(10) MACS - Caderno de Apoio Ao Professor

MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS

10.º ANO | ENSINO SECUNDÁRIO

Cristina Cruchinho | Manuela Simões

© AREAL EDITORES

ÍNDICE 1. PLANIFICAÇÕES

3

2. OUTRAS LEITURAS

17

3. TESTES DE AVALIAÇÃO

31

4. ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

51

2

© AREAL EDITORES

PLANIFICAÇÕES

3

4

– Leitura das páginas 10 e 11. – Propostas de Trabalho das páginas 12 a 14. – Leitura das páginas 16 e 17. – Preparação da discussão da Resolução de Problemas das páginas 18 a 21. – Propostas de Trabalho das páginas 22 e 23. – Leitura da página 25. – Propostas de Trabalho das páginas 26 e 27.

2.ª à 4.ª aulas – Tarefa 1 – Eleição do Papa – Tarefa 2 – Presidenciais 2006 – Tarefa 3 – Onde vamos nas férias? – Tarefa 4 – Eleições Presidenciais

Introdução

Maioria a Duas Voltas

Maioria Simples e Maioria Absoluta

Eleições

– Leitura das páginas 6 e 7. – Procurar artigos ou notícias respeitantes a eleições.

TPC

1.ª aula – Apresentação do programa da disciplina. – Metodologia de trabalho. – Material necessário. – Critérios de avaliação. – Informações para exame do GAVE.

ACTIVIDADE LECTIVA

Apresentação

TEMA CONTEÚDOS

– Manual.

– Manual.

– Revistas.

– Jornais.

RECURSOS

– Observação directa do trabalho em sala de aula. – Empenhamento e qualidade de participação nas discussões. – Realização cuidada do trabalho de casa.

AVALIAÇÃO

– Criar autonomia de trabalho em sala de aula. – Desenvolver a capacidade de estudarem pela leitura do Manual. – Desenvolver a interacção entre os elementos dos grupos.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

© AREAL EDITORES

– Trabalho de grupo. – Criação de grupos para realizarem o trabalho de encenação.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES – 15 AULAS DE 90 MINUTOS

8.ª à 10.ª aulas – Tarefa 6 – Eleição na associação dos amigos de Vila Pequena – Tarefa 7 – Concurso de tartes – Tarefa 8 – Que nome atribuir à mascote da escola? – Tarefa 9 – Críticos de cinema

Método da Contagem de Borda

Método dos Confrontos Sucessivos

5.ª à 7.ª aulas – Apresentação de artigos de jornais seleccionados pelos alunos. – Levantamento e identificação de métodos eleitorais nos artigos escolhidos. – Organização de cartaz divulgativo com recortes seleccionados. – Tarefa 5 – Eleição do delegado de turma

ACTIVIDADE LECTIVA

Método das Eliminações Sucessivas ou Método de Hare

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

– Leitura das páginas 33 a 36. – Propostas de Trabalho das páginas 37 e 38. – Leitura das páginas 40 a 42. – Propostas de Trabalho da página 43.

– Leitura das páginas 28 a 30. – Propostas de Trabalho da página 31.

TPC

– Manual.

– Jornais. – Revistas. – Publicações assinadas pela biblioteca. – Internet: pesquisa pelos sites oficiais dos processos eleitorais do país. – Visita aos primeiros blogs sobre métodos eleitorais.

RECURSOS Desenvolver: – a capacidade de pesquisa; – a capacidade argumentativa; – o poder de síntese; – organização; – a interacção entre os colegas.

– Empreendimento na realização de tarefas. – Capacidade de dialogar, questionar e entreajudar para explorar os conteúdos.

– Observação directa do empenho na sala de aula. – Realização cuidada e atenta do trabalho de casa.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

– Empenho na procura do material solicitado. – Vontade de trabalhar e interpretar os documentos encontrados. – Poder de síntese e exposição dos artigos aos colegas.

AVALIAÇÃO

– Trabalho de grupo. – Apresentação de resultados ou conclusões à turma. – Discussão crítica dos métodos que estão a tomar conhecimento.

– Trabalho de grupo.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES (CONT.)

5

6

Estratégias de voto, Paradoxos e Impossibilidades

Método de Votação por Aprovação

TEMA CONTEÚDOS

– Leitura das páginas 48 e 49. – Propostas de Trabalho das páginas 50 e 51. – Leitura das páginas 52 a 54.

– Leitura da página 45. – Propostas de Trabalho da página 46.

12.ª aula – Tarefa 10 – Que modalidade vamos praticar?

13.ª aula – Tarefa 11 – Voto sincero ou…? – Tarefa 12 – O Paradoxo de Concert

– Aplicando 1 a 5 das páginas 59 a 61.

TPC

11.ª aula – Pesquisa, nos sites oficiais, de resultados eleitorais. – Realização e discussão de alguns aplicandos.

ACTIVIDADE LECTIVA – Observação do trabalho em sala de aula. – Realização cuidada do TPC.

– Observação do trabalho de aula. – Realização do trabalho de casa.

– Manual. – Manual.

AVALIAÇÃO

– Internet. – Manual. – Revistas. – Periódicos.

RECURSOS

– Empreendimento na realização das tarefas. – Capacidade de dialogar, questionar e entreajudar para explorar os conteúdos.

Desenvolver: – a capacidade de pesquisa; – a capacidade argumentativa; – o poder de síntese; – a organização; – a interacção entre os colegas.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

© AREAL EDITORES

– Trabalho de grupo. – Exposições e discussões.

– Trabalho de grupo. – Exposições e discussões.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES (CONT.)

Teorema de Arrow

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

15.ª aula – Aplicando… Realização de problemas finais das páginas 59 a 67.

14.ª aula – Tarefa 13 – Teorema da Impossibilidade

ACTIVIDADE LECTIVA

– Leitura das páginas 56 e 57. – Pesquisar sobre Keneth Arrow. – Propostas de Trabalho da página 58.

TPC – Internet. – Biblioteca.

RECURSOS – Observação do poder argumentativo, interpretativo e cooperação nos grupos.

AVALIAÇÃO – Desenvolver conhecimentos gerais. – Apelar à investigação.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – Trabalho de grupo. – Apresentação das conclusões em cada grupo.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES (CONT.)

7

8

Partilhas no caso discreto

Partilha Equilibrada

TEMA CONTEÚDOS

– Leitura da página 75. – Aplicando 5 da página 110.

– Leitura das páginas 77 a 82. – Propostas de Trabalho da página 83.

– Aplicando 2, 3, 4 e 6 das páginas 110 e 111.

3.ª e 4.ª aulas – Tarefa 4 – A herança – Tarefa 5 – Bicos e Trinca Espinhas

5.ª aula – Correcção do TPC e síntese dos conteúdos leccionados sobre partilha.

– Tarefa 1 – A divisão do bolo. – Aplicando 1 da página 109.

TPC

2.ª aula – Tarefa 2 – Quem fica com a casa? – Tarefa 3 – Representação proporcional

– Cada grupo de trabalho prepara a apresentação à turma de uma das propostas.

– Resolução e discussão, em grupos, das propostas de trabalho das páginas 71 e 72.

1.ª aula – Leitura das páginas 68 a 70.

ACTIVIDADE LECTIVA

– Manual.

RECURSOS

– Controlo de quem fez o TPC.

– Correcção da apresentação efectuada.

– Observação das interacções nos grupos.

AVALIAÇÃO

– Interacção nos grupos de trabalho. – Poder de síntese e interpretação. – Comunicação oral e escrita. – Conhecimento de outras realidades.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

© AREAL EDITORES

– Apresentação de alguns grupos.

– Trabalho a pares.

– Leitura individual. – Trabalho de grupo. – Apresentação dos grupos de trabalho.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA – 18 AULAS DE 90 MINUTOS

Representação Proporcional

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

6.ª à 12.ª aulas – Distribuição do número de deputados por cada círculo eleitoral. – Tarefa 6 – A Assembleia da República – Tarefa 7 – Círculos eleitorais. – Dicussão e comparação das diferentes representações proporcionais obtidas. – Tarefa 8 – Diferentes proporcionalidades – Distribuição do número de mandatos pelos diferentes partidos políticos por dois métodos distintos de representação proporcional para um certo círculo eleitoral.

ACTIVIDADE LECTIVA – Leitura das páginas 86 a 95. – Leitura das páginas 96 e 97. – Propostas de Trabalho das páginas 98 e 99. – Aplicando 7 a 14 das páginas 111 a 114.

TPC

– Computadores. – Manual.

– Manual. – Lei Stape/CNE. – Internet.

RECURSOS – Iniciativa na resolução das diferentes tarefas de distribuição de mandatos e de representação proporcional.

AVALIAÇÃO

– Poder argumentativo na discussão das diferentes proporcionalidades.

– Interpretação da lei eleitoral na distribuição de mandatos em diversas eleições. – Apresentações e poder de síntese.

– Trabalho da pares.

– Trabalho a pares com recurso à Internet, ao Excel e à calculadora gráfica.

INDICAÇÕES OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA (CONT.)

9

Partilha no caso contínuo

TEMA CONTEÚDOS

10 – Bolo e faca

– Tesouras – Folhas com bolos onde os alunos experimentam os algoritmos. – Acetatos para apresentação à turma.

– Leitura do texto "Os algoritmos do bolo-rei".

– Aplicando 15 e 16 das páginas 115 e 116.

15.ª aula – Algoritmo da Faca Deslizante – Encenação em sala de aula com um bolo. – Discussão sobre se o algoritmo garante ou não uma partilha equilibrada e livre de inveja.

16.ª e 17.ª aulas – Aplicação de diferentes algoritmos. – Cada grupo de trabalho prepara a apresentação à turma de um dos algoritmos do Manual. – Discussão sobre se garantem ou não uma Partilha Equilibrada e Livre de Inveja.

18.ª aula – Correcção do TPC. – Realização dos aplicandos da página 117.

– Manual

RECURSOS

– Leitura das páginas 101 a 108. – Propostas de trabalho da página 108.

TPC

13.ª e 14.ª aulas – Tarefa 9 – A divisão do bolo – Extensão da partilha equilibrada de um bolo a situações com mais de dois intervenientes. – Tarefa 10 – A divisão da piza – Discussão de que o algoritmo garante uma partilha equilibrada. – Noção de uma partilha Livre de Inveja. – Discussão sobre se os algoritmos até agora estudados garantem ou não uma partilha livre de inveja.

ACTIVIDADE LECTIVA

– Controlo do TPC.

– Qualidade na preparação das discussões.

– Empenho na realização das tarefas em sala de aula.

AVALIAÇÃO

– Poder argumentativo na discussão dos diferentes algoritmos.

– Interpretação e sensibilização para o que é uma partilha justa.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

© AREAL EDITORES

– Apresentação dos grupos de trabalho. Cada grupo de trabalho deverá entregar ao professor uma descrição pormenorizada de como colocar em prática diferentes passos de cada um dos algoritmos explorados.

– Discussão em grande grupo.

– Trabalho em grupos de 3 ou 4.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 1 TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA (CONT.)

– Coleccionar notícias onde a estatística seja uma presença.

– Leitura das páginas 129 e 130. – Propostas de trabalho das páginas 131 e 132.

3.ª e 4.ª aulas – Questionamento e crítica de informação variada. – Tarefa 1 – Interpretando dados: pirâmides populacionais – Tarefa 2 – Interpretando dados: variações populacionais. – Tarefa 3 – Interpretando dados: características populacionais.

Interpretando dados

TPC

1.ª e 2.ª aulas – Análise de notícias onde a estatística está presente, que poderá ser o professor a levar para a aula. – Leitura das páginas 120 a 122. – Propostas de trabalho das páginas 123 a 125.

ACTIVIDADE LECTIVA

Introdução

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

– Recortes coleccionados pelos alunos e/ou professores. – Informação da Internet. – Manual

– Manual. – Jornais. – Revistas. – Internet.

RECURSOS – Trabalho de pares. – Apresentações à turma.

Desenvolver: – capacidade de interpretação, síntese e aquisição de conhecimentos pela leitura e discussão das tarefas apresentadas; – a capacidade de selecção da informação disponível; – a capacidade de apresentação em público dos itens seleccionados.

Desenvolver: – poder argumentativo, crítico, expositivo e de interacção social; – a percepção da realidade social.

– Observação do empenho e trabalho na sala de aula. – Realização correcta do trabalho de casa. – Escolha criteriosa de recortes de notícias. – Poder de síntese e de exploração na exposição das colecções efectuadas. – Participação dos alunos na escolha e procura de artigos. – Poder de interpretação, questionamento e crítica dos artigos analisados. – Observação do trabalho, empenho e qualidade de realização em sala de aula.

– Trabalhos de grupo tanto na interpretação, questionamento e como na parte expositiva.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

AVALIAÇÃO

PLANIFICAÇÕES

TEMA 2 ESTATÍSTICA – 30 AULAS DE 90 MINUTOS

11

12 Desenvolver a capacidade de: – interpretação; – investigação; – selecção; – usar novas tecnologias.

– Capacidade de utilizar as TIC.

– Manual. – Calculadora gráfica. – Folha de cálculo.

– Propostas de Trabalho da página 142. – Propostas de Trabalho da página 154 e 155. – Selecção de notícias, em papel ou formato digital, onde se exibam amostras. – Investigação de como a amostra é definida.

6.ª à 9.ª aulas – Introdução expositiva, reflexiva e usando exemplos pertinentes, feita pelo professor, em cada um dos subtemas. – Tarefa 6 – Barómetro – Tarefa 7 – Sondagens e enviesamentos – Tarefa 8 – A área dos círculos – Tarefa 9 – Amostra aleatória simples – Tarefa 10 – Método de selecção da amostra – Exposição feita pelo professor de técnicas de amostragem.

Sondagens e amostras.

A escolha da amostra

Sondagens e recenseamentos.

Desenvolver: – a capacidade de autonomia, apreendendo conceitos através da discussão de ideias e leitura do manual; – a apreensão de certos conceitos da Estatística.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

– Observação da qualidade do trabalho realizado na sala de aula. – Procura e selecção de artigos de qualidade sobre o subtema.

AVALIAÇÃO

– Manual. – Internet. – Jornais e revistas.

RECURSOS

– Propostas de Trabalho das página 137 e 138.

TPC

5.ª aula – Tarefa 4 – Portugal ao espelho – Tarefa 5 – Visitas a um museu – Síntese realizada pelo professor.

ACTIVIDADE LECTIVA

Noções básicas de estatística

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

– Trabalho de grupo. – Acompanhamento na investigação online

– Trabalho a pares na sala de aula.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 2 ESTATÍSTICA (CONT.)

Medidas de localização.

Descrevendo distribuição de dados com números

Tabelas, diagramas e gráficos com dados agrupados em classes.

Tabelas, diagramas e gráficos em dados simples.

Organizando dados.

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

– Leitura das páginas 157 a 164. – Proposta de Trabalho da página 165. – Leitura das páginas 171 e 172. – Propostas de Trabalho da página 173. – Apresentar o tratamento de um conjunto de dados, que deverá ter sido recolhido pelos alunos, eventualmente usando a calculadora ou a folha de cálculo.

– Leitura das páginas 176 a 183. – Propostas de Trabalho das páginas 184 e 185. – Leitura das páginas 186 a 189. – Propostas de Trabalho da página 190.

16.ª à 18.ª aulas – Tarefa 14 – Um olhar sobre o salário anual médio – Tarefa 15 – Ainda um olhar sobre o salário anual médio – Tarefa 16 – Europa online – Síntese expositiva, realizada pelo professor ou por um aluno. – Aplicação ao tratamento de dados recolhidos pelos alunos.

