10. Osnove Teorije Grafova I

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

()

8. sijeˇ cnja 2012.

1 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

Podruˇcje koje ´cemo obradivati zove se i osnove teorije grafova. Grafovi su jedna od osnovnih i najˇceˇs´ce primjenjivanijih matematiˇckih struktura. Brojne pojave i situacije se modeliraju pomo´cu grafova. Grafovi se uvijek sastoje od toˇcaka i spojnica, npr. toˇcke ljudi iz skupine gradovi molekule

()

spojnice parovi prijatelja ceste/ˇzeljezniˇcke pruge kemijske veze

8. sijeˇ cnja 2012.

2 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

Definicija Graf je ureden par G = (V , E ) gdje je ∅ = 6 V = V (G ) skup vrhova (vertex), a E = E (G ) skup bridova (edge) dusjunktan sa V , a svaki brid e ∈ E spaja dva vrha u, v ∈ V koji se zovu krajevi od e.

()

8. sijeˇ cnja 2012.

3 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

Definicija Graf je ureden par G = (V , E ) gdje je ∅ = 6 V = V (G ) skup vrhova (vertex), a E = E (G ) skup bridova (edge) dusjunktan sa V , a svaki brid e ∈ E spaja dva vrha u, v ∈ V koji se zovu krajevi od e. Preciznije: Definicija

Graf je uredena trojka G = (V , E , ϕ) gdje je ϕ : E → V2 funkcija koja svakom bridu e pridruˇzuje 2-ˇclani multiskup vrhova ϕ(e) = {u, v } koji se zovu krajevi od e. Joˇs kaˇzemo da su vrhovi u i v INCIDENTNI s e, a u i v su susjedni.

()

8. sijeˇ cnja 2012.

3 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

Definicija Graf je ureden par G = (V , E ) gdje je ∅ = 6 V = V (G ) skup vrhova (vertex), a E = E (G ) skup bridova (edge) dusjunktan sa V , a svaki brid e ∈ E spaja dva vrha u, v ∈ V koji se zovu krajevi od e. Preciznije: Definicija

Graf je uredena trojka G = (V , E , ϕ) gdje je ϕ : E → V2 funkcija koja svakom bridu e pridruˇzuje 2-ˇclani multiskup vrhova ϕ(e) = {u, v } koji se zovu krajevi od e. Joˇs kaˇzemo da su vrhovi u i v INCIDENTNI s e, a u i v su susjedni. Graf G je konaˇcan ako su V i E konaˇcni skupovi, inaˇce je beskonaˇcan.

()

8. sijeˇ cnja 2012.

3 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Grafovi G i H su izomorfni, G ≈ H, ako postoje bijekcije θ : V (G ) → V (H) i ϕ : E (G ) → E (H) tako da je vrh V incidentan s bridom e u G ako i samo ako je θ(v ) incidentan s ϕ(e) u H. Tada se ureden par f = (θ, ϕ) : G → H zove IZOMORFIZAM iz G u H (izomorfizam ˇcuva incidenciju i susjednost). -brid ˇciji se krajevi podudaraju zove se PETLJA, a ako su krajevi razliˇciti-PRAVI BRID (ili KARIKA). -dva ili viˇse bridova s istim parom krajeva zovu se viˇsestruki bridovi.

VIŠESTRUKI BRIDOVI PETLJA

PRAVI BRID

()

8. sijeˇ cnja 2012.

4 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

-graf je jednostavan ako nema ni petlji ni viˇsestrukih bridova -graf s jednim vrhom - trivijalan ako je E (G ) = ∅ → prazan graf - promatrati ´cemo samo konaˇcne grafove, a dva osnovna parametra vezana uz konaˇcne grafove su v (G ) = |V (G )| =RED OD G = broj vrhova od G ˇ e(G ) = |E (G )| =VELICINA OD G = broj bridova od G

()

8. sijeˇ cnja 2012.

