10 Progressão Geométrica - Funções Trigonométricas

  a   c    i   t   á   m   e   t   a    M    S    Í    F

   Í    U   Q    O    I    B   O    P    L    S    I    H    E  O   G    L    I    F   C    S  O    S    E    R

211 212

Capítulo 16................. ................... 8 Módulo Módulo Módulo Módulo Módulo Módulo

55 ........... .............. ... 18 56 ........... ..............2 ...2 2 57 ........... .............. ... 24 58 ........... .............. ... 26 59 ........... .............. ... 29 60 ........... .............. ... 33

1. Progressão geométrica 10 2. Organizador gráfico 17 Módulo 55 – Progressão geométrica – Definição e termo geral 18 Módulo 56 – Progressão geométrica

– Notações auxiliares e interpolação geométrica 22 Módulo 57 – Progressão geométrica – Propriedades 24 Módulo 58 – Progressão geométrica – Produto de n termos de uma PG; soma de n termos de uma PG 26 Módulo 59 – Progressão geométrica – Soma de infinitos termos 29 Módulo 60 – Aplicações de progressão aritmética e progressão geométrica geométrica 33

• Efetuar cálculos utilizando conhecimentos de progressões geométricas. • Obter o termo geral de de uma progressão geométrica. • Resolver problemas que que envolvam média geométrica. • Resolver problemas que que envolvam progressões geométricas. • Resolver problemas que que envolvam progressões aritméticas • Efetuar cálculos utilizando conhecimentos de progressões aritméticas.

    N     A     I     R     O     T     K  ,     X    C     U    O     T     L    S     E    K     D    N     U    I     A    H     L    T     C    /  ,     A    A     D     N    U     N    D     I     L    N     A    A     D    I     A    T     N    S  ,     A     B     9    E     9    S     7  ,     7    N     G    O     E    X     L    I     O    D

Progressão geométrica

16

As folhas de algumas plantas são compostas por partes reduzidas com formas semelhantes a si mesmas. Têm-se, assim, características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte. Dá-se o nome de fractal, do latim  fractus, quebrado ou fraturado, à forma que mantém suas características físicas quando repartida em partes par tes iguais. Os fractais, entre outras aplicações, podem ser usados nos conteúdos de progressões geométricas do Ensino Médio.

    9

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

1. Progressão geométrica

2. A sequência (–10 , –2,

A. Introdu Introdução ção     K     C     O     T     S     K     N     I     H     T     /     O     K     N     E     S     I     N     E     D     R     D     N     A     X     E     L     A

3.

4. 5. 6. 7. 8.

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    0     1

Considere que uma pessoa aplicou um capital de R$ 1.000,00 no regime de juros compostos a uma taxa mensal de 1%. Suponha que não foram feitas retiradas durante um ano e que a taxa sempre ficou constante em 1%. A seguir, apresenta-se o valor, ao final de cada mês, dos cinco primeiros meses. Valor inicial: 1.000 V1 = 1.000 · (1 + 1%)1 = 1.000 · (1,01)1 = = 1.000 · (1,01) = 1.010 V2 = 1.000 · (1 + 1%)2 = 1.000 · (1,01)2 = = 1.000 · (1,0201) = 1.020,10 V3 = 1.000 · (1 + 1%)3 = 1.000 · (1,01)3 = = 1.000 · (1,030301) = 1.030,301 V4 = 1.000 · (1 + 1%)4 = 1.000 · (1,01)4 = 1.000 · (1,04060401) = 1.040,60401 V5 = 1.000 · (1 + 1%)5 = 1.000 · (1,01)5 = 1.000 · 1,0510100501 = 1.051,0100501 Utilizando os conceitos de juros compostos, esses dados podem ser estendidos até o décimo segundo mês. Observe que a sequência (1 000, 1 010, 1 020,10, 020,10, 1030,301, 1040,60401, 1 051, 0100501 ...) foi construída de tal forma que, a partir par tir do segundo termo, cada termo dividido pelo termo anterior é igual a (1+1%) que, por sua vez, é igual a 1,01. Esse tipo de sequência é denominada progressão geométrica.

B. Definição Uma sequência numérica em que o quociente entre cada termo, a partir do segundo, e o anterior é constante denomina-se progressão geométrica, abreviada por PG. A constante mencionada é chamada de razão da PG. a Em símbolos, pode-se escrever que: n = q , n∈¥*, an−1 n > 1, em que q é a razão da PG. Da igualdade anterior, pode-se obter a n = an–1 · q, n∈¥*, n > 1, que é a lei de recorrência para uma PG. Observe que, da lei de recorrência, têm-se os termos apresentados a seguir. ×q ×q ×q ×q ×q ×q ×q

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, ... )

Exemplos 1. A sequência (1, 2, 4, 8, 16, ...) é uma PG de primeiro

termo igual a 1 e razão igual a 2.

− 2 , − 2 , − 2 , ...) é uma 5

25 125 PG de primeiro termo igual a –10 e razão igual a 1 . 5 1 1 1 A sequência (8, 4, 2, 1, , , , ...) é uma PG de pri2 4 8 1 meiro termo igual a 2 e razão igual a . 2 A sequência (–2, –10, –50, –250, ...) é uma PG de primeiro termo igual a –2 e razão igual igu al a 5. A sequência (2, –4, 8, –16, 32, –64 ...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão igual a –2. A sequência (2, 2, 2, 2, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão igual a 1. A sequência (5, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 5 e razão igual a 0. A sequência (0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 0 e razão r azão qualquer. qualquer.

Observe que, com exceção dos exemplos 7 e 8, para encontrar a razão de uma PG basta dividir qualquer termo pelo termo anterior.

C. Classificação As progressões geométricas são classificadas como segue. • Crescente: ocorre quando cada termo é maior que o imediatamente anterior, ou seja, quando o primeiro termo é positivo e a razão é maior que 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a razão está compreendida entre 0 e 1. Os exemplos 1 e 2, exibidos anteriormente no item B, são casos de PG crescente. • Decrescente: ocorre quando cada termo é menor que o imediatamente anterior, ou seja, quando o primeiro termo é positivo e a razão está compreendida entre 0 e 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é maior que 1. Os exemplos 3 e 4, exibidos anteriormente no item B, são casos de PG decrescente. • Alternante: ocorre quando cada termo tem sinal diferente do termo imediatamente anterior, ou seja,quando a razão é negativa. O exemplo 5, exibido anteriormente no item B, é de uma PG alternante. • Constante: ocorre quando todos os termos são iguais, ou seja, quando a razão é igual a 1. O exemplo 6, exibido anteriormente no item B, é de uma PG constante. • Singular: ocorre quando um dos termos da sequência é igual a zero, ou seja, quando o primeiro termo é igual a zero ou quando a razão é igual a zero. Os exemplos 7 e 8, exibidos anteriormente no item B, são casos de uma PG singular.

D. Termo geral da PG No problema apresentado na introdução, cada termo da sequência pode ser visto como segue. 1 000 1 000 ·(1,01)1 1 000 ·(1,01)2 1 000 ·(1,01)3 1 000 ·(1,01)4 1 000 ·(1,01)5

    0     0     1       5     1       I     M     E

Em geral, o termo n-ésimo da sequência é dado por 1 000 · (1,01)n–1 e este, por sua vez, é chamado de termo geral da PG. Para uma PG genérica, tem-se que: PG genérica (a1, a2, a3, ... an, ...) n∈¥*, de razão q A lei de recorrência para essa PG é a n = an–1 · q, n∈¥*. Dessa fórmula, pode-se escrever: Primeiro termo: a1 Segundo termo: a 2 = a1 ·q(I) Terceiro termo: a 3 = a2 · q (II) Substituindo (I), em (II) segue que: a3 = a2 · q = a1 · q · q = a1 · q2 a3 = a1 · q2 (III) Quarto termo: a 4 = a3 · q (IV) Substituindo (III) em (IV), segue que: a4 = a3 · q = a1 · q2 · q = a1 · q3 a4 = a1 · q3 Observando o expoente de q e o índice do termo, percebe-se que o coeficiente é uma unidade a menos que o índice. Dessa forma, pode-se se generalizar a fórmula a seguir, conhecida como termo geral da PG. an = a1 · q(n–1), n∈¥* Exemplos 01. Determine o termo geral da PG (1, 2, 4, 8, 16, ...). Resolução

Primeiro termo: a 1 = 1

a2 2 = =2 a1 1

Razão da PG: q =

Termo geral: an = a1 · qn–1 an = 1 · 2(n–1) an = 2n–1 O termo geral da PG é a n = 2n–1, n∈¥*.

     1      1      2

02. Determine o termo geral da PG (–2, –10, –50, –250, ...). Resolução

Primeiro termo: a1 = –2 a  −10 =5 Razão da PG: q = 2 = a1 −2 Termo geral: a n = a1 · qn–1 an = 2· 5n–1 O termo geral da PG é a n = 2· 5n–1 , n∈¥*. 03. Determine o termo geral da PA (2, 2, 2, 2, ...). Resolução

Primeiro termo: a1 = 2 a Razão da PA: r = 2 = 2 = 1 a1 2 Termo geral: a n = a1 · qn–1 an = 2· 1n–1 an = 2 O termo geral da PG é a n = 2, n∈¥*.

APRENDER SEMPRE

1

01.

03.

Se o décimo primeiro termo de uma progressão geométrica é igual 64 e a razão é igual a 2, então o primeiro termo dessa PG é: 1 1 a. 2 c. e. 4 16 1 1 b. 2 d. 8 Resolução

Fórmula do termo geral: a n = a1 · q an = a1 · 2n–1

n–1

{

Décimo primeiro termo da PG: a 64 = a1 · 210 ⇒ 26 = a1 · 210 26 = a ⇒ a1 = 1 1 ⇒ a = 2 2 Alternativa correta: E

1

⋅2

Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa progressão geométrica é: 1 a. 3 c. 5 e. 2 b. 4 d. 2 Resolução

324 = q4 an = a1 · qn–1 ⇒ 324 = 4 · q 5–1 ⇒ 4 q4 = 81 = 34 ⇒ q = 3 Alternativa correta: A

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Qual é o número de termos da PG (72, 48, 32, ..., 256  )? 27 Resolução

Primeiro termo da PG: a 1 = 72 Razão da PG: q = 48 = 2 72 3 Fórmula do termo geral: a n = a1 · qn–1 n 1 ⋅2 a 3

() 256 = ⋅ 2 (3) 27 2 256 = ⋅ 2 ( ) 3 256 =⋅ 2 () 2 =⋅( 2 ) 3 3 2 =⋅ 2 3 (3) ( 23 ) =⋅ 3 n 1

02. UGF-RJ

    0     0     1       5     1       I     M     E

     6      1

n 1

n

n 1

8

2

5

n 1

5

n

5=n–1 n=6 A PG possui 6 termos.

    1     1

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

04.

Certas imagens captadas por satélites espaciais, quando digitalizadas, são representadas por normas geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por fractais. Podem-se obter tais fractais pela alteração da forma original e por uma curva dentro de um processo em que os resultados de uma etapa sejam utilizados como ponto de partida para a etapa seguinte. Considere um processo tal que, em todas as etapas, cada segmento de reta seja transformado em uma poligonal cujo comprimento corresponde a quatro vezes a terça parte do segmento original, como ilustrado na figura a seguir: s

s

s

s

3s

s

s

s

4s

Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de lado, obtém-se a sequência de figuras anteriores. O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa sequência é: 5 4 a. 3 d. 3 3 45 b. e. 3 3 44 c. 44 3 Resolução

Da figura, podemos concluir que os perímetros formam uma PG cuja razão éq 4 . Sendo assim, a 5 = a1 · q4 e, como 3 o o perímetro do 1  quadrado é 4, temos então: a

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

...

4 5 ⋅ 4 ) = 44

3

3

Alternativa correta: C

E. Interpolação geométrica

F. Notações auxiliares

Dados dois números a eb, interpolark   meios geométricos entre eles é formar uma progressão geométrica em que o primeiro termo será a, o último termo seráb e a quantidade de termos será (k+2). Pode-se simbolizar da seguinte forma: a1 = a ⇒ ak+2 = b Utilizando a fórmula do termo geral, pode-se encontrar a razão da PG seguindo os passos adiante: an = a1 · qn–1 ⇒ ak+2 = a1 · qk+2–1 ⇒ ak+2 = a1 · qk+1

Há situações em que é necessário utilizar uma quantidade pequena de termos da PG. Nesses casos, o uso das representações a seguir pode ser útil.   , razão x Três termos consecutivos da PG:    q , x, x ⋅q    igual a q.

qk+1 =

ak +2 a ⇒ q = k+1 k +2 a1 a1

x , x , x ⋅q, x ⋅q 3  , Quatro termos consecutivos da PA:       q3 q   razão igual a q2.  , x x Cinco termos consecutivos da PA:    q2 , q , x, x ⋅q, x ⋅q2     razão igual a q.

    2     1

APRENDER SEMPRE

2

01.

Interpole 5 meios geométricos positivos entre 6 e 384. Resolução

Interpolar 5 meios geométricos significa completar a sequência de tal forma que 6 e 384 sejam os extremos de uma PG e essa tenha 7 termos. (6, _____, _____, _____. _____, _____, 384) PG Primeiro termo da PG: a 1 = 6 Sétimo termo da PG: a 7 = 384 Fórmula do termo geral: a n = a1 · qn–1 a7 = a1 · q6 384 = 6 · q 6 384 = 6 6 64 = q6 26 = q6 q = ±2 q = –2 (não serve) ou q = 2 Os 5 meios geométricos positivos entre 6 e 384 são: (6, 12, 24, 48, 96, 192, 384).

APRENDER SEMPRE

3

01.

Considere uma PG crescente de três números. Determine essa PG sabendo que a soma desses três números é 7 e o produto é 8. Resolução

x Notação auxiliar:  q , x, x ⋅q  , em que a razão é q. O produto é igual a 8: x q x3 = 8 x=2 2 A soma é igual a 7: q +

xq 8

2⋅

7

2 + 2 · q + 2 · q 2 = 7q 2 · q2 – 5q + 2 = 0 1 q = 2 ou q =  (não serve, pois a PG é crescente) 2 A PG procurada é (1, 2, 4).     0     0     1       5     1       I     M     E

     6      1      1      1      2

APRENDER SEMPRE

5

Sn · (1 – q) = a1 – a1 · qn–1 · q Sn · (1 – q) = a1 – a1 · qn Sn · (1 – q) = a1 · (1 – qn)

01.

Determine o produto dos 12 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...).

Sn

Resolução

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

1

=2 n

n

=

⋅

⋅

n 1) 2

12 1

⋅

q

Sn

12 (12 1) 2 −

    4     1

qn )

−

q)

Considere uma PG genérica (a 1, a 2, a 3, ..., an, ...) de razão igual a q e diferente de 1. Representa-se a soma dos n primeiros termos da PG da seguinte forma: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an Se ambos os membros da igualdade forem multiplicados por q, a igualdade não será alterada. q · Sn = (a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an)q Aplicando-se a propriedade distributiva no membro da direita: q · Sn = a1 · q + a2 · q + a3 · q + ... + an–2 · q + an–1 · q + an · q Como qualquer termo que é multiplicado pela razão fornece o próximo termo, pode-se reescrever a igualdade anterior da seguinte maneira: q · Sn = a2 + a3 + ... + an–1 + an + an · q Organizando as duas igualdades de tal maneira que no membro da direita os termos iguais fiquem alinhados em colunas, vem que:

{

Sn = a1 + a2 + a3 + q⋅Sn = a2 + a 3 +

a + an





=

a1

( qn 1) (q 1) −

⋅

−

Observe que foi imposto que a razão q fosse diferente de 1 e, no caso em que a razão é igual a 1, a PG é constante e a soma dos seus termos é dada por: Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1 + a1 + a1 (com o membro da direita com n fatores) Sn = a1 · n Observe que, na fórmula da soma dos termos da PG, o denominador é igual a q – 1. Dessa forma, é necessário entender que a soma não está

P12 = 112 · 266 P12 = 266

I. Soma dos n primeiros termos de uma PG    s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

(1 (1

−

⋅

−

⋅

=

a1

Note que, ao multiplicarmos o numerador e o denominador dessa igualdade por – 1, a fórmula poderá ser escrita da seguinte maneira:

a1 = 1 q=

=

definida pela fórmula Sn a1 =

( qn 1) , quando a razão é igual ( q 1) −

⋅

−

a 1. Se a razão, porém, for igual a 1, podemos reescrever a PG (a1, a2, a3, ..., an, ...). Repare: (a1, a2, a3, ..., an, ...) PG de razão 1 a1 = a1 a2 = a1 · q = a1 · 1 = a1 a3 = a2 · q = a1 · 1 = a1 a4 = a3 · q = a1 · 1 = a1 an = a1 Todos os termos da PG são iguais a a 1. A soma dos n primeiros termos dessa PG, em especial, é dada por: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

a a a q 1 + n + n⋅

+ n−1 + n −

Da diferença termo a termo entre as duas igualdades, vem que: Sn – q · Sn = a1 – an · q Colocando no membro da esquerda o fator comum S n em evidência e substituindo a n pela fórmula do termo geral no membro da direita, segue que:

Sn = a1 + a1 + a1 ++ a1

  n vezes

Sn = n · a1 Assim, se a razão da PG for igual a 1 e o primeiro termo for a1, a soma dos n primeiros termos da PG será S n = n · a1.