TPC

10.ª à 15.ª aulas – Dados para serem organizados poderão surgir a partir de trabalhos ou projectos que os alunos realizem. – Tarefa 11 – As idades – Tarefa 12 – Representações gráficas. – Tarefa 13 – Área florestal

ACTIVIDADE LECTIVA

– Artigos de jornal ou revistas. – Folha de cálculo. – Internet. – Calculadora gráfica. – Manual – Calculadora gráfica. – Folha de cálculo. – Internet.

– Manual.

RECURSOS

– Qualidade e rigor na realização do TPC.

– Empenho e qualidade do trabalho de sala de aula.

– Observação directa do empenho na sala de aula. – Realização cuidadosa do TPC. – Gosto pela utilização das TIC para a realização do tratamento da informação. – Conhecimento no recurso à Internet para procurar dados necessários.

AVALIAÇÃO

– Acompanhamento na pesquisa online.

– usar novas tecnologias.

– selecção;

– Trabalho de grupo.

– investigação;

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

– interpretação;

Desenvolver a capacidade de:

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

PLANIFICAÇÕES

TEMA 2 ESTATÍSTICA (CONT.)

13

– Leitura das páginas 194 a 196. – Propostas de Trabalho das páginas 197 e 198.

– Leitura das páginas 201 a 205. – Propostas de Trabalho das páginas 206 a 207.

– Aplicando das páginas 208 a 221

22.ª a 27.ª aulas – Tarefa 19 – Alemães dominam Best Cars – Tarefa 20 – Conheçamos melhor o mundo – Síntese das tarefas e apresentação dos conceitos.

28.ª a 30.ª aulas – Apresentação de alguns trabalhos mais pertinentes. – Tratamento de dados, de algum levantamento mais particular, associado a algum estudo levado a cabo pelos alunos. – Resolução de situações problemáticas finais.

Distribuições Bidimensionais

TPC

19.ª a 21.ª aulas – Tarefa 17 – À procura do melhor aluno – Tarefa 18 – Explorar o desvio-padrão – Síntese comentada e crítica realizada pelo professor. – Aplicação ao tratamento de dados recolhidos pelos alunos.

ACTIVIDADE LECTIVA

Medidas de Dispersão

TEMA CONTEÚDOS

14 – Manual. – Calculadora gráfica. – Folha de cálculo. – Internet.

– Manual. – Calculadora gráfica. – Folha de cálculo. – Internet.

RECURSOS

– Qualidade e rigor na realização do TPC.

– Empenho e qualidade do trabalho de sala de aula.

AVALIAÇÃO

– usar novas tecnologias.

– selecção;

– investigação;

– interpretação;

Desenvolver a capacidade de:

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

© AREAL EDITORES

– Acompanhamento na pesquisa online.

– Trabalho de grupo.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 2 ESTATÍSTICA (CONT.)

5.ª a 7.ª aulas – Tarefa 4 – Juro simples e juro composto – Tarefa 5 – Compra de um carro – Sensibilização para a existência do número de Neper.

Juro simples

Taxa de juro

Juro Composto

3.ª aula – Tarefa 2 – Promoções Informáticas – Tarefa 3 – IVA – Discussão e apresentação, feita pelo professor, de conteúdos matemáticos.

2.ª aula – Apresentação, depois de seleccionadas, das situações encontradas no TPC. – Tarefa 1 – Preenchimento de uma factura

1.ª aula – Pensar, seleccionar e apresentar situações nas quais identifiquem modelos financeiros. – Leitura e apresentação dos textos da página 224 a 226. – Proposta de trabalho das páginas 227 e 228.

ACTIVIDADE LECTIVA

Primeiras Situações

Introdução

TEMA CONTEÚDOS

© AREAL EDITORES

– Leitura das páginas 236 a 244. – Propostas de Trabalho da página 245. – Levantamento, junto dos familiares, de situações onde apareça o cálculo de juros.

– Leitura das páginas 232 e 233. – Propostas de Trabalho da página 234.

– Cada aluno terá de trazer uma situação, um recorte, um artigo do qual se possa descrever uma situação financeira. – Proposta de Trabalho da página 229.

TPC

– Folha de Cálculo – Internet: actividades bancárias, empréstimos, …

– Folha de Cálculo.

– Internet. – Destaques do INE. – Dossiers do ALEA. – Revistas

RECURSOS

– Trabalho com folha de cálculo.

– Conhecimento de situações existentes associadas a juros.

– Observação do trabalho em sala de aula. – Realização do TPC.

– Comunicação. – Interpretação e síntese dos artigos que leram, trouxeram e seleccionaram.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

– Observação do trabalho dos alunos.

– Observação do trabalho dos alunos em grupo, interagindo e dinamizando. – Registo e análise do trabalho de casa que realizaram.

AVALIAÇÃO

– Trabalho a pares.

– Trabalho a pares.

– Trabalho de grupo.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 3 MODELOS FINANCEIROS – 10 AULAS DE 90 MINUTOS

15

Inflação e Índices

TEMA CONTEÚDOS

– Leitura das páginas 247 a 253. – Propostas de Trabalho da página 254.

– Análise de artigos como, por exemplo: destaques do INE, Marktest, Dinheiro & Direitos…

10.ª aula – Resolução de situações problemáticas finais. – Aplicando das páginas 255 e 256.

TPC

8.ª e 9.ª aulas – Tarefa 6 – A evolução dos lucros – Tarefa 7 – A evolução dos preços – Análise de outras situações seleccionadas pelo professor ou pelos alunos como: pagamento de prestações no empréstimo à habitação, contas poupança-reforma, entre outros.

ACTIVIDADE LECTIVA – Revistas. – Sites. – Manual.

RECURSOS – Observação. – Apresentação de sínteses elaboradas em sala de aula.

AVALIAÇÃO – Pesquisar, sintetizar, recolher informação e expor.

OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

16 © AREAL EDITORES

– Trabalho de grupo.

INDICAÇÕES METODOLÓGICAS

PLANIFICAÇÕES

TEMA 3 MODELOS FINANCEIROS (CONT.)

© AREAL EDITORES

OUTRAS LEITURAS

AEMACS10CP-02

17

OUTRAS LEITURAS

ROGÉRIO ALVES CONQUISTA ORDEM DOS ADVOGADOS O novo bastonário da Ordem dos Advogados chama-se Rogério Alves, tem 43 anos e presidia ao Conselho Distrital de Lisboa, cargo que conquistara na lista do bastonário cessante, José Miguel Júdice. Eleito com 5849 votos, teve uma vantagem de apenas 919 votos sobre António Marinho, cuja lista se apresentava apenas ao Conselho Geral. António Marinho, que fez parte da Comissão dos Direitos Humanos, da qual foi afastado por Júdice devido a críticas aos magistrados, ficou em segundo lugar, com 4930 votos, perdendo em Lisboa. João Correia, que era vice-presidente do Conselho Geral cessante, ficou em terceiro lugar, recolhendo o apoio de 4574 eleitores. O novo bastonário promete “um mandato de inovação, de referência positiva e com uma justiça mais rápida e eficaz”. Do novo Governo, espera um inventário dos problemas da Justiça e uma reforma do sector a “sério e sem demagogia”. Comentando os resultados, João Correia, citado pela Lusa, fala em “derrota e enfraquecimento da advocacia”, mas António Marinho assume o vencedor como seu bastonário. “O que se reflectiu nestas eleições foi a revolta de uma advocacia descamisada. A minha candidatura era a candidatura de defesa da advocacia e venceu a anti-Ordem, o movimento contra a advocacia, contra a Ordem, contra os juízes, contra o Governo, contra tudo”, afirmou João Correia. O vencedor não tinha um programa consistente, numa altura em que “a organização judiciária atingiu o limite, estando mal, muito mal, sendo impossível estar pior”, acrescentou. Apesar de ter transmitido a Rogério Alves os “parabéns sentidos”, declarou “Admirar-me-ei muito se ele conseguir dar a volta a isto”. António Marinho afirmou que Rogério Alves é o bastonário de todos os advogados e ofereceu-lhe toda a colaboração, mas continuará a ser “crítico em relação ao que está mal”. “Eu ganhei o país, ele ganhou Lisboa”, onde vota a maior parte dos advogados inscritos, disse Marinho. “Espero que ele tenha uma visão dos problemas da advocacia em todo o país e não apenas de Lisboa”, onde foi o mais votado. Lista A ganha em Lisboa e perde Conselho do Porto A lista de Rogério Alves (A) também venceu as eleições para o Conselho Superior, que será presidido por Luís Laureano Santos, e para o Conselho Distrital de Lisboa (Raposo Subtil), mas perdeu no Porto para a lista D (Rui da Silva Leal (filho). Nos outros distritos, foram eleitos Francisco Rodeiro (lista I, de duas), em Coimbra; Carlos D’Almeida (lista única), em Évora; António Cabrita (única), em Faro; Sérgio Rebelo (única), na Madeira; e Eduardo Vieira (única), nos Açores. Jornal de Notícias, 5 de Dezembro de 2004

18

© AREAL EDITORES

A

OUTRAS LEITURAS

B ENSAIO SOBRE A LUCIDEZ O escritor português José Saramago, Prémio Nobel da Literatura, publicou em 2004, o livro “Ensaio sobre a Lucidez”, onde aborda a questão do voto em branco. Na acção deste livro, sem razão aparente os eleitores da capital de um país democrático, decidem tácita e maioritariamente usar o voto em branco para protestar contra o sistema político e os políticos que o sustentam. Fica reduzida a percentagem de votos nos partidos que concorrem às eleições, para uns insignificantes 17% no seu total, e ergue-se uma maioria de 83% de votos em branco. Resposta do poder: os eleitores da capital estão a subverter o sistema democrático. O voto em branco, apesar de ser um direito concedido na lei eleitoral, é repudiado por, massivamente, atentar contra a democracia. A cidade é então sitiada, é-lhe retirado o estatuto de capital, pelo que o poder político migra para outra cidade, até que o governo possa dar fim a tal subversão e encontrar os culpados. O que aconteceria se, na realidade, a percentagem de votos em branco viesse a alcançar tais proporções? Como reagiria o aparelho que se diz democrático? Como procederiam os partidos vendo que uma significante parte da população não acreditasse neles? O voto em branco é diferente da abstenção, porque esta pode demonstrar, por parte dos eleitores, não uma forma de contestação, mas uma imatura mentalidade política e/ou total desinteresse e conformismo com a situação. O voto em branco seria um voto consciente, de alguém que quer dizer algo, e no caso, tratando em não escolher qualquer um dos que se candidatam a ser eleitos, com uma viva voz alertando de que algo, senão tudo, estaria errado no sistema chamado democrático.

© AREAL EDITORES

Comentário de José Alexandre Ramos

19

OUTRAS LEITURAS

VIVA O FESTIVAL DA CANÇÃO! Que competição mais justa, democrática e representativa pode haver do que as eleições legislativas? Resultados matemáticos recentes mostram que a resposta é… o Festival da Canção! O leitor estará certamente farto de campanhas eleitorais e nauseado de ouvir expressões como «voto útil». E pensará com resignação que é um preço a pagar: afinal, as eleições livres e universais são a quintessência da democracia e o princípio de «um homem – um voto» a expressão máxima da igualdade entre os homens. Nada pode haver, portanto, de mais justo do que os resultados das eleições – como até os vencidos terão sublinhado, provavelmente, com expressões como «em democracia o povo é soberano». Certo? Errado. O princípio, aceite hoje universalmente, de «um homem – um voto», conhecido por «votação plural», não é o processo mais justo de proceder a uma eleição. Pelo contrário: pode levar a gritantes injustiças, elegendo o candidato menos apoiado pelo eleitorado! Estas afirmações nada têm de ideológico: são consequência de teoremas demonstrados por matemáticos e publicados na literatura científica. O leitor pode, de resto, substituir as eleições legislativas pelas do seu clube de futebol favorito, do administrador de condomínio ou do papa: as afirmações não se alteram. Nada melhor para esclarecer estas afirmações surpreendentes do que um exemplo. Suponhamos que para um determinado cargo existem três candidatos, o Alberto, o Bernardo e a Catarina (daqui por diante designados, respectivamente, por A, B e C), e que o universo eleitoral é constituído por 12 pessoas. Cada eleitor tem a sua hierarquia de preferências entre A, B e C. Se um eleitor prefere A a B e, por outro lado, B a C, vamos designar as suas preferências eleitorais da forma A > B > C. Suponhamos então que as ordens de preferência eleitoral dos votantes são as seguintes: para 5 dos eleitores, A > C > B; para 4 dos eleitores, B > C > A; para os restantes 3, C > B > A. De acordo com a regra «um homem um voto», cada eleitor vota na sua primeira preferência. Resultado: o Alberto é eleito com uns confortáveis 42%. E com toda a justiça, pensamos. No entanto, o que aconteceria se o Bernardo tivesse retirado a sua candidatura? O nosso sentido de justiça eleitoral leva-nos imediatamente a pensar que deve continuar a ser o Alberto o vencedor. Errado! Uma simples contagem mostra que, retirando-se o Bernardo, a Catarina ganha ao Alberto por 7 a 5 porque o Alberto é a primeira escolha para 5 votantes, mas a última para 7. É eleita a Catarina!

20

© AREAL EDITORES

C

OUTRAS LEITURAS

C Mais: nas outras eleições entre apenas dois candidatos, a Catarina vence o Bernardo por 8 a 4 e o Bernardo vence o Alberto por 7 a 5. Estes resultados sugerem fortemente que os eleitores, no seu conjunto, encaram a Catarina como o melhor candidato, visto que ganha a todos os outros isoladamente, e o Alberto como o pior, visto que perde em comparação com qualquer dos outros. Ironia do destino: é eleito o Alberto e a Catarina fica em último lugar! O resultado da escolha colectiva foi o menos desejado pela maioria dos próprios eleitores. Este paradoxo eleitoral tem um único culpado: o processo de contagem dos votos. Ele mostra que a votação plural – «um homem, um voto» – pode, ao contrário do que é intuitivo, não reflectir fielmente as opções do eleitorado. Estas observações não são novas. Pelo contrário: têm mais de duzentos anos. Tudo começou quando, em 1780, o matemático francês Jean-Charles Borda, cansado do que considerava serem más decisões eleitorais da Academia das Ciências, apresentou uma memória sobre contagem de votos em eleições. Borda descreveu os defeitos do sistema «um homem um voto» (um dos exemplos que forneceu foi o acima descrito) e propôs um novo sistema, que demonstrou matematicamente ser mais justo. A Academia adoptou-o até cerca de 1800, altura cm que foi proibido por Napoleão (cuja fama não provém do seu amor à democracia). O método proposto, conhecido hoje como «contagem de Borda», é simples. Em lugar de «um homem um voto», cada votante deve ordenar os candidatos por ordem de preferência. Se há três candidatos, a primeira escolha do votante recebe dois pontos, a segunda um e a terceira zero. No final somam-se os pontos obtidos por cada um dos candidatos. Ganha quem tiver mais pontos. É mais ou menos clara a superioridade deste método sobre a votação plural. Na contagem de Borda o voto retém a informação sobre todas as opções do eleitor. Na votação plural é apenas considerada a primeira preferência do eleitor; as suas outras opções são ignoradas.

