4 . 5!

D) 4!5!

E) 9!

5 + 4 = 9 kişi



9 kişi bir sıraya 9! farklı şekilde sıralanır.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

7

Sayma

1. BÖLÜM Permütasyon

r, n doğal sayılar ve r ≤ n olmak üzere sonlu n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r tane elemanının her bir sıralanışına A kümesinin r’li permütasyonu denir. P (n, r) =



n! = n. (n - 1) ... (n - r + 1) (n - r) ! 144444 4244444 43 r tan e



P(n, 2) = 56

P (n, 2) =

olduğuna göre n kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

=

n! (n - 2) n!

n (n - 1) . (n- 2) !

(n- 2) ! = n. (n - 1) = 56 = n = 8 olur.





P(n, 3) = 24 . P(n – 3, 1) + 48

olduğuna göre n kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

n . (n – 1) . (n – 2) = 24 [(n – 3) + 2)] n. (n - 1) . ( n – 2) = 24 . (n - 1) n . (n – 2) = 24 6 . 4 = 24 n = 6

4 farklı oyuncak 6 çocuğa dağıtılacaktır. Bir çocuk en fazla bir oyuncak alacağına göre, oyuncaklar kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 120

B) 240

C) 360

D) 600

E) 720

P (6, 4) = 6 . 5 . 4 . 3 = 360



“Güneş”

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. a. Kaç farklı kelime oluşturulabilir? P(5, 5) = 5! = 120 b. “N” ile başlayıp “Ş” ile biten kaç farklı kelime oluşturulabilir? N

144424443 U, N, E

8

S & P (3, 3) = 3! =6

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Sayma

1. BÖLÜM

Birbirinden farklı 4 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı bir rafa yanyana dizilecektir. a. Kaç farklı şekilde dizilebilirler?

4 + 3 + 2 = 9 ⇒ 9!



Matematik

b. Matematik kitaplarının yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler? Fizik

Kimya

1 + 3 + 2 = 6 ⇒ 6! . 4! c. Aynı tür kitapların yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler? Matematik



Fizik

Kimya

1 + 1 + 1 = 3 ⇒ 3! . 4! . 2! . 3! d. Herhangi iki fizik kitabının yan yana olmaması koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?

P(7, 3) = 7 . 6 . 5 = 210

Bir hastanede 3 doktor ve her bir doktorun ikişer tane asistanı vardır. Her doktorun kendi asistanlarının arasında olması koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 3! A

D1

B) 2!3! A

A

D2

A

C) 3!3! A

D3

A

D) 6!

E) 2!2!2!3!

⇒ 3! . 2! . 2! . 2!

Tekrarlı Permütasyon n tane elemandan a1 tanesi benzer (özdeş), a2 tanesi benzer, … ak tanesi benzer ise bu n tane eleman

n! a1! . a2 !. ... ak !

farklı şekilde sıralanırlar.

Özdeş 3 kırmızı, 4 beyaz bilye yanyana kaç farklı şekilde sıralanır? A) 6

B) 24

C) 35

D) 144

E) 330

K K K B B B B 3 + 4 = 7 ⇒



7! = 35 3!.4!

“ANKARA”

kelimesinin harfleri ile 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? A) 20

B) 30

C) 60

D) 120

E) 720

A A A N K R 6! 120 = 3!

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

9

Sayma

1. BÖLÜM

1100222 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 30

B) 50

C) 80

D) 90

E) 110

1 _ _ _ _ _ 0 5! & 20 3! 1 _ _ _ _ _ 2 5! & 30 2!2! 20 + 30 + 30 + 30 = 110 2 _ _ _ _ _ 0

5! & 30 2!2!

2 _ _ _ _ _ 2

5! & 30 2!2!

A

Yandaki şekil eş karelerden oluşmuştur. A noktasında duran bir kişi sadece sağa ve aşağıya hareket edebilmektedir. a. A’dan C’ye kaç farklı yoldan gidilebilir?

B

b. B noktasından geçmek koşulu ile C noktasına kaç farklı

yoldan gidilebilir?

C a)

12! = 616 7!.5!

b)

7! . 5! = 35.10 4!3! 3!2! = 350

Ç

Ö

Z

Ö

Z

Ü

Z

Ü

M

Şekilde ok yönlerinde ilerlenerek kaç farklı “ÇÖZÜM” kelimesi elde edilebilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

4! =6 2 !2 !

Dairesel (Dönel) Permütasyon n elemanlı bir A kümesinin elemanlarının bir çember üzerinde sıralanışlarının sayısı (n – 1)!’dir.

10

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Sayma

1. BÖLÜM

3 kız, 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 4!

B) 5!



C) 6!

D) 7!

E) 8!

3 + 4 = 7 kişi

7 kişi yuvarlak masa etrafına;

(7 – 1)! = 6!

farklı şekilde sıralanır.

Aralarında Gözdem, Korhan ve Emrah’ın da bulunduğu 7 kişi yuvarlak bir masada yemek yiyeceklerdir. a. Korhan ve Gözdem’in yan yana olması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?

K,G 1 kişi ⇒ (6 – 1)! . 2! = 5! . 2! = 240

b. Korhan ve Emrah arasında Gözdem’in olması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?

KGE 1 kişi ⇒ (5 – 1)! . 2! = 4! . 2! = 48

c. Emrah ve Korhan’ın yan yana olmaması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?

Tüm dizilişler – Emrah ve Korhan’ın yanyana olduğu dizilişler.



(7 – 1)! – [(6 – 1)! . 2!] = 6! – 5! . 2! = 480 n farklı anahtar; I. maskotlu bir anahtarlığa n! 2 (n - 1) ! II. maskotsuz bir anahtarlığa değişik biçimde dizilir. 2

Birbirinden farklı 6 anahtar bir halkaya kaç farklı biçimde dizilebilir? A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) 180

Halka ⇒ maskotsuz anahtarlık gibi düşünülebileceğinden;

=

(6 - 1) ! 5! = 2 2

= 60

Kombinasyon n, r doğal sayılar ve r ≤ n olmak üzere n tane elemandan r tanesinin seçilmesine n’in r’li kombinasyonu denir. n P (n, r) n! C (n, r) = e o = = r! ( n - r) ! r! r

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

11

Sayma

1. BÖLÜM

5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 5

B) 10

C) 12

D) 15

E) 21

D) 7

E) 8

5 C(5, 2) = f p = 5! = 10 2 2!3!



A = {0, 2, 4, 6, 8}

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında, a. “0” eleman olarak bulunur? b. “2” bulunur, “4” bulunmaz? 4 2

f p

0

a)

b)

=6

3 2

f p

2

=

3

n n e o= e o n- r r n n e o = e o = 1 ve n 0

n n e o= e o= n n- 1 1

n n e o+ e o = 30 n- 2 2



olduğuna göre, n kaçtır? A) 4

B) 5

C) 6

n n n & 15 f p= f n - 2p f 2p = 2 W \ 15

15

&

n. (n - 1) (n - 2) ! n! & = 15 (n - 2) !2! (n - 2) !.2!



n . (n- 1) = 30



6 . 5 = 30







n = 6

n n e o = e o ise a = b veya a + b = n’dir. a b

12

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Sayma

1. BÖLÜM



8 8 e o= e o 2m - 7 m

olduğuna göre, m’ nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5

B) 7

8 8 f p= f m 2m - 7 p

C) 12

D) 15

E) 17

1. durum: m = 2m - 7 m= 7 & 2.durum: (m) + (2m - 7) = 8

7 + 5 = 12

3m - 7 = 8 m= 5

7 kişilik bir kampçı grubu arasından 3 kişilik bir ekip ve bu ekip içinden de 1 lider seçilecektir. Buna göre kaç farklı seçim yapılabilir? A) 21

B) 35

C) 42

7 kampçıdan 3 kişi; C(7, 3) =

7.6.5 = 35 3!

3 3 kişiden 1 lider; C(3, 1) = f p = 3 1

D) 70

E) 105

35.3 = 105

Aralarında Özgür, Fatma ve Doğukan’ın da bulunduğu 8 kişilik bir ekip arasından 3 kişi seçilecektir. Bu üç kişi arasında Özgür ve Doğukan’ın bulunduğu, Fatma’nın ise bulunmadığı bilindiğine göre kaç farklı seçim yapılabilir? A) 5

B) 7

C) 12

D) 15

E) 17

Üçüncü kişi Özgür, Fatma ve Doğukan dışında kalan 5 kişi arasından seçileceğinden;

5 C(5, 1) = f p = 5 1

12 soruluk bir sınavda öğrencinin 10 soru cevaplaması istenmektedir. İlk 6 sorudan en az 5’ini cevaplamak koşulu ile öğrenci 10 soruyu kaç farklı şekilde cevaplayabilir? A) 15

B) 36

C) 51

D) 63

E) 78

1. durum: ilk 6 sorudan 5’i, ikinci 6 sorudan 5’i cevaplandırılabilir; 6 6 C(6, 5) . C(6, 5) = f pf p = 6.6 = 36 5 5

= 36 + 15 = 51

2. durum: ilk 6 sorudan 6’sı, ikinci 6 sorudan 4’ü cevaplandırabilir;

6 6 C(6, 6) . C(6, 4) = f p . f p = 1.15 = 15 6 4

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

13

Sayma

1. BÖLÜM Aynı düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane nokta ile 1.

n e o tane doğru 2

2.

n e o tane üçgen 3

3.

n e o tane dörtgen çizilebilir. 4

Bir çember üzerindeki 8 noktadan en çok kaç doğru geçer? A) 21

B) 28

C) 36

D) 42

E) 56



8 C(8, 2) = f p = 8.7 = 28 2 2



Şekilde belirtilen 9 noktadan en çok kaç doğru geçer? A) 18

B) 20

C) 21 d1

D) 26

E) 28

Şekilde bulunan toplam 9 noktanın herhangi 2'si seçilir. Ancak d1, d2 ve

d3 üzerindeki noktalar zaten doğrusal olduğundan tüm seçimlerden aynı doğru üzerinde yapılabilecek seçimler çıkarılır. Ayrıca d1, d2 ve d3 tek

başlarına birer doğru belirttiğinden bu 3 doğru sonuca eklenir. C(9, 2) – [C(5, 2) + C(3, 2) + C(4, 2)] + 3 R V S5 9 3 4W 5.4 3 4.3 3 + + 2 G+ f 2 p - Sf 2 p + f 2 p + f 2 pW + 3 = 92.8 ! = 2! SS WW T X = 36 910 + 3 + 6C + 3 = 20

d3 d2

d1 d2



Şekilde belirtilen 10 noktayı köşe kabul eden en çok kaç tane üçgen çizilebilir? A) 18

B) 24

C) 36

C(10, 3) – [C(4, 3) + C(6, 3)] f

4 6 10 10.9.8 4 65.4 -: + 3 p - >f 3 p + f3pH = 3! 3! D = 120 - 24 = 96

14

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 72

E) 96

Sayma

1. BÖLÜM

Yalnızca d1 doğrusu için C(3, 2) tane üçgen oluşturulabilir. Aynı sayıda seçim d2, C

d3 ve d4 içinde yapılabileceğinden;

C



d1

Şekilde kaç tane üçgen vardır? A) 6

B) 8

d2 C) 12

D) 15

E) 18

d3 d4 3 4 . C(3, 2) = 4 . f p = 4 . 3 = 12 2

Verilen şekilde, A

d1

a. Kaç tane paralelkenar vardır?

d2

b. Bir köşesi A noktasında olan kaç tane paralelkenar vardır?

d3 d4

m1

m2

m3

m4

b) C(3, 1) . C(3, 1)

a) C(4, 2) . C(4, 2) 4 4 = f p . f p 2 2



3 3 f p.f p 1 1



= 6 . 6



= 3 . 3



= 36



= 9

Verilen şekilde, a. Kaç tane dikdörtgen vardır? b. Alanı 3 br2 olan kaç tane dikdörtgen vardır? c. Alanı 1 br2 den büyük kaç tane kare vardır?

a) C(7, 2) . C(5, 2)

c) 5 . 3 + 4 . 2 + 3 . 1



7 5 f p.f p 2 2

b) 4 . 4 + 6 . 2

= 16 + 12





= 21. 10



= 28

=26



= 210

= 15 + 8 + 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

15

Sayma

1. BÖLÜM Aynı düzlemde,

n ► Çakışık olmayan n tane çember en çok 2 e o farklı noktada, 2 n ► Herhangi iki kenarı çakışık olmayan n tane üçgen en çok 3.2 e o noktada 2 n ► Herhangi iki kenarı çakışık olmayan n tane dörtgen en çok 4.2. e o nok2 tada kesişir.

Herhangi ikisi çakışık olmayan 6 farklı altıgen en çok kaç noktada kesişir? A) 120

B) 150

C) 180

D) 200

E) 240

6 6.2. f p = 12.15 2



= 180

Tekrarlı Kombinasyon n, r ∈N ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı tekrarlı kombinasyonlarının sayısı,

C(n – 1 + r, r)’dir.

Özdeş 4 kalem 9 farklı kalem kutusuna, her birine istenilen sayıda konulmak üzere kaç değişik biçimde dağıtılabilir? 12 12 12 B) e o C) e o A) e o 5 4 9 C(9 + 4 – 1, 4)

13 13 D) e o E) e o 4 9

⇒ C(12, 4) 12 ⇒ f 4p

7 özdeş bilye 4 çocuğa, her birine en az bir tane verilmesi koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 15

B) 20

C) 30

D) 35

E) 56

Her bir çocuğa birer tane verildikten sonra kalan 3 bilye 4 çocuğa dağıtılacaktır.

C(4 + 3 – 1, 3)

6 C(6 ,3) = f p = 20 3



16

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Sayma

1. BÖLÜM Binom Açılımı x, y ∈R ve n∈N olmak üzere, n n n n (x + y) n = e o xn .y0 + e o xn - 1.y1 + ... + e o xn - r .yr + ... + e o x0 .yn 0 1 r r 0 (x + y)0 ................................ e o 0 1 (x + y)1 ...................... e o 0 2 (x + y)2 ................ e o 0 3 (x + y)3 ......... e o 0

.............................1 1 e o 1 2 e o 2

2 e o 1 3 e o 1

.....................1

3 e o 2

................1 3 e o 3

.........1

1

2

3

1

3

1

(x + y)4 ifadesinin açılımını yapınız. x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x + y)n açılımında ► (n + 1) tane terim vardır. ► Her terimde x ve y’nin kuvvetlerinin toplamı n’dir.



(x – 2y)2m – 1

ifadesinin binom açılımındaki terim sayısı 16 olduğuna göre, m kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

(2m – 1) + 1 = 16

2m = 16



m = 8



(2x + y)m

ifadesinin binom açılımındaki terimlerden biri ax5 . y6 olduğuna göre, m kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

ax5 . y6 ⇒ 5 + 6 = 11 = m

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

17

Sayma

1. BÖLÜM (x + y)n açılımında ► Katsayılar toplamı için değişkenler yerine 1 ► Sabit terim için değişkenler yerine 0 yazılır.

(x – 2y + 2)5



ifadesinin binom açılımında katsayılar toplamı A, sabit terim B olduğuna göre, A . B çarpımının değeri kaçtır? A) 8

B) 12

A = (1 - 2 + 2) 5 = 15 = 1 B = (0 - 0 + 2) 5 = 25 = 32

C) 16

D) 18

E) 32

A.B = 32.1 = 32

► (x + y)n açılımı x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan n (r +1). terim e o xn - r .yr dir. r ► (x + y)2n açılımı x’in artan veya azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde 2n ortanca terim e o xn .yn 'dir. n

(x + y)8



ifadesinin açılımı x’in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında baştan 4. terimin katsayısı kaç olur? 8 8 B) e o A) e o 1 2

8 C) e o 3

8 8 D) e o E) e o 4 5

8 Baştan 4. terim ⇒ f p x5 .y3 3

(x – 2y)6



açılımında ortanca terim aşağıdakilerden hangisidir? A) –360x2y4

B) –160x3y3

C) 120x4y2

6 & f p . (x) 3 . (- 2y) 3 3



& 20.x3 . (- 8) y3 = - 160x3 y3

18

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 180x3y3

E) 360x3y3

Sayma

1. BÖLÜM 2 6 bx + x l ifadesinin açılımında x4 lü terimin katsayısı kaçtır?

A) 12

B) 30

C) 60

D) 80

E) 180

Baştan (r + 1) terim x4 lü terim olsun. 6 6 6 r r 6 r 2 r r f p . (x) - . b x l & f p .x - .2 .xr r

6 & f p .2r .x6 - 2r , x6 - 2r = x 4 r

6 – 2r = 4



r = 1 6 1 4 4 f p . 2 . x = 6. 2 . x 1 = 12x4 olduğundan katsayı 12 dir.

1 6 b x + xl açılımındaki sabit terim kaçtır?

A) 6

B) 12

C) 15

D) 20

E) 24

Sabit terim, x° in bulunduğu terimdir. Baştan (r + 1) terim x° lı terim olsun. 6 6 3 r 6 r r r f p . ( x ) - . (x) - & f p .x - 2 .xr r

3r 3r 6 & f p .x3 - 2 . x3 - 2 = xc r

6 & f p .xc = 15 2



3 - 3r = 0 2 r= 2

^4 2 + 3 5 h

7

açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 180

B) 210

C) 270

D) 350

E) 360

(4 2 ) teriminin kuvvetleri 4 veya 4’ün katı (3 5 ) teriminin kuvvetleri 3 veya 3’ün katı olmalı 7 4 3 f p (4 2 ) . (3 5 ) & 35.2.5 3

= 350

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

19

Olasılık

2. BÖLÜM OLASILIK E, eş olumlu örnek uzay ve A bu örnek uzayda bir olay olsun

P(A): A olayının olma olasılığı



s(A): A olayının eleman sayısı



s(E): E örnek uzayının eleman sayısı olmak üzere,

s (A) $ istenilen durum P (A) = s (E) $ tüm durum

Bir torbada 2 mavi, 3 beyaz ve 5 kırmızı top vardır. Torbadan rastgele seçilen bir topun mavi renkte olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

C) 1 5

B) 1 3

D) 2 E) 3 5 5

2 + 3 + 5 = 10 & 2 = 1 10 5

3 erkek ve 5 kızdan oluşan bir gruptan rastgele 4 kişi seçilecektir. Seçilen bu grupta en az 2 erkek bulunma olasılığı kaçtır? B) 2 7

A) 1 2

C) 3 7

D) 1 E) 3 14 14

2 erkek 2 kız veya 3 erkek 1 kız seçilme olasılığı hesaplanmalıdır. 3 5 f pf p 2 1 8 f p 4

+

3 5 f pf p 3 1 8 f p 4

=

3.5 + 1.5 8765 4! 20 2 = 70 = 7

İki zarın aynı anda atılması deneyinde zarların üst yüzeylerine gelen sayıların toplamının 5 ile bölünebilme olasılığı kaçtır? A) 1 6

B) 1 9

C) 5 36

D) 7 E) 11 36 36

İki zar havaya atıldığında 6 . 6 = 36 durum oluşur. 1, 4 _ b 2, 3 b b 3, 2 bb 6 1 ` istenilen koşula uygun 6 durum vardır. ⇒ 36 = 6 4, 1 b b 6, 4 b b 4, 6 a

20

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Olasılık

2. BÖLÜM

Bir ayakkabılıkta bulunan 7 çift ayakkabı arasında rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen ayakkabıların çift olma olasılığı kaçtır? A) 1 7 7 f p 1

14 f 2p



B) 7 26

=

C) 6 13

D) 1 E) 1 13 2

7 7 1 = = 14.13 7.13 13 2

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

kümesinin bütün alt kümeleri birer kağıda yazılıp torbaya atılıyor. Buna göre, torbadan çekilen kağıdın üzerinde yazılı olan kümenin üç elemanlı olma olasılığı kaçtır? A) 1 6

B) 5 16

C) 15 64

D) 13 E) 35 32 64

s(A) = 6 ve 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri 26 tanedir. 6 f p 3 26

=

20 5 = 64 16

Koşullu Olasılık E, eş olumlu örnek uzayında iki olay A ve B olsun. B olayının gerçekleşmesi durumunda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı denir. P(A | B) ile gösterilir. P (A + B) s (A + B) P(A B)) = P (A| B = P (B) s (B)

E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P (A') = 3 ve P (A + B) = 1 olduğuna göre, 5 4 P(B | A) kaçtır? A) 2 5

B) 5 8

C) 1 10

D) 5 E) 3 12 20

P(A’) = 3 & P (A) = 2 5 5

P (B A) =

1 P (A + B) 1 .5 = 4 2 = 4 2 P (A) 5

5 = 8

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

21

Olasılık

2. BÖLÜM

Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 3’ten büyük olduğu bilindiğine göre asal sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 2 3

D) 1 E) 1 4 6

4_ b Zarın üst yüzüne gelen sayının “3” ten büyük olduğu üç durum vardır. b 5` 1 b Hem 3 ten büyük, hem de asal olma koşulunu yalnızca “5” sağlar. ⇒ 3 6b a

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olduğu bilindiğine göre bu sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 2 3

D) 1 E) 1 5 4

4, 6 _ b b üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olduğu üç durum vardır. Bu üç 5, 5 ` b durumda yalnızca (5, 5) istenilen koşula uygundur. ⇒ 1 3 6, 4 b a

İki zar birlikte atılıyor. Zarlardan birinin 4 geldiği bilindiğine göre diğer zarın asal sayı olma olasılığı kaçtır? B) 1 11

A) 1 2

(1, 4) (5, 4) (4, 3)_b b (2, 4) (6, 4) (4, 5)b ` (3, 4) (4, 1) (4, 6)b bb (4, 4) (4, 2) a



C) 2 11

D) 6 E) 5 11 12

zarlardan birinin 4 olduğu toplam 11 durum vardır. Bu 11 durumdan istenilen koşula uygun olanlar; (2,4)(3,4)

(5,4)(4,2)(4,3)(4,5) & 6 11

“ÇÖZÜM”

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız tüm kelimeler yazılıyor. Bu kelimeler arasında seçilen bir kelimenin “Z” harfi ile başladığı bilindiğine göre, “Ç” ile bitme olasılığı kaçtır? A) 1 2

B) 1 3

C) 1 4

D) 2 E) 5 3 12

Z __ __ (4!) __

Z harfi ile başlayan 24 kelime vardır.

z __ __ (3!) __ Ç_

Z harfi ile başlayıp Ç harfi ile biten 6 kelime vardır. & 6 = 1 24 4

22

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Olasılık

2. BÖLÜM

30 kişilik bir sınıfta futbol ve voleybol oynayanlar vardır. Sadece futbol oynayanlar 10 kişi, en çok bir spor yapanlar 24 kişidir. Seçilen bir öğrencinin futbol oynadığı bilindiğine göre, voleybol oynayan öğrenci olma olasılığı kaçtır? A) 3 5

B) 4 5

F

C) 3 8

En çok bir spor yapanlar 24 kişi ise geriye

V 10

D) 5 E) 3 6 10

kalan 6 kişi her iki sporuda yapıyordur. Bu durumda futbol oynayan 16 kişi, aynı zaman-

6

da voleybolda oynayan 6 kişi vardır. & 6 = 3 16 8

Üç çocuklu bir ailede çocuklardan birisinin kız olduğu biliniyor. Buna göre diğer iki çocuğun erkek olma olasılığı kaçtır? B) 3 7

A) 5 8 KKK KKE KEK EKK

KEE _ b EKE bb ` EEK b b EEE b a

C) 1 7

D) 3 E) 1 4 3

ailenin çocuklarından en az birinin kız olduğu 7 durum vardır.

Diğer ikisinin erkek olduğu 3 durum olduğuna göre cevap 3 7

olur.

Bir sınıftaki öğrencilerin %60’ı matematik, %50’si fizik dersinden kalmıştır. Öğrencilerin %10’u ise her iki dersten geçmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten kaldığı bilindiğine göre, fizikten geçmiş olma olasılığı kaçtır? A) 5 6

B) 1 6

C) 2 3

D) 1 E) 1 3 2

Sınıf 100x olsun. Bu durumda 60x öğrenci matematikten, 50x öğrenci fizikten kalmıştır. Öğrencilerin %10’u yani 10x öğrenci her iki dersten geçtiğine göre,

100x – 10x = 90x

kalan 90x öğrenci en az bir dersten kalmıştır. Matematik veya fizikten kalanların kümesi s(MUF) olmak üzere;

s(MUf) = s(M) + s(F) – s(M∩F)



90x = 60x + 50x – s(M∩F)



s(M∩F) = 20x olur.

F

M 40x

20x

& 40x = 2 3 60x

30x 10x

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

23

Olasılık

2. BÖLÜM

Özgür bir alışverişte aldığı ürünlerin %30’unu A marketinden, %40’ını B marketinden kalanı C marketinden almıştır. A marketinden aldığı ürünlerin %10’u, B marketinden aldığı ürünlerin %5’i ve C marketinden aldığı ürünlerin %20’si bozuk çıkmıştır. Satın alınan ürünlerden bir tanesi seçiliyor. Seçilen malın bozuk olduğu bilindiğine göre, C marketinden alınmış olma olasılığı kaçtır? A) 1 5

B) 1 6

C) 2 11

D) 3 E) 6 11 11

Özgür 100x ürün almış olsun. 30x " 3x bozuk _b b 40x " 2x bozuk ` b 30x " 6x bozuk b a

A B C

bozuk ürünlerin toplamı; 3x + 2x + 6x = 11x o halde C’den alınmış olma olasılığı; 6x = 6 11x 11

İki torbadan birincisinde 3 beyaz, 4 kırmızı, ikincisinde 3 beyaz, 5 kırmızı bilye bulunmaktadır. Bu torbaların birinden bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre ikinci torbadan alınmış olma olasılığı kaçtır? A) 23 67

B) 28 67

3B

3B

4K

5K

I

II

Bu

durumda

C) 31 67

I. torbadan kırmızı çekilme olasılığı & 1 . 4 = 4 2 7 14 II. torbadan kırmızı çekilme olasılığı & 1 . 5 = 5 2 8 16 torbaların

olasılığı & 4 + 5 = 67 14 16 112 o halde istenilen;

D) 35 E) 47 67 67

herhangi

birisinden

kırmızı

çekilme

5 16 = 35 67 67 112

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Oluşumları birbirini etkilemeyen olaylara bağımsız olay denir. Bağımsız olmayan olaylara ise bağımlı olaylar denir. ► Eğer A ve B bağımsız olaylarsa A ve B’nin gerçekleşme olasılığı

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)’dir

► Eğer A ve B bağımlı olaylarsa A ve B’nin gerçekleşme olasılığı; s (A + B) P (A + B) = 'dir. s (E) A veya B’nin gerçekleşme olasılığı;

P(A,B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)’dir.

Burada P(A∩B); ► A ile B bağımsız ise P(A∩B) = P(A) . P(B) s (A + B) ► A ile B bağımlı ise P(A∩B) = 'dir. s (E)

24

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Olasılık

2. BÖLÜM

A ve B, E örnek uzayının bağımsız iki olayı olmak üzere;

B) 6 7

C) 4 49

D) 20 49

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)’dir.

A

ve

B

bağımsız

olaylar

P(A∩B) ⇒ 4 . 1 = 4 olur. 7 7 49

P (A) = 4 , P (B) = 1 7 7 olduğuna göre, P(A,B) kaçtır?

A) 5 7



E) 31 49

olduğundan,

Bu durumda; P(A∪B) = 4 + 1 - 4 = 31 7 7 49 49

A ve B aynı örnek uzayın bağımsız iki olayı, P (A) = 3 ve P (B') = 2 5 4 olduğuna göre, P(A,B) kaçtır?

A) 3 10

B) 9 10

C) 3 20

D) 13 E) 17 20 20

P (B) + P (B') = 1 & P (B) + 2 = 1 5

_ bP (A , B) = P (A) + P (B) - P (A + B) b b 3 3 9 & P (B) = 3 olur. = + 5 - 20 ` 5 4 b 18 9 P (A + B) = P (A) .P (B) & P (A + B) = 3 . 3 = 9 bb = 20 = 20 4 5 10 a

Bir zar ve bir madeni paranın birlikte atılması deneyinde zarın üst yüzüne gelen sayının çift ve madeni paranın yazı gelmesi olasılığı kaçtır? A) 1 3

B) 2 3

C) 1 4

D) 3 E) 1 4 6

(2, 4, 6). (Y) 1442443 Z = 1 3 1 4 6 2

İki zar ve iki madeni para birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı veya paraların her ikisininde yazı gelmesi olasılığı kaçtır? A) 1 4

B) 1 6

C) 3 8

11 _ b 22 b b 33 bb 1 zarların aynı gelme olasılığı: `6 44 b b 55 b b 66 a YY _ b YT bb 1 paraların yazı gelme olasılığı: `4 TY b b TT b a Bağımsız olaylar olduklarından

P(A∩B) = 1 . 1 = 1 6 4 24

D) 5 E) 1 12 24 _ b b b b b b b b b bP (A , B) = P (A) + P (B) - P (A + B) b1 1 1 ` 6 + 4 - 24 b b= 9 = 3 b 24 8 b b b b b b b b a

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

25

Olasılık

2. BÖLÜM

Fatma ve Doğukan’ın matematik dersinden geçme olasılıkları sırasıyla 5 ve 3 ’dir. 7 8 Buna göre yalnız Fatma’nın matematik dersinden geçme olasılığı kaçtır? A) 5 28

B) 25 28

C) 15 56

D) 25 E) 39 56 56

Fatma matematik dersinden geçmeli: 5 7

Doğukan matematik dersinden geçmemeli: 1 - 3 = 5 8 8 5 5 25 P(A∩B)=P(A) . P(B) = . 7 8 = 56

Başak ve Gözdem’in bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 3 ve 5 ’dır. Başak ve Gözdem 4 6 aynı hedefe birer atış yaptıklarında hedefin vurulma olasılığı kaçtır? A) 3 8

B) 5 12

C) 7 12

P(A∪B) = P(A) +P(B) – P(A∩B)

D) 15 24

E) 23 24

⇒ 3 + 5 - 15 4 6 24

⇒ 23 24



a) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 2 2 2 2 2 32 Bir madeni para arka arkaya 6 kez atıldığında, a. İlk üçünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olasılığı kaçtır? b. Üçünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olasılığı kaçtır?

b) Ü  çünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olayında sıralama söz konusudur. Bu nedenle istenilen durum tekrarları permütasyonla hesaplanır.

A torbasında 3 kırmızı 5 siyah, B torbasında ise 4 kırmızı 5 siyah bilye vardır. A torbasından rastgele bir bilye seçilip, rengine bakılmaksızın B’ye atılıyor. Son durumda B torbasından seçilen bir bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? A) 7 16

B) 3 10

3K

4K

5S

5S

A

B

C) 5 8

D) 3 E) 1 8 4

1. durum: A torbasından siyah çekilmesi durumunda B torbasında 4 kırmızı 6 siyah bilye olacaktır. 5 4 = 20 . 8 10 80

2. durum: A torbasından kırımızı çekilmesi durumunda B torbasında 5 kırmızı, 5 siyah bilye olacaktır.

3 . 5 = 15 8 10 80

1444444444444444444444444442444444444444444444444444443 20 15 35 7 = = + 80 80 80 16

26

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

5! 2!3! = 10 = 5 32 32 16

Olasılık

2. BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

B

A



Torbalardan A’nın seçilme olasılığı

3 B torbasının seçilme 8 1 2 olasılığı B'den mavi seçme olasılığı , C 3 8

mavi çekme olasılığı

C

3 mavi

2 mavi

4 mavi

5 beyaz

6 beyaz

4 beyaz

torbasının seçilme olasılığı



Şekilde A, B ve C torbalarında bulunan mavi ve beyaz bilye sayıları verilmiştir. Torbalardan biri seçilip, içinden bir bilye çekilecektir. Buna göre, çekilen bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır? A) 11 16

B) 9 16

C) 7 8

D) 5 8

E) 3 8

2. Bir sınavı Ceren’in kazanma olasılığı 72 , Deniz’in kazanma olasılığı 51 ’tir.

Buna göre, sınavı yalnız birisinin kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 7

B) 2 35

C) 7 35

1 , A’dan 3

D) 8 35

E) 13 35

1 , C’den mavi 3

4 8 1 3 1 2 1 4 9 3 . + . + . = = 3 8 3 8 3 8 24 8

seçme olasılığı

Ceren kazanır, Deniz kazanamaz; 2 4 8 . = 7 5 35 Deniz kazanır, Ceren kazanamaz; 1 5 5 . = 5 7 35 8 5 13 = + 35 35 35

Erkek: 9 + 11 + 7 = 27 kişi Kadın: 12 + 10 + 5 = 27 kişi Topluluk: 27 + 27 = 54

3.