APRENDER SEMPRE

6

01. Fesp

A soma dos seis primeiros termos da PG a.

12

b.

33

, , , 3 6 12

15

c.

32

)  é: d.

33

21

e.

32

2 3

Resolução Sn =

a

1) q

⇒

Alternativa correta: D

1 1 3 2 =  1 2

()

1

⇒

=

1 1 3 64 2

=

1 3

( 6463 ) = 21 ⋅

= 21 32

2     0     0     1       5     1       I     M     E

     6      1

02.

Conta-se que o inventor do jogo de xadrez foi o professor de um príncipe indiano, Sissa, que resolveu dar-lhe uma lição e provar que ele nada seria sem o apoio de seu povo. Encantado com o jogo, o príncipe queria muito recompensar seu mestre por sua invenção. Então, o mestre pediu ao príncipe que depositasse um grão na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira e, assim, sucessivamente até a última casa. A soma de todo o trigo do tabuleiro seria sua recompensa. O príncipe, abismado pela simplicidade do pedido, ordenou aos seus servos que o trigo fosse trazido. Então, estes lhe informaram que o número de grãos necessários equivalia a encher todos os continentes da Terra com searas. Então, Sissa renunciou ao seu pedido – que sabia impossível – e explicou ao princípe a ideia que tinha tido ao inventar o jogo. Esse, cheio de gratidão, nomeou-o seu primeiro-ministro e conselheiro. Quantos grãos o mestre deveria ganhar? Resolução ×2 ×2 ×2

Sendo

(1, 2, 4, 8,

..., a64 ) a sequência que denota o número de grãos em cada do tabuleiro, temos: S64 =

a(

q64 )

, como

     1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

a1 = 1 e q = 2 Então, S64 =

1

264 ) = 1 2

1 grãos

 J. Soma dos infinitos termos de uma PG Considere uma PG em que o primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a 1 . 2 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 , Essa PG é a sequência 4, 2, 1, , , , , , ,  . 2 4 8 16 32 64 128 256 512 A seguir, apresenta-se uma sequência de somas dos termos da PG, aumentando-se, em cada etapa, um termo na soma. S1 = 4 S2 = 4 + 2 = 6 S3 = 4+ 2 + 1= 7 S4 = 4 + 2 + 1 + 1 = 15 = 7,5 2 2 1 S5 = 4 + 2 + 1 + + 1 = 31 = 7,75 2 4 4 S6 = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 63 = 7,875 2 4 8 8 1 S7 = 4 + 2 + 1 + + 1 + 1 + 1 = 127 = 7,9375 2 4 8 16 16 S8 = 4 + 2 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 255 = 7,96875 2 4 8 16 32 32 1 S9 = 4 + 2 + 1+ + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 511 = 7,984375 2 4 8 16 32 64 64 S10 = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1023 = 7,9921875 2 4 8 16 32 64 128 128 Note que, em cada etapa, acrescenta-se uma parcela à nova soma, que é cada vez menor e apresenta valor cada vez mais perto de 8. Diz-se que, no limite, essa soma converge para o valor 8. 1 Acompanhe, agora, a sequência de potências da base 2 . 1 1 = 0,5, 1 2 = 0,25, 1 3 = 0,125, 1 4 = 0,0625, ..., 1 10 = 0,00097 2 2 2 2 2 Observando os valores, percebe-se que, à medida que se aumenta o expoente, o resultado da potência se aproxima cada

(

()

()

)



()

()

()

1

()

    0     0     1       5     1       I     M     E

n

()

vez mais do zero. Em linguagem mais rigorosa, diz-se que, quando n tende ao infinito, a potência  tende a zero. 2 1 ∞ =0 Usando uma linguagem não rigorosa, pode-se representar que 2 . Note que essa última igualdade não tem, de fato, valor matemático e está sendo usada aqui de forma simbólica. Em geral, pode-se provar que para –1 < q < 1, quando n tende ao infinito, q n tende a zero ou, usando uma linguagem simbólica, q∞ = 0. (1 − qn ) Utilizando esse argumento na fórmula Sn = a1 ⋅ , deduz-se que: (1 − q) a (1 − q∞ ) ( ) S∞ = a1 ⋅ = a1 ⋅ 1 − 0 = 1 (1 − q) (1 − q) (1 − q)

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    5     1

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

a1 , que é a fórmula que permite cal(1 − q) cular os infinitos termos de uma PG, quando a razão está entre – 1 e 1. Portanto, S ∞ =

Segue que: a S∞ = 1 ⇒ S ∞ = 4 ⇒ S ∞ = 4 1 (1 − q) 1− 1 2 2 S∞ = 8 Esse resultado estava sendo induzido pela soma das parcelas vistas nas passagens anteriormente apresentadas.

( )

Exemplo

Na PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a 1 , 2 4, 2, 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16 32 64 128 256 512

(

)

()



APRENDER SEMPRE

7

01.

A soma dos termos de uma PG infinita é 3. Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, encontre o quarto termo dessa PG. 1 2 a. 2 b. 1 c. d. e. 27 3 8 27 4 Resolução

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    6     1

a S = 1 ⇒ = 2 ⇒ 1 q 1 q

q)

⇒3

2⇒

=1

= ⇒a 3

1

⋅

3

2

⇒ a4 = 2

27

Alternativa correta: A

Paradoxo de Zenão O mais famoso dos paradoxos atribuídos ao filósofo grego Zenão (que viveu por volta de 450 a.C.) é o de Aquiles e a tartaruga. Aquiles é o grande herói da obra Ilíada, de Homero. O paradoxo de Zenão diz que Aquiles iria apostar corrida com uma tartaruga. Como Aquiles era mais rápido, sua velocidade era 10 vezes a da tartaruga. Assim, ele permitiu que ela fosse na frente. Quando a tartaruga estava a 100 metros de distância, Aquiles decidiu partir. Em pouco tempo, Aquiles atingiu a marca dos 100 m, mas, nesse intervalo de tempo, a tartaruga caminhou 10 m. Em seguida, Aquiles percorreu esses 10 metros, mas a tartaruga não estava mais lá, pois percorrera mais 1 metro; quando Aquiles cobriu esse 1 metro, a tartaruga já estava 1/10 m à frente. Depois, 1/100 m à frente, 1/1 000 m e, assim, sucessivamente. Como o espaço é infinitamente divisível, sempre haverá um ponto que Aquiles deverá atingir antes de alcançar a tartaruga. Assim, Zenão concluiu que Aquiles nunca conseguiria alcançar a tartaruga.

10 m

100 m

O erro deste raciocínio está em admitir que, somando-se essas infinitas distâncias, não se pode chegar a um número finito, isto é, teríamos um trecho de tamanho infinito para Aquiles percorrer. Na realidade, a distância que Aquiles tem de percorrer é dada pela soma dos termos de uma PG infinita de razão positiva e menor que 1, resultando, portanto, em um número finito. No caso, Aquiles teria que andar: 100 + 10 + 1 +

a 1 + 1 + ... = 1 10 100 1− q

=

100 1 1− 10

= 1 000 ≈ 111,11 metros para alcançar a tartaruga. 9

Note, ainda, que o tempo também não é infinito. Admitindo-se que o veloz Aquiles consiga correr 100 metros em 10 segundos, ele demorará menos que 120 segundos = 2 minutos para alcançar a tartaruga. Assim, o que temos é um falso paradoxo.

    0     0     1       5     1       I     M     E

2. Organizador gráfico

     6      1

A. Progressão geométrica R  A   2   S  T    U  D  I     O  /    S  H   U  T   T   E  R   S  T    O 

 C   K   , N  A   D  A   L   I    N  N  A   /   T   H  I    N  K   S  T    O   C   K 

Sequências

Progressões geométricas (PG)

Definição

Termo geral

Produto dos n primeiros termos

Soma dos n primeiros termos

Soma dos infinitos termos

     1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    7     1

    0     0     1       5     1       I     M     E

Tema

Tópico

Subtópico

Subtópico destaque

 Apenas texto Características

     6      1

Módulo 55

     1      1      2

Progressão geométrica – Definição e termo geral Exercícios de Aplicação

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

01.

02.

Calcule a razão das seguintes progressões geométricas: a. (3, 6, 12, ...) 1 1 b. 6, − 1, , − , ... 6 36 n–5 n–3 n–1 c. (a , a , a , ...)

(

)

Resolução

6 =2 3 1 = −1  − b. q = 6 6 n−3 a c. q = n−5 = an−3−(n−5) = a2 a a. q =

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Em uma progressão geométrica (PG), o primeiro termo é igual a 5 e a razão é igual a 2. Determine o décimo primeiro termo da PG. Resolução

Primeiro termo: a 1 = 5 Razão da PG: q = 2 Termo geral: a n = a1 · qn–1 Décimo primeiro termo: a 11 = a1 · q11–1 a11 = 5 · 210 a11 = 5 · 1 024 = 5 120 O décimo primeiro termo é igual a 5 120.

    8     1

    0     0     1       5     1       I     M     E

03. UFRGS-RS

Os lados de um terreno triangular têm medidas diferentes, as quais, em certa ordem, formam uma progressão geométrica crescente. O conjunto dos possíveis valores da razão dessa progressão é o intervalo: a. − 5 + 1 , 5 + 1 2 2

( ) b. ( 5 − 1 , 5 + 1 ) 2 2 2 5 −1 c. (1, 2 ) 5 d. (1, 2 ) 5 +1 e. (1, 2 )

x · q2 < x + x · q Dividindo ambos os membros por x e sendo este positivo, vem que: q2 < 1 + q q2 < 1 + q⇒ q2 – q – 1 < 0 Resolvendo a inequação q 2 – q – 1 < 0. q2 – q – 1 < 0 Raízes: q2 – q – 1 = 0 ∆ = (–1)2 – 4 · 1 · (–1) = 5 q = 1 − 5  2 ± 1 5 q= ⇒ ou 2  1+ 5 q = 2

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Resolução

A medida do menor lado do triângulo será indicada por x e a razão da PG por q. Assim, os lados do triângulo em ordem crescente são dados por: x, x · q, x · q 2. De acordo com o enunciado, os lados do triângulo são distintos e a PG é crescente. Como o primeiro termo é positivo, a razão deve ser maior que 1. Depreende-se da desigualdade triangular que o maior lado do triângulo deve ser menor que a soma dos outros dois lados. Assim, segue que:

1− 2

5

–

1+

5

2

Os valores de q na inequação q 2 – q – 1 < 0 são: 1 − 5 < q < 1+ 5 2 2 A razão, no entanto, deve ser maior que 1, isto é, q > 1. Portanto, os valores de q são dados por: 1 < q < 1 + 5 . 2 Alternativa correta: E Habilidade

Efetuar cálculos utilizando conhecimentos de progressões geométricas.

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    9     1

Exercícios Extras 04. IME-RJ

05. UFF-RJ

Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito 1 1 elementos 2,1, 2, , 4 ,... , e S = log 2 a1 + log2 a2 + ... + log2 a8.

(

    0     0     1       5     1       I     M     E

)

Se b = S e f(x) = x + 2b + 2x − b , o valor de f(1) será: −5 a. – 7 c. 11 e. 1 b. 7 d. – 11

Numa progressão geométrica (PG) decrescente, o primeiro termo é um número real positivo e cada termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma dos dois termos imediatamente anteriores. Determine a razão dessa PG.

     6      1

Seu espaço

     1      1      2

Sobre o módulo

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Este módulo trata de um tipo especial de sequência denominada progressão geométrica (PG) . O foco principal está em reconhecer a sequência que é uma PG. Sugerimos trabalhar bem o termo geral da PG e utilizar a propriedade de que três termos consecutivos da PG têm o quadrado do termo central igual ao produto dos outros dois. Neste caso em particular, propomos não se usar a propriedade como uma fórmula, mas sim como uma comprovação de que a razão da PG, utilizando o segundo e o primeiro termo, é igual à razão da PG usando o terceiro e o segundo termo. Bom trabalho!

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    0     2

Exercícios Propostos 07.

Da teoria, leia os tópicos 1A, B, C, e D. Exercícios de

tarefa

reforço

06.

Determine a razão de cada PG a seguir. a. (64, 32, 16, 8, ...) b. ( 2, 2, 2 2, ) c. (–1, 1, –1, ...) 

aprofundamento

Em uma progressão geométrica (PG), o primeiro termo é 1 igual a 128 e a razão é igual a  . Determine o oitavo termo da PG. 2 08.

Dada a PG (2, 6, 18, ...), determine: a. o quarto termo da sucessão; b. o nono termo da progressão; c. a posição do número 486 na sequência.

    0     0     1       5     1       I     M     E

09.

Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. Então, o quarto termo dessa progressão é: a. 6 b. 7 c. 8 d. 10 e. 15

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângu-

lo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

10. UFTM-MG

O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência a n = (–3)–n, com n ∈¥ , é: 1 a. 27 1 b. 81 c. − 1 243 1 d. − 27 1 e. − 81

... Figura 1

Figura 2

Figura 3

12. UFRGS-RS

Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 13. Enem

    0     0     1       5     1       I     M     E

Fractal (do latim  fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

     1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é: d.

a.

e.

b.

11. UPE

Em uma progressão geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo do primeiro termo e na qual o quarto termo é igual a 16 875, é correto afirmar que: a. o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo. b. a soma dos três primeiros termos é igual a 241 vezes o primeiro termo. c. o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do primeiro termo. d. a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 25 vezes o segundo termo. e. os termos também estão em progressão aritmética.

     6      1

c.

14. UFRGS-RS

Em uma progressão geométrica de razão positiva, o segundo termo é 8 e o oitavo, 1 . A soma dos dois primeiros 8 termos é: a. b. c. d. e.

24 16 12 8 4

15. UFRGS-RS

Considere a PG finita e crescente cujo sétimo termo (a 7) seja igual a 5, o décimo primeiro (a 11) igual a 80 e o último termo seja 2 560. Determine: a. o primeiro termo (a 1) e a razão dessa PG; b. o número dos termos da progressão. 16. UEPA 

Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    1     2

     6      1

Módulo 56

     1      1      2

Progressão geométrica – Notações auxiliares e interpolação geométrica Exercícios de Aplicação

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    2     2

01.

Em uma PG de três termos positivos, o produto deles é igual a 8. Determine o segundo termo da sequência. Resolução

  . x Considere a PG de três termos    q ,x,xq     x Produto dos termos: q ⋅ x ⋅ xq = 8 x3 = 8 x= 3 8 x=2 O segundo termo é igual a 2. 02.

Interpole três meios geométricos positivos entre 1 e 16. Resolução

Interpolar 3 meios geométricos significa completar a sequência de tal forma que 1 e 16 sejam os extremos de uma PG e essa tenha 5 termos. (1, _. _, _, 16) PG Primeiro termo da PG: a1 = 1 Quinto termo da PG: a 5 = 16 Fórmula do termo geral: a n = a1 · qn–1 a5 = a1 · q5–1 16 = 1 · q4 q4 = 16 q=±2 q = –2 (não serve) ou q = 2 A sequência é (1, 2, 4, 8, 16).