© AREAL EDITORES

É, assim, natural esperar que a contagem de Borda retrate com maior fidelidade e precisão as preferências do eleitorado. Para retomar o exemplo acima, realizemos a eleição entre A, B e C utilizando a contagem de Borda. O resultado é de 15 pontos para a Catarina, 11 para o Bernardo e 10 para o Alberto. Fez-se justiça! A Catarina é eleita e o Alberto fica em último. Esta questão, no entanto, é mais profunda do que parece. O matemático americano Kenneth Arrow desconhecia a ilustre linhagem deste problema quando, em finais dos anos 40, publicou, como parte da sua tese de doutoramento, um resultado surpreendente talvez o mais citado (e mal interpretado) resultado matemático relativo às ciências sociais.

21

OUTRAS LEITURAS

Arrow considerou, em abstracto, todas as possíveis formas de eleição que satisfaçam três propriedades, das quais dificilmente se discorda. A primeira é a da liberdade: cada eleitor pode ordenar livremente os candidatos (desde que o faça transitivamente: se prefere A a B e B a C, então tem de preferir A a C). A segunda é a da unanimidade: se todos os eleitores preferem A a B, então A vence B nas eleições.

A terceira condição é a independência de alternativas irrelevantes: o resultado da hierarquização colectiva de dois candidatos depende apenas dos candidatos em questão. Isto é, se o resultado colectivo é A > B > C, então o grupo deve preferir A a C independentemente de B ser ou não candidato. Esta condição elimina, portanto, a possibilidade de haver paradoxos eleitorais à la Borda, como o exemplo acima construído. Assim, por exemplo, o sistema de voto plural não a verifica. Para assegurar uma eleição justa e livre de paradoxos basta, pois, encontrar um sistema que verifique estas condições e substituir o sistema de voto plural por ele. No entanto, o resultado chocante demonstrado por Arrow é o seguinte: com três ou mais candidatos, o único sistema eleitoral (com resultados transitivos) que satisfaz estas condições é aquele em que existe um eleitor fixo tal que o resultado da eleição coincide sempre com as suas preferências. Em português corrente: em que existe um «ditador». O teorema de Arrow, que lhe valeu o Nobel da Economia em 1972, afirma que o único sistema eleitoral livre de paradoxos é… uma ditadura! Jorge Buescu, O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias, Crónicas das Fronteiras das Ciências, Gradiva, Lisboa 2001 (Adaptado) As autoras agradecem a gentil cedência deste texto a Jorge Buescu. 22

© AREAL EDITORES

C

OUTRAS LEITURAS

D OS ALGORITMOS DO BOLO-REI «Quem parte e reparte, e não fica com a melhor parte, ou é tolo ou não tem arte», diz um ditado popular. É verdade: se a pessoa a fazer a divisão for também a que fizer a escolha, nada garante que um dos parceiros não fique prejudicado. Por isso, e para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor é proceder em duas etapas: um dos parceiros divide o bolo e o outro escolhe a sua fatia. Desta forma, é do interesse do primeiro fazer a divisão da forma mais equitativa possível, pois se assim não acontecer, terá a certeza de ficar com o pior bocado. É uma sábia conjugação de situações, pois os dois parceiros, afinal ambos movidos pelo egoísmo, colaboram de forma a que nenhum fique prejudicado. A história é muito conhecida e aplicada em várias situações do dia-a-dia, e não só na divisão de guloseimas entre crianças. O problema complica-se, contudo, se o bolo tiver de ser dividido entre mais do que dois parceiros. Como é que se há-de fazer se forem três, por exemplo? Ou se forem muito mais? E se tivermos um bolo-rei a dividir entre 20 pessoas igualmente gulosas? O problema não é simples e os matemáticos têm vindo a desenvolver algoritmos para partilhas equitativas. Esses algoritmos, isto é, esses procedimentos sistemáticos de busca de uma solução, podem ter aplicações em áreas muito diversas, desde a partilha de heranças e divisão de obrigações pecuniárias até às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países. O algoritmo «um parte, outro escolhe» pode aplicar-se a mais do que dois parceiros. Se tivermos quatro pretendentes a um bolo-rei, por exemplo, o algoritmo desdobra-se em duas etapas. Começam-se por agrupar os pretendentes ao bolo em dois grupos, com dois elementos em cada grupo. Um dos grupos divide o bolo em duas partes e o outro escolhe a sua metade. Na segunda etapa, cada par de gulosos divide a sua metade de bolo-rei ao meio, seguindo de novo o processo de um partir e o outro escolher. É fácil ver que este método pode funcionar igualmente para oito pessoas ou, em geral, para potências de dois. Mas já não é tão simples encontrar uma solução no caso de haver três pessoas. Pensando bem, consegue-se arranjar um método que funcione nesse caso. Quer o leitor dar uma sugestão?

© AREAL EDITORES

Os matemáticos, contudo, não gostam de soluções que apenas funcionam para casos particulares, pelo que têm procurado algoritmos mais gerais. O ideal seria encontrar um método que funcionasse com qualquer número de pessoas. Um desses métodos, proposto pelos matemáticos polacos Stefan Banach (1892-1945) e Bronislaw Knaster (1893-1980), resolve o problema com qualquer número de parceiros. É o chamado algoritmo da faca deslizante. Este caso é mais fácil de perceber com um bolo sobre o comprido, como um bolo inglês. Os diversos pretendentes às fatias do bolo reúnem-se à sua volta enquanto uma pessoa, possivelmente um deles, pouco importa, começa a deslizar a faca sobre o bolo, a partir de um dos lados. Vai-se progredindo com a faca até que um dos parceiros diga «Pára!». Nesse momento, pára-se a faca e corta-se uma fatia, que é entregue a quem falou. O parceiro em causa fica assim com uma parte que considera ser, pelo menos, uma fracção justa do bolo – se pensasse 23

OUTRAS LEITURAS

que a faca não tinha ainda chegado a essa fracção justa, não a teria reclamado. Os outros, por seu lado, vêem o bolo ser diminuído do que consideram ser inferior ou igual a uma fracção justa – se algum deles achasse que a faca tinha já ultrapassado o momento certo, deveria ter reclamado a fatia correspondente. Depois de o primeiro parceiro ter recolhido a sua fatia, este afasta-se do jogo, enquanto a faca continua a deslizar, até que um dos restantes parceiros diga «Pára» e recolha a sua fatia. O processo repete-se até restarem apenas dois parceiros. Nessa altura, o primeiro a falar é o que fica com a fatia reclamada e o último fica com o restante. O interessante neste processo é que, mesmo admitindo a falibilidade de cada uma das pessoas, nenhuma delas pode reclamar que está a ser prejudicada. Se o está, é por sua culpa, pois não terá falado a tempo, ou terá falado cedo demais, sem a isso ninguém a ter obrigado. Este método parece perfeito, mas deixa de fora alguns casos interessantes. Funciona para um bolo homogéneo, mas funcionará para um bolo com constituintes diversos e irregularmente distribuídos, como é o caso do bolo-rei? Será possível arranjar um algoritmo em que todos fiquem com igual quantidade de abóbora cristalizada, de pinhões, de passas e de massa? A resposta a esta questão foi dada por um teorema que o matemático polaco Hugo Steinhaus (1887-1972) demonstrou nos anos 40 e que veio a ser conhecido pelo curioso nome de Teorema da Sanduíche de Fiambre. Considere-se um objecto tridimensional com três componentes, por exemplo, uma sanduíche com pão, queijo e fiambre – pouco importa que esses componentes estejam bem ou mal distribuídos, que se concentrem em lados diferentes ou que estejam uniformemente espalhados. O que esse resultado prova é que há sempre um plano que divide o objecto em duas partes, de tal maneira que cada uma delas contenha igual quantidade dos três componentes. Ou seja, mesmo que o fiambre e o queijo estejam mal espalhados, há sempre uma maneira de cortar a sanduíche em dois bocados rigorosamente iguais. Quando se considera um objecto bidimensional, já a partição equitativa apenas funciona com dois componentes. Suponha-se que se espalha sal e pimenta numa mesa, por exemplo. O teorema de Steinhaus mostra que há sempre uma recta que divide a superfície da mesa em duas partes que têm iguais quantidades de sal e de pimenta. Se houver três ingredientes, suponhamos sal, pimenta e açúcar, é fácil de imaginar uma concentração em três locais diferentes de tal forma que não haja linha recta que faça a partição de forma equitativa. De forma geral, o teorema diz que em «n» dimensões há sempre um hiperplano que divide simultaneamente ao meio «n» componentes. Como parece que vivemos a três dimensões e o bolo-rei tem muito mais que três constituintes, ficamos a saber: não há faca que os reparta todos equitativamente.

24

© AREAL EDITORES

D

OUTRAS LEITURAS

E LITERACIA ESTATÍSTICA Pensar à maneira da Estatística será um dia tão necessário para o cidadão eficiente como a habilidade de ler e escrever G. Wells

Introdução Quando, há algum tempo atrás, a palavra literacia surge no nosso vocabulário, embora não necessariamente no nosso dicionário, o seu significado é fundamentalmente o seguinte: capacidade do indivíduo para ler, escrever e falar na sua língua materna, efectuar cálculos e resolver problemas do dia-a-dia, de forma a cumprir as tarefas que lhe são exigidas tanto no emprego como na sociedade. Numa sociedade em transformação e desenvolvimento, cada vez mais exigente com o cidadão, que vive constantemente exposto a grandes massas de informação, é natural que o conceito de literacia também tenha evoluído. No estudo internacional PISA (Programme for International Student Assessment), levado a cabo em 29 países da OCDE, considerado o maior estudo sobre as competências dos alunos que terminam a escolaridade obrigatória e de que resultou o volume Measuring Student Knowledge and Skills: The PISA 2000 Assessment of Reading, Mathematical and Scientific Literacy, o conceito de literacia aparece de forma mais abrangente e mais exigente, destacando já três vertentes específicas (literacia em leitura, literacia matemática e literacia científica) que, citando o dito estudo, têm as definições que a seguir se apresentam:

© AREAL EDITORES

Literacia em Leitura — A capacidade de compreender, usar e reflectir sobre textos escritos, com o fim de atingir os nossos objectivos, desenvolver conhecimentos e potencialidades, e participar na sociedade. Literacia Matemática — A capacidade do indivíduo identificar, compreender, e de se ocupar da Matemática, de ter opiniões bem fundamentadas sobre o papel que a Matemática desempenha, como se torna necessário na sua vida presente e futura, na vida profissional, na vida social com os seus pares e familiares, para viver como um cidadão construtivo, interessado e ponderado. Literacia Científica — A capacidade de usar conhecimentos científicos, de identificar problemas e

de tirar conclusões baseadas em evidências para compreender e tomar decisões sobre o mundo natural e as mudanças que lhe são impostas pela actividade humana. Vários autores, ver Steen (1997, 2001), falam de literacia quantitativa, também designada por numeracia, e uma definição em voga (Steen, 2001) é: Literacia Quantitativa — Um conjunto de competências, conhecimentos, convicções e predisposições, hábitos mentais, capacidades de comunicação e jeito para resolver problemas que as pessoas precisam para enfrentar de maneira eficaz situações envolvendo quantidades que surgem na vida e na actividade profissional. Para que se perceba bem o que é literacia quantitativa há o cuidado de fazer a distinção entre literacia quantitativa e Matemática, a Matemática que se ensina nos cursos tradicionais. Esta é uma disciplina, com um programa, cujo objectivo é a aplicação de ideias abstractas ao estudo da relação entre objectos ideais. A literacia quantitativa ocupa-se de problemas concretos relativos a objectos ou acontecimentos reais que surgem em contextos determinados. A literacia quantitativa dá ao cidadão a capacidade de interpretar informação quantitativa de natureza muito diversificada, o que é hoje uma necessidade permanente para a tomada de decisões correctas em praticamente todas as actividades da vida corrente. Trata-se mais de uma linguagem do que uma disciplina. Representa um novo tipo de formação e por isso é natural que outros métodos de ensino e aprendizagem, que não os tradicionais, sejam mais adequados para se conseguirem os objectivos para que ela aponta. A literacia quantitativa não dispensa naturalmente conhecimentos de matemática, e muito menos dispensa a Estatística, aquela parte que se ocupa dos problemas ligados a situações de incerteza. Contudo não parece ser com programas (de matemática ou de estatística) mais vastos ou mais exigentes que o ensino tradicional leva o estudante a me-

25

OUTRAS LEITURAS

lhorar a sua literacia quantitativa. O progressivo desenvolvimento da Estatística e a crescente necessidade de conhecimentos estatísticos para enfrentar situações da vida real, levaram à introdução da literacia estatística, à semelhança do que aconteceu com a literacia matemática, exigida por uma “quantização” cada vez mais acentuada da sociedade. Como é referido em Moore (1997), Anne Hawkins define assim a ideia de literacia estatística: Na sua expressão mais simples, literacia estatística pode ser interpretada como uma habilidade de interagir eficazmente num ambiente de incerteza (não determinístico). Uma interpretação vaga, mas na qual faz sentido incluir a situação mais concreta que é o frequente contacto com dados e a necessidade da sua análise. Um aspecto fundamental na literacia estatística é compreender e usar o raciocínio estatístico. Note-se que o tipo de raciocínio estatístico é diferente do raciocínio matemático e a educação estatística não se pode restringir a uma visão da estatística simplesmente como um ramo da matemática (Vere-Jones, 1995). O tipo de raciocínio matemático, eminentemente um raciocínio lógico, em que as proposições ou são verdadeiras ou falsas, não é compatível com o tipo de raciocínio estatístico, em que tratamos com proposições que não podemos dizer que são verdadeiras nem tão pouco falsas, estando numa situação de incerteza, que pode ser quantificada através da probabilidade: Verdadeiro? Incerteza Falso? Esta situação de incerteza acompanha-nos no nosso dia-a-dia, nas mais variadas situações. A educação estatística tem uma dimensão diferente das áreas normalmente consideradas como ramos da Matemática, como por exemplo a Geometria, a Análise e a Álgebra, pelo seu envolvimento directo com o estudo de outras ciências como as ciências médicas e afins, ciências políticas e ciências sociais. É importante ensinar um médico, um sociólogo, um técnico da indústria farmacêutica e todos aqueles que fazem uso da Estatística a utilizá-la correctamente. A utilização incorrecta desta ciência pode levar a decisões er-

26

radas com consequências negativas quer para o desenvolvimento das outras ciências quer para o desenrolar da vida do cidadão comum. E, como refere Chatfield (1991), em Estatística é possível cometer erros com maior frequência do que em outras ciências, especialmente pelos não especialistas. Em seguida apresentam-se alguns casos de análises estatísticas que podem levar a interpretações e decisões incorrectas quando não se conhecem bem os conceitos estatísticos. Reflexo de iliteracia estatística Esta preocupação com a educação estatística, tem levado à introdução de alguns conceitos básicos de Estatística e Probabilidade no ensino obrigatório e pré-universitário de alguns países, nos quais se inclui Portugal. Não nos iludamos, no entanto, com as facilidades por vezes apregoadas de que estas noções são meras questões de “bom senso” ou do “senso comum” que não trazem nada de novo e que não precisam de ser ensinadas. O certo é que elas são necessárias ao cidadão comum na condução da sua actividade diária e o seu desconhecimento pode acarretar graves inconvenientes e prejuízos. Por isso não estamos de acordo com aquela corrente simplista e desactualizada e apresentamos a seguir algumas situações simples, mas que surgem com demasiada frequência para serem ignoradas e às quais é preciso responder com sabedoria. A média enganadora A média é largamente utilizada para sintetizar a informação contida num conjunto de dados. Tratando-se de uma redução tão drástica, é necessário acautelar as situações em que a informação que ela transmite não tem qualquer utilidade ou é falsa. O exemplo que se segue é ilustrativo. Numa região começaram a aparecer pessoas com uma doença desconhecida, tendo os médicos do centro de saúde recolhido informação sobre 35 desses doentes, escolhidos aleatoriamente, e concluído que a média das idades era 32 anos. Conjecturou-se que se tratava de uma doença atacando os adultos jovens. Um médico mais curioso, sabedor que a média nem sempre é uma boa medida para resumir a informação contida nos dados, pediu que lhe fornecessem as idades dos 35 doentes seleccionados, com os quais construiu a seguinte representação em caule-e-

© AREAL EDITORES

E

OUTRAS LEITURAS

E -folhas: através da representação da Tabela 1, foi possível concluir que afinal a doença estava a atacar as crianças e as pessoas da terceira idade.