18 – 24

25 – 31

32 – 38

Erkek

9

11

7

Kadın

12

10

5

18 – 24 yaş: 9 + 12 = 21 kişi P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Tabloda bir toplulukta bulunan kişilerin yaş aralıkları ve cinsiyetlerine göre sayıları verilmiştir.



Buna göre, bu topluluktan bir kişinin kadın veya 18–24 yaş aralığında olma olasılığı kaçtır? A) 1 2

4.

C) 4 7

B) 2 3

D) 2 9

7 18

Şekilde f: [–4, 7] → R fonksiyonu verilmiştir.

y

[–4, 7] aralığından rastgele seçilen birbirinden farklı a ve b tam sayılarının; -4

-2

1

5

B) 5 11

C) 11 12

D) 7 22

1 7 2 12 2 - = = + 2 18 9 18 3 f(a) . f(b) > 0 için; f(a) > 0, f(b) > 0 veya

f(a) < 0, f(b) < 0 olmalıdır.

f(x)’in pozitif değer aldığı aralıkta –1, 0, 6, 7 } 4 tam sayı değeri

f(a) . f(b) > 0 koşulunu sağlama olasılığı kaçtır?

A) 5 6

7

x

27 1 = 54 2 21 7 Kişinin 18 – 24 yaşta olma olasılığı: = 54 18 Kişinin hem kadın hem 18 - 24 yaşta olma 12 2 olasılığı: = 54 9 1444444444444442444444444444443 Kişinin kadın olma olasılığı:

E) 8 33

f(x)’in negatif değeri aldığı aralıkta –4, –3, 2, 3, 4} 5 tam sayı değeri [–4, 7] aralığında 12 tane tam sayı vardır. 12 Herhangi ikisinin seçimi f farklı yolla 2p gerçekleşir. 5 4 f p f p 2 2 16 8 = = + 66 33 12 12 f 2p f 2p

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

27

Olasılık

2. BÖLÜM 5.

Bir torbada 4 kırmızı 5 siyah bilye vardır. Torbadan bir bilye alınıp yerine diğer renkten

1. durum: İlk çekilen bilye kırmızı olursa;

bir bilye konmaktadır. Buna göre, torbadan seçilen ikinci bilyenin kırmızı olma

Torbada 3 kırmızı, 5 siyah bilye kalır. Yerine

olasılığı kaçtır? A) 1 3

6.

konulan siyah ile birlikte son durumda 3

B) 4 9

C) 4 27

A

D) 25 81

E) 37 81

Köşeleri şekildeki 11 nokta üzerinde bulunan üçgenler çizilecektir. Bu üçgenlerin bir köşesinin A noktasında olma olasılığı kaçtır?

B) 13 C) 4 A) 13 135 45 35 Şekildeki 11 nokta ile çizilebilecek

D) 7 E) 3 15 13 Bir köşesi A’da olan tüm üçgen-

tüm üçgenlerin sayısı; 11 5 6 165 - 10 - 20 f 3 p - f 3 p - f3p =

lerin sayısı 6 6 6 f p + f p . f p = 15 + 4.6 2 1 1

= 135



tan e

kırmızı 6 siyah bilye olur. 4 3 12 . = 9 9 81

2. durum: İlk çekilen bilye siyah olursa; torbadan 4 kırmızı, 4 siyah bilye kalır. Yerine konulan kırmızı ile birlikte son durumda 5

kırımızı 4 siyah bilye olur. 5 5 25 . = 9 9 81

1444444444444442444444444444443 12 25 37 = + 81 81 81

= 39 tan e

1444444444444444444444444442444444444444444444444444443 39 13 = 135 45

7.

Bir sınıftaki kız öğrencilerin %20’si, erkek öğrencilerin %25’i matematikten bütünlemeye kalmıştır. Kızlar tüm öğrencilerin %60’ıdır. Buna göre rastgele seçilen bir öğrenci matematikten bütünlemeye kalmış olduğuna göre, erkek olma olasılığı kaçtır? A) 1 2



B) 1 3

C) 1 4

D) 5 E) 6 11 10

20 Sınıf 100x kişi olsun %60 kız öğrenci, 60x kişidir. Kalan 40x erkektir. Kız öğrencilerin %20'si; 60x. = 12x kişi 100 25 kalan erkek öğrencilerin %25'i; 40x = 10x kişi kalan 100 1444444444444444444444444442444444444444444444444444443



Kız

Erkek



Kalan

Kalmayan

10x

30x

12x

48x

Bütünlemeye kalan 22x kişinin 10x’i erkek olduğuna göre,

10x 5 = 22x 11

8.





kümelerinden biri seçilip, içinden rastgele bir sayı alınıyor. Seçilen sayı asal olduğuna

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve B = {8, 9, 10, 11, 12, 13}

göre, B kümesinden seçilmiş olma olasılığı kaçtır? B) 1 C) 4 D) 7 E) 19 A) 1 7 7 6 19 42 A kümesinden asal sayı seçilme olasılığı; B kümesinden asal sayı seçilme olasılığı;

1 4 2 . = 2 7 7

1 2 1 . = 2 6 6

1444444444444444444444444442444444444444444444444444443 1 7 2 1 19 6 = + = 19 19 7 6 42 42

28

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

FONKSİYONLARIN ÖTELENMESİ VE SİMETRİ DÖNÜŞÜMLERİ f : R → R olmak üzere, y

x

O y=f(x)

grafiği ile verilen y = f(x) fonksiyonu için, y

y

► y = f(x) + k fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim yukarı ötelenir.

x

O

x

O

k birim

y=f(x)

y=f(x)



y

y

► y = f(x) – k fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim aşağı

x

O

ötelenir.

y=f(x)

x

O

k birim

y=f(x)



y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) + 4 fonksiyonunun grafiğini

y=f(x)

çiziniz. x

O

-4

f(x) + 4 ⇒ f(x) fonksiyonun 4 birim

y

yukarı öteleneceği anlamına gelir.

y=f(x)

O

x

-4

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

29

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) – 2 fonksiyonunun grafiğini y=f(x)

1

çiziniz. x

O

y

f(x) – 2 ⇒ f(x) fonksiyonunun 2 birim

y=f(x)

1

aşağı öteleneceği anlamına gelir. x

O

–1 k birim

► y = f(x + k) fonksiyonunun grafiği çizilirken

y

y

y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim sola ötelenir.

x

O y=f(x)

y=f(x)

y

y

► y = f(x – k) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiği k birim sağa

x

O

ötelenir.

y=f(x)

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x + 2) fonksiyonunun grafiğini

y=f(x) O

çiziniz. x

2

y

y = f(x + 2), f(x) fonksiyonunun 2 birim

sola öteleneceği anlamına gelir.

y=f(x)

–2

30

O

2

x

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

x

O

k birim x

O y=f(x)

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x – 3) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. -3

O

x

1 -4

y

y = f(x – 3), f(x) fonksiyonunun 3 birim sağa öteleneceği anlamına gelir.

-3

O

4

1

x

-4

y

y

► y = –f(x) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine

x

O

göre simetriği alınır.

x

O y=f(x)

y=f(x)

y

► y = f(–x) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine

y

x

O

göre simetriği alınır.

x

O y=f(x)

y=f(x)

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = –f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 3

-2

O

x

y = f(x)

y

y = –f(x), f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir. 3

-2

O

x

y = f(x)

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

31

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y = f(x) -1

x

1

O

Buna göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

-2

y

y = f(–x), f(x)’in grafiğinin y eksenine göre 1

-1 O

x

simetriğidir.

-2

► y = f(kx) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar k’ya bölünerek çizilir.

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

f(x)

-2

O

2

Buna göre, y = f(2x) fonksiyonunun grafiğini x

çiziniz.

-4

y

y

f(x)

-2

–1

O

1

2

x

=

f(x)

fonksiyonu

x

eksenini

x = 2 ve y = –2 noktalarından kesmektedir. Bu durumda y = f(2x) fonksiyonu x eksenini x = 1 ve x = –1 noktalarında

-4

kesmelidir.

► y = kf(x) fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde grafiğin y eksenini kestiği noktalar k ile çarpılarak çizilir.

32

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

12

y 6

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

6

Buna göre, y = 2f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

-3

O

x

2

x

2

O

-3

f(x)

f(x)

y = f(x) fonksiyonu y eksenini y = 6 noktasında kesmektedir. Bu durumda y = 2f(x) fonksiyonu y eksenini, y = 12 noktasında kesmelidir.

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y = f(x)

Buna göre, y = –f(–x) fonksiyonunun grafiğini

2 O

1

x

çiziniz.

y

y = –f(–x) fonksiyonunun grafiğini çizmek –1

x

–2

için y = f(x) fonksiyonunun hem x, hem y eksenine göre simetriği alınır.

y = –f(–x)

y

y

► y = f(|x|) fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun x ≥ 0 daki parçasının y

x

O

eksenine göre simetriği alınır.

y=f(x)

y=f(x)

y

y

► y = |f(x)| fonksiyonunun grafiği çizilirken y = f(x) fonksiyonunun x ekseni altında kalan parçasının x eksenine göre simetriği alınır.

x

O

x

O y=f(x)

x

O y=f(x)

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

33

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

4

Buna göre, y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini 2

çiziniz.

x

O y = f(x)

-2

y 4

y = f(|x|)’in grafiği y = f(x)’in grafiğinin 2

–2

x≥0’deki

x

O

y

eksenine

göre

simetriğidir.

y = f(x)

-2

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y = f(x)

-2

parçasının

O

Buna göre, y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini x

2

çiziniz.

-4

y

y = |f(x)|’in grafiği y = f(x)’in x ekseni altın-

4

da kalan parçasının x eksenine göre simet-

y = f(x)

-2

O

2

riği alınarak elde edilir. y

x

3 1 y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

2

Buna göre, y = |f(x)| + 1 fonksiyonunun grafiğini 1

-1

O -2

x

çiziniz.

y = f(x)

-1

1

x

y = |f(x)|, y = f(x)’in x ekseni altında kalan kısmının x eksenine göre simetriği alınarak elde edilir. y = |f(x)| + 1 ise y = |f(x)|’in 1 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir.

34

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y 3

Buna göre, g(x) = |f(x)| – 3 fonksiyonu x eksenini kaç farklı noktada keser? F(x) x -1

-2

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

y = |f(x)|’in grafiği için y = f(x)’in x ekseni altında kalan parçasının x’eksenine göre simetriği alınır. 3 y = |f(x)|–3 için ise y = |f(x)| grafiği 3

2

birim aşağı ötelenir.

1

grafikten görüldüğü üzere grafik x ekse-

–2

nini 3 farklı noktada kesmektedir.

–1

y fonksiyonunu parçalı tanımlı yazalım.

y f(x)

-2

O

f(x) < 0 için



f(x) ≥ 0 için



|f(x)| = –f(x)



‑f(x) = f(x)



4f (x) g (x) = * 2f (x)



x

2



f (x) < 0 için f (x) $ 0 için

f(x) < 0 olduğu yerler fonksiyonun x ekseni altında kalan kısmıdır. 4f(x) için bu kısımda

-4

fonksiyonun y eksenini kestiği noktalar 4 ile

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, g(x) = 3f(x) – |f(x)| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y y y A) B) C)

-2

O

x

2

-2

O

2

x

-2

O -1

-16

2

x

çarpılır. Yani g(x) fonksiyonu y eksenini y = –16’da kesmeli

f(x) > 0 olduğu yerler fonksiyonun x ekseni

üzerinde kalan kısmıdır. Bu kısımda fonksiyon y eksenini kesmemektedir. Ancak aynı x

değerlerinde daha büyük y sonuçları alınacağından fonksiyonun kolları daralmalıdır. y

A) y

D)

2

-2

O

2

x

y

B)

C

y

E)

-2

O -2

2

x

-2

O

x

2

-2

O

2

x

-16

y

D)

35

2 10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter -2

O

2

x

E)

-2

O

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

Mutlak Değerli Fonksiyonlar İle İlgili Özel Durumlar y

y

O

x

O

y = |x| fonksiyonunun grafiği V şeklindedir.

x

k

y = |x – k| fonksiyonunun grafiği x = k noktasında V şeklindedir.

y

y 2k

-k

O

x

k

-k

O

k

x

y = |x + k| fonksiyonunun grafiği x = –k y = |x + k| + |x – k| fonksiyonunun grafiği şeklindedir.

noktasında V şeklindedir. y

y

2k

2k k

-k

-k

x

O

O

-2k

x

k

-2k

y = |x – k| – |x + k| fonksiyonunun grafiği y = |x + k| – |x – k| fonksiyonunun grafiği şeklindedir. şeklindedir. y

y k x

O

O

|y| = x bağıntısının grafiği

şeklindedir.

x

k

|y – k| = x bağıntısının grafiği y = k noktaşeklindedir.

sında

y

y k x

O -k

-k

O

k

x

-k

|y + k| = x bağıntısının grafiği y= – k nokta- |x| + |y| = k bağıntısının grafiği sında şeklindedir. y

y

-k

O

k

k

x O -k

|x| – |y| = k bağıntısının grafiği

36

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

–|x| + |y| = k bağıntıx

sının grafiği

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f fonksiyonunun grafiği;

y

f (x) = 4 – x2

4

olduğuna göre |f(x)| + 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

y

C)

y

O

x

2

2

–2

x

2

4 -2

y

6

O

4

x

-2 O

2

x

|f(x)|’in grafiği f fonksiyonunun x ekseni altında kalan kısmın x eksenine göre simetriğidir.

y

D)

Yani;

y

E)

|f(x)| + 2 ise |f(x)| fonksiyonunun 2 birim

2 -2

2 O

-2

x

2 O

yukarı ötelenmiş halidir.

x

y

-2

6

-4

2 R – {0} → R x +x f (x) = x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

–2

2

x

y

C)

1 x

O

O

y

D)

O

y

E)

2

2

O

O

Verilen fonksiyonu parçalı tanımlı olarak ifade edelim;

x < 0 için



-x+x = 0 x

o halde; 0 f (x) = * 2 için

x 0

x > 0 için x+x =2 x

için

Demek ki fonkisyon x < 0 için “0” değerine sahip, x > 0 için ”2” değerine sahip sabit fonksiyondur. Buna uygun seçeneğimiz D şıkkıdır.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

37

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y = |x – 2| fonksiyonunun grafiği x = 2’de “V” şeklindedir. y = –|x – 2| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

2

y

C)

y

2

O

x

2 x

-2 O

x

2

O

x

O

y = – |x – 2| fonksiyonunun grafiği |x – 2| fonksiyonunun x eksenine göre simetriğidir.

y

D) O

y

E)

y

2

x

x

O

-2

2 O

x

–2



y = |x + 1| + |x|

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

y

C)

2 -1

O

x

1

-1 O

y

D)

2 x

1

x

Mutlak değerli fonksiyonların özel durumlarına göre fonksiyon x=-1 ve x = 0'da çanak ) şeklini alır. (

y

E)

1

1 x

O

-1

1

O

O

1

x

y



y = –|x| – 1

y = |x| fonksiyonunun grafiği ;

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y y A) B) C)

x

y

1

-1

1 O

-1

x

1 O

x

-1 O

x

y = –|x| fonksiyonunun grafiği y = |x|’in x ekse-

-1

y

-2 y

D)

E)

x

nine göre simetriğidir.

y 1

-1

1 O

x

-1

-1 O

1

x

y = –|x|–1 ise y = –|x| fonksiyonunun “1” birim y

-2

38

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

aşağı ötelenmiş halidir.

–1

x

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y = |x + k| – |x – k| fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. y

y

2k

2 -2

O

–k

x

2

O

–2k

-2

Bu durumda fonksiyon y = |x + 2| – |x – 2|

Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) |x + 2| + |x – 2|

x

k

B) |x + 2| – |x – 2| x- 2 - x+ 2 D) 2

C) |x – 2| – |x + 2| x+ 2 - x- 2 E) 2

biçiminde olmalı ancak bu tipte bir fonksi-

yon x = 2 için y = 4 ve x = –2 için y = –4 değerleri almalıydı oysa grafiğe göre x = 2

de y = 2 ve x = –2’de y = –2 olmuş. Yani

y değerlerinin yarısı alınmış. Bu demektir ki 1 fonksiyon ile çarpılmış. 2 Bu durumda fonksiyon;

1 ≤ |x| + |y| 0 için x + x yani 2x olarak sonuçla1 nır. Oysa grafik (1, 1) noktasından geçmektedir. Demek ki verilen y = (x + x ) 2 fonksiyonunun grafiğidir.

40

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

2

x

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM Tek – Çift Fonksiyonlar

f A ⊂ R → R fonksiyonunda ∀x ∈A için, ► f(–x) = –f(x) koşulunu sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir. ► f(–x) = f(x) koşulunu sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını inceleyiniz. y = x2 + x – 1

y = 3x3 + 2x

(–x)2 = x2 = y

(–x)2+(–x)–1=x2–x–1

3(–x)3+2(–x)=–3x3–2x=–y



çift

ne tek, ne çift





y = x3

x3 + x y= x



(–x)3 = –x3 = –y

(- x) 3 + (- x) - x3 - x x3 + x = =y = x (- x) -x



y = x2







tek

tek çift



y = x2 + 2

2 y= x -1 x+ 1



(–x)2 + 2 = x2 + 2 = y

(- x) 2 - 1 x2 - 1 = (- x) + 1 -x+1





ne tek, ne çift

çift





Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur? y

A)

y

B) x

O

O

y

D) O

O

x

y

E) x

y

C) x

O

x

Tek fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir. Seçenekler içerisinde orijine göre simetrik olan E şıkkında verilen grafiktir.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

41

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f(x) çift ise Reel sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.



f(2) = f(–2) olmalıdır.



f(2) = 2a – 4



2a – 4 = a – 1



f(–2) = a – 1



a = 3

olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

D) 144

E) 156

f(x) fonksiyonu orijine göre simetriktir. f(x) = ax3 + (a – b) x2 + bx + a – 2



olduğuna göre, f(a . b) kaçtır? A) 120

B) 128

C) 136

f(x) orijine göre simetrikse tek fonksiyondur. O halde x’in yalnızca tek kuvvetlerini bulundurmalıdır. Yani çift kuvvetlerin katsayıları sıfır olmalıdır. f(x) = ax3 + (a - b) x2 + bx + (a - 2) x° \

\

0

0



a – b = 0 ⇒ a = b ve a – 2 = 0

⇒ f(x) = 2x3 + 2x ve a.b = 2.2 = 4





olduğundan



a = 2 b = 2



f(4) = 2.43 + 2.4 = 136

Reel sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur. A(1, 3n + 4) noktası fonksiyonun üzerinde ve f(–1) = 8 olduğuna göre n kaçtır? A) –4

B) –3

f (1) = 3n + 4 f (- 1) = 8

C) –1

D) 1

E) 3

f tek ise f(–1) = –f(1) olmalıdır.

8 = –(3n + 4)









–12 = 3n









n = –4

f çift ise f(–1) = f(1) = 2 g (- 1) = 3 g tek ise 4 olmalıdır. g (1) = - 3

f(x) fonksiyonu çift, g(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.

f(–1) = 2

g(–1) = 3



h(x) = f(–x) + g(–x) + 2f(–x) . g(x)

h(–1) = f(–(–1)) + g(–(–1)) + 2 f(–(–1) . g(–1)

olduğuna göre, h(–1) kaçtır? A) –3

B) –1

C) 5

D) 7

E) 11





= f(1) + g(1) + 2f(1) . g(–1)





= 2 + (–3) + 2 . (2) . 3



42

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

= 11

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f(x) fonksiyonu y eksenine göre simetriktir.

f(x) = 2x2 + 5x – 4f(–x)

olduğuna göre, f(5) kaçtır? A) 7

B) 15

C) 20

D) 25

E) 35

f fonksiyonu y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur. Buna göre f(–x) = f(x) olmaldır. f(x) = 2x2 + 5x – 4f(–x)

⇒ f(x) = 2x2 + 5x – 4f(x)



⇒ 5f(x) = 2x2 + 5x



⇒ 5f(5) = 2 . 52 + 5 . 5



⇒ 5f(5) = 50 + 25



⇒ f(5) = 15

f : R → R ve a, b, c sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

f(x) = ax3 + bx2 + cx

olduğuna göre, f fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? y y y A) B) C)

x

O

x

O

y

D)

O

O

y

E)

x

x

O

x

f(x) = ax3 + bx2 + cx fonksiyonu x’in tek ve çift kuvvetlerini bulundurmaktadır. O halde f, ne tek, ne çift fonksiyon olmalıdır. Bu durumda grafik y eksenine göre veya orijine göre simetrik olmamalıdır. Bu duruma uygun tek seçenek “D” şıkkıdır.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

43

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y y=f(x)

-1

O

x

1

Şekilde grafiği ile verilen f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur. g(x) = f(3 – x) olduğuna göre, g(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

-1

x

O

-1

y

B)

O

1

y

D)

2

3 x

2

3 4

x

O

-1

1

x

y

E)

O

y

C)

3 O

2

4

x

f(x) tek ise, f(–x) = –f(x) olmalıdır. Bu durumda;

f(3 – x) = –f(x – 3) olacaktır.

o halde

g(x) = –f(x – 3) olur.

Yani f(x) fonksiyonu 3 birim sağa ötelenip, x eksenine göre simetriği alınmalıdır. Buna uygun seçenek E şıkkıdır.

Fonksiyonların Cebirsel Özellikleri

f:A→R



g:B→R

ve A ∩ B ≠ ∅ olsun. ► (f " g) : A ∩ B → R (f " g) (x) = f(x) " g(x)



► (f . g) : A ∩ B → R (f . g) (x) = f(x) . g(x)



► (f/g) : A ∩ B → R ve g(x) ≠ 0

(f/g)(x) = f(x) / g(x)

► k ∈ R ve k ≠ 0 için

(k . f) (x) = k . f(x)

44

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f : R → R ve g : R → R olmak üzere;

f(x) = x2 – 1



g(x) = x + 1

olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonları bulunuz.  (f + g) (x) =

(x2 – 1) + (x + 1) = x2 + x

 (f – g) (x) =

(x2 – 1) – (x + 1) = x2 – x – 2

 (f/g) (x)

=

x 2 - 1 (x - 1) (x + 1) = = x-1 x+1 x+1

 (2g) (x)

=

2(x + 1) = 2x + 2



f(x) = x + 1



g(x) = 2x – 2

olduğuna göre, A) 0

(f + g) (1) ifadesinin eşiti kaçtır? (f.g) (2) B) 1 C) 2 D) 3 3 3 2

E) 2

f(1) = 1 + 1 = 2 g(1) = 2 . 1 – 2 g(1) = 0 f(2) = 2 + 1 = 3 g(2) = 2 . 2 – 2 = 2 (f + g) (1) (f.g) (2)

=

f (1) + g (1) (f2) .g (2)



f(x) = x + 1



g(x) = 2x

=

2+0 2 1 = = 3.2 6 3

olduğuna göre, (3f – g)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) –x+3

B) 5–x

3f (x) - g (x) = ? 3f (x) = 3 (x + 1) = 3x + 3

C) x+3

D) x+5

E) x+6

4 (3x + 3) – (2x) = x + 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

45

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f sabit fonksiyon olduğuna göre f(x) = a olsun. Bu durumda

f sabit, g birim fonksiyon olmak üzere,



(2f + g) (3) = 11

olmalıdır. g birim fonksiyonda g(x) = x

olduğuna göre, f(6) kaçtır? A) 4

B) 7

C) 8

D) 11

olmalı yani g(3) = 3 olacaktır.

E) 14



B) 0

f (x) - g (x) 4 f f (- x) + g (- x)

C) 1 tek

fonksiyon

ise

f(–x)

=

–f(x)

E) 3 g

çift

g(–x) = g(x) olmalıdır. f (x) - g (x)

f (x) - g (x)



&



f : {(1, 3), (2, 5), (3, –2)}



g : {(1, 2), (3, –1), (4, 5)}

- f (x) + g (x)

=

- 8f (x) - g (x)B

=-1

olduğuna göre, (g – 2f) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) {(1, 4), (2, –10), (3, –5)} B) {(1, –1), (3, –3), (4, 8)} C) {(1, –4), (3, 3)} D) {(1, 4), (3, –5)} E) {(2, –8), (3, –3), (4, 1)} (g – 2f) ⇒ g (x) - 2f (x) 144424443 Dikkat edilirse g ve f fonksiyonlarının içine aynı x değerleri yazılmalıdır. Verilen bilgiye göre x = 1 ve x = 3 değerleri her iki fonksiyon

için ortaktır. O halde;

x = 1 için g(1) –2f(1) = 2 – 2 . 3 = 2 – 6 = –4; (1, –4) x = 3 için g(3) – 2f(3) = (–1) – 2 . (–2) = –1 + 4 = 3; (3, 3) (g – 2f): {(1, –4) (3, 3)}

46

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

2a + 3 = 11



2a = 8



D) 2

fonksiyon

ise

(2f + g)(3) = 11 ⇒ 2f(3) + g(3) = 11





f tek, g çift fonksiyon ve f(x) ≠ g (x) olmak üzere, (f - g) (x) (f + g) (- x) ifadesinin eşiti kaçtır? A) –1

f(3) = a ve 2f(3) = 2a







a = 4 yani

f(x) = 4 dolayısıyla f(6) = 4 olur.

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

f(x) = 2x – 3



g : {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}



olduğuna göre, c A) 2



2f + g m (3) kaçtır? g

B) 7

C) 8

D) 11

E) 14

2f (3) + g (3) f (3) = 2.3 - 3 = 6 - 3 = 3 2.3 + 6 12 & 4 6 = 6 =2 g (3) g (3) = 6

2.

f(x) = 2x + 4



olduğuna göre, f(2x) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) f(x) – 2

B) f(x) + 2

C) 2f(x)

D) 2f(x) – 4

E) 2f(x) + 2



f(x) = 2x + 4

f(2x) = 2.(2x) + 4



f(x) – 4 = 2x … ▀



bulunan f(2x) fonksiyonunda “ ▀ “ yerine f(x) – 4 yazılırsa





f(2x) = 2(f(x) – 4) + 4





f(2x) = 2f(x) – 4 olur.



3.

f(x) = x + 1 x+ 2



olduğuna göre, f(2x) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

2f (x) + 2 2f (x) - 1



B)

2f (x) + 4 2f (x) + 1

4f (x) + 2 f (x) + 5

D)



x+1 = xf(x) + 2f(x) = x + 1 x+2 xf(x) – x = 1 – 2f(x)





E)

C)

4f (x) + 2 2f (x) + 1

3f (x) - 1 2f (x)

f (x) =



x(f(x) – 1) = 1 – 2f(x)



x =

1 - 2f (x)

f (x) - 1 Diğer taraftan; 2x + 1 1 - 2f (x) yazılırsa; f (2x) = 3 Bulunan f(2x) fonksiyonunda x yerine 2x + 2 f (x) - 1 f (2x) =

2. f 2f

1 - 2f (x) f (x) - 1

p+ 1

f (x) - 1

p+ 2

1 - 2f (x)

2 - 4f (x)

=

f (x) - 1 2 - 4f (x) f (x) - 1

1 - 3f (x)

+1 = +2

f (x) - 1 - 2f (x)

f (x) - 1

=

3f (x) - 1 2f (x)

= f (2x)

bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

47

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM 4.

f(x) = 2x+1



olduğuna göre, f(3x) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)

[f(x)]3





D)

B)

6f (x)@2 9

6f (x)@3 2

C)





E)

6f (x)@3 4

6f (x)@3 8



f:A→B



g:B→C

olmak üzere A kümesindeki elemanları C kümesinin elemanları ile f ve g fonksiyonları yardımıyla eşleyen, tanımlanmış yeni fonksiyonlara bileşke fonksiyon denir. “gof” ile gösterilir. A

B

f

g

C

y = f(x)

x

gof(x)

gof(x) = g(f(x) x f

)

f(x g

g(f(x)) = gof(x)

► Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

(gof)(x) ≠ (fog)(x)

► Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.



f(x) = 2x – 1



g(x) = x2 – 1

fo(goh) (x) = (fog) oh(x)

fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (fog)(x), (gof)(x) ve (fogof)(x) fonksiyonlarını bulunuz. fog(x) = f(g(x)) f(x2

– 1) = 2 .

(x2



– 1) – 1

= 2x2 – 3





48

f(x) = 2x . 2 ⇒ 2x =



f(3x) = 23x + 1 = 23x



f(3x) = (2x)3 . 2 olur.



Bulunan ifadede 2x yerine



Fonksiyonlarda Bileşke

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

gof(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)2 – 1 = 4x2 – 4x + 1 – 1 = 4x2 – 4x

f (x) 'dir. 2 .2



(2 x) 3 .2 = e



3

f (x) yazılırsa; 2

f (x) f3 (x) .2 o .2 = 2 8

f ( 3x) =

(f (x)) 3 olur. 4

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM



f(x) = x2 + 2x



g(x) = x – 6

fonksiyonları için (gof)(2) kaçtır? A) 2

B) 4

gof (2) = g (f (2))

C) 6

D) 8

E) 10

4 g (8) = 8 - 6 = 2

f (2) = 2 2 + 2.2 = 8

3g (x) - 2 6g (x) + 5 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

(fog)(x) =

A) 1 4 f (g (x)) =

B) 4 17

D) 8 E) 12 7 7

C) 8 17

3g (x) - 2 3x - 2 3.2 - 2 4 & f (x) = = 4 f (2) = 6x + 5 6.2 + 5 17 6g (x) + 5



(fog)(x) = 3g(x) + 1



(gof)(x) = 2f(x) + 5

olduğuna göre, f(2) – g(–3) kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

f (g (x)) = 3g (x) + 1 & f (x) = 3x + 1

D) 8

E) 9

f (2) = 3.2 + 1 = 7

4

g (f (x)) = 2f (x) + 5 & g (x) = 2x + 5 olur. g (- 3) = 2. (- 3) + 5 = - 1



f(2) – g(–3) = 7 – (–1) = 8



f(x) = 2x + 5



g(x) = 3x – 1

olduğuna göre, (fog)(1) + (gof)(0) kaçtır? A) 17

B) 23







g(1) = 3 . 1 – 1 = 2



f(0) = 2 . 0 + 5 = 5



f(2) = 2 . 2 + 5 = 9



g(5) =3 . 5 – 1 = 14

C) 26

D) 31

E) 34

(fog)(1) + (gof)(0) ⇒ f(g(1)) + g(f(0))

⇒ f(2) + g(5)



⇒ 9 + 14 = 23

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

49

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM



f(x) = x + 5



g(2x – 1) = 1 – x

olduğuna göre, (fog)(1) kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

_ b b g (2x - 1) = 1 - x, (fog) (1) = f (g (1)` b g (1) = 0 b a f (g (1)) = f (0). f (0) = 0 + 5 = 5



g(x) = x – 2



(gof)(x) = 2x – 1

E) 6

x = 1 için;

olur.

olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x+1

B) 2x

g(f(x)) = f(x) – 2 ve









f(x) = 3x + 2



g(x) = 4x + a



C) 2x–1

D) 2x+3

E) 4–2x

g(f(x)) = 2x – 1 ise

f(x) – 2 = 2x – 1 f(x) = 2x + 1 olur.

fonksiyonları veriliyor.

(fog)(x) = (gof)(x)

olduğuna göre, a kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

f(g(x)) = g(f(x)) f(4x + a) = g(3x + 2) 3(4x + a) + 2 = 4 . (3x + 2) + a ⇒ 12x + 3a + 2 = 12x + 8 + a

3a + 2 = 8 + a



2a = 6



a = 3 olur.