03. UFla-MG

Um naturalista observou que o número de ramos de uma espécie arbórea cresce como uma progressão geométrica ao longo dos anos. Se o número de ramos em certo ano é igual à soma dos números de ramos dos dois anos anteriores, qual a razão dessa progressão? a. 1 + 5 2 b. 5 c. 2 1 d. 2 e. 1 − 2 2 Resolução

 

 

PG:  a ,a,a ⋅q,    q   aq2 = aq + a a ⋅q = a + a ⇒ q q(q > 0) 2 aq = aq + a = aq2 = a (q + 1 ) q2 − q −1 = 0 q = 1± 1+ 4 ⇒ q = 1± 5 ⇒ q = 1+ 5 2 2 (PG crescente) 2 

Alternativa correta: A Habilidade

Efetuar cálculos utilizando conhecimentos de progressões geométricas.

Exercícios Extras 04.

Em uma PG decrescente de quatro termos positivos, a ra1 zão é igual a  e o produto dos termos é igual a 4. O terceiro 2 termo da PG é igual a: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

05. UFES

Qual a razão de uma PG de três termos, em que a soma dos termos é 14 e o produto 64? a. q = 4 b. q = 2 1 c. q = 2 ou q = 2 d. q = 4 ou q = 1

    0     0     1       5     1       I     M     E

Seu espaço

     6      1

Sobre o módulo

     1      1      2

Este módulo abordará aplicações sobre interpolação geométrica e notações auxiliares. Apresentar as notações auxiliares de três, quatro e cinco termos, enfatizando que elas são importantes, principalmente se mencionado o produto dos termos. Quanto à interpolação, mencionar que inserir meios geométricos é o mesmo que interpolar meios geométricos. Bom trabalho!

Exercícios Propostos 12.

Da teoria, leia os tópicos 1E e F. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06.

Determine o segundo termo de uma PG de três termos positivos na qual o produto dos termos é igual a 1. 07.

13.

Inserir dois meios geométricos entre 1 e 8. 08.

Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 4 e 324 para que a razão da PG constituída seja igual a 3? 09.

10.

O produto de cinco termos positivos de uma PG é igual a 115 . 5 Determine o terceiro termo da PG. 11.

Entre os números 50 e 6 400 são interpolados 6 meios aritméticos. A razão da PG formada é: a. – 2 c. 3 e. 4 b. 2 d. –3 14. Mackenzie-SP

Três números positivos colocados em determinada ordem constituem uma progressão geométrica. O produto dos números é igual a 1 e a soma deles é igual a 31 . O maior des5 ses números é: 1 a. c. 1 25 d. 5 1 b. e. 75 5

    0     0     1       5     1       I     M     E

Três números positivos colocados em determinado ordem constituem uma progressão geométrica. Se o produto dos números for igual a 1 331, então o número intermediário entre esses números será: a. 7 d. 11 8 b. e. 13 c. 10

Inserir três meios geométricos positivos entre  e 1  . 2 32 1

O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e –24, tomados nessa ordem, é: a. –48 c. 48 e. 192 b. –96 d. 96 15.

1 O produto de três números é igual a 64 . Colocados em ordem crescente constituem uma PG. O segundo termo dessa PG é igual a: 1 a. 1 c. e. 1 3 5 1 b. 1 2 d. 4 16.

Interpole 3 meios geométricos positivos entre 5 e 405.

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    3     2

     6      1

Módulo 57

     1      1      2

Progressão geométrica – Propriedades Exercícios de Aplicação

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

01. UFRJ

03. UFRGS-RS

Considere a PG (1, a, b, c, d, 64). Determine o valor de b · c. Resolução

Os termos b e c são equidistantes dos extremos. Dessa forma, o produto deles é igual ao produto dos extremos. Daí, segue que: b · c = 1 · 64 = 64

Na figura abaixo, os círculos que se interceptam são tangentes, e as duas retas são tangentes a todos os círculos. Sabendo que a área do disco menor é 6 m 2 e a do maior é 24 m2, conclui-se que a área do outro disco é:

02.    s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Considere os três círculos a seguir que são tangentes entre si e tangentes às retas r e s. Demonstre que as medidas dos raios, em ordem crescente ou decrescente, constituem uma progressão geométrica. a. b. c. d. e.

r

Resolução

s

Resolução

Observe a figura a seguir. r

    4     2

r

1

r

2

r

r2

t

3

r  – r 3

2

r  – r

r

1

2

8 m2 10 m2 11 m2 12 m2 15 m2

1

s

A reta t passa pelos centros das três circunferências e pelos pontos de tangência entre elas. Os triângulos hachurados são semelhantes entre si. Da semelhança, segue que: r3 − r2 r3 + r2 = r2 − r1 r2 + r1 Nessa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. (r3 – 2r)(r2 + 1r) = (r2 – 1r)(r3 + 3r) r3r2 + 3rr1 – 2r2 – 2rr1 = 3rr2 + 2r2 – 3rr1 – 2rr1 r3r1 – 2r2 = 2r2 – 3rr1 ⇒ 2r3r2 = 2r22 ⇒ r3r1 = 2r2 Observe que, considerando a sequência, (r 1, r2, r3), o termo central ao quadrado é igual ao produto dos outros dois termos. Dessa forma, a sequência é uma PG. r3 r2 A igualdade r3r1 =22r poderia ainda ser vista na forma: r = r . 2 1 Nessa, a razão entre um termo e o anterior é constante, confirmando que é uma PG.

Os raios dos círculos, em ordem crescente, constituem uma PG. Denominando de r o raio do círculo intermediário, segue a PG: (r1, r, r3) e r2 = 1r · 3r A sequência das áreas, mantida a ordem, é ( πr12 , πr 2 , πr32 ). Essa sequência também é uma PG, pois ( πr 2 )2 =πr12 ⋅ πr32. Sendo (6, πr2, 24) uma PG, tem-se que: (πr2)2 = 6 · 24 (πr2)2 = 144 πr2 = 12 Área do círculo intermediário: A = 12 Alternativa correta: D Habilidade

Resolver problemas que envolvam média geométrica.

    0     0     1       5     1       I     M     E

Exercícios Extras

     6      1

04.

05. UFPE

A sequência de números reais x – 2, x + 11 , x+7 é uma progressão geométrica cujo oitavo termo é: a. 396 d. 384 b. 390 e. 194 c. 398 2

Cinco números distintos A, B, C, 21 e D estão, nesta ordem, em progressão aritmética, de modo que, ao eliminarmos C e 21, temos uma progressão geométrica. Determine a soma dos cinco números.

Seu espaço Sobre o módulo

Este módulo refere-se a duas importantes propriedades da progressão geométrica (PG) . A principal ênfase está na propriedade dos três termos consecutivos da PG. Comentar aqui que, para termos positivos, o termo central é a média geométrica dos outros dois. Usar a razão da P G, sempre justificando a propriedade. Bom trabalho!

Exercícios Propostos Da teoria, leia o tópico 1G. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06.

Considere a PG (2, a, b, c, d, e, f, g,h, 3). Determine o produto b · g . 07.

Dada a PG (x, 2x, 7+5x,...), determine: a. o(s) valor(es) de x; b. o décimo termo. 08.

Determine o valor de x para que os números x – 1, x e x + 3, nessa ordem, constituam uma progressão geométrica. 09.

Os números x, x+1 e x + 4, nessa ordem, constituem uma progressão geométrica. A razão da PG é igual a: a. 0 c. 2 e. 4 b. 1 d. 3 10. PUC-RJ

A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geométrica. O produto xy vale: a. 8 d. 14 b. 10 e. 16 c. 12 11. Fuvest-SP

O quinto e o sétimo termo de uma PG valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é: a. 14 d. 4 10 b. 10 6 e. 10 c. 4     0     0     1       5     1       I     M     E

12. Insper-SP

Dado um número positivo x, define-se a sequência (log4, log8, logx).

A sequência dada é uma progressão geométrica se, e somente se, o valor de x for igual a: a. 12 2 d. 32 b. 16 e. 32 2 c. 16 2 13. Fuvest-SP

Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a 1 + 3, a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a 1 > 0 e a 2 = 2, conclui-se que r é igual a: 3 a. 3 + 3 c. 3 + e. 3 − 3 4 3 3 b. 3 + d. 3 − 2 2 14. EFOMM-RJ

Se a sequência de inteiros positivos (2, x, y) é uma progressão geométrica e (x + 1, y, 11), uma progressão aritmética, então, o valor de x + y é: a. 11 c. 13 e. 15 b. 12 d. 14 15. UFOP-MG

Suponha que os números reais 1 − r, 1 e 1 + r sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão r ≠ 0. Determine r de modo que as imagens f(1 − r), f(1) e f(1 + r) desses números pela função f(x) = 3x 2 sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão geométrica. 16. FGV-SP

A sequência de termos positivos (a 1, a2, a3, ... an, ...) é uma progressão geométrica de razão igual a q. Podemos afirmar que a sequência (Iog a 1, Iog a2, Iog a3, ...log an...) é: a. uma progressão aritmética de razão q. b. uma progressão geométrica de razão q. c. uma progressão geométrica de razão log q. d. uma progressão aritmética de razão log q . e. uma progressão aritmética de razão (Iog a 1 – log q).

     1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    5     2

     6      1

Módulo 58

     1      1      2

Progressão geométrica – Produto de n termos de uma PG; soma de n termos de uma PG

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Exercícios de Aplicação 01.

Calcular a soma S = log 5 + log 25 + log 125 +... + log 5 14. Note e adote: log 5 = 0,70 Resolução

S = log 5 + log 25 + log 125 + ... + log 5 14 S = log (5 · 25 · 125 · ... · 5 14) S = log (5 · 5 2 · 53 · ... · 514) S = log (51 · 52 · 53 · ... · 514) O logaritmando é o produto dos termos de uma PG. S = log (5

(1 +1 4 ) ⋅ 14

2

)

S = log (5105) S = 105 · log 5 S = 105 · 0,70 S = 73,5

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Resolução

Os comprimentos das ramificações, em metros, constituem a progressão geométrica 1, 1 , 12 ,... , cujo primeiro ter22 1 mo é 1 e a razão vale . 2 Queremos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa sequência, ou seja: 1 10 1 − 1 − 110 1 − q10 2 2 = 2⋅ 1 − 1 = 1⋅ S10 = a1 ⋅ = 1 1 1− q 210 1− 2 2

(

02.

Quantos termos da progressão geométrica (1, 2, 4, ...) devemos somar para que a soma seja 1 023? Resolução

    6     2

Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h 1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, até h 10? 1 1− 1 a. 2 210 1 1− 1 b. 2 29 c. 2 1 − 110 2 1 d. 2 1 − 10 10 1 e. 2 1 − 9 2

Existe n na PG (1, 2, 4, ..., a N, ...) tal que S N = 1 023, daí temos: a (1 − qN ) SN = 1 1− q 1(1 − 2N ) 1023 = ⇒ 1 023 = 2N – 1 1− 2 2N = 1 024⇒ 2N = 210 ⇒ N = 10

()

)

(

)

Alternativa correta: C Habilidade

Resolver problemas que envolvam progressões geométricas.

03. UEL-PR

A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A par tir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.

au e

 m

1

 m  m  m

2

    0     0     1       5     1       I     M     E

Exercícios Extras

     6      1

04. Vunesp

05. UFSM-RS

Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de  juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas neste investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01361 ≈ 36 a. 290,00 b. 286,00 c. 282,00 d. 278,00 e. 274,00

No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é: a. 100.600[(1,006)n – 1] b. 100.000[(1,06)n – 1] c. 10.060[(1,006)n – 1] d. 100.600[(1,06)n – 1] e. 100.000[(1,006)n – 1]

Seu espaço Este módulo tratará da soma finita de PG e do produto dos n termos de uma PG. A maior ênfase será dada à soma. Bom trabalho!

Exercícios Propostos

Exercícios de

tarefa

09. UFPB

reforço

aprofundamento

06.

Determine o produto dos 6 primeiros termos de uma PG que possui primeiro e segundo termos iguais respectivamente a 3 e 6. 07. UFAM

Hélio comprou, em uma loja, uma máquina de lavar roupas, no seguinte plano de pagamento: 10 parcelas, sendo a primeira de R$ 256,00 e o valor de cada parcela, a partir da segunda, correspondendo a 50% do valor da anterior. Hélio pagou pela máquina de lavar o valor total de: a. R$ 511,75 c. R$ 511,00 e. R$ 510,00 b. R$ 511,50 d. R$ 510,50 10. UFRGS-RS

Uma empresa contratou um empregado para trabalhar de segunda a sexta durante duas semanas. O dono da empresa pagou R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ele recebeu no dia anterior. Quanto o empregado recebeu pelos 10 dias que trabalhou? a. R$ 511,00 b. R$ 660,00 c. R$ 830,00 d. R$ 941,00 e. R$ 1.023,00

Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior.

08.

Seja s a soma dos n primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27, ...). A soma dos n primeiros termos da PG 1, 1 , 1 , em função 3 9 de s, é: 3s a. c. 5s e. s 2s + 1 2 2s + 1 d. b. 2s 3s s −1

(

    0     0     1       5     1       I     M     E

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Sobre o módulo

Da teoria, leia os tópicos 1H e 1I.

     1      1      2

)



1 2 4

5

    7     2

     6      1      1      1      2

O comprimento dessa espiral é: 24 π a. π c. 7 8π b. 255π 3 d. 32

e. 255π

16

11. UFPR

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Um quadrado está sendo preenchido, como mostra a sequência de figuras a seguir.

Quadrado original

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    8     2

Passo 1

Passo 2

Passo 3

No passo 1, metade do quadrado original é preenchido. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida e assim por diante. a. No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido? b. Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original sejam preenchidos? 12. UFRGS-RS

Numa sequência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior. A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa sequência é: a. 1 023 d. 2 048 b. 1 024 e. 4 096 2 047 c. 13. PUC-SP

A soma dos n primeiros termos da sequência (6, 36, 216,..., 6n,...) é 55 986. Nessas condições, considerando log2 = 0,30 e log3 = 0,48, o valor de log n é: a. 0,78 d. 1,56 b. 1,08 e. 1,68 c. 1,26 14. UFG-GO

Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de um muro, é formado por uma sequência de 30 triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos catetos e sem sobreposição. A figura a seguir representa os três primeiros triângulos dessa sequência.

de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do triângulo imediatamente à sua esquerda. Dado: 1130 ≈ 1,745 · 1031 Com base no exposto: a. Qual é o comprimento do muro? b. Quantos litros de tinta são necessários para pintar os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que rende 10 m2 por litro? 15. PUC-RJ O “poder” de uma fofoca Um senhor, há muito tempo, tanto falou que seu vizinho era ladrão, que o rapaz acabou preso! Dias depois, descobriram que era inocente. O rapaz foi solto e processou o homem. No tribunal, o velho diz ao juiz:  — Comentários não causam tanto mal. E o juiz responde:  — Escreva os comentários num papel, depois pique e jogue os pedaços no caminho de casa. Amanhã, volte para ouvir a sentença. O senhor obedeceu e voltou no dia seguinte.  — Antes da sentença, terá que catar os pedaços de papel que espalhou ontem – disse o juiz. Responde o velho:  — Não posso fazer isso. O vento deve tê-los espalhado, já não sei onde estão. Responde o juiz:  — Da mesma maneira, um simples comentário pode destruir a honra de um homem, a ponto de não podermos consertar o mal. Se não se pode falar bem de uma pessoa, é melhor que não se diga nada.

O fofoqueiro precisa, de uma forma discreta, denegrir a imagem do seu concorrente dentro do reduto de clientes nos níveis nacional e internacional. É necessário que a fofoca atinja um grupo de trezentas mil pessoas e, para ser discreto, num período de 5 minutos, contou essa fofoca para duas pessoas, instruindo que cada uma dessas duas pessoas levasse cinco minutos para contar a fofoca a outras duas novas pessoas. Sucessivamente isso foi feito. Considerando que, para todos se protegerem, uma pessoa conta a fofoca apenas uma vez para outras duas pessoas, em quanto tempo todo o reduto de clientes saberá da fofoca? (Considerar 100,5 ≈ 3 e 100,3 ≈ 2.) a. b. c. d. e.

Em um tempo entre 1 e 2 semanas Em um tempo entre 1 a 2 anos Em um tempo entre 1 e 2 dias Em um tempo entre 1 e 2 meses Em um tempo entre 1 e 2 horas

16. ...

Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base

Determine o produto dos 12 primeiros termos de uma PG que possui primeiro e segundo termos iguais respectivamente a 1  e 1. Deixe a resposta na forma de potência. 2     0     0     1       5     1       I     M     E

Módulo 59

     6      1

Progressão geométrica – Soma de infinitos termos

     1      1      2

Exercícios de Aplicação 01. UFPA 

A soma da série infinita 1 + 1 + 1 + 1 + ...é: 5 25 125 6 a. 5 7 b. 5 5 c. 4 d. 2 7 e. 4 Resolução

1 a2 5 1 q= − = a1 1 5 a S∞ = 1 1− q S∞ = 14 5 5 S∞ = 4 Alternativa correta: C

03. PUC-RS

Um pêndulo simples de comprimento L é colocado L em movimento e tem sua primeira oscilação formando um arco que mede 2 000 centímetros, conforme a figura. O comprimento do arco que correspondente à segun3 da oscilação será de 4  do comprimento do arco que corresponde à primeira. O comprimento do arco da oscilação seguinte será de 3  do comprimento do arco anterior e assim por diante. 4 Supondo que o movimento do pêndulo não seja interrompido, a soma dos comprimentos de todos os arcos percorridos será de ________ metros. a. 50 b. 80 c. 160 d. 80 000 e. 160 000 2 000 cm = 20 m Oscilação

Comprimento do arco em metros

2x + x + x + x + ...+ = 4 é: O valor de x na equação 3 6 24 96 a. 4,0 b. 4,5 c. 5,0 d. 5,5 e. 6,0

1o

20 m

2o

3 ·20m 4

3o

3 · 3 ·20m 4 4

Resolução

. . .

. . .

2x S

∞

=

3 1−

1

=

4

4

2x = 4 − 1 3 x = 4,5 Alternativa correta: B

1 4

.

Soma dos comprimentos dos arcos: 20 + 3 ⋅20 + 3 ⋅ 3 ⋅ 20+… 4 4 4 SomadePGinfinita: PG: a1 = 20; q = 3 4 a S∞ = 1 1− q S∞ = 203 ⇒ S ∞ = 20 = 20·4 = 80 1 1 1− 4 4 S∞ = 80 m Alternativa correta: B

    0     0     1       5     1       I     M     E

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Resolução

02. UFPI

A soma é de uma PG infinita de razão

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Habilidade

Resolver problemas que envolvam progressões geométricas.

    9     2

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Exercícios Extras 04. PUC-RS

O limite da soma dos termos da progressão geométrica 1, 1 , 12 , , em que x > 1, é 4. Então, o valor de x é: x x 7 a. 4 c. e. 10 3 3 3 8 5 d. b. 3 3

(

)



05.

A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triângulo equilátero, obtém-se um terceiro e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.

Seu espaço Sobre o módulo

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Este módulo desenvolve um estudo sobre a soma infinita dos termos de uma PG. Se possível, induzir os alunos a perceberem que potências de base entre –1 e 1 têm, no li mite, potência igual a zero. Utilize o exemplo das potências de base 1  indicado na teoria. Com base nisso, pode-se auxiliar os alunos a entenderem a fórmula da 2 soma dos infinitos termos substituindo “q n “ por zero, quando houver tendência ao infinito, na fórmula da soma finita. Bom trabalho!

    0     3

    0     0     1       5     1       I     M     E

Exercícios Propostos

     6      1 09.

Da teoria, leia o tópico 1J. tarefa

Exercícios de

reforço

aprofundamento

06.

A dízima periódica 3,2222... pode ser decomposta em uma soma de infinitas parcelas, sendo a primeira igual a 3 e as demais formando uma PG infinita de razão 110. Sendo assim, temos: 3,2222.... = 3 + 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ... Calcule a fração geratriz da dízima periódica mostrada.

Na figura abaixo, a aresta do cubo maior mede a, e os outros cubos foram construídos de modo que a medida da respectiva aresta seja a metade da aresta do cubo anterior. Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma dos volumes de todos os cubos será:

07. UFSC

Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). 01 A razão da PA em que a 1 = – 8 e a20 = 30 é r = 2. 02. A soma dos termos da PA (5, 8, ..., 41) é 299. 04. O primeiro termo da PG em que a 3 = 3 e a7 = 3  é 12. 16 5 08. A soma dos termos da PG (5, 5  , , ...) é 10. 2 4 08. UFPA 

Um dos moluscos transmissores da esquistossomose é o biomphalaria amazonica paraense. Sua concha tem forma de uma espiral plana, como na figura:

B1

B2

A3

A2

A1

A0

C

A interseção do diâmetro A 0B0 com a concha determina pontos A0, B0, A1, B1, A2, B2 etc. A cada meia volta da espiral, a largura do diâmetro do canal da concha reduz na proporção de 2 , isto é, B0B1 = 2 A0A1, A1A2 = 2 B0B1, B1B2 = 2 A1A2, 3 3 3 3 2 A2A3 = B1B2 e assim sucessivamente. Seja o ponto C o limite 3 da espiral, se A 0B0 mede 6 mm, a medida de B0C é, em mm, igual a: a. 6

    0     0     1       5     1       I     M     E

5 b. 12 5 c. 3 d. 11 5 e.

7 2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

a. 0

a3

b. 2

c. 7a

3

8 8a3 d. 7 e. 2a3 10.

Determine a soma dos infinitos termos de uma PG de pri1 meiro termo igual a 5 e razão 2 . 11. Unesp

B0

     1      1      2

Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P 0, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P 3, em r. Na figura, O, O 1 e O2 são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R , R  seus 2 4 respectivos raios.

O P

O

O

1

2

P 0

R

1

P R 2

2

r P

R

3

4

A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados R por On e Rn = 2n , respectivamente, até o ponto P n , também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a: a. 22 ·π · R b. 23 ·π · R c. 2n ·π · R d. 7 ⋅ π ⋅ R 4 e. 2 · π · R

()

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    1     3

     6      1      1      1      2

12. UEPB

14. UPE

Na figura a seguir, temos parte do gráfico da função x f(x) = 2  e uma sequência infinita de retângulos associa3 dos a esse gráfico

()

y

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

f(x) =

( 23 )

x

15. Vunesp

(0,1) 0    s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    2     3

Júnior marcou com Daniela às 15 horas para juntos assistirem a um filme, cuja sessão se inicia às 16 horas. Como às 15 horas Daniela não chegou, Júnior resolveu esperar um tempo t1 igual a 15 minutos e, após isso, um tempo t2 igual a 1  de 1t e, logo após, um tempo t3 igual a 1  de 2t e assim por 4 4 diante. Daniela não chegou para o encontro. Por quanto tempo Júnior esperou até ir embora? a. 1 hora d. 30 minutos b. 1 dia e. 45 minutos c. 20 minutos

1

2

3

4

5

x

A soma das áreas de todos os retângulos desta sequência infinita em unidade de área é: a. 3 1 b. 2 c. 1 d. 2 e. 4

Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes. Observe o processo para as duas primeiras divisões: Quadrado de lado unitário

1a divisão

2a divisão

13. Unifesp

No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1, 1  , 1 , 1  e assim por diante, conforme mostra a figura. 3 9 27

Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual é a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente? 16. UEL-PR

Na figura a seguir, o lado do quadrado maior mede 1 e os outros quadrados foram construídos de modo que a medida do respectivo lado seja a metade do lado do quadrado anterior.

1 9 1 h

3 1

1

O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é: a. 3 5 b. 2 c. 7 3 d. 2 e. 3 2

1

1

1

2

4

8

Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados será: a. 2 4 b. 3 c. 3 2 d. 3 15 e. 8

    0     0     1       5     1       I     M     E

Módulo 60

     6      1

Aplicações de progressão aritmética e progressão geométrica

     1      1      2

Exercícios de Aplicação 01. Unisc-RS

Estima-se que o crescimento de uma população se dê em progressão geométrica. Sob essas condições, se, no ano de 2002, a população era de 110 mil habitantes e, no ano seguinte, essa população teve um aumento de 11 mil habitantes, qual é a estimativa esperada do número total de habitantes para o ano de 2004? a. 140 000 b. 128 100 c. 135 000 d. 133 100 e. 132 000

02. UFRGS-RS

Uma sequência de pontos foi tomada sobre o gráfico da função exponencial de base a, como indica a figura a seguir. y

Resolução

Primeiro termo (2002): 110 Segundo termo (2003): 121 Razão da PG: 121 = 1,1 110 Terceiro termo (2004): 121 · 1,1 = 133,1 Em 2004, a população estimada será de 133 100. Alternativa correta: D

–2

0

2

x

Considerando-se que as abscissas dos pontos da sequência estão em progressão aritmética crescente, suas ordenadas estão em progressão: a. aritmética de razão a. b. aritmética de razão 2 a . 3 2 c. geométrica de razão . 3 d. geométrica de razão 2 a . 3 2

e. geométrica de razão a 3 . Resolução

  (−2; ... ; 2) PA   

r>0 n=7 a1 = −2 a7 = 2

a7 = a1 + (n–1) · r 2 = –2 + (7–1) · r 4=6·r Sendo f(x) = ax Para x = −2 ⇒ f(− 2)= 12 a Para x = − 4 ⇒ f − 4 = 14 3 3 a3

( )

1 4 2 2 3 −4 2 2 1 a Para x = − ⇒ f − = 2 ⇒ PG:q = 1 = a4 = a2 3 = a 3 3 3 a3 a3 a2

( )

    0     0     1       5     1       I     M     E

Alternativa correta: E

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    3     3

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

03. Enem Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente. Afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.

Resolução

As distâncias percorridas pelo corredor constituem a progressão aritmética (3; 3,5; 4; ... ;10). Se n denota o número de dias para que o planejamento seja executado, temos que: 10 = 3 + (n – 1) · 0,5 ⇔ 7 · 2 = n – 1⇔ n = 15 Alternativa correta: D

Disponível em: . Acesso em: 28 abr. 2010.

Habilidade

Resolver problemas que envolvam progressões aritméticas.

Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente: a. 12 dias. b. 13 dias. c. 14 dias. d. 15 dias. e. 16 dias.

    4     3

Exercícios Extras 04. UFPA 

Três números estão em PA. A soma desses números é 15 e o seu produto é 105. Qual a diferença entre o maior e o menor número? a. 4 c. 6 e. 8 b. 5 d. 7 05. Fuvest-SP 2

Dada as sequências a n = n2 + 4n + 4, bn = 2n , cn = an+1 – ane dn = as seguintes afirmações: I. an é uma progressão geométrica; II. bn é uma progressão geométrica; São verdadeiras apenas a. I, II e III. b. I, II e IV.

bn+1  definidas para valores inteiros positivos de n, considere bn III. cn é uma progressão aritmétrica; IV. dn é uma progressão geométrica.

c. I e III. d. II e IV.

e. III e IV.

    0     0     1       5     1       I     M     E

Seu espaço

     6      1

Sobre o módulo

     1      1      2

Neste módulo, abordaremos os conteúdos desenvolvidos em PA e PG e suas aplicações. É importante fazer um resumo do termo geral, das propriedades e da soma envolvendo PA e PG. Bom trabalho! Estante

SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. RPM, São Paulo, n.57. p.1-8, 2 o quadrimestre de 2005. O artigo explora a construção aproximada de alguns fractais e também o cálculo de alguns de seus dados e de suas dimensões. PAIVA, Rui E. B. Progressões aritmético-geométricas (PAG) e progressões geométrico-aritméticas (PGA). RPM, São Paulo, ano 28, n.73. p.47-49, 3º quadrimestre de 2010. O artigo apresenta definições e exemplos de PAG e PGA.

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    5     3

Exercícios Propostos Da teoria, leia os tópicos 1A, B, C, D, E, F, G, H, I e J. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. Unicamp-SP

O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a: a. 3,0 m2 b. 2,0 m2 c. 1,5 m2 d. 3,5 m2 07. Unicamp-SP

    0     0     1       5     1       I     M     E

No mês corrente, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa estuda, agora, alternativas para voltar a ter lucro. a. Primeiramente, assuma que a receita não variará nos próximos meses, e que as despesas serão reduzidas, mensalmente, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que fornece o valor da despesa em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial

o corrente. Calcule em quantos meses a despesa será menor que a receita. b. Suponha, agora, que a receita aumentará 10% a cada mês, ou seja, que a receita obedecerá a uma progressão geométrica (PG) de razão 11 . Nesse caso, escre10 va a expressão do termo geral dessa PG em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente. Determine qual será a receita acumulada em 10 meses. Se necessário, use 1,12 = 1,21; 1,13 ≈ 1,33 e 1,15 ≈ 1,61. 08. UERJ

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: • os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; • o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; • os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior.

     6      1      1      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    6     3

Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. Cartão amarelo recebido

Valor da multa (R$)

1o

–

2o

–

3o

500

4o

1.000

5o

1.500

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a. R$ 30.000,00 b. R$ 33.000,00 c. R$ 36.000,00 d. R$ 39.000,00 09. Udesc

Considere os números reais a, b e c, que fazem com que as sequências S 1  = (2c, a, 7a), S2  = (b, c, 2c – 1) e S3  = (4b, a – c, –2c ) sejam três progressões aritméticas de razões r1, r2 e 3r, respectivamente. Então, a sequência S = (r1, r2, r3) é uma progressão: a. geométrica, com razão igual a –2. b. aritmética, com razão igual a –6. c. aritmética, com razão igual a –2. d. aritmética, com razão igual a − 1 . 2 e. geométrica, com razão igual a − 1 . 2

A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no: a. 9o dia. b. 10o dia c. 8o dia. d. 5o dia. e. 6o dia. 13. PUC-SP

Suponha que, em um portal da Internet, o número de participantes de um bate-papo virtual ( chat) varie a cada hora, segundo os termos de progressão geométrica. Considerando o período das 22 horas às 5 horas da manhã, então, se às 24 horas havia 3 645 pessoas nas salas de bate-papo e às 2 horas da manhã havia 405, é correto afirmar que, às 5 horas da manhã, a quantidade de internautas nas salas de bate-papo era um número: a. quadrado perfeito. b. divisível por 7. c. múltiplo de 15. d. par. e. primo. 14. UFRN

As áreas dos quadrados a seguir estão em progressão geométrica de razão 2.

10. UFRGS-RS

Se a1, a2, …, a 100 é uma progressão aritmética de razão r, então a sequência a 1 – a100, a 2 – a99, …, a 50 – a51 é uma progressão: a. geométrica de razão 2r. b. geométrica de razão r. c. aritmética de razão – r. d. aritmética de razão r. e. aritmética de razão 2r. 11. FGV-SP

Um poço de petróleo que produz 100 barris de petróleo bruto por mês se esgotará em 1 ano. Em cada mês, o preço se mantém constante e é dado por f(x) = 69,8 + 0,2x dólares por barril, em que x = 1 representa o 1 o mês, x = 2, o 2o mês e assim por diante. Qual será a receita total proporcionada pelo poço, até se esgotar? 12. Udesc

Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro e assim sucessivamente.

Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em: a. progressão aritmética de razão 2. b. progressão geométrica de razão 2. c. progressão aritmética de razão 2 . d. progressão geométrica de razão 2. 15. Unifesp

Em uma sequência de 8 números, a 1, a2, ..., a7, a8, os 5 primeiros termos formam uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão geométrica (PG) de primeiro termo 2. Sabendo que a 5 = a6 e a4 = a7: a. determine as razões da PA e da PG; b. escreva os oito termos dessa sequência. 16.

Determine a soma a seguir. S=1+ 2 + 3 + 4 + 5 25 125 625



    0     0     1       5     1       I     M     E

211

  a   c    i   t   á   m   e   t   a    M    S    Í    F

   Í    U   Q    O    I    B   O    P    L    S    I    H    E  O   G    L    I    F   C    S  O    S    E    R

212

Capítulo 12................ 38 Módulo Módulo Módulo Módulo Módulo Módulo

55 .............. 57 56 .............. 62 57 ..............6 6 58 .............. 70 59 .............. 76 60 .............. 81

1. As funções seno e cosseno

na modelagem de fenômenos 2. Função tangente: f(x) = tg x 3. Outras funções trigonométricas 4. Problematizações com gráficos de funções 5. Organizador gráfico Módulo 55 – Função cosseno – Problemas Módulo 56 – Função tangente Módulo 57 – Função tangente — Problemas Módulo 58 – Outras funções trigonométricas Módulo 59 – Problematizações com gráficos de funções trigonométricas Módulo 60 – Funções trigonométricas — Aplicações

40 41 44 51 56 57 62 66 70 76 81

• Reconhecer, na circunferência trigonométrica, a variação de sinais, o crescimento e o decrescimento das funções trigonométricas. • Identificar o período de uma função trigonométrica a partir de seu gráfico. • Identificar o domínio e o conjunto imagem de uma função trigonométrica a partir de seu gráfico. • Determinar o domínio, o contradomínio, o conjunto imagem e o período de uma função trigonométrica a partir da lei que a define. • Construir o gráfico de uma função trigonométrica. • Resolver um problema do cotidiano utilizando informações de funções trigonométricas.