A utilização incorrecta do coeficiente de correlação

© AREAL EDITORES

O coeficiente de correlação é largamente utilizado, nomeadamente na comunicação social, para exprimir o maior ou menor grau de associação entre duas variáveis. Nem sempre o uso do coeficiente de correlação é feito de forma correcta, sobretudo se não forem tomadas certas precauções. Veja-se o seguinte exemplo. Um professor decidiu registar as notas que os seus alunos tinham tido em dois testes, para averiguar se se teria verificado consistência entre os resultados dos dois testes, no sentido que um aluno que tenha tido boa (má) nota no primeiro teste, também tenha tido boa (má) nota no segundo teste. Calculou o coeficiente de correlação e ficou desapontado com o valor obtido, 0,04! Resolveu fazer a representação gráfica dos dados, sob a forma de um diagrama de dispersão e obteve o Gráfico 1.

A representação mostra uma associação linear, quase perfeita, entre os dados, havendo um único valor a fugir desse padrão. Se for retirado o elemento discrepante que aparece no gráfico, já o coeficiente de correlação assume o valor 0,9997. O exemplo anterior chama a atenção para alguns problemas que podem surgir quando a interpretação do coeficiente de correlação não é acompanhada de uma representação prévia dos dados. Frequentemente também se esquece que o que o coeficiente de correlação mede é o grau de associação linear entre duas variáveis pelo que, perante um valor deste coeficiente perto de zero, haverá tendência para dizer que as variáveis não se associam, quando na realidade pode existir uma forte associação não linear. Por outro lado, ao detectar associação entre duas variáveis, nem sempre se toma o devido cuidado com a interpretação que se dá a esta associação. Efectivamente, nem sempre a existência de associação entre duas variáveis significa uma relação de causa-efeito. Pode haver outras variáveis, relacionadas com as variáveis em estudo, o que acontece com frequência, que provoquem essa associação, como se exemplifica a seguir. Para um conjunto de 22 países registou-se o número de pessoas por aparelho de televisão (pes/TV), assim como o tempo médio de vida (tmv), tendo-se obtido os valores que se apresentam na Tabela 2 (Rossman e Chance, 2001). A representação dos pontos de coordenadas (Pes/TV, tmv) num diagrama de dispersão permite-nos concluir da existência de uma associação linear negativa, com alguma intensidade, isto é, existe tendência para que quanto menor for o número de pessoas por aparelho de TV, maior será o tempo médio de vida. Só por graça é que se poderia dizer que um modo de aumentar o tempo médio de vida, seria aumentar o número de aparelhos de TV! É evidente que a associação negativa encontrada se deve à presença de uma terceira variável, que podemos denominar por “nível de vida”, que influencia as variáveis observadas. Assim, uma regra básica a ter em linha de conta, quando se trabalha com o coeficiente de correlação ou a recta de regressão, é efectuar a representação prévia dos dados, num diagrama de dispersão.

27

OUTRAS LEITURAS

O segundo exemplo (Gráfico 4) refere-se ao resultado de uma sondagem relativa às recentes eleições para o novo líder da Juventude Socialista. Os resultados da sondagem (Jornal Expresso Nº 1547 de 22 de Junho de 2002) indicam 215 votos (51%) para Jamila Madeira e 208 votos (49%) para Filipe Costa. A notícia relativa a este evento, propositadamente intitulada “Ilusão de óptica”, apresenta um gráfico, (…) que faz explodir uma diferença muito reduzida (7 votos, cerca de 2%), entre os desempenhos dos dois candidatos, numa vitória (ou derrota) verdadeiramente impressionante.

O gráfico com eixos inapropriados Se é bem verdade que um gráfico vale mais do que mil palavras, nem sempre esta “máxima” deve ser seguida, pois podemos estar perante gráficos enganadores. É uma situação que se verifica, nomeadamente, quando os eixos desses gráficos não são escolhidos convenientemente, quer devido a uma má escolha das escalas num ou mais eixos, quer devido à truncatura do eixo das frequências, isto é, fixando o início da escala nesse eixo num valor superior a zero. Os dois exemplos que se seguem esclarecem estes dois problemas. Suponha que o número de acidentes, por mês, no IP5, foi, no período de Setembro de 1997 a Janeiro de 1998, o seguinte: 8, 9, 12, 13 e 12. Dois jornais hipotéticos apresentaram representações gráficas para transmitirem a informação anterior (Gráficos 2 e 3). Como comentário, podemos dizer que um dos jornais tentaria dramatizar o problema.

O próprio jornalista justifica assim a habilidade do gráfico em transmitir informação deturpada: “O truque para que o resultado de Jamila apareça com o dobro de tamanho da coluna de Filipe foi utilizar, não as percentagens (51% a 49%), mas o número de respostas (215 a 208), e ao desenhar o gráfico, não começar a partir do 0, mas do 204, mostrando apenas o topo da votação. Independências?!!” Na verdade o truque está, unicamente, na escolha da escala e não no facto de se utilizarem frequências absolutas ou relativas. Alguns problemas com o cálculo de probabilidades Assim como se podem cometer erros básicos em Estatística, o mesmo acontece em Probabilidades. Os exemplos seguintes pretendem ilustrar situações probabilísticas em que é comum isso acontecer, já que: • A intuição é muitas vezes enganadora; • Em muitas situações uma análise correcta depende da identificação de resultados igualmente possíveis (prováveis…), o que nem sempre é fácil. Se perguntar numa turma de alunos qual das sequências MFFMFM, MMMMFM, é mais provável

28

© AREAL EDITORES

E

OUTRAS LEITURAS

E de ocorrer, no nascimento de 6 crianças, onde representamos por M o nascimento de rapaz e F de rapariga e admitimos igual probabilidade para o nascimento de rapaz e rapariga, terá dúvida de que a esmagadora maioria responde MFFMFM? No entanto os dois acontecimentos têm a mesma probabilidade, 1 . 26 Se repetir a experiência que consiste em lançar ao ar 6 moedas e deixar cair as moedas sobre uma mesa, experimente perguntar numa turma de alunos o que é mais provável obter:

( ) ( ) ( )

a) 2 caras e 4 coroas 15 26 b) 3 caras e 3 coroas 20 26 c) 5 caras e 1 coroa 6 26

Provavelmente a maior parte dos alunos escolheria a resposta correcta b), mas sem ser pela razão certa!

© AREAL EDITORES

Se numa turma com 30 alunos encontrar 2 alunos a fazer anos no mesmo dia, poderá pensar tratar-se de uma rara coincidência. Efectivamente um resultado que vai contra a intuição é que bastam 23 pessoas para que a probabilidade de haver pelo menos duas a fazer anos no mesmo dia seja superior a 50% (Graça Martins et al, 1999a)! Atente-se na seguinte notícia (Rasfeld, 2001): “Nestes últimos meses, milhares de crianças americanas têm estado a escrever cartas para os soldados americanos estacionados no Golfo Pérsico, seus desconhecidos, para lhes mostrar que eles não foram esquecidos no seu país. Em geral o endereço é: ‘Para um soldado’. O sargento Rory Lomas, de 27 anos de idade, natural de Savannah, na Georgia, recebeu uma tal carta na Arábia Saudita. E por pura coincidência: ‘a carta para um soldado’ foi escrita pela sua própria filha Cetericka de 10 anos de idade. Perante este relato, pensamos que uma situação destas só pode ser devida a intervenção divina! A probabilidade de isto acontecer deve ser extremamente pequena, diz-nos a nossa intuição. Mas mais uma vez a nossa intuição nos enganou. Efectivamente a situação descrita é uma versão do conhecido problema dos encontros, que pode ser formulado como se explica já a seguir (Graça Martins, et al. 1999a). Uma secretária distraída tinha n cartas para en-

viar a outros tantos destinatários. Meteu aleatoriamente as cartas dentro dos envelopes, sem tomar atenção aos nomes. Qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa receber a carta que lhe era dirigida? O valor para esta probabilidade é aproximadamente 0,63, aproximação que já se obtém para n = 4. Componentes da formação de uma pessoa estatisticamente literada Não é pacífico enumerar as componentes da formação exigida pela literacia estatística, já que a própria definição deste conceito não está propriamente estabelecida. Podemos, no entanto, indicar alguns requisitos básicos que se consideram necessários para que o cidadão possa cumprir o que dele se espera numa sociedade de números e quantidades (Gal, I., 2002): • Perceber a necessidade de trabalhar com dados (compreendendo que dados não são unicamente números, mas números inseridos num determinado contexto), conhecendo a sua proveniência e a forma de os produzir; • Estar familiarizado com os termos e ideias básicas de Estatística Descritiva, nomeadamente métodos (medidas, tabelas e gráficos) para reduzir a informação contida nos dados; • Compreender noções básicas de Probabilidade; • Entender o mecanismo do processo inferencial, ao tomar decisões estatísticas. O primeiro tópico considerado, o da origem e produção de dados, é por vezes relegado para segundo plano, sendo no entanto crucial em qualquer procedimento estatístico. Para realçar a importância desta fase consideremos, por analogia, o que se passa quando se realiza um cozinhado (Graça Martins e Cerveira, 1999b). Começa-se por seleccionar os ingredientes, que serão depois manipulados de acordo com determinada receita. O resultado pode ser desastroso, embora de aspecto agradável. Efectivamente se os ingredientes não estiverem em condições, resulta um prato de aspecto semelhante ao que se obteria com ingredientes bons, mas de sabor intragável. Se os dados não forem “bons”, embora se aplique a técnica correcta, o resultado pode ser desastroso, na medida em que se pode ser levado a retirar conclusões erradas. Ficaram célebres e hoje em dia ainda se verificam, antecipações de

29

OUTRAS LEITURAS

resultados eleitorais completamente contraditórios com os resultados após os actos eleitorais, devido essencialmente a uma amostra deficiente, a partir da qual se obtiveram esses resultados, eventualmente com técnicas estatísticas adequadas. A familiaridade com os termos e ideias básicas da Estatística Descritiva já foi realçada, quando falámos no perigo da sua utilização incorrecta. A compreensão das noções básicas de probabilidade é importante, pois o termo Probabilidade é utilizado todos os dias, mais ou menos de forma intuitiva, já que nos mais variados aspectos da nossa vida, está presente a incerteza. Neste ponto deve ser realçado o facto de nem todos os resultados enunciados sob a forma probabilística, serem baseados em estudos estatísticos, havendo por vezes lugar a juízos probabilísticos subjectivos ou baseados em situações anedóticas. Hoje em dia somos confrontados sistematicamente com informação, veiculada pela comunicação social, sobre resultados de sondagens, que são apresentados obrigatoriamente com a ficha técnica, onde se inclui nomeadamente a margem de erro. Ora, para que sejamos consequentes com esta exigência, é necessário dar às pessoas as ferramentas necessárias para poderem compreender e assimilar a informação que lhes está a ser transmitida. A compreensão do processo inferencial significa também que as pessoas ficam alerta para a possibilidade de se cometerem erros quando se procura generalizar para um conjunto vasto de indivíduos, algumas propriedades verificadas só em alguns deles, mas que estes erros podem ser controlados e quantificados, através da probabilidade, residindo aqui a enorme potencialidade da Estatística. Conclusão O desenvolvimento dos computadores, a sua intervenção crescente na sociedade e a produção intensiva de informação, de que eles são os principais agentes, é um fenómeno que se tem vindo a intensificar desde as últimas décadas do século XX. Esta transformação rápida é de certo modo a responsável pelo nascimento da literacia quantitativa, correspondendo à necessidade do homem moderno se adaptar às novas condições de vida, compreendendo e usando com eficácia a informação que lhe chega diariamente.

30

Aliás, os cálculos automáticos e gráficos automáticos, que lançam a controvérsia entre os matemáticos são fundamentais em Estatística. O uso da tecnologia é, hoje em dia, um aspecto fundamental da prática da Estatística e podemos dizer que a literacia estatística arrasta a literacia computacional. As definições de literacia em geral e de literacia nos vários domínios e níveis particulares não estão ainda estabelecidas mas, dados os objectivos para que elas apontam, começa já a perceber-se que poderá ser necessário criar adequados mecanismos de educação para a literacia. No caso da literacia estatística o que se pretende não é criar especialistas em estatística, mas sim criar nas pessoas a capacidade de compreenderem os processos elementares da recolha e análise de dados, entenderem o que está por detrás de um raciocínio estatístico, terem a consciência do que é um fenómeno aleatório, sendo capazes de construir modelos simples da realidade. A literacia estatística, ao nível do cidadão comum, deve permitir a cada um de nós resolver com ligeireza e segurança um rol de problemas que nos dizem directamente respeito ou que nos são apresentados frequentemente pelos media e cuja resolução apela a conhecimentos e raciocínio estatísticos. Interpretar tabelas e gráficos, entender disputas salariais, índices de preços, oscilações bolsistas, taxas de desemprego, taxas relativas à evolução de doenças, mecanismos e resultados eleitorais e de sondagens, comparar a qualidade e custos de bens ou serviços são apenas algumas solicitações dirigidas ao cidadão e a que ele pode dar resposta fazendo uso da literacia estatística. Um cidadão com estas competências que lhe dá a literacia estatística é um cidadão bem informado, vive melhor e pode contribuir de forma esclarecedora para uma sociedade mais justa.

João Branco Centro de Matemática e Aplicações Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

Maria Eugénia Graça Martins Centro de Estatística e Aplicações Departamento de Estatística Operacional Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Educação e Matemática n.º 69 Setembro/Outubro de 2002

© AREAL EDITORES

E

TESTES DE AVALIAÇÃO

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES DE AVALIAÇÃO

N.º

Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião. 1.

Observe a seguinte tabela. PRESIDENTE DA JUNTA – PPD/PSD.CDS-PP ASSEMBLEIA DE FREGUESIA – FREGUESIA – PARANHOS Votos PPD/PSD.CDS-PP

%

Mandatos

10 965

PS

8825

PCP-PEV

2379

BE

1595

I

607

PH

84 n.º Inscritos

41 976

Votantes

25 579

Brancos

%

760

Nulos

364 http://www.autarquicas.mj.pt

1.1. Descreva quais as candidaturas à Assembleia da Junta de Freguesia de Paranhos. 1.2. Preencha a coluna da percentagem de votos de cada candidatura. 1.3. Se desenhasse um diagrama circular para representar a distribuição dessas percentagens, quantos graus mediria o sector circular do BE? 1.4. O número total de mandatos é 21. Determine a distribuição de mandatos da Assembleia de Freguesia de Paranhos, sabendo que é feita pelo Método de Hondt: Passo 1: Divide-se o total de votos de cada candidatura por 1, 2, 3, …, n (quantos mais lugares existirem para atribuir, mais divisões se terão que efectuar). Passo 2: Escolhe-se o quociente mais alto da lista (incluindo os quocientes obtidos na divisão por 1) e atribui-se um lugar ao partido correspondente. Repete-se este procedimento até que todos os lugares tenham sido atribuídos.