5 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

NEKI SPECIJALNI GRAFOVI: -jednostavan graf u kojem je svaki par vrhova spojen bridom - POTPUN GRAF
-do na izomorfizam postoji jedinstven potpun graf s n vrhova (i n2 bridova), oznaka Kn ! [n] V (Kn ) = {1, 2, . . . , n} = [n], E (Kn ) = . 2

()

8. sijeˇ cnja 2012.

6 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA NEKI SPECIJALNI GRAFOVI: BIPARTITAN GRAF- skup vrhova se moˇze particionirati u dva skupa X i Y tako da svaki brid ima jedan kraj u X , a drugi u Y . (X , Y )-biparticija grafa POTPUN BIPARTITAN GRAF- jednostavan bipartitan graf s biparticijom (X , Y ) u kojem je svaki vrh iz X spojen sa svakim vrhom u Y . -ako je |X | = m i |Y | = n, takav je graf jedinstven do na izomorfizam i oznaˇcava se s Km,n v (Km,n ) = m + n, e(Km,n ) = m · n

K1

K2

K 1,1 ()

K3

K2

K5

K4

K 1,2

K 2,3 8. sijeˇ cnja 2012.

7 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA NEKI SPECIJALNI GRAFOVI: CIKLUS Cn : jednostavan graf s n vrhova V = [n] i skupom bridova E = {{i, i + 1} : i < n} ∪ {1, n}

C3

K3

C4

C5

PUT Pn : jednostavan graf s n vrhova, V = [n], E = {{i, i + 1} : i < n}

P2

()

K 2,1

P4

P6

8. sijeˇ cnja 2012.

8 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

-ˇcesto zna biti korisno relacije incidencije i susjedstva u grafu prikazati matricama -neka je G graf s vrhovima v1 , . . . , vn i bridovima e1 , . . . , em u nekom poretku MATRICA INCIDENCIJE grafa G je pravokutna n × m matrica M = M(G ) = [mij ], gdje je mij broj koliko puta su vi i ej incidentni (0,1 ili 2). Ova matrica potpuno odreduje graf! MATRICA SUSJEDSTVA grafa G je kvadratna n × n matrica A = A(G ) = [aij ] gdje je aij broj bridova koji spajaju vi i vj . A je simetriˇcna matrica ˇciji su ˇclanovi nenegativni cijeli brojevi -ako je graf jednostavan, tada je aij = 0 ili 1 ∀i, j, a aii = 0 ∀i. Matrica susjedstva je u pravilu mnogo manja od matrice incidencije.

()

8. sijeˇ cnja 2012.

9 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

PRIMJER: G:

v1

e1

e7 v4

e2 e4

e6 

1 1  1 1 M(G ) =   0 0 0 0 -primijetimo da je

()

e5

v2 e3 v3

  0 1 0 0 1 0 2  2 0 1 0 0 0 0   A(G ) =   1 1 1 1 1 0 0  0 0 1 2 1 1 0 suma elemenata svakog stupca od M(G )

 1 1 1 0   0 1  1 1 jednaka 2

8. sijeˇ cnja 2012.

10 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Neka su G i H grafovi. Ako je V (H) ⊆ V (G ) i E (H) ⊆ E (G ), a svaki brid iz H ima iste krajeve u H kao ˇsto ima u G , onda kaˇzemo da je H PODGRAF od G i piˇsemo H ⊆ G , a G zovemo NADGRAF od H. ´ PODGRAF od G ako je H ⊆ G i V (H) = V (G ). - H zovemo RAZAPINJUJUCI -potpun podgraf H ⊆ G zove se KLIKA u G . UNIJA dvaju podgrafova G1 , G2 ⊆ G je podskup G1 ∪ G2 ˇciji je skup vrhova V (G1 ) ∪ V (G2 ), a skup bridova E (G1 ) ∪ E (G2 ). PRESJEK G1 ∩ G2 je podgraf sa skupom vrhova V (G1 ) ∩ V (G2 ) i skupom bridova E (G1 ) ∩ E (G2 ). -neka je G = (V , E ), a V ′ ⊆ V -podgraf od G ˇciji je skup vrhova V \ V ′ , a skup bridova se sastoji od bridova iz G ˇcija su oba kraja u V \ V ′ oznaˇcavamo s G − V ′ . -sliˇcno za E ′ ⊆ E , podgraf od G ˇciji je skup vrhova V , a skup bridova E \ E ′ oznaˇcavamo s G − E ′ ()

