10 Relaciones Metricas en El Triangulo Rectangulo

 

 

Colegios

GEOMETRÍA

TRILCE

Semana 10 Quinto Qui nto Católic Católica a

RELA RE LACI CION ONES ES MÉ MÉTR TRIC ICAS AS EN EL TR TRIÁ IÁNG NGUL ULO O RE RECT CTÁN ÁNGU GUL LO

Proyección ortogonal La proyección ortogonal de un punto sobre una recta; es el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta. Esta perpendicular se denomina proyectante y la recta eje de proyección.

 A Proyectante L  A'



Eje de Proyección

" A' " es la proye proyecci cción ón de "A" "A" sobre sobre   L

  En el triá triángu ngulo lo

.   AH  es la proyección de "c" sobre "b" .   HC  es la proyección de "a" sobre "b" B N c

 A

H

a

C b

.   NC  es la proyección de "b" sobre "a" .   BN  es la proyección de "c" sobre "a"

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo B a

c   h  A

n

m H

a y c : Catetos b : Hipotenusa h :  Altur  Altura a rela relativa tiva a la hipotenusa hipotenusa n : Proyección del cateto "c" sobre la hipotenusa "b" C m : Proyección del cateto "a" sobre la hipotenusa "b"

b

TRILCE   C Ca atólica

 

59

 

Ciclo  Católica

* Te Teor orem ema a 1: En todo todo triángu triángulo lo rectá rectáng ngulo ulo,, un cateto cateto es la media media propo proporci rciona onall entre la hipote hipotenus nusa a y la proyecc proyección ión de dicho dicho cateto cateto sobre sob re la hipote hipotenus nusa. a. a2 = b.m

c2 = b.n

Demostración:  ABH ~

ABC B

B c n = b c



c

c

2





n

 A BHC ~

H

 

 

A

c = b.n



C

b

ABC B

B

a



a

b

a

=

m a

2





m  

H



 A

C

a = b.m

b  

C

* Te Teor orem ema a 2: En todo todo triáng triángulo ulo rectán rectángu gulo lo la altura altura relativ relativa a a la hipote hipotenu nusa sa es la media media pr propo oporci rciona onall entre entre las pr proye oyeccio ccione ness de los catetoss sobre la hipotenusa. cateto hipotenusa. h2 = m.n Demostración:  ABH ~

BHC B

B

 



h

h n = m h

h

2

h = m.n  A



n

H



H

m

C

* Te Teor orem ema a 3: En todo triángulo triángulo rectángulo rectángulo el producto producto de los catetos catetos es igual al producto producto de la hipotenusa hipotenusa por por la altura relativa relativa a la hipotenu hipotenusa. sa. a.c = b.h b.h

60

TRILCE   C Ca atólica

 

EOMETRÍA G EOMETRÍA

Demostración:  ABH ~

ABC

B

B c h = b a



a

c  A

h 



 A

H

a.c = b.h



b  

C

* Te Teor orem ema a 4: (T (Teo eore rema ma de Pitág Pitágor oras as)) La suma de los cuadrados cuadrados de los catetos catetos es igual al cuadrado cuadrado de la longitud longitud de la hipotenusa. hipotenusa. a2 + c2 = b2 Demostración: Sumando Sumand o las dos expresiones del teorema 1, es decir: 2

a = b.m   2 c = b. b.n n 2

2

2

2

+

a + c = b. b.m m + b.n b.n 2



a + c = b(m + n) b

2

2

a +c =b

* Te Teor orem ema a 5: En todo todo triángul triángulo o rectán rectángul gulo, o, la inversa inversa del cuadra cuadrado do de la longit longitud ud de la altu altura ra relativa relativa a la hipoten hipotenusa usa es igual igual a la suma de las inversas de los cuadrad cuadrados os de las longitudes longitudes de sus catetos. 1 h2



1 c2



1 a2

Demostración: Del teorema 3: a.c = b.h; elevando al cuadrado: a2.c2 = b2.h2 1 h2



b2 a2 .c 2

1 h2





a2  c 2 a2 .c 2



1 h2



1 c2



1 a2

Propiedad: P

R 

TRILCE   Ca Católica

0 

Q T

Si: "P", "Q" y "T" son puntos de tangencia, entonces:

 01 r

PQ = 2 R. R.rr

 

61

 

Ciclo  Católica

Demostración: Trazando: L //   PQ d

P r R-r 0

Q r

R 

r 01 R-r

 

L d

Pitágoras: 2 2 2 (R + r) r) = (R (R - r) + d 

R+r

d = 2 R.r

PQ = 2 R. R.rr

Problemas para la clase 1. La hipot hipotenu enusa sa y un cat catet eto o de un trián triángul gulo o rec rectá tángu ngulo lo miden 29 y 21 cm. Calcular la longitud del otro cateto.