32

© AREAL EDITORES

1

Nome

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

1 1.5. Determine o número global de votantes por mandato. Para cada candidatura determine quantos votantes são representados por cada mandato respectivo. Compare esses números e comente as diferenças encontradas. 1.6. Para aprovar uma determinada moção na Assembleia de Freguesia é necessária a cota de 2 dos votos. 3 Com as candidaturas apresentadas, sugira pelo menos duas coligações ganhadoras e diga se nelas existem votantes críticos, isto é, se alguma das organizações candidatas que compõem as coligações por si propostas, ao mudar o seu sentido de voto, muda o resultado da votação. 1.7. Suponha agora que o número de mandatos diminuía de 21 para 11. Comente o que acontecia à composição da Assembleia de Freguesia de Paranhos e pronuncie-se acerca de quem se poderia sentir prejudicado ou favorecido. 2.

A Ana quer fazer uma sobremesa especial para o seu dia de anos. Para tal, auscultou as preferências dos seus convidados: CoNvIdAdoS PREFERÊNCIAS

7

5

4

3

2

1.ª

chocolate

manga

baunilha

morango

baunilha

2.ª

baunilha

chocolate

manga

manga

manga

3.ª

morango

baunilha

morango

chocolate

chocolate

4.ª

manga

morango

chocolate

baunilha

morango

A Ana escolheu dois sabores respeitando essas preferências.

2.1. Se ela decidisse usar o Método de Maioria Absoluta tinha resolvido o seu problema? Explique a sua resposta e proponha um procedimento de modo a conseguir alcançar o pretendido. 2.2. Use o Método de Borda e descubra os sabores que a Ana vai escolher. 2.3. Se a Ana usasse o Método da Votação Sequencial por Pares, conseguiria decidir quais eram os sabores escolhidos?

© AREAL EDITORES

(Apresente todas as suas observações e raciocínios.)

AEMACS10CP_03

33

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

N.º

Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião. 1.

Em Portugal, as eleições para a Presidência da República realizam-se de cinco em cinco anos. os dados seguintes são referentes à eleição do Presidente da República, em 1986.

Resultados Nacionais Número total de votos: 5 742 151 Número de votos em branco: 17 709 Número de votos nulos: 46 334 Número de abstenções: 1 875 106 www.cne.pt

1.1. Sabendo que o número total de eleitores foi de 7 617 257, indique a percentagem de abstenções, aproximada às centésimas. 1.2. O critério de eleição de um candidato à Presidência da República está descrito na Lei Eleitoral.

ARTIGo 10.º (Critério da eleição) 1. Será eleito o candidato que obtiver mais de metade dos votos validamente expressos, não se considerando como tal os votos em branco. (*) 2. Se nenhum dos candidatos obtiver esse número de votos, proceder-se-á a segundo sufrágio ao qual concorrerão apenas os dois candidatos mais votados que não tenham retirado a sua candidatura. Lei eleitoral – Organização do processo eleitoral –Título III

(*) Os votos nulos também não são considerados votos validamente expressos.

34

© AREAL EDITORES

2

Nome

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

2 Observe os dados da tabela que nos fornece os resultados da primeira votação nos quatro candidatos à eleição do Presidente da República em 1986. voTAÇÃo PoR CANdIdATo Candidato A

Candidato B

Candidato C

Candidato d

2 629 597

1 443 683

1185 867

418 961 www.cne.pt

Nestas eleições, algum dos candidatos foi eleito na primeira votação? Explique a sua resposta. Adaptado da Prova de Aferição de Matemática, 2004, 3.º Ciclo do Ensino Básico

2.

A tabela de preferências apresentada mostra os resultados de um inquérito a todos os alunos de uma escola de uma zona rural sobre a qualidade dos serviços disponibilizados. os alunos foram solicitados a classificar os serviços do que consideram mais eficiente (1) ao que consideram menos eficiente (4). TABELA dE PREFERÊNCIAS Transportes

1

4

4

4

2

Cantina

2

3

1

2

3

Bar

3

1

3

3

4

Papelaria

4

2

2

1

1

N.º de votos

56

48

41

35

29

2.1. Usando o Método da Contagem de Borda, qual é o serviço mais eficiente para os alunos desta escola? 2.2. Pensa que a pontuação atribuída a cada preferência em 2.1. é razoável? Porquê? Dê, também, a sua opinião fundamentando-a convenientemente. 2.3. Haverá mudança de vencedor se se atribuir a cada preferência o dobro dos pontos? E se elevarmos ao quadrado as pontuações atribuídas em 2.1.? 2.4. Se se exigisse maioria absoluta, mesmo que para isso se tivesse que realizar uma segunda volta, na qual os alunos mantinham a ordem das suas preferências, qual seria o serviço vencedor?

© AREAL EDITORES

3.

Como dividir um prémio do Totoloto por um grupo de pessoas que se associaram para jogar e contribuíram com partes diferentes? Juntaram-se quatro amigos para jogar no Totoloto com um boletim completo, totalizando 5,49 €. Cada um dos amigos contribuiu com 1 €; 1,2 €; 2 € e 1,29 €, respectivamente, e o boletim foi premiado com 124 700 €. Como devem fazer a distribuição do prémio?

35

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

3

Nome Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião. 1.

o quadro seguinte mostra os resultados dos cinco partidos mais votados nas eleições europeias de 2004, em Portugal: PARTIdo

voToS

Partido Socialista (PS)

1 517 170

Força Portugal (PPD/PSD.CDS-PP)

1 133 640

CDU – Coligação Democrática Unitária (PCP-PEV)

309 406

Bloco de Esquerda (BE)

167 279

Partido Comunista dos Trabalhadores Portugueses (PCTP/MRPP)

36 251 www.stape.pt

Portugal elege 24 deputados para o Parlamento Europeu mas, para efeitos deste exercício, vamos supor que elege apenas 15 deputados (mandatos). Como distribuir os 15 deputados pelos diferentes partidos? Vamos usar dois métodos diferentes: o Método de Hondt e o Método de Sainte-Laguë. O primeiro método aparece definido numa das nossas leis eleitorais:

LEI ELEIToRAL PARA A ASSEMBLEIA dA REPÚBLICA Lei n.º 14/79 de 16 de Maio … ARTIGo 16.º (Critério de eleição) A conversão dos votos em mandatos faz-se de acordo com o método de representação proporcional de Hondt, obedecendo às seguintes regras: a) Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no círculo eleitoral respectivo; b) O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1, 2, 3, 4, 5, etc., sendo os quocientes alinhados pela ordem decrescente da sua grandeza numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo; c) Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série; d) No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos. www.stape.pt

36

© AREAL EDITORES

N.º

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

3 O Método de Sainte-Laguë é em tudo idêntico ao Método de Hondt, apenas a sucessão de números “1, 2, 3, 4, 5,…” é substituída pela sucessão “1, 3, 5,…”.

1.1. Aplique o Método de Hondt para distribuir os deputados pelos cinco partidos cujos dados são fornecidos. 1.2. Aplique o Método de Sainte-Laguë e repita o procedimento da alíne anterior. 1.3. Faça uma pequena composição em que analise as diferenças dos resultados obtidos e onde se inclua uma caracterização geral do tipo de distribuição dos mandatos que esperaria obter a partir da aplicação dos dois métodos referidos. 2.

o Parlamento da Terra do Nunca A Terra do Nunca está dividida, em três províncias num total de 47 000 eleitores e com a distribuição indicada no mapa.

Nenhures 7000 Sol Posto 14 000 Algures 26 000

Para o parlamento são eleitos 20 deputados.

© AREAL EDITORES

2.1. Qual deve ser o número de deputados em cada círculo eleitoral (1 círculo eleitoral = 1 província) de modo a respeitar o Princípio da Representatividade? 2.2. Num censo realizado verificou-se uma flutuação da população tendo-se registado a seguinte distribuição: > Algures: 25 000 eleitores; > Sol Posto: 13 000 eleitores; > Nenhures: 9000 eleitores. Qual deve ser, agora, a distribuição dos 20 lugares de deputados pelos círculos eleitorais? 37

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

4

N.º

Turma

Eleições Presidenciais Portuguesas 1986.

1.ª volta

© AREAL EDITORES

1.

Nome

2.ª volta

PRESIdÊNCIA dA REPÚBLICA | 26/01/1986

PRESIdÊNCIA dA REPÚBLICA | 2.º SUFRágiO | 26/01/1986

PoRTuGAL

PoRTuGAL votos

Concorrentes

número

Diogo Freitas do Amaral

votos

Concorrentes

266 687

número

Mário Soares

3 015 350

Mário Soares

1 463 195

Diogo Freitas do Amaral

2 864 728

Francisco Zenha

1 206 520

Nulos

34 729

Maria Pintasilgo

428 772

Brancos

20 487

Nulos

47 338

votantes

5 935 294

Brancos

18 292

Abstenções

1 651 667

votantes

5 831 004

Inscritos

7 586 961

Abstenções

1 872 071

Inscritos

7 703 075

1.1. Considere os resultados obtidos na 1.ª volta: a) Qual o número total de eleitores inscritos? b) Qual a percentagem de votos validamente expressos? c) Qual a percentagem de votos validamente expressos, obtido por cada candidato? d) Qual a percentagem de eleitores que votaram em cada um dos candidatos?

1.2. Justifique a necessidade da 2.ª volta? 1.3. Suponha que cerca de 70% dos eleitores que haviam decidido votar em Maria de Lurdes Pintasilgo, sabendo da sua pouca possibilidade de vitória, decidiam não ir votar. Comente como se processaria o acto eleitoral se os restantes votos se mantivessem exactamente os mesmos. 2.

Num clube de ginástica com três modalidades desportivas (capoeira, aeróbica e judo) decidiu-se constituir uma associação que defenda os seus interesses. A Assembleia é constituída por 10 representantes, de acordo com o número de participantes em cada modalidade, utilizando o Método de Hamilton. Na tabela abaixo pode consultar a constituição da Assembleia em 2007 e o número de praticantes em 2007 e 2008. 2007 N.º Praticantes

Representantes na Assembleia

N.º Praticantes

Judo

366

3

411

Capoeira

689

5

690

Aeróbica

296

2

294

Modalidade

38

2008

MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO

TESTES dE AvALIAÇÃo

4 2.1. Quantos praticantes tinha o clube em 2007? E em 2008? 2.2. a) Calcule o Divisor Padrão (D.P.) em 2007. b) Confirme a distribuição dos representantes na Assembleia em 2007, utilizando o Método de Hamilton. (Basta preencher a tabela abaixo). ModALIdAdE

N.º PRATICANTES

Judo

366

Capoeira

689

Aeróbica

296

q.P.

q.I.

oRdENAÇÃo

REPRESENTANTES A ACRESCENTAR

ToTAL dE REPRESENTANTES

2.3. Em 2008 decidiu-se alterar o método para determinar o número de representantes na Assembleia. Vai-se abandonar o Método de Hamilton e passar a utilizar o Método de Hondt, considerando que cada modalidade tem um número de votos igual ao número de praticantes nesse ano. Utilize este método para determinar a constituição da Assembleia no ano 2008. 3.

o João e a Ana devem repartir entre si uma nota, um computador, um avião telecomandado e uma prancha de surf que herdaram dos primos que foram viver noutro país: Resolveram usar o seguinte método: 1. cada um atribui pontos a cada bem no total de 100 pontos; 2. cada um fica com o bem quem o valorizar mais; 3. adicionados os pontos que cabe a cada um faz-se a transferência de bens ou de direitos sobre o bem cujas licitações são mais próximas até obterem os mesmos pontos.

A avaliação por pontos é a que se encontra na tabela ao lado: 3.1. Faça a distribuição dos bens e dos direitos se for caso disso. Mota 3.2. Descreva uma hipótese de utilização dos Computador direitos adquiridos por cada um sobre o Avião bem ou bens em transferência. Prancha de surf

© AREAL EDITORES

4.

ANA

JoÃo

24

20

12

15

30

35

34

30

Considere o método seguinte para dividir uma porção de bolo entre 3 pessoas: I. O António divide a porção naquilo que ele considera serem exactamente fatias de um terço e dois terços; II. O Bruno corta a fatia que o António considera ser dois terços naquilo que ele acredita serem metades; III. A Carla escolhe a primeira fatia; IV. Depois escolhe o Bruno; V. O António fica com a fatia que resta. Este método pode satisfazer todos os intervenientes? Justifique a sua resposta ilustrando-a com um exemplo. 39

ESTATÍSTICA

TESTES dE AvALIAÇÃo

N.º

Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião. 1.

Considere o seguinte artigo:

Abstenção poderá ser histórica

onde chepróximas eleições presidenciais: até É a única verdadeira incógnita das gará a abstenção? realisondagem que a Universidade Católica […] se olharmos para os números da iriinqu RTP. À partida, apenas dois terços dos zou para o Público, a Antena Um e a eza de se r. Treze por cento dizem já ter a cert dos diz ter intenção segura de ir vota cento não sabem se irão votar […]. irem abster, sendo que mais 17,3 por dantes outro muito significativo. É que os estu A estes elementos há que acrescentar des difiam este estudo depararam com gran da Universidade Católica que realizav que a esse ao questionário – dificuldades tais culdades em encontrar quem respond inquérievistas e foi necessário ficar pelos 750 amostra pretendida era de 900 entr o 1021 chamadas telefónicas […]. tos válidos apesar de se terem realizad

Ficha Técnica 1 Segunda-feira, 8 de Janeiro de 200 dade Público, RTP e Antena Um à Universi Esta sondagem foi encomendada pelo A amostra indivíduos recenseados no continente. Católica, sendo o seu universo o dos l de 1021 quais foram validados 750, num tota pretendida era de 900 inquéritos, dos inquém inválidas (por desistência a meio do chamadas telefónicas, das quais 25 fora de telefone de resposta. A escolha dos números rito). Além disso houve 237 recusas em cada lha, esco garantir a aleatoriedade na foi feita aleatoriamente. De forma a que responder ao inquérito a pessoa da casa número de telefone era escolhida para evistas e que fosse maior de 18 anos. As entr tivesse feito anos há menos tempo, desd s estueiro, envolvendo 32 entrevistadores, todo decorreram nos dias 4, 5 e 6 de Jan dantes universitários.

Público, 8 de Janeiro de 2001

Com base no artigo que acabou de ler, responda às seguintes questões.

1.1. Qual é a questão ou qual a variável em estudo? 1.2. Quem patrocinou a sondagem? 1.3. Qual é a população? 1.4. Como foi seleccionada a amostra? 1.5. Qual a dimensão da amostra? 40

© AREAL EDITORES

5

Nome

ESTATÍSTICA

TESTES dE AvALIAÇÃo

5 1.6. Qual foi a taxa de respostas (percentagem de elementos da população que responderam)? 1.7. Como foram obtidas as respostas? 1.8. Quais foram exactamente as questões colocadas? 2.