8. sijeˇ cnja 2012.

11 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

- u sluˇcaju V ′ = {v } ili E ′ = {e} → G − v ili E − e, kaˇzemo da smo odstranili V ′ odnosno E ′ . Ako je ∅ = 6 V ′ ⊆ V , onda se podgraf od G ˇciji je skup vrhova V ′ , a skup bridova je podskup od E ˇcija su oba kraja u V ′ , zove podgraf induciran s V ′ i oznaˇcava s G [V ′ ]. Za E ′ ⊆ E , podskup od G ˇciji je skup vrhova skup krajeva od E ′ , a skup bridova E ′ , zove se podgraf induciran bridovima E ′ i oznaˇcava s G [E ′ ].

()

8. sijeˇ cnja 2012.

12 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Primjer: x b

G=

a c

z e

d

y

e y x

f a

w z

b y

x

a

w

c y

()

x BRIDOVIMA INDUCIRAN PODGRAF G[{a,c,e}]

e w

c

d

e y

z

w

b

G-{x,z}

z

x RAZAPINJUJUĆI PODGRAF OD G

f

f

f a

G-{a,b}

w z INDUCIRANI PODGRAF G[{x,y,z}]

y

8. sijeˇ cnja 2012.

13 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA - skup susjeda vrha v ∈ V (G ) u grafu G oznaˇcavamo sa NG (v ) -ako je G jednostavan graf, onda definiramo STUPANJ VRHA v , dG (v ) kao broj susjeda od v -op´cenito, u bilo kojem grafu G je stupanj od v broj dG (v ) bridova od G incidentnih sa v , pri ˇcemu se svaka petlja raˇcuna kao dva brida -intuitivno, stupanj vrha je broj sjeciˇsta male kruˇznice oko vrha s linijama koje izlaze iz tog vrha -nekad piˇsemo samo d(v ) umjesto dG (v ) -oznake za minimalni i maksimalni stupanj grafa δ := δ(G ) := minv∈V (G ) dG (v ) ∆ := ∆(G ) := maxv∈V (G ) dG (v ) -graf G je d-REGULARAN ako je δ(v ) = d ∀v ∈ V (G ), a REGULARAN ako je d-regularan za neko d ≥ 0. -vrh v je IZOLIRAN, ako je d(v ) = 0, a LIST ako je d(v ) = 1. -tako je npr. potpun graf Kn (n − 1)-regularan, a potpun bipartitni graf Kn,n n-regularan ()

8. sijeˇ cnja 2012.

14 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Propozicija 1 U svakom je grafu G = (V , E ) zbroj svih stupnjeva jednak dvostrukom broju bridova X d(v ) = 2 · e(G ). v∈V

()

8. sijeˇ cnja 2012.

15 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Propozicija 1 U svakom je grafu G = (V , E ) zbroj svih stupnjeva jednak dvostrukom broju bridova X d(v ) = 2 · e(G ). v∈V

Dokaz: Neka je M matrica incidencije grafa G , izraˇcunajmo sumu njenih ˇclanova tako da zbrojimo retke i stupce -suma svakog stupca je 2, a suma ˇclanova retka od M koji odgovara vrhu v je d(v ) -ako zapiˇsemo M = [mve ], v ∈ V , e ∈ E imamo X XX XX X d(v ) = mve = mve = 2 = 2 · e(G ) v∈V

v∈V e∈E

e∈E v∈V

e∈E

 ()

8. sijeˇ cnja 2012.