50







10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM



(fof)(x) = 4x + 9

olduğuna göre, f(1) kaç olabilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Bileşke fonksiyon 1. dereceden yani doğrusal olduğuna göre f doğrusal fonksiyondur. bu durumda fonksiyon f(x) = ax + b biçiminde olmalı.

f(f(x)) = a . (f(x)) + b = a . (ax + b) + b = a2x + ab + b = a2x + ab + b = 4x + 9

a2 = 4 olmalı bu durumda a = 2 veya a = –2 ⇒ a = 2 için;

4x + 2b + b = 4x + 9

























f(x) = 2 . 1 + 3= 5 olur.













b = 3 bulunur.

yani f(x) = 2x + 3 olur.

y

y 6 f(x) -1 O

3

5

g(x) x

-2

4

O

x

-1

Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, (fog)(4) – (gof)(5) ifadesinin eşiti kaçtır? A) 3

g(4) = 0



f(5) = 0

B) 5

C) 6

D) 7

f(g(4)) – g(f(5)) ⇒

E) 8

f(0) – g(0) } 6 – (–1) = 7

f(0) = 6 g(0) = – 1

y 4 2

f(x) 1 2 4

-4

-1

O

x

-1 -4

şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, ( fofofo...of (1) ) kaçtır? 1 44 2 44 3 198 tan e

A) –4

B) –1

C) 0

D) 2

E) 4

f (1) = 0 _b b f (0) = 2 b b fofofo … fofof(1) ⇒ f (2) = - 1 ` 5 b f (- 1) = 4 b b f (4) = - 4 b a

tan e

f (- 4) = 0 _b b f (0) = 2 b f (2) = - 1 bb ` 5 tan e f (- 1) = 4 b b f (4) = - 4 b b f (- 4) = 0 b a ifade her 5 işlem sonunda baştaki değerini almaktadır. O halde 198 fonksiyonunun bileşkesinde 198’in 5 ile bölümünden kalan 3 olduğu için son üç fonksiyonu göz önüne alabiliriz. Dikkat edilerse üçüncü basamak sonunda –1 elde edilmiş o halde sonuç –1 dir.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

51

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna

f(x)

8

göre, (fofof)(1) kaçtır?

4 2

-2

O

A) 0

1 2 4

x

B) 1







f(1) = 2

C) 2

D) 4

E) 8

fof(f(1)) ⇒ fof(2) = f(f(2)) ⇒ f(4) = 8

f(2) = 4



Bir Fonksiyonun Tersi f : A → B fonksiyonu birebir ve örten ise tersi vardır.

f(x) = y



f–1 : B → A



f–1(y) = x’dir.

► Farklı elemanların görüntüleri de farklı ise fonksiyon birebirdir. ► Bir fonksiyonun değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örtendir.

Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz. x+5 2

 f : R → R,

f(x) = 2x –5

f- 1 (x) =

 f : R → R,

f(2x) = 4x – 5

f (x) = 2x - 5

 f : R → R,

2x + 1 f(x) = 3x - 1 f- 1 (x) = 2 3

 f : R → R,

f(3x) = 6x + 4

 h : R – {4} → R – {2}

52

h(x) = 2x - 3 x- 4

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

f (x) = 2x + 4 h- 1 (x) =

4x - 3 x- 2

f- 1 (x) =

f- 1 (x) =

x+5 2

x- 4 2

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f : R → R olmak üzere,

f(2x – 1) = x + 4

olduğuna göre, f–1(7) kaçtır? A) 5

B) 6

C) 7

f(2x – 1) = x + 4 ise

D) 8

E) 11

f–1(x + 4) = 2x – 1 olur.

f–1(7) için x + 4 = 7









x = 3 olmalıdır.

f–1(7)

= 2 . 3 – 1 = 5

f : R → R olmak üzere,

f(x) = 52x – 3

olduğuna göre, f–1(125) kaçtır? A) 0 f(x) =

B) 1 52x – 3

ise



(52x–3)

f–1(125)



C) 2 f–1





D) 3

E) 4

= x olur.

için 52x–3 = 53

2x – 3 = 3 ⇒ x = 3 olmalıdır.

f–1(125) = 3 bulunur.



f(x) = 3x + c ve f–1(6) = 9 4 olduğuna göre, c kaçtır?



A) –3

B) 4

C) 6

D) 9

E) 18

D) 3

E) 4

f–1(6) = 9 ise f(9) = 6 olmalıdır. 3.9 + c 3.9 + c 27 + c f(9) = & & =6 4 4 4

27 + c = 24





c = –3 olur.



f(x2 + 3x) = 4x2 + 12x + 5

olduğuna göre, f–1(5) kaçtır? A) 0

B) 1

C) 2

f(x2 + 3x) = 4(x2 + 3x) + 5 f(x) = 4x + 5 ise f–1(4x + 5) = x olur. f–1(5) için 4x + 5 = 5



x = 0 o halde

f–1(5) = 0

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

53

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

f ( x) = x - m mx + 2



ve

f- 1(2) = 1

olduğuna göre, m kaçtır? B) – 5 2

A) –3

C) –1

D) 1

E) 2

D) 1

E) 3

f(x) = y ise f–1(y) = x olduğundan f–1(2) = 1 ise f(1) = 2 olur. 1-m f (1) = = 2 & 1 – m = 2m + 4 m+2 –3 = 3m

m = –1 olur.

f ve g R → R’ye tanımlı iki fonksiyon olmak üzere,

(fog)(x) = 3g(x) + 4

olduğuna göre, f–1(–5) kaçtır? A) –3

B) –1

C) 0

fog(x) = f(g(x)) = 3g(x) + 4 ise



f(x) = 3x + 4’tür. ⇒ f–1(3x + 4) = x ve f–1(–5) için, 3x + 4 = –5

















3x = –9 x = –3 olmalı

f–1(–5) = –3 f–1 (2x + 1) = g(x – 3)



olduğuna göre, (fog)(4) kaçtır? A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 15

f–1(2x + 1) = g(x – 3) f(g(x – 3)) = 2x +1 ⇒ fog(4) = f(g(4))









f(g(x – 3)) ifadesinde x – 3 = 4 için x=7 yazılmalı f(g(4)) = 2 . 7 + 1 = 15

f(x) = x2 – 3



olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? A)

x- 3

B)

x + 3

C)

x+ 3

D)

3 - x E)

3x

f(x) = x2 – 3 fonksiyonunda x’i yalnız bırakmalıyız.



y = x2 – 3



y + 3 = x2

y + 3 = x ⇒ burada x yerine y, y yerine x yazıldığında oluşan yeni fonksiyon f–1(x) fonksiyonu olur.



54

x + 3 = y & f- 1 (x) =

x + 3 ’tür.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM



f(x) = x2 + 6x + 11

olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? A)

x - 2 - 3 B)

x - 2 + 3 C)

x - 3 + 2

D)

x - 3 - 2 E)

x+ 2- 3

f(x) = x2 + 6x + 11 fonksiyonunda x’i yalnız bırakabilmek için ifadeyi tam kareli

hale çevirmeliyiz.

f(x) = (x2 + 6x + 9) + 2 ⇒ f(x) = (x + 3)2 + 2 ⇒ y = (x + 3)2 + 2

⇒ y – 2 = (x + 3)2 ⇒ ⇒

y-2 = x + 3

y-2 – 3 = x

⇒ y =

f–1(x) =

x > –9 ve f(x) =

x - 2 – 3 yani

x - 2 – 3 olur.

x+ 9+ 4

olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 8x + 16

B) x2 – 8x + 9

C) x2 – 8x + 7

D) x2 + 8x +7 f(x) = y =

E) x2 – 8x

x+9+4

x+9 + 4

y – 4 =

 (y – 4)2 = x + 9 x+9 ⇒ ⇒ y2 – 8y + 16 – 9 = x

⇒ x2 – 8x + 7 = y yani f–1(x) = x2 – 8x + 7 olur.

f ve g reel sayılarda tanımlı fonksiyonlar olmak üzere,

f(x) = x + 1



(g–1of)(x) = 2x – 2

olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 2 2

B) 2x – 4

C) x + 4 4

D) x + 4 E) x - 1 2 2

g–1(f(x)) = 2x – 2 ise, g–1(x + 1) = 2x – 2’dir. Burada x yerine x – 1 yazılırsa g–1(x) fonksiyonu elde edilir. g–1(x – 1 + 1) = 2(x – 1) –2 ⇒ g–1(x) = 2x – 4, (g–1)–1 = g olacağından x+4 g(x) = bulunur. 2

(fog)–1(x) = (g–1of–1)(x) (fof–1)(x) = I         I : birim fonksiyon

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

55

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM



f(x) = 2x – 4



g(x – 1) = 2x + c ve (fog)–1(6) = 2

olduğuna göre, c kaçtır? A) –3

B) –1

C) 0

D) 2

E) 3 _ f(6 + c) = 6

(fog)–1(6) = 2 ise (fog)(2) = 6 olur. ⇒ f(g(2)) = 6 b b

g(x – 1) fonksiyonunda x = 3 için;





g(3 – 1) = 2 . 3 + c





g(2) = 6 + c olur.



(fof–1)(x) = (a – 3) x2 + (a – b)x + b + c

b f(6 + c) = 2(6 + c) – 4 = 6 b ` ⇒ 12 + 2c – 4 = 6 b b b ⇒ 8 + 2c = 6 b a



⇒ c = –1 bulunur.

olduğuna göre, a + b + c değeri kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

_ b b Bu durumda; 2 (a - 3) x + (a - b) x + b + c = x b b Z \ \ b+c = 0 a- 3 = 0 ` a + b + c = 3 + 2 + (–2) a- b = 1 2+c = 0 b a= 3 3- b = 1 b c=-2 = 3 bulunur. b= 2 b b a

fof–1(x) =x olduğundan,

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

3

Buna göre,

2 -3 -2

1 O 1 -1 -2

A) –1

2

B) 0

f- 1 (2) + f (f (0)) f- 1 (3) + f (3)

56

3

=

f- 1(2) + (fof) (0) ifadesinin eşiti kaçtır? f- 1(3) + f (3)

x

C) 1

0 + f (2) 3 = = 1 olur. 2+1 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 2

E) 3

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(1) + f–1(1) toplamı kaçtır?

2 O

x

2

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

x ve y eksenlerini kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi; x y + = 1 & x+y = 2 2 2 y = 2-x yani f(x) = 2 – x olur. f (1) = 2 - 1 = 1 f

-1

(x) = 2 - x & f

-1

(1) = 2 - 1 = 1

4 f (1) + f

-1

(1) = 1 + 1 = 2

y

bulunur.

g(x)

6

2 -4

-2

x

-1

2

4 f(x)

-2

Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, f–1og(4) değeri kaçtır ? A) –4

B) –2

C) 0

D) 2

E) 4

f-1og(4) = f-1(g(4)) ve g(4) = 6’dır. f–1(6) ⇒ fonksiyonun görüntüsünün 6 olduğu yer x = –4 olduğundan f–1og(4) = -4 olur.

y

Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. Buna

4

göre,

3 g(x)

2

3 -4

1

2

-2

A) –3

(fog) (1) + g- 1(- 2) değeri kaçtır? f (- 4) + g (2)

f (g (1)) + g- 1 (- 2) f (- 4) + g (2)

x

=

4 f (0) + 0 = =2 0+2 2

olur.

f(x)

B) –2

C) 1

D) 2

E) 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

57

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre (fof)(x–1) = –2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı -1

1

O

x

3

kaçtır?

f(x) -2

A) 0

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

f(f(x-1) = –2 ⇒ f fonksiyonun -2 olması x'in “O” olmasıyla mümkündür. O halde f(x - 1) = 0 olmalı. Grafikte görüleceği üzere f(–1) = 0, f(1) = 0 ve f(3) = 0’dır. O halde

x – 1 = –1

x – 1 = 1 ve x – 1 = 3



x = 0

x = 2

x = 4 olmalıdır. 0 + 2 + 4 = 6 bulunur.

y = f–1(x) fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. y y=f(x) y=x y=f -1(x)

a

-b

O

b

x

-a

y 2

g(x) y=x

Şekilde f ve g fonksiyonları verilmiştir. f(x)

1 O

A)

3 2

1

B)

Buna göre, (fog) ( 3 ) kaçtır?

x

2

3

C) 2 3

D) 3 3 E) 3 3 2

fog( 3 ) ⇒ grafik incelenirse f ve g fonksiyonları y = x doğrusuna göre simetriktir. Yani f ve g fonksiyonları birbirlerinin tersidir. Ayrıca bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir. Yani fof–1(x) = x olur. Buradan fog( 3 ) =

58

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

3 olmalıdır.

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

x liraya alınan bir ürün y liraya satılmaktadır. x ile y arasında y = 5x – 220 bağıntısı bulunduğuna göre 60 liraya alınan bir ürünün satışından kaç lira kâr elde edilir? A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

Kar = satış – alış Kar = y – x f(x) = (5x – 220) – x ⇒ f(x) = 4x – 220







f(60) = 4 . 60 – 220









= 240 – 220









= 20 olur. Şekilde bir su deposundaki su miktarının zamana bağlı değişimini belirleyen y = 100 - 4x fonksiyonunun grafiği verilx+ 2 miştir. Buna göre, kaçıncı dakikadan sonra su miktarı 5

y (litre) 100

O

x dakika

25

A) 8

B) 9

litrenin altına düşer?

C) 10

100 - 4x Depodaki suyun 5 lt olduğu an; 5 = x+2

D) 12

E) 14

5x + 10 = 100 – 4x 9x = 90 x = 10

yani 10. dakikadan sonra su miktarı 5 lt'nin altına düşer.

Sıcaklık (C°)

Şekilde hava sıcaklığının saat 18:00’den sonra zamana

2k

bağlı değişimi gösterilmektedir. Buna göre, hava sıcaklığı 0°C olduğunda saat kaçtır?

5

O

A) 02:00

3

2k

Geçen süre (saat)

B) 04:00

C) 05:00

D) 06:00

E) 08:00

Fonksiyon eksenleri kestiği noktalar bilindiğinden denklemi yazılabilir. x y ⇒ =1 + 2k 2k ⇒ x + y = 2k

⇒ y = 2k – x olur. Ayrıca fonksiyon (3, 5) noktasından geçtiğinden bu nokta fonksiyonun denklemini sağlamalıdır.



⇒ 5 = 2k – 3



⇒ 8 = 2k

hava sıcaklığının 0 °C olduğu an 2k anıdır. 8 saat sonra 0°C olmuştur. Saat 18:00’dan itibaren 8 saat geçerse saat 02:00 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

59

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

Faiz oranı (%)

O

Şekilde bir bankanın uyguladığı yıllık basit faiz oranını belirleyen y = 75 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, 10 bin lirax nın 3. yıl getirdiği faiz miktarı 5. yıl getirdiği faiz miktarından ne kadar fazladır?

Zaman

A) 1.000

B) 1.500

C) 2.500

D) 3.000

Fonksiyonda

y = faiz oranı



x = zaman olarak verilmiştir.





E) 4.500

O halde öncelikle geçen süreye göre değişen faiz oranı belirlenmelidir. 3.yılda ki faiz oranı; y =

75 = %25 3

5.yılda ki faiz oranı; y =

75 = %15 5

A

_ b b b ` b b b a

25 = 2.500 ¨ 100 15 = 1.500 ¨ 10.000’nın 5. yıl faizi; 10.000. 100 2.500 – 1.500 = 1000 ¨ olur.

10.000’nın 3. yıl faizi; 10.000.

Şekilde verilen kaplar A ve B muslukları yardımıyla doldurulacaktır. I. kabın yarı yüksekliğinde bulunan B musluğu II. kabı doldurmakta ve II. kap dolduğu anda kapatılmaktadır.

B

Buna göre I. kaptaki su yüksekliğinin zamana bağlı değişimini gösteren grafiği çiziniz. I. Kap

II. Kap

Yükseklik

Zaman

0



Grafikler Bir fonksiyon y = 0 olmasını sağlayan noktalarda x eksenini, x = 0 olmasını sağlayan noktalarda da ise y eksenini keser. f(a) = 0 ve f(b) = 0

y

a → çift katlı kök

c

b → tek katlı kök a

60

O

b

x

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y

Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonu için; a) Fonksiyonun eksenleri kesitiği noktaları belirleyiniz.

4

b) Fonksiyonun pozitif değerlere sahip olduğu aralıkları 3

-3 O

x

2

belirleyiniz. c) Fonksiyonun negatif değerlere sahip olduğu aralıkları

-1

y = f(x)

belirleyiniz.

a) Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar;



x = –3, x = 2 ve x = 3



noktalarıdır.

b) Fonsiyonun pozitif değerlere sahip olduğu aralık fonksiyon grafiğinin x ekseni üzerinde kalan kısmıdır. (–3, 2) aralığında grafik pozitif değerlere sahiptir. c) Fonksiyonun negatif değerlere sahip olduğu aralık fonksiyon grafiğinin x ekseni altında kalan kısmıdır. (–∞, –3) ve (2, değerlere sahiptir.

∞) aralığında grafik negatif

► f, [a, b] aralığında tanımlı bir fonksiyon ve x1 ile x2 bu aralıktaki herhangi iki nokta olsun 1. x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f artan 2. x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f azalan fonksiyondur.

y

2

1 -3

-2

-1 O

-3

4

2 3

x

y = f(x)

-4

Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

⇒ Fonksiyonun yukarı doğru ilerlediği aralıklar artan olduğu aralıklardır.



(–∞, –2) ∪ (1, 3)

⇒ Fonksiyonun aşağı doğru ilerlediği aralıklar azalan olduğu aralıklardır.



(–2, 1) ∪ (3,

∞) 10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

61

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

Fonksiyonun

tanımlı

olduğu

aralıkta

daima azalan olması fonksiyonun bu ara-

f : [a, b] → R

lıkta negatif yada pozitif değerlere sahip

fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta daima azalan bir fonksiyondur.

olduğu ile ilgili bilgi vermez, aynı şekilde

Buna göre, a < x < b için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) f(x) = 0

B) f(x) > 0

C) f(x) < 0

D) f(a) = f(b)

E) f(x) < f(a)

sıfıra da eşit olabilir veya olmayabilir. Uç değerlerin eşit olup olmadığıyla da ilgili bir sonuca varılmaz. Dolayısıyla A, B, C ve D şıklarıyla ilgili kesin kanıya varılamaz.

y

Ancak fonksiyon azalansa a < x iken f(x) < f(a) olmalıdır.

-11

1

-8 -3 -1

3 5

O

x

8

y=f(x)

Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f(2) < f(4)

B) f(–12) > f(–9)

C) f(–10) > f(–9)

D) f(6) > f(9)

E) f(7) < f(8)

A ⇒ grafikten görüleceği üzere f(2) < 0, f(4) > 0 olduğundan f(2) < f(4) doğrudur. f (- 12) > 0 B ⇒ 4 olduğundan f(–12) > f(–9) doğrudur. f (- 9) < 0 C ⇒ Fonksiyon x = –10 ve x = –9 noktalarında azalandır. Dolayısıyla bu aralıkta x değerleri küçüldükçe y değerleri büyür. O halde f(–10) > f > (–9) doğrudur. f (6) > 0 D ⇒ 4 olduğundan f(6) > f(9) doğrudur. f (9) < 0 E ⇒ Fonksiyon x = 7 ve x = 8 noktalarında azalandır. Bu aralıkta 7 < 8 iken f(7) > f(8) olmalıydı. Yanlıştır.

A ⇒ f(–2) > 0, f(1) < 0 olduğundan, f(–2) . f(1) < 0

y

olur. Doğrudur. B ⇒ f(4) = 0 olduğundan f(4) . f(–2) = 0 olur.

y=f(x) -3

-2

-1

O

2

4

6

Doğrudur.

x

C ⇒ f(7) > 0, f(5) < 0 olduğundan, f(7) . f(5) < 0 olur. Doğrudur. D ⇒ f(–4) < 0, f(–3) = 0 olduğundan, f(–4) . f(–3) = 0

Yukarıda verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

olmalıydı. Yanlıştır.

A) f(–2) . f(1) < 0

E ⇒ f(–1) = 0 olduğundan f(–1) . f(0) olur.

B) f(4) . f(–2) = 0 D) f(–4) . f(–3) < 0

62

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

C) f(7) . f(5) < 0 E) f(–1) . f(0) = 0

Doğrudur.

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

A ⇒ Fonksiyonun x = 0 için gerçek bir görüntüsü yoktur. Y ekseninde y

∞ ’a

yaklaş-

maktadır. Dolayısıyla x = 0 da tanımlı değil. Doğru.

B ⇒ (–∞ , 0) aralığında x değerleri büyü-

x

O

dükçe y değerlerinde artmaktadır. Fonksiyon

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

bu aralıkta artandır. Doğru.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima yanlıştır?

C ⇒ (0,

A) Fonksiyon x = 0’da tanımlı değildir.

∞ ) aralığında x değerleri büyüdükçe

y değerleri azalmaktadır. Fonksiyon bu ara-

B) Fonksiyon (–∞, 0) aralığında artandır.

lıkta azalandır. Doğru.

C) Fonksiyon (0, ∞) aralığında azalandır.

D) ⇒ (0,

D) f(3) < f(1)

∞)

aralığında fonksiyon azalan

olduğundan f(3) < f(1) olur. Doğru.

E) f(–3) < f(–5)

E) ⇒ (0, –∞ ) aralığında fonksiyon artan

olduğundan f(–5) < f(–3) olmalıydı. Yanlış. y

y=f(x)

y

4

-2

O

y=g(x)

2

2 x

4

-3 -1

-6 -5 -4

O

2

x

-3

Şekilde f ve g fonksiyonları verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) (fog)(2) = 0

B) (fog)(3) > 0 D) (fog)(–2) > 0

C) (fog)(–3) > 0 E) (fog)(1) = 0

A ⇒ f(g(2)) = f(4) = 0 doğru. B ⇒ f(g(3)) fonksiyonunda g(3) için foksiyon (0, 4) aralığında değer almaktadır. (0, 4) aralığında f fonksiyonu ise pozitif değerlere sahiptir. Doğru. C ⇒ f(g(–3)) = f(–3) ve f(–3) > 0 olduğundan doğru. D ⇒ f(g(–2)) g(–2) için foksiyon (–3, 0) aralığında değer almaktadır. (–3, 0) aralığında f fonksiyonu ise pozitif değerlere sahiptir. Doğru.

E ⇒ f(g(1)) = 0 olması için g(1) = 2 olmalıdır. g fonksiyonu x = –5 için 2 değerini aldığında yanlıştır.

► Bir fonksiyonun verilen aralıkta aldığı en büyük değere fonksiyonun maksimumu, en küçük değere fonksiyonun minimumu denir.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

63

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

y 5 4 3 -10

1

-5 -4 -8

O

-7 -6

2

6 3

4

x

5

-1 -2

y=f(x)

-3 -4

Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?  [–10, 6] aralığında fonksiyonun maksimum değeri 5 tir. fonksiyon verilen aralıkta maksimum 5 değerini almaktadır. Doğru



 [–10, 6] aralığında fonksiyonun minimum değeri –4’tür. fonksiyon verilen aralıkta minimum – 4 değerini almaktadır. Doğru



 [–5, 2] aralığında fonksiyonun maksimum değeri 3’tür. fonksiyon verilen aralıkta maksimum 3 değerini almaktadır. Doğru



 [–7, 3] aralığında fonksiyonun minimum değeri –1’dir. fonksiyon verilen aralıkta minimum –4 değerini almaktadır. Yanlış



 [0, 5] aralığında fonksiyonun x = 4 apsisli noktada maksimumu vardır. Fonksiyonun verilen aralıkta maksimum değeri 4’tür. Bu değeride x = 4 noktasında olmaktadır. Doğru.



 [–6, 6] aralığında fonksiyon minimum değerini x = –5 apsisli noktada alır. Fonksiyonun verilen aralıkta minimum değeri –4’tür ve bu değeri



x = 2’de alır. Yanlış A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Ortalama Değişim Hızı y f(b)

► ortalama değişim oran

∆y





f(a) ∆x a

b

Oy 'tir. Ox

Oy f (b) - f (a) Ox = b - a

x

► Geometrik olarak ortalama değişim oranı bir kirişin eğimidir.

64

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM

Bakteri sayısı

Şekildeki grafikte 25 günlük bir laboratuvar deneyinde bakteri topluluğunun büyüme hızı gösterilmiştir. Buna

650

göre bu topluluğun 15. günden 25. güne ortalama

600

büyüme hızı kaçtır?

350 100 10

15

A) 10

20

Gün

25

B) 20

C) 25

D) 30

Ty f (25) - f (15) 650 - 350 300 = = = = 30 Tx 25 - 15 25 - 15 10

E) 40

bulunur.

DEĞERLENDİRME SORULARI 1.

f ve g gerçel sayılarda tanımlı iki fonksiyon olmak üzere aşağıda f ve g fonksiyonlarının grafikleri veriliştir. y

y

f fonksiyonun grafiği x = 2’de “V” şeklinde

f(x)

g(x)

2

1

O

2

x

4

O

1

x

2

olduğundan denklemi;



f(x) = |x – 2|’dir.

g fonksiyonunun grafiği x = 1’de “V” şeklinde olduğundan denklemi;

Buna göre, (f–g)(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y

A)

y

B)

2

2 1

1 2 3

O

-1

x

y

C)

O

34

x

1

O 12

-1

-1

5





g(x) = |x – 1|’dir.





(f – g) (x) = |x – 2| – |x – 1| olur.



Bu yeni fonksiyon için mutlak değerli fonksiyonlar için bazı özel durumlardan grafik

x

ya da

Ayrıca

şeklinde olmalıdır.

fonksiyonun

mutlak

değerleri-

nin kökleri x = 1 ve x = 2’dir. Yani y

D) 1

-1

ler alacaktır. Bu koşullara uygun seçenek

1 2

O 1

x < 1 ve x > 2 için fonksiyonun sabit değer-

y

E)

x

-2 O 1

x

D şıkkıdır.

-1



10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

65

Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları

3. BÖLÜM 2.

|x| – |y| ≤ 3

bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?



y

A)

B)

3

y

3

değerli

li

durumlarda

özel

fonksiyonlar

ile

bahsedildiği

ilgiüzere

|x| – |y| = k bağıntısının grafiği

y

C)

M utlak

y -3

x

3

O

3

O

-3

x

-3

O

x

3

–k

-3

O

k

x

-3 y

D)



y

E)

3 -3

x

3

O

şeklindedir. Soruda |x| – |y| ≤ 3 bağıntısı verildiğinden grafiğin iç bölgesi taranmalıdır. Buna uygun seçenek D şıkkıdır.

x

O -3



3.

|x . y| = 26

bağıntısınıın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?



y

A)

y

B)

O

x

x

O

y

D)

x

O

y

E)

x

O

y

C)

x

O

y

y

O

x

x < 0, y < 0 x . y = 26 26 y= x

3x - 1 f (x) = ) 2 x -1

4.

O

x

x > 0, y > 0 x . y = 26 26 y= x

y

O

x < 0, y > 0 -xy = 26 26 y= -x

y

x

O

x > 0, y < 0 -xy = 26 26 y= -x

66

B) 3

x

O

x

O halde grafik; yukarıdaki gibi olmalıdır.

fof(f(1)) ve 1 < 2 olduğundan f(1) = 3 . 1 – 1 = 2

x 0 y>0

III. BÖLGE (-, -) x –2 olur.

k < 4 olur.

k'nın alacağı değerler -2 < k < 4 aralığında olup –1, 0, 1, 2, 3 değerlerini alır. Dik koordinat sisteminde A(a, b) noktası II. bölgede ise B(a . b, a ) noktası hangi b bölgededir? A) I

B) II

C) III

D) IV

E) x ekseninde

–1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 olur.

A(a, b) II. bölgede ise; ↓ ↓ – + olur. B(a . b,

↓ ↓ Dik koordinat sisteminde II. bölgede olan, x eksenine uzaklığı 3 birim ve y eksenine uzaklığı 5 birim olan nokta aşağıdakilerden hangisidir? A) (–3, 5)

B) (–5, 3)

C) (–5, –3)

D) (–3, –5)

E) (3, 5)

a

b

)

-.+ –/+ B(–, –) olur ve III. bölgededir.

II. bölgede işaretler (–, +) olur. X – eksenine uzaklığı 3 birim ise ordinatı –3 tür. 4

Y – eksenine uzaklığı 5 birim ise opsisi –5 tir.

Nokta(–5, 3) olur.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık y B

y2 A

y1 0

   |AB|=

x1

x2

x

(x 2 - x1) 2 + (y 2 - y1) 2 dir.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

71

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Dik koordinat sisteminde A(2, 4) ile B(5, 8) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 2 2

B)

10

C) 4

(5 - 2) 2 + (8 - 4) 2 =

9 + 16 =

D) 3 2

E) 5

25 = 5 olur.

(2 - 4) 2 + (- 3 - k) 2 = 2 5 her iki tarafın karesi alınırsa

Dik koordinat sisteminde A(2, –3) ile B(4, k) noktaları arasındaki uzaklık 2 5 birim ise k’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –7

B) –6

C) 1

D) 6

4 + (–3 –k)2 = 20 olur. ((–3 –k)2 = 16 –3 –k = 4 veya –3 –k = –4, k = –7 veya k = 1 olur.

E) 7

Alacağı değerler toplamı

y

–7 + 1 = –6 olur.

A B x

O

C

D

Yukarıdaki dik koordinat sistemine göre |AC| + |BD| toplamı kaç birimdir? A) 13

B) 17

C) 20

D) 23

E) 25

A(5, 5) B(–5, 2) C(–3, –1) D(7, –3) |AC| =

(- 3 - 5) 2 + (- 1 - 5) 2 =

|BD| =

(7 + 5) 2 + (- 3 - 2) 2 =

64 + 36 =

100 = 10 olur.

144 + 25

169 = 13 olur |AC| + |BD| = 10 + 13 = 23 olur.

Bir Noktanın Orijine Uzaklığı y



A(x1,y1)

y1

2 2 x1 + y1

|OA|=

x1

O

x

(- 2) 2 + 3 2 = Dik koordinat sisteminde A(–2, 3) noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir? A) 1

72

B)

5

C) 2 2

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D)

10

E)

13

13 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

BİR DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORDİNATLARI Uç noktaları A(x1, y1) ile B(x2, y2) olan doğru par-

y

çasının orta noktası C(x0, y0) ise;

B

y2 y0

x1 + x 2 2

x0 =

C A

y1

x1

O

x0

x2

x



y1 + y 2 2

y0 =

Dik koordinat sisteminde uç noktaları A(–3, 7) ve B(5, 9) olan doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir? A) (1, 16)

B) (1, 8)

C) (2, 16)

D) (–1, 8)

E) (2, 2)

e

-3+5 7+9 , o = ^1, 8h olur. 2 2

Dik koordinat sisteminde A(3, m) ve B(n, 9) noktaları veriliyor. [AB]’nin orta noktası 3 + n =-1 2 C(–1, 8) ise m + n toplamı kaçtır? 3+n =-2 A) –3 B) –1 C) 2 D) 5 E) 7 n = - 5 olur.

m+9 =8 2 m + 9 = 16 m= 7

m+n =-5+7 m + n = 2 olur.

Dik koordinat sisteminde A(3, 2), B(–1, –5) ve C(5, –3) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir? A) 4 2

B) 6

C)

37

A(3, 2)

D) 2 10

E) 8

D noktası [BC]'nin orta noktası olur. -1+5 -5- 3 , o 2 2 D(2, –4) olur. De

B(–1,–5) |AD| =

C(5,–3)

D

(3 - 2) 2 + (2 + 4) 2 =

1 + 36 =

37 olur.

y 7

A

A(1, 7) B(5, 3)

C

O

C noktası [AB] nin orta noktası olur.

B

3 1

5



x

Yukarıdaki dik koordinat sisteminde |AC| = |BC| olduğuna göre, |OC| kaç birimdir?

Ce

1+5 7+3 , o ve C (3, 5) 2 2

|OC| =

32 + 52 =

9 + 25 =

34 olur.

(C∈[AB]) A) 3 3

B)

34

C) 6

D) 8

E) 6 2

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

73

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

C orta nokta olur.