6. Calcu Calcular lar la longit longitud ud de la altura relat relativa iva a la hipote hipotenusa, nusa, si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.

 A . 18 cm

B. 1 6

 A . 3,6 cm

B. 4, 2

C. 2 0

D. 22

C. 4 , 8

D. 5, 2

2. Hallar Hallar la longitu longitud d del mayor cateto cateto de un tri triángu ángulo lo rectángu rect ángulo, lo, cuyos lados están en progre progresión sión aritm aritmétic ética a de razón 3.  A . 9 C. 1 5

7. La suma de los los cua cuadra drados dos de los lados lados de un triá triáng ngulo ulo rectángulo es 200 cm2. Calcular la longitud de la hipotenusa.  A . 15 cm C. 2 0

B. 1 2 D. 18

3. Ha Hallllar ar "AC" "AC",, si: AH = 9 y HB = 16

B. 1 8 D. 1 0

8. Si: 2AB 2AB = 3B 3BC, C, ca calc lcul ular ar "

C  A  A

B

H 0

 A . 2 5 C. 1 0

B. 2   3

 A . 3 cm  

D. 4

5. Calcular la altura altura relativa relativa a la hipotenusa, hipotenusa, si las pro proyecciones yecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 12 y 27 cm.  A . 18 18cm cm C. 1 6

62

 

B

C r

R 

B. 1 5 D. 4 5

4. Calcula Calcularr la longitud longitud del men menor or catet cateto o de un triángu triángulo lo rec rectáng tángulo ulo,, si las pro proyec yeccione cioness de los los cat cateto etoss sobre la hipotenusa miden 2 y 6 cm.

C. 3   2

 

r ". R 

 A .

2 3

B.

1 3

C.

4 9

D.

2 9

9. Los lados lados de un tr trián iángul gulo o miden 8, 15 y 16 cm, ¿cuán ¿cuánto to se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo?  A . 1 cm C. 3

B. 2 D. 4

B. 2 0 D. 1 5

TRILCE   Ca Católica

 

EOMETRÍA G EOMETRÍA

10. Si: AN AN = 8 ccm m y MN = 12 12 cm cm,, hall hallar ar ""NB NB". ". M

16. Se tiene tiene un trapeci trapecio o de diagon diagonales ales perpen perpendic diculare ularess las cuales miden 12 y 9. Calcular la mediana de dicho trapecio.  A . 1 5 C. 7, 5

 A

N

O

 A . 16 cm C. 2 0

B

B. 1 2 D. 1 0

17. "P "P"" y "T" son pu punt ntos os de ta tang ngen enci cia: a: r = 5 u y AT = 9 u. Hallar "x"

B. 1 8 D. 2 1

x r

11. Hallar Hallar "AN"

B

P

 A

N

T

M  A . 4,9 u C. 6 , 4

b 

 A  A .   ab C.

 

 2

b

H

  

a

B.  

2

a

D.

P

a 2   b 2

C. 2   2

B

O  A .   33

D. 2   5

19. Hall Hallar ar ""PD PD", ", si si:: BQ = 4,5 4,5 ccm m y QC = 8 ccm. m.

D.   5

C

D

B. 4   3  

B   Q

13. Hall Hallar ar "BD "BD", ", si: AD = 8 cm y DC = 10 cm. B

 A

C

 

C. 3   23

B.   7  

18. En el gráf gráfico ico:: AB = 6 cm y BC = 8 cm cm.. Hall Hallar ar lla a dis distan tancia cia de "O" a   AC .  A

ab ab

12. En un tr trián iángul gulo o obtusán obtusángul gulo o ABC obt obtuso uso en "B" "B",, por el punto medio "M" de   AC   se traza   MP   perpendicular perpendicular a BC . Hallar "MP", si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u  A .   6   u

B. 5, 6 D. 6, 8

C

P

 A

D

 A . 12 cm C. 1 0

B. 1 6 D. 9

E  A . 6 cm C. 4   6

B. 6   2  

20 . En el gráfico ABCD es es un rect rectángul ángulo, o, tal que que:: AB = 36 36..cm y BC = 50 cm. Calcular "R".