15 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Korolar 1 (Lema o rukovanju) U svakom je grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj. (ili: na svakom je skupu broj onih koji su se rukovali sa neparnim brojem ostalih paran broj.)

()

8. sijeˇ cnja 2012.

16 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Korolar 1 (Lema o rukovanju) U svakom je grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj. (ili: na svakom je skupu broj onih koji su se rukovali sa neparnim brojem ostalih paran broj.) Dokaz: Konstruirajmo graf ovako: vrhovi su svi ˇclanovi skupa (zabave), a dva vrha spojimo bridom ako i samo ako su se ti ˇclanovi rukovali -Po propoziciji 1 imamo X

d(v ) = 2e(G )

v∈V

X

v∈V (d(v)-paran)

d(v ) +

X

d(v ) = 2e(G )

v∈V (d(v)-neparan)

-prva suma i desna strana su parni nenegativni cijeli brojevi pa i druga suma mora biti takva P ⇒ v∈V (d(v)-neparan) d(v ) = 2n n ∈ Z+ ()

8. sijeˇ cnja 2012.

16 / 19

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Korolar 1 (Lema o rukovanju) U svakom je grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj. (ili: na svakom je skupu broj onih koji su se rukovali sa neparnim brojem ostalih paran broj.) Dokaz: -kako su sumandi neparni, mora ih biti paran broj ⇒ |{v ∈ V : d(v )neparan}| je paran broj ⇒ broj vrhova neparnog stupnja je paran broj

()



8. sijeˇ cnja 2012.

17 / 19

ˇ SETNJE, PUTOVI I POVEZANOST GRAFOVA ˇ Setnja u grafu G je niz W := v0 e1 v1 e2 · · · eh vh ˇciji ˇclanovi su naizmjeniˇcno vrhovi vi i bridovi ei , tako da su krajevi od ei vrhovi vi −1 i vi (1 ≤ i ≤ h) U jednostavnom grafu ˇsetnja je potpuno odredena samo nizom vrhova v0 , v1 , . . . , vh . Kaˇzemo da je v0 poˇcetak, a vh kraj ˇsetnje W ili da je W ˇsetnja od v0 do vh ili (v0 , vh )-ˇsetnja. h-duljina ˇsetnje v1 , v2 , . . . , vh−1 =unutarnji vrhovi ˇsetnje W = v0 e1 v1 · · · eh vh , W ′ = vh eh+1 vh+1 · · · el vl NADOVEZIVANJE: v0 e1 v1 · · · eh vh eh+1 vh+1 · · · el vl ˇ W −1 = vh eh · · · v1 e1 v0 -INVERZNA SETNJA

()

8. sijeˇ cnja 2012.

18 / 19

ˇ SETNJE, PUTOVI I POVEZANOST GRAFOVA ˇ Setnja W je zatvorena ako je v0 = vh -ako su svi bridovi e1 , e2 , . . . , eh ˇsetnje W medusobno razliˇciti, onda se W zove STAZA -ako su, osim bridova, i svi vrhovi medusobno razliˇciti, onda se zove PUT -zatvorena staza pozitivne duljine ˇciji su vrhovi (osim krajeva) medusobno razliˇciti zove se CIKLUS -vrhovi u i v grafa G su povezani ako postoji (u, v )-put u G -udaljenost dG (u, v ) ili d(u, v ) je duljina najkra´ceg (u, v )-puta u G DIJAMETAR grafa G : diam(G ) je maksimalna udaljenost medu njegovim bridovima, tj. duljina puta maksimalne duljine u G -STRUK je duljina najkra´ceg ciklusa -ciklus je (ne)paran ako je (ne)parne duljine

()

8. sijeˇ cnja 2012.

19 / 19