Analitik düzlemde

y A

A(0, 6)

Ce

|OC| =

0+8 6+0 , o ve C (4, 3) olur. 2 2 42 + 32 =

16 + 9 =

25 = 5 olur.

B(8, 0)

C

|AC| = |BC| (C∈[AB]) O

x

B

Yukarıdaki verilere göre, |OC| kaç birimdir? A) 3

B)

10

C) 3 2

D) 5

E) 2 7

Paralelkenarın Köşe Koordinatları A(x1, y1)

B(x2, y2)



x0 =

x1 + x3 x 2 + x 4 = 2 2



y1 + y 3 y 2 + y 4 = 2 2

O(x0, y0)



D(x4, y4)

y0 =

C(x3, y3)

Köşe koordinatları A(–3, 5), B(4, 1), C(5, –1) ve D(m, n) olan ABCD paralelkenarında m + n toplamı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

Karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı birbirine, ordinatları toplamı birbirine eşittir.

A(–3, 5)

D(m, n)

B(4, 1)

C(5, –1)

–3 + 5 = 4 + m



5 – 1 = 1 + n

m + n = –2 + 3 = 1 olur.

m = –2 olur.



n = 3 olur.



x1 + x3 = x2 + x4 = –3’olur. y1 + y3 = y2 + y4 = 7 olur.

Köşegenlerin kesişim noktası K(–3, 7) noktası olan ABCD paralelkenarının tüm köşe koordinatlarının toplamı kaçtır? A) 4

74

B) 8

C) 12

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 16

E) 20

x1 + x2 + x3 + x4 + y1 + y2 + y3 + y4

= –3 – 3 + 7 + 7 = 8 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

y

F y

2 α

Analitik düzlemde

B

7

ABCD bir kare

q

α 2

C

α

q D

5

C

2

x

E

7

x

D

B

A

5

C(7, 2)

A

5 q

3

3

3

AOD, DEC ve AFB eş üçgenlerdir. α ve θ Yukarıdaki verilere göre, B noktasının koordinatları nedir? A) (6, 5)

B) (6, 4)

C) (5, 3)

nın karşısındaki kenarlar aynı olacağından;

D) (5, 6)

E) (5, 7)

B’nin koordinatları (5, 7) olur.

BİR DOĞRU PARÇASINI BELLİ ORANDA BÖLEN NOKTANIN KOORDİNATLARI İçten Bölme A(x1, y1)

C(x0, y0)

B(x2, y2)

[AB]’yi k oranında içten bölen C(x0, y0) noktası olsun,

x0 =

x1 + k.x 2 1+k



y0 =

AC =k BC

(k ! R)

y 1 + k.y 2 1+k

A(3, –1), B(9, –4) ve C∈[AB] olmak üzere, 2|AC| = |BC| olacak şekilde C(x0, y0) noktasının koordinatları nedir? A) (7, –2) A

B) (6, 0) k

(3,–1)

C 3 azalmış

C) (5, –3) 2k

D) (5, –2)

E) (6, –3)

2 AC = BC 3k’da 6 artarsa 0 0 k’da 2 artar (9,–4) 2k k Apsis = 3 + 2 = 5 olur. B

6 artmış

AC

BC

BC = 3k olur.

Ordinat = –1 –1 = –2 olur. C noktası (5, –2) bulunur.



A(1, 12)

2k’da 2 artar

AC 2 = 3 BC

olacak şekilde C(x0, y0) noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 8

10 azalmış

5k’da 5 artarsa

A(1, 12), B(6, 2) ve C∈[AB] olmak üzere,

B) 10

C) 11

D) 12

E) 14

2 ise 3

AC = 2k,

3k’da 3 azalırsa k’da 1 azalır.



=

C

B(6, 2)

5 artmış

5k’da 10 azalırsa 2k’da 4 azalır

Apsis = 1 + 2 = 3 olur. Ordinat = 12 – 4 = 8 olur. 3 + 8 = 11

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

75

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

D noktası orta nokta olduğundan

Analitik düzlemde

A(5, 1)

D

. k

A(5, 1)

E

3+5 -1+1 , o 2 2

. 3k

?

B(3, –1)

2 artmış

C(2, 1)

D(4,0)

k

C(2, 1)

|AD| = |BD|

B(3, -1)

den, D (4, 0) olur.

3 CD = DE

AB ∩ CE = {D} C

De

1 azalmış

3|CD| = |DE| Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordinatları nedir? A) (8, –1)

B) (10, –3)

C) (10, 5)

D) (7, –2)

E) (5, –3)

Dıştan Bölme A(x1, y1)

B(x2, y2)

[AB]’yi k oranında dıştan bölen C(x0, y0) noktası olsun

x0 =

x1 - kx 2 1-k





y0 =

AC =k BC

y bileşeni

k’da 2 artmış

k’da 1 azalmış

x = 2 + 8

y = 1 – 4

C) (–4, 8)

y = –3 olur.

E noktası E(10, –3) olur.

(k ! R)

y1 - ky 2 1-k

AC A(–1, 3), B(–3, 7) ve = 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal C(x0, y0) noktasının BC koordinatları nedir? B) (–5, 10)

4k’da 4 azalır

4k’da 8 artar

AC

A) (–4, 9)

D) (–5, 9)

E) (–5,12)

BC

=

3 1

AC = 3k

(–1, 3)

x bileşeni

y bileşeni

2k’da 2 azalmış

2k’da 4 artar

A(1, –4), B(3, –2) ve 3|AC| = 5|BC| olacak şekilde dışarıdaki doğrusal C(x0, y0) nokta- x = –1–3 = –4 olur.

sının orijine uzaklığı kaç birimdir? 37

B) 6

C)

3 AC = 5 BC

0 5k alınır.

0 3k

34

D) 4 2 E)

2 artmış (1, –4)

(3, –2)

(x, y)

2 artmış

y bileşeni

x bileşeni

2k’da 2 artmış 5k’da 5 artar y = –4 + 5

2k’da 2 artmış 5k’da 5 artar x = 1 + 5 x = 6 olur.

y = 1

C(6, 1) bulunur. orjine uzaklığı =

76

6 2 + 1 2

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

=

37 bulunur.

30

(–3, 7) (x, y)

BC = k olur.

3k’da 3 azalır

A)

E(x, y)

?

x bileşeni

x = 10 olur.

C(x0, y0)

3k

3k’da 6 artar y = 3 + 6 = 9 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

A(3, m), B(6, n) ve 2|AB| = |AC| olacak şekilde dışarıdaki doğrusal C(x0, y0) noktasının apsisinin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 3

B) 4

A(3, m)

C) 5

D) 6

B(6, n) k

C

|AB| = k

B noktası orta nokta

|AC| = 2k x0 = 9

k A(3, m)

C(-3,?)

E) 7

B(6, n)

|AB|=t

x0=3 olur. Toplamları

|AC|=2t 9 + (–3) = 6 olur. 2t

t

ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ A(x1, y1)

ABC üçgeninin köşe koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) olmak üzere, G(x0, y0) ağırlık merkezi ise;

G(x0, y0)

B(x2, y2)

x0 =

x1 + x 2 + x3 3



y1 + y 2 + y 3 3

C(x3, y3)

y0 =

Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(2, –1), B(3, 4) ve C(a, b) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları G(3, 0) ise a + b toplamı kaçtır? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

-1+4+b =0 3

2+3+a =3 3 5+a = 9

3+b = 9

a = 4 olur

b = - 3 olur

a + b =4 – 3 A(5, -1)

a + b = 1 olur.

Analitik düzlemde G üçgenin ağırlık merkezi A(5, –1) B(2, 4)

G

C(8, 3)

B(2, 4)

C(8, 3)

Yukarıdaki verilere göre, |BG| kaç birimdir? A) 3

B)

10

C) 2 3

5+2+8 -1+4+3 Ge , o 3 3 G (5, 2) olur.

D)

13

E) 4

BG =

(5 - 2) 2 + (2 - 4) 2

BG =

9+4

BG =

13 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

77

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

A

Analitik düzlemde

A

2k

ABC bir dik üçgen G, ağırlık merkezi

G

k

AB ⊥ AC

G

B(6, 8) B(6, 8)

C(–3, –4)

C(-3, -4)

Yukarıdaki verilere göre, |AG| kaç birimdir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

ÜÇGENİN ALANI x2 y1 x 1 x x3 y2 2 x3 x y + 1 3 x1 a

A(x1, y1)

y1 x1 y2 y2 x2 y3 y3 y 1 + x3 y1 b

G noktası D’ye birleştirilirse

A = 90° ve G ağırlık

[AD] kenarortay olduğundan

merkezi olduğundan,

|BD| = |DC| olur.

|BD| = |DC| = |AD| olur.

|BC| =

(6 + 3) 2 + (8 + 4) 2

|BC| =

9 2 + 12 2

15 |AG| = 2k 2 |GD| = k olacağından

|BC| =

81 + 144

3k =

|BC| =

225



C) 6

15 2

k =

5 2

5 2 |AG| = 5 olur. |AG| = 2.

D) 13 2

2 –3 4

–12

E) 7

1

A(ABC) =

5 –2

5 –4

birim karedir? B) 11 2

|AD| =

|AG| = 2k

A (ABC) = 1 . a - b 2

Köşelerinin koordinatları A(2, –3), B(4, 1) ve C(5, –2) olan ABC üçgenin alanı kaç A) 5

C(-3, -4)

|BC| = 15 olur.



B(x2, y2) C(x3, y3)

D

B(6, 8)

1 . - 21 - (- 11) 2

1 2 = . - 21 + 11 2 –3 2 –8

–11

–15 1 = .10 2 –21



= 5 bulunur.

Kenarlarının orta noktaları D(4, 1), E(–2, 3) ve F(–1, 3) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

A

E) 12

D

karedir?

2k

35

–10

2k+25

–5 k

7

-5

B) 14 2

C) 15

D) 16

5 2 2

–25

1 1 A (ABC) = 2k - 11 - 2k - 25 & .36 = 18 bulunur. 2 2 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

–2 –2 –3 –1

E

12

B

3 3 1

C

F

S=

4

1

7

S

S

2k

14

2k-11

78

E) 18

4

S S

Köşelerinin koordinatları A(–5, 2), B(k, 5) ve C(7, 2) olan üçgenin alanı kaç birim A) 12

3

A (DEF) = 5

1 1 . 5-7 & S = 2 2 2

S = 1 bulunur. 3

A (ABC) =4S olduğundan



= 4 .1



= 4 bulunur.

12

–6 –1 5

Analitik Geometri

4. BÖLÜM EĞİM

Bir doğrunun Ox ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersi) yaptığı açıya eğim açısı; eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi denir ve “m” ile gösterilir. d1 doğrusunun m1 = tana > 0

y d2

d2 doğrusunun m2 = tan b < 0

d1

30°

45°

0

3 3

1

tan

β

α

0°

x

O



60° 3

90° ∞

tana = –tan (180° – a)

İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun

y B

y2

eğimi;

A

y1

α x1

O

tana = mAB =

y 2 - y1 x 2 - x1

x

x2

Analitik düzlemde A(5, 2) ile B(4, –3) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? B) - 1 5

A) –5

C) 1 5

D) 3

E) 5

2 - (- 3) 5 = = 5 olur. 5-4 1

Analitik düzlemde A(2, k) ile B(3, 5) noktalarından geçen doğru Ox ekseniyle pozitif yönde 45° lik açı yaptığına göre, k kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

Eğim = tan45 = 1 olur. ►

A

B

k-5 =1 2-3

D) 6

E) 7

k - 5 = - 1 k = 4 olur.

Herhangi iki noktada bulunan eğimler eşit olacağından;

C

Üç nokta doğrusal (lineer) ise mAB = mBC = mAC

Analitik düzlemde A(–1, 3), B(4, 2) ve C(2, k) noktaları doğrusal ise k kaçtır? A) 1 2

B) 3 5

A, B ve C noktaları doğrusal olduğundan

C) 4 3

D) 12 E) 7 5 2

2-3 k-2 olur. = 4 - (- 1) 2 - 4

-1 k- 2 = 5 -2 5k – 10 = 2 5k = 12 k =

12 olur. 5

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

79

Analitik Geometri

4. BÖLÜM Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi A) y = mx + n tipi doğrularda eğim x’in katsayısıdır. B) ax + by + c = 0 tipi doğrularda eğim - a dir. b

Aşağıdaki denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz. I. y = 2x + 3

III. x = 2y –4

1 .......) 2

(......2.......)



II. y = x – 3 2

1 .......) 2



IV. 3x – y + 7 = 0 (......3.......)

(......

(......

V. 2y – 5x + 2 =0 (...... I = 2

5 .......) 2

VI. x – y + 1 = 0

III : 1/2

II = 1 / 2

(......1.......)

V: 5/2

IV : 3

VI: 1

Grafiği Bilinen Doğruların Eğimi y

y

Örnek: d

Örnek:

y

d d 7 3

α

x

O

tan a = md

O

md = ......



4

x

-7 ....... 4

-5

O

md = ......

x

3 ....... 5

DOĞRU DENKLEMİ BULMA 1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi m=

y - y1 olup buradan; x - x1

B(x, y) A(x1, y1)



tana = mAB =

y – y1 = m . (x – x1)

Analitik düzlemde A(–3, 5) noktasından geçen ve eğimi 5 olan doğrunun denklemi nedir?

y – 5 = 5 . (x + 3)

A) x = 5y + 20

B) x = 5y + 15 D) y = 5x – 12

80

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

C) y = 5x –20 E) y = 5x + 20

y = 5x + 20 olur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Analitik düzlemde A(4, –2) noktasından geçen ve Ox ekseniyle 135° lik açı yapan

m = tan135 = –1 olur.

doğrunun denklemi nedir?

y + 2 = –1 . (x – 4)

A) x – y – 6 = 0

B) x + y – 2 = 0 D) x – y – 2 = 0

C) x + y +2 = 0 E) x + y + 6 = 0

y = –x + 2 y + x – 2 = 0 olur.

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi Önce A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi bulunur. Sonra A ve B noktalarından biri seçilerek, eğimi ve bir noktası B(x2, y2)

bilinen doğrunun denklemini bulma şeklinde denklem bulunur.

A(x1, y1)

Analitik düzlemde A(3, –6) ile B(5, –4) noktalarından geçen doğrunun denklemi nedir? A) x + y – 9 = 0

B) x + y + 9 = 0 D) x – y – 9 = 0

C) x + y – 7 = 0 E) x – y – 7 = 0

m =

-4+6 2 = =1 5-3 2

y + 6 = 1 . (x – 3) y =x – 9 x – y – 9 = 0 olur.

► Doğru üzerinde bulunan noktalar doğrunun denklemini sağlar.

Analitik düzlemde A(5, –2) noktası 2x – y + c = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, c kaçtır? A) 6

B) –4

C) –8

D) –10

E) –12

2 . 5 – (–2) + c = 0 12 + c = 0 c = –12

3. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi y d B(0,b)

A(a,0) O

x

x y + =1 a b

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

81

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

x y =1 + 4 -3 (4)

y

d

(- 3)

4x - 3y =1 - 12

B(0,4)

A(-3,0)

4x – 3y = –12

x

O

4x – 3y + 12 = 0 olur.

Analitik düzlemde d doğrusunun denklemi nedir? A) 4x + 3y + 12 = 0

B) 4x – 3y – 12 = 0

C) 3x – 4y + 12 = 0

D) 4x – 3y + 12 = 0



E) 3x + 4y – 12 = 0

ÖZEL DOĞRU DENKLEMLERİ 1. x Eksenine Dik Doğru Denklemi y

► Eğimi ∞ dur.

d:x=a

► Üzerindeki bütün noktaların apsisi a’dır. ► Oy eksenine paraleldir.

O

A(a, 0)

x

2. y Eksenine Dik Doğru Denklemi ► Eğimi sıfırdır.

y A(0, b)

d:y=b

► Üzerindeki bütün noktaların ordinatı b’dir. ► Ox eksenine paraleldir.

x

O

3. Orijinden Geçen Doğruların Denklemi y

y y = -x (II. açıortay)

y = x (I. açıortay)

d : y = mx

O

82

x

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

45° 45° 45° 45° O

x

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

Analitik düzlemde |x| = 2 ile |y| = 3 doğrularının arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 6

B) 12

C) 18

|x| = 2 ise x = 2 veya x = –2 dir.

D) 24

E) 36

|y| = 3 ise y = 3 veya y = –3 tür. y 3

4 br

y = 3

–2

2

6 br

x

–3

y = –3

y = –2

6 br

4 br

x = 2

Alan = 6 . 4 = 24 br2 olur. y – bileşeninden geçer. y = 5 olur. Analitik düzlemde A(3, 5) noktasından geçen,

x – bileşeninden geçer. x = 3 olur.

a) Ox eksenine paralel olan

y = mx biçimdedir.

b) Oy eksenine paralel olan

. 5

c) Orijinden geçen

. 3

Denklemi y =

doğru denklemleri nelerdir?

5 x olur. 3 A(3,2) nok-

y d

ABCD bir kare

y d A

2

B(5, 2)

B

D

C

B) y = 2 x 3

D

2

x

Dik koordinat sisteminde orijinden ve A noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? A) y = 3 x 2

3

C) y = 5 x 2

Denklem y =

B (5,

2) tası orijinden

2

2 O

O

2

A

C

x

5

geçen y = mx doğru su üzerindedir. 2 = 3m ve 2 m = olur. 3

2 x olur. 3

D) y = 2 x E) y = 3 x 5 5

Denklemi Verilen Bir Doğrunun Grafiğinin Çizilmesi Bir doğrunun grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktaları bulmak yeterlidir. Bunun için denk-

lemde x’e sıfır verilerek y eksenini kestiği nokta, y’ye sıfır verilerek x eksenini kestiği nokta bulunur. x = 0 için 4y – 24 = 0 y = 6 y = 0 için 3x – 24 = 0 x = 8

y

6

8

3x + 4y – 24 = 0

denklemi ile verilen doğrunun eksenlerle arasında kalan alan kaç birim karedir? A) 12

B) 18

C) 24

D) 36

E) 48

Dik üçgenin alanı

x

6.8 = 24 olur. 2

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

83

Analitik Geometri

4. BÖLÜM İki Doğrunun Kesişme Noktası

d1 : a1x + b1y + c1 = 0 ile d2 : a2x + b2y + c2 = 0

y d2

doğrularının kesişim noktasının koordinatları; a1x + b1y + c1 = 0 4 denklem sisteminin çözüa2 x + b2 y + c2 = 0

d1 P

müdür. x

O

2x – y – 8 = 0 x + y– 7 = 0

3x – 15 = 0

2x – y – 8 = 0 ve x + y –7 = 0

doğrularının kesiştikleri noktanın koordinatları nedir? A) (4, 0)

B) (2, –7)

C) (5, 2)

D) (4, 3)

x = 5 olur. İkinci denklemde;

E) (6, 1)

x = 5 için

5 + y – 7 = 0



y = 2 olur.





Kesim noktası (5, 2) olur. y y=x 5 P

O

x 3

d2 : Şekildeki verilenlere göre P noktasının apsisi kaçtır? A) 3 5

C) 13 7

B) 2

D) 15 8

E) 3

x y + = 1 ve 5x + 3y = 15 olur. 3 5

d1 : y = x eşitliği d2’de yerine yazılırsa

5x + 3x = 15 ⇒ 8x = 15, x =

Analitik düzlemde, 2x + y – 10 = 0 ile y = 3x doğruları 5x – y + c = 0 doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, c kaçtır? A) –4

B) –2

2x + y – 10 = 0 y = 3x

84

_ b b b b b ` b b b b b a

C) 1

D) 3

_ b b b 2x + 3x – 10 = 0 b y = 3x olduğundan b `y = 3 . 2 5x – 10 = 0 b b 5x = 10 by = 6 b b x = 2 a Ortak çözülürse

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

E) 6

_ b b b b b ` b b b b b a

(2, 6) noktası 5x – y + c = 0 doğrusu üzerinde olduğundan denklemi sağlar. 5 . 2 – 6 + c =0 4 + c = 0

c = –4

15 olur. 8

Analitik Geometri

4. BÖLÜM İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları 1. Paralel Olma Durumu: y

d1 : a1x + b1y + c1 = 0

d1

d2 : a2x + b2y + c2 = 0

d2 α

α

x

O

► Paralel doğruların eğimleri eşittir. c b1 a = 1 ► a1 = c2 b 2 2

k- 1 1 = k+ 2 2

Analitik düzlemde;

d1: (k – 1) x + y + 5 = 0



d2: (k + 2) x + 2y – 7 = 0

2k – 2 = k + 2 k = 4 olur.

d1 ile d2 doğruları paralel ise k kaçtır? A) –1

B) 2

D) 7 2

C) 3

E) 4

Analitik düzlemde A(–1, 5) noktasından geçen ve x – 3y + 2 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir? A) x + 3y –4 = 0

B) 3x – y + 8 = 0

D) 3x + y – 2 = 0

C) x – 3y + 16 = 0 E) x – 3y – 12 = 0

1 olur. 3 paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan 1 A(–1, 5) noktasından geçen ve eğimi m = 3 olan doğru denklemi yazılır. x – 3y + 2 = 0 doğrusunun m =

ABCD bir paralelkenar

1 . (x + 1) 3 3y – 15 = x + 1

A(2, 3)



y – 5 = A(2, 3)

B

⇒ x – 3y + 16 = 0 olur.

C(5, 1) D(4, –1) D(4, -1)

C(5, 1)

Dik koordinat sisteminde ABCD paralelkenarının A ve B köşesinden geçen doğrunun denklemi nedir? A) 2x – y – 5 = 0

B) 2x + y – 7 = 0 D) x – 2y + 4 = 0

AB // DC olduğundan eğimleri eşittir.

C) 2x – y – 1 = 0 E) x + 2y – 8 = 0

A(2, 3) noktasından geçen ve mAB = 2

mAB = mDC 1+1 mDC = = 2 olur. 5-4

olan doğru denklemi

mAB = mDC olduğundan

2x – y – 1 = 0 olur.

y – 3 = 2.(x – 2) y – 3 = 2x – 4

mAB = 2 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

85

Analitik Geometri

4. BÖLÜM 2. Çakışık Olma Durumu d1: a1x + b1y + c1 = 0 d2: a2 x + b2 y + c2 = 0

4 denklemleriyle verilen doğrular çakışık (aynı doğruyu belirtiyor) ise,



b1

a1 a2 =

b2

=

c1 c2 3 1 a+2 = =6 2 b-1 a+2 1 ⇒ 2a + 4 = –6 =6 2 2a = –10

Analitik düzlemde,

d1 : (a + 2)x + 3y – 1 = 0



d2 : 6x + (b – 1)y + 2 =0



doğruları veriliyor. d1 ile d2 doğruları çakışık ise a + b kaçtır? A) –10

B) –5

C) 0

D) 5

E) 10

3

a = –5 1 ⇒ –b + 1 = 6 =2 b-1 b = –5 a + b = –10 bulunur.

3. Tek Noktada Kesişme Durumu d1: a1x + b1y + c1 = 0 4 d2: a2 x + b2 y + c2 = 0

denklemleriyle verilen doğruların bir noktada kesişebilmesi için

paralel olmaması gerekir. Dolayısıyla;

a1 ! a2

b1

b2

Özel Durum: İki doğru dik kesişiyorsa;

d1 ⊥ d2 ⇔

m1 . m2 = –1

m1 . m2 = –1 a-1 2 . =-1 2 3 a – 1 = –3

Analitik düzlemde,

d1 : (a – 1)x – 2y + 3 = 0



d2 : 2x – 3y + 7 = 0

a = –2 bulunur.

d1 ⊥ d2 olduğuna göre, a kaçtır? A) –2

B) –1

C) 1

D) 2

Kesişen İki Doğrunun Arasındaki Açı y d2

d1

α O

86

x

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

tana =

m1 - m 2 1 + m1 .m 2

E) 3

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

2x – 3y + 2 = 0 doğrusunun eğimi; m1 = Analitik düzlemde 2x – 3y + 2 = 0 ile x + 5y – 1 = 0 denklemleriyle verilen doğruların arasındaki dar açı kaç derecedir? A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E) 75

P(x1, y1)

|PH| =

a.x1 + b.y1 + c

tanα =

1 olur. 5

m1 - m 2 ile bulunur. 1 + m1 .m 2

tanα = 1 olur.

a2 + b2



x + 5y – 1 = 0 doğrusunun eğimi; m2 = -

2 1 - c- m 5 3 tanα = 2 1 1 + . c- m 3 5

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı



2 olur. 3

tan45° = 1 olduğundan α = 45° bulunur. d: ax + by + c = 0

H

Analitik düzlemde A(3, –2) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 denklemiyle verilen doğruya 3.3 - 2. (- 4) + 3

uzaklığı kaç birimdir? B) 2 2

A) 2

C) 3

D) 4

E) 5

2

3 +4

2

=

9+8+3 25

=

20 = 4 olur. 5

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık A

d1 : ax + by + c1 =0 d // d ise 1 2

d2 : ax + by + c2 =0

B



|AB| =

c1 - c 2

a2 + b2

Analitik düzlemde;

d1 : 2x – y + 1 = 0



d2 : 4x – 2y – 18 = 0

doğruları veriliyor. d1 ile d2 doğrusu arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 2 3

B) 4

C) 3 2

D) 2 5

E) 5

Öncelikli olarak paralel doğruların katsayıları eşit hale getirilir. d1 doğrusu 2 ile çarpılır.

d1: 4x - 2y + 2 = 0 d 2: 4x - 2y - 18 = 0

4

olur.

Doğrular arasındaki uzaklık c1 - c 2

a2 + b2

&

10 5

=

= 5

2 - (- 18) 4 2 + (- 2) 2 10 2 5 5

=

20 20

=

20 10 2 5

= 2 5 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

87

Analitik Geometri

4. BÖLÜM

DEĞERLENDİRME SORULARI

Nokta x– ekseni üzerinde olduğundan, C(x, 0) alınır. Ave B noktalarına eşit uzaklıkta ise

1.

Analitik düzlemde A(3, 2) ile B(–1, 4) noktalarına eşit uzaklıkta ve Ox ekseni üzerinde bulunan noktanın apsisi kaçtır? B) – 1 2

A) –1

2.

A

B



C



D

x

O

D) 1

x 2 - 6x + 9 + 4 = x 2 + 2x + 1 + 16

E) 2

- 6x + 13 = 2x + 17



|AB| = |BC|

(B∈[AC])

|CD| = |DE|

(D∈[CE])

|GF| = |FE|

(F∈[GE])

- 4 = 8x 1 - = x olur. 2

y B

A noktasının apsisi –1 E



C

G noktasının apsisi –3

–3 –1

F

G

1

O

Yukarıdaki verilere göre, D noktasının apsisi kaçtır? A) 3 2

B) 5 3 y

3.

2 D3

x

Orta noktalardan yararlanarak D noktaısnın apsisi 1+3 = 2 olur. 2

E

D) 5 2

C) 2

^x + 1h2 + ^0 - 4h2

(x - 3) 2 + (0 - 2) 2 =

A







C) 1 2

y

|AC| = |BC| dir.

E) 3

F

G

ABCO bir dikdörtgen

y

A(1, 3)

A

A B O

x O

C



4.

3

1

B

x

C

32 = 1 . x ( 9 = x bulunur.

A) (10, –3)

ABO , BCO dur.

B) (9, –3)

C) (9, –1)

D) (10, –1)

E) (8, –3)

Analitik düzlemde köşe koordinatları A(–2, 3), B(7, k) ve C(7, 3) üçgeninin alanı

B) 5

–2

3

7 7k –2 –6

3

21

7k+15

7

C) 6

k

3

D) 7

& –2k 21 42–2k

E) 8

1 . ^42 - 2kh - ^7k + 15 h = 18 2

& - 9k + 27 = 36

21

–9k+27=36 k = –1

k’nın alacağı değerler toplamı 6 dır.

88

x–1 9

Dik koordinat sisteminde verilenlere göre, C noktasının koordinatları nedir?

A) 4



3

–3

18 birim kare ise k’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?



1

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

–9k+27=–36 k = 7

3

3

eş üçgenlerden yararlanarak C(9, –3) bulunur.

Analitik Geometri

4. BÖLÜM 5.

Analitik düzlemde 13x – 17y + 1 = 0 ile 5x + 11y –1 = 0 doğrularının kesişim Doğruların kesim noktası için denklemler ortak çözülür. noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir? 13x – 17y + 1 = 0 3 x 5 x D) y = E) y = 5x A) y = 3x B) y = 2x C) y = 5x + 11y – 1 = 0 2 2

6.

Analitik düzlemde x + y –1 = 0 ile x +

3 y – 2 = 0 denklemleriyle verilen doğrular

B) 30

C) 45

D) 60

E)

75

7.

B

C







x

O



3

-x

= 1

3

eğimi -

3

2

+

.x + 1

2

3

3

, eğim açısı Q2 = 150° olur. 3 Doğrular arasındaki dar açı Q2 – Q1 = 150 – 135 = 15° bulunur.

A(0, 4)



3 .y y=-

d 1 ⊥ d2

A





Analitik düzlemde

d1

d2

6

y = –x + 1 eğimi –1, eğim açısı Q1 = 135° olur.

y

6

183 x

=

y = 3x orijinden geçen denklem elde edilir.

arasındaki dar açı kaç derecedir? A) 15

6y

18x – 6y = 0

C(8, 0)

Yukarıdaki verilere göre, d1 doğrusunun denklemi nedir? A) 2x – y – 4 = 0

B) 2x – y + 2 = 0

D) x – 2y – 4 = 0

4

A

B

–2

a

42 = a . 8 ⇒ 16 = 8a ⇒ a = 2 bulunur.

d1

d1 doğrusunun denklemi

4 O

E) x – 2y + 2 = 0

Dik üçgende öklit uygulanırsa

y d2

C) 2x – y + 4 = 0

C8

8

x y + =1 4 x -2 (- 2 )

- 2x + y = 1 & - 2x + y = 4 4 0 = 2x - y + 4

A

4 3 3030 4 3 h=6 60 B

A

8.

d1 : 3x - 4y + 2 = 0

Analitik düzlemde ABC bir eşkenar üçgen



C

d2 : 3x - 4y - 28 = 0

60

2 3 h = h = h =

B

d1 : 3x - 4y + 2 = 0

2 3 C C1 - C 2 2

a +b

Yukarıdaki verilere göre, A(ABC) kaç birim karedir? A) 6 3

B) 9 3

C) 12 3

D) 15 3 E) 18 3

=

30

2 - (- 28) 32 + 42

25 30 & h = 6 bulunur. 5

A(ABC) =

2

d2 : 3x - 4y - 28 = 0

4 2 3 .6 2

A(ABC) = 12 3 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

89

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM DÖRTGENLER VE ÖZELLİKLERİ

Tanım: Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D gibi dört noktanın birleştirilmesiyle oluşan [AB], [BC], [CD] ve [DA] doğru parçalarından oluşan kapalı şekle dörtgen denir. ► Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgenlere dışbükey (konveks) dörgen denir.

► Herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgenlere içbükey (konkav) dörgen denir.

A

A

D

B

C C Dışbükey (konveks) dörgen ..............................................................

B

D İçbükey (konkav) dörgen ..............................................................

► Bir dörtgenin komşu olmayan köşelerini birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Dışbükey Dörtgenlerin Özellikleri 1) Dışbükey bir dörtgenin iç açılarının toplamı 360° dir. B A B A

α

70° D

80°

E

b

ABCD bir dışbükey dörtgen

C

[AE] iç açıortay % m` ABCj = 90 ° % m`BCDj = 80 ° % m` ADCj = 70 °

B) 120

C) 130

D) 140

α

70° D

80°

E

C

2b + 70º + 80º + 90º = 360º b = 60º

% Yukarıdaki verilere göre, m` AECj = α kaç derecedir? A) 110

b

E) 150

a = b + 70º ( a = 130º

2) Dışbükey bir dörtgenin dış açılar toplamı 360° dir.

A

x

115° B E α

A 115°

F

95° D

ABCD bir dışbükey dörtgen % m`DAEj = 115 ° % m`BCFj = 80 ° % m` ADFj = 95 °

C

90

D 80° C

x = 80º bulunur.