Numa escola resolveu-se dar o mesmo teste de Matemática a duas turmas distintas, cada uma com 25 alunos. os resultados obtidos foram os seguintes: TuRMA 1 10 12 19

TuRMA 2 9

11 11 12 16 17

9

12 13 18

5

0

10 12 12 17

7

7

19 20 10 18 10 13 13 15 12 17

6

15 14 13

16 14 11 15 13

7

14

9

6

16 13 12 16

16 16

2.1. Organize os resultados de cada turma em diagramas de extremos e quartis. 2.2. Numa composição faça o estudo comparativo sobre o aproveitamento dos alunos das duas turmas; analise as representações que construiu e pronuncie-se sobre a homogeneidade, variabilidade e simetria dos dados. o gráfico seguinte apresenta dados relativos ao número de estrangeiros residentes em Portugal. depois de o analisar atentamente responda às questões colocadas: Milhares

3.

250 200 150 100 50 0

1990

1991

Total

1992

1993

1994

1995

Outros continentes

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Continente africano

2002 Anos

http://alea-estp.ine.pt

© AREAL EDITORES

3.1. Qual foi o aumento percentual aproximado da população estrangeira entre 1992 e 1997? 3.2. Entre que anos o aumento da população estrangeira residente em Portugal foi menos acentuado? 3.3. Entre que anos foi maior a diferença entre população estrangeira proveniente do continente africano e a proveniente de outros continentes? 41

ESTATÍSTICA

TESTES dE AvALIAÇÃo

6

Nome Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião.

1.

Considere a seguinte tabela. ENERGIA (kCAL)

HIdRAToS dE CARBoNo (G)

Big Mac

495

40

Big Tasty

850

50

Cheeseburger

300

30

McChicken

405

38

Chicken McNuggets (4)

170

11

Chicken McNuggets (6)

260

16

Chicken McNuggets (9)

380

25

Molho Barbecue

40

10

Molho de Caril

45

10

Molho de Mostarda

60

7

Molho Agridoce

50

12

Double Cheeseburger

435

30

McFish

350

37

McMartins (3)

180

16

McMartins (4)

245

21

Batatas fritas (pequenas)

235

29

Batatas fritas (médias)

340

42

Batatas fritas (grandes)

470

59

Molho para batatas

45

3

Ketchup para batatas

12

3

Hamburger

265

30

MacRoyal Deluxe

535

31

MacRoyal Bacon

592

33

MacRoyal Cheese

505

34

MENu PRINCIPAL

1.1. Construa um histograma referente ao número de calorias agrupadas em classes de amplitude 100 kcal e a partir de um mínimo de 100 kcal. 1.2. Determine o valor médio e o valor mediano do total de calorias existentes nos diferentes itens fast food considerados. 42

© AREAL EDITORES

N.º

ESTATÍSTICA

TESTES dE AvALIAÇÃo

6 1.3. Os valores médio e mediano são iguais? Qual deles é maior? Analise os dados e procure uma explicação para a diferença existente. 1.4. Construa o diagrama de extremos e quartis da distribuição de calorias. 1.5. Com base nas representações gráficas construídas, faça uma composição onde descreva a forma como se distribuem as calorias. Considere a amplitude total, as amplitudes inter-quartis, as classes onde há maior concentração, simetria da distribuição, entre outros factores. 1.6. Represente a quantidade de hidratos de carbono existente nos dados num histograma cujas classes tenham amplitude igual a 10 g. 1.7. Descreva o histograma da quantidade de hidratos de carbono existente nos diferentes alimentos de fast food; compare esta distribuição de hidratos de carbono com a distribuição de calorias. 2.

Numa empresa com três filiais, em três cidades distintas, registaram-se os tempos que os trabalhadores gastam de casa ao local de trabalho e obtiveram-se os seguintes histogramas.

Cidade A

Cidade B

Cidade C

Sabendo que os diagramas de extremos e quartis seguintes também representam as mesmas distribuições, faça corresponder a cada um deles uma cidade.

I

II

II

© AREAL EDITORES

Justifique, convenientemente, a sua escolha.

43

ESTATÍSTICA

TESTES dE AvALIAÇÃo

7

Nome Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião. 1.

os 30 alunos de uma turma tiveram de fazer um trabalho de História. A professora resolveu ver quantas páginas tinha cada trabalho e obteve a seguinte lista: 20

16

22

24

26

30

26

18

23

35

22

42

23

8

28

20

40

29

26

15

33

27

26

25

14

16

28

19

19

14

1.1. Calcule a média do número de páginas dos trabalhos desta turma. 1.2. Calcule, também, a variância e o desvio-padrão. 1.3. Qual é a moda desta variável? 1.4. E a mediana? 1.5. Construa uma tabela de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas. 1.6. Construa um gráfico de barras para a variável em estudo. 1.7. A professora achou que os trabalhos precisavam de uns anexos que ocupariam cinco páginas. Que influência terá este aumento de cinco páginas na média e no desvio-padrão? 2.

Numa empresa registaram-se os tempos que os trabalhadores gastam de casa ao local de trabalho e obteve-se a seguinte tabela de frequências relativas acumuladas. MINuToS

[0,10[

FREq. RELATIvAS ACuMuLAdAS (%)

10

[10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80] 25

47

67

80

90

98

100

2.1. Qual é a classe modal? 2.2. Nesta empresa, qual é a percentagem de trabalhadores que levam meia hora ou mais a chegar ao local de trabalho? 2.3. Qual é o tempo médio que os trabalhadores demoram a chegar à empresa? 2.4. Determine graficamente a mediana e os quartis da distribuição, recorrendo ao histograma de frequências relativas acumuladas.

44

© AREAL EDITORES

N.º

ESTATÍSTICA

TESTES dE AvALIAÇÃo

7 3.

Suponha que um economista está interessado em estudar a relação entre as despesas mensais com a alimentação e os rendimentos mensais das famílias portuguesas. obviamente que as despesas mensais com a alimentação dependem de vários factores, tais como, a dimensão do agregado familiar, os gostos dos elementos do agregado, além do rendimento. Recolheu-se informação sobre 15 famílias, tendo-se obtido os seguintes resultados:

FAMÍLIA

RENdIMENToS (€)

dESPESAS CoM A ALIMENTAÇÃo (€)

1

2475

550

2

1700

425

3

1300

400

4

2250

500

5

2700

600

6

1780

450

7

1250

425

8

1450

400

9

2100

550

10

2800

600

11

1900

550

12

1350

450

13

1650

425

14

2100

600

15

1800

575

3.1. Será que as despesas variam linearmente com o rendimento das famílias? Baseie-se no diagrama de dispersão, construído a partir dos dados fornecidos pela tabela. 3.2. Determine o coeficiente de correlação para os dados apresentados. Qual a indicação que nos dá sobre a associação dos rendimentos com as despesas das famílias? 3.3. Obtenha uma estimativa para os gastos mensais com a alimentação de uma família cujos rendimentos são de 1500 € mensais.

© AREAL EDITORES

3.4. Obtenha, agora, uma estimativa para o rendimento mensal de uma família com um gasto estimado em 1000 € mensais. 3.5. Retire a família 5 e a família 10 da lista. identifique e analise as diferenças obtidas em relação aos resultados das questões anteriores. Adaptado de http://www.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec

45

ESTATÍSTICA E MODELOS FINANCEIROS

TESTES dE AvALIAÇÃo

8

Nome Turma

Leia, atentamente, as situações apresentadas e as questões formuladas. Responda construindo frases completas onde evidencie o seu raciocínio, os cálculos que efectuou e, quando oportuno, a sua opinião. 1.

Nas questões seguintes, seleccione a opção correcta.

1.1. Se depositar 1000 € e optar por uma capitalização simples à taxa anual de 6,2%, ao fim de três anos tenho: (A) 1186,00 € (B) 1197,77 € (C) 1224,63 €

1.2. O Bernardo comprou um carro no início do ano 2004 por 10 000 € sabendo que seu valor desvaloriza 15% por ano, o valor do carro no início de 2009 era de: (A) 2500 € (B) 4437,05 € (C) 7500 €

1.3. Suponha que investe 250 € numa poupança que capitaliza juros compostos trimestralmente à taxa anual de 4,5%. Ao fim de 30 meses, a quantia existente é: (A) 279,08 € (B) 279,59 € (C) 279,71 € 2.

o Sr. Amaral acabou de ser pai. vai concretizar um dos seus sonhos: oferecer um certificado de aforro ao seu filho que lhe permita aos 18 anos ter 15 000 €. Sabendo que a capitalização é composta e que a taxa de juro é de 2,5% ao ano, qual deverá ser o valor a depositar no certificado de aforro?

3.

A imagem seguinte mostra valores de bens, um carro e uma habitação, de venda ao público com o IvA (imposto sobre o valor acrescentado) a 19% e a 21%. Alguns valores da figura desapareceram. Consegue completá-la?

Visão, 2 a 8 de Junho de 2005

46

© AREAL EDITORES

N.º

ESTATÍSTICA E MODELOS FINANCEIROS

TESTES dE AvALIAÇÃo

8 4.

observe os seguintes dados relativos a uma sondagem, feita a 21 estudantes de uma escola secundária, sobre o tempo usado a ver televisão, a falar ao telefone e a realizar trabalhos em casa. TEMPo do ESTudANTE (número de horas por semana) Tv

TELEFoNE

TPC

Tv

TELEFoNE

TPC

Tv

TELEFoNE

TPC

10

4

10

9

10

16

10

5

9

3,5

13

25

7

8

15

8

8

18

8

4

10,5

12

4,5

8

18

4

6

5

8

15

7

5,5

13

2

10

19

14

1

5

4

9

16

13

4

9

12

4

6

6

6,5

12

1

7

15

21

5

5

10

7,5

14

2

5

7

4.1. Construa os diagramas de extremos e quartis, não esquecendo de lhes associar as medidas estatísticas respectivas, de cada uma das variáveis. 4.2. Compare e relacione os diagramas construídos. 4.3

Para poder relacionar o número de horas usadas a ver televisão com o número de horas a realizar trabalhos de casa, construa o diagrama de dispersão associado a estas variáveis.

4.4

Comente o tipo de relação encontrado na alínea anterior. Use uma frase do tipo “À medida que o número de horas a ver televisão aumenta, o tempo para realizar trabalhos de casa … “

4.5

Construa o diagrama de dispersão que relaciona o número de horas por semana usadas a falar ao telefone com o número de horas a realizar trabalhos de casa. Comente o tipo de relação encontrado. Utilizando as rectas de regressão respectivas, preveja o número de horas, que um estudante que nada se interessa por televisão, destina para realizar trabalhos de casa e o número de horas que fala ao telefone. Qual das previsões é mais segura? Porquê?

© AREAL EDITORES

4.6

47

Atendendo às características da disciplina, optou-se por colocar a resolução de dois dos testes de conteúdos diferentes em vez de soluções.

Teste 1 1.

1.5 Na Assembleia de Freguesia de Paranhos houve, em 2005, um total de 25 579 votantes para elegerem 21 mandatos; significa que a cada mandato corresponde um número de votos de 1218,048 ( 25 579 ≃ 1218,048). 21 Vejamos o que se passa com cada candidatura:

1.1 As candidaturas à Assembleia da Junta de Freguesia de Paranhos foram: PPD/PSD.CDS-PP; PS; PCP-PEV; BE; I e PH. 1.2

CANdIdATuRA

PPd/PSd.CdS-PP

NÚMERo dE voTANTES REPRESENTANTES PoR CAdA MANdATo 10 965 ≃ 1096,5 10

voToS

%

10 965

10 965 ≃ 42,87% 25 579

PS

8825 ≃ 1103,12 8

PS

8825

8825 ≃ 34,50% 25 579

PCP-PEv

2379 ≃ 1189,5 2

PCP-PEv

2379

2379 ≃ 9,30% 25 579

BE

1595 ≃ 1595 1

BE

1595

1595 ≃ 6,24% 25 579

I

607

607 ≃ 2,37% 25 579

PH

84

84 ≃ 0,33% 25 579

PPd/PSd.CdS-PP

1.3 Houve 1595 eleitores a votarem no B.E. no total de 25 579 votantes, ou seja 1595 ≃ 9 6,24% dos 25 579 votantes optaram pelo B.E.. Se desenhasse um diagrama circular, o sector circular destinado a esta ligação mediria 6,24% de 360º, isto é, 360 × 0,0624 = 22,464º 1.4

LIGAÇõES Divisores PPD/PSD.CDS-PP

PS

PCP-PEV

10 965

8825

2379

1595 607 84

1

10 965

8825

2379

1595

2

5482,5

4412,5 1189,5 797,5

3

3655

2941,7 793 531,67

4

2741,25

2206,3 594,75 398,75

5

2193

1765 475,8

PPD/PSD.CDS-PP + PS, que corresponde a 18 votos;

6

1827,5

1470,8 396,5

PPD/PSD.CDS-PP + PS + PCP, que totaliza 20 votos;

7

1566,4

1260,7 339,86

PPD/PSD.CDS-PP + PS + BE, que totaliza 19 votos.

8

1370,6

1103,1 297,38

9

1218,3

980,56 264,33

10

1096,5

882,5 237,9

11

996,82

802,27 216,27

12

913,75

735,42 198,25

Mandatos

10

Na primeira coligação, PPD/PSD.CDS-PP+PS, qualquer uma das organizações é votante crítico, na segunda coligação, PPD/PSD.CDS-PP+ PS+PCP, só as duas primeiras organizações são votantes críticos, quanto ao PCP é indiferente que altere o seu sentido de voto e finalmente na última coligação, PPD/PSD.CDS-PP+PS+BE, da mesma forma apenas as duas primeiras organizações são votantes críticos.

48

8

2

BE

I

PH

Globalmente, quando se compara o número total de votantes com o número total de mandatos eleitos, encontra-se uma representatividade de 1218 votantes para cada mandato, contudo ao fazer a distribuição dos mandatos, pelo Método de Hondt, em nenhuma coligação se cumpriu o número de 1218 votantes por mandato. Há três coligações com número inferior de votantes por mandato do que os 1218 e uma, o BE, com número superior, ou seja o seu mandato representa 1595 votantes. Este Método, esta forma proporcional de converter número de votantes em mandatos, faz com que as coligações com maior número de votantes precisem de menos quantidade de votantes para elegerem um mandato; enquanto que o BE elegeu o seu mandato com 1595 votantes o PPD/PSD.CDS-PP elegeu cada mandato com 1096,5 votantes. Esta forma de proporcionalidade, o Método de Hondt, favorece as coligações com maior número de votantes. 1.6 Sendo a Assembleia de Freguesia constituída por 21 mandatos e sendo necessária a existência de 2 3 dos votos (14 votos) para aprovar qualquer moção. Exemplos de coligações ganhadoras, são:

© AREAL EDITORES

PRoPoSTA dE RESoLuÇÃo

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.7 Vejamos como ficaria constituída a Assembleia de Freguesia com 11 mandatos. ORGANIZAÇÕES Divisores

PPD/PSD.CDS-PP PS PCP-PEV BE I PH 10 965 8825 2379 1595 607 84

1

10 965

8825

2379

2

5482,5

3

3655

4

2741,25

5

2193

6

1827,5

1470,8 396,5

7

1566,4

1260,7

Mandatos

6

4

2.2 Pelo Método de Contagem de Borda, atribuindo 1, 2, 3 e 4 pontos, respectivamente à quarta, terceira, segunda e primeira preferência dos convidados, a pontuação distribui-se da seguinte forma pelos sabores: > chocolate – 7 × 4 + 5 × 3 + 4 × 1 + 5 × 2 = 57 pontos; > manga – 7 × 1 + 5 × 4 + 9 × 3 = 54 pontos;

1595 607 84

> baunilha – 7 × 3 + 5 × 2 + 6 × 4 + 3 × 1 = 58 pontos;

4412,5 1189,5 2941,7

> morango – 3 × 4 + 11 × 2 + 7 × 1 = 41 pontos.