D. 9

B

C

14 . Los lados de un triángul triángulo o miden 9, 16 y 18. ¿Qué longitud longitud "x" se debe restar a cada lado para que el triángulo resultante resultant e sea triángulo triángulo rectángulo?

O1 R  R 

 A . 2 C. 4

B. 1 D. 3

15 . Calcular Calcular la suma de los catetos catetos de un triángulo triángulo rect rectángul ángulo o con la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa miden 9 y 16.  A . 3 2 C. 5 7

TRILCE   Ca Católica

O  A

 A . 15 cm C. 1 6

D

B. 1 3 D. 1 4

B. 4 8 D. 4 7

 

63

 

Ciclo  Católica

 A.  A. 72cm 72 cm C. 5 6

Tarea domici domiciliari liaria a 1.

Si A ABC BCD D es un cuadrad cuadrado, o, calcul calcular ar s su u per perím ímet etro, ro, s sii se sabe que: AF = 4m y BP = 3m. B C

6.

B. 64 D. 6 8

x Si: Si: AB = 2BC 2BC , cal calcu cullar “ y ” .

y

x

P

 A

F

D

 A

 A  A.. 3 m C. 9 2.

 A.  A.

C.

B. 16 D. 3 6

Cal Calcul cular ar el radi radio o de la semici semicircunf rcunfere erencia ncia..

7.

B

1

C 1

B.

2 1

3 2

D.

4

3

En la ffig igur ura, a, A ABCD BCD e es s un cuad cuadra rado, do, “O “O”” es ce centr ntro, o, calcula calcularr mOAD.

D B

5

 

C

C 2 O

 A

B

 A  A..   10

 

C. 4 3.

D

 A

B. 3,5 3,5 D . 4, 5  A.  A. 37° C. 5 3 °

En lla a fig figura ura,, cal calcul cular ar "R" "R",, si si:: CD = 4 4m m y BC = 6m 6m..

B

 

B. 30° D. 45°

C 8.

R

En la figu figura ra BN BN=5 =5m; m; CM   

  ("M" y "N" son puntos 40

medios de   AB   y   BC  respectivamente). Calcular "BC".

B  A

D

 A  A.. 4,2 m C. 2 ,2 5 4.

B. 4,1 D. 5

M

 A

Ha Hall llar ar el pr prod oduct ucto o de   AD   por   DF  si se tiene un cuadra-

N

 

C

do inscrito en una semicircunferencia de radio 2  5   m.

C

B. 2   13

 A.  A. 3 m

D

C. 2  3 9.

 A

B

E

 

F

 

D. 2

Si ABC ABCD D es un cuadra cuadrado do de llad ado o "a" "a",, cal calcul cular ar "R "R"" ("P ("P"" y "Q" son puntos de tangencia)

P

  5  A  A.. 6  

m2

B C

B. 15   5

 A

  5 C. 16 5.

D. 3  5

 

 

C

 A.  A.

C.  A

64

Q

D

R

En la figura figura,, cal calcula cularr el p perí erímet metro ro de dell re rectán ctángulo gulo ABCD, sabiendo que los radios de las circunferencias mayor y menor, miden 8cm y 2cm respectivamente. B

 

a 3 5a 2

R

B.

D.

5a 3 7a 2

D

TRILCE   Ca Católica

 

EOMETRÍA G EOMETRÍA

10.

ABC ABCD D es un cuadra cuadrado, do, ha hall llar ar "x" "x".. B

13.

C

En la fi figura gura,, ABCD ABCD es un cua cuadrad drado. o. Hal Halla lar  r 

r  R

.

1 2

x

B

C r 

2

3

 A

D

 A  A..   11

 

B.   13

R  A

C.   14 11.

 

Si AOB es un cua cuadra drante, nte, hal halla larr "x". "x".

 A.  A.

1 2

 

B.

C.

1 4

 

D.

 A 4

1 5

Hall Hallar ar "x "x""

1 3

2

 A  A.. 5

B. 6

C. 7

D. 3  2

10

B

x

12 12..

1 3

x 14.

O

D

D.   17

Hal Hallar ar:: x

 A.  A. 6 C. 8

17

15

B. 14 D. 1 2

20 15.

15 x

 A.  A. 6 cm C. 9

24  A  A.. 2 C. 5

TRILCE   C Ca atólica

La suma de los cua cuadra drados dos de las las medi median anas as rel relat ativ ivas as a los catetos de un triángulo rectángulo es 45 cm 2. Hallar  la longitud de la hipotenusa. B. 7 D. 1 0

B. 8 D. 7

 

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