% Yukarıdaki verilere göre, m (CBE) = α kaç derecedir? B) 105

95°

115º+85º+80º+x=360

80°

A) 100

F

B E α

C) 110

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 115

E) 120

a = 180º – x = a = 100º bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM 3)

A



B

A B

E x

x

E

D C

C

D



% % m( A ) + m( B ) 2

x=





x=

% % m( A ) - m( C ) 2



B

ABCD bir dışbükey dörtgen

A

[AE] ve [BE] iç açıortay % m` ADCj = 80 ° % m`BCDj = 70 °

α E

80° 70°

D

C

% Yukarıdaki verilere göre, m` AEBj = α kaç derecedir? A) 65

B) 75

A

C) 80

D) 85

E) 90

% % m ( D ) + m ( C ) 80 + 70 = = 75 ° olur. 2 2

ABCD bir dışbükey dörtgen

B

120°

[DE] ve [BE] iç açıortay % m`DABj = 120 ° % m`DEBj = 155 °

155° E D α

% m (DEK) = 180 - 155 = 25 olur.

C

% Yukarıdaki verilere göre, m`DCBj = α kaç derecedir? A) 50

α =

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

25 =

% % 120 - α m( A ) - m( C ) & 25 = 2 2

50 = 120 – α α = 120 – 50 4)

α = 70° olur.

E B x

A



x=

% % m( A ) + m( B ) - 90 ° 2

D

C

F

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

91

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

E B α

A

25°

ABCD bir dışbükey dörtgen [DE] iç açıortay

150°

[CE] dış açıortay % m (BAD) = 150 ° % m (DEC) = 25 °

D

C

α + 150 - 90 = 25 2 α + 150 = 115 2 α + 150 = 230

F

% Yukarıdaki verilere göre, m (ABC) = a kaç derecedir? A) 50

B) 60

5)

C) 70

D) 80

E) 90

A

E

α = 80° bulunur.

B

D F



C

x=

% % m( C ) - m( A ) 2

x K

D

A

60°

E

ABCD bir dışbükey dörtgen

140° C

B

D

180-2y

[DK] ve [BK] dış açıortay % m`DCBj = 140 ° % m`EAFj = 60 °

α K

E

A

60°

y y

140° C 180-2x B

F

α K

x

x F

% Yukarıdaki verilere göre, m`DKBj = a kaç derecedir? A) 25

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

60 + 140 + 180 – 2x + 180 – 2y = 360 200 – 2x – 2y = 0 200 = 2x + 2y

6)



A b

100 = x + y

A

bulunur.

B

α + x + y = 140 ° olduğundan Z

a a c

b

D d

100

α = 140 – 100

c

D

α = 40° bulunur.

d C

B

6AC@ = 6BD@ ise



a2 + c2 = b2 + d2

6AE@ = 6BC@ ise

a2 + c2 = b2 + d2

92

E

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

C

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

x2 + 42 = 62 + 82 x2 + 16 = 100 A 6 B x

ABCD bir dışbükey dörtgen

x2 = 84

[AC] ⊥ [BD]

x =

|BC| = 4 cm

x = 2 21

84

|AB| = 6 cm

4

|DC| = 8 cm

D 8

C

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 2 14

B) 2 15

C) 6 2

A

D) 2 21

E) 3 10

ABC bir üçgen [AE] ⊥ [BC]

10 y

x2 – y2 = 144 – 100

x2 + y 2 = 52

–

y2

= 44



|AC| = 12 cm

x

x2 – y 2 = 44

x2

|AB| = 10 cm

12

D

x2 + 102 = y2 + 122

E

C

x2 = 48 x = 4 3 olur.

|DC| = x B

2x2 = 96

|BD| = y x2 + y2 = 52

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 2 7

B) 4 2

C) 6

A

12

D

4

B

E

D) 2 10

E) 4 3

ABC bir dik üçgen

|DC|2 + 102 = 122 + 42

[AB] ⊥ [BC]

|DC|2 + 100 = 160

|DE| = 4 cm

|DC|2 = 60

|AE| = 10 cm

|DC| =

|AC| = 12 cm

|DC| = 2 15 bulunur.

60

C

Yukarıdaki verilere göre, |DC| kaç cm dir? A) 4 2

7.

B) 6

C)

A B



E

38

|BD| = f



E) 2 15

[AC] ve [BD] köşegenler % m`BECj = α |AC| = e

α

D) 4 3



A(ABCD) =

1 .e.f. sin α 2

D C

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

93

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A



ABCD bir içbükey dörtgen



[AC] ve [BD] köşegenler % m` AEBj = α

C

α

1 . BD . AC . sin α 2

D

E

B

A(ABCD) =

ABCD bir dışbükey dörtgen

A

=

[AC] ve [BD] köşegenler % m` AEBj = 120 °

|AC| = 4 3 cm

1 3 . 4 3 .8. 2 2 = 8.3

|BD| = 8 cm

2 = 24cm

B

120° E D

A(ABCD) =

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 18

B) 24

8)

C) 28

A



E) 36

[AC] ve [BD] köşegenler

s1

s1, s2, s3 ve s4 üçgenlerin alanları olmak üzere

s2

s4

D) 32

ABCD bir dışbükey dörtgen

D

E

S1 . S3 = S2 . S4

s3 B

C

ABCD bir dışbükey dörtgen

A

[AC] ve [BD] köşegenler

B 9 E

A(AEB) = 9 cm2 12

A(BEC) = 12 cm2 A(DEC) = 8 cm2

8 C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 32

B) 35

C) 39

S . 12 = 9 . 8 12 . S = 72 S = 6 cm2 bulunur. A(ABCD) = 9 + 12 + 8 + 6

94

1 .4 3 .8. sin 120 2

= 35 cm2 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 42

E) 45

bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM 9.

ABCD bir dışbükey dörtgen

A



|AC| = e

L

K

|BD| = f B

D M

N



K, L, M ve N bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere,

A(KLMN) =

C

► ABCD bir dışbükey dörtgen ise KLMN bir

Çevre (KLMN) =

paralelkenardır.

► [AC] ⊥ [BD] ise KLMN bir

dikdörtgendir.

10.

s1

K

|AC| + |BD|

karedir. ABCD bir dışbükey dörtgen

A





dörtgendir.

► |AC| = |BD| ise KLMN bir

► |AC| = |BD| ve [AC] ⊥ [BD] ise KLMN bir

A (ABCD) 2

K, L, M ve N kenar orta noktalarıdır.

L

s2

D

s4

N

B

S1 + S2 + S3 + S4 = A(KLMN) ve

M

s3

S1 . S3 = S2 . S4 olur. =

C

1 3 .6 2 = 3.10

A(ABCD) =

A

ABCD bir dışbükey dörtgen

K B E

N

[AC] ve [BD] köşegenler

A(KLMN) =

|AC| = 6 2 cm M

D

C



|BD| = 10 cm



Yukarıdaki verilere göre, A(KLMN) kaç cm2 dir? A) 15

B) 18

C) 24

A L 6

B

K M

4 N

C

B) 38

2

2

A (ABCD) olduğundan 2

30 2 = 15 cm2 olur.

=

E) 36

ABCD bir dışbükey dörtgen

L noktası M noktasına birleştirilir.

K, L, M ve N kenar orta noktaları

S . 4 = 6 . 8

A(AKL) = 6 cm2

4 . S = 48 S = 12cm2 olur.

A(DKN) = 4 cm2

A(KLMN) = 6 + 4 + 8 + 12

A(CNM) = 8 cm2

8

D

D) 30

2 .10.

2 = 30cm olur.

K, L, M ve N kenar orta noktaları % m`BECj = 45 °

45° L

A) 36

1 .6 2 .10. sin 45 2

Yukarıdaki verilere göre, A(BMNKL) kaç cm2 dir? C) 40

D) 42

E) 48

A(KLMN) = 30cm2 olur. A(BMNKL) = 30 + 12

= 42 cm2 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

95

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A

ABCD bir dörtgen E

[EF] // [GH]

G D

B x

6

H

F

3|DG| = |DA| |AE| = |EB| |EF| = 6 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, |GH| = x kaç cm dir? A) 1

B) 2

C) 3

2k

E

k

E) 5

|EF| orta taban olduğundan taban |AC| = 12

G

12

x =4

D

D) 4

A noktası C noktasına birleştirilir.

A

H

olur.

B 6

3

ADC 'nin de temel benzerlik teoremi uygula-

F

nırsa

C

k



=

x 12

3k 3x = 12



B

K

A

5

4

x = 4 cm olur.

L

N

8

[AC] ve [BD] köşegenler L

N

8

D

10

dukları üçgenlerin orta tabanları olduğun-

C

|AN| = |NC|

dan, tabanların yarısına eşit olacaklarından

|AD| = 8 cm

|KL| = |NM| = 4

|BC| = 10 cm



B) 24

C) 32

D) 36

|KN| = |LM| = 5 bulunur.

Ç(KLMN) = 4 + 4 + 5 + 5

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(KLMN) kaç cm dir? A) 18

C

KLMN paralelkenar olur. KL ve KN bulun-

|DM| = |MC| M

M

|AK| = |KB| |LD| = |LB|

D

4

5

ABCD bir dörtgen

B

K

A

10

E) 40





= 18cm bulunur.

Dik üçgende en büyük kenar hipotenüs olaA

ABCD bir dörtgen

B

5

8

6

D

x

|AB| = 5 cm

cağından a < 6

|AD| = 6 cm

b < 5

|BC|= 8 cm

c < 8 a + b + c < 19 1442443 x

C

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 16

96

B) 17

C) 18

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 19

E) 20

x < 19

en büyük 18cm olur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A

2k

ABCD bir dörtgen

A

2B

[AC] ∩ [BD] = {E}

B

E

3|AE| = 2|EC|

E

2A

3B

D

A(ABD) = 24 cm2

B

3A 3k C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 48

B) 52

C) 54

olur.

3 AE = 2 EC

C

D) 58

E) 60

0 2k

0 3k

A(ABD) ⇒ 2A + 2B = 24 A + B = 12 cm2 olur.

YAMUK

A(ABCD) = 5A + 5B

Tanım: Yalnız iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel olan kenarlara yamuğun tabanları, paralel olmayan kenarlarına da yan kenarları denir. üst taban

A

B

orta taban

E

D

[AB] // [EF] // [DC]



= 5 (A + B)



= 5 . 12



= 60 cm2 bulunur.

\ 12

Yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru par-

F

çasına orta taban denir.

C

alt taban

Özellikleri 1)

A

[AB] // [CD] olduğundan ∧ ∧ m(A) + m(D) = 180° ∧ ∧ m(B) + m(C) = 180°

B



D

% % m ( B ) + m ( C ) = 180 °

C

2x + x = 180° 3x = 180° x = 60° olur. A

ABCD bir yamuk

B 2x

2x-20

x+y

x

D

C

% % m ( A ) + m ( D ) = 180 °

[AB] // [DC] % % 2.m`DCBj = m` ABCj = 2x % m`CDAj = x + y % m`DABj = 2x - 20 °

2x – 20 + x + y = 180° 3x – 20 + y = 180 3 . 60 – 20 + y = 180 160 + y = 180

Yukarıdaki verilere göre, y kaçtır? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

y = 180 – 160 y = 20° olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

97

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A A

ABCD bir yamuk

B 130°

[AE] // [BC] % m` ABCj = 130 ° % m`DAEj = 60 °

x E

C

x D

B) 55

2)

C) 60

c

A

E

D

D) 65



B

K

F

L

D

C

[AB] // [EF] // [DC]

[AB]// [EF] // [DC]



[EF] : Orta taban

[AC] ve [BD] köşegenler

[EF] orta taban c a+c |EK| = |LF|= |EF| = 2 2

x

x + 110° = 180°

B



A

% % m ( D ) + m ( A ) = 180 °

x = 70° E

C

% m(BAE) = 50 olur.

E) 70

A

F

a

E

% m(BAE) + 130 = 180 °

% Yukarıdaki verilere göre, m` ADCj = x kaç derecedir? A) 50

50º

[AB] // [DC]

60°

D

60°

B 130°

|KL|=

a-c 2

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [EF] // [DC] 11

E

[EF] orta taban

F

|EF| = 11 cm |EF| orta taban olduğundan

|DC| = 15 cm D

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir? A) 6

B) 7

A

C) 8

x + 15 = 11 2 x + 15 = 22



C

15

D) 9

E) 10

x = 7 olur.

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [EF] // [DC] E

K

x

L

[AC] ve [BD] köşegenler

F

[EF] orta taban

a-c 2 11 - 7 x= 2 x=

|AB| = 7 cm D

C

|DC| = 11 cm

Yukarıdaki verilere göre, |KL| = x kaç cm dir? A) 2

98

B) 5 2

C) 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 7 2

E) 4

x = 2 olur.

C

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A A

8

5

K

[BL] ve [CL] açıortay

12

L

x

|BC| = 12 cm

C

B) 14

C) 15

A

c

D) 16

E) 17

[AB] // [KM] // [DC]

B

α α

6

6 12

6

x

θ C

AB // KL // DC olduğundan; |KM| = 11 olur. |KM| orta taban olacağından;



x+8 = 11 2 x + 8 = 22



x = 14 olur.



3)

L

θ D

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 13

5

|AB| = 8 cm |KL| = 5 cm

D

B

α

[AB] // [KL] // [DC] K

8

ABCD bir yamuk

B

[AC] ∩ [BD] = {L}

K



M

L

|KM| =

a

D

4

A

C

ABCD bir yamuk

B

x

E

2ac a+c

[AB] // [EF] // [DC]

F

|EF| =

[AC] ∩ [BD] = {E} |AB| = 4 cm |DC| = 12 cm 12

D

C

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? B) 5 2

A) 2

4)

A

c

D) 7 2

C) 3

B

A(ABCD) =



E) 4

a.c olacağından a+c

x =

4.12 4 + 12

x =

48 16

x = 3 olur.

(a + c) .h 2

a + c = orta taban olduğundan 2

h

A(ABCD) = Ortataban . h

D

a

C



= EF . h

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

99

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM 6

A

[AB] // [DC] % m` ADCj = 30 °

8

8

18

C

B) 40

30° 18

D

B

D) 48

S

3k 3 AB = DC

D

3|AB| = |DC|

0 k

A(ABD) = 12 cm2

C

0 3k

ABD ve BDC üçgenlerinin yükseklikleri aynı

C

olduğu için alanları tabanları ile orantılıdır.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 48

h

3S

ABCD bir yamuk

D

B

E) 54

[AB] // [DC]

A) 36

k

A

h A

olur.

C

|DC| = 18 cm

C) 44

24. 4 2

2 A(ABCD) = 24.2

4

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 36

=

(6 + 18) .4 2

2 = 48cm

|AD| = 8 cm

30°

=

B

60°

|AB| = 6 cm D

6

A

ABCD bir yamuk

B

C) 52

D) 56

E) 60

A(ABD) = S, A(BDC) = 3S S = 12 ise A(BDC) = 36 olur.

A

5

E 3

A(ABCD) = 12 + 36

ABCD bir yamuk

B

= 48 cm2 bulunur.

[AB] // [DC] 2.A(EBCF) = A(AEFD)

2 . A(EBCF) = A(AEFD)

|EB| = 3 cm

(5 + 13) .h x+3 p .h = 2 2 2x + 6 = 18 2. f

|AE| = 5 cm D

13

F

x

C

|DF| = 13 cm

Yukarıdaki verilere göre, |FC| = x kaç cm dir? A) 4

B) 5

A

5

C) 6

B

6

8

2x = 12 D) 7

AED dik üçgeninde

36 – x2 = 64 – (10 – x)2

[AB] // [DC]

h2 + x2 = 62

36 – x 2 = 64 – 100 + 20x – x 2 =

|AB| = 5 cm

h2 = 36 – x2

36 = –36 + 20x

BFC dik üçgeninde

|BC| = 8 cm C

15

h2 + (10 – x)2 = 82

|DC| = 15 cm

B) 36

C) 42

72 = 20x x =

72 20

h2 = 64 – (10 – x)2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

x = 6 bulunur.

ABCD bir yamuk

|AD| = 6 cm D

E) 8

D) 48

E) 54

A(ABCD) =

100

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

=

(5 + 15). 2

72 20

72 = 36 olur. 2

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [EF] // [DC] 10

E

[EH] ⊥ [DC]

F

[EF] orta taban

3

D

H

|EF| = 10 cm

C

|EH| = 3 cm Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

B) 45

C) 60

D) 90

E) 120

EF orta taban olduğundan |HE| = |EK| olur.

(a + c) = 10 . 6 h 2 0 = 60 cm2 olur. A (ABCD) =

EF (Orta taban)

5)

A



B

A

[AC] ve [BD]

B

A

S

köşegenler

S

E

B D

C



A(AED)=

A (ABCD) 2

D

C

A . B = S . S A

B

L A

ABCD bir yamuk

B

L

[AB] // [DC]

|BK| = |KC| C

D

|LK| = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 64

C

K noktası A'ya ve D'ye birleştirilirse,

|AD| = 12 cm

A) 48

K

[KL] ⊥ [AD]

K

D

8

12

C) 72

D) 82

E) 96

A (ABCD) A (AKD) = olur. 2 0 12.8 A (ABCD) = 2 2

96 = A(ABCD) olur.

A

ABCD bir yamuk

B

3 E

12 D

C

[AB] // [DC]

A(AED) = A(BEC) = 5 olsun

[AC] ∩ [BD] = {E}

S . S = 12 . 3

A(AEB) = 3 cm2

S2 = 36

A(DEC) = 12 cm2

S = 6 olur.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 22

B) 24

C) 27

cm2

dir?

A(ABCD) = 3 + 12 + 6 + 6 D) 30

E) 36



= 27 cm2 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

101

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

k

A A

ABCD bir yamuk

B

12

α

E

D

|AD| = 12 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç B) 100

60

α

cm2

C) 120

D) 140

E) 160

α + θ = 90°

2k

olduğundan

C

BEC

dik üçgen olur.

12.10 = 60 cm2 2 üçgenlerin yükseklikleri aynı olduğundan 0 k

dir?

paralel

çekilirse

10

3 AB = DC

3|AB| = |DC|

A) 80

30



|BC| = 10 cm D

12

12

noktasından

tabana

30

[AB] // [DC] % % m` ADCj + m`BCDj = 90 °

10

B

B

A(BEC) =

0 3k

A(ADE) = A(AEB) = 30cm2 olur. A(ABCD) = 120 cm2 bulunur.

İKİZKENAR YAMUK Tanım: Yan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

Özellikleri 1)

A



B

β

β

2)

A

|AC| = |BD|

B

a + b = 180°



|AE| = |BE| E

|DE| = |CE|

α

α

D

D

C

C A

A

ABCD bir ikizkenar yamuk

B α

75°

75°

2θ + 75 + θ =

B

θ

α

180°

[AB] // [DC] |AB| = |BC| = |AD| % m`DACj = 75 °

D

θ θ

2θ D

C

B) 110

A

D) 120

5

α = 110° bulunur.

E) 125

[AB] // [DC] E

[DE] ⊥ [BC]

A

8

C

5 x

|BE| = 5 cm |DC| = 8 cm

α

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 7

B) 8

C) 9

D

D) 10

E) 11

α=30

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

3α + 90 = 180

E

4 3

60-2α 8

|AD| = |BC| x = 9 olur.

102

α + 2α + 90 = 180

B

[DE] açıortay D

α + 2θ = 180

ABCD bir ikizkenar yamuk

B

x

C) 115

θ = 35° olur. C

α + 2 . 35 = 180

% Yukarıdaki verilere göre, m` ABCj = a kaç derecedir? A) 105

3θ = 105

4

3α = 90 α = 30°

C

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A A

ABCD bir ikizkenar yamuk

B

6

[AB] // [DC]

2 E

[AC] ∩ [BD] = {E} % m`BDCj = 30 °

6

30° D

C

A A

C) 7 3

D) 8 3 E) 10 3

4) A



c 2

c 2

c c

L a- c C C L

2

3

C

(30° – 30° – 120° özel üçgenlerinden)

2





a 2 D

a a

a 2

a 2

|AB| = 2 3 , |DC| = 6 3 olur. |AB| + |DC| = 8 3

İ kizkenar yamukta köşegenler dik kesiş- tiğinde

B

h h

D a- c K D K

6

|EC| = 6 cm

c 2 h h

30

30°

|AE| = |EB| ve |DE| = |CE| olur.

B B

c c

6

|BE| = 2 cm

B) 6 3

3)

E

120

D

Yukarıdaki verilere göre, |AB| + |DC| toplamı kaç cm dir? A) 5 3

2 3 B 30 30 2 2

h = a+ c 2

C

A(ABCD) = |KC| . h

A

A(ABCD) =

( a + c) . h = h. h = h2 2 B noktasından tabana dik indirilirse |BH| = 7,

ABCD bir ikizkenar yamuk

E 2 B

|FH| = 2 ve |DH| = 10 olur.

[AB] // [DC]

A(ABCD) = |DH| . |BH|

[EF] ⊥ [DC]

7

|EB| = 2 cm D

8

F

C

|EF| = 7 cm



= 10 . 7



= 70 cm2 bulunur.

|DF| = 8 cm Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 60

B) 64

C) 70

D) 72

E) 90

A

13 A

12

ABCD bir ikizkenar yamuk

B

[AB] // [DC] 13

D

|AB| = 12 cm

13

22

C

B) 170

C) 187

E

12 22

12

13

5

F

C

indirilirse

|AD| = |BC| =13 cm

A (ABCD) =

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 160

12

B

A ve B noktalarından tabana dikmeler

|DC| = 22 cm D

5

12

D) 192

E) 204 A (ABCD) =

(12 + 22) .12 2 34.126 2

2 = 204cm olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

103

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

İkizkenar yamukta köşegenler dik kesiştiA

ğinde

ABCD bir ikizkenar yamuk

B

4

[AB] // [DC]



[AC] ⊥ [BD] |AB| = 4 cm D

10

C

h = 7 olur.

|DC| = 10 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 45

B) 49

a+c olur. 2 4 + 10 h= 2 h=

C) 54

D) 64

E) 81

A (ABCD) =

(4 + 10) .7 2

A(ABCD) =

14.7 2 = 49cm bulunur. 2

DİK YAMUK Tanım: Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Özellikleri 1)

A

2)

B

β

A

c

Köşegenleri dik kesişen ya-

B



mukta

h h2 = a . c

α D

D

C

a

C

a + b =180°



A A

12

12

B

B noktasından tabana

ABCD bir dik yamuk

B

6

[AB] // [DC] % m (BCD) = 45 °

2

6

|BC| = 6 2 cm 45°

|AB| = 12 cm

C

D

D

12

dik indirilirse

45

A(ABCD) = 6

(12 + 18) .6 2

45° C

30.6 2 A(ABCD) = = 90cm bulunur. 2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 80

B) 90

C) 108

D) 124

E) 144

A A

9

15

15

|BC| = |DC|

15

|AB| = 9 cm D

C

B) 50

9

D

|AD| = 15 cm

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir? A) 44

B noktasından tabana dik indirilirse,

B

ABCD bir dik yamuk

B

[AB] // [DC]

104

9

C) 56

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 58

E) 64

E

9+x

x

BEC dik üçgeninde (9 + x)2 = x2 + 152

81 + 18x + x 2 = x 2 + 225

C



18x = 144



x = 8 olur.

Ç(ABCD) = 9 + 15 + 17 + 17



= 58 cm olur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde A

ABCD bir dik yamuk

B

3

[AB] // [DC] [AC] ⊥ [BD]

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 4 3

B) 6 3

C) 7 3



h2 = 3 . 4



h2 = 12

h = 2 3 olur. (3 + 4) . 2 3 A(ABCD) = 2

|DC| = 4 cm

C

4

h2 = a . c olur.



|AB| = 3 cm D



D) 8 3

E) 9 3

A(ABCD) = 7 3 bulunur. A

B

30

135°

x

A

x= 4 3

ABCD bir yamuk

B 135°

x

6

[AB] // [DC] % m` ABCj = 135 ° % m` ADCj = 60 °

2

60° D

2 3 4

B) 2 13

C) 3 6

lirse (45° – 45° – 90 ve 30° – 60° – 90° özel üçgenleri kullanılarak) D) 2 15

E) 8

x = 4 3 bulunur. A

A

E

6

ABCD bir yamuk

B

x

B) 6

A

3

E) 10

BCL dik üçgeninde kenarortay çizilirse

|BK| = |KL| = |CK| = 5cm olur.



CK // FE olduğundan x = 5 bulunur.

A

B) 8

5

|AD| = 5 cm C) 9

3

B

B

65

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 7

C

x

% m`BCDj = 65 °

C

6

|BL| = 10 cm blunur. D) 8

[AB] // [DC] % m`BADj = 130 °

x

L α

α + θ = 90° olduğundan BCL dik üçgeninde

|AB| = 3 cm D

5

|BC| = 8 cm

ABCD bir yamuk

5

K

birleştirilirse paralel kenar elde edilir.

C) 7

B

5

|AD| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 5

α

B noktası devam ettirilir ve C noktası ile

|DF| = |FC|

C

F

B

5

D

|AE| = |EB| D

3

5

[AB] // [DC] % % m` ADCj + m`BCDj = 90 °

8

C

A ve B noktalarından tabana dikmeler indiri-

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 4 3

45 6

60° D

|BC| = 6 2 cm

C

45 6 6 2

6

D) 10

E) 11

D

tabana

5

130 50 x 3

noktasından paralel

çekilirse 5

C



x = 5 + 3



x = 8 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

105

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A A

ABCD bir yamuk

B

A

[AB] // [DC] E

K

[EF] orta taban A(EKD) = 3 cm2

D

C

B) 26

C) 28

A(BEFC) = 3S olur.

E) 32

6

A

A

[AB] // [DC] [BD] ⊥ [BC]

6

D

[DB] açıortay x

D

C

B) 10

C) 12

α α

D) 14

E) 16

2a F

[AB] // [DC]

E

[DE] açıortay

x

3|BE| = 2|EC| 9

D

C

|AB| = 2 cm

|DC| = 9 cm Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 8

B) 9

C) 10

6

4

A

B

2

3a



E

a

3k

3a a

F

paralel çekilirse 6

D) 11

0 3k

olur.

|AF| = 2a olsun

|DF| = |FE| = 3a olur.

C

E) 12

A

4

9 - 3a 3k 9a – 6 = 18 – 6a = 3a - 2 2k 15a = 24 24 8 a = a = x = 5a olur. 5 15 8 5

x = 8 bulunur.

0 k

2 E KF k

E

x

D

D) 8

E) 9

C

olur.

0 3k

noktası

se,

3k

C

C) 7

3. EF = DF

B

3|EF| = |DF|

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir?

orta

|KE| =

AB 2

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

K'ya

birleştirilir-

taban

olacağından

4 = = 2cm olur. 2

Taralı kelebekten benzerlik uygulanırsa,

2 K = x 3k

x = 6cm olur.

106

C



|AB| = 4 cm

B) 6

tabana

Yamukta azalış oranları eşit olacağından 9

D

[AC] ∩ [DE] = {F}

E

A) 5

dan

ABCD bir yamuk

B

x

noktasın-

E noktasından tabana paralel çekilirse,

2k

x

[AB] // [DC]

D

B

B

E x

3. BE = 2 EC

x = 5.

A

C

x = 12 bulunur.

ABCD bir yamuk

B

2

D

6

0 2k

A

15

|BE| = |DE| = |EC| = 6 olur.

|AD| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 8

α α

6

ABCD bir yamuk

B

F

K

= 32 cm2 bulunur.



C

D) 30

3

5

A(ABCD) = 3 + 9 + 5 + 15

B

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 24

F

3S

A(BKF) = 5 cm2

E

A(AEF) = S

S

E

9

[EF] ortaban

[BD] köşegen

F

B

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

A(BEC) =

ABCD bir yamuk

B

[AB] // [DC]

3

|AE| = |ED|

E

–2

B(3, 2)

–9

C

C(2, –3) Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 8

B) 12

–1

8

E(–1, 4) D

1 2

C) 16

A(BEC) = 2

A(BEC)=

4

2 –3 3

12

2

D) 18

1 . 22 = 11cm 2 dur. 2

A (ABCD) = A (BEC) 2

3 4

–3

1 19 - (- 3) 2

A (ABCD) = 11 2

19

A (ABCD) = 22cm 2 bulunur.

E) 22

PARALELKENAR

Tanım: Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

Özellikler 1)

a

A β

α

b

2)

a

A

B

E

b

b

b

a

D

C

a





65 F

A α

β

α D

B

C

[AC] ve [BD] köşegenler

q

|AC| = e ve |BD| = f a + b = 180° e2 + f2 = 2(a2 + b2)

q

F

B

115° E

[DE] ⊥ [EF]

Dış açı

A) 105

B) 120

C) 125

D) 130

Komşu olmayan iki iç açı

θ = 25° bulunur. α + 2θ = 180 α + 2 . 25 = 180

C

% Yukarıdaki verilere göre, m`DABj = α kaç derecedir?

C

α + 2θ = 180° 90 + θ = 65 + 2θ 144424443 144424443

ABCD bir paralelkenar

[DE] açıortay % m` AFEj = 115 ° D

E) 135

α + 50 = 180 α = 130° bulunur.

A A

E

B

α

56° D

ABCD bir paralelkenar

E α

[DE] açıortay

α + 31 + 62 = 180

|AD| = |EC| % m`ECBj = 56°

α + 93 = 180 α = 87° bulunur.

31 31 D

62

B

62

56° C

C

% Yukarıdaki verilere göre, m`DECj = α kaç derecedir? A) 82

2q E

a

q D A α

B

115°

B) 87

C) 92

D) 95

E) 98

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

107

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

e2 + f2 = 2(a2 + b2) 6

A

2

ABCD bir paralelkenar

B

82 + 122 = 2 . (x2 + (6 2 )2)

[AC] ∩ [BD] = {E}

4 x E

6

64 + 144 = 2 . (x2 + 72)

|AE| = 4 cm

208104 = 2 . (x2 + 72)

|AB| = 6 2 cm

104 = x2 + 72

|DE| = 6 cm D

x2 = 32

C

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 4 2

3)

B) 2 17

C) 6 2

A



B

x =

D) 4 5 E) 7 2

4)

x = 4 2 bulunur.

a

A

32

B

hb b ha

b

b α

D

D

C



A(ABCD)=a.ha=b.hb



B

F

A

C



a



a

A(ABCD)=a.b.sina

ABCD bir paralelkenar [AE] ⊥ [BC]

9

[CF] ⊥ [AB]

E

Alan eşitliği kullanılarak

|DC| = 12 cm

12 . 6 = |AE| . 9

|AD| = 9 cm D

12

C

728 = AE .9

|CF| = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

|AE| =8 cm bulunur.

E) 10 6

A

E

A

B

ABCD bir paralelkenar

6

α

[DE] açıortay

D

α

9

108

B) 24

C) 25

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

h2 + 32 = 62 6

h2 + 9 = 36

C

h =

27

A(ABCD) = 9 . 3 3

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 18 2

CEB dik üçgeninde

h = 3 3 cm olur.

|DC| = 9 cm 9

B

h2 = 27

|BC| = 6 cm D

E3

h

6

[CE] ⊥ [AB]

α

D) 27 3

E) 36

A(ABCD) = 27 3 cm 2 bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A(ABCD) = a . b sinα A

B

A(ABCD) = 8 . 12 . sin60

ABCD bir paralelkenar % m` ADCj = 60 ° |AD| = 8 cm

8

3 2

A(ABCD) 8 . 12 . A(ABCD) = 48 3

|DC| = 12 cm 60° D

C

12

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 24 3

B) 36 3

C) 48 3

D) 96 3 E) 120 3

5) Paralelkenarda komşu iki açının açıortayları arasındaki açı 90° dir.

A

4 8

4

θ

D

α

B

α

α 4 α E

θ

5

F

4 9

C

E noktası K noktasına devam ettirilirse, dik üçgende kenarortay özelliğinden A

B

|EK| = |AK| = |KD| = 4 cm

ABCD bir paralelkenar [AB] // [EF] // [DC]

5

8

[AE] ve [DE] açıortay

F

E

bulunur. |KF| = |AB| = |DC| = 4 + 5 = 9cm olur.

|AD| = 8 cm D

Ç(ABCD) = 2 . (8 + 9)

|EF| = 5 cm

C

= 34 cm olur.