793

A Ana escolheria a sobremesa de baunilha.

2206,3 594,75 1765

475,8

2.3 Para haver vencedor, pelo Método da Votação Sequencial por Pares, uma das preferências tem de vencer qualquer frente-a-frente que se lhe depare. Vejamos: > o chocolate é derrotado frente à manga, 7 preferem chocolate e 14 (5 + 4 + 3 + 2) vão pela manga;

1

A Assembleia de Freguesia de Paranhos ficaria completamente distinta e não nos referimos apenas ao número de mandatos ter passado de 21 para 11! Repare-se nas implicações que isso acarretaria; por um lado há uma força política, o BE que deixaria de ser representada e trata-se de uma força com poder quando a Assembleia tem 21 mandatos, senão repare-se que o mandato do B.E. aliando-se aos 2 do PCP-PEV e aos 8 do PS totalizam 11 mandatos contra os 10 do PPD/PSD.CDS-PP, ou seja, o único mandato do B.E. consegue decidir a aprovação das moções na Assembleia consoante a sua opção se inclinar para as ideias do PPD/PSD.CDS-PP ou do PS + PCP-PEV. Por outro lado, a redução para 11 mandatos faria com que o PPD/PSD.CDS-PP tivesse maioria absoluta na Assembleia – 6 mandatos em 11 – todas as moções seriam aprovadas ou rejeitadas em função apenas e só de uma coligação!

> a manga é derrotada face à baunilha, 8 (5 + 3) são adeptos da manga, mas 13 (7 + 4 + 2) já são da baunilha; > por sua vez, a baunilha é derrotada face ao chocolate, 6 contra 15; > finalmente resta o morango que é derrotado por vários, por exemplo, pelo chocolate, 7 contra 14. Por este Método, não há vencedor.

Teste 8 1.

1.1 (A) 1.2 (B) 1.3 (B)

2.

Trata-se de procurar um valor que, com uma taxa anual fixa de 2,5%, ao fim de 18 capitalizações compostas totalize 15 000 €. Se representarmos esse valor por X, tem-se que

(

X × 1 + 2,5 100

2. ou seja 2.1 Pelo Método de Maioria Absoluta, a Ana não conseguiu seleccionar a sobremesa. O total de convidados é 21 e a preferência mais votada totalizou 7 votos, não chegando, pelo menos, a 11 votos como seria o desejado.

© AREAL EDITORES

Para a Ana decidir qual a sobremesa a realizar, analisem-se as preferências dos convidados entre chocolate e manga, uma vez que foram estes sabores os mais votados em primeira opção:

AEMACS10CP_04

– há 7 votos para chocolate e 5 para manga vindos das primeiras preferências destes 12 convidados; os restantes 9 amigos (4 + 3 + 2), embora não optem por manga como primeira preferência, quando confrontados entre manga e chocolate, optam pela manga, fazendo então com que haja 14 (5 + 9) preferências pela manga, o dobro do que há pelo chocolate.

18

)

= 15 000

X = 15 00018 (1,025)

o que dá uma capitalização inicial de 9617,49 €. Portanto, o Sr. Amaral deve iniciar o certificado de aforro com 9617,49 €. 3.

A parte da tabela ainda preenchida permite certificar-nos que o IVA, a 19%, é determinado sobre o Preço Base mais o Imposto Automóvel, ou seja, que 19% de 15 848,74 = 3011,26 €. Sendo assim, 21% de 15 848,74 € = 3328,24 € e o Preço de Venda ao Público é 15 848,74 + 3328,24 = 19 176,98 €.

49

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

4.5

© AREAL EDITORES

Quanto à habitação, sabemos que o IVA, a 19%, do seu preço base é de 358 514 €, o que permite determinar o preço base da habitação, 358 514 = 1 886 915,79 € 0,19 Desta forma o IVA, a 21%, é 396 252,32 €. 4. 4.1

A correlação existente entre as variáveis, número de horas a falar ao telefone e número de horas a fazer TPC, é positiva, isto significa que quanto mais horas se fala ao telefone, mais horas se demora a fazer os trabalhos. 4.6

4.2 Claramente a variável cujos valores são menos dispersos é o tempo dos estudantes a falar ao telefone, a sua amplitude é de 12 horas, enquanto que a amplitude do tempo que os estudantes usam a ver televisão é de 20 horas assim como a amplitude da variável tempo que demoram a fazer TPC. Também a forma como os 21 estudantes se distribuem relativamente ao tempo a ver TV e a fazer TPC, não é muito distinta; 50% dos estudantes distribuem-se ao longo de 7,5 horas (entre 4,5 e 12 horas) a ver TV, enquanto que igualmente 50% se distribuem ao longo de 8 horas (5,5 e 15,5) a fazerem TPC. Já a falar ao telefone a distribuição de 50 % da população é feita ao longo de 4 horas. É de realçar que é no tempo que demoram a fazer TPC que os valores são mais elevados, tanto o mínimo como o máximo e ainda que é nesta variável que se denota maior dispersão, notando que 25% varia desde 15,5 horas até 25. 4.3

4.4 À medida que o número de horas a ver televisão aumenta, o tempo para realizar os trabalhos de casa diminui. Há uma correlação negativa entre as variáveis.

50

Ora, um estudante que nada se interesse por televisão, ou seja, que use zero horas para ver televisão por semana, de acordo com o modelo linear obtido a partir dos dados recolhidos é previsível que utilize cerca de 18 horas a realizar trabalhos de casa.O coeficiente de correlação deste modelo linear é aproximadamente igual a - 0,682. Construindo agora o diagrama de dispersão que relaciona as variáveis número de horas a ver TV com número de horas a falar ao telefone e procurando o respectivo modelo linear, é previsível que um estudante que não gaste tempo a ver televisão, fale cerca de 9 horas ao telefone por semana. Claro que são previsões e esta menos fiável do que a anterior, uma vez que o coeficiente de correlação é aproximadamente de - 0,584 e quanto mais se aproximar de zero menor é a correlação entre as variáveis.

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

51

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES

Por MARIA FILOMENA MÓNICA Politica, filosófica e temperamentalmente, sou centralizadora. Num caso, todavia, o da lei eleitoral, a minha posição altera-se. Porque diante da urna, ninguém, melhor do que o próprio, sabe o que lhe convém. Há anos que os grandes partidos, com destaque para o PS, têm vindo a prometer a reforma da lei eleitoral, mas, chegado o momento, retraem-se. Em 2001, ainda ouvi alguns socialistas falar destes planos. Foi o que se viu. Hoje, penso que será necessário um maremoto político para que algo aconteça. (…) Não são apenas os jovens que estão zangados. Os pais tão pouco vêem interesse em sair de casa, a fim de escolher entre as centenas de desconhecidos que os líderes incluíram nas listas, remunerando com um “tacho” os servos que exibiram a sua obediência. O mento, reconheço-o, excepcional, a abstenção foi de oito por cento. Nos anos 1980, mais de quatro quintos dos portugueses ainda ia votar. Nas últimas eleições, a taxa de abstenção foi já de 39 por cento. Sei que, por toda a Europa, algo de semelhante se está a passar, mas não a esta velocidade: Portugal possui o recorde do aumento na taxa de crescimento da abstenção. Ao falarmos de leis eleitorais, estamos a tocar em duas questões: quem pode votar e como se vota. A primeira está resolvida desde 1974, o momento em que, pela primeira vez, se pode falar, com rigor, da instauração do sufrágio universal. O problema central reside hoje na forma como se vota. Com receio de que o norte se inclinasse para a reacção e que o sul ficasse vermelho, os constituintes optaram por uma lei – baseada em grandes círculos eleitorais e em listas confeccionadas pelas cúpulas partidárias – que retira poder ao eleitor. Ora, eu não desejo delegar no Eng. Sócrates a possibilidade de escolher quem me representa no Parlamento. Quero ter o "meu" deputado, a quem possa apresentar as minhas queixas e, caso pense que ele nada fez de notável, mandar para casa na eleição subsequente. Infelizmente, a maioria dos Professores de Direito Constitucional considera ser este o menos mau dos sistemas. Há mesmo quem defenda que sempre assim se votou em Portugal. Deixo de lado o caso do Estado Novo, durante o qual havia eleições, mas não liberdades, e o da I República, em que as eleições eram de tal forma viciadas que a abstenção acabou, em 1925, por chegar aos 86 por cento. A Monarquia Constitucional, ou seja o regime que surgiu após a Revolução de 1820, experimentou diversos sistemas eleitorais. Vale a pena relembrar alguns. Durante a primeira metade de oitocentos, votava-se de forma indirecta, ou seja, os eleitores – apenas aqueles que tinham um certo nível de rendimentos – votavam num senhor, o notável, o qual, em seguida, votava num deputado. Isto deu lugar a grandes polémicas, as quais só terminaram quando o governo decretou, em 1851, o chamado "Acto Adicional" à Carta, que consagrou as eleições directas. Não é aqui o local para apresentar uma enumeração exaustiva das leis eleitorais da Monarquia. Quero tão só chamar a atenção para a importância da lei de 1859, que consagrou os chamados círculos uninominais. Em vez de grandes unidades geográficas, permeáveis à vontade do centro,

52

© AREAL EDITORES

A

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES

A

passaram a existir pequenos círculos, apenas com um deputado, o que dava algum poder – por mínimo que fosse – aos camponeses que, por esse país fora, iam votar. Tudo se tornou mais claro quando, em 1878, Fontes Pereira de Melo – o homem que, em 1859, sob pressão do rei D. Pedro V, reformara o sistema – resolveu dar o voto a todos os portugueses. É verdade que estes eram pobres, analfabetos e rudes, mas, em conjunto, as duas leis deram-lhes mais influência do que a que tinham tido ou do que a que passariam a ter, quando, em 1884, 1895 e 1901, as leis de novo foram alteradas. Sei que existem argumentos – enfadonhamente apresentados ao longo dos anos – contra os chamados “políticos de campanário”, mas não me convencem. Em Portugal, todas as reformas surgem sempre de cima. Num país em que a primeira Constituição foi “outorgada”, isto é, oferecida, por um monarca ausente (D. Pedro IV), num país em que a melhor lei eleitoral, a de 1859, foi imposta por um rei “entrangeirado” (D. Pedro V), num país em que as mudanças de regime surgiram sempre através de golpes militares, não temos motivo para esperar que a reforma eleitoral se venha a realizar de forma pacífica. Nem que os futuros governantes sejam melhores do que os de hoje. Vigorava ainda o II Reich na Alemanha quando um sociólogo alemão, Max Weber, se dedicou a reflectir sobre a melhor forma de se conseguirem governos eficazes. A democracia não o interessava particularmente. Segundo ele, a principal vantagem do sufrágio universal consistia na capacidade de gerar chefes políticos mais eficientes do que as cliques que se reclamavam dos favores do Kaiser. Hoje, o problema é outro. Só a reforma da lei eleitoral permitirá melhorar a classe dirigente. É por isso que os políticos actuais resistem à mudança. Ninguém gosta de competição, muito menos quem sabe que vai perder. Público, 21 de Janeiro de 2005

© AREAL EDITORES

SUGESTÃO DE ACTIVIDADE ➜ Com base neste texto de Maria Filomena Mónica, construa um friso cronológico que contenha as principais alterações da lei eleitoral nos diferentes países.

53

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES

Neste tema discute-se diferentes tipos de eleições e consequentemente verificar-se que, quer os métodos escolhidos para determinar os vencedores, quer os tipos de boletins de voto utilizados, podem ser diferentes e em muitos casos condicionantes do voto dos eleitores, originando resultados díspares. A discussão em torno da Teoria Matemática das Eleições não se esgota no que aqui é tratado. Sendo este tema um debate contemporâneo está sujeito a frequentes descobertas, novos ângulos e perspectivas. É um tema vivo, que caminha e evolui ao mesmo tempo que os dias se vão sucedendo e o mundo à nossa volta se vai modificando. Ficam pois aqui algumas sugestões de pequenas investigações que poderão ser levadas a cabo pelos alunos, individualmente ou em grupo. 1.

E se tivesse 100 pontos para distribuir pelos candidatos de uma eleição? Em algumas eleições cada votante tem um número fixo de pontos (100 por exemplo) para dividir entre os candidatos da forma que bem entender.

1.1. Estruture e realize uma eleição em que tal método seja aplicado e compare o resultado obtido com o que aconteceria se aplicasse outros métodos estudados. 1.2. Discuta vantagens e desvantagens desta forma de votação. 1.3. Procure e descreva eleições que utilizem este método ou outro semelhante a este. 2.

Eleições Reais Problemáticas Algumas eleições reais têm ultimamente provocado enormes desafios aos sistemas eleitorais vigentes. Podemos recordar as eleições presidenciais norte-americanas de 2000 ou as eleições alemãs de 2005, para falarmos apenas de algumas.

2.1. Aprofunde estes casos, procurando perceber o que correu mal e como evitar tais situações no futuro. Procure outros exemplos, para além destes, preferenciando sempre eleições em contextos que lhe sejam mais próximos. 2.2. Nas eleições legislativas de 2009 falou-se algum tempo, durante o apuramento dos resultados, da possibilidade de CDS ter mais votos mas menos deputados do que o BE. Investigue como tal poderia ser possível. 3.

Sistemas de votação pesados (Weighted Voting Systems) Os sistemas estudados dizem todos respeito a eleições que seguem o princípio da igualdade do voto de todos os eleitores – um homem, um voto. Mas existem sistemas nos quais os eleitores não têm todos o mesmo peso, a mesma importância, sendo estas diferenças traduzidas pelo princípio – um homem, x votos, em que x pode tomar diferentes valores, conforme o peso do eleitor em causa – indivíduo, instituição ou nação. É o caso da Conselho de Segurança da Organização das Nações Unidas (ONU) e do Conselho da União Europeia (EU). Pesquise e discuta um pouco estes sistemas de votação, procurando conhecer melhor os exemplos aqui apresentados, ou outros de que tenha conhecimento ou pretenda investigar. Este projecto foi elaborado de forma a que adquirisse alguma experiência prática na aplicação dos métodos de votação estudados. 54

© AREAL EDITORES

B

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

PROJECTO FINAL – TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES

C

O trabalho é individual e consiste na construção de um inquérito de preferências. Este inquérito deverá ser aplicado a pelo menos 50 pessoas diferentes e deverá ser construída uma tabela de preferências a partir das respostas aos inquéritos. Terá de usar cada um dos métodos de votação estudados para determinar o vencedor. No final, deverá ser feita uma avaliação dos resultados dos inquéritos, bem como de qual o melhor método de votação para o caso em questão. Os Inquéritos 1.

Devem consistir em cinco opções que serão ordenadas de acordo com as preferências de cada um.

2.

Devem ser aplicados pelo menos a 50 pessoas diferentes.

3.

Os resultados devem ser resumidos numa tabela de preferências.

Os Métodos de Votação 1.

Deverá aplicar cada um dos métodos de votação estudados à tabela de preferências.

2.

No seu relatório deverá incluir uma descrição detalhada da forma como cada método de votação foi aplicado.

Comparação dos Resultados 1.

Deverão ser comparados os resultados da aplicação de cada um dos métodos de votação.

2.