    K     C     O     T     S     I     /     N     O     S     K     C     A     J     A     N     A     I     R     B

Funções trigonométricas – Parte II

12

As funções trigonométricas auxiliam na compreensão de fenômenos periódicos que ocorrem na natureza. Uma circunstância que serve de exemplo é o monitoramento da frequência cardíaca, isto é, do número de batimentos cardíacos de um indivíduo em um período de tempo. Também é possível utilizar essas funções para modelar outros fenômenos, como a variação da temperatura em uma cidade e a variação da temperatura do corpo humano, que empregam funções que dependem do cosseno de números reais.

    9     3

     3      1      2      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

1. As funções seno e cosseno na modelagem de fenômenos

A seguir, é apresentada uma questão em que há uma função que relaciona o tempo decorrido, em horas, a partir de determinado instante, com a temperatura da água em Florianópolis, para auxili ar maricultores na produção de ostras e mexilhões. A função que irá estabelecer essa relação necessitará do uso de cosseno de número real.     K     C     O     T     S     I     /     Y     V     O     S     T     V     E     H     S

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    0     4

Fazenda marítima: cultura de ostras e mexilhões

APRENDER SEMPRE

8

01. Acafe-SC

Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0), e os dados foram representados pela função periódica

t) =

+ 3 cos

+ π , em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o   6 3  

início da medição e T(t), a temperatura (em ºC) no instante t. O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente: a. 6h, 25,5 °C e 10h. b. 12h, 27 °C e 10h. c. 12h, 27 °C e 15h. d. 6h, 25,5 °C e 15h.

    0     0     1       5     1       I     M     E

Na resolução dessa questão, é necessário compreender os significados de período e conjunto imagem da função apresentada. O período representa um intervalo de tempo, menor intervalo possível, decorrido entre dois instantes em que se verificam temperaturas iguais após um ciclo completo de observações. Por meio do conjunto imagem, é possível verificar quais são as temperaturas máximas e mínimas observadas.

     3      1      2      1      2

2π O período será dado por P = 2π  =  =12 horas. Isso significa que, em um período contínuo de 12 horas, é possível verificar

π

c

6

todas as possíveis temperaturas observadas, e que determinada temperatura observada se repetirá a cada 12 horas. A temperatura máxima será dada pelo maior valor que a função assume. Desse modo, como o maior valor que podemos

(

) é 1, temos que a temperatura máxima será dada por: T = 24 + 3·1 =27° C. Nesse modelo matemático, a temperatura máxima é encontrada quando a expressão ( ) assume valor igual a 1, e

atribuir à expressão cos

πt

6

+

π

3

cos

isto se dá, pela primeira vez, quando a soma

πt

6

+

π

3

πt

6

+

π

3

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

 for igual a 2π, que, por sua vez, ocorre quando t for igual a 10. Segundo o

texto do problema, t = 0 se refere às 5 horas da manhã do primeiro dia de observação. Dessa forma, quando t for igual a 10, terão se passado dez horas da primeira observação e serão 15 horas desse dia.

APRENDER SEMPRE

9

01. UnB-DF (adaptado)

Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar F na traquéia, em ambos os sentidos - inspiração e expiração - e a pressão interpleural P - pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e por músculos intercostais - são funções periódicas do tempo t, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções são descritas, para t > 0, por t) A sen ( t ) t) =

BF t+

( ω ) ,

em que k, A, B, C são constantes reais positivas e ω   é a frequência respiratória. Com base nessas informações,  julgue os itens seguintes. (1) O fluxo máximo de ar na traquéia é igual a A. (2) P (t) = C – BA sen ( ω t + k). Resolução

(1) Certo O fluxo F será máximo quando sen( ω t) = 1. Fmáx = A · 1 = A (2) Certo Calculando t +

t+

= sen 

ω 

, temos:

(t + k

sen

t

)

Logo: P(t) = C – B A sen( ω t + k)

2. Função tangente: f(x) = tg x 

A função tangente é aquela que associa, a cada número real x, o número y = tg x. Para ter uma ideia do gráfico dessa função, acompanhe as informações da tabela a seguir.

    0     0     1       5     1       I     M     E

 x 

0

tg x 

0

π

π

π

π

6

4

3

2

π

1

3

∃

0

3 2

π

3

2

2π

∃

0

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    1     4

     3      1

Acrescentando aos dados dessa tabela os valores simétricos na primeira volta positiva do ciclo trigonométrico e o fato de que a função terá seus valores repetidos de meia em meia volta, pode-se esboçar o gráfico da função como segue.

     2      1      2

y

3

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

π

3

1

3

π π

4

3

–

6 0 –

3

–

π

2

π

–

3 –

π

6

0

π

π

π

π

π

4

6

4

3

2

3π

π

2π

5π

2

x

2

3

–1

–

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

3

π

A curva que é o gráfico da função tangente recebe o nome de tangentoide . Note que, em cada ponto que representa os números reais do conjunto ..., − π , π , 3π , 5π , ... , há retas perpendiculares 2 2 2 2 que o gráfico não intercepta. Essas retas são chamadas de assíntotas, e isto informa que, para tais valores, não há imagem da função, permitindo descrever o domínio da função tangente:

{

}

D(f) ={x ∈  | x≠ π + k · π, k ∈ } 2

    2     4

Observe que o trecho do gráfico entre − π e π  se re2 2 pete à medida que os valores de x crescem ou decrescem. Isso qualifica a função como periódica, e seu período é igual a π. Uma maneira de provar que o período da função tangente é π está na constatação da igualdade tg (x +π) = tg (x), ∀ x ∈ D(f). Comprove esse fato acompanhando as passagens a seguir. tg (x + π) =

tg x + tgπ tg x + 0 tg x tg x = = = = tgx 1 − tgx . tgπ 1 − tgx . 0 1 − 0 1

Ressalta-se ainda que a tg x não assume valor máximo ou mínimo. Dessa forma, o conjunto imagem da função f(x) = tg x é dado por: Im(f) = 

APRENDER SEMPRE

10

01.

Esboce o gráfico da função y = 2 tg x e determine o período, o domínio e o conjunto imagem. Resolução

Vamos construir uma tabela a fim de encontrarmos pontos da tangentoide correspondentes a alguns valores notáveis da tangente, em um período.

π ,−π,

Considere os arcos notáveis para tangente: 0,

,

2

4

 e a tabela a seguir.  x

tg x

y = 2 tg x 

−π

∃

∃

−π

–1

–2

0

0

0

π

1

2

∃

∃

2

4

4

π 2

    0     0     1       5     1       I     M     E

Dessa tabela, pode-se esboçar o gráfico a seguir. y

tangente compreende o conjunto dos números reais. O domínio da função em questão é dado por: x–π≠

3  + k ·π 2 Logo, D(f) = {x ∈  | x≠ 3π + k · π, k ∈ }, que é equi2 valente a D(f) = {x∈  | x≠ + k · π, k ∈ }. 2

2

0 –

π

2

–

0

π

 + + k ·π, k ∈ 

x≠

4

–π

2

4

π

π

2

2

π

Período: p =

x

c

= = 1

A tabela a seguir auxiliará o esboço do gráfico.

–2

(x – π)

 x 

tg (x – π)

–4

Analisando o gráfico, podemos perceber que o período da função é π, o domínio é dado por: D(f) = {x ∈  | x≠ π  + k ·π, k ∈ } 2 e o conjunto imagem Im(f) = . Resumindo: Im(f) = R p=π D(f) = {x ∈  | x≠ π + k · π, k ∈ } 2

A. Função do tipo: f(x) = a + b tg (cx + d), a, b, c, d ∈  , b ≠ 0 e c ≠ 0 Para as funções que fazem uso da tangente e são da forma f(x) = a + b tg (cx + d), com a, b, c, d ∈ , e b ≠ 0 e c≠ 0, o período P da função é dado por:

x–π =

−π

–1

0

0

4

π

c Pois, sendo P o período, temos que: f(x) = f(x + p) a + b tg (cx + d)= a + b tg [c(x + p) + d] tg (cx + d)= tg [c(x + p) + d] tg (cx + d)= tg [cx + cp + d] tg (cx + d)= tg [(cx + d) + cp] cp = π + kπ ou cp = –π + kπ, k ∈  Como p é o menor valor positivo possível, temos que: p = , ∀ c∈ *.

∃

2

π

3

⇒

π 2

5     3     4

⇒

∃

3π ⇒ 4

5

4

3

2

1 0 –π

–

π

2

Resolução

    0     0     1       5     1       I     M     E

1

y

01.

Podemos determinar o período, a imagem e o domínio mesmo sem a construção do gráfico. A imagem da função

⇒

Temos, então, o gráfico:

11

Esboce o gráfico, determine o período, o conjunto imagem e o domínio da função y = 3 + 2 tg (x – π).

−π

4 ⇒ x = 5π 4

x – π =

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

2

x – π = 0 ⇒ ⇒ x= π

1

4

∃

π

4 3π ⇒ x = − 4

x – π =

Imagem: Im = 

0

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

⇒

2

⇒ x =

     2      1      2

y = 3 + 2tg(x – π)

−π

∃

2

π

p =  π

APRENDER SEMPRE

x – π =

−π

     3      1

π

2

π

3π 2

x

     3      1      2      1      2

3. Outras funções trigonométricas A. Função cotangente: f(x) = cotg x Seja D = { x ∈  | x≠ kπ, k ∈ }. Define-se a função f : D → , que associa a cada elemento x do conjunto D o valor real cotg x, e ela é denominada função cotangente. sen cotg x

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

cotg

x cos

Cotangente de x no ciclo trigonométrico

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Considere a tabela a seguir, em que estão apresentados alguns arcos notáveis e os respectivos valores de cotangente, bem como os pares ordenados nos quais as abscissas são elementos do domínio e as ordenadas, suas respectivas imagens.  x

f(x) = cotg x

(x, y)

−π

0

(− π2 , 0)

−π

–1

(− π4 , −1)

0

∃

∃

π

1

( 4π , 1)

0

( π2 , 0)

2

4

4

    4     4

π 2

A partir dos pares ordenados dessa tabela, tem-se a ideia do gráfico da função cujo esboço está apresentado a seguir.

y 2

1

0 –

0

π

2

π

x

2

Observe ainda que: Domínio da função: D(f) = { x ∈  | x≠ kπ, k ∈ } Conjunto imagem: Im(f) =  Período da função: p = π Quando uma função que envolve cotangente é do tipo f(x) = a + b cotg (cx + d), com a, b, c e d ∈ , b e c não nulos, o período será dado por: p =  π c

–1

–2

Gráfico de f(x) = cotg x 

    0     0     1       5     1       I     M     E

B. Função secante: f(x) = sec x

     3      1

Seja D = {x ∈  | x≠ π  + kπ, k ∈ }. 2 Define-se a função f : D → , que associa a cada elemento x do conjunto D o valor sec x, e esta é denominada função secante.

     2      1      2

sen

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

x sec x

cos

Secante de x no ciclo trigonométrico

Observe a tabela a seguir. Nela estão apresentados os arcos notáveis na primeira volta positiva e os respectivos valores da secante e, na última coluna, estão os pares ordenados cujas abscissas são elementos do domínio e as ordenadas, as respectivas imagens.

 x

f(x) = sec x

(x, y)

 x

f(x) = sec x

(x, y)

0

1

(0, 1)

7π 6

−2 3

 7π , − 2 3     6   3  

π

2 3 3

( π6 , 2 33 )

5π 4

− 2

(54π , − 2 )

2

( π4 , 2 )

4π 3

–2

( 43π , −2)

3π 2

∃

∃

5π 3

2

(53π ,2)

7π 4

2

(74π , 2 )

11π 6

2 3 3

 11π , 2 3     6 3    

2π

1

(2π, 1)

6

π 4

π 3

π 2 2π 3

    0     0     1       5     1       I     M     E

2

∃ –2

( π3 , 2)

3

∃

( π3 , −2)

3π 4

− 2

(34π , − 2 )

5π 6

−2 3 3

 5π , − 2 3     6   3  

π

–1

(π, –1)

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    5     4

     3      1

Pelos pares ordenados dessa tabela, tem-se a ideia do gráfico da função cujo esboço está apresentado a seguir. y

     2      1      2

3

2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

1

0 π

–

0

π

2

π

3π

π

2

2π

2

5π

3π

x

2

–1

–2

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

–3

Gráfico de f(x) = sec x 

Note que:

Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠ π  kπ, k ∈ } 2 Conjunto imagem: Im(f) = ] – ∞, –1[ ∪ ] 1, +∞[ = {y ∈  | y≤ –1 ou y≥ 1} Período: P = 2 π Quando uma função que envolve secante é do tipo f(x) = a + b sec (cx + d), com a, b, c e d ∈ , b e c não nulos, o período será dado por: p = 2π |c|

    6     4

C. Função cossecante: f(x) = cossec x Seja D = { x ∈  | x≠ kπ, k ∈ }. Define-se a função f : D → , que associa a cada elemento x do conjunto D o valor cossec x, e esta é denominada função cossecante. sen

cossec x x cos

Cossecante de x no ciclo trigonométrico

    0     0     1       5     1       I     M     E

Observe a tabela a seguir, na qual estão apresentados os arcos notáveis da primeira volta positiva e os respectivos valores da cossecante e, na última coluna, estão os pares ordenados, nos quais as abscissas são elementos do domínio e as ordenadas, as respectivas imagens.  x

f(x) = cossec x

(x, y)

 x

f(x) = cossec x

(x, y)

0

∃

∃

–2

( 43π , −2)

π

2

π ,2

7π 6 5π 4

− 2

(54π , − 2 )

4π 3

−2 3

 7π , − 2 3     6   3  

3π 2

–1

(32π , −1)

6

π

(3 ) ( 4π , 2 )

2

4

π

2 2 3

3

π

 π , 2 3    6 3    

( π2 , 1)

1

2 2π 3

2 3 3

3π 4

2

5π 3

−2 3

 11π , − 2 3     6   3  

7π 4

− 2

(74π , − 2 )

11π 6

–2

(53π , −2)

2π

1∃

∃

 5π , 2 3     6 3    

(34π , 2 )

5π 6

2

( π3 , 2)

π

∃

∃

3

3

Pelos pares ordenados dessa tabela, tem-se a ideia do gráfico da função cujo esboço está apresentado a seguir. y 3

2

1

0 0

π

2

π

3π

2π

2

–1

–2

–3

    0     0     1       5     1       I     M     E

Gráfico de f(x) = cossec x 

5π 2

3π

x

     3      1      2      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    7     4

     3      1      2      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Observe que: Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠ kπ, k ∈ } Conjunto imagem: Im(f) = ] – ∞, –1[∪] 1, + ∞[ = {y ∈ R | y≤ –1 ou y≥ 1} Período: p = 2π Quando uma função que envolve cossecante é do tipo f(x) = a + b cossec (cx + d), com a, b, c e d ∈ , b e c não nulos, o período será dado por: p=

2p c

APRENDER SEMPRE

12

01.

Esboce o gráfico e determine o período, o conjunto imagem e o domínio da função: f(x) = 1 – 2 cotg (2x + π). Resolução

Considere a tabela a seguir.    s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

(2x + π)

 x 

f(x) = 1 – 2 cotg (2x + π)

(x, y)

−π

− 3π

1

(− π2 , 1)

−π

− 5π

3

(− 58π , 3)

0

−π

∃

∃

π

− 3π

–1

(− 38π , −1)

−π

1

(− π4 , 1)

2

4

4

8

2

4

8

π 2

4

    8     4 y

14

12 10

8 6 4

2 0 –π

–

0

π

2

π

π

x

2

–2

–4 –6     0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠ k , k ∈ } 2

     2      1      2

Conjunto imagem: Im(f) =  Período: p = π 2 02.