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir? A) 24

B) 26

C) 28

D) 32

E) 34 A

10

A

E

B

α

ABCD bir paralelkenar

D

[DE] ve [CE] açıortay 16

12

|DE| = 16 cm |EC| = 12 cm

D

B) 54

α

E

θ

10

16

B

12

10

θ

20

θ C

2α + 2θ = 180

Ç(ABCD) = 2. (10 + 20)

α + θ = 90° olur.





= 60cm bulunur.

DEC dik üçgeninde |DC|2 = 122 + 162

C

|DC|2 = 144 + 256

Yukarıdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir? A) 50

α

10

C) 56

D) 58

E) 60

|DC|2 = 400

|DC| = 20 cm olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

109

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

K

A A

B

3

ABCD bir paralelkenar

E

[BE] ve [CE] açıortay E

[EF] ⊥ [BC]

3 F

D

10

B) 45

C) 60

F

D 10 C L Açıortay üzerinde alınan noktaların açının

|DC| = 10 cm

kenarlarına olan uzaklıkları eşit olacağından

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

3

3

|EF| = 3 cm

C

B

D) 90



E) 120

|EF| = |EK|= |EL| = 3cm olur.

A(ABCD) = 10 . 6 = 60cm2 bulunur. A

F

x

E

B

ABCD bir paralelkenar [DE] ve [CF] açıortay |AD| = 7 cm

7

A

7-x

|DC| = 9 cm

F

θ

x

E

α

7-x

7 9

D

A) 2

7

C

α

Yukarıdaki verilere göre, |FE| = x kaç cm dir? B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

D

B

α

θ

9

θ C

7- x+x+7-x = 9 A

6)

B

A

B

A S2

A

S A

E

A

B

14 - x = 9 x = 5 bulunur.

S3 S1

S A D

C

D

C

Köşegen alanı iki eşit alana Köşegenler alanı 4 eşit alana ayırır.

ayırır.

D



C

A

S1 = S2 + S3

B

24 18 E

6 D A

B

3 EC = EB

ABCD bir paralelkenar

0 k

3|EC| = |EB|

0 3k

olur.

C

D, B ye birleştirilirse yükseklikleri aynı olan

A(DEC) = 6 cm2

üçgenlerin alanları tabanları ile orantılı

E

olacağından D

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 36

110

B) 40

C) 48

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 60

E) 72



A(BDE) = 18



A(ADB) = 24



A(ABCD) = 48cm2 bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

E noktası C noktasına birleştirilirse A

ABCD bir paralelkenar

B

E

A

B

E

[CF] ⊥ [DE] F

F

|DE| = 12 cm |FC| = 8 cm

D

D

C

A(ABCD) = A (DEC) =

B) 64

C) 72

D) 82

2

12.82



=



= 48 cm2 olur.

2

A (ABCD) = A (DEC) 2

C

A (ABCD) = 48 2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 48

ED . FC

E) 96

A(ABCD) = 96 cm2 bulunur. 7)

A

B S2 S1



A

E

B S

P

2S

S3

3S F

S4 2S



D

C

D

C

P noktası paralelkenar içinde

|AE| = |BE|

alınan bir nokta olmak üzere;

|BF| = |FC|



S1 + S3 = S2 + S4

A

B E

ABCD bir paralelkenar

A

S2E

[BE] ⊥ [EC]

4

A(ADE) = 24 8

24

cm2

|BE| = 4 cm

D

C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 50

A

B) 64

cm2

E

B

D) 72



A

C

C) 24

A(ABCD) = 72cm2 8S = 72 S = 9cm2 olur.

F

C

A(DEF) = 3S

Yukarıdaki verilere göre, A(DEF) kaç cm2 dir? B) 18

S

2S D

A) 12

B

3S

A(ABCD) = 72 cm2

= 80cm2 bulunur.

E

2S

|BF| = |FC|

D

A(ABCD) = 40 + 40

E) 80

|AE| = |EB|

F

A(ABCD) = 24 + 16 + S2 + S4 C

ABCD bir paralelkenar

D) 27

E) 36

8.4 2 = 16cm olur. 2

S2 + S4 = 40cm2 bulunur.

8

dir?

C) 68

A(BEC) =

S2 + S4 = 24 + 16

4

16 S4

|EC| = 8 cm

B

= 3 . 9 = 27cm2 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

111

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM 8)

A

B

E

S

S

B A

E

K

2S

F

4S B

F

L

2S

S

S

B

2S D

C

D

|AK| = |KL| =|LC|



G A

A

H



2|EK| = |DK|

C

[AB] // [EF] // [DC] [AD] // [GH] // [BC]

2|LF| = |DL|

A

ABCD bir paralelkenar

B

E

[AC] köşegen K

|AE| = |EB|

x F

L

D

|BF| = |FC|

|AC| = 24

|AC| = 24 cm

3x = 24

C

x = 8cm olur.

Yukarıdaki verilere göre, |KL| = x kaç cm dir? A) 6

B) 7

C) 8

E

A K

G

D) 10

E) 12

ABCD bir paralelkenar

B

[BD] köşegen

H

[AB] // [GH] // [DC] [AD] // [EF] // [BC] A(AEKG) = 16 cm2 D

F

C

Yukarıdaki verilere göre, A(CHKF) kaç cm2 dir? A) 8

B) 12

C) 16

D) 18

E) 24

A(AEKG) = A(ACHKF) = 16cm2 olur. 9)

A

B

G

A

B

F S

S1

S2

E

3S

E

F

K

3S

L

M

S

4S

S S4

G

S3

3S

N 3S S

D

H



[AB] // [EF] // [DC]



[AD] // [GH] // [BC]

112

C

D

S1 . S3 = S2 . S4

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

K

C

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

ABCD bir paralelkenar

B

G

E

S . 16 = 32 2

[AD] // [GH] // [BC]

F

4

S . 16 = 4 . 8

[AB] // [EF] // [DC]

8 K

S = 2cm2

A(EKHD) = 4 cm2

16

A(ABCD) = 2 + 8 + 4 + 16

A(GBFK) = 8 cm2 H

D

C

A(KFCH) = 16



cm2

= 30cm2 olur.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

B) 32

C) 34

D) 36

E) 38

A A

|AF| = |FB| = |DH| = |HC|

K E

ABCD bir paralelkenar

B

F

N

E

|AE| = |ED| = |BG| = |GC|

L G

S

A(ABCD) = 60 cm2

M

H

D

3S

3S

K

L

4S M

3S

G

3S

A(ABCD) = 20S = 60cm2 S = 3cm2 olur.

S

N

S H

D

B

F

C

A(KLMN) = 4S

= 4 . 3



= 12cm2 bulunur.

C

Yukarıdaki verilere göre, A(KLMN) kaç cm2 dir? A) 10

B) 12

10.

C) 15

A

D) 20

E) 24

B B

A

x

y E

D

F z D

C



G

x

C

d

x G

6 F

z



x2 = y . (y + z)

A

t

y

x2 + t2 = y2 + z2

ABCD bir paralelkenar [AC] köşegen

B

|DE| = 4 cm |FG|= 6 cm

E 4

D

42 = x . (x + 6)

C

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

16 = x. (x + 6) 0

x = 2 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

113

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A

ABCD bir paralelkenar

A B

[DE] ⊥ d

x

[BF] ⊥ d d

D F

C

|AH| = x olsun;

B

x 2 > 3 2 + 72

7

3

|DE| = 3 cm

x 2 > 58

d

D

C

H

E

0

F

en küçük 8 alınır.

|BF| = 7 cm

E

Yukarıdaki verilere göre, A noktasının d doğrusuna en kısa uzaklığı kaç cm dir? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

A A

7 E

13

B

ABCD bir paralelkenar [DF] ve [CF] açıortay

4

[FE] ⊥ [AB]

F x

5

4

C

10

C) 15

|FK| = 5cm bulunur.. x = 10 + 5

D) 16

E

B

F

x = 15 cm olur.

E) 18

A A

şekilde

|FK|2 = 32 + 42

C

|EB| = 13 cm

B) 14

geçecek

FEK dik üçgeninde

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 12

noktasından

|FL| = |DL| = |LC| = 10 cm olur.

x =15

10 L

D

F

tabanın orta noktasına paralel çekilir.

F

15

[KL],

B

10

|EF| = 4 cm |AE| = 7 cm

D

3K 13

7 E

E

ABCD bir paralelkenar

L

B

F

[KL] // AD // BC olacak şekilde [KL] çilir. Taralı alanlar bulundukları paralel

A(DEK) + A(KFC) = 16 cm2

kenarın alanının yarısı olacaklarından Tüm alan, A(ABCD) = 2 . 16 D

D

K

K



C

A(ABCD) = 32cm2 bulunur.

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 24

B) 26

C) 28

D) 32

E) 36 A

A

B

x

[BE] açıortay

4

3

C

E

|DF| = 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir? A) 8

114

B) 9

C) 10

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 11

E) 12

B

α 7

90-α

2α D 3

|AF| = 4 cm

3

α

4

90-α F

[BE] ⊥ [EF]

F

D

ABCD bir paralelkenar

x

E

α

7

C

Açılar yerleştirildiğinde x = 3 + 7 x = 10 cm bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A A

B

ABCD bir paralelkenar S

[AC] ∩ [DE] = {F} A(ADF) = 15 15

15

cm2

A(AEB) + A(EFC) = 15cm2 olur.

S D

D

15 + S = A (AEB) + A (EFC) + S

E

F

E

F

A (AED) = A (ADC) 1442443 1442443 A(AFE) = A(DFC) = S olur.

B

C

C

Yukarıdaki verilere göre, A(AEB) + A(EFC) toplamı kaç cm2 dir?

A

E

C) 12

F

B

D) 14

E) 15 12x 4x F

A (EFGH) =

1 4444444 2 4444444 3

B) 11

A) 10

ABCD bir paralelkenar

A

E

B

7x.h = 56

[AB], 3 eşit parçaya [DC], 4 eşit parçaya

x . h = 8cm2 olur.

h

A(ABCD) = 12 x . h

bölünmüştür. A(EFGH) = 28 cm2 D

H

G

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 72

B) 96

cm2

dir?

C) 112

H

3x

D) 124

15x E 5x F

1 4444444 2 4444444 3

E

F

B

ABCD bir paralelkenar 8h

3|EF| = |AB|

A(ABCD) = 120 cm2

0 5x

K



A) 15



B) 17

C) 21

D) 23

= 12 . 8



= 96cm2 bulunur.

olur

0 5x

5 GH = DC 0 3x

0 15x

olur.

KHG üçgeninin yüksekliği 3h olur.

C 3x G 3 44 4 4 4 4 4 2 44 4 4 4 4 4 1 D H G C 15x Yukarıdaki verilere göre, taralı alanlar toplamı kaç cm2 dir? D



EKF ve KHG üçgenleri benzerdir (kelebekten). 5 Yükseklikleri oranı olur. 3 EKF üçgeninin yüksekliği 5h

3h

5|GH| = |DC|

3 EF = AB

B

5h

[EG] ∩ [HF] = {K} K

C

E) 168

A A

G

3 44 4 4 4 4 4 2 44 4 4 4 4 4 1 12x

C

(4X + 3X) .h = 28 2

H

A(ABCD) = 15x . 8h = 120

120xh = 120

x . h = 1cm2 olur. 5x.5h 3x.3h 34xh = + 2 2 Taralı alanlar = 2

E) 27



2 = 17.xh = 17.1 = 17cm olur.

A

B

[AE] ⊥ [CE] % % m`ECBj = m`ECFj

9

x 6

C

A

E

θ

9

|AD| = 9 cm

G

D

ABCD bir paralelkenar

Yukarıdaki verilere göre, |CG| = x kaç cm dir? A) 2 B) 5 C) 3 2

2α D

D) 7 2

2α

B

6

θ

|DC| = 6 cm

F

6

G

θ

xα

E

C

F

Açılar yerleştirildiğinde x + 6 = 9 x = 3cm bulunur.

α

6

E) 4

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

115

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM EŞKENAR DÖRTGEN

Tanım: Dört kenarının uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

Özellikler 1)

A

a

A

B

a

B

α

β





e/2

a

a

a

D

C

a

D

e2 + f2 = 4a2

e/2

f/2

β

α



f/2

a

a

C

a + b = 180°

A

B 80°

A

ABCD bir eşkenar dörtgen

α

|AB| = | DE| % m` ABCj = 80 °

E

α

α + θ + α + θ + 80 =360

E

2α + 2θ =280

θ

80

θ

D

α + θ = 140° olur. % m (AEC) = α + θ = 140°

C

C

D

bulunur.

% Yukarıdaki verilere göre, m` AECj kaç derecedir?

A) 110

B) 120

A

B

C) 130

D) 140

E) 160

A

ABCD bir eşkenar dörtgen [BD] köşegen % % m`DBEj = m`EBCj % m`DCBj = 108 °

α E

D

A) 116

108° C

D

B) 120

C) 126

D) 132

E) 140

Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin uzunlukları 8 cm ve 16 cm dir. Buna göre, eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm dir? A) 12 5

B) 16 5

C) 18 5

D) 20 5 E) 24 5

4a2 = e2 + f2

4a2 = 320

a = 4 5

4a2 = 82 + 162

a2 = 80

çevre = 4a

4a2 = 64 + 256

a =

= 4 . 4 5 = 16 5 olur.

80



10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

2x x x

B

4x + 108 = 180° 4x = 72 x =18° olur.

% Yukarıdaki verilere göre, m`DEBj = a kaç derecedir?

116

ADCE dörtgeninde

B 80°

α E

108° C

α = 108 + x α = 126°

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM 2)

A

a

B

A

B S

h

a

S

a h



S a

D

S

C

D

C

A(ABCD)= a . h



x

A

(Tek yüksekliği vardır.)

4 A

B

x

ABCD bir eşkenar dörtgen [BD] köşegen

10

5 E

4

E

4

|DE| = 4 cm x

5

10

tası orta nokta olur.

7

3K

|DK| = |KB| = 7cm ve |EK| = 3cm olur.

x

x

D

A dan [DB] ye dik indirildiğinde K nok-

B

|AK|2 + 32 = 52 |AK| = 4cm olur.

C

|AE| = 5 cm

AKB dik üçgeninde

|BE| = 10 cm

x2 = 72 + 42

C

D

x2 = 49 + 16

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 2 15

B)

65

C)

70

x2 = 65

D) 6 2 E) 5 3

x =

A

B E

5

A

ABCD bir eşkenar dörtgen [BD] köşgen

x

5

|KE| = 4 olur.

4

[EC] ⊥ [DC]

13

C noktasından [DB] ye dik indirilirse |KD| =9,

B E

9

|EB| = 5 cm |DE| = 13 cm

13

DCE dik üçgeninde öklid uygulanırsa

x

h=6

D

C

B) 2 15

A

B

C) 8

D) 5 3 E) 7 2

ABCD bir eşkenar dörtgen

B

S S

[EF] ⊥ [DC] |FC| = 3 cm

12

F

3

h = 6

D

C

12

E

F

x2 = 52,

x =

52 = 2 13 olur.

DB ⊥ AC olur. DEC üçgeninde öklid uygulanırsa h2 = 12 . 3 ⇒ h2 = 36 ⇒ h = 6 olur.

S

3

15.6 ⇒ S = 45 olur. 2 A(ABCD) = 4S = 4 . 4 . 45 = 180cm2 dır. S=

S

|DF|= 12 cm D





A

[AC] ∩ [BD] = {E} E

h2 = 4 . 9

x2 = 62 + 42

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm dir? A) 2 13



CKE dik üçgeninde pisagor bağıntısından

C

D

65 bulunur.

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 150

B) 180

C) 210

D) 240

E) 270

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

117

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

B

E 6

ABCD bir eşkenar dörtgen

D

2α + 2θ = 180



α + θ = 98 olur.

A

Köşegenler dik kesiştiğinden E noktası

|DE| = 6 cm

A ya ve B ye devam ettirilir.

a

6.4 D S= & S = 12 cm2 olur. 2 A(ABCD) = 4 . S = 4 . 12 = 48cm2 olur.

C

6

a

B

S

S

[DE] ve [CE] açıortay

|EC| = 4 cm

4



S

E

S

4

q

q C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 36

A) 24

C) 48

A x

B

ABCD bir eşkenar dörtgen

7

[AE] ⊥ [BC]

E

E) 96

AEB dik üçgeninde x2 + 72 = 2S2 olur.

|BE| = 7 cm

(7 - 24 – 25 özel üçgeninde)

|EC| = 18 cm

18 D

D) 72

x = 24 bulunur.

C

Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x kaç cm dir? A) 15

B) 20

A G

C) 22

E

B

F

Eşkenar dörtgenin yüksekliği tek olduğun-

|EK| = 5 cm

H

6

D

ABCD bir eşkenar dörtgen [GH] ⊥ [BC]

x

K

E) 24

[EF] ⊥ [DC]

5

7

D) 23

dan

|KF| = 6 cm |GK| = 7 cm

C

2

7

Yukarıdaki verilere göre, |KH| = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

B

[AE] ⊥ [BC]

E 2

D

7

30

|DE| = 2 7 cm

2

118

a 3

7

D

x = 4 olur.

30

a

a C

B

AEB 30° – 60° – 90° özel üçgenin olur. ADE dik üçgeninde (2a)2 + (a 3 )2 = ( 2 7 )2 4a2 + 3a2 = 28 7a2 = 28 a2 = 4 ⇒ a = 2 olur.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 8 3



E

C

A) 6 3

2a

ABCD bir eşkenar dörtgen 2a |BE| = |EC|

x + 7 = 5 + 6 ⇒ x + 7 = 11

E) 6 A

A



C) 10 2

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 15 2 E) 20 3

A (ADE) =

2a.a 3 2

= 2.2 3 = 4 3 olur.

A (ABCD) = A (ADE) & A (ABCD) = 8 3 olur. 2

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A

Eşkenar dörtgende yükseklikler tektir. Bu

B

ABCD bir eşkenar dörtgen

7

[AF] ⊥ [BC]

nedenle |AE| = |AF| = 24 olur.

[AE] ⊥ [DC]

AFB dik üçgeninde

|BF| = 7 cm

|AB|2 = 72 + 242

|AE| = 24 cm

(7 – 24 – 25) özel üçgeninden)

F 24

D

E

|AB| = 25 olur.

C

Ç(ABCD) = 4 . 25 = 100 bulunur. Yukarıdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir? A) 96

B) 100

C) 112

D) 120

E) 124

D noktası E noktasına birleştirilirse

[AC] köşegen

10.3 2 = 15cm dur. 2 10.5 2 A (DEC) = = 25cm dur. 2

[EF] ⊥ [AD]

A(ADC) = 15 + 25 = 40cm2 olur.

[EG] ⊥ [DC]

A(ABCD) = 2 . A(ADC) = 2 . 40

|EF| = 3 cm

A(ABCD) = 80cm2 bulunur.

A (AED) = A

10

F

ABCD bir eşkenar dörtgen

B

E

3

5

G

D

|EG| = 5 cm

C

|AB| = 10 cm Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 64

B) 70

C) 72

D) 80

E) 96

A

B

2S

4

S

F E

A

F E

S

[DF] ⊥ [BF]

4

12

12

ABCD bir eşkenar dörtgen

B

D

|BE| = |EC|

(DB] köşegeni çizilirse, |BF|, BDE üçgeninin

|BF| = 4 cm

dıştan yüksekliği olur.

|DE| = 12 cm D

C

A (ABE) = S =

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 80

B) 96

C

C) 112

D) 128

E) 132

12. 4 2 2

S = 24cm2 olur. A(ABCD) = 4 . S = 4 . 24 A(ABCD) = 96cm2 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

119

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

4

3

A

ABCD bir eşkenar dörtgen % m`DCBj = 120 °

B

4

1 3

x

x

|AF| = 3 cm

F

F

4

|AB| = 4 cm 120° C

D

FKE üçgeni elde edilir.

E

|BE| = |FD|

E

AB // FK olacak şekilde FK çizilirse,

B

D

120

2 K

4

120° 1 C

F



B) 5

C) 2 7

D)

30 E) 4 2

x2 = 28

Özellikleri

a

B

e

b

a

D

Çevre =

2a + 2b

Alan =

a . b

e=

a2 + b2

C

B

D

C



A F

B



A



A

2

H

2 3

x2 = 16 + 12

Tanım: Her bir iç açısı 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir.

b

K

x2 = 42 + ( 2 3 )2

DİKDÖRTGEN

1) A

60

2

FHE dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 2 5

30

120

E

ABCD bir dikdörtgen

40

E

F

70 110 40 70 α =30

B

Dikdörtgende köşegenler birbirini ortalar.

50

|AE| = |EC| = |EB| = |ED| = |AF| olur. Açılar yerleştirildiğinde

E

|AF| = |EC| % m`BDCj = 40 °

28

|AC| = |BD|

[AC] ∩ [BD] = {E} α

x =

x = 2 7 bulunur.

α = 30° bulunur.

40° C

D

40° C

D

% Yukarıdaki verilere göre, m`FEBj = α kaç derecedir? A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

A

E) 40

α=60 60

A

B

E

ABCD bir dikdörtgen

G α 15°

A) 30

120

B) 40

C) 50

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 60

E

F α C

|BD| köşegeni çizilirse,

% % m (BDE) = m (BED) = x alınırsa

|AC| = |BE| % m`EDCj = 15 °

% Yukarıdaki verilere göre, m` ACBj = α kaç derecedir?

x=15 G

x

15°

2x = x + 15 x = 15

C

D

B

K

D

A, B ve E noktaları doğrusal F

2x

|AC| = |BD| = |BE| olur. E) 70

% İçters açılardan m (DAC) = α olur. % % α = m (DAC) = m (ADB) = 60° bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A

Alanı = a . b = 32 Çevresi = 2a + 2b = 24

Bir dikdörtgenin alanı 32 cm2 ve çevresi 24 cm olduğuna göre köşegen



uzunluğu kaç cm dir? A) 4 3

B)

58

C) 2 15

2) A

B

D) 6 2

A A

S

E C

D

a

C

122 = a2 + b2 + 64 olur.

F

144 – 64 = a2 + b2

S

S

b

12

S

S

a2 + b2

D (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 olduğundan Y 1442443 32

B

S

B

e

b

= a + b = 12

Köşegeni = e =

E) 4 5

a

80 = a2 + b2 olur.

B C

D

e =

a2 + b2

e =

80

e = 4 5 bulunur.

ABCD bir dikdörtgen

H

4h

44

44

|BD| = 6 cm % m`BDCj = 15 °

3 44

6

42 44

B

44

A

6

14

A

B

C'den AB'ye dik çizilirse

75

(15° – 75° – 90°) üçgeninde |AH| = h, |BD| = 4h olur.

h

4h = 6 & h =

15° C

D 15°

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 6

B) 9

cm2

dir?

C) 12

D) 18

E) 24

B

|BE| = 4 olur. A(ABCD) = 2 . A(ABC)

2

= 2.

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 20

B) 30

cm2

dir?

C) 40

D) 60



E) 80

A A

B 1

x

B

h

|DE| = 4 cm

8

4

ABCD bir dikdörtgen [AE] ⊥ [BD]

F

4

5

F H3

E

|EF| = 8 cm

E

|FB| = 1 cm

D

C

D

B) 4

C) 3 2

1

ADB

dik

üçgeninde



10.4 2

= 40cm2 bulunur.

h2 = 4 . 9

h = 6 olur.

h2 = 36

CH ⊥ DB olacak şekilde dik çizilirse, h

x

|AE| = |CH| = 6 cm olur. |DE| = |HB| = 4 cm ve |HF| = 3 cm bulunur. C

CHF dik üçgeninde x2 = 62 + 32 ⇒ x2 = 36 + 9 ⇒ x2 = 45

Yukarıdaki verilere göre, |FC| = x kaç cm dir? A) 2 3

3 2 9 2 o = 4. = 9cm bulunur. 2 4

sa, |BE|2 = 8 . 2, |BE|2 = 16

|AE| = 8 cm

D

4h.h 2

ABC dik üçgeninde öklid teoremi uygulanır-

|EC| = 2 cm E

3 dur. 2

ABCD bir dikdörtgen [BE] ⊥ [AC]

8

=

A(ABCD) = 4h2 = 4e

A

4

A (ABCD) = 2.

C

D

6

D) 2 5 E) 3 5



x = 45 ⇒ x = 3 5 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

121

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM 3)

E B

A a

S2

S1

b

E

S3

S4

d

c C

D



B

A

C

D

S1 + S3 = S2 + S4



a2 + c2 = b2 + d2



|AE|2

+

|EC|2

=

|DE|2

+ |EB|2

a2 3 62 3 = 4 4

A (ADE) =

369 3

A (ADE) =

4

= 9 3 olur.

S1 + S3 = S2 + S4 A

B

E

ABCD bir dikdörtgen

9 3 + 11 3 = S 2 + S 4

ADE bir eşkenar üçgen

20 3 = S2 + S4 olur.

|BC| = 6 cm

S1 + S 3 + S 2 + S 4

A(BEC) = 11 3 cm

\ 20 3

2

\ 20 3

A(ABCD) = 40 3 bulunur. C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30 3

B) 32 3

C) 36 3

D) 38 3 E) 40 3 2. BE = ED

A

B

ABCD bir dikdörtgen

|AE| = 6

olur.

x2 + 4x2 = 14 + 36

14 cm

5x2 = 50

|EC| = 6 cm

x2 = 10 x =

C

D

. 2x

x2 + (2x)2 = ( 14 )2 + 62

2|BE| = |ED|

x

E

14

. x

10 bulunur.

Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? 10

A)

B) 2 3

C) 4

D) 3 2 E) 2 5

|ED| = x ve |EC| = y denirse E A

4

2

3 B

ABCD bir dikdörtgen

22 + y2 = x2 +( 4 3 )2

[DE] ⊥ [EC]

4 + y2 = x2 + 48

|AE| = 2 cm

y2 – x2 = 44 olur.

|EB| = 4 3 cm D

C

10

DEC dik üçgeninde

|DC| = 10 cm

x2 + y2 = 100

Yukarıdaki verilere göre, |EC| kaç cm dir? A) 2 11

B) 4 3

C) 2 15

D) 6 2 E) 4 5

y2 – x2 = 44 2y2 = 144 y2

122

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

= 72

y =

72

y = 6 2

|EC| = y = 6 2

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A A

9

E

1

B

9

E

E noktasından tabana dik çizilirse,

B

ABCD bir dikdörtgen [DE] ⊥ [EC]

x

x

|EB| = 1 cm x

1

x2 = 9 . 1 x2 = 9

|AE| = 9 cm

9

D

x = 3 bulunur.

H 1 C

C

D

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? A) 2

B)

5

A

C) 2 2

B

D) 3

E)

10

8

A

ABCD bir dikdörtgen

H

[AE] ⊥ [EB] x

8

D

x–2 x E 2

|DF| = 8 cm 18

F

C

E noktasından [AB] ye dik indirilirse

B

[EF] ⊥ [DC] |EF| = 2 cm

E 2

18

8

D

C

18

F

|FC| = 18 cm



(x – 2)2 = 8 . 18



(x – 2)2 = 144



(x – 2)2 = 122



x – 2 = 12



x = 14 bulunur.

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

A

A

x

B 3

x

α

ABCD bir dikdörtgen [AE] ⊥ [EF]

3

5

α

|FC| = 2 cm F 2 D

B

|BF| = 3 cm

D

2

θ

E

α

|AE| = |EF|

C

E

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

12 B

A F

[AE] ⊥ [EB] [EF] ⊥ [AB] |AF| = |AD|

C

D

|AE| = 12 cm

2 C

tenüsleri

ortak

olduğundan

eş

üçgenlerdir. |DE| = |FC| = 2 olur. |AD| = |EC| = 5 olur.

x = 2 + 5



x = 7 olur.

E) 11

AEB dik üçgeninde öklid teoremi uygulanırsa

E

ABCD bir dikdörtgen

E

5

F

ADE ve ECF üçgenlerinin hipo-

12 A

x F

x

y

B

144 = x . (x + y) olur. A(ABCD) = x . (x + y) olduğundan

C

D

122 = x . (x + y)

A(ABCD) = 144 olur.

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 120

B) 128

C) 132

D) 144

E) 160

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

123

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

E E x B

A

45

[DE] açıortay |AD| = 10 cm

10

Açılar, içters açı özelliğinden yararlanılarak yerleştirildiğinde, |DC| = |EC| = 14 |AD| = |AF| = 10 |EB| = |FB| = 4 olur.

10

EBF ikizkenar dik üçgeninden

45 45

|DC| = 14 cm

x = 4 2 bulunur.

C

14

D D

45 F 45 B 4 x

E, B ve C noktaları doğrusal

F

A

ABCD bir dikdörtgen

C

14

Yukarıdaki verilere göre, |FE| = x kaç cm dir? A) 2 5

B) 5

C) 2 7

A

B

D) 4 2

E) 6 18

A

ABCD bir dikdörtgen

12

|DF| = |FC| = 9 cm E

9

ADF dik üçgeninde x D

F

A) 4

B) 5

C) 6

15

D) 7

B

15

8

15

B

45 45

17

|BE| = 15 2 cm

2

C

E

C

E

B) 21

C) 22

D) 23

E

B

ABCD bir dikdörtgen % m`ECBj = 15 °

A

4

|AB| = |DE| = 8 cm

8

D

C

30

E

75

124

B) 24

C) 32

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

(8 – 15 – 17) |AH| = 8 olur.

8

D) 48

E) 64

Açılar

eşitliklere

uygun

yerleştirilip

(30° – 60° – 90°) özel üçgeninden yararlanılarak |AD| = 4 bulunur. 15°

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 16

B

75

8

60 30

15°

D

|EH| = |HB|= 15 olur.

x = 23 bulunur.

E) 24

8 4 4 4 4 4 44 3 1 4 4 4 4 4 44 2 A

EHB ikizkenar diküçgeninde

x = 8 + 15

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir? A) 20

E noktasından [AB] ye dik indirilirse

AEH özel dik üçgeninde

45 D

(9 – 12 – 15) üçgen 3x = 15

2

15

x

|AE| = 17 cm D

C

(3x)2 = 92 + 122

x = 5 bulunur.

ABCD bir dikdörtgen [BE] açıortay

17

9

E) 8

A x

F

9

C

9

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir?

A

E

|AD| = 12 cm x

D

Taralı kelebekte

9 x ⇒ 9 . |AE| = 18x = 18 AE |AE| = 2x olur.

2x

[AF] ∩ [BD] = {E} 12

B

A(ABCD) = 4 . 8 ⇒ A(ABCD) = 32 bulunur.

75 C

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM KARE

Tanım: Her bir iç açısı 90° olan eşkenar dörtgene kare denir.

ÖZELLİKLERİ 1) A

a

e

a



B

a

a

D

A Çevre =

4a

Alan =

a2

e=

a 2

a

a

45 45 D

C

A

45 45 C

a

ABCD bir kare

B

B 45 45

a

45 45

A

B

60

BCE bir eşkenar üçgen E

E

75 α

α D

D

C

% Yukarıdaki verilere göre, m` ADEj = a kaç derecedir?

A) 5

B) 10

C) 15

E A

α

B

D) 20

A

% Yukarıdaki verilere göre, m`DECj = a kaç derecedir? B) 10

A

C) 15

B

C noktasından [DE] ye dik çizi-

D) 20

H

α

lirse, karede köşegenler birbirini

30

a

ortalyacağın

2a

a

|DH| = |HB| = |HC| = a olsun |EC| = 2a olur.

60

D

ECH üçgeni 30 – 60 – 90 dur.

C

α = 30° bulunur.

E) 30

ABCD bir kare

B

C

E

C

A) 5

60 30

75

E) 30

a D

α = 15° bulunur.

60

ABCD bir kare |BD| = |CE|

|BE| = |EC|= |CB| = |DC|olur.

A

x2 + (x + 7)2 = 132

B

|BE| = 13 cm

(5 – 12 – 13 özel üçgeni)

|DE| = 7 cm 13 A

D

7

B

E

x

C

D

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm’dir? A) 2

B) 3

D

x + 7

13

7

13

E

C) 4

x

D) 5

7

E

x

x = 5 olur.