No seu trabalho deverá incluir uma análise de todo o processo, análise essa que deverá responder a questões como: • Qual o “melhor” método e porquê? • Que conflitos existiram, se existiu algum, na aplicação dos vários métodos? • Qual a sua opinião acerca do inquérito e das opções que nele se incluíram? • Que método utilizou na recolha dos dados? • Que modificações introduziria no seu inquérito e método de recolha de dados se tivesse que fazer tudo de novo e porquê (se não fizesse nenhuma alteração explique também porquê)?

Formato do Trabalho Escrito O seu trabalho escrito final deverá incluir: Uma página de introdução – que deverá incluir o título e o seu nome.

2.

Uma página com o inquérito – esta página deverá incluir a pergunta do inquérito, as diferentes opções, o total de pessoas inquiridas e a tabela de preferências que lhe sucedeu.

3.

Uma página para cada um dos métodos de votação estudados.

4.

Uma página de conclusão em que faça a análise de todo o processo, respeitando os pontos já referidos.

© AREAL EDITORES

1.

55

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA

Este tema engloba basicamente três vertentes distintas, todas unidas pelo conceito de divisão/partilha equilibrada, no sentido de cada um dos intervenientes sentir que no final do processo de partilha tem direito a uma parte que considera justa: a representação proporcional, a partilha no caso discreto e a partilha no caso contínuo. A Representação Proporcional permite estabelecer a ponte entre a Teoria Matemática das Eleições, onde se discutiram eleições em que, de entre todos os candidatos, se quer escolher um para vencedor, e a Teoria da Partilha Equilibrada, onde se procura, distribuir representantes de diversas forças em confronto num número de mandatos disponível, de uma forma que traduza a importância que tais forças têm no universo mais alargado dos votantes. Actualmente decorrem discussões diversas na sociedade portuguesa. Investigue e responda a algumas das quais que foram tendo eco, quer no Manual, quer no Caderno de Actividades que o acompanha. Poderão agora ser mais desenvolvidas pelos alunos assunto como: 1.

Cadernos Eleitorais Actualização dos cadernos eleitorais e a problemática dos “eleitores fantasmas.” Segundo Luís Humberto Teixeira, a existência de mais de 930 mil eleitores fantasma nos cadernos eleitorais portugueses tem influência directa no resultado de eleições, como as legislativas.

2.

Quanto vale um deputado? Qual o número de votos necessários para eleger um deputado? De que forma varia segundo o círculo eleitoral.

3.

Revisão dos Círculos Eleitorais Discussão da criação de um sistema eleitoral misto, composto por círculos regionais uninominais e um círculo nacional mais alargado. A este respeito, Luís Humberto Teixeira, numa análise às eleições legislativas portuguesas, elaborou um estudo intitulado “Diz-me onde votas, dir-te-ei quanto vales” onde questiona a percentagem de votos que não servem para eleger qualquer deputado.

Embora de tipo diferente, a teoria da partilha equilibrada, no caso de objectos indivisíveis ou divisíveis, acaba por ter pontos comuns. Um deles é o caso de uma partilha livre de inveja. 1. 1.1. Reflicta sobre como é que cada um dos métodos estudados garante ou não uma partilha livre de inveja. Nas últimas décadas foram desenvolvidos vários métodos e generalizados outros. 1.2. Elabore um artigo sobre este tópico e a evolução recente dos algoritmos da partilha. 2.

Até agora temos analisado situações em que os intervenientes da partilha estão interessados nos bens da partilha. Mas suponhamos que os bens a partilhar não eram desejados por nenhum dos intervenientes – dívidas, prédio em ruínas, um lago poluído, por exemplo.

2.1. O que será uma partilha equilibrada nestes casos? 2.2. Será que os métodos estudados funcionam para estas situações? 2.3. Existem outros métodos para este caso especial?

56

© AREAL EDITORES

D

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

E

TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA

Num estudo sobre as eleições legislativas realizado em 2005, Luís Humberto Teixeira fazia uma proposta de alteração ao nosso sistema eleitoral, que segundo ele permitiria reduzir o número de votos inúteis (votos que não servem para eleger deputado nenhum) e aumentar a representatividade (número de forças políticas representadas nas Assembleia.

deputados, e ional de grande dimensão, que eleja 161 “Proponho a criação de um círculo nac de eleição – – coincidentes com os actuais círculos a instauração de 22 círculos uninominais a círculo). que elejam 44 deputados (dois por cad o parlamentar res das Legislativas 2005, a configuraçã Fazendo uma simulação com os valo pelos portua seria mais próxima da vontade express resultante do sistema que proponho versão de menores variações percentuais na con as am firm con o o com s, urna nas gueses votos em mandatos. o a mais dois aumentaria, ao ser dada representaçã Além disso, o pluralismo parlamentar tivas.” RPP. Seguem abaixo as tabelas compara partidos: neste caso, o PND e o PCTP/M

(Nota: círculos uninominais são círculos em que é eleito um único deputado, atribuído a uma única força política, a que terá obtido mais votos (a uma ou duas voltas).

© AREAL EDITORES

CONSTITUIÇÃO COM O SISTEMA ACTUAL VOTOS

% VOTOS

MANDATOS

% MANDATOS

PS

2 588 312

46,4%

121

52,61%

PPD/PSD

1 653 261

29,64%

75

32,61%

CDU

433 243

7,77%

14

6,09%

CDS-PP

416 415

7,46%

12

5,22%

BE

364 909

6,54%

8

3,48%

PCTP/MRPP

48 186

0,86%

0

0

PND

40 358

0,72%

0

0

PH

17 182

0,31%

0

0

PNR

9 374

0,17%

0

0

POUS

5535

0,1%

0

0

PDA

1618

0,03%

0

0

5 578 393

100%

230

100%

TOTAL

57

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

E

CONSTITUIÇÃO COM O SISTEMA ACTUAL VOTOS

% VOTOS

MANDATOS

% MANDATOS

PS

2 588 312

46,4%

98*

47,8%

PPD/PSD

1 653 261

29,64%

68*

33,17%

CDU

433 243

7,77%

15*

7,32%

CDS-PP

416 415

7,46%

12

5,85%

BE

364 909

6,54%

10

4,88%

PCTP/MRPP

48 186

0,86%

1

0,49%

PND

40 358

0,72%

1

0,49%

PH

17 182

0,31%

0

0

PNR

9 374

0,17%

0

0

POUS

5535

0,1%

0

0

PDA

1618

0,03%

0

0

5 578 393

100%

230

100%

TOTAL

* Na impossibilidade de simular os resultados dos círculos uninominais, atribuí um deputado a cada um dos dois partidos mais votados em cada círculo. Deste modo, o PS recebeu mais 22 mandatos, o PSD 19 e a CDU 3.” www.dotecome.com

1.

Verifique os resultados obtidos por Luís Humberto Teixeira segundo o processo por ele proposto.

2.

Elabore um comentário acerca da proposta de Luís Humberto Teixeira.

58

© AREAL EDITORES

TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

GUIÃO PARA A REALIZAÇÃO DE UM PROJECTO ESTATÍSTICO A CURTO PRAZO

F

A Estatística vai muito para além do cojunto de medidas e técnicas utilizadas para recolher, organizar e tratar conjuntos de dados. A melhor forma de os alunos compreenderem o alcance, limitações e uso crítico de informação tratada estatisticamente é envolvê-los num trabalho estatístico de projecto que abarque as diferentes etapas. Tal trabalho de projecto pode partir de um problema já definido ou apresentado pelo professor, ou pode ir mais atrás e começar com discussão entre os alunos acerca do tipo de informação que gostariam de obter sobre determinado tema à sua escolha, como por exemplo: grau de satisfação dos alunos da sua escola com o estabelecimento de ensino; caracterização da população escolar; eficiência dos serviços, etc. Após uma introdução do tema junto dos alunos, a partir da leitura de uma notícia da imprensa diária, por exemplo, os alunos podem ir discutindo a forma como deverá ser organizado um trabalho/estudo estatístico. Cada um poderá falar da sua experiência pessoal relativamente a abordagens, telefónicas ou outras, solicitando a participação em determinados inquéritos. A acompanhar o desenvolvimento deste projecto estatístico, as aulas poderão ir sendo leccionadas e proporcionar momentos em que os alunos coloquem as suas dúvidas relativamente ao desenvolvimento do mesmo, dentro do contexto dos assuntos em discussão.

METODOLOGIA Os alunos formarão grupos de trabalho de 3 a 5 elementos. O projecto será desenvolvido dentro de cada grupo e no final a sua apresentação envolve um documento escrito (Relatório do Projecto) e uma apresentação a toda a turma (com critérios a definir).

ETAPAS (obs: no final de cada etapa, cada grupo deve discutir com o professor as suas opções, através de um ponto da situação). 1.ª Etapa – Definição do problema – Definição das vairáveis – Definição da população Esta fase poderá ser feita, numa primeira parte, com discussão em cada grupo e no final, uma tempestade de ideias entre todos os grupos da qual resultará uma síntese e um problema comum que cada grupo irá trabalhar uma parte.

PONTO DE SITUAÇÃO 1 Observação: é importante assegurar-se que a definição de variáveis envolve os diferentes tipos de variáveis estudados. 2.ª Etapa – Elaboração de um inquérito

© AREAL EDITORES

– Organização da recolha – Construção de um plano de amostragem

59

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

GUIÃO PARA A REALIZAÇÃO DE UM PROJECTO ESTATÍSTICO A CURTO PRAZO

PONTO DE SITUAÇÃO 2 Observação: a elaboração do inquérito pode começar por pedir que cada grupo indique as dimensões do problema que gostaria de ver analisado. De seguida, cada grupo poderá ficar responsabilizado por um conjunto de questões relativo a uma das dimensões. Da discussão em grande grupo resultará o inquérito da turma. Pretende-se que os alunos trabalhem sobre populações mais alargadas e como tal sintam a necessidade de recorrer a uma amostra para a realização do estudo. Deverão ser discutidas e decididas questões como qual a dimensão da amostra e qual o plano de amostragem mais adequado. Cada grupo deverá então constituir a sua amostra, utilizando planos de amostragem diferentes de grupo para grupo. Finalmente, nesta etapa, cada grupo deverá definir quando, onde, como e ao longo de quanto tempo será efectuada a recolha de dados, dividindo tarefas entre os seus elementos. 3.ª Etapa Recolha de dados 4ª etapa – Organização, representação e exploração dos dados: • organização em tabelas adequadas; • ilustração do tratamento dos dados recorrendo a gráficos e/ou diagramas que se pense serem os mais adequados, explicando a informação que cada um fornece acerca dos dados que pretende representar. – Calcular as medidas estatísticas apropriadas e discutir a sua relação com os dados; – Chegar a conclusões acerca dos dados recolhidos. 5.ª Etapa

ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO 1.

Cada relatório deve começar por uma página inicial (capa) onde se inclua o título do projecto, o nome dos elementos do grupo e o período de realização.

2.

O relatório deve integrar tabelas e gráficos, com as legendas e títulos respectivos, bem como todos os dados recolhidos. Deverá estar em formato digital e com aparência agradável.

3.

Deve incluir uma bibliografia, onde se incluam também, quando consultados, sites da Internet com endereço completo e data de pesquisa.

4.

No cálculo das estatísticas devem ser indicada a forma como foram realizados, e se através da calculadora, que dados foram introduzidos na mesma. Em cada momento do tratamento dos dados deve estar bem explicíta a ou as variáveis em consideração.

5.

O relatório deve incluir também a descrição de como todo o trabalho foi organizado, se se cumpriu a planificação ou não, apontando as razões para tal, as opções que foram sendo tomadas, bem como as dificuldades e obstáculos que tiveram que ser ultrapassados.

60

© AREAL EDITORES

F

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

GUIÃO PARA A REALIZAÇÃO DE UM PROJECTO ESTATÍSTICO A CURTO PRAZO 6.

F

Cada elemento do grupo deverá incluir uma reflexão individual onde descreva a sua colaboração específica para o grupo, as dificuldades sentidas a nível pessoal e uma avaliação acerca do que pensa ter aprendido com a realização deste projecto, quer a nível da aprendizagem matemática, quer a nível de crescimento pessoal. Esta reflexão individual não deverá ultrapassar duas folhas A4.

AVALIAÇÃO A avaliação do projecto estatistico terá em conta: • O relatório • A apresentação oral O relatório será avaliado tendo em conta os eguintes parâmetros: – Criatividade – Organização e aparência (até que ponto o relatório obedece às directivas) – Clareza (linguagem informal, linguagem e escrita matemática, tabelas e gráficos) – Cumprimento do prazo de entrega

© AREAL EDITORES

– Validade das conclusões (até que ponto o objectivo inicial foi ou não alcançado)

61

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

G Preencha o seguinte inquérito.

Em que idade pensa tornar-se financeiramente independente?

1.

Aos 18 anos.

Entre os 19 – 22 anos.

Entre os 23 – 25 anos.

Entre os 26 – 29 anos.

Mais de 29 anos. Se tem outras fontes de rendimento para além do dinheiro que os seus pais lhe dão, indique quais:

2.

Trabalho fixo.

Trabalhos ocasionais.

Bolsa de estudo.

Quando o dinheiro que tem disponível não chega para as despesas que quer realizar:

3.

Pede emprestado aos seus pais. Pede emprestado a outros familiares. Pede emprestado aos seus amigos. Limita as suas despesas e não excede o seu orçamento. Quando pede dinheiro emprestado qual é a sua preocupação?

4.

Pagar logo que possa.

Deixar cair a dívida no esquecimento.

Costuma poupar?

5.

A. Sim.

Porque o faz?

B. Não.

Porque não o faz?

Com que antecedência costuma planificar as suas despesas?

6.

Uma semana.

Duas semanas.

Um mês.

Outro.

Não costuma planear. Costuma fazer despesas desnecessárias?

7.

Frequentemente.

Por vezes.

Raramente.

Nunca.

Qual a natureza das emoções que o/a levam a fazer despesas desnecessárias? (Por exemplo, ciúme, medo, competição, ansiedade, alegria, stress, aborrecimento, tristeza, entre outros.)

8.

62

© AREAL EDITORES

MODELOS FINANCEIROS

ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO

G

MODELOS FINANCEIROS

9.

O dinheiro desempenha um papel importante naquilo que mais valoriza na sua vida? Sim.

Não.

10. Os seus pais dão-lhe dinheiro… sempre que lhes pede.

semanalmente.

mensalmente.

11. Quais pensa serem os principais motivos do recurso ao crédito pelos portugueses? (Seleccione por ordem crescente três opções.) Compra de automóvel.

Compra de electrodomésticos.

Obras em casa.

Educação dos filhos.

Férias e lazer.

12. Seleccione, por ordem crescente, três factores que deverão ser tidos em conta quando se recorre ao crédito para consumo, junto de uma instituição financeira. Dispor de informações claras e precisas. A taxa de juro. Ter confiança no banco. Conhecer o montante das mensalidades. Rapidez na resposta do banco. Simplicidade dos procedimentos.

13. Preencha o seguinte quadro:

CONCORDO

CONCORDO DISCORDO DISCORDO EM PARTE EM PARTE

NÃO SEI

Recorrer ao crédito para consumo é normal nos dias de hoje. O crédito para consumo permite melhorar o nível de vida dos consumidores.

© AREAL EDITORES

O crédito para consumo constitui um risco para os que o utilizam. O crédito para consumo deve ser utilizado apenas para compras de valores elevados. É preferível comprar apenas quando se tem dinheiro do que recorrer ao crédito para consumo. As instituições financeiras estimulam os consumidores a recorrerem ao crédito para consumo. O Estado deve chamar a atenção dos consumidores para os riscos que podem correr quando se endividam.

63