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Esboce o gráfico e determine o período, o conjunto imagem e o domínio da função: f(x) = 1 – 2 sec (2x) Resolução

Considere a tabela. (2x )

x

f(x) = 1 – 2 sec (2x)

(x, y)

0

0

–1

(0, –1)

π

π

2

4

∃

∃

3

( π2 , −1)

π

6

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

4

    9     4

π 2

3π 2

3π 4

∃

∃

2π

π

–1

(π, –1)

y

2

0 –

π

2

–

0

π

4

π

π

3π

4

2

4

π

–2

–4

Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠

    0     0     1       5     1       I     M     E

kπ, k ∈ }

Conjunto imagem: Im(f) = ] – ∞, –1[ ∪ ] 3, +∞[ = {y ∈  | y≤ –1 ou y≥ 3}  Período: p =π

x

     3      1      2      1      2

03.

Esboce o gráfico e determine o período, o conjunto imagem e o domínio da função: f(x) = 2 cossec (x – π) Resolução

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Considere a tabela a seguir. (x – π)

 x

f(x) = 2 cossec (x - π)

(x, y)

0

π

∃

∃

π 2

3π 2

2

(32π ,2)

π

2π

∃

∃

3π 2

5π 2

–2

(52π , − 2)

2π

3π

∃

∃

y 6

4

    0     5

2

0 0

π

2

π

2

π

3π 2

2π

5π 2

3π

7π

x

2

–2

–4

–6

Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠ kπ, k ∈ } Conjunto imagem: Im(f) = ] – ∞, –2[ ∪ ] 2, +∞[ = {y ∈  | y≤ –2 ou y≥ 2} Período: p = 2π

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

04.

Qual o período da função f(x) = |sen x|?

     2      1      2

Resolução

Sabemos que o gráfico da função f(x) = sen x é dado por: y 1

0 0

π

π

2

3π

2π

x

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

2

–1

O gráfico da função f(x) = |sen x| é dado por: y 1

0 0

π

π

2

3π

2π

x

2

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

–1

    1     5

O período da função é dado por p = π.

4. Problematizações com gráficos de funções Sejam as funções trigonométricas: I. f(x) = a + b sen (cx + d) II. f(x) = a + b cos (cx + d) III. f(x) = a + b tg (cx + d) IV. f(x) = a + b sec (cx + d)  V. f(x) = a + b cossec (cx + d)  VI. f(x) = a + b cotg (cx + d)  em que os coeficientes a, b, c e d são reais e com b e c não nulos. Uma das habilidades necessárias para a resolução e a compreensão de situações-problema que envolvem essas funções trigonométricas é a de relacionar a variação de seus coeficientes com suas transformações gráficas. • Tomemos uma família de funções como exemplo: f(x) = 1 + 2 sen( cx + π), c ∈ *. Desse modo, a cada valor que atribuirmos ao coeficiente c, teremos uma função distinta. Qual transformação gráfica se pode encontrar ao variar o coeficiente c? Ficariam alteradas a imagem e o domínio das funções? A seguir, alguns gráficos dessas fu nções.     0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

y

     2      1      2

3

f(x) = 1 + 2 sen (x + π) g(x) = 1 + 2 sen (2x + π) h(x) = 1 + 2 sen (10x + π)

2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

1

0 0

–0,5

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

x

–1

Notamos que, ao variarmos o coeficiente c, temos alterados apenas os períodos das funções. Os conjuntos imagem e o domínio permanecem inalterados. • Tomemos agora outra família de funções: f(x) = 1 + b sen( x + π), b ∈ ℝ*. Atribuindo-se distintos valores a b, quais transformações gráficas poderemos esperar? Vejamos alguns gráficos a seguir. y

5

    2     5

4

3

2

Amplitude

1

0 0

1

2

3

4

5

6

x

–1

–2

f(x) = 1 + 2 sen (x + π) g(x) = 1 + sen (x + π) h(x) = 1 + 4 sen (x + π)

–3

Neste caso, notamos que os conjuntos imagens são alterados, pois a amplitude da curva é modificada, enquanto permanecem inalterados os domínios e os períodos. • A seguir, vamos variar o coeficiente a de uma família de funções do tipo: f(x) = a + 2 sen(x +π) e analisar os gráficos obtidos.

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

y

     2      1      2

6

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

4

2

0 0

2

4

6

x

8

f(x) = 1 + 2 sen (x + π) g(x) = 1 + sen (x + π) h(x) = 1 + 4 sen (x + π)

Podemos notar que, ao variarmos o coeficiente a, provocamos uma translação, ou seja, um deslocamento da curva no sentido vertical. O coeficiente a é chamado de valor médio da função, pois é a média aritmética entre o maior e o menor valor assumidos pela função. • Para provocarmos um deslocamento horizontal, deveremos alterar o coeficiente d, como sugerem os exemplos a seguir, relacionados às funções do tipo f(x) = 1 + 2 sen (x + d). y

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

4

    3     5 2

0 0

2

2

4

6

x

8

f(x) = 1 + 2 sen (x + 1) g(x) = 1 + sen (x + 2) h(x) = 1 + 2 sen (x + 3)

APRENDER SEMPRE

13

01.

I. y = sen x

Esboce o gráfico e determine o período e o conjunto imagem da função: f(x) = | 2 – 3 sen 2x + π) | Resolução

Vamos, com base no gráfico da função f(x) = sen x, construir o gráfico da função solicitado, aplicando sucessivas transformações gráficas.     0     0     1       5     1       I     M     E

y

1 0 0

π

2

–1

–2

π

3π 2

2π

x

     3      1      2      1      2

II. y = sen 2x (altera-se para o novo período, que é

igual a π.)

y 3

y 2

1 1

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

0 0

0 0

π

3π

π

2

2

π

π

2

x

2π

3π

2π

x

2

–1

–1 –2 –2 –3

III. y = sen(2x + π) (translada-se a curva na horizontal,    s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

ou seja, desloca-se a curva horizontalmente π unidades para a esquerda.)

 VI. y =2 – 3sen(2x + π) (desloca-se a curva duas unida-

des para cima.) y 5

y

4 1

3

0 0

π

π

2

3π

2π

x

2

2

–1

1

–2

0 0

π

π

2

3π

2π

x

2

–1

    4     5

IV. y = 3 sen(2x + π) (altera-se a amplitude da função e,

consequentemente, o conjunto imagem.)

 VII. y = |2 – 3sen(2x + π)| (rebatem-se as partes da cur-

va que estão abaixo do eixo das abscissas.) y

y

3

5

2

4

1

3

0 0

π

2

π

3π

2π

x

2

2

1

–1

0

–2

0

π

2

–3

π

3π

2π

x

2

–1

 V. y = –3 sen(2x + π) (reflete-se a curva em relação ao

eixo x.)

Desse modo, temos que o conjunto imagem da função é dado por Im(f) = [0, 5], o domínio, por D(f) =  e o período, por p = π.

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

Os batimentos cardíacos num certo intervalo de tempo são um fenômeno com característica periódica e, portanto, podem ser mais bem compreendidos e modelados com a ajuda de funções trigonométricas. Da mesma forma, podemos compreender melhor a pressão arterial, pois ela atinge seu valor máximo quando o coração se contrai para bombear o sangue (pressão sistólica), e atinge o valor mínimo (pressão diastólica) quando o coração está em repouso, e tudo isso verificado num intervalo de tempo de um batimento cardíaco.

     2      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    5     5

 Quando uma pressão sanguínea é, por exemplo, 120/80 mmHg, significa que o primeiro valor refere-se à pressão sistólica e o segundo à pressão diastólica. Popularmente diz-se que essa pressão é 12 por 8. Se uma pessoa tem um batimento cardíaco a cada 0,75 segundo, ou seja, 80 batimentos por minuto, e pressão arterial de 120/80 mmHg, temos o gráfico a seguir, que modela sua pressão em função do tempo. P (mmHg) 120 100 80

0,375

0,75

1,125

1,5

1,875

t(s)

Controlar a pressão arterial com bons hábitos alimentares, prática esportiva e procurar ter qualidade de vida para diminuir o estresse podem evitar problemas graves de saúde, dentre os quais estão os que mais matam os brasileiros: infarto do miocárdio e acidente vascular cerebral.

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1      2      1      2

5. Organizador gráfico A. Funções trigonométricas – Parte II

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Funções trigonométricas

1

2

y

–π 6

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

–π 4

0 0

1 π

π

π

π

6 4

3

2

3 2

π

1

0 –

0

π

π

2

π

2π

– –2

0

π

π

2 – –3

–1

Função cossecante

2

–2 –

–1 –

3π 2

– –1

0

–π 2

Função tangente

π

2

2

0

Função secante –3

– –2

Função cotangente

f(x) = sec x f(x) = tg x

f(x) = a + b · sec(cx + d)

    6     5

f(x) = a + b · tg(cx + d)

f(x) = cossec x

f(x) = cotg x f(x) = a + b · cossec(cx + d)

f(x) = a + b · cotg(cx + d)

Tema

Tópico

Subtópico

Subtópico destaque

 Apenas texto Características     0     0     1       5     1       I     M     E

Módulo 55

     3      1

Função cosseno – Problemas

     2      1      2

Exercícios de Aplicação 01. Unifesp

 A funçãoD(t) = 12 + (1,6)⋅ cos π ( t + 10) , fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em horas entre o horá180 rio do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 365, sendo t = 1 correspondente ao dia 1º de janeiro e t = 365 correspondente ao dia 31 de dezembro. O argumento da função cosseno é medido em radianos. Com base nessa função, determine: a. a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado em horas e minutos; b. em quantos dias, no ano de 2010, a duração do dia naquela cidade foi menor ou igual a doze horas.

(

)

Resolução a. 12 horas e 48 minutos

π ( t + 10) D(t) = 12 + (1,6) · cos 180

(

)

t = 1 : 1 / 1 / 2010 t = 2 : 2 / 1 / 2010 

t = 50 : 19 / 2 / 2010 π (50 + 10) D(50) = 12 + (1,6) · cos 180

(

)

D(50) = 12 + (1,6) · cos  π 3 1 D(50) = 12 + (1,6) · 2 D(50) = 12,8h D(50) = 12 horas e 48 minutos Devemos ter : D(t) ≤ 12 e 1 ≤ t ≤ 365 12 + (1,6)⋅cos π ( t + 10) ≤ 12 180

(

)

1,6⋅cos π ( t + 10) ≤ 0 180

(

)

cos π ⋅( t + 10) ≤ 0 180 π ≤ π( t + 10) ≤ 3π 2 180 2 90 ≤ t + 10 ≤ 270 80 ≤ t ≤ 260

    0     0     1       5     1       I     M     E

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    7     5

b. 181 dias

(

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

)

     3      1      2      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

02. Unifor-CE

A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema terra-lua-sol é o principal fator responsável pela ocorrência das marés, quando as águas do mar atingem limites máximo e mínimo com determinada regularidade. A altura da maré t (em metros) observada em uma praia do litoral nordestino é aproximada pela função: f(t) = 1,5 + cos(π ), em que o tempo t é 6 medido em horas e 0 ≤ t ≤ 24. Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: I. Depois das 18h, a maré começa a secar. II. Às 6h, a maré atinge altura mínima. III. Às 9h, a maré está secando. IV. A média entre as alturas máxima e mínima é de 1,5 m.  V. Às 3h, a maré está enchendo. Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, obtém-se a seguinte sequência: a. F – F – V – V – F d. F – F – V – V – V b. V – F – V – F – V e. F – V – F – V – F V – V – F – F – V c. Resolução

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

y 6 5 4 3 2 1

f 

0 –4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

x

–1

    8     5

–2 –3 –4 –5

par tir das 18h, a maré começa a encher, pois o valor mínimo é 0,5. I. Falsa. Como f(18) = 1,5 + cos 3 π = 0,5, temos que, a partir II. Verdadeira. f(6) = 1,5 + cos π = 0,5; logo, às 6h, maré atinge altura mínima. 3π = 1,5, logo a maré estará enchendo, pois, do gráfico, os valores de f(x) estão variando do 2 valor mínimo para o valor máximo. IV. Verdadeira. Analisando a função, temos que sua imagem compreende o intervalo [0,5; 2,5]. Assim, a altura média é 0,5 + 2,5 = 1,5. 2  V. Falsa. Como f(3) = 1,5 + cos π = 1,5, logo a maré estará secando, pois, do gráfico, os valores de f(x) estão variando do 2 valor máximo para o valor mínimo. Alternativa correta: E III. Falsa. Como f(9) = 1,5 + cos

    0     0     1       5     1       I     M     E

Resolução

03. FMJ-SP

A agulha de uma máquina de costura industrial oscila com uma frequência de 10 Hz, ou seja, executa 10 oscilações completas a cada segundo. Considerando o ponto mais alto de sua trajetória como o início de seu movimento, localizado a 3 cm da mesa da máquina, o gráfico qualitativo que relaciona as posições (p), em centímetros, ocupadas pela agulha, com o tempo (t), em segundos, decorrido durante seu movimento, é o mostrado na figura a seguir.

É dado que o período da função é 10, logo, l ogo, sendo x a constante que multiplica a variável t, temos: 2π = 10 ⇒ x = ±20π. x E, considerando o ponto mais alto de sua trajetória como o início de seu movimento, localizado a 3 cm da mesa da máquina, temos que a oscilação ocorrerá entre [–3, 3]. Como para t = 0, p = 3, temos que p = 3 · cos(20 · π · t). Alternativa correta: E Habilidade

Resolver um problema do cotidiano utilizando informações de funções trigonométricas.

P

0

Exercícios Extras 04. Unifor-CE (adaptado)

05. UFRN

Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e descer. A altura y que a cama varia em função de θ é dada por:

Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função h(t) = 3 + 0,2 cos π ⋅ t , onde t é 6 medido em horas a partir da meia-noite. Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés. Desse modo: a. qual a altura máxima atingida pela maré? b. em quais horários isso ocorre no período de um dia?

( )

2m y θ

a. y = 2 sen θ b. y = 2 sen θ + 2 c. y = tg θ + 2

α

d. y = 2 cos θ e. y = 2 cos θ + 2

Seu espaço Orientaçõess ao professor Orientaçõe

Neste módulo são apresentadas algumas situações-prosi tuações-problema envolvendo a função cosseno. Espera-se que seja uma oportunidade para que os alunos deem significados aos elementos dessa função, que já foram f oram apresentados no módulo anterior,, e que possam adquirir habilidades de relacionar esanterior tes elementos à resolução de problemas. A simples construção de gráficos e a determinação de conjuntos domínio e imagem podem não ser significativos se não estiverem ligados l igados a um contexto que provoque o raciocínio e a interpretação.

    0     0     1       5     1       I     M     E

     2      1      2

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

t

A respectiva função que representa essa curva é: a. p = 3 · sen(10 · π · t) d. p = 3 · cos(10 · π · t) b. p = 3 · sen(20 · π · t) e. p = 3 · cos(20 · π · t) c. p = 6 · sen(20 · π · t)

Na web

     3      1

Disponível em: .

Este site traz um aplicativo que pode ajudar os alunos a compreenderem o desenvolvimento de uma função cosseno. Disponível em: .

Os áudios deste site apresentam algumas informações sobre manchas e tempestades solares, relacionando-as a funções periódicas que podem ser utilizadas para descrever os fenômenos que se repetem.