C

E) 6

C

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

125

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

B

E 55°

ABCD bir kare

A

E 55°

[FC] ⊥ [CE] % m` AECj = 55 °

Açılar yerleştirildiğinde α + 55 = 180

F α

α = 125 bulunur.

55 35

F α

B

D

C

D

% Yukarıdaki verilere göre, m` AFCj = α kaç derecedir? A) 105

B) 115

A

C) 120

55 35

D) 125

E) 135

ABCD bir kare

B

A

B

[AC] köşegen x

8

5

|EC| = 2 cm

E 2

5 x

8

H

|AE| = 8 cm

D

C

3

|BH| = |AH|= |HC| = 5 olur. BHE dik üçgeninde

E

x 2 = 5 2 + 32

2 C

D

C

Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? A) 4 2

B)

A

34

B

C) 6

A

45 45

[AC] köşegen 13

x

|EC| = 5 2 cm |BE| = 13 m

E

13

x

17

2

17

D

C

5

E 2

45

12

B) 8 2

C) 9 2

34 olur.

E'den [BC] dik indirilirse EHC ikizkenar dik üçgeninde |EH| = |HC| = 5 olur. BEH dik üçgeninde

45 5

(5 – 12 – 13 özel dik üçgeni)

C

|BH| = 12 olur.

Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x kaç cm dir? A) 6 2

x2 = 34

Karede köşegen açıortay olduğundan % % % % m (DAC) = m (CAB) = m (BCA) = m (DCA) = 45 ° olur.

B

5 5

D

17

x2 = 25 + 9

x =

D) 2 10 E) 3 5

ABCD bir kare

Karede köşegenler birbirini ortalar ve dik kesişir. B noktasından [AC] ye dik çizilirse

D) 12 2 E) 15 2

ADC ikizkenar dik üçgeninde |AC| = 17 2 olur. x + 5 2 = 17 2 x = 12 2 bulunur.

A

ABCD bir kare

B

A

[DE] ⊥ [BE] % m`EDCj = 15 °

4 E

|BE| = 4 cm

126

B) 32

60

C) 40

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 64

üçgeni elde edilir. 4

|BD| = 8, |AB| = |AD| = 4 2 olur. E

15°

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

(DB) köşegeni çizilirse BED (30­° – 60° – 90°)

B

8 4530

C

A) 16

45

4 2

15° D

4 2

4 2 E) 96

C

A(ABCD) = ( 4 2 )2 = 32 bulunur.

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

C'den [BD] ye dik çizilirse köşegenler ortalanır.

E 3 E 3 A

ABCD bir kare

A

B

D, B ve E noktaları doğrusal

B

9

|BE| = 3 cm x

18

9

|BD| = 18 cm

CHE dik üçgeninde

x =15

H

18

x2 = 92 + 122 (9–12–15) özel üçgeni

9

x = 15 bulunur.

D D

|CH| = |DH|= |BH| = 9 olur.

C

C

Yukarıdaki verilere göre, |CE| = x kaç cm dir?

2

B

6

C) 18

E

D) 20

E) 25

ABCD ve BEFG birer kare

A

|AB| = 2 cm

45

2

|BE| = 6 cm

C

D

2

45 2

D

B

6

45

2

Karede

E

6

6 2

C

45 G

F

Yukarıdaki verilere göre, A(BDF) kaç A) 12

B) 16

A 10 x

F

E

G

dir?

C) 18

D) 24

[EF] ⊥ [BC]

a+2

|BF| = |FC|

x

|AE| = |DE| = 10 cm

10

a+2

|EF| = 4 cm

D

F

2a+4

A

F

B

C) 12

2a

4

F

E

10

D

C

D) 16

C) 7

a = 4 olur.

x = 12 olur.

F

75° D

15

4h

h 75

E noktasından [DC] ye dik çizi-

B

4h

E

C

B) 6

2 .6 2 = 12cm 2 bulunur.

A (BDF) =

x = 2 . 4 + 4

E) 18

lirse

(15–75–90)

üçgeninden

|EH| = h, |DC| = 4h olur. 4h = 12

C

h = 3 olur. x + h = 4h x = 3h

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 5

2

|AH| = |HD| = a + 2 olur. AHE dik üçgeninde (a + 2)2 + (2a)2 = 102 (6–8–10 özel üçgeni)

3h= x

|BC| = 12 cm

75° D

2 2 .6 2

A(BDF) =

|AB| = 2a + 4

A

ABCD bir kare

[DE] ⊥ [EC] % m` ADEj = 75 °

E

DBF dik üçgeni elde edilir.

x = 2a + 4

[EF] ⊥ [AB] x

yerleştirildiğinde

|HE| = 2a olsun

10

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? B) 10

açılar

E noktası [AD] ye birleştirilirse |AH| = |HD| olur.

B

C

A) 8

ve

açıortaydır.

E) 36

A

ABCD bir kare

B

4

cm2

köşegenler

Kenarlar

45

A

B) 16

45

A) 15

D) 8

E) 9

x = 3 . 3 x = 9 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

127

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM A

B

A

ABCD bir kare

θ

[BF] ⊥ [FE] |DE| = 2 cm

x+6

|FC| = 6 cm

E 2

E 2

α

θ

D x

D x

F

6

EDF ` FCB olur. x 2 = x+6 6 6x = 2x + 12

B

4x = 12

α

F

6

x = 3 bulunur.

C

C

Yukarıdaki verilere göre, |DF| = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

A

C) 4

D) 5

ABCD bir kare

B

E) 6

A

[DE] ⊥ [EC] E

|EF| = 2 cm

2 F

D

6

|FC| = 6 cm D

C

α

10

2 F

|EC| = |BF| = 8 olur.

θ

8

[BF] ⊥ [EC] E

DEC ve BFC üçgenleri eş üçgenlerdir.

B

BFC dik üçgeninde (6–8–10 özel üçgeni) |AC| = 10 bulunur.

6

θ

A(ABCD) = 102

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 100

A

B) 144

F

B

C) 169

D) 196

A(ABCD) = 100 olur.

E) 256

A

ABCD bir kare [DF] ∩ [CG] = {E} |AF| = |GD|

G

α

G E

D

% Yukarıdaki verilere göre, m`FECj = α kaç derecedir? B) 60

A

y E x

F

B

C) 75

B

D) 90

x + y = 90°

α

α = x + y

x

C

α = 90° bulunur.

E) 105

ABCD bir kare

A

[AE] ⊥ [ED] |ED| = 7 cm

17

FAD ve GDC üçgenleri eşittir. x + y + 90 = 180

D

C

A) 45

y

17

B

|EH| = 24, |HC| = 7

b

CHE dik üçgeninden |EC| = 25 cm bulunur.

|AE| = 17 cm

E

E 7 D

7

C

A) 20

128

B) 21

a D

Yukarıdaki verilere göre, |EC| kaç cm dir? C) 24

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 25

E) 30

& & , DHC AED

b 17

a C 7

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

G noktası C noktasına birleştirilirse, A

B

E G

D

F

ABCD bir kare

A(BGE) = A(EGC) = A(DGF) = A(FGC) = S olur.

[DE] ∩ [BF] = {G}

BFC dik üçgeninde

|BE| = |EC|

A(BFC) = 3S =



a2 + (2a)2 = (6 5 )2

|DF| = |FC|

a2 + 4a2 = 180

|BF| = 6 5 cm

5a2 = 180







a. 2 a

2 ⇒ 3S = a2

3S = 62

3S = 36

S = 12 olur.

Taralı alan = 2 . 5 = 2 . 12 = 24 olur.

C

Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir? A) 12

B) 15

A

B

C) 18

D) 20

E) 24

ABCD bir kare

8

A

|DE| = |EC| = 4 cm

6

|DF| = 2 cm

F

D

4

E

4

2

C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(BEF) kaç cm2 dir? A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

S1 =

S1

F 2

6.8 = 24 2 2.4 S2 = =4 2 4.8 S3 = = 16 2

B

8

S3

S2 4

E

4

Taralı alan = A(ABCD) – (S1 + S2 + S3)

C

E) 20



A

ABCD ve BEFG birer kare

B

E 16 F 6

A

G

4

|DF| = 6 2 cm

45

2

6

D

C

A) 96

D

B) 100

A

B

C) 108

D) 144

A(FGC) = 6 cm2

6 F

16

4

|DH| = |FH| = 6 olur.

4

G

|FH| = |GC| = 6 ve |BC| = 10 olur.

6

2

A(ABCD) = 102 = 100 bulunur.

C

A(ABCD) = S, A(GBC) = x olsun. _ s x + 24 = bb 2 s 2 s ` & 18 = 4 ( s = 72 cm bulunur. x+6 = b b 4 a

A(BEG) = 24 cm2

G

F noktasından [DC] ye dik indirilirse

B

ABCD bir kare

|DF| = |FC|

24

45 6 H

= 64 – 44 = 20cm2 bulunur.

E) 169

[BF] ∩ [EC] = {G}

D

4 2

F

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

E

E

A(BEFG) = 16 cm2



= 82 – (24 + 4 + 16)

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 49

B) 64

C) 72

D) 81

E) 96

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

129

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM DELTOİD

Tanım: Tabanları ortak iki ikizkenar üçgenin birleşimine deltoid denir.

ÖZELLİKLERİ 1)

A

A

a

a [AC] ⊥ [BD]

a

D

B b

D

B

b

% % m` ABCj = m` ADCj

a

b

b C

C

α + 32 + 48 = 180

D

ABCD bir deltoid

D

[AC] köşegen 48°

A

32°

C

α B

|AB| = |AD| % m`BACj = 32 ° % m` ACDj = 48 °

B) 94

C) 100

α A

E

50°

D) 108

D

C

B) 110

140α

[DE] açıortay % m`BADj = 50 ° % m`BCDj = 30 ° C) 120

^

A

E

^

^

B + D = 280

50°

30°

C

70 70

D) 130

^

50 + 30 + B + D = 360

B

% Yukarıdaki verilere göre, m`BEDj = α kaç derecedir? A) 100

α = 100 bulunur.

E) 112

|AB| = |AD| 30°

48

32°

α + 80 = 180 C

B

ABCD bir deltoid

B

48°

α

% Yukarıdaki verilere göre, m` ABCj = α kaç derecedir? A) 90

32

A

^

2B = 280 ^

B = 140 olur.

D

ADEB dörtgeninde

E) 140

140 + 50 + 70 + α = 360 260 + α = 360 α = 100 bulunur.

A

4

ABCD bir yamuk

B

ABCE bir deltoid [AB] // [DC] E 2 D

A

|BC| = |EC|

4

|AB| = 4 cm x

C

|DE| = 2 cm

130

B) 6

C) 7

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

4

AB // DC % % m (ABC) = m (ACD) = a

B

DAC üçgeni ikizkenar olur. |DC| = |DA| = 6

E

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 5

a

a

D) 8

E) 9

D

x = 6 cm dir.

a

2

6 x

C

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A noktası E noktasına bir-

A

ABC bir üçgen

A

ADEF bir deltoid D

10

D

B

x

F

|AD| = |AF|

F

|AB| = 10 cm |AC| = 12 cm B

x

E

E

|BC| = 11 cm

C

12 leştirilirse [AE] açıortay olur. 10 12 = x 11 - x 12x = 110 – 10x

11-x C

22x = 110 x = 5 olur.

Yukarıdaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

C) 4

135°

7

x

A

E) 6

H

ABCD bir deltoid

B 5 2

D) 5

C

5 45

[AC] köşegen % m` ABCj = 135 °

5 2

A noktasından [BC] ye dıştan dik indirilirse B 135°

AHB ikizkenar dik üçgeni elde edilir.

7

x

A

C

|AB| = 5 2 cm |BC| = 7 cm

D

B) 10

(5 – 12 – 13 üçgeni)

D) 12

D

B 120°

30 30 3 3

3 3

120°

C) 12

x = 9 bulunur.

9 D

3 3

C

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir? B) 9

ACD üçgeni (30° – 60° – 90° özel üçgeni) olur. x

60 60

B

C

A) 6

[AC] köşegeni çizilirse açıortay olur.

A

|BC| = |CD| = 3 3 cm % m`BCDj = 120 ° % m`BADj = 60 °

x

x = 13 olur.

E) 13

ABCD bir deltoid

A

3 3

C) 11

AHC diküçgeninde 52 + 122 = x2 olur.

D

Yukarıdaki verilere göre, |AC| = x kaç cm dir? A) 9

|AH| = |HB| = 5 olur.

D) 15

E) 18

Açılar yerleştirildiğinde

B

[AC] ∩ [BD] = {E} A

75° E

15°

D

C

A

|AB| = |AD| % m` ACDj = 15 ° % m`BACj = 75 °

75°

75°

D

|AC| = 16 cm B) 6

C) 8

E

15°

15°

C

(15–75–90) özel üçgeni olur. |ED| = |BE| = h alınırsa, |AC| = 4h olur. 4h = 16

Yukarıdaki verilere göre, |BD| kaç cm dir? A) 4

ADC ve ABC üçgenleri

ABCD bir deltoid

B

D) 10

E) 12

h = 4 |BD| = 2h = 2 . 4 = 8 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

131

5. BÖLÜM

Dörtgenler Ve Çokgenler

2)

A

A



|AC| = e

a

|BD| =f

a

A

A

B

A(ABCD)=

D B

b

B

e.f 2

S

S

B

D

b

C

C

[AC] köşegeni çizilirse

A

ABCD bir deltoid

A 10

|AB| = |AD| = 10 cm

10

B

B

16

|DH| = |HB| = 8 olur.

10

6

8

|BC| = |DC| = 17 cm

D

16

17

10

D

8

|AH| = 6 olur.

15

|BD| = 16 cm

17

CHD dik üçgeninde (8–15–17)

17

17

|HC| = 15 olur. 168 .21 A(ABCD) = = 168 bulunur. 2

C C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 142

B) 154

C) 168

D) 174

E) 192

ABCD bir deltoid

A 6 E B

D

6 E

[AE] ⊥ [CE] S

B

|BC| = 10 cm |AE| = 6 cm

10

[AC] köşegeni çizilirse

A

|AB| = |AD|

AHD dik üçgeninde (6–8–10)

S

|AE|, ACD üçgeninin dıştan yüksekliği olur. 10.6 ⇒ S = 30 2 A(ABCD) = 2S = 2 . 30 = 60cm2

A(ADC) = S =

D

10

10

C

C

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) 180

ABC dik üçgeninde

B

[AC] ∩ [BD] = {E} A

4

E

9

C

A

[AB] ⊥ [BC] |AB| = |AD| |EC| = 9 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç A) 48

132

B) 56

cm2

C) 78

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

4

E

h

D

|AE| = 4 cm D

h2 = 4 . 9

h

ABCD bir deltoid

B

9

C

h2 = 36 h = 6 olur. |BD| = 2h = 12 olur. A(ABCD) =

dir? D) 92

E) 118

13.12 2

A(ABCD) = 78cm2

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM ÇOKGENLER

Konkav (İç Bükey) Çokgen: A

Tanım: n ≥ 3 olmak üzere, n tane doğru parçasının doğrusal olmayacak ve birbirini kesmeyecek şekilde birleştirilmesiyle oluşan kapalı ve düzlemsel şekle çokgen denir.

Konkav (İç Bükey) Çokgen:

D α B

Konveks (Dış Bükey) Çokgen:

C

Enaz bir iç açısı 180° den büyük olan çokgenlere

kankav

(iç

bükey)

çokgen

denir.

Konveks (Dış Bükey) Çokgen:

Konveks (Dış bükey) Çokgenlerin Özellikleri (n kenar sayısı ve n ≥ 3 için) 1) Bir dış bükey çokgenin belirlenebilmesi için Bu elemanlardan en az

n–2

2n–3

α > 180°

A

elemana ihtiyaç vardır. n–1

tanesi uzunluk, en çok

tanesi

açı olmalıdır.

B D

Bir dış bükey 18 genin çizilebilmesi için kaç elemana ihtiyaç vardır? A) 32

B) 33

C) 34

D) 35

E) 36

2n – 3 eleman verilmelidir.

C Bütün iç açıları 180° den küçük olan çokgenlere konveks (dış bükey) çokgen denir.

= 2 . 18 – 3 = 33 elemana ihtiyaç vardır.

2) Bir dış bükey çokgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenlerin sayısı n–3 oluşan üçgen sayısı

n–2

tanedir.

Bir dış bükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı 15 tane ise oluşan üçgen sayısı kaçtır? A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

Köşegen sayısı, n–3 = 15



üçgen sayısı = n–2





n = 18





= 18 – 2











= 16 tanedir.



10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

133

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

3) Bir dış bükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n–2) . 180° dir.

İç açılarının ölçüleri toplamı 1440° olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

(n–2) . 180 = 1440 (n–2)= 8 ⇒ n = 10 olur. 4) Bir dış bükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı

360° dir.

İç açılarının ölçüleri toplamı, dış açılarının ölçüleri toplamının 6 katı olan dış bükey çokgen kaç kenarlıdır? A) 10

B) 11

(n–2) . 180 = 6.360

C) 12

D) 13

E) 14

2



(n–2) = 12



n = 14 olur.

5) Bir dış bükey çokgenin köşegen sayısı

n. (n - 3) dir. 2

n. (n - 3) = 20 2

n. (n - 3) = 40 & n = 8 olur. . 8

İç açılar toplamı, Köşegen sayısı 20 olan dış bükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? A) 900

B) 1080

C) 1260

D) 1440

E) 1620

= (n–2) . 180 = (8–2) . 180 = 6.180 = 1080 olur.

n. (n - 3) = 5.n 2

n . (n - 3) = 10.n Köşegen sayısı kenar sayısının 5 katı olan dış bükey çokgenin iç açılarının toplamı kaç derecedir? A) 1980

B) 2160

C) 2340

D) 2520

E) 2700

n - 3 = 10 n = 13 İç açılar toplamı, = (n–2) . 180 = (13 – 2) . 180 = 11 . 180 = 1980° bulunur.

134

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM Düzgün Çokgen Düzgün Çokgenlerin Özellikleri

1) n kenarlı bir düzgün dış bükey çokgenin bir iç açısının ölçüsü 2) n kenarlı bir düzgün dış bükey çokgenin bir dış açısının ölçüsü

(n - 2) .180 dir. n

360 dir. n

Bir iç açısının ölçüsü 140° olan bir düzgün dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

Dış açısı = 180 – 140 = 40° bulunur. 360 9 = 40 & 40 .n = 360 n n= 9

Bir iç açısının ölçüsü bir dış açısının ölçüsünün 3 katı olan düzgün dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 6

B) 8

İç Açı 3x

Dış Açı x





C) 9

D) 10

E) 12

3x + x = 180 ⇒ 4x = 180 ⇒ x = 45° olur.

360 = 45 n

3608 = 45 .n 8 = n bulunur. 3) Bir düzgün çokgenin kenar sayısı tek sayı ise bir köşeden karşı kenara çizilen dik, hem açıortay, hem de kenarortay olur.

A



[AF]: Açıortay, kenarortay, yüksekliktir.

B

A

E

54

E

B

α

C

F

D

18 36

F

D

ABCDE bir düzgün dış bükey beşgen

A

|EF| = |FD| E

İç açı =

36 108

C

36 (n - 2) .180 (5 - 2) .180 3.180 = = 108° olur. = n 5 5

B α

[BF] açıortay olduğundan α + 36 = 54

F

% Yukarıdaki verilere göre, m`FBDj = α kaç derecedir? D

A) 12







α = 18° bulunur.

C

B) 14

C) 16

D) 18

E) 24

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

135

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

4) Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paralel olur.

A

6

A

ABCDEF bir düzgün altıgen

B

B

Kelebekte benzerlik yazılırsa

[AH] ∩ [BE] = {G} F

C

G

BG

|HD| = 2 cm

F

G

|EH| = 4 cm E

E

4

H 2D

Yukarıdaki verilere göre, A) 1 2

B) 2 3

BG oranı kaçtır? GE C) 3 2

D) 2

E) 5 2

Düzgün Altıgen A

a

B a

a F

C 60° a

Bir kenar uzunluğu a olan düzgün altıgen 6 eş eşkenar 2 üçgenden oluşur. Alan = 6. a 3 4

a 60°

60° a

E

D

A

ABCDEF bir düzgün altıgen

B

|BE| = 8 cm F

8

C

E

D

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCDEF) kaç cm2 dir? A) 24 3

B) 28 3

A

B

S

4

S F

8

S E

136

S

S S D

C) 32 3

S =

4 C

C

S =

D) 36 3 E) 40 3

42 3 4 16 4 3

&S= 4 3 4 A(ABCDEF) = 6 . 4 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

= 24 3 olur.

4

H 2D

GE

=

63

42

&

BG GE

=

3 olur. 2

Dörtgenler Ve Çokgenler

5. BÖLÜM

A

|GD| = 1 cm C

|EG| = 3 cm

E E

Bir iç açısı = 180 – 60

120 C

x

F

30

x

F

4

ABCDEF bir düzgün altıgen

B

Düzgün altıgenin bir dış açısı

30

A

B

4

|BD| = 4 3 bulunur. (30–30–120 özetüçgeninden) BDG dik üçgeninde x2 = 12 + ( 4 3 )2

G1 D

3

Yukarıdaki verilere göre, |BG| = x kaç cm dir? A) 4 3

B) 7

C) 5 2

= 120° olur.

m(BCD) = 120° olur. |BC| = |CD| olduğundan, % % m (CBD) = m (CDB) = 30 ° olur.

G1 D

3



360 = 60 ° olur. 6

D) 2 13

x2 = 1 + 48 ⇒ x2 = 49 ⇒ x = 7 dir.

E) 8

A B

α

C

A

ABCDEF.... bir düzgün çokgen B C 20°

T

20°

α

A, B, T ve F, E, T noktaları doğrusal % m` ATFj = 20 °

E F

Düzgün çokgenin dış açısı α olsun. B ve D noktaları K'ya birleştirilirse,

E

α + 20 + α = 180 – 2α olur.

F

Yukarıdaki verilere göre, düzgün çokgen kaç kenarlıdır? B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

FDC bir eşkenar üçgen α

B B F

66 60

48

66

C

60

% Yukarıdaki verilere göre, m` AEFj = α kaç derecedir? B) 36

C) 38

D) 42

C

α

E

B

E

|AB| = |BF|

2a 54 54

F

B 2a 30 60 a G

a D

C

C

% Yukarıdaki verilere göre, m` ABFj = α kaç derecedir? B) 48

C) 58

D) 68

Düzgün beşgenin bir açısı 108° olduα + 66 = 108 ⇒ α = 42 bulunur.

tay ve yükseklik olur.

α

G

A) 38



Düzgün beşgende açıortay aynı zamanda kenaror-

F

D



4α = 160

E) 44 A

[EG] açıortay



ğundan,

60

D

ABCDE bir düzgün beşgen

A



|FC| = |CD| = |DF| = |FD| olur.

α

E

A) 32

2α + 20 = 180 – 2α

A

F

D



α = 40° bulunur. 360 Kenar sayısı ⇒ = 40 n 40n = 360 ⇒ n = 9 bulunur.

ABCDE bir düzgün beşgen

A

E

T

D

D

A) 8

180–2α

|BG| = |GC| = a alınırsa,

|AB| = |BF| = 2a dır.

BFG üçgeni (30–60–90) üçgeni olur. Düzgün beşgenin bir iç açısı 108° olduğundan

α + 60 = 108



α = 48° bulunur.

E) 78

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

137

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

II. DERECEdEN DENKLEMLER a, b, c reel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere; ax2 + bx + c = 0 biçiminde yazılabilen ifadelere reel katsayılı, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemi sağlayan x değerlerinin her birine denklemin kökü, bu köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.

(a – 2) x3 + (b + 1) x2 – 3x + 2 = 0



denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a = 2 b = –1

B) a = –1

C) a = 2

b ≠ 2

D) a = –2

E) a = –2

b = –1

b ≠ –1

b ≠ –1

a – 2 = 0

b + 1 ≠ 0

a = 2

b ≠ –1

(m – 1) x2 +2(m + 1) x – 20 + 2m = 0



ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 2 olduğuna göre m kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

(m – 1) . 22 + 2(m + 1) . 2 – 20 + 2m = 0 = 4(m – 1) + 4( m + 1) – 20 + 2m = 0 = 4m – 4 + 4m + 4 – 20 + 2m = 0 = 10m – 20 = 0 m = 2

a 3 1 = x - 1 x + 1 x2 - 9 denklemini sağlayan x reel sayısı, A = {–3, –1, 1, 2, 3} kümesinin elemanlarından biri

olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 1 5

C) 6 5

D) 2

E) 16 5

Denklemi sağlayan x reel sayısı –3, –1, 1, 3 olamaz o halde kök x = 2’dir. a 3 1 = 2 - 1 2 + 1 22 - 9 1 a = 1-5 1 6 a = 1+ = 5 5

138

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM KÖK BULMA

1. Çarpanlara ayırarak kök bulma ax2 + bx + c = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ► x2 – 4x = 0 x (x - 4) = 0 x = 0 , x- 4 = 0 & x = 4

4 Ç. K = {0, 4}

► 6x2 – 12x = 0 _ b b 6x = 0, x - 2 = 0 ` Ç. K = {0, 2} b x= 0 , x= 2 b a 6x (x - 2) = 0

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a – b) (a + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapınız. ► (x + 2)2 = ► (x – 3)2 =

x2 + 4x + 4

► (x2 – 4)2 =

x4 – 8x2 + 16

x2 – 6x + 9

ax2 + bx + c biçimindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması

* x2 + (m + n)x + m . n x x

m n

x2 + (m + n)x + m . n = (x + m) . (x + n)

** ax2 + bx + c = 0 mx p q nx

m.n=a p.q=c m.q + n.p = b

ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

139

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ► x2 – 16 = 0 (x - 4) (x + 4) = 0

► x2 – 5x + 6 = 0 x –2

x

x - 4 = 0,

x+4 = 0

x = 4,

x=-4

(x - 2) (x - 3) = 0

4 Ç. K = {–4, 4}

x - 2 = 0,

x- 2 = 0 , x- 3 = 0

–3

x= 2

► 2x2 – 5x – 12 = 0 (2x + 3) (x - 4) = 0 & 2x + 3 = 0, 2x 3 3 x= x –4 2

x2 - 4x - 5 0 = x+ 1

►

(x - 5) (x + 1) =0 x+1

x-3 = 0 x= 3

4

x-4 = 0 x= 4

x- 5 = 0 x= 5

Ç . K = " 2, 3,

4 Ç. K = )- 3 , 43 2

4 Ç. K = {5}

► x2 – 6x + 9 = 0 x –3

x

(x - 3) (x - 3) = 0 & (x - 3) 2 = 0

x= 3

–3

► x2 – 2x – 3 = 0 x –3

x

+1

►

x2 - 9 0 = x+ 1

x- 3 = 0

(x - 3) (x + 1) = 0

x-3 = 0 x= 3

x+1 = 0 x= -1

(x - 3) (x + 3) = 0 & x - 3 = 0, x+1 x= 3

x+3 = 0 x=-3

4

Ç. K = {3}

4 Ç. K = {–1, 3}

4 Ç.

K = {–3, 3} a-4 = 2 a= 6

& x 2 + 6x - 16 = 0 -2 8

x x

xa–4 + ax – 16 = 0

denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı kaçtır? A) –8

B) –6

C) 2

D) 6

E) 8

a-3 = 2 a= 5

4

(x - 2) . (x + 8) = 0 x-2 = 0 x+8 = 0 x= 2 x=-8

(2 + (–8) = –6 bulunur.

& x2 + 5x – b = 0

ve x = 1 için

denklem sağlanmalı;

xa–3 + ax – b = 0 ikinci dereceden denkleminin bir kökü x = 1 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1

140

B) 5

C) 6

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 9

E) 11



= 12 + 5 . 1 – b = 0



= 1 + 5 – b = 0



= 6 – b = 0



b = 6 ⇒ a + b = 5 + 6 = 11

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

^x - 2h(x - 3). (x - 1) = (2 - x)(x - 3) x – 1 = –1





(x2 – 5x + 6) (x – 1) = (2 – x) . (x – 3) denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x = 0

ayrıca; sadeleştirilen terimler sıfır olduğunda da denklem sağlanacağından;

x – 2 = 0



x = 2

x – 3 =0 x =3

olduğundan denklemin üç farklı kökü vardır.

1 1 x2 - 3 + = x - 3 x - 1 x2 - 4x - 3

denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır? A) {1}

B) {3}

C) {1, 3}

E) ∅

D) R

x2 - 3 x-1+x-3 x2 - 3 1 + 1 = = & 2 x 3 x 1 x - 4x - 3 x 2 - 4x - 3 x 2 - 4x - 3

(x - 1)

(x - 3)

2x – 4 = x2 – 3 x2 – 2x + 1 = 0 (x-1)2 = 0

1 x – 1 = 0 bulunur. ancak ifadesinde x = 1 için payda sıfır olacağından x- 1 denklemin kökü yoktur.

2 – 4x + 3

5x

a ≠ 0 olmak üzere a° = 1’dir.

=1



denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 3}

B) {–1, 3}

C) {0, 1}

D) {1, –3}

E) {0, 3}

x 2 - 4x + 3 = 0 x x

-3 -1

4

(x - 3) (x - 1) = 0

x- 3 = 0 x- 1 = 0 x= 3 x= 1

x4 – 7x2 + 12 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–,2 – 3 ) B) { 3 , 2}

C) {–2,

3 , 2}

D) {–2, 2}

E) {–2, – 3 , 3 , 2}

x 4 - 7x 2 + 12 = 0 x

2

x

2

(x2

-3 -4

– 3) (x2 – 4) = 0

x2 – 3 = 0 x2 = 3 x= 3 , x=– 3

x2 – 4 = 0 _b b x2 = 4 ` Ç.K = {–2, - 3 , x=2 x=–2 bb a

3 , 2}

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

141

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

x2 + 1 = a dersek; (x2

+

1)2

–

9(x2

+ 1) + 18 = 0



a 2 - 9a + 18 = 0 (a - 6)



x2 + 1 = a

x2 + 1 = 3



x2 + 1 = 6

x2 = 2



x2



x=

denkleminin gerçel köklerinin toplamı kaçtır? A) –5

B) –3

C) 0

D) 3

E) 5

denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

3x = a dersek;

C) 1

D) 2

E) 3

5 + (-

5) +

4a - 3 = 0

-3 -1

a= 3



3x



A) {–1}

B) {0}

C) {1}

D) {–1, 1}

E) {0, 1}

= 3 1.0 = 0

6x + 10 = 3 + x

( 6x + 10 ) 2 = (3 + x) 2

⇒ 6x + 10 = 9 + 6x + x2 0 = x2 – 1 x = 1 x2 – 4 |x| – 12 = 0 denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x < 0 için,

x 2 + 4x - 12 = 0



x x

-2 +6

(x – 2)(x + 6) = 0 ⇒ x – 2 = 0 veya x + 6 = 0

x = 2

x = –6

Ayrıca x < 0 kabul ettiğimiz için x = 2 kök olmaz. kök olmaz. x = –6 olur. x > 0 için,

x 2 - 4x - 12 = 0 -6 +2

x x

(x – 6) (x + 2) = 0 x – 6 = 0 x = 6

veya

x + 2 = 0

x = –2

Ayrıca x> 0 kabul ettiğimiz için x=–2 kök olmayacağından kökümüz x =6’dır. x = –6 ve x = 6 yani 2 tane kök vardır.

142

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

a- 1 = 0 a= 1

x = 1



denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

2) = 0

3x = a



6x + 10 - x = 3

2 + (-

a 2 - 4a + 3 = 0 (a - 3) (a - 1) = 0 a a



(a - 3) = 0

a- 3 = 0 a= 3

5 x=- 5

9x – 4 . 3x + 3 = 0

B) 0

a- 6 a= 6

= 5 x= 2 x=- 2



A) –1

4

-6 -3

a a

x = –1

3x = 1 x =0

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

x =a x- 2

a 2 - 7a + 10 = 0 (a - 5) (a - 2) = 0

a

x 2 7x + 10 = 0 k x- 2 x- 2 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır? A) 4 B) 10 C) 5 4

a a

D) 10

4a - 5 = 0

C) 2

a- 2 = 0 a= 2

x =5a x- 2 x = 5x – 10

x = 2a x- 2 x = 2x – 4

4x = 10

4 =x

Kökler çarpımı:

D) 3

a= 5

x =a x- 2

5 x = 2

denkleminin birbirinden farklı reel köklerinin toplamı kaçtır? B) 1

-5 -2

E) 20

(x2 – 2x – 5)2 + 3x2 – 6x – 33 = 0

A) –2

dersek

E) 4

5 .4 = 10 bulunur. 2

(x2 – 2x – 5)2 + 3(x2 – 2x – 5) – 18 = 0 x2 – 2x – 5 = a dersek a 2 + 3a - 18 = 0 (a - 3) (a + 6) = 0 -3 +6

a a

4a - 3 = 0 a= 3

x2 – 2x – 5 = 3

a+6 = 0 a=-6

x2 – 2x – 5 = 3

x2 – 2x – 5 = –6

x2 – 2x – 2 = 0

x2 – 2x + 1 = 0

(x – 4).(x + 2) = 0

(x – 1)2 = 0

x = 4, x = –2

x – 1 = 0

Kökler toplamı = 4 + (–2) + 1 Kökler toplamı = 3

x = 1

2. Diskriminant (∆) yardımı ile kök bulma ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayrılmıyorsa bu denklemin köklerini diskriminant yardımıyla bulabiliriz.

∆ = b2 – 4ac

1. ∆ > 0 ise farklı iki reel kök vardır.

2. ∆ = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır

çakışık iki kök vardır.



Çift katlı kök vardır.

3. ∆ < 0 ise reel kök yoktur.

∆ ≥ 0 ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere;



x1 = - b - T , 2a

x2 = - b + T 'dir. 2a

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

143

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. ► x2

T = 3 2 - 4.1. (- 2) = 9 + 8 = 17

+ 3x – 2 = 0

► x2 – 2x – 5 = 0

x1 =

- 3 - 17 - 3 + 17 , x2 = 2 2

T = (- 2) 2 - 4.1. (- 5)

x1 =

= 4 + 20 = 24

► x2 + 4x – 1 = 0

x2 =

T = 4 2 - 4.1. (- 1)

x1 =

= 16 + 4 = 20

x2 =

2-

2

2+

2

24 24

= 1-

6

= 1+ 6

- 4 - 20 =-22

5

- 4 + 20 =-2+ 5 2

Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. ► x2 + 4x + 6 = 0 ( D = 42 – 4. 1. 6 = = – 8 ( D < 0 olduğundan reel kök yoktur.

► x2 – 2x + 2 = 0 ( D = (–2)2 – 4. 1. 2 = – 4 ( D < 0 olduğundan reel kök yoktur.

► x2 – 6x + 9 = 0 ( D = (–6)2 – 4. 1. 9 = 0 ( D = 0 olduğundan çakışık kök vardır. 6- 0 6+ 0 = 3 ; x2 = =3 x1 = 2 2

Eşit iki kök olduğuna göre D = 0 olmalıdır. x2 + mx + m + 8 = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçel kökü olduğuna göre, m’in pozitif değeri kaçtır? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 16

mx2 + x – 3 = 0 ikinci dereceden denkleminin gerçel kökü olmadığına göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) - 5 B) - 1 C) - 1 D) 1 E) 1 12 12 24 12 3 gerçek kök yoksa D < 0 olmalıdır. D = 12 – 4.m(–3) < 0 ⇒ 1 + 12m < 0

1 12 1 O halde cevap – 'den küçük olan tek seçenek olan A şıkkıdır. 12

144

⇒ 12m < – 1 ⇒ m < –

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D = m2 – 4 . 1 (m + 8)

⇒ m2 – 4m – 32 = 0

(m – 8) . (m + 4) = 0 m = 8, m = 4 m'in pozitif değeri 8'dir.

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

(m – 1)x2 + 9x + 3



ikinci dereceden denkleminin birbirinden farklı iki gerçek kökü olduğuna göre m’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

Farklı bir gerçel kök var ise D > 0 olmalıdır. D = 92 – 4.(m – 1). 3 ⇒ 93 – 12m > 0 ⇒ 93 > 12 m O halde m'nin alabileceği en büyük tamsayı değeri 7'dir.

x2 – 8x + (m + 2) = 0 denkleminin reel köklerinin olması için m’in alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Denklemin gerçek kökleri olabilmesi için D≥0 olmalıdır. D=82 – 4.1.(m+2) ⇒ 56 – 4m ≥ 0 ⇒ 56 ≥ 4m ⇒ 14 ≥ m Bu durumda m'in alabileceği 15 tane doğal sayı değeri vardır.

x6 – 5x3 – 6 = 0 denkleminin kaç farklı reel kökü vardır? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x3 = a dersek (x3)2 – 5x3–6 = 0 a 2 - 5a - 6 = 0 a

-6

+1 a a = 6 veya

x3 = 6 veya x =3 6

4

(a – 6) . (a + 1) = 0

a =– 1

x3 = – 1

x = – 1 olduğundan iki farklı reel kök vardır.

x2 – 3x + 5 = 0 denkleminin köklerinden biri a’dır. Buna göre a + 5 ifadesinin eşiti kaçtır? a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Köklerden biri a ise a değeri denklemi sağlamalı; a2 – 3a + 5= 0 3a a2 + 5 5 = 3 bulunur. ayrıca a2 + 5 = 3a⇒ a + = & a a a

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

145

6. BÖLÜM

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

Karmaşık Sayılar ax2 + bx + c = 0 İkinci dereceden denkleminin reel sayılarda çözüm kümesi ∆ < 0 iken ∅’dır. Bu tür denklemlerin köklerini içine alan yeni bir kümeye ihtiyaç vardır. Tanım: a, b∈R ve i2 = –1 olmak üzere z = a + bi biçiminde ifade edilen z sayısına karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. C = {z| z = a + bi, a, b∈R ve i2 =



- 1}

Burada; - 1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir.

►

► a sayısına, karmaşık sayının reel kısmı denir. Re(z) = a ► b sayısına karmaşık sayının sanal kısmı denir. İm(z) = b

Aşağıdaki ifadelerin sanal sayı birimi şeklindeki eşitlerini bulunuz. ►

- 4 = 2i

►

- 18 = 3i 2

►

- 4 . - 9 = 2i . 3i = 6i2 = – 6

►

- 4 + 3 - 8 . - 9 - - 16 = 2i + (–2) . 3i – 4i = 2i – 6i – 4i = – 8i

►



- 4 . - 5 = 2i .i 5 & 2i i. 2 . 5 2 - 10

z1 = 3i

z2 = 2 + 3i z3 = 4 z4 = –5 + 4i karmaşık sayıları için aşağıdaki ifadeleri bulunuz. ► Re(z1) + Re(z3) Re(z1) = 0, Re(z3) = 4 ⇒ Re(z1) + Re(z3) = 0 + 4 = 4



► Re(z4) – im(z1) Re(z4) = –5, im(z1) = 3 ⇒ Re(z4) – im(z1) = –5 – 3 = – 8



► im(z1) – Re(z2) + im (z2) im(z1)= 3, Re(z2) = 2 , im(z2)=3 ⇒ im(z1)–Re(z2) + im(z2) = 3– 2+ 3=4 ► im(z2) . im(z4) – Re(z1) . Re(z3) im(z2)=3, im(z4)=4, Re(z1) = 0, Re(z3)=4⇒ im(z2) . im(z4)–Re(z1) + Re(z3)

146

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

⇒ 3 . 4 – 0 . 4 = 12

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM i’nin kuvvetleri i0 = 1 .................. i4n = 1 i1 = i .................. i4n+1 = i i2 = –1 .................. i4n+2 = –1 i3 = –i .................. i4n+3 = –i i4 = 1

i16 + i13 + i9 – i27 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) i + 1

B) 2 + 2i

C) 1 + 3i

D) 2 + 2i

E) 3 + i

D) 1

E) 2

i4 + i1 + i1 – i3

= 1 + i + i– (–i)



= 1 + 2 i – i



= 1 + i



A = i + i2 + i3 + ...... + i30

A karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

A = i + (–1) + (–i) + 1 + ..... + 1 + i + (–1) 0 + 0 + 0 + ..... + 0 + i – 1 = i – 1

Re(A) = – 1

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama – Çıkarma Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken reel kısımlarla kendi içinde sanal kısımlarla kendi içinde işlem yapılır. z1, z2 ∈C z1 = a + bi z2 = c + di olmak üzere, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

147

6. BÖLÜM

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

z1 = 1 – 3i z2 = 2 + i olduğuna göre, aşağıdaki ifadeleri bulunuz. ► z1 + z2 = (1 – 3i) + (2 + i) = 3 – 2i

► z1 – z2 = (1 – 3i) – (2 + i) = 1 – 3i – 2 – i = – 1 – 4i

Çarpma Karmaşık sayılarda çarpma, dağılma özelliği kullanılarak yapılır.  z1 z2 ∈C z1 = a + bi z2 = c + di olmak üzere z1 . z2 = (a + bi) (c + di) = ac + a . di + b . ci + b . di2 = (ac – bd) + i(ad + bc)  k ∈R olmak üzere,

k . z1 = k . (a + bi)

= k . a + k . bi

z1 = 5 – 2i z2 = 2 + i olduğuna göre, aşağıdaki ifadeleri bulunuz. ► z1 . z2

(5 – 2i) . (2 + i) ⇒ (10 + 5i – 4i – 2i2) ⇒ 10 + i + 2 ⇒ 12 +i

► 4z1

4. (5 – 2i) = 20 – 8i

► 2z1 + 3z2 – z1 . z2

2. (5 – 2i) + 3(2 + i) – (5 – 2i) . (2 + i) ⇒ 10 – 4i + 6 + 3i – 12 – i



148

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

⇒ 4 – 2i

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM



(1 + i) (1 – 2i) + (3 – i) (2 + 2i)

karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? A) 3

B) 8

C) 9

D) 11

E) 14

(1 –2i + i – 2i2) + (6 + 6i – 2i – 2i2) (1 – i + 2) + (6 + 4i + 2) 3 – i + 8 + 4i = 11 + 3i ⇒ Reel kısım 11 bulunur.



(2 – i3) (–i2 + i9) . (2 + i36)

karmaşık sayısının imajiner kısmı kaçtır? A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

E) 9

(2 –(–i)) . (–(–1) + i) . (2 + 1)

⇒ (2 + i) . (1 + i) . 3 ⇒ (2 + 2i + i + i2) . 3 ⇒ (1 + 3i) . 3



⇒ 3 + 9i imajiner kısım 9 bulunur.



(1 – i)10 + (1 + i)10

işleminin sonucu kaçtır? A) –64i

B) –32

C) 0

D) 32

E) 64i

[(1 – i)2]5 + [(1 + 1)2]5 ⇒ (–2i)5 + (2i)5 ⇒ 0

Karmaşık Sayıların Eşitliği z1, z2 ∈C z1 = a + bi z2 = c + di olmak üzere, z1 = z2 ise a = c ve b = d’dir.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

149

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM



2 . (1 + i) – (2 – i) = x + iy

olduğuna göre, (x, y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 1)

B) (0, 3)

C) (3, 0)

D) (4, 1)

E) (4, 3)

2 + 2i – 2 + i = x + iy

3i = x + iy



x = 0



2z – 4i = 16 – 16i

y = 3 ⇒ (x, y) = (0, 3)

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 – i

B) 8 + i

C) 8 – 6i

D) 16i

E) 8 + 2i

2z = 16 – 12i z = 8 – 6i

Karmaşık Sayının Eşleniği z∈C ve z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir ve z = a – bi dir.

Aşağıda verilen karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz a. 2 + i

2 – i

b. 1 + 5i

1 – 5i

c. –4i + 3

3 + 4i

d. 5



5

e. 2i



–2i

f. 1 +

150

3

1+ 3

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM



z =1–

2 + 3i

olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 +

2 + 3i

B) 1 + D) 1 –

z = 1-

2 + 3i

z = 1-

2 - 3i

2 – 3i

2 – 3i

C) 1 +

2 – 3i

E) –1 – 2 + 3i

olur.

Özellikler ( z) = z z1 ! z2 = z1 ! z2 z1.z2 = z1.z2 z1: z2 = z1 : z2 (z1n)

= (z1)

( z 2 ! 0)

n

z = a + bi olmak üzere z . z = a2 + b2



z 1 2 + 3i

z2 = 5 – 2i olduğuna göre, z1.z2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + i

B) 4 + 11i

C) 16 + i

D) 11 + 16i

E) 16 + 11i

z1 .z 2 = z1 .z 2 = (2 + 3i) . (5 - 2i)

10 - 4i + 15i - 6i 2

16 + 11i

Bölme Karmaşık sayılarda bölme yapılırken pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. z1 a + bi z2 = c + di z1 (a + bi) (a + bi) (c - di) z2 = (c + di) = (c + di) (c - di) c - di

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

151

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

z = 2 + 3i 1 - 2i olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 - 8 i B) 4 - z i C) - 4 + 7 i D) 8 + 1 i E) 8 + 7 i 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

z=

(2 + 3i) (2 + 3i) (1 + 2i) 2 + 4i + 3 i + 6 i 2 - 4 + 7i -4 7 = = = = + i 1 4 5 5 5 + (1 - 2i (1 - 2i) (1 + 2i) (1 + 2i)



z = 3 – 2i

z karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 - 2 i B) 2 + 3 i 13 13 13 13

C) 3 - 2 i D) 3 + 2 i E) 5 + 3 i 5 5 13 13 13 13

z karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi

1 1 1 3 2 olur. & i = = + 13 13 z 3 - 2i 3 - 2i

1 ’dir. O halde z

(3 + 2i)

z = 2- i 3 - 2i olduğuna göre, im(z–1) değeri kaçtır? A) - 8 B) - 1 C) 1 D) 7 E) 8 5 5 5 5 5

z- 1 =

3 - 2i 3 - 2i (3 - 2i) . (2 + i) 6 + 3i - 4i - 2i 2 & z- 1 = = = 4+1 5 2-i 2-i

8 1 = - i 5 5 im (z- 1) = -

(2 + i)

1 5

II. Dereceden Bir Denklemin Sanal Köklerini Bulmak

a, b, c ∈R ve a ≠ 0 için,

ax2 + bx + c = 0

ikinci dereceden denkleminin ∆ < 0 iken gerçek sayılarda çözüm kümesi ∅ dir. Ancak bu durumda denklemin sanal iki kökü vardır.

152

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–2i}

B) {2i}

C) {–2i, 2i}

D) {–2, 2}

E) ∅

x2 = – 4 x =

- 4 ⇒ x = 2 ve x = – 2i ⇒ Ç. K = {–2i, 2i}

x2 – 4x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–2i, 2i}

B) {4 – 4i, 4 + 4i} D) {–2 –2i, –2 + 2i}

C) {2 – 2i, 2 + 2i} E) {–4i, 4i}

T = 16 - 4.8 = 16 - 32 = - 16 x1 =

-b" T x1, 2 = 2a

x2 =

4-

4 - 4i - 16 = = 2 - 2i 2 2

4 + - 16 4 + 4i = = 2 + 2i 2 2

x2 – 2x + 10 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre İm(x1 . x2) kaçtır? A) –3

B) 0

C) 1

T = 4 - 40 = - 36 -b" T x1, 2 = 2a

x1 = x2 =

2-

D) 3

E) 10

2 - 6i - 36 = = 1 - 3i 2 2

2 + - 36 2 + 6i = = 1 + 3i 2 2

x1 . x2 = (1 – 3i) (1 + 3i) = 10

im = (x1 . x2) = 0

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

153

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

x2 + 4x + m denkleminin birbirinden farklı sanal iki kökü olduğuna göre m’nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

T 0 ise mümkündür.

C) 9

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 10

E) 11

∆ = (–6)2 –4 . 1 . m > 0



36 > 4m



9 > m



m’in en büyük değeri 8 olur.

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

Parabol x eksenini kesmiyorsa, bu reel kök anlamına gelir. Bu da ∆ < 0 olması ile

f(x) =

x2

mümkündür.

– ax + 4

parabolü x eksenini kesmediğine göre, a’nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10



∆ = (–a)2 – 4 . 1 . 4 < 0

a2 – 16 < 0 a2 < 16

–4 < a < 4

(–4, 4) aralığında 7 farklı tam sayı değe

ri vardır.

f(x) = x2 – (3a – 6)x – 11 + a

parabolünün tepe noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

Tepe noktası y ekseni üzerinde ise x = 0 doğrusu simetri eksenidir. O halde r = 0 olmalıdır.

- (3a - 6) =0 2 3a - 6 = 0

r=

a= 2

bulunur.

f(x) = x2 – 9 y = 0 için,

0 = x2 – 9



x = –3

x = +3

parabol x eksenini x = 3 ve x = –3 noktalarında kesmektedir. Bu noktalar arasındaki uzaklık |–3–3| = 6 birimdir.



f(x) = x2 – 6x + 10

parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A)

2

B) 2

C) 2 2

D)

10

E) 5

Parabolün tepe noktası; T(r, k) ⇒ r = –



-6 =3 2

_ k = f (r) = f (3) = 3 2 - 6.3 + 10 b b = 9 - 18 + 10 ` T (1, 3) b b =1 a

T(1, 3) noktasının orijine uzaklığı; |OT| =

12 + 32 =

1+9 =

10 olur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

167

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

y = ax2 + bx + c parabolünün grafiği verilmiştir. Buna

y

göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? x

O

A) –, +, +

B) +, –, +

C) –, +, –

D) –, –, +

E) –, –, –

1. Parabolün kolarının yönü aşağı doğru olduğundan a < 0’dır. 2. T(r, k), tepe noktası II. bölgede olduğundan r < 0 olmalıdır. Yani o halde b < 0 olur.

-b 0 olmak üzere, B(k, O) Şekilde ABCD karesinin B ve C köşeleri y = 8 – x2 parabolünoktası olsun. O halde A(–k, O) noktası olur. Yani

y D

C

A O

B

A) 4

üzerindedir. Buna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?

|AB| = 2k birimdir. ABCD kare olduğundan |BC| de 2k birim olmalı,

x

B) 8

C) 9

D) 16

2k = 8 – k2 ⇒ k2 + 2k – 8 = 0 k –2 k +4

E) 25



(k – 2) (k + 4) = 0



k = 2 ve k = –4

k > 0 olduğundan k = 2’dir. Karenin bir kenar uzunluğu 2k yani 11 birim olur. Bu durumda A(ABCD) = 42 = 16 olur.

f(x) = x2 – 4x – 12 T

parabolünün eksenleri kestiği noktalar A, B ve C’dir. Buna göre, A (ABC) kaç br2 dir? A) 24

B) 28

C) 36

D) 42

E) 48

Parabolün eksenleri kestiği noktalar;



x = 0 için;

y = o2 – 4 . 0 – 12 = –12 _ 0 = x 2 - 4x - 12 b (x + 2) (x - 6) = 0 x -6 b dır. x +2 ` b x = - 2 ve x = 6 a Y



f(x) = x2 – 3x – 4

-2 A

fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(x + 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)

-1

y

y

B)

O

4

x

O

-2

y

C)

x

3

-1

O

y

O

x



4

x O

8.12 = 48 2

olur.

y

E)

5

X

-12 B

A (ABC) =

D)

6 C

-2

O

2

x y y

–1

f(x) fonksiyonun grafiği;

y = x 2 3x - 4 (x - 4) (x + 1) = y x x

-44 +1

x = 4 ve x = –1

apsisli noktalarda x eksenini y = –4 noktasındada y eksenini keser.



O

4

x

–2

-4

f(x + 1) ise f(x) fonksiyonunun 1 birim sola ötelenmiş halidir. Yani;



O

3

x

olmalıdır.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

169

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

A(–k, O) olsun Bu durumda |O A | = k y

A

A)

2 B) 3 C) 2 3 D) 2 3 6 6 3

ABCD

kare

olduğundan

dinatları (–k, k) olur. Karenin alanı; k 2 = 18 k = 18 = 3 2

x

O

ve

|AC| = k birim olur. Yani C noktasının koor-

Karenin alanı 18 br2 olduğuna göre, m kaçtır?

B

C

birim

Şekilde y = mx2 parabolü ile AOBC karesi verilmiştir.

y = mx2

o halde C(– 3 2 , 3 2 )’dir. Bu durumda C

3 2

noktası parabolün denklemini sağlayacağından;

y = f(x) parabolünde,

f(0) = f(4)



f(–2) = f(m)

olduğuna göre, m kaçtır? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7 Y

x = –2 noktası x = 0 noktasının 2 birim

y = f(x)

solunda ise bu noktanın ordinatına eşit olan diğer nokta x = 4 noktasının 2 birim sağında olmalıdır. Yani x = 6 noktasıdır.

- 2-2 O

-2 4 6

X

y

►

r O f(r)

a > 0 için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu en x

küçük değerini tepe noktasında alır.

T(r, k) y T(r, k)

f(r)

►

a < 0 için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu en r O

x

büyük değerini tepe noktasında alır.

Aşağıda verilen fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz. ► f(x) = x2 – 4x – 5 -4 T(r, k) ⇒ r = – = 2 , k = f(2) 2 parabolün en küçük değeri –9 dur.

170

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

22 – 4 . 2 – 5 = –9



y = mx2 ⇒ 3 2 = m(–3 2 )2







m =

2 6

bulunur.

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM ►

f(x) = –x2 + 6x + 2 -6 T(r, k) ⇒ r = – = - 3 , k = f(–3) = –(–3)2 + 6 . (–3) + 2 = –25 -2 parabolün en büyük değeri –25’tir.

► f(x) = 2x2 + 4x + 6 ►

4 = - 1 , k = f(–1) = 2 . (–1)2 + 4 . (– 1) + 6 = 4 4 parabolün en küçük değeri 4’tür.

T(r, k) ⇒ r = -

f(x) = 4 – x2 0 = 0 , k = f(0) = 4 -2 parabolün en büyük değeri 4’tür. T(r, k) ⇒ r = –

► f(x) = x2 – 4x + 5 ►



Parabol

-4 = 2 , k = f(2) = 22 – 4 . (2) + 5 2 parabolün en küçük değeri 1’dir. T(r, k) ⇒ r = –

en

küçük

değerini

tepe

nok-

tasında alır. Yani f(3) = –1’dir. Ayrıca x = 3 simetri ekseni ise r = 3’tür. a =3 2 a = - 6 ve

r=-

f(x) = 8x – x2 8 = 4 , k = f(4) = 8 . 4 – 42 = 16 -2 parabolün en büyük değeri 16’dır.

T(r, k) ⇒ r = –



f (3) = - 1 & 3 2 - 6.3 + b + 4 = - 1 9 - 18 + + b + 4 = - 1 b+4 = 8



f(x) =

x2

b = 4 bulunur. f (b) = f (4)

+ ax + b + 4

parabolünün simetri ekseni x = 3 doğrusu ve alabileceği en küçük değer –1 olduğuna göre, f(b) kaçtır? B) –1

A) –6

C) 0

D) 6

E) 10



& 4 2 - 6.4 + 8 & 16 - 24 + 8 = 0 bulunur.

(A – B) farkının en az olması için A’nın en

A = x2 + 6x + 1



B = –x2 + 6x + 8

küçük B’nin ise en büyük değerini alması gerekir.

parabolü veriliyor. Buna göre, A – B farkının en küçük değeri kaçtır? B) –7

A) –25

C) 1

D) 16

E) 21

6 =-3 2 k = f(–3) = (–3)2 + 6.(–3) + 1

min(A) ⇒ T(r, k) ⇒ r =

= 9 – 18 + 1 = –8’dir.

6 =3 -2 k = f(3) = –32 + 6 . 3 + 8

maks(B) ⇒ T(r, k) ⇒ r = – ►

f : [a, b] → R

f(x) = ax2 + bx + c parabolünün en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için f(a), f(b) ve eğer r∈[a, b] ise f(r) değerlerine bakılır. Bu değerlerden en büyük ve en küçük olanlar seçilir.



= –9 + 18 + 8



= 17 olur.



min(A – B) = –8 – 17 = –25

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

171

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

Aşağıda verilen fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz. ► f: [–2, 3] → R



► f: [1, 2] → R

f(x) = x2 – 4x – 12

f(x) = 2x2 – 2x – 4

-4 = 2 ve 2t (- 2, 3) 2 olduğundan en küçük değerdir.

1 -2 1 ve d61, 2@ oldu= 4 2 2 ğundan

f(2)= 22 – 42. 2 – 12 = –16

f(1)=2 . (1)2 – 2 . 1 – 4 = –4

r=-

r =





f(2) = 2 . (2)2 – 2 . 2 – 4 = 0

f(3) = (3)2 – 4 . 3 – 12 = 9 en büyük değerdir.

f(x) =

–x2

en büyük değerdir.



► f: [–1, 2] → R

en küçük değerdir.

f(–2) = (–2)2 – 4(–2) – 12 = 0

► f:[2, 4] → R

+ x + 6

1 1 1 ve d 6- 1, 2@ = 2 2 2 olduğundan

r=-

r=-

1 1 2 1 o = -e o +e o+ 6 2 2 2 1 1 25 &- + + 6 = 4 2 4 f (- 1) = - (- 1) 2 + (- 1) + 6 = 4 f (2) = - (2) + 2 + 6 = 4

-2 = 1 ve - 1d62, 4@ 2

olduğundan

fe

2

f(x) = x2 – 2x + 4

f(2) = 22 – 2 . 2 + 4 = 4 en küçük değer.

4

f(4) = 42 – 2 . 4 + 4 = 12 en büyük değer.

en küçük değerdir.



y = a . (x – (–4)). (x – 1) ⇒ y = a . (x + 4) . (x – 1)

ayrıca x = 0 için y = –8 olduğundan,



–8 = a . (0 + 4) . (0 – 1)



–8 = –4a



a = 2’dir. Yani

Grafiği Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması



1. Eksenleri kestiği noktalar bilinen parabolün denklemi





►

y

x1

O

x2

y = 2(x + 4) (x – 1) = 2x2 + 6x – 8 olur. y

y = a . (x – x1) (x – x2)

x

-3

O

3

x

-9



y = a . (x – (–3)) . (x – 3)



y = a . (x + 3) (x – 3)

Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemlerini bulunuz.



►



–9 = a. (0 + 3) (0 – 3)



–9 = –9a

y

-4

O



1

x

-8

172

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

ayrıca x = 0 için y = –9 olduğundan



a = 1’dir. Yani



y = 1(x + 3) (x – 3)

y = x2 – 9 olur.

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM ►

y

O

3

4

x

-12



y = a . (x – 3) (x – 4)



ayrıca x = 0 için y = –12 olduğundan



–12 = a . (0 – 3) (0 – 4)

⇒ –12 = 12a



a = – 1’dir. Yani



y = –1(x – 3) (x – 4)



= –x2 + 7x – 12

2. Tepe noktası bilinen parabolün denklemi; y



r O

y = a . (x –r)2 + k

x

f(r) T(r, k)

Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemlerini bulunuz. ►

y



13 1 O

x

2

►

y T(-2, 10)

10 8

-2

x

O

►

y

8 -2

O

x



T(2, 1) ⇒ y = a . (x – 2)2 + 1 ayrıca



x = 0 için y = 13 olduğundan



13 = a . (0 – 2)2 + 1 ⇒ a = 3 olur.



y = 3 (x – 2)2 + 1 = 3x2 – 12x + 13 bulunur.



T(–2, 10) ⇒ y = a . (x – (–2))2 + 10 ⇒ y = a(x + 2)2 + 10



ayrıca x = 0 için, y = 8 olduğundan



8 = a . (x + 2)2 + 10



–2 = 4a



1 a = - 2

1 . (x 2 + 4x + 4) + 10 2 1 y = - x 2 - 2x + 8 2 y=-



T(–2, 0) ⇒ y = a . (x –(–2))2 + 0 ⇒ y = a . (x + 2)2



ayrıca x = 0 için y = 8 olduğundan



8 = a . (0 + 2)2



8 = 4a



a = 2



y = 2(x + 2)2 = 2x2 + 8x + 8 bulunur.

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

173

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

T(4, 8) ⇒ y = a(x –4)2 + 8 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,

y

f(6) kaçtır?

8 (5, 7)

x

4

O

A) –8

B) –4

C) 2

D) 4

E) 6

ayrıca parabol (5, 7) noktasından geçtiğinden f(5) = 7 olmalıdır.

f(5) = a. (5 – 4)2 + 8 = 7



7 = a + 8



a = –1 bulunur.



f(x) = –(x – 4)2 + 8



f(6) = –(6 – 4)2 + 8



= –4 + 8 = 4 olur.

f(x) = a . (x – (–5)) . (x – 1) y

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, taralı üçgenin alanının en büyük değeri kaçtır?

5 A

O

-5

A) 18

1

x

B) 27

C) 36

D) 42

E) 54



= a . (x + 5) . (x – 1) ayrıca



x = 0 için y = 5 olduğundan



5 = a . (5) . (–1)



a = –1 bulunur.

f(x) = –(x + 5) (x – 1) = –x2 – 4x + 5 ayrıca üçgenin alanının en çok olabilmesi için üçgenin yükseklik değerinin büyük

Tepe noktası (–1, 2) olan ve (0, 6) noktasından geçen parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

seçilmesi gerekir. Buna göre, A noktası tepe noktasından seçilirse

-4 = r = –2 -2

E) 3



T(r, k) ⇒ r = –

T(–1, 2) ⇒ y = a(x + 1)2 + 2 ayrıca x = 0 için y = 6 olacağından



k = f(–2) = –(–2)2 – 4(–2) + 5

A) –2

B) –1



6 = a(1) + 2



a = 4 olur.

C) 1

D) 2



y = 4(x + 1)2 + 2 ⇒ 4x2 + 8x + 6 = y bulunur.



Soruda istenen apsisler toplamı kökler toplamıdır.

x1 + x2 = –



b a

= –

8 = - 2 4

Buna göre, |OT| uzunluğu kaç birimdir? T

A) 2

174

T(r, k) için

y = a(x – r)2 + k olduğundan grafiği verilen parabolün tepe noktası T(3, 4)’tür.

B) 5

olur.

T(3,4) noktasının orijine uzaklığı;

x

O

2 9.6 = = 27 2

bulunur.

Şekilde y = 2(x – 3)2 + 4 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

y

Alan =

= –4 + 8 + 5 = 9 yükseklik x taban

C) 7

10. Sınıf / Matematik / Akıllı Defter

D) 8

E) 10

|OT| =

32 + 42 = 5

bulunur.

II. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar

6. BÖLÜM

(0, 0) ve B noktası parabol ile doğrunun kesişim noktalarıdır. B nokasının koordinatŞekilde y = x2 parabolü ve y = –4x doğrusu verilmiştir. Buna

y

göre A(OABC) kaç br2 dir?

y = x2



C

B

A

x2 = –4x ⇒ x2 + 4x = 0

x

O

x = 0

y = -4x

A) 16

larını bulmak için ortak çözüm yapılırsa;

x(x + 4) = 0

x = –4 kesişim noktalarının apsisleridir.

x = –4 için;

B) 24

C) 36

D) 48

E) 64



y = x2 ⇒ y = (–4)2= 16 olur.

Yani B(–4, 16)’dır.

A(OABC) = 4 . 16 = 64 bulunur.



y = mx2 – 5x – 2



y = x2 – 3x + 2

parabollerinin kesim noktalarından birinin apsisi 3 olduğuna göre, m kaçtır? B) 19 C) 5 9 3

A) 2

D) 5

E) 19 3

İki parabolün kesim noktası apsisi x = 3 noktasında aynı y değerine sahip olmalılar.

m(3)2 – 5 . 3 – 2 = 32 – 3 . 3 + 2



9m – 15 – 2 = 9 – 9 + 2



qm = 19



m =

19 bulunur. 9 y

►

ax2 bx2 cx2

Katsayı büyüdükçe parabolün kolları x

O



daralır. a>b>c Parabollerin kollarının yönünde

Şekilde y = ax2, y = bx2 ve y = cx2 parabolleri verilmiştir.

y

Buna göre, a, b ve c arasındaki sıralama aşağıdakilerden

ax2

hangisidir? x

O

a > 0



b < 0



c < 0

ayrıca cx2 parabolünün kolları daha dar olduğundan

cx2 bx2

A) a