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    9     5

     3      1      2      1      2

Exercícios Propostos Da teoria, leia o tópico 1. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. Anhembi Morumbi-SP

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Em determinado local, a temperatura ambiente pode ser dada em função da hora do dia pela função T(t) = 22 − 2⋅ cos π ⋅(t − 5) + 2⋅ sen π ⋅(t − 5)

(12

)

(12

)

para 5 ≤ t≤ 22, sendo T a temperatura, em °C, e t a hora do dia. Considerando 2 ≈ 1,41, a temperatura aproximada, em ºC, às 14h, será: a. 23 d. 29 b. 27 e. 25 21 c. 07.. Unifacs-BA  07

Uma sala de um laboratório de pesquisas, onde se pretende desenvolver uma cultura de bactérias, teve sua temperatura ambiente T, em °C, modelada ao longo das 24 horas de h + 9  , determinado dia, pela expressão T (h ) = 18 + 8cos    12 π      h ∈ [0, 24]. Assim, nesse dia, a temperatura foi superior a 22 °C durante um número máximo de horas consecutivas iguais a: a. 5 d. 8 6 b. e. 9 c. 7

( )

Em 2009, a temperatura média máxima mensal em determinada região foi de 28 °C, e a temperatura média mínima mensal foi de 2 ºC. Estudos mostram que, em 2011, as temperaturas médias extremas nessa região serão 1 ºC superiores às de 2009. Qual função, em que t é o número do mês do ano, pode ser um modelo matemático para determinar a temperatura média mensal, nessa região, em 2011? a. T(t) = 16 + 13 cos

( π6 t)

b. T(t) = 21 + 16 cos

( π6 t)

c. T(t) = 21 + 16 cos

( π3 t)

d. T(t) = 21 + 8 cos

O gráfico a seguir representa ambos os modelos no mesmo sistema de eixos cartesianos. Presa p = 15 000 + 5 000       o         ã       ç       a         l

      u       p       o         P

( π6 t)

e. T(t) = 16 + 12 cos

Predador cos

2πt 24

20 000 15 000 10 000 p = 10 000 + 3 000  sen

5 000 0

08. UCS-RS     0     6

p = 10 00 000 + 3 00 000 sen 2πt , 24 e a população p de sua fonte básica de alimento (sua presa) admite o modelo p = 15 00 000 + 5 00 000 sen 2πt 24

2πt 24

3 6 9 12 15 15 18 18 21 21 27 2724 30333639424548 515457 515457 60 Tempo (em meses)

Em relação ao ciclo predador-presa anterior, assinale a afirmativa incorreta. a. Os modelos P e p têm o mesmo período de 24 meses. b. A maior população de predadores, nesse ciclo, é 13 000. c. Em t = 48 meses, a população de predadores é igual à de presas. d. A média aritmética entre os valores da menor população de presas e a menor de predadores, nesse ciclo, é 8 500. e. No início do ciclo predador-presa (t = 0), existem 10 000 predadores e 20 000 presas. 10. UEPA 

Os desfiles de moda parecem impor implicitamente tanto o “vestir-se bem” quanto o “ser bela”, definindo desse modo padrões de perfeição. Nesses desfiles de moda, a rotação pélvica do andar feminino é exagerada quando comparada ao marchar masculino, em passos de igual amplitude. Esse movimento oscilatório do andar feminino pode ser avaliado a partir da variação do ângulo θ, conforme ilustrado na figura a seguir, ao caminhar uniformemente no decorrer do tempo (t). Um modelo matemático que pode representar esse movimento oscilatório do andar feminino é dado por: θ(t) = π cos 4π t . Nessas condições, o valor de θ 3  é: 10 3 2

( )

()

θ

( π3 t)

09. UFMT

Em um determinado ciclo predador-presa, a população P de um predador no instante t (em meses) tem como modelo

Disponível em: . Acesso em: 9 set. 2011. Adaptado.

    0     0     1       5     1       I     M     E

a. b. c.

π

d.

8

π

e.

10

π

π

14. Unifor-CE

18

Um pêndulo de comprimento constante L faz um ângulo

π

θ com sua posição vertical de repouso. A equação que expressa a altura h como função do ângulo θ é de:

20

12

     3      1      2      1      2

θ

11. UFPE

Admita que a pressão arterial P(t) de uma pessoa no instante t, medido em segundos, seja dada por P(t) = 96 + 18 cos(2 πt), t ≥ 0. Considerando esses dados, analise a veracidade das ses eguintes afirmações. 00. O valor máximo da pressão arterial da pessoa é 114. 01. O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é 78. 02. A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t + 1) = P(t), para todo t ≥ 0. 1 03. Quando t = 1  de segundo, temos P  = 105. 3 3 04. O gráfico de P(t) para 0 ≤ t≤ 4 é:

()

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

h

a. h = L(1 + cos θ) b. h = L(1 – cos θ) c. h = L – cos θ

1 − cosθ L + θ e. h = 1 cos L d. h =

15. UECE

Em relação à periodicidade e à paridade da função f: R → R definida por f(x) = sen x + cos x, pode-se afirmar corretamente que: a. f é periódica e par. b. f é periódica e ímpar. c. f é periódica, mas não é par nem ímpar. d. f não é periódica, não é par nem ímpar

y 110 105 100 95 90 85

16. Mackenzie-SP

80 0

1

2

3

4

x y

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

12. FGV-SP

Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por f(x) = 4 + 3 cos πx , 6 em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros. Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia? a. 5 e 9 horas d. 3 e 7 horas b. 7 e 12 horas e. 6 e 10 horas c. 4 e 8 horas

( )

13. FGV-SP

A previsão mensal da venda de sorvetes para 2012, em uma sorveteria, é dada por P = 6 000 + 50x + 2 000 cos π  x , 6 em que P é o número de unidades vendidas no mês x ; x = 0 representa janeiro de 2012, x = 1 representa fevereiro de 2012, x = 2 representa março de 2012, e assim por diante. Se essas previsões se verificarem, em julho haverá uma queda na quantidade vendida, em relação a março, de aproximadamente: a. 39,5% d. 36,5% 38,5% b. e. 35,5% c. 37,5%

( )

    0     0     1       5     1       I     M     E

    1     6

x

1  + cos x, 2 esboçados no intervalo [0, 2 π], considere as afirmações: I. A equação f(x) = g(x) apresenta uma única solução nesse intervalo. II. f 9π  > g 9π 10 10 III. Nesse intervalo, para todo x, tal que g(x)  0. Então: a. I, II e III são verdadeiras. b. I, II e III são falsas. c. somente I é verdadeira. d. somente II é verdadeira. e. somente III é verdadeira. A partir dos gráficos de f(x) = sen x e g(x) =

( ) ( )

     3      1

Módulo 56

     2      1      2

Função tangente Exercícios de Aplicação

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

01. UFRJ

02.

Construa o gráfico e determine o conjunto imagem, o domínio e o período da função:

Qual o domínio da função f(x) = 2 + 3 tg ( 5x – 3 π)?

f(x) = 2 + tg x

A função tangente não está definida para arcos x que satisfaçam a condição: x = π  + kπ, k ∈ . 2 Desse modo, 5x – 3π ≠ π  + kπ 2 π 5x ≠  + 3π + kπ 2 5x ≠ 7π  + kπ 2 x ≠ 7π + kπ + k ∈  10 5 D(f) = { x ∈  | x≠ 7π + kπ , k ∈ } 10 5

Resolução

Determinando os pontos notáveis dessa curva:

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

 x

f(x)

(x, f(x))

−π

∃

∃

−π

1

(− π4 , 1)

0

2

(0, 2)

π

3

( π4 , 3)

2

4

4

Resolução

03.

π

∃

2

∃

y

( ) ( ) ( )

5

    2     6

4

A alternativa A é incorreta, pois 5π  está no terceiro qua4 drante e sua tangente é positiva. A alternativa B é incorreta, pois 2π  está no segundo quadrante e sua tangente é negativa. 3

2

1

0 –

() ()

Resolução

3

0

π

π

Seja D = {x ∈  | x≠  + k ·π, k ∈ } e uma função 2 f : D → R, tal que f(x) = tg x. Desse modo, a única alternativa correta é: a. f 5π  é negativa. d. f π  é positiva. 4 2 π π 2 b. f  e. f   é negativa.  é positiva. 2 3 c. f 5π  é negativa. 4

π

2

x

2

Temos que 5π  está no segundo quadrante. Dessa forma, 4 5 π  é positiva. f  4 As alternativas D e E são incorretas, pois não existe tan-

( )

π

–1

gente de . 2 Alternativa correta: C

–2

Habilidade

–3

π

Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠  + kπ, k ∈ } 2 Conjunto imagem: Im(f) =  Período: P = π

 Reconhecer, na circunferência trigonométrica, a variação de sinais, o crescimento e o decrescimento das funções trigonométricas.     0     0     1       5     1       I     M     E

Exercícios Extras

     3      1

04. Enem

Considere a função f(x) = tg (x) e g(x) = sen x. Na figura a seguir, temos uma circunferência trigonométrica e o eixo das tangentes, contendo os pontos A, C e M. Considerando que os pontos B, O e M são colineares, B é a extremidade de um arco de medida 2π  rad e CB é perpendicular 3 ao eixo Oy, temos que a medida do segmento CM é: y

B

tg

A

( 3 ) + g(23π ) b. f ( 2π ) 3 c. g ( 2π ) 3

d. f 2π

( 3 ) − g(23π ) e. f ( 2π ) − g ( 2π ) 3 3

05.

Considere as funções f(x) = sen(2x) e g(x) = tg x. Assinale um valor de x para o qual f(x) = g(x).

C

0

a. f 2π

x

M

a.

π

b.

π

2

3 π 2 c. 3 4 π d. 3 3π e. 4

Seu espaço Orientações ao professor

Os alunos deverão compreender a variação da função tangente e, consequentemente, as características de seu gráfico cartesiano. A construção dos gráficos pelos alunos não deve ser uma tarefa apenas que privilegie certos procedimentos, mas deve ter uma relação direta com a compreensão da variação da função no ciclo. Na web

    0     0     1       5     1       I     M     E

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    3     6

.

O software

     2      1      2

permite desenhar os gráficos da funções y = a f(bx + c) + d, onde f é uma das funções trigonométricas.

     3      1

Exercícios Propostos

     2      1      2

Da teoria, leia os tópicos 2, 2A. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06.

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

Esboce o gráfico da função f(x) = 2 + 3 tg 2x e determine seu período, domínio e conjunto imagem. 07.

Qual o menor arco positivo que  não pertence ao domínio da função  π f(x) = 2 + 5 tg ( 5x –  )? 4 08.

Determine o período da função f(x) = tg(x + π  ). 4 09.

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Se f (x) = tg x e f (x) > f (247°) para valores de x, 0° 0 f(2) · f(6)  0 f(3) · f(6) · f(–2)  f(x)? 12. Vunesp (adaptado)

Sejam A, B e C conjuntos de números reais. Sejam f : A → B e g : B → C definidas, respectivamente, por f(x) = sen x, ∀ x, x ∈ A g( x) = 1 2 − 1 , ∀ x, x∈ B. Se existe h : A→ C, definida por 1− x h(x) = g [f(x)], ∀ x, x∈ A, então, qual o conjunto imagem de h(x)? a. [0, +∞[ d. + b. – e. –∞, 0] c. 

    0     0     1       5     1       I     M     E

a. b. c. d. e.

f(x) = |cosx| f(x) = – |tgx| f(x) = |tgx| f(x) = – x 2 f(x) = – |cosx|

15.

Considere a função f(x) =

1 − tg 2 x  , definida no conjunto 1 + tg 2 x

a.

≠ π + hπ, h ∈ . O período de f(x) é igual a: 2 π

b.

π

{x ∈

| x

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

}

4 2

c. π d. 2π e. 4π 16.

Esboce o gráfico da função f(x) = tg (–|x|).

    9     6

     3      1

Módulo 58

     2      1      2

Outras funções trigonométricas Exercícios de Aplicação

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

01.

02.

Esboce o gráfico da função f(x) = 2 + 3 sec x e determine seu conjunto imagem, seu período e seu domínio. y

(x, y)

0

5

(0, 5)

∃

∃

π

–1

(π, –1)

3π 2

∃

∃

2π

5

(2π, 5)

π 2    s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Resolução

O período P da função é dado por P = 2π = π . 2 Para obtermos o domínio da função, fazemos: sec 2x ≠ 0 1 ≠ 0 cos 2x cos 2x ≠ 0 2x ≠ π  + k ·π, k ∈ ℤ 2 x ≠ π + kπ 4 2 π kπ ∴ D(f) = { x∈  | x≠ + , k ∈ } 4 2

Resolução  x

Qual o domínio e o período da função f(x) = sec 2x?

y

6

5

4

    0     7 3

2

1

0 0

π

2π

x

–1

–2

–3

Período: P = = Domínio: D(f) = { x ∈  | x≠ π  + kπ, k ∈ } 2 Imagem: Im(f) = { y ∈  |y≤ –1 ou y≥ 5}

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

03.

O período e o domínio da função representada a seguir são, respectivamente:

     2      1      2

y 3

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

2

1

0 –5π

–4π

–3π

–2π

0

–π

2π

π

3π

4π

5π

6π

7π

x

–1

–2

–3

a. 3π e { x∈  | x≠ k3π, k ∈ } b. 6π e { x∈  | x≠ k3π, k ∈ } c. 3π e { x∈  | x≠ kπ, k ∈ }

d. 6π e { x∈  | x≠ kπ, k ∈ } e. 3π e { x∈  | x≠ k2π, k ∈ }

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Resolução

Do gráfico, temos que os valores de x que não pertencem ao domínio são: ...0, 3 π, 6π,..., ou seja, D(f) = { x ∈  | x≠ k3π, k ∈ }. E um período da função é o destacado a seguir: y 3

2

1

0 0

π

2π

3π

4π

5π

6π

7π

x

–1

–2     0     0     1       5     1       I     M     E

Ou seja, P = 6 π Alternativa correta: B Habilidade

–3

Identificar o período de uma função trigonométrica a partir de seu gráfico.

    1     7

     3      1

Exercícios Extras 04.

     2      1      2

O conjunto imagem e o domínio da função trigonométrica representada a seguir são, respectivamente: y 5

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

4

3

2

1 0 2π

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    2     7

0

π

π

2π

3π

4π

x

–1

–2

–3

–4

a. b. c. d. e.

]–∞, 0] ∪ [2, +∞[ e {x ∈  | x≠ π + k2π, k ∈ }  e { x∈  | x≠ π + k2π, k ∈ } [2, +∞[ e { x ∈  | x≠ π + k2π, k ∈ } ]–∞, 0] ∪ [2, +∞[ e { x ∈  | x≠ π + k3π, k ∈ } ]-∞, 0 e { x ∈  | x≠ π + kπ, k ∈ }

05.

Determine m na igualdade sec x = 3m – 2 a fim de que exista x real que a satisfaça.

Seu espaço Orientações ao professor

Habilidades relacionadas à análise de gráficos para a identificação das propriedades de uma função, como período, domínio e imagem ou à previsão das propriedades de um gráfico a partir da lei que define a função serão muito requisitadas neste módulo.

    0     0     1       5     1       I     M     E

Exercícios Propostos

     3      1

Da teoria, leia os tópicos 3A, B e C. Exercícios de

tarefa

reforço

     2      1      2

aprofundamento

06.

Qual o domínio da função f(x) = cotg x − π ? 4

( )

07.

Qual a soma dos valores naturais de m para os quais a igualdade cotg x = 4 − m tenha x real que a satisfaça? 08.

Determine o conjunto ao qual deve pertencer k, de modo que a igualdade cossec x = 2k − 1 exista para determinados valores reais de x. 1 − 3k 09.

O gráfico que melhor representa a função f(x) = 2 + 3 sec a.

y

( 4x ) é:

30

20

10

0 –4π

–3π

–2π

0

–π

π

2π

3π

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

4π

x

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

–10

    3     7 –20

–30

y

b.

30

20

10

0 –4π

–3π

–2π

0

–π

–10

–20     0     0     1       5     1       I     M     E

–30

π

2π

3π

4π

x

     3      1

c.

e.

y

y

30

     2      1      2

30

20

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

20

10

10

0 –4π

–3π

–2π

0

–π

π

2π

3π

x

4π

0 –4π

–3π

–2π

–10

π

2π

3π

4π

x

–10

–20

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

0

–π

–20

–30

–30

y

d.

30

20

10

    4     7

0 –4π

–3π

–2π

0

–π

π

2π

3π

x

4π

–10

–20

–30

10.

Determine o período da função f(x) = 5 + cossec (2x – π). 11. INTEGRADO-RJ

O domínio máximo da função dada por f (x ) = sec 2x − π  é o conjunto: 3

(

a. {x ∈  | x≠ b. e.

π  + kπ}, onde k ∈ . 2

{x ∈  | x≠ π + k π }, onde k ∈ . 2 2 {x ∈  | x≠ π + k π }, onde k ∈ . 6

2

)

c. {x ∈  | x = d. {x ∈  | x =

5π + k π }, onde k ∈ . 12 2

π + k π }, onde k ∈ . 6

2

    0     0     1       5     1       I     M     E

12.

13.

Qual das funções a seguir melhor se adapta ao gráfico?

O período da função f(x) = |sec x| é dado por:

y 8

6

a.

π

b. c. d. e.

π 2π 3π 4π

     2      1      2

2

14. ITA-SP

4

Determine os valores de φ ∈ [0, 3π] tais que logtg φ esen(φ) ≥ 0. 2

15.

0 0

π

x

Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem para a função:

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

f(x) =|5 + cossec (2x – π)|

–2

16. UFU-MG

–4

a. b. c. d. e.

     3      1

f(x) = cos (2x – 1) f(x) = sec (3x – π) + 1 f(x) = 1 + cossec(2x – π) f(x) = 2 + cotg x f(x) = sec (5x – 4)

O valor de tg 10° (sec 5° + cossec 5°) (cos 5° – sen 5°) é igual a: a. 2 b. 1 2 c. 1 d. 2

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    5     7

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

Módulo 59

     2      1      2

Problematizações com gráficos de funções trigonométricas Exercícios de Aplicação

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

01.

Qual o maior valor que pode ser assumido pela função de domínio real f(x) = 1 senx + 3 cosx ? 2 2 Resolução

Temos que: 3 f(x) = 1 sen x + cos x 2 2 = sen x + sen 60° cos x = sen (60° + x) Desse modo, o maior valor que poderá ser assumido pela função é 1.

02.

Na figura a seguir, temos os gráficos das funções f(x) = sen x e g(x) = sen (x + d). Qual o valor de d? y 2

    6     7 1

0 –π

–

0

π

2

π

2

π

3π

2π

x

2

–1

–2

Resolução

Temos que o gráfico da função g corresponde ao da função f com uma translação de forma, d = π .

π  unidades para a esquerda. Dessa 2

2 De outra forma, o gráfico da função g(x) = cos x = sen (  π  = sen [–( π = sen ( x – π ) ∴ d = π . 2 2 2 2

    0     0     1       5     1       I     M     E

03.

Na figura a seguir, temos os gráficos das funções trigonométricas: f(x) = sen(cx) e g(x) = sen(dx), como indicadas, com d, e ∈ . A razão c  é equivalente a: 2 y

     3      1      2      1      2

1,5

1

f(x) 0,5

g(x) 0 0

π

3π

π

2

x

2π

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

2

–0,5

–1

–1,5

1 2 b. 1 c. 2 a.

d. 4 e. 6

Resolução

As funções possuem períodos distintos. O período de f(x) é π, enquanto que o da função g(x) é 2 π. Desse modo, c = 2 e d = 1 . 2 c Logo,  = 4 . d

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Alternativa correta: D Habilidade

    7     7

Identificar o período de uma função trigonométrica a partir de seu gráfico.

Exercícios Extras 04.

05.

Na figura a seguir, estão representados os gráficos das funções P(x) = a + b sen (cx +d) e Q(x) = e + f sen (gx + h), com a, b, c, d, e, f, g, h e i ∈ . y

O gráfico representado a seguir é referente à função f(x) = k + sen(mx), sendo k e m números reais. y

3

3

P(x) 2

2

1

Q(x) 0 0

π

2

π

3π 2

2π

x

1

–1

    0     0     1       5     1       I     M     E

Desse modo, a única alternativa correta é: a. a = e e c ≠ g d. b = f e c = g g e. b = f e a = g b. c = g e a = 3 c. c = g e d = h

0 0

π

2

Desse modo, qual o produto k·m?

π

x

     3      1      2      1      2

Seu espaço Orientações ao professor

Compreender as transformações gráficas das funções trigonométricas pode ajudar os alunos a empregarem significados para essas funções e a melhorarem a capacidade de interpretação e de elaboração de propostas para a resolução de situações-problema. Na web

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

.

 Site que permite compreender as transformações gráficas de funções trigonométricas com um aplicativo fácil e intuitivo.

Exercícios Propostos 07.

Da teoria, leia o tópico 4. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

Sejam os gráficos das funções f(x) = k sen (mx) e g(x) = a sen (bx) representados a seguir. y

06.

Encontre uma função que possa ser representada pelo gráfico a seguir.

2

f(x)

1

y 2

g(x)

0 0

π

π

3π

2

1,5

2π

x

2

–1

    8     7

1

0,5

–2

0 0

π

2

–0,5

–1 –1,5

x

Então, qual o valor de k b – am? 08.

Determine o valor real de k para que a função f(x) = k + cos (x – 1) possa ser representada pelo gráfico a seguir.

–2

4

4

4

2

0 0

π

2

π

3π 2

2π

5π 2

x

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1

09.

A função y = | 1 – 2 cos (2x)| é melhor representada pelo gráfico: a.

y

d.

y

     2      1      2

4

4

3

3

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

2

2 1

1 0 0

π

3π

π

2

2π

x

2

0 0

–1

π

π

2

3π

2π

x

2

–1

b.

y

e.

y 3

3

2

2

1

1

0

0 0

π

π

2

3π

0

x

π

3π

2π

2

–1

–1

c.

π

2

2

y 4

    9     7

3

2

1

0 0

π

2

π

3π

2π

x

2

–1

10. Unesp

A relação y = A + 0,6 sen [ ω(t – 7)] exprime a profundidade y do mar, em metros, em uma doca, às t horas do dia, 0 ≤ t≤ 24, na qual o argumento é expresso em radianos. a. Dado que na maré alta a profundidade do mar na doca é 3,6 m, obtenha o valor de A. b. Considerando que o período das marés é de 12 horas, obtenha o valor de ω. 11. Unifesp

Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4,     0     0     1       5     1       I     M     E

x

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

chegou-se a uma função da forma f(t) = A + Bsen  π (t − 105) , com o argumento medido em radianos.  90  a. Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas. b. O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio.

     3      1

12. UEL-PR

14. Unesp

Analise os gráficos das funções f 1 e 2f   a seguir.

     2      1      2

y 3

f 1(x) = A sen Dx

2 1

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra, e o ângulo PÔS tem medida a, com 0° ≤ a≤ 360°.

0 0 2

–10 –8 –6 –4 –2

4

6

8

10

x

α

(Satélite) S

–1 –2

(Apogeu) A

–3

P (Perigeu)

O

y 3 2

f(x) = C sen Dx

A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do ângulo a, é dada aproximadamente pela função

1

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

0

–10 –8 –6 –4 –2

0 2

4

6

8

10

x

–1 –2

É correto afirmar: C a. A = , B = D 2 b. A = 2C, B = D c. A = C, B = 2D

d. A = C, B = D

2

y = 2 + 2sen π t

(3 ) b. y = 2 + 2sen( 2π t ) 3 c. y = 3 + sen( π t ) 3 d. y = 3 + sen( 2π t ) 3 e. y = −3 + 2sen( π t ) 3 a.

15. Mackenzie-SP

e. A = 2C, B = 2D

Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).

7980   ⋅ 102 . 100 + 5cos α    

Determine: a. a altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu; b. os valores de a, quando a altura h do satélite é de 1 580 km.

–3

13. UEL-PR

    0     8

   

h =  −64 +

A figura mostra os esboços dos gráficos das funções f(x) = sen x  e g(x) = cos(mx). Então: k

()

y

1

–1

π

π

3π

4

2

4

π

2π

3π

4π

x

a. m = 2k b. |m| = k 1 c. | m|= k

3 d. m = k 1 e. m = − k 2 16. Unesp

Qual o número de soluções que a equação sen 2x = 2cos 2x apresenta no intervalo [– π, π]?

    0     0     1       5     1       I     M     E

Módulo 60

     3      1

Funções trigonométricas — Aplicações

     2      1      2

Exercícios de Aplicação 01. UFSC

02. Fatec-SP

As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen π t , em que t é o tempo medido em horas. 12 Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m. 02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12h. 04. O período de variação da altura da maré é de 24h. 08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nessa região é entre 2 e 10 horas.

As funções reais f(x) = sen x e g(x) = cos x têm seus gráficos representados no intervalo 0 ≤ x≤ 2π. y

( )

Resolução

12 (04 + 08) 01. Incorreto. O valor mínimo de H = 8 + 4(–1) = 4 m 02. Incorreto. A maré baixa ocorre para sen π t = −1 ⇒ π t = 3π ⇒ t = 18h. 12 12 2 04. Correto. O período de variação é dado por 2π = 24 .

( )

π

12

08. Correto

10 < 8 + 4sen π t ⇒ sen π t > 1 ⇒ 12 12 2 5 π π π ⇒ ≤ t ≤ ⇒ 2 ≤ t ≤ 10 6 12 6

( ) ( )

    0     0     1       5     1       I     M     E

( )

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

g 0

x

f 

Se a função h(x) = f(x) + g(x) tem período p e valor máximo h, então, o produto p ⋅ h é igual a: a. 4π d. 2π b. 2 2π 2π e. c. 2π 4 Resolução

Podemos reescrever a função h(x) = sen x + cos x, usando o fato de que: cos x = sen(90° – x). Desse modo: h(x) = sen x + sen(90° – x) Usando prostaférese: h(x) = 2 sen x + 90° − x  cos x − 90° + x 2 2 h(x) = 2 sen 45° cos(x – 45°) h(x) = 2 cos(x – 45°)

(

) (

)

Logo, temos que p = 2π = 2π e h = 2, pois o valor máxi|1| mo de cos(x – 45°) é 1 ⇒ p · h = 2π 2 . Alternativa correta: B

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    1     8

     3      1

03. UFPA 

Se y = a + cos (x+b) tem como gráfico

     2      1      2

podemos afirmar que:

 π

y

a. a = 2, b =

2

b. a = 1, b = − c. a = 2, b = −

1

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

2

 π

d. a = 1, b = –2π

–

3π

–π

2

–

π

0

π

2

3π

π

2

,

x

2π

π 2

π 2

2

e. a = 0, b = 0

2

Resolução

Como o conjunto imagem da função é [0, 2], e os valores máximo e mínimo de cos (x+b) são 1 e –1, temos que a = 1. Do gráfico, temos que y = 2 para x = π , logo: 2

2 = 1 + cos (  π  + b)⇒ cos ( π  + b) = 1⇒ π  + b = 0⇒ b =π 2 2 2 2 Alterativa correta: B

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Habilidade

Identificar o domínio e o conjunto imagem de uma função trigonométrica a partir de seu gráfico.

Exercícios Extras 04. UPE     2     8

05. Espcex-SP

O gráfico a seguir representa uma função trigonométrica definida por f(x) = A + B sen(mx). y

As funções y = sen x e y = cos x estão representadas no gráfico a seguir. Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é:

6

y

5 4

B

C

A

3 2

0 0

π

π

x

2

1

Desenho fora de escala –

3π 4

–

π

2

–

π

0

4

π

π

3π

4

2

4

–1

π

5π

3π

7π

4

2

4

2π

x

a.

π ⋅(2 − 2 )

b.

π

c.

π ⋅ (2 − 2 )

–2

É correto afirmar que: a. A = 2, B = 3 e m = 2 b. A = 3, B = 2 e m = 4 c. A = 3, B = – 2 e m = 3 d. A = 3, B = – 2 e m = 2 e. A = –3, B = 1 e m = 4

8 8

16

d.

π 2

e.

π ⋅ (1 − 2 )

16 16

    0     0     1       5     1       I     M     E

Seu espaço Orientações ao professor

Algumas questões deste módulo cobrarão o conhecimento de relações trigonométricas importantes, já estudadas no início do curso, como seno ou cosseno do arco duplo, relações entre arcos complementares fatoração (prostaférese). Desse modo, tem-se uma boa oportunidade para revisões e aprofundamentos essenciais.

     3      1      2      1      2

Na web .

 Site com animações e atividades que podem ajudar a compreender aplicações das funções trigonométricas e suas trans-

formações gráficas.

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

    3     8

    0     0     1       5     1       I     M     E

     3      1      2      1      2

Exercícios Propostos Da teoria, leia o tópico 4. tarefa

Exercícios de

reforço

aprofundamento

y 1

06. UEPG-PR

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

A respeito do gráfico a seguir, que representa uma função periódica do tipo f(x) = a + b · sen(cx), definida em R, assinale o que for correto.

0

π

3π

π

2

2π

x

2

–1

y 1

A função cujo esboço de gráfico se sobrepõe ao esboço do gráfico da função y = sen x é:

0 0

π

π

3π

4

2

4

π

x

–1

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

–2

c. y = –sen x d. y = sen x + π

( 2)

O gráfico da função f dada por f(t) = cos t + π  no inter2 valo [0, 2 π] é:

01. f(x) = –1 + 2sen(2x) 02. A imagem de f é [–3, 1]. 08. f  π

( 2) π b. y = cos( x + ) 2 09. UFPA 

–3

04. O período da função é

a. y = cos x − π

( )

a. f(t)

π.

1

2

(12 = 0)

0

2π

x

2π

x

2π

x

2π

x

2π

x

–1

07. Vunesp     4     8

Há famílias que sobrevivem trabalhando na coleta de material para reciclagem, principalmente em cidades turísticas. Numa tal cidade, uma família trabalha diariamente na coleta de latas de alumínio. A quantidade (em quilogramas) que essa família coleta por dia varia, aumentando em finais de semana e feriados. Um matemático observou a quantidade de alumínio coletada por essa família durante dez dias consecutivos e modelou essa situação através da seguinte função: f(x) = 10 + (x + 1)cos π x − 2π , 3 3

(

)

onde f(x) indica a quantidade de alumínio, em quilogramas, coletada pela família no dia x, com 1 ≤ x≤ 10, x inteiro positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em um dos valores de x, no qual a função cos π x − 2π   atinge seu máximo, determine o valor de x 3 3 para o qual a quantidade coletada nesse período foi máxima e quantos quilos de alumínio foram coletados pela família nesse dia.

(

)

08. Unimontes-MG

Os esboços dos gráficos das funções y = sen x e y = cos x são dados a seguir.

b. f(t) 1 0 –1

c. f(t) 1 0 –1

d. f(t) 1 0 –1

e. f(t) 1 0 –1     0     0     1       5     1       I     M     E

10. UFTM-MG

Na figura, na qual estão representados os gráficos das funções f(x) = x · sen 2 x e g(x) = x · cos 2 x, P é um ponto onde os dois gráficos se interceptam.

a. tg

     3      1

( π⋅2x )

b. sen(x) c. cos(x)

     2      1      2

( π⋅2x ) e. cos ( π⋅ x ) 2

y

d. sen

13. PUC-PR

P

A figura a seguir mostra parte de uma onda senoidal que foi isolada para uma pesquisa. 0

k

x

y

   a    c      i     t      á    m    e     t    a     M

3

Se k é a abscissa do ponto P, então o valor de f(2k) é igual a: 5π a. 2 3π b. 2 c. 3π 2 4 3 π d. 8 e. 0 11. FFFCMP- RS

Se f(x) = a + b · sen x tem o gráfico a seguir, então: y 1 0 1

π

3π

π

2

2π

x

2

1 0 1

π

4π

7π

10π

1π

3

3

3

3

3

x

Qual das alternativas melhor representa a equação da onda para o período apresentado? a. y = 1 + 2sen x − π 2 6 x b. y = 1 + 2sen 2 x π c. y = 1 + 2sen + 2 3 x d. y = 1 + 2sen 3 e. y = 1 + 2sen x 6

( ) () ( ) () ()

    5     8

14. Unesp a. b. c. d. e.

A figura representa parte dos gráficos das funções f(x) = 1 + sen(2x) e g(x) = 1 + cos(x).

a =1 e b = −2 a = −1 e b = 2 a = 1 e b = −1 a=2eb=2 a = −1 e b = −2

y 3,0 2,0

P

y = 1 + cos(x)

12. Urca-CE

Q

1,0

Quais das funções a seguir têm seu gráfico como na figura a seguir?

y = 1 + sen(2x)

R 0

x1

x2

x3

π

x

y 3 2 1

–1

0 –1 –2

    0     0     1       5     1       I     M     E

–3

1

2

3

4

5

6

7

x

   s    a     i    g    o     l    o    n    c    e     T    s    a    u    s    e    a    c     i     t     á    m    e     t    a     M

Se x1, x2 e x3  são, respectivamente, as abscissas dos pontos P, Q e R de intersecção dos gráficos das funções f(x) e g(x) no intervalo [0, π], a soma x1 + x2 + x3 é: π a. 2 3 4π b. 3 3π c. 2 5π d. 6 7π